2019_2020学年高中数学第2章函数5简单的幂函数课件北师大版必修1

[提示] 当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增； 当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
2．函数的奇偶性
阅读教材 P49 从“可以看出”～P50“练习”以上的有关内容，完 成下列问题．
(1)图像
奇函数
f(x)的图像
偶函数．
(2)解析式 奇函数 f(－x)＝ －f(x) ．
在同一平面直角坐标系中作出函数 f(x)＝x2 与 g(x)＝x－1 的图像(如 图所示)，由图像可知：
1 2
，y＝x－1在同一平面直角坐标系
中的图像如图所示：
从图中可以观察得到：
y＝ x
y＝x2
y＝ x3
y＝x12
y＝x－1
定义
_R _
_R _
_R_ _[_0_，__＋__∞__)__ (－∞，0)∪(0，＋∞)
域
值域 _R_ _[_0_，__＋__∞_)___ _R_ __[_0_，__＋__∞_)_ _(_－__∞__，__0_)_∪__(0_，__＋___∞_)_
A．y＝x2(x>0)
B．y＝|x－1|
C．y＝1＋1 x2
D．y＝x3
C [令f(x)＝1＋1 x2，则其定义域是R， 又f(－x)＝1＋1－x2＝1＋1 x2＝f(x)， 则f(x)是偶函数．]
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝________.
0 [由f(x)是奇函数，得f(－0)＝－f(0)， ∴2f(0)＝0， ∴f(0)＝0.]
(1)B [令 x＝2，则 22>212>2－12>2－2， 故相应于曲线 C1，C2，C3，C4 的 α 的值依次为 2，12，－12，－ 2.故选 B. (2)设 f(x)＝xα(α 是常数)，则( 2)α＝2，解得 α＝2，所以 f(x)＝x2， 定义域为 R；同理，可得 g(x)＝x－1，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
3．已知y＝(m－1)xm是幂函数，则m＝________. 2 [依题意，m－1＝1，解得m＝2.]
4．设α∈ －1，1，21，3 ，则使函数y＝xα的定义域为R，且为 奇函数的所有α的值为________．
1或3
[当α＝－1，
1 2
时，y＝xα定义域分别为(－∞，0)∪(0，＋
①③ (2)27 [(1)根据幂函数的三个特点只有①③符合， ②④⑤不符合．
(2)设f(x)＝xα， 则2α＝2 2， 所以α＝32， 所以f(x)＝x32.所以f(9)＝932＝33＝27.
幂函数的图像和性质
【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致 图像，已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3， C4的α的值依次为( )
(2)第一步：求函数的定义域，并判断是否关于原点对称； 第二步：若关于原点对称，则求f(－x)，并判断是否恒等于f(x) 或－f(x)； 第三步：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数； 若f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数； 否则，既不是奇函数，也不是偶函数．
1．下列函数中，是偶函数的是( )
∞)，[0，＋∞)不合题意；
当α＝1,3时，y＝xα定义域均为R，且都是奇函数，符合题意，
所以α＝1或3.]
合作探究 攻重难
幂函数的概念
【例1】 已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1是幂函数，且 是偶函数，求f(x)的解析式．
[解] 依题意，有 m2－m－1＝1， 解得m＝2或－1. 当m＝2时，f(x)＝x－1，不是偶函数； 当m＝－1时，f(x)＝x2，是偶函数． 综上，得m＝－1.
第二章 函 数
§5 简单的幂函数
学习目标
核心素养
1.了解幂函数的概念．(重点)
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝ 1.通过幂函数的概念及幂函数的
x3，y＝x－1，y＝x
1 2
的图像，了解
奇偶性的学习，提升数学抽象素 养．
它们的变化情况．(难点、易混 2．结合幂函数的图像研究幂函数
点)
性质的过程，培养直观想像、逻
3．结合具体函数，了解函数奇偶 辑推理素养.
性的含义．(重点)
自主预习 探新知
1．幂函数 阅读教材P49～“例1”结束之间的内容，完成下列问题． (1)幂函数的定义 如果一个函数， 底数 是自变量x， 指数 是常量α，即y＝xα， 这样的函数称为幂函数．
(2)简单的幂函数的图像和性质
函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x
A．－2，－12，12，2 B．2，12，－12，－2 C．－12，－2,2，12 D．2，12，－2，－12
(2)已知点( 2，2)在幂函数f(x)的图像上，点－2，－21在幂函数 g(x)的图像上，当x为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)； ③f(x)<g(x)．
偶函数 f(－x)＝f(x)．
(3)奇偶性 当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有 奇偶性 ．
思考2：(1)若对定义域的任意x都有f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是否 是奇函数？
(2)你认为应怎样判断函数的奇偶性？
[提示] (1)是奇函数．由f(－x)＋f(x)＝0，得f(－x)＝－f(x)．所 以，对定义域内的任意x，点(x，f(x))与点(－x，－f(－x))关于原点对 称，所以，函数f(x)的图像关于原点对称，所以，f(x)是奇函数．
1．形如y＝xα的函数叫幂函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2) 指数为常数，底数为自变量x.
2．求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数 的特征值．
1．(1)下列函数中是幂函数的为________． ①y＝x13；②y＝2x2；③y＝x23；④y＝x2＋x；⑤y＝－x3. (2)若幂函数f(x)的图像经过点(2,2 2)，则f(9)＝________.
在_(_－__∞__，__0_] _
_数___
上是减函数； 在__(0_，__＋__∞__)__
_增__函 数
_增__函数
和_(_0_，__＋__∞_)_ 上均为减函
上是增函数
数
定点
函数图像均过点__(1_,_1_) __
思考1：当x>0时，幂函数y＝xα的单调性与指数又有何关系？