高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》基础测试题及答案解析

数学《推理与证明》高考知识点
一、选择题
1．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）
A ．30010
B ．40010
C ．50010
D ．60010
【答案】A 【解析】 【分析】
结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】
如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.
故选：A 【点睛】
本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题
2．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（ ） A ．甲 B ．丙
C ．甲与丙
D ．甲与乙
【答案】D 【解析】 【分析】
分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论. 【详解】
若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取， 命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；
若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；
若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立. 综上所述，甲与乙被录取. 故选：D. 【点睛】
本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76
C ．123
D ．199
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现，
347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，
即1010123a b +=, 故选C.
考点：观察和归纳推理能力.
4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，
()()1n n f x f x +'=(n ∈N *
). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）
A ．2cos x -
B ．2sin x -
C ．2cos x
D ．2sin x
【答案】D 【解析】 【分析】
通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得
()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.
【详解】
由题可知：()sin f x x x =
所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-
()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅
所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+
()()4242cos sin k f x k x x x -=--
()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+
由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--
()20212021sin cos f x x x x =+
所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】
本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.
5．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -
C ．()g x
D ．()g x -
【答案】D 【解析】
由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．
6．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：
记n S为每个序列中最后一列数之和，则6S为（）
A．147 B．294 C．882 D．1764【答案】A
【解析】
【分析】
根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S的值.
【详解】
依题意列表如下：
上列乘6上列乘5上列乘2
163060
1
2
31530
1
3
21020
1 43
2
15
2
15
1 56
5
612
1
6
1510
所以6603020151210147
S=+++++=.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.
7．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为
ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）
A ．71
B ．72
C ．20
D ．19
【答案】D 【解析】 【分析】
先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有
()11+2+3++=
2
i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，
即可得解. 【详解】
奇数2019为第1010个奇数，
由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=
2
i i i +⋅⋅⋅个奇数，
则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数， 故2019位于第45行，从右往左第20列， 则45i =，26j =，故19i j -=. 故选：D. 【点睛】
本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.
8．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】A 【解析】 【分析】
可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】
由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，
乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.
9．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币. 【详解】
第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平. 故选：B. 【点睛】
本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.
10．观察下列等式：
12
133+=，781011123333
+++=，161719202223
39333333
+++++=，…，则当n m <且m ，*n N ∈时，31323231
3333
n n m m ++--++++=L （ ） A ．22m n + B ．22m n -
C ．33m n +
D ．33m n -
【答案】B 【解析】
观察可得等式左边首末等距离的两项和相等，即可得出结论. 【详解】
31323231
3333
n n m m ++--++++L 项数为2()m n -， 首末等距离的两项和为
3131
33
n m m n +-+=+， 31323231
3333n n m m ++--++++L 22()()m n m n m n =+⨯-=-，
故选:B. 【点睛】
本题考查合情推理与演绎推理和数列的求和，属于中档题.
11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3
=632
n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应
的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3
C ．（k+1）3
D ．63
(1)(1)2
k k +++
【答案】B 【解析】
分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

详解：当n k = 时，等式左边3123....k =+++
当1n k =+时，等式左边3
3
3
3
3
123....(1)(2)(3)...(1)k k k k k =+++++++++ 所以增加的项为3
3
3
3
(1)(2)(3)...(1)k k k k +++++ 所以选B
点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。

