2014高三数学北师大版一轮总复习课件8-8空间向量的应用(理)109

6．已知A→B＝(2,2,1)，A→C＝(4,5,3)，则平面 ABC 的单位法 向量是________．
[答案] (13，－23，23)或(－13，23，－23)
[解析] 设平面 ABC 的法向量 n＝(x，y,1) 则 n⊥A→B且 n⊥A→C， 即 n·A→B＝0，且 n·A→C＝0，
从而24xx＋＋25yy＋＋13＝＝00，
课堂典例讲练
利用空间向量证明平行问题和垂直问题 [例 1] 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是 C1C、 B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD.
[证明] 解法 1：如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正 方体的棱长为 1，则可求得 M0，1，12，N12，1，1，A1(1,0,1)， B(1,1,0)，
量，显然一个平面的法向量也有 无数个，它们是 共线 向量． (2)在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为
法向量且经过点 A 的平面是 唯一确定的．
2．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中 的应用
直线 l1 的方向向量 u1＝(a1，b1，c1)，直线 l2 的方向向量为 u2 ＝(a2，b2，c2)．
∴M→N⊥n，∴MN∥平面 A1BD.
解法 2：∵M→N＝C→1N－C→1M＝12C→1B1－12C→1C
＝12(D→1A1－D→1D)Fra bibliotek12D→A1，∴M→N∥D→A1，
又∵MN⃘平面 A1BD.∴MN∥平面 A1BD.
[点评] 利用向量处理平行问题的常用方法： 1．证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是 共线向量． 2．用向量证明线面平行的方法主要有：(1)证明直线的方 向向量与平面的法向量垂直；(2)证明可在平面内找到一个向 量与直线的方向向量是共线向量；(3)利用共面向量定理，即 证明直线的方向向量可用平面内不共线的两个向量线性表示． 3．面面平行：(1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向 量)；(2)转化为线面平行、线线平行问题．
＝ 2
22，
即<m，n>＝45°，其补角为 135°，
∴两平面所成的二面角为 45°或 135°.
5．二面角 α－l－β 等于 120°，A、B 是棱 l 上两点，AC、 BD 分别在半平面 α、β 内，AC⊥l，BD⊥l，且 AB＝AC＝BD ＝1，则 CD 的长等于________．
[答案] 2
走向高考·数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第八章 立体几何初步
第八章
第八节 空间向量的应用(理)
高考目标
3 课堂典例讲练
课前自主预习
4 思想方法点拨
5 课后强化作业
高考目标
考纲解读 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与 平面的垂直、平行关系． 2．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定 理(包括三垂线定理)． 3．能用向量方法解决直线与平面、平面与平面的夹角的 计算问题，了解向量方法在研究几何中的作用．
[解析] AB、AD、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直 角坐标系，设 PA＝AB＝BC＝1，则 P(0,0,1)．
(1)∵∠ABC＝60°，△ABC 为正三角形． ∴C(12， 23，0)，E(14， 43，12)． 设 D(0，y,0)，由 AC⊥CD，得A→C·C→D＝0， 即 y＝233，则 D(0，233，0)，∴C→D＝(－12， 63，0)． 又A→E＝(14， 43，12)， ∴A→E·C→D＝－12×14＋ 63× 43＝0， ∴A→E⊥C→D，即 AE⊥CD.
∴cos〈B→C1，A→B1〉＝
→→ BC1·AB1 →→
＝
|BC1||AB1|
53×3＝ 55，故选 A.
4．已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，
则两平面所成的二面角为( )
A．45°
B．135°
C．45°或 135° D．90°
[答案] C
[解析]
cos<m，n>＝|mm|·|nn|＝1×1
[点评] 利用向量处理垂直问题的常用方法： 1．证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直， 即 a⊥b⇔a·b＝0. 2．用向量证明线面垂直的方法主要有：(1)证明直线的方 向向量与平面的法向量平行；(2)利用线面垂直的判定定理转 化为线线垂直问题． 3．面面垂直：(1)证明两个平面的法向量互相垂直；(2) 转化为线面垂直、线线垂直问题．
4．利用空间向量求空间距离 (1)点面距离的求法
已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B
→
到平面 α 的距离为|B→O|＝ |A→B|·cos〈A→B，n〉＝
|AB·n| |n|
.
(2)线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距离的方 法进行求解．
(3)点到直线的距离 设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线，A 是直线 l 外一定点．
设 AA′⊥l，垂足为 A′，则点 A 到直线 l 的距离 d 等于 线段 AA′的长度，而向量P→A在 s 上的投影的大小|P→A·s|等于线 段 PA′的长度，所以根据勾股定理有点 A 到直线 l 的距离 d ＝ |PA―→|2－|PA―→·s|2.
