2020年高考数学二轮复习考前冲刺三 回扣溯源、查缺补漏——考前提醒
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2
回扣一 集合与常用逻辑用语 1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝
lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图 象上的点集.
3
[回扣问题 1] 已知集合 M＝x1x62 ＋y92＝1，N＝y4x＋3y＝1，则 M∩N＝(
16
5.理清函数奇偶性的性质. (1)f(x)是偶函数 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； (2)f(x)是奇函数 f(－x)＝－f(x)； (3)定义域含 0 的奇函数满足 f(0)＝0. [回扣问题 5] 已知函数 h(x)(x≠0)为偶函数，且当 x>0 时，h(x)＝－x42，0<x≤4，
个值c，使得f(c)>0，则实数p的取值范围为________.
解析 如果在[－1，1]内没有值满足f(c)>0，
则ff（ （－ 1）1） ≤≤ 0 0，
p≤－12或p≥1， p≤－3或p≥32
p≤－3 或 p≥32.
取补集，得 p 的取值范围是－3，32.
答案 －3，32
7
5.含有量词的命题的否定，不仅是把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在 量词，存在量词变为全称量词.
[回扣问题5] 命题p：“ x∈R，x－ln x>0”的否定綈p是________. 解析 “ ”变为“ ”，并否定结论， ∴綈p： x0∈R，x0－ln x0≤0. 答案 x0∈R，x0－ln x0≤0
)
A.
B.{(4，0)，(3，0)}
C.[－3，3]
D.[－4，4]
解析 由曲线方程，知 M＝x1x62 ≤1＝[－4，4]，又 N＝y4x＋3y＝1＝R， ∴M∩N＝[－4，4].
答案 D
4
2.遇到A∩B＝ 时，需注意到“极端”情况：A＝ 或B＝ ；同样在应用条件A∪B＝ B A∩B＝A A B时，不要忽略A＝ 的情况.
[回扣问题2] 设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m 组成的集合是____________.
解析 由题意知集合A＝{2，3}，由A∩B＝B知B A. ①当B＝ 时，即方程mx－1＝0无解，此时m＝0符合已知条 件②；当 B≠ 时，即方程 mx－1＝0 的解为 2 或 3，代入得 m＝12或13. 综上，满足条件的 m 组成的集合为0，12，13. 答案 0，12，13
21
解析 由于f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上为减函数，则0<a<1.又|x|－1>0，得x>1或x<－1. 当x>1时，y＝loga(x－1)是减函数，易知D正确. 答案 D
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8.分段函数，一定要看清楚分界点的函数值.
[回扣问题 8] 若函数 f(x)＝2－x＋x2＋1，axx＋≥11，，x<1在 R 上是增函数，则 a 的取值范围为(
考前冲刺三 回扣溯源、查缺补漏——考前提醒
1
解决“会而不对，对而不全”问题是决定高考成败的关键，高考数学考试中出现 错误的原因很多，其中错解类型主要有：知识性错误，审题或忽视隐含条件错误， 运算错误，数学思想、方法运用错误，逻辑性错误，忽视等价性变形错误等.下面我 们分几个主要专题对易错的知识点和典型问题进行剖析，为你提个醒，力争做到 “会而对，对而全”.
)
A.[2，3]
B.[2，＋∞)
C.[1，3]
D.[1，＋∞)
解析 由题意得a2≥1，
解得 2≤a≤3.
－1＋a＋1≤2＋1，
答案 A
23
9.易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解 集的端点值进行准确互化.
[回扣问题9] 若函数f(x)＝ax－ln x－1有零点，则实数a的取值范围是________. 解析 令 f(x)＝ax－ln x－1＝0，则 a＝ln xx＋1(x>0)， 设 g(x)＝ln xx＋1，则 g′(x)＝－xln2 x， 由g′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(0，1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， ∴g(x)max＝g(1)＝1，则a≤1. 答案 (－∞，1]
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[回扣问题4] 对于定义在R上的函数f(x)，若 x∈R，f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[－1，0]时， f(x)＝x2－x，则f(2 019)＝________. 解析 x∈R，f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，知f(x)的周期T＝4， 所以f(2 019)＝f(4×505－1)＝f(－1)， 又x∈[－1，0]时，f(x)＝x2－x， 知f(－1)＝(－1)2＋1＝2. ∴f(2 019)＝f(－1)＝2. 答案 2
4－2x，x>4， 若 h(t)>h(2)，则实数 t 的取值范围为________.
