二元多项式环

二元多项式环
李蕊彤
（数学与统计学院 2012级函授数学与应用数学）
摘要 本文讨论了二元多项式的概念、运算及其矩阵表示方式，并由其矩阵表示方式证明了交换环上的二元多项式关于定义的加法、乘法构成了一个含幺交换环，并利用以上结论讨论了二元多项式的一些性质.
关键词 二元多项式， 矩阵， 交换环
一、引言
多项式是代数学中所研究的基本对象之一,它不但与高次方程的讨论有关,而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也都会碰到.但我们以前在初高中阶段对多项式的讨论,主要局限在一元多项式.随着数学的发展，多元多项式的研究也在不断深入.同时随着代数学的发展，群环域的概念应运而生将多项式的研究推向更高的方向.矩阵是高等代数中的一个非常重要的工具，它在数学的各个方面都有很重要的用处.由此,我们利用矩阵这一工具，通过适当的定义，讨论了二元多项式，及二元多项式环，并讨论了二元多项式的一些性质.
在本文中,二元多项式环集中的讨论了二元多项式的加法与乘法，通过矩阵这一工具给二元多项式以新的表达形式，并根据多项式的加法乘法发展出二元多项式矩阵间的针对于多项式的加法与乘法，根据给出的加法和乘法验证了二元多项式可以构成一个环.
二、二元多项式环
1.二元多项式的定义及矩阵表示
定义2.1 设P 是一个交换环,,x y 是两个文字.形式,,,Z m n mn mn a x y a P m n +∈∈称为环P 上的一个单项式，mn a 称为这个单项式的系数.
当0mn a ≠时，称此单项式中各文字的指数之和m n +为这个单项式的次数. 若两个单项式中相同文字的指数对应相等，则称它们为同类项.即单项式m n
mn a x y 和s t st b x y 为同类项当且仅当,m s n t ==.
如果,m n 中一项为0 ，那么m x 或n y 可以不写，约定0n n ax y ay =.因此，1个文字的单项式总可以看成2个文字的单项式.
特别，当0,0m n ==时，我们有00ax y a R =∈.我们还约定，00m n x y R =∈.
一些（有限个）单项式用加号联结起来而得到的一个形式表达式
121112212212,s s k k k k k k s i a x y a x y a x y a R ++
+∈（1）
ij k 是非负整数()1,2,
,;1,2i s j ==，叫做P 上文字,x y 对应的
的一个多项式，或简称P 上一个二元多项式.用符号(,),g(,)f x y x y 等来表示P 上,x y 的多项式.
在一个二元多项式（1）里，组成这个多项式的单项式叫做这个多项式的项.各项的系数也叫做这个多项式的系数.二元多项式中系数不为零的单项式的最高次数称为这个多项式的次数.
设(,)m n mn mn
f x y a x y =∑为一个二元多项式，012(,,,
,)m X x x x x =，
012(,,,
,)n Y y y y y =，则(,)()m n T
m n i j m n mn
f x y a x y X a Y
⨯==∑，其中()ij m n a ⨯为一个m 行n 列的矩阵，其中的元素为二元多项式的每一项的系数，其对应关系为：i j ij a x y 的系数
ij a 处于矩阵的第i 行第j 列.
由上述对应关系可见一个二元多项式总可以和一个矩阵一一对应，因此即可将一
个二元多项式对应的矩阵称为这个多项式的矩阵.
由二元多项式的定义可见，对于一个二元多项式(,)m n mn mn
f x y a x y =∑总可以在其
后添加若干个零，使得(,),max{,n}r r rr r
f x y a x y r m ==∑，其中若m i r ≤≤或n j r ≤≤，
0ij a =.即对于一个二元多项式的矩阵而言，若其行数与列数不相等（非方阵），总可以给其添上若干行或若干列零，使其变为方阵，所得的方阵仍是原二元多项式所对应
的矩阵.以后为了叙述简单起见，我们对所有二元多项式对应的非方阵的矩阵做如上处理，使之成为方阵，以简化推理和叙述.
2． 二元多项式的运算、及其矩阵表达 二元多项式的运算定义如下：
加法：P 上两个二元多项式(,)f x y ，(,)g x y 的和指的是把分别出现在这两个多项式中对应的同类项的系数相加所得到的二元多项式，记作 f + g.即设
(,)m n mn mn
f x y a x y =∑，(,)s t st st
g x y b x y =∑，则(,)g (,)i j ij ij
f x y x y c x y +
=∑，其中i j m n c a b
=+，若,i m s j n t ====. 数乘： P 上一个二元多项式(,)f x y 和P 上一个数的乘积指的是把这个数乘在多项式的每个项的系数上，即设(,)m n mn mn
f x y a x y =∑，b P ∈，则(,)m n mn mn
bf x y ba x y =∑.