基础自测
1.(教材改编题)若直线 l1、l2 的方向向量 a＝(2,4，－4)，b＝(－
5 A. 5
25 C. 5
[答案] A
5 B. 3
3 D.5
[解析] 本题考查了空间向量与空间角．
设 CB＝1，则 CA＝CC1＝2，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，
B1(0,2,1)，B→C1＝(0,2，－1)，A→B1＝(－2,2,1)，
∵|B→C1|＝ 5，|A→B1|＝3，B→C1·A→B1＝4－1＝3，
(3)二面角 ①二面角的取值范围是 [0，π] ． ②二面角的向量求法： (ⅰ)若 AB、CD 分别是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂直 的异面直线，则二面角的大小就是向量A→B与C→D的夹角(如图①)．
(ⅱ)设 n1，n2 分别是二面角 α—l—β 的两个面 α，β 的法向量， 则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大 小(如图②③)．
考向预测 1．空间向量的数量积及其坐标运算，是高考考查的重点， 多以选择、填空题为主． 2．利用空间向量证明或判断线面平行、垂直问题． 3．利用空间向量求空间角、空间距离是重中之重，多以 解答题形式出现．
课前自主预习
知识梳理 1．平面的法向量 (1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向
(2)A→B＝(1,0,0)，A→E＝(14， 43，12)， 设平面 ABE 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
x＝0， 则14x＋ 43y＋12z＝0，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵P→D＝(0，2 3 3，－1)，显然P→D＝
3 3 n.
∵P→D∥n，∴P→D⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
a·b
则有 cosθ＝ |cosφ| ＝ |a|·|b| .
(2)直线与平面的夹角 ①定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的 投影的夹角． ②范围：直线和平面夹角 θ 的取值范围是 [0，2π] ． ③向量求法：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u， 直线与平面所成的角为 θ，a 与 u 的夹角为 φ，则有 sinθ＝ |cosφ| 或 cosθ＝sinφ.
A．2
B．－4
C．4
D．－2
[答案] C
[解析] ∵α∥β，∴(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)． ∴－2＝λ，k＝－2λ，∴k＝4.
3．(2012·陕西理，5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱 柱 ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线 BC1 与直线 AB1 夹 角的余弦值为( )
已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F、G 分别是 BB1、DD1、DC 的中点，求证：
[解析] 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系[A；A→B， A→C，A→A1]，
令 AB＝AA1＝4， 则 A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)， C(0,4,0)． (1)取 AB 中点 N，则 N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，∴D→E＝ (－2,4,0)， N→C＝(－2,4,0)，∴D→E＝N→C，∴DE∥NC，又 NC 在平面 ABC 内，故 DE∥平面 ABC.
[解析] 如图．∵二面角 α－l－β 等于 120°， ∴C→A与B→D夹角为 60°. 由题设知，C→A⊥A→B，A→B⊥B→D，|A→B|＝|A→C|＝|B→D|＝1， |C→D|2＝|C→A＋A→B＋B→D|2＝|C→A|2＋|A→B|2＋|B→D|2＋2C→A·A→B＋ 2A→B·B→D＋2C→A·B→D＝3＋2×cos60°＝4， ∴|C→D|＝2.
[例 2] 如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．证明：
(1)AE⊥CD； (2)PD⊥平面 ABE. [分析] 点 A 出发的三条线两两互相垂直，可建立空间直 角坐标系，利用向量解决垂直问题．
，即x＝12， y＝－1，
∴n＝(12，－1,1)，
单位法向量为±|nn|＝±(13，－23，23)．
7．如图，已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，△ABC 为等腰 直角三角形，∠BAC＝90°，且 AB＝AA1，D、E、F 分别为 B1A、 C1C、BC 的中点．
(1)求证：DE∥平面 ABC； (2)求证：B1F⊥平面 AEF. [分析] 可用向量法建立空间直角坐标系，用向量的坐标 运算来解决，也可利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定 定理．
如果 l1∥l2，那么 u1∥u2⇔ (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R)
如果 l1⊥l2，那么 u1⊥u2⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
直线 l 的方向向量为 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 n＝ (a2，b2，c2)．
若 l∥α，则 u⊥n⇔u·n＝0⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 若 l⊥α，则 u∥n⇔u＝kn⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)k∈R
(2)B→1F＝(－2,2，－4)， E→F＝(2，－2，－2)，A→F＝(2,2,0)． B→1F·E→F＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， 则B→1F⊥E→F，∴B1F⊥EF， ∵B→1F·A→F＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴B→1F⊥A→F，即 B1F⊥AF. 又∵AF∩FE＝F， ∴B1F⊥平面 AEF.
平面 α1 的法向量为 u1＝(a1，b1，c1)，平面 α2 的法向量为 u2＝(a2， b2，c2)．
若 α1∥α2，则 u1∥u2⇔u1＝ku2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)； 若 α1⊥α2，则 u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
3．利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线的夹角 ①范围：两异面直线夹角 θ 的取值范围是 (0，2π] ． ②向量求法：设直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 φ，
于是M→N＝12，0，12， 设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)． 则 n·D→A1＝0，且 n·D→B＝0， ∴xx＋＋zy＝＝00 ， 取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
又M→N·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，
6,9,6)，则( )
A．l1∥l2
B．l1⊥l2
C．l1 与 l2 相交但不垂直
D．以上均不正确
[答案] B
[解析] ∵a·b＝(2,4，－4)·(－6,9,6)＝－2×6＋4×9－ 4×6＝0，∴a⊥b.
2．设平面 α 的法向量为(1,2，－2)，平面 β 的法向量为(－
2，－4，k)，若 α∥β，则 k＝( )