17
解析 因为当 x>0 时，h(x)＝－x42，0<x≤4， 4－2x，x>4.
所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h(x)(x≠0)为偶函数，且h(t)>h(2)， 所以h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2， 所以t|t≠|<20，，即t－≠20<，t<2， 解得－2<t<0或0<t<2. 综上，所求实数t的取值范围为(－2，0)∪(0，2). 答案 (－2，0)∪(0，2)
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11.利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么 f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个 区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数. 注意 如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验 证f′(x)是否恒等于0，增函数亦如此.
24
10.混淆y＝f(x)的图象在某点(x0，y0)处的切线与y＝f(x)过某点(x0，y0)的切线，导致求解 失误.
[回扣问题10] (2019·郑州质检)曲线f(x)＝x2－3x＋2ln x在x＝1处的切线方程是________. 解析 由 f(x)＝x2－3x＋2ln x，得 f′(x)＝2x－3＋2x， ∴f(1)＝－2，f′(1)＝1， 故f(x)在x＝1处的切线方程为y＋2＝1×(x－1)， 即x－y－3＝0. 答案 x－y－3＝0
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9
解析 由x－12<12，得 0<x<1，所以 0<x3<1；由 x3<1，得 x<1，不能推出 0<x<1.所以“x－12 <12”是“x3<1”的充分而不必要条件. 答案 A
10
7.存在性或恒成立问题求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想. [回扣问题7] 若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一
8
6.对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.“A的充分不必要条件是
B”说明“B是条件”且B推出A，但A不能推出B，而“A是B的充分不必要条件”表
明“A是条件”，A能推出B，但B不能推出A.
[回扣问题 6] 设 x∈R，则“x－12<12”是“x3<1”的(
)
A.充分而不必要条件
D.(－∞，2]
解析 易知 A＝{x|x>3－2a}，B＝{x|x≥a 或 x≤a－1}，由 A∪B＝R，得 3－2a≤a
－1，解得 a≥43. 答案 C
6
4.复合命题真假的判定，利用真值表.注意“否命题”是对原命题既否定其条件，又否 定其结论；而綈p，只是否定命题p的结论.
[回扣问题4] 已知命题p： x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.有下列命题 ①p∧q；②p∧(綈q)；③(綈p)∧q；④(綈p)∧(綈q).其中为真命题的是________(填序 号). 解析 由于x>0，ln(x＋1)>0，则p为真命题. 又a>b a2>b2(如a＝1，b＝－2)，知q为假命题. ∴綈q为真，所以p∧(綈q)为真. 答案 ②
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回扣二 函数与导数
1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求 解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；分式中分母不为0；对数式中的真数 是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.
[回扣问题 1] 函数 f(x)＝lg(1－x)＋ 3x＋1 的定义域是________. 解析 由题意，得13－ x＋x>1≥0，0，∴－13≤x<1. 答案 －13，1
12
2.求解与函数、不等式有关的问题(如求值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等)， 要注意定义域优先的原则.
[回扣问题2] 函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调增区间是________. 解析 要使函数有意义，则x2－2x－8>0，解得x<－2或x>4，结合二次函数、对数函 数的单调性和复合函数同增异减的原则得函数的单调增区间为(4，＋∞). 答案 (4，＋∞)
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3.定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时， 务必先判定函数定义域是否关于原点对称.函数y＝f(x)为奇函数，但不一定有f(0)＝0 成立.
[回扣问题 3] 函数 f(x)＝lg|（x－12－|－x22）的奇偶性是________. 解析 由 1－x2>0 且|x－2|－2≠0，知 f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于 原点对称，则 f(x)＝lg（1－－xx2）， 又 f(－x)＝lg（1－x x2）＝－f(x)，∴函数 f(x)为奇函数. 答案 奇函数
20
7.准确理解基本初等函数的定义和性质.避免如函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性忽视对字 母a的取值讨论或忽视ax>0，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)忽视真数与底数的限制条 件等错误的出现.
