高考数学高中数学知识点课时跟踪检测(五十六) 变量间的相关关系、统计案例(普通高中)

课时跟踪检测（五十六） 变量间的相关关系、统计案例
(一)普通高中适用作业
A 级——基础小题练熟练快
1．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y 与x 负相关且y ^
＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^
＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^
＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^
＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④
D ．①④
解析：选D 正相关指的是y 随x 的增大而增大，负相关指的是y 随x 的增大而减小，故不正确的为①④.
2．下列说法错误的是( )
A ．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B ．在线性回归分析中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强
C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D ．在回归分析中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好
解析：选B 根据相关关系的概念知A 正确；当r ＞0时，r 越大，相关性越强，当r ＜0时，r 越大，相关性越弱，故B 不正确；对于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好．二是R 2越大，拟合效果越好，所以R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好，C 、D 正确，故选B.
3．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝1
2x ＋1上，则这组样本数据的样
本相关系数为( )
A ．－1
B ．0 C.12
D ．1
解析：选D 因为所有样本点都在直线y ＝1
2
x ＋1上，所以这组样本数据完全正相关，
故其相关系数为1.
4．某考察团对10个城市的职工人均工资x (千元)与居民人均消费y (千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且线性回归方程为y ^
＝0.6x ＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )
A ．66%
B ．67%
C ．79%
D ．84%
解析：选D ∵y 与x 具有线性相关关系，且满足回归方程y ^
＝0.6x ＋1.2，该城市居民人均工资为x ＝5，∴可以估计该城市的职工人均消费水平y ＝0.6×5＋1.2＝4.2，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.2
5
＝84%.
5．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x (单位：元)和销售量y (单位：件)之间的四组数据如下表：
y ^＝－1.4x ＋a ^，那么方程中的a ^
值为( )
A ．17
B ．17.5
C ．18
D ．18.5
解析：选B x ＝
4＋4.5＋5.5＋64＝5，y ＝12＋11＋10＋9
4
＝10.5，∵回归直线过样本
点的中心(x ，y )，代入线性回归方程y ^＝－1.4x ＋a ^，得a ^
＝10.5＋1.4×5＝17.5.
6．(2018·江西九校联考)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.
由K 2
＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，
得K 2
＝100×(45×22－20×13)2
65×35×58×42
≈9.616.
参照下表，
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
解析：选C ∵K 2≈9.616>6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．
7．经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出y (万元)具有线性相关关系，并得到y 关于x 的线性回归直线方程：y ^
＝0.245x ＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：x 变为x ＋1，y ^
＝0.245(x ＋1)＋0.321＝0.245x ＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．
答案：0.245
8．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：
由表中数据得线性回归直线方程y ＝b x ＋a 中的b ＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量为________度．
解析：回归直线过点(x ，y )，根据题意得x ＝
18＋13＋10＋(－1)
4
＝10，y ＝
24＋34＋38＋644＝40，将(10,40)代入y ^＝－2x ＋a ^，解得a ^＝60，则y ^
＝－2x ＋60，当x ＝－4
时，y ^
＝(－2)×(－4)＋60＝68，即当气温为－4 ℃时，用电量约为68度．
答案：68
9．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：
根据以上信息，判断下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．
其中正确的个数为________．
解析：由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1.
答案：1
B 级——中档题目练通抓牢
1.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x 轴，y 轴的单位长度相同)，用回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^
近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )
A ．线性相关关系较强，b ^
的值为1.25 B ．线性相关关系较强，b ^
的值为0.83 C ．线性相关关系较强，b ^
的值为－0.87 D ．线性相关关系较弱，无研究价值
解析：选B 由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比y ＝x 的斜率要小一些，综上可知应选B.
2．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^
x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A ．11.4万元
B ．11.8万元
C ．12.0万元
D ．12.2万元
解析：选B 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9
5＝10，
y ＝
6.2＋
7.5＋
8.0＋8.5＋
9.8
5
＝8，
∴a ^
＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x ＝15时，y ^
＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
3．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
附表及公式：
K 2
＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，n ＝a ＋b ＋c ＋d .
A ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
解析：选A 由列联表得到a ＝45，b ＝10，c ＝30，d ＝15，则a ＋b ＝55，c ＋d ＝45，a ＋c ＝75，b ＋d ＝25，ad ＝675，bc ＝300，n ＝100，计算得K 2的观测值k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(675－300)2
55×45×75×25
≈3.030.因为2.706<3.030<3.841，所以有90%以
上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．
4．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量
及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：
由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是y ^
