平面图形的镶嵌01

在正多边形里只有正三角形、正四边 形、正六边形可以密铺，而其他的正 多边形不可密铺．
归纳
1、可以用同一种正多边形密铺的图 形只有正三角形，正四边形，正六边
形.
2、用一种形状、大小完全相同的任 意三角形，任意四边形也能进行平 面镶嵌。
归纳:
1、拼接在同一个点的各个角 的和等于360度 2、注意:只用正五边形、正 八边形一种图形不能镶嵌.321？
？=360-324=36
正六边形可以密铺吗？
（3） 正六边形的平面镶嵌
每个顶点由3个正六边形依次环绕而成 （6，6，6）
理一理
正n边形 拼图 每个内角度数 多边形个数 60
0
结果
实
n = 3
6
0
能拼好
60 ×6=360
0 0
验 n = 4
n = 6
90
4
0
能拼好
90 ×4=360
0 0
结
120
3
0
能拼好
120 ×3=360
0 0
果
n =5
108
3
不能拼好 有缺口
108 ×3＜360
0 0
对于给定的某种正多边形，它能否 拼成一个平面图形，而不留一点空隙？ 显然问题的关键在于分析能用于完整铺 平地面的正多边形的内角特点.当围绕
一点拼在一起的几个多边形的内角 加在一起恰好组成一个周角360°时，
探究１
用形状、大小完 全相同的三角形能否 密铺？
（1） 正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60°
60° 60° 60°
每个顶点由6个正三角形依次环绕而成 （3，3，3，3，3，3）
小结
形状、大小完全相同的任意三角形 能镶嵌成平面图形： 可以 1.任意全等的三角形都______ 密铺。 2.在每个拼接点处有___ 六 个角， 六 个角的和恰好是这个 而这___ 两 倍，也 三角形的内角和的___ 就是它们的和为____ 360o 。
就铺成一个平面图形.
思考
还能找到能密铺的其他正多边形吗？
要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是 看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是 360°，在正多边形里，正三角形的每个内角 都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正 六边形的每个内角都是120°，这三种多边形 的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多 边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：
( n 2)180 m 360 n
∴解得：
m 6 n 3
m 4 n 4
m 3 n 6
有些地板的拼 合图案如右图，它 是用正方形的地砖 铺成的，为什么用 这样形状的地砖能 铺成无缝隙的地板 呢？
观察思考
这些图形在拼接时有什么特点?
如果你是设计师， 让你设计几种地板 图案，你如何设计 呢？
用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求 砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或 墙面全部覆盖。从数学角度看，这些工 作就是用一些不重叠摆放的多边形把平 面的一部分完全覆盖，通常把这类问题 叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌） 的问题。
探究２
用形状、大小完 全相同的四边形能否 密铺？
（2） 正方形的平面镶嵌
90° 90°
90°90°
每个顶点由4个正方形依次环绕而成 （4，4，4，4）
思考
1.正五边形能密铺吗？说说理由。 2.正六边形能密铺吗？说说理由。 3.还能找到能密铺的其他图形吗？
正五边形可以密铺吗？
正五边形的每个 内角为108度， 故108×3=324
练习
1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是( D ） A.三角形 B.正方形 C.任意四边形 D.正八边形 2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一 个顶点周围的正方形的个数是（ B ） A.3 B.4 C.5 D.6 3、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每 一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形， 则该正多边形的边数为（ A ） A.3 B.4 C.5 D.6
平面图形的密铺（平面图形的镶嵌） 定 义: 用形状和大小完全相同的一种或几 种平面图形进行拼接，彼此之间不留空 隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图 形的密铺，又称平面图形的镶嵌.
必记内容 特别注意： 多边形能进行平面镶嵌的条件：
1、形状、大小完全相同的一种或几种 平面图形；拼接在同一点的各个角的度 数和是360。 2、无空隙、不重叠铺成一片。要求相 邻的多边形有公共边。
探究３
用同一种平面图形 如果不能密铺,用两种 或者两种以上平面图形 能不能密铺呢?
知识归纳：
多边形能进行平面镶嵌的条件：
1、形状、大小完全相同的一种或几种 平面图形；拼接在同一点的各个角的度 数和是3600。 2、无空隙、不重叠铺成一片。相邻的 多边形有公共边。
课外延伸
仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须 要求在公共顶点上所有内角和为360度。令正多边形 的边数为n,个数为m,则有