[回扣问题7] 若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象 可以是( )
5
3.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来
运算，求解时要特别注意端点值.
[回扣问题3] 若集合A＝{x|x>3－2a}，B＝{x|(x－a＋1)(x－a)≥0}，A∪B＝R，则a的取
值范围是( )
A.[2，＋∞)
B.－∞，43
C.43，＋∞
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[回扣问题 11] 已知函数 f(x)＝12x2＋2ax－ln x，若 f(x)在区间13，2上是增函数，则实数 a 的取值范围为________. 解析 由题意知 f′(x)＝x＋2a－1x≥0 在13，2上恒成立，即 2a≥－x＋1x在13，2 上恒成立，∵当 x∈13，2时，－x＋1xmax＝83，∴2a≥83，即 a≥43. 答案 43，＋∞
18
6.图象变换的几个注意点. (1)弄清平移变换的方向与单位长度.
(2)区别翻折变换：f(x)→|f(x)|与 f(x)→f(|x|).
(3)两个函数图象关于直线或关于某点的对称.
[回扣问题 6] 函数 y＝1＋x＋sixn2 x的部分图象大致为(
)
19
解析 易知 g(x)＝x＋sixn2 x为奇函数，其图象关于原点(0，0)对称， 则 y＝1＋x＋sixn2 x的图象只需把 g(x)的图象向上平移一个单位长度. 故函数 y＝1＋x＋sixn2 x的图象关于(0，1)对称，只有选项 D 满足. 答案 D
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4.记准函数周期性的几个结论： 由周期函数的定义“函数 f(x)满足 f(x)＝f(a＋x)(a>0)，则 f(x)是周期为 a 的周期函数”得： (1)函数 f(x)满足 f(a＋x)＝－f(x)，则 f(x)是周期 T＝2a 的周期函数； (2)若 f(x＋a)＝f（1x）(a≠0)成立，则 T＝2a； (3)若 f(x＋a)＝－f（1x）(a≠0)成立，则 T＝2a； (4)若 f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)成立，则 T＝2a.
回扣一 集合与常用逻辑用语 1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝
lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图 象上的点集.
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[回扣问题 1] 已知集合 M＝x1x62 ＋y92＝1，N＝y4x＋3y＝1，则 M∩N＝(
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5.理清函数奇偶性的性质. (1)f(x)是偶函数 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； (2)f(x)是奇函数 f(－x)＝－f(x)； (3)定义域含 0 的奇函数满足 f(0)＝0. [回扣问题 5] 已知函数 h(x)(x≠0)为偶函数，且当 x>0 时，h(x)＝－x42，0<x≤4，
个值c，使得f(c)>0，则实数p的取值范围为________.
解析 如果在[－1，1]内没有值满足f(c)>0，
则ff（ （－ 1）1） ≤≤ 0 0，
p≤－12或p≥1， p≤－3或p≥32
p≤－3 或 p≥32.
取补集，得 p 的取值范围是－3，32.
答案 －3，32
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5.含有量词的命题的否定，不仅是把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在 量词，存在量词变为全称量词.
[回扣问题5] 命题p：“ x∈R，x－ln x>0”的否定綈p是________. 解析 “ ”变为“ ”，并否定结论， ∴綈p： x0∈R，x0－ln x0≤0. 答案 x0∈R，x0－ln x0≤0
)
A.
B.{(4，0)，(3，0)}
C.[－3，3]
D.[－4，4]
解析 由曲线方程，知 M＝x1x62 ≤1＝[－4，4]，又 N＝y4x＋3y＝1＝R， ∴M∩N＝[－4，4].
答案 D
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2.遇到A∩B＝ 时，需注意到“极端”情况：A＝ 或B＝ ；同样在应用条件A∪B＝ B A∩B＝A A B时，不要忽略A＝ 的情况.
[回扣问题2] 设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m 组成的集合是____________.
