厦门市高考数学(理科)单元练习(统计与概率)

厦门市高考数学（理科）单元练习十二
（统计与概率） 编写：厦门市灌口中学
一、选择题：（8小题，每题5分，共40分）
1．从12个同类产品中（其中有10个正品，2个次品），任意抽取3个，下列事件是必然事件的是（ ）
A ．3个都是正品
B ．至少有一个是次品
C ．3个都是次品
D ．至少有一个是正品
2．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b a >的概率是（ ）
A ．
15 B ．25 C ．35 D ．4
5
3．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚。

如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（ ） A ．30辆 B ．40辆 C ．60辆 D ．80辆
4．一城市准备选购1000株高度大约为2 m 的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）。

采购小组从四个苗圃都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下：
请你帮采购小组出谋献策，应选购（ ）
A ．甲苗圃的树苗
B ．乙苗圃的树苗
C ．丙苗圃的树苗
D ．丁苗圃的树苗 5．一个样本a ，3，5，7的平均数是b ，且a 、b 是方程2
540x x -+=的两根，则这个样本的方差是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自
钱孔入，而钱不湿。

卖油翁的技艺让人叹为观止。

若铜钱的直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是（ ）
A ．
94π B ．94π C ．49π D ．49π
7．为了了解两个变量x ，y 之间的线性相关性，甲、乙两名同学各自独立做了10次和15
次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为1l ，2l ，已知在两个人的试验中发现对变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为x ，对变量y 的观测数据的平均值也恰好相等，都y 为，那么下列说法正确的是（ ）
A ．直线1l ，2l 有交点(,)x y
B ．直线1l ，2l 有交点，但交点未必是(,)x y
C ．直线1l ，2l 必定平行
D ．直线1l ，2l 必定重合
8．已知02a ≤<，04b ≤<，为估计在1a >的条件下，函数2
()2f x x ax b =++有两相
异零点的概率P ，用计算机产生了[0,1)内的两组随机数1a ，1b 各2400个，并组成了2400
个有序数对11(,)a b ，统计这2400个有序数对后得到2×2列联表的部分数据如下表：
则根据表中数据计算出的概率P 的估计值为（ ） A ．13
48
B ．1124
C ．1324
D ．712
二、填空题：（6小题，每题5分，共30分）
9．某大学共有学生5600人，其中专科生1300人、本科生3000人、研究生1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在本科生中抽取 人。

（答案应该是150人，若是专科生才是65人） 10．一个口袋中一共装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球30个，从中任取
一个球得到白球的概率为0.47，则口袋中有黑球 个。

11．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 。

12．如图是2012年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为 ，方差为 。

13．若不等式230y x
y x x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪--≤⎩
表示的平面区域为M ，不等式2
y x ≥所表示的平面区域为N ，
现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为 。

14．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒
的作用”，利用2×2列联表计算得2
3.918K ≈，经查对临界值表知2(3.841)
0.05P K ≥≈。

对此，四名同学作出了以下的判断：
p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
； q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；
r ：这种血清预防感冒的有效率为95%； s ：这种血清预防感冒的有效率为5%。

则下列结论中，正确结论的序号是。

（把你认为正确的命题序号都填上） ①()p q ∧⌝ ②()p q ⌝∧ ③(()())()p q r s ⌝∧⌝∧∨ ④(())(())p r q s ∨⌝∧⌝∨
三、解答题：（6小题，共80分） 15．（满分13分）
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们的培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：82，91，79，78，95，88，83，84 乙：92，95，80，75，83，80，90，85 （Ⅰ）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加合适？
请说明理由。

16．（满分13分）
已知向量(2,1)a =，(,)b x y =。

（Ⅰ）若{1,0,1,2}x ∈-，{1,0,1}y ∈-，求向量//a b 的概率； （Ⅱ）若[1,2]x ∈-，[1,1]y ∈-，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率。

17．（满分13分）
某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：
（Ⅰ）求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；
（Ⅱ）若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额。

（参考公式：1
2
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑，a y bx =-）
18．（满分13分）
某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数。

（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主。

）
（Ⅰ）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯； （Ⅱ）根据以上数据完成下列2×2列联表；
（Ⅲ）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析。

附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19．（满分14分）
为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计。

请你根据频率分布表，解答下列问题：
（Ⅰ）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；
（Ⅱ）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于85分的同学能获奖，请估计
在参加的800名学生中大概有多少同学获奖？
（Ⅲ）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出S 的值，并说明S 的
统计意义。

20．（满分14分）
已知关于x 的一元二次函数2
()41f x ax bx =-+。

（Ⅰ）设集合{1,2,3}P =和{1,1,2,3,4}Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为
a 和
b ，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；
（Ⅱ）设点(,)a b 是区域80
00x y x y +-≤⎧⎪
>⎨⎪>⎩
内的随机点，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上
是增函数的概率。

2013届协作体数学（理科）单元练习（十二）参考答案
（统计与概率） 编写：厦门市灌口中学
1．答案：D 。

2．答案：A 。

3．答案：B 。

4．答案：D 。

5．答案：C 。

6．答案：D 。

7．答案：A 。

解析：回归直线必过样本点的中心(,)x y ，因此两直线都过点(,)x y ，故选A 。

8．答案：C 。

解析：本题先对产生的随机数对11(,)a b 进行12a a =，14b b =的变换后可转化为满足题中条件的数对(,)a b ，而当2
440a b ->时，原函数()f x 有两个相异零点。