＝－3.2x ＋40，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝________.
解析：x ＝9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋m
5，
y ＝
11＋n ＋8＋6＋55＝6＋n 5
，
回归直线一定经过样本点中心(x ，y )， 即6＋n
5＝－3.2⎝⎛⎭⎫8＋m 5＋40，即3.2m ＋n ＝42. 又因为m ＋n ＝20，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 3.2m ＋n ＝42，m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝10，n ＝10，
故n ＝10. 答案：10
5．某炼钢厂废品率x (%)与成本y (元/吨)的线性回归直线方程为y ^
＝105.492＋42.569x .当成本控制在176.5元/吨时，可以预计生产的1 000吨钢中，约有________吨钢是废品(结果保留两位小数)．
解析：因为176.5＝105.492＋42.569x ，解得x ≈1.668，即当成本控制在176.5元/吨时，废品率约为1.668%，所以生产的1 000吨钢中，约有1 000×1.668%＝16.68吨是废品．
答案：16.68
6.(2018·合肥模拟)某校计划面向高一年级1 200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类、自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．
(1)分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生的人数；
(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下列2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？
附：K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
男生选择社会科学类的频率为45105＝37， 女生选择社会科学类的频率为
4575＝35. 由题意，男生总人数为1 200×105
180
＝700， 女生总人数为1 200×
75
180
＝500. 所以估计实际选课中选择社会科学类的学生人数为 700×37＋500×3
5
＝600.
(2)根据统计数据，可得2×2
列联表如下：
所以K 2
＝105×75×90×90
≈5.143>5.024，
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为科类的选择与性别有关． 7.某地区2011年至2017年农村居民家庭纯收入y (单位：万元)的数据如下表：
(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b ^＝
∑i ＝1
n
(t i －t )(y i －y )
∑i ＝1
n
(t i －t )2
，a ^＝y －b ^t .
解：(1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝1
7(2.9＋3.3＋3.6＋4.4
＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑i ＝17
(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
∑i ＝1
7
(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋
2×0.9＋3×1.6＝14，b ^
＝
∑i ＝1
7
(t i －t )(y i －y )
∑i ＝1
7
(t i －t )2
＝14
28
＝0.5， a ^＝y －b ^
t ＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回归方程为y ^
＝0.5t ＋2.3.
(2)由(1)知，b ^
＝0.5>0，故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元．
将2019年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ^
＝0.5×9＋2.3＝6.8， 故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8万元． C 级——重难题目自主选做
1.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝1
8
w i .
(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．
(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截
距的最小二乘估计分别为β^
＝
∑i ＝1
n
(u i －u )(v i －v )
∑i ＝1
n
(u i －u )2
，α^
＝v －β^
u .
解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．
(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．
由于d ^
＝
∑i ＝1
8
(w i －w )(y i －y )
∑i ＝1
8
(w i －w )2
＝108.81.6
＝68， c ^
＝y －d ^
w ＝563－68×6.8＝100.6，
所以y 关于w 的线性回归方程y ^
＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^
＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，
年销售量y 的预报值y ^
＝100.6＋6849＝576.6，
年利润z 的预报值z ^
＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值
z ^
＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.
所以当x ＝13.6
2
＝6.8，即x ＝46.24时，z ^
取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
2.为了了解某学校高二年级学生的物理成绩，从中抽取n 名学生的物理成绩(百分制)作
为样本，按成绩分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，频率分布直方图如图所示，成绩落在[70,80)中的人数为20.
(1)求a 和n 的值；
(2)根据样本估计总体的思想，估计该校高二学生物理成绩的平均数x －
和中位数m ； (3)成绩在80分以上(含80分)为优秀，样本中成绩落在[50,80)中的男、女生人数比为1∶2，成绩落在[80,100)中的男、女生人数比为3∶2，完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为物理成绩优秀与性别有关.
附：参考公式和数据：K 2
＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，
解：(1)解得a ＝0.05，则n ＝20
10×0.05
＝40.
(2)由频率分布直方图可知各组的频率分别为0.05，0.2，0.5,0.15,0.1， 所以x －
＝55×0.05＋65×0.2＋75×0.5＋85×0.15＋95×0.1＝75.5， (m －70)×0.05＝0.5－(0.05＋0.2)，得m ＝75.
(3)由频率分布直方图可知成绩优秀的人数为40×(0.015＋0.01)×10＝10，则不优秀的人数为40－10＝30.
所以优秀的男生为6人，女生为4人； 不优秀的男生为10人，女生为20人． 所以2×2列联表如下：
所以K2＝40×(6×20－4×10)
16×24×10×30
≈2.222＜3.841，
所以在犯错误的概率不超0.05的前提下不能认为物理成绩优秀与性别有关．古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

知识就是机积累起来的，经验也是积累起来的。

我们对什么事情都不应该像“过眼云烟”。

学习知识要善于思考，思考，再思考。

——爱因斯坦
镜破不改光，兰死不改香。

——孟郊
生活的全部意义在于无穷地探索尚未知道的东西，在于不断地增加更多的知识。

—
做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

好比吃饭一样，要嚼得烂，方好消化，才会对人体有益。

——陶铸
研卷知古今；藏书教子孙。

——《对联集锦》
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

——《礼记》
知识是珍贵宝石的结晶，文化是宝石放出来的光泽。

——泰戈尔
你是一个积极向上，有自信心的孩子。

学习上有计划、有目标，能够合理安排自己的时间，学习状态挺好；心态平和，关心、帮助同学，关心班集体，积极参加班级、学
校组织的各项活动，具有较强的劳动观念，积极参加体育活动，尊敬师长。

希望你再接再厉，不满足于现状，争取做的更好。