解析 由题意知集合A＝{2，3}，由A∩B＝B知B A. ①当B＝ 时，即方程mx－1＝0无解，此时m＝0符合已知条 件②；当 B≠ 时，即方程 mx－1＝0 的解为 2 或 3，代入得 m＝12或13. 综上，满足条件的 m 组成的集合为0，12，13. 答案 0，12，13
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解析 由于f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上为减函数，则0<a<1.又|x|－1>0，得x>1或x<－1. 当x>1时，y＝loga(x－1)是减函数，易知D正确. 答案 D
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8.分段函数，一定要看清楚分界点的函数值.
[回扣问题 8] 若函数 f(x)＝2－x＋x2＋1，axx＋≥11，，x<1在 R 上是增函数，则 a 的取值范围为(
考前冲刺三 回扣溯源、查缺补漏——考前提醒
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解决“会而不对，对而不全”问题是决定高考成败的关键，高考数学考试中出现 错误的原因很多，其中错解类型主要有：知识性错误，审题或忽视隐含条件错误， 运算错误，数学思想、方法运用错误，逻辑性错误，忽视等价性变形错误等.下面我 们分几个主要专题对易错的知识点和典型问题进行剖析，为你提个醒，力争做到 “会而对，对而全”.
)
A.[2，3]
B.[2，＋∞)
C.[1，3]
D.[1，＋∞)
解析 由题意得a2≥1，
解得 2≤a≤3.
－1＋a＋1≤2＋1，
答案 A
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9.易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解 集的端点值进行准确互化.
[回扣问题9] 若函数f(x)＝ax－ln x－1有零点，则实数a的取值范围是________. 解析 令 f(x)＝ax－ln x－1＝0，则 a＝ln xx＋1(x>0)， 设 g(x)＝ln xx＋1，则 g′(x)＝－xln2 x， 由g′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(0，1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， ∴g(x)max＝g(1)＝1，则a≤1. 答案 (－∞，1]
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[回扣问题4] 对于定义在R上的函数f(x)，若 x∈R，f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[－1，0]时， f(x)＝x2－x，则f(2 019)＝________. 解析 x∈R，f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，知f(x)的周期T＝4， 所以f(2 019)＝f(4×505－1)＝f(－1)， 又x∈[－1，0]时，f(x)＝x2－x， 知f(－1)＝(－1)2＋1＝2. ∴f(2 019)＝f(－1)＝2. 答案 2
4－2x，x>4， 若 h(t)>h(2)，则实数 t 的取值范围为________.
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解析 因为当 x>0 时，h(x)＝－x42，0<x≤4， 4－2x，x>4.
所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h(x)(x≠0)为偶函数，且h(t)>h(2)， 所以h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2， 所以t|t≠|<20，，即t－≠20<，t<2， 解得－2<t<0或0<t<2. 综上，所求实数t的取值范围为(－2，0)∪(0，2). 答案 (－2，0)∪(0，2)
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11.利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么 f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个 区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数. 注意 如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验 证f′(x)是否恒等于0，增函数亦如此.
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10.混淆y＝f(x)的图象在某点(x0，y0)处的切线与y＝f(x)过某点(x0，y0)的切线，导致求解 失误.
[回扣问题10] (2019·郑州质检)曲线f(x)＝x2－3x＋2ln x在x＝1处的切线方程是________. 解析 由 f(x)＝x2－3x＋2ln x，得 f′(x)＝2x－3＋2x， ∴f(1)＝－2，f′(1)＝1， 故f(x)在x＝1处的切线方程为y＋2＝1×(x－1)， 即x－y－3＝0. 答案 x－y－3＝0
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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解析 由x－12<12，得 0<x<1，所以 0<x3<1；由 x3<1，得 x<1，不能推出 0<x<1.所以“x－12 <12”是“x3<1”的充分而不必要条件. 答案 A
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7.存在性或恒成立问题求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想. [回扣问题7] 若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一
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6.对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.“A的充分不必要条件是
B”说明“B是条件”且B推出A，但A不能推出B，而“A是B的充分不必要条件”表
明“A是条件”，A能推出B，但B不能推出A.
