2024年冀教版九年级上册教学设计第25章 25.1 比例线段

课时目标
1.经历观察、探究、归纳和概括等数学活动,了解线段的比和比例线段的概念.会求两线段的比,增强学生数学抽象思维的核心素养.
2.通过小组活动探究比例式的变形,理解并掌握比例的基本性质,培养学生的计算能力和推理能力.
3.通过建筑、艺术中的实例,了解黄金分割,让学生感受黄金分割在现实生活中的作用和价值,培养学生的数学应用意识.
学习重点
比例线段及性质.
学习难点
应用比例的基本性质进行比例变形.
课时活动设计
回顾引入
回顾全等三角形都研究了哪些内容?当两个三角形只有形状相同时,这两个三角形的对应边、对应角之间有什么关系呢?
设计意图:引导学生回顾全等三角形的研究内容,类比全等研究相似,为学生提供研究方向,帮助学生将头脑中的知识结构化.通过全等引出相似,让学生体会数学知识的研究由特殊到一般的过程.通过提问形状相同的三角形对应边的关系引出对应边的比相等,从而引入比例的学习的必要性,同时也帮助学生搭建本章的知识框架.
探究线段的比相关概念
观察如图所示的三个长方形,你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同?理由是什么?
图1图2图3设计意图:引导学生两两观察图形,思考形状是否相同?从学生角度,学生能看出图3更“胖”一些,引导学生从数学角度说明图形的“胖”与“瘦”用长与宽的比来描述更确切.通过上述思考引入线段的比的概念,注意:求线段的比要统一单位;比值没有单位.
探究成比例线段及基本性质
定义:在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即a
b =c
d
,我们就把
这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
思考:(1)如果线段a,b,c,d成比例,那么ad和bc相等吗?为什么?
(2)如果线段a,b,c,d满足ad=bc,那么这四条线段成比例吗?为什么?
(3)由ad=bc你可以变形得出几种不同的比例式?怎样做到不重不漏,说说你的变形方法?
(4)对于比例式a
b =c
d
,有特殊情况吗?
学生思考并回答以上问题,教师总结出比例的基本性质:
如果a
b =c
d
,那么ad=bc.
如果ad=bc,那么a
b =c
d
(b,d≠0).
特别地,如果a
b =b
c
,即b2=ac,就把b叫做a,c的比例中项.
设计意图:通过对比例式的灵活变形引入比例的基本性质,在等积式化比例式时引导学生由一个等积式可化成多个比例式,在相似三角形的许多问题中都需要用到比例式的灵活变形,所以这个环节要给予足够的重视,要给学生充分的时间.
通过比例式的特殊情况引入比例中项的概念,让学生体会数学研究由一般到特殊的研究思路.
探究比例的相关性质
思考:(1)我们知道,由12=24=3
6,可以得到1+2+32+4+6=1
2,你能得到一般性的结论吗?证明这一结论的正确性.
引导学生思考并回答以下例题,教师给出证明并总结: 如果a b =c
d =…=m
n (b +d +…+n ≠0),那么a+c+⋯+m b+d+⋯+n =a
b . (2)对于上述结论还能进行推广吗?说明理由.
设计意图:引导学生由特例联想一般性的结论,并进行证明,让学生体会数学由特殊到一般的数学思想方法,通过证明培养学生的代数推理能力.引导学生对结论进行变形推广,加深学生对比例性质的深刻理解,发展学生的数学思考能力.
探究黄金分割
思考:如图,已知线段AB =a ,点C 在线段AB 上.当AC AB =BC
AC 时,线段AC 的长是多少? 小组合作,然后小组展评.
解:由AC AB =BC
AC ,得AC 2=AB ·BC. 设AC =x ,则BC =a -x. ∴x 2=a (a -x ),即x 2+ax -a 2=0. 解得x 1=
-1+√52a ,x 2=
-1-√52
a (不舍题意,舍去).
所以AC =
-1+√5
2
a ≈0.618a.
定义:在线段AB 上有一点C ,如果点C 把线段AB 分成的两条线段AC 和BC 满足AC AB =BC
AC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 称为线段AB 的黄金分割点,AC
AB 称为黄金比.
每条线段上的黄金分割点都有两个,黄金比AC AB =
√5-1
2
≈0.618.
引入生活中的实例,让学生体会黄金分割在生活中的重要作用.
在人的面部,五官的分布越符合黄金分割,看起来就越美.
京剧演员经常选择舞台长度的一个黄金分割点作为出场亮相的位置.
摄影构图通常运用的三分法就是黄金分割的演变,把长方形画面的长、宽各分成三等分,整个画面呈井字形分割,井字形分割的交叉点便是画面主体(视觉中心)的最佳位置,是最容易诱导人们视觉兴趣的视觉美点.
设计意图:通过引导学生对线段进行分割形成比例线段引入黄金分割,通过小组合作计算黄金比,加深学生对黄金比的理解与记忆,通过艺术、建筑等生活中黄金分割的实例,让学生体会黄金分割蕴藏的美学价值,发展学生的数学应用意识.
典例精讲
如图,上海东方明珠塔的塔身高为468 m,在塔身上装置了下球体、中球体和上球体(太空舱),分别位于塔身的68 m~118 m,250 m~295 m,335 m~349 m之间,使塔身显得非常协调美观.
塔身的黄金分割点位于哪个球体内?请说明理由.
的运用.
分析:本题考查对黄金比的理解及对√5−1
2
≈0.618,
解:∴黄金分割比为√5−1
2
∴468×0.618=289.224(m).
∴中球体高度为250m~295m,
∴塔身的黄金分割点位于中球体.
设计意图:本环节力求提高学生运用知识的能力和推理能力,加深学生对黄金分割的理解与应用.
课堂小结
本节课我们研究了比例的相关概念和性质,请同学们带着以下问题进行总结:
(1)本节课探究了关于比例的哪些问题?
(2)在探寻比例的相关概念及性质时,你经历了什么?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?
设计意图:学生通过自主反思,可进一步加深对比例相关概念及性质的理解,通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考.反思是数学活动的核心和动力,只有以反思为核心的数学教育,才能使学生真正深入数学学习过程中,才能使学生真正抓住数学思维的内在实质.
课堂8分钟.
1.教材第60页A组第1,2题,B组第1题.
2.七彩作业.
教学反思。