所以先将表格补全，知当1a >即112
a >时，满足2
110a b ->时，有两个相异零点，于是65013
120024
P =
=。

9．答案：65。

（应为150） 10．答案：23。

11．答案：65.5。

12．答案：85，1.6。

13．答案：
1
18。

解析：AOB ∆为区域M ，图中阴影部分为区域N ，在区域M 中的部分，(3,3)A ，
(1,1)B -，(1,1)C ，由题易知，OA OB ⊥，则1
32
AOB S AO OB ∆=
⋅=， 1
1
22300
111
()()236S x x dx x x =-=-=⎰阴影
，故豆子落在N 内的概率118AOB S P S ∆==阴影。

14．答案：①④。

解析：由题意，得2
3.918K ≈，2
( 3.841)0.05P K ≥≈，所以，只有第
一位同学的判断正确，即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
，由真
值表知①④为真命题。

15．解析：（Ⅰ）茎叶图如图：
（Ⅱ）方法1：85x x ==甲乙，22
30.5,41s s ==乙甲，所以
22s s <乙甲，即甲与乙的水平相当，但甲发挥比乙更加稳定，所以选派甲合适。

方法2：假设含90分为高分，则甲的高分率为
14，乙的高分率为3
8，所以派乙合适。

方法3：假设含85分为高分，则甲的高分率为38，乙的高分率为1
2
，所以派乙合适。

16．解析：（Ⅰ）设事件“//a b ”为事件A ，由//a b ，得2x y =，
基本事件空间为Ω={（– 1，– 1），（– 1，0），（– 1，1），（0，– 1），（0，0），（0，1），（1，– 1），（1，0），（1，1），（2，– 1），（2，0），（2，1）}，共包含12个基本事件； 其中{A =（0，0），（2，1）}，包含2个基本事件。

则21()126P A =
=，即向量//a b 的概率为1
6。

（Ⅱ）设事件“,a b 的夹角是钝角”为事件B ，由,a b 的夹角是钝角，可得0a b ⋅<，即20x y +<，且2x y ≠。

基本事件空间为12{(,)}11x x y y -≤≤⎧Ω=⎨-≤≤⎩，12
11
{(,)202x y B x y x y x y
-≤≤⎧⎪-≤≤⎪
=⎨
+<⎪⎪≠⎩； 则由图可知，113
()21222()323B S P B S Ω⨯+⨯===⨯，即向量,a b 的夹角是钝角的概率是13。

17．解析：（Ⅰ）依题意，6x =， 3.4y =，
5
1
112i i
i x y
==∑，5
21
200i i x ==∑，
所以5
1
5
2
2
21
511256 3.4
0.5200565i i
i i i x y x y
b x x
==--⨯⨯=
=
=-⨯-∑∑， 3.40.560.4a y bx =-=-⨯=，
所以年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为0.50.4y x =+。

（Ⅱ）由（Ⅰ）求得的回归方程可知，当11x =时，110.50.4 5.9y =⨯+=万元，
所以可估计他的年推销金额为5.9万元。

18．解析：（Ⅰ）在30位亲属中，50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉
类为主。

（Ⅱ）2×2的列联表如图： （Ⅲ）因为2
2
30(42168)
12182010
K ⨯⨯-⨯=
⨯⨯⨯
10 6.635=>，
所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关。

19．解析：（Ⅰ）①为6，②为0.4，③为12，④为12，⑤为0.24；
（Ⅱ）成绩不低于85分的概率是
1
0.240.240.362
⨯+=，所以在参加的800名学生中大概有0.36800288⨯=名同学能获奖；
（Ⅲ）首先要理解当型循环结构图的含义，输入11,G F 的值后，由赋值语句
i i S S G F =+⋅可知，流程图进入一个求和状态，令，(1,2,3,4)i i i a G F i =⋅=，数列{}
i a 的前i 项和为i T ，即：4650.12750.4850.24950.2481T =⨯+⨯+⨯+⨯=，则输出S 的值为81；S 的统计意义即是参加比赛的800名学生的平均成绩，从统计量角度来看，即是比赛成绩的期望值。

20．解析：（Ⅰ）因为函数2
()41f x ax bx =-+的图象的对称轴为2b
x a
=
，要使()f x 在区间[1,)+∞上为增函数，当且仅当0a >且
21b
a
≤，即2b a ≤； 若1a =，则1b =-；若2a =，则1,1b =-；若3a =，则1,1b =-； 记事件A 为：函数2
()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上为增函数； 则事件A 包含基本事件的个数是1 + 2 + 2 = 5； 而试验中包含的基本事件总数为3×5 = 15； 所以所求事件A 的概率为51()153
P A =
=。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当且仅当2b a ≤且0a >时函数()f x 在区间[1,)+∞上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为80{(,)0
}0a b a b a b +-≤⎧⎪
Ω=>⎨⎪>⎩
， 记事件B 为：函数2
()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上为增函数；
则800{(,)}02a b a B a b b b a
+-≤⎧⎪>⎪
=⎨>⎪⎪≤⎩，构成所求事件的区域为如图所示三角形（阴影部分），
由802a b b a
+-=⎧⎨
=⎩得交点168(,)33P ，
所以所求事件B 的概率为18
8123()13882
B S P B S Ω
⨯⨯===⨯⨯。