[回扣问题 6] 设 x∈R，则“x－12<12”是“x3<1”的(
)
A.充分而不必要条件
D.(－∞，2]
解析 易知 A＝{x|x>3－2a}，B＝{x|x≥a 或 x≤a－1}，由 A∪B＝R，得 3－2a≤a
－1，解得 a≥43. 答案 C
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4.复合命题真假的判定，利用真值表.注意“否命题”是对原命题既否定其条件，又否 定其结论；而綈p，只是否定命题p的结论.
[回扣问题4] 已知命题p： x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.有下列命题 ①p∧q；②p∧(綈q)；③(綈p)∧q；④(綈p)∧(綈q).其中为真命题的是________(填序 号). 解析 由于x>0，ln(x＋1)>0，则p为真命题. 又a>b a2>b2(如a＝1，b＝－2)，知q为假命题. ∴綈q为真，所以p∧(綈q)为真. 答案 ②
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回扣二 函数与导数
1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求 解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；分式中分母不为0；对数式中的真数 是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.
[回扣问题 1] 函数 f(x)＝lg(1－x)＋ 3x＋1 的定义域是________. 解析 由题意，得13－ x＋x>1≥0，0，∴－13≤x<1. 答案 －13，1
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2.求解与函数、不等式有关的问题(如求值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等)， 要注意定义域优先的原则.
[回扣问题2] 函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调增区间是________. 解析 要使函数有意义，则x2－2x－8>0，解得x<－2或x>4，结合二次函数、对数函 数的单调性和复合函数同增异减的原则得函数的单调增区间为(4，＋∞). 答案 (4，＋∞)
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3.定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时， 务必先判定函数定义域是否关于原点对称.函数y＝f(x)为奇函数，但不一定有f(0)＝0 成立.
[回扣问题 3] 函数 f(x)＝lg|（x－12－|－x22）的奇偶性是________. 解析 由 1－x2>0 且|x－2|－2≠0，知 f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于 原点对称，则 f(x)＝lg（1－－xx2）， 又 f(－x)＝lg（1－x x2）＝－f(x)，∴函数 f(x)为奇函数. 答案 奇函数
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7.准确理解基本初等函数的定义和性质.避免如函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性忽视对字 母a的取值讨论或忽视ax>0，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)忽视真数与底数的限制条 件等错误的出现.
[回扣问题7] 若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象 可以是( )
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3.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来
运算，求解时要特别注意端点值.
[回扣问题3] 若集合A＝{x|x>3－2a}，B＝{x|(x－a＋1)(x－a)≥0}，A∪B＝R，则a的取
值范围是( )
A.[2，＋∞)
B.－∞，43
C.43，＋∞
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[回扣问题 11] 已知函数 f(x)＝12x2＋2ax－ln x，若 f(x)在区间13，2上是增函数，则实数 a 的取值范围为________. 解析 由题意知 f′(x)＝x＋2a－1x≥0 在13，2上恒成立，即 2a≥－x＋1x在13，2 上恒成立，∵当 x∈13，2时，－x＋1xmax＝83，∴2a≥83，即 a≥43. 答案 43，＋∞
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6.图象变换的几个注意点. (1)弄清平移变换的方向与单位长度.
(2)区别翻折变换：f(x)→|f(x)|与 f(x)→f(|x|).
(3)两个函数图象关于直线或关于某点的对称.
[回扣问题 6] 函数 y＝1＋x＋sixn2 x的部分图象大致为(
)
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解析 易知 g(x)＝x＋sixn2 x为奇函数，其图象关于原点(0，0)对称， 则 y＝1＋x＋sixn2 x的图象只需把 g(x)的图象向上平移一个单位长度. 故函数 y＝1＋x＋sixn2 x的图象关于(0，1)对称，只有选项 D 满足. 答案 D
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4.记准函数周期性的几个结论： 由周期函数的定义“函数 f(x)满足 f(x)＝f(a＋x)(a>0)，则 f(x)是周期为 a 的周期函数”得： (1)函数 f(x)满足 f(a＋x)＝－f(x)，则 f(x)是周期 T＝2a 的周期函数； (2)若 f(x＋a)＝f（1x）(a≠0)成立，则 T＝2a； (3)若 f(x＋a)＝－f（1x）(a≠0)成立，则 T＝2a； (4)若 f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)成立，则 T＝2a.