12．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
====
=“穿墙术”，则n =（ ） A ．35 B ．48
C ．63
D ．80
【答案】C 【解析】
n=⨯+=即可.
通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763
【详解】
因为====
==，==
n=.
所以===63
故选：C.
【点睛】
归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
13．桌面上有3枚正面朝上的硬币，如果每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转（）
A．都不可能使3枚全部正面朝上B．可能使其中2枚正面朝上，1枚反面朝上C．都不可能使3枚全部反面朝上D．都不可能使其中1枚正面朝上，2枚反面朝上
【答案】C
【解析】
【分析】
先推理出正确答案，再利用反证法进行证明，对错误选项可举反例说明即可.
【详解】
对A，对两枚硬币连续翻转2次，能使3枚全部正面朝上，故A错误；
对B，如果能1枚反面朝上，则就有可能3枚全部反面朝上，利用C选项的证明，发现此种情况不可能，故B错误；
对C，假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上，都需要翻转奇数次，所以3枚硬币全部反面朝上时，需要翻转(3×奇数)次，即要翻转奇数次,但由于每次用双手同时翻转2枚硬币，3枚硬币被翻转的次数只能是2的倍数，即偶数次，这个矛盾说明假设错误，所以原结论成立.故C正确；
对D，只要翻转一次，就可实现两枚反面朝上，一枚正面朝上，故D错误；
故选：C.
【点睛】
本题考查合情推理和反证法的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题.
14．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来
学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（ ） A ．可能是国画 B ．可能是书法
C ．可能是排球
D ．一定是篮球
【答案】B 【解析】 【分析】
依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案. 【详解】
若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除； 若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足； 若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除； 若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足； 故小刚可能选择的是书法和篮球. 故选：B . 【点睛】
本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.
15．观察下列各式：5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，则20205的末四位数字为（ ） A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125
【答案】C 【解析】 【分析】
根据5
6
7
8
9
53125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ，分析次数与末四位数字的关系，归纳其变化规律求解. 【详解】
因为5
6
7
8
9
53125,515625,578125,5390625,51953125,=====L ， 观察可知415k +的末四位数字3125，
425k +的末四位数字5625， 435k +的末四位数字8125， 445k +的末四位数字0625，
又202045044=⨯+，则20205的末四位数字为0625. 故选：C 【点睛】
本题主要考查数列中的归纳推理，还考查了理解辨析推理的能力，属于中档题.
16．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：
3331373152{3{94{517
11
19
L ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ） A ．8 B ．9
C ．10
D ．11
【答案】B 【解析】
由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，
12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得
2(422)(2)
(1)(2)2
m m m a a m m +---=
=+-
∴2
2(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+
∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数 故选B
17．用数学归纳法证明不等式11112321
n n +
++⋅⋅⋅+<-（2n ≥且*n N ∈）时，在证明从n k =到1n k =+时，左边增加的项数是（ ）
A ．2k
B ．21k -
C ．12k -
D ．k
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意由n k =递推到1n k =+时，由1n k =+时的不等式左边
1111111
1232122121k k k k +=+++⋯++++⋯+-+-与n k =时不等式的左边比较即可求
解.
【详解】
用数学归纳法证明不等式11112321
n n +
++⋅⋅⋅+<-的过程中， 假设n k =时不等式成立，则左边111
12321
k =+++⋅⋅⋅+-， 那么当1n k =+时，左边11111111232122121
k k k k +=+
++⋯++++⋯+-+-， ∴由n k =递推到1n k =+时，不等式左边增加了：
1111
22121
k k k +++⋯++-，
共()
121212k k k +--+=项. 故选：A
【点睛】
本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题.
18．三角形的面积为1()2
S a b c r =
++⋅，其中,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，则利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ） A ．13V abc =
B ．13V Sh =
C ．1()3V ab bc ca h =
++，（h 为四面体的高） D ．()123413
V S S S S r =+++，（1234,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）
【答案】D
【解析】
【分析】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据体积公式得到答案.
【详解】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，将O 与四顶点连起来， 可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和， ∴V 13
=（S 1+S 2+S 3+S 4）r . 故选：D ．
【点睛】
本题考查了类比推理，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
19．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有
大吕大吕太簇数列{}n a 中，k a =（ ）
A ．n -
B ．n -
C ．
D ．【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示.
【详解】
因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，
四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，
所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，
因为11n n a a q -=
，所以=q
所以11=k k a a -⎛ ⎝1
111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n n a a ----
⋅=
故选：C.
【点睛】 本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.
20．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ）
A ．5748b b b b >
B ．7845b b b b >
C ．5748b b b b +<+
D ．7845b b b b ++<
【答案】C
【解析】
【分析】
类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案．
【详解】
在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >，
类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，
因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+- 32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，
所以4857b b b b +>+成立．
故选：C
【点睛】
本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．。