湖北省荆州市菱湖中学高二数学理上学期期末试卷含解析

湖北省荆州市菱湖中学高二数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 甲、乙、丙三人在同一办公室工作。

办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打
给甲、乙、丙的概率依次为、、。

若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。

则这三个电话中恰有两个是打给甲的概率为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
2. 已知数列中，, 2=，则数列的通项公式为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
3. ，则实数a取值范围为（）
A．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）B．[﹣1，1] C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣1，1]
参考答案：
B
【考点】元素与集合关系的判断．
【分析】根据题意，分析可得当x=1时，有＜0不成立，即≥0成立或无意义，解可得
≥0可得﹣1＜x≤1，由分式的意义分析可得a=﹣1时，无意义，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，若1?A，则当x=1时，有＜0不成立，即≥0成立或无意义，
若≥0成立，解≥0可得，﹣1＜x≤1，
若无意义，则a=﹣1，
综合可得，﹣1≤a≤1，
故选B．
4. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足?=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）
A．（0，1）B．（0，] C．（0，）D．[，1）
参考答案：
C
【考点】椭圆的应用．
【专题】计算题．
【分析】由?=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．
【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，
∵?=0，
∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．
又M点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．
∴e2=＜，∴0＜e＜．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．
5. 如图：是椭圆的左右焦点，点在椭圆C上，线段与圆
相切与点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为( )
A B C D
参考答案：
A
略
6. 某学校高中每个年级只有三个班，且同一年级的三个班的羽毛球水平相当，各年级举办班级羽毛球比赛时，都是三班得冠军的概率为（）
A． B. C. D.
参考答案：
A
略
7. 若点O和点F分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
A
略8. 设<θ<3π，且|cosθ|＝，那么sin的值为( )
参考答案：
C
9. 如图是一个几何体的三视图（侧试图中的弧线是半圆），则该几何体的体积是( )
A．8+2πB．8+πC．8+πD．8+π
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体上半部分是正方体，下半部分是圆柱的一半，结合图中数据求出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图得，
该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，
下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，
∴该几何体的体积为
V=23+×π×12×2=8+π．
故选：B．
【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题．
10. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )
A ．至多有一次中靶
B ．两次都中靶
C ．只有一次中靶
D ．两次都不中靶
参考答案：
D
【考点】互斥事件与对立事件． 【专题】概率与统计．
【分析】直接根据对立事件的定义，可得事件“至少有一次中靶”的对立事件，从而得出结论． 【解答】解：根据对立事件的定义可得，事件“至少有一次中靶”的对立事件是：两次都不中靶， 故选D ．
【点评】本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的定义域为 ．
参考答案：
（﹣∞，）
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由函数的解析式可得3﹣2x
＞0，解得x 的范围，即可求得函数
的定义域．
【解答】解：∵函数
，∴3﹣2x ＞
0，解得 x ＜，
故函数的定义域为（﹣∞，）， 故答案为 （﹣∞，）．
12.
已知
，则
__________．
参考答案：
13. 已知
，且
，则
的取值范围是_____________.
参考答案：
14. 若“或
”是假命题，则的取值范围是__________。

（最后结果用
区间表示）
参考答案：
15. 已知，右图给出了一个算法流程图。

若输入
，
，
，则输出的= （填数值）
参考答案：
16. 正方体
的棱长为1，在正方体的表面上与点A 相距的点集为一条曲
线，该曲线的长度是。

参考答案：
17. 一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为则三人中只
y=7.19x+73.93用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是 ； 参考答案：
①身高一定是145.83cm ②身高在145.83cm 以上③身高在145.83cm 以下 ④身高在145.83cm 左右
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A、B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD关于y轴对称？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为，
则有，解得，所以椭圆C的方程为．…………………5分
（Ⅱ）假设存在点满足条件，则．
设，，，联立方程，得，
，，…………………9分
由，得，即，
综上所述，存在点，使直线AD与BD关于y轴对称．…………………12分
19. 半径小于的圆经过点，圆心在直线上，并且与直线相交所得的弦长为．
（）求圆的方程．（）理：已知点，动点到圆的切线长等于到的距离，求的轨迹方程．文：已知点，轴上一点到圆的切线长等于到的距离，求的坐标．
参考答案：
（）（）理：文：
（）∵圆心在直线上，
设圆心，
则圆半径，
∴圆方程为，
∵圆心到直线的距离，
，
又∵圆与直线所交得弦长，
∴，
∴，
代入解出或，
当时，，
符合要求．
当时，，舍去，
∴圆的方程为．
（）理：设点坐标为，
∵动点到圆的切线长等于到点距离，
设切点为．
∴，
，
∵，，，，
，
，
∴，
解出，
即点轨迹为．
文：设，
由题知，到圆的切线长等于到的距离，
设切点为，
，
∴，
∵，，，，
∴，
解出，
∴点坐标为．
20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB的斜率互为相反数．
参考答案：
（1）；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）设出椭圆方程的标准形式，由离心率的值及椭圆过点（4，1）求出待定系数，得到椭圆的标准方程；
（2）把直线方程代入椭圆的方程，由判别式大于0，求出m的范围；
（3）由方程联立可得到两根之和、两根之积，从而可求直线MA，MB斜率之和，化简可得结论．【详解】（1）设椭圆方程为，因为，所以，
又因为，所以，解得，故椭圆方程为．（2）将y=x+m 代入并整理得，
，解得-5<m<5．
（3）设直线MA，MB 的斜率分别为，只要证明，
设，
则，，
，
分子
所以直线MA，MB 的斜率互为相反数．
【点睛】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及韦达定理的应用，体现了等价转化的数学思想．
21. 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．
（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
参考答案：
【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】（1）根据题意做出变量的可能取值是10，5，2，﹣3
，结合变量对应的事件和相互独立事件
略同时发生的概率，写出变量的概率和分布列．
（2）设出生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4﹣n件，根据生产4件甲产品所获得的利
润不少于10万元，列出关于n的不等式，解不等式，根据这个数字属于整数，得到结果，根据独立
重复试验写出概率．
【解答】解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，﹣3，且
P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，
P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=﹣3）=0.2×0.1=0.02．
∴X的分布列为：
4﹣n件．
由题设知4n﹣（4﹣n）≥10，
解得，
又n∈N，得n=3，或n=4．
所求概率为P=C43×0.83×0.2+0.84=0.8192
答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．
22. （12分）已知数列{a n}满足：S n＝1－a n(n∈N*)，其中S n为数列{a n}的前n项和．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足：b n＝(n∈N*)，求{b n}的前n项和公式T n.
参考答案：
解：(1)∵S n＝1－a n，①
∴S n＋1＝1－a n＋1，②
②－①得，a n＋1＝－a n＋1＋a n，∴a n＋1＝a n(n∈N*)，
又n＝1时，a1＝1－a1，∴a1＝.
∴a n＝·n－1＝n，n∈N*.
(2)∵b n＝＝n·2n(n∈N*)，
∴T n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.③
∴2T n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1.④
③－④得，－T n＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1，
整理得，T n＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N*.。