乘法：为了定义两个多项式的乘积，先定义两个单项式的乘积.P 上两个二元单项式m n mn a x y 与s t st b x y 的积指的是单项式m s n t mn st a b x y ++.设f 与g 都是P 上,x y 的多项式把f 的每一项与g 的每一项相乘，然后把这些乘积相加（合并同类项）而得到的一个二元多项式叫做f 与g 的积，记作 fg .
即设(,)m n mn mn
f x y a x y =∑，(,)s t st st
g x y b x y =∑，则(,)g(,)i j ij ij
f x y x y c x y ⨯=∑，其中
i j m n s t ij
c a b =⋅∑，
,i m s j n t =+=+.
3.二元多项式环
由于二元多项式可以由矩阵表示，则其运算亦可由矩阵表示，现定义其运算的矩阵表示如下：
定义2.2 设(a ),(b )ij n n ij m m A B ⨯⨯==为两个二元多项式的矩阵，
不妨设m n >，则此两个矩阵对应二元多项式的和所对应的矩阵为
()ij r r
C c A B ⨯==+，其中,0,ij ij
ij ij
a b i j n c b n i j m
+≤⎧=⎨
+<≤⎩.
定义2.3设(),()ij n n st m m A a B b ⨯⨯==为两个二元多项式的矩阵，则此两个矩阵对应二元多项式的积所对应的矩阵为()uv r r C c A B ⨯==*，其中11
uv ij st i s u j t v c a b +=++=+=
∑
且
1m n r +=-.
定义2.4设()ij n n A a ⨯=为一个二元多项式的矩阵，b P ∈,则此矩阵对应的二元多项式与数的数乘所对应的矩阵为()uv r r C c ⨯=，其中uv ij c b a =⋅.
以上定义了二元多项式的运算的矩阵表示形式，下面我们利用这些表示方式探讨这些运算的性质.
定理2.1 二元多项式的加法满足交换律.
证明 由定义2.2可见两者的和中的元素均为P 中数的加法，由P 为一交换环，其上的加法满足交换律，故二元多项式定义的加法满足交换律.
定理2.2 二元多项式的加法满足结合律.
证明 由定义2.2可见两者的和中的元素均为P 中数的加法，由P 为一交换环，其上的加法满足结合律，故定义的加法满足结合律.
定理2.3 二元多项式的乘法满足交换律.
证明 由定义2.3可见两者的积中的元素均为P 中数的乘法，由P 为一交换环，其上的乘法满足结合律，故定义的乘法满足交换律.
定理2.4 二元多项式的乘法满足结合律.
证明 设(),(),()ij n n st m m uv w w A a B b C c ⨯⨯⨯===为三个二元多项式的矩阵，则
*()pq r r A B d ⨯=，其中11
pq ij st i s p j t q d a b +=++=+=
∑
，
(*)*()xy z z A B C e ⨯=，其中1112
1
112
xy uv pq
uv ij st ij st uv u p x u p x i s p i s u x v q y v q y j t q j t v y e c d c a b a b c +=++=++=+++=++=++=++=+++=+⎛⎫ ⎪
=
== ⎪ ⎪⎝⎭∑
∑∑∑; *()pq r r B C f ⨯=，其中11
pq st uv s u p t v q f b c +=++=+=
∑
，
*(*)()xy z z A B C g ⨯=，其中1112
1
112
xy ij pq
ij st uv ij st uv i p x i p x s u p i s u x j q y j q y t v q j t v y g a f a b c a b c +=++=++=+++=++=++=++=+++=+⎛⎫ ⎪
=
== ⎪ ⎪⎝⎭∑
∑∑∑; 由此可见在此乘法下，二元多项式满足结合律.
定理2.5 二元多项式的乘法满足左分配律.
证明 设(),(),()ij n n ij n n uv w w A a B b C c ⨯⨯⨯===为三个二元多项式的矩阵，则
*()()xy z z C A B d ⨯+=，
其中11111
1
1
1
()()xy uv ij ij uv ij uv ij uv ij uv ij u i x u i x u i x u i x v j y v i y v i y v i y d c a b c a c b c a c b +=++=++=++=++=++=++=++=+=
+=
+=
+
∑
∑
∑
∑
，
而11
*(
)uv ij z z u i x v i y C A c a ⨯+=++=+=∑
，11
*(
)uv ij z z u i x v i y C B c b ⨯+=++=+=∑
，
111
1
**(
)uv ij uv ij z z u i x u i x v i y v i y C A C B c a c b ⨯+=++=++=++=++=+
∑
∑
，
故左分配律成立
由于乘法满足交换律，故右分配律也成立.
可见在二元多项式中有如下两个特殊二元多项式：0多项式，即其每项的系数均为零，记为(,)O x y ；幺多项式，即数1，记为(,)I x y .
将P 上文字,x y 二元多项式的全体记作[x,y]P ，可见其关于上述定义的加法、乘法封闭，而且关于加法满足交换律、结合律，关于乘法满足结合律、交换律，乘法对加法有分配律，以0多项式为零元，以幺多项式为幺元，综合以上，我们可以得到：
定理 2.6 P 上文字,x y 二元多项式的全体[x,y]P 关于多项式的加法和多项式的乘法构成一个含幺交换环.
三、二元多项式的性质
1.二元多项式的字典排列法及相关性质
任取二元多项式(x,y)i j ij ij
f a x y =∑中的两个单项式，i j ax y 与m n bx y ，若i m >或
i m =且j n >时，称()ij 先于()mn ，记作()()ij mn >，则在多项式中把i j ax y 写在m n
bx y 前面，此排法为字典排列法.按字典排列法写出来的第一个系数不为零的单项式称为多项式的首项.
定理3.1 当(,)0f x y ≠，(,)0g x y ≠时，(,)f x y 、(,)g x y 的积的首项等于(,)f x y 的首项与(,)g x y 的首项的积.
证明 设(),()ij n n ij m m A a B b ⨯⨯==为(,)f x y 、(,)g x y 这两个二元多项式的矩阵，两个矩阵对应二元多项式的积所对应的矩阵为()uv r r C c ⨯=，由二元多项式的字典排列法可知(,)f x y 的首项对应的系数为nn a ，(,)g x y 的首项对应的系数为mm b ，(,)f x y 、
(x,y)g 的积的首项对应的系数为rr c ，由多项式的乘法可知11
rr ij st i s r j t r c a b +=++=+=
∑
，由
1m n r +=-，可知rr nn mm c a b =⋅，故结论成立
定理 3.2 数环P 上两个不等于零的二元多项式的乘积的次数等于这两个多项式的次数的和.
证明 由多项式乘积的矩阵做法可知.
2.二元多项式与二元多项式函数的关系
定义 3.1 给定数环P 上的一个二元多项式(,)f x y 和P 里的任意两个数,a b ，在
(,)f x y 中，把,x y 用,a b 来代替，就得到数环P 的一个确定的数，称为,x a y b ==时，
二元多项式(,)f x y 的值；可用符号(,)f a b 来表示。

若(,)0f a b =，那么数组(,)a b 叫做
(,)f x y 的一个零点.
定义3.2 设P 是一个含幺的数环，2{(,)|,}P a b a b P =∈，给定数环P 上的一个二元多项式(,)f x y ，定义一个函数2P P →，使得(,)(,)a b f a b →.将此函数称为由多项式(,)f x y 所确定的多项式函数.可见2P 中任意元素(,)a b ，(,)f a b 就是多项式(,)f x y 在,x a y b ==时的值.
有了上述定义，我们就可以讨论多项式函数与多项式之间的关系.
定理3.3 设(,)f x y 是数环P 上一个二元多项式，如果对于任意2(,)a b P ∈，都有
(,)0f a b =，那么(,)0f x y =.
证明 对于一元多项式时，此结论成立.设(,)f x y 是数环P 上一个二元多项式，将含有x 同一次幂的放在一起，将x 的幂提到括号外边，那么(,)f x y 可以写成如下形式：01(,)n n f x y u u x u x =++
+，这里()[]i i u u y P y =∈，任取2(,)a b P ∈，在这每一个
(i 0,1,2,
)i u n =里，以b 代替y ，可得P 上x 的多项式
01()()()()n b n g x u b u b x u b x =++
+.由上可见,
对于任意2(,)a b P ∈，都有(,)0f a b =， 那么取任意2(,)a b P ∈有01()()()()(,)0n b n g a u b u b a u b a f a b =++
+==.
由一元多项式的结论可知()0b g x =，即()0,0,1,2,i u b i n ==.由于b 可以取遍P
中一切元素，可得()0,0,1,2,
i u y i n ==，从而(,)0f x y =.
推论3.4 设P 上两个二元多项式(,)f x y ，(,)g x y ，如果对于任意2(,)a b P ∈都有(,)(,)f a b g a b =，那么(,)(,)f x y g x y =.
证明 令(,)(,)g(,)h x y f x y x y =-,由题设条件，对于任意2(,)a b P ∈，有
(,)(,)(,)0h a b f a b g a b =-=，由上可知(,)0h x y =，即(,)(,)f x y g x y =.
对于二元多项式而言，它的大部分结论都符合n 元多项式的结论，由于其可用矩阵表示这一特殊性，给它带了更丰富的讨论方法和特有结论，但由于本人研究的时间较短，基础知识储备较少，得到的结论较少，还有待继续研究.
参考文献
[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）[M].高等教育出版社,1988.
[2] 刘仲奎等. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社,2003. [3] 张禾瑞，郝铟新. 高等数学[M]. 高等教育出版社,1983. [4] 张禾瑞. 近世代数基础[M] . 北京: 高等教育出版社, 1978. [5] 范崇金. 近世代数基础[M]. 哈尔滨工程大学出版社,2008. [6] 辛林. 近世代数[ M] . 北京:当代中国出版社, 2000. [7] 高绪珏. 近世代数[M]. 沈阳:辽宁人民出版社, 1985.
[8] 吴品三. 近世代数[M] . 北京:高等教育出版社, 1979.。