杜集区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

杜集区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设F 1，F 2为椭圆=1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则
的值为
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2． 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）
A.18
B.12
C.9
D.0
【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.
3． 已知集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2﹣3x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4． 已知是虚数单位，若复数22ai
Z i
+=
+在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ） A ．-2 B ．1 C ．2 D ．3 5． 阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ） A ．28 B ．36 C ．45 D ．120 6． 已知函数()cos()3
f x x π
=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =
的图象（ ）
A ．向右平移
2π个单位 B ．向左平移2π
个单位 C. 向右平移23π个单位 D ．左平移23
π
个单位
7． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，
则这两个圆锥的体积之比为（ ） A ．2：1 B ．5：2 C ．1：4 D ．3：1
8． 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为( )
A5 B4 C3
D2
9． 若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+u u u u r u u u r u u u r
，
则当14
x y
+取最小值时，CM CN ⋅=u u u u r u u u r （ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 10．棱台的两底面面积为1S 、2S ，中截面（过各棱中点的面积）面积为0S ，那么（ ） A ．0122S S S =+ B ．012S S S = C ．0122S S S =+ D ．20122S S S =
11．方程x= 所表示的曲线是（ ）
A ．双曲线
B ．椭圆
则几何体的体积为（ ） A.
6
B.
3
C. 1
D.
3意在考查学生空间想象能力和计算能ABCD 的体积的最大值为 ．
m 的最大整数，则函数的值域为 ．
15．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n （k 1，k 2为常数），且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________． 16．已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三内角A B C 、、的对应的三边，若C a A c cos sin -=，则
33sin cos()4
A B π
-+
的取值范围是___________． 【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、
转化思想．
17．在△ABC中，若角A为锐角，且=（2，3），=（3，m），则实数m的取值范围是．
18．已知函数
5
()sin(0)
2
f x x a x
π
=-≤≤的三个零点成等比数列，则
2
log a=.
三、解答题
19．函数f（x）=sin2x+sinxcosx．
（1）求函数f（x）的递增区间；
（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．
20．已知函数f（x）=x3+ax+2．
（Ⅰ）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为定值；
（Ⅱ）若x≥0时，不等式xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x恒成立，求实数m的取值范围．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E为PA的中点，M在PD上．
（I）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）若，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？
（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．
22．【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数()()2
21ln f x ax a x x =+--，R a ∈．
⑴若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线经过点()2,11，求实数a 的值； ⑵若函数()f x 在区间()2,3上单调，求实数a 的取值范围； ⑶设()1
sin 8
g x x =，若对()10,x ∀∈+∞，[]20,πx ∃∈，使得()()122f x g x +≥成立，求整数a 的最小值．
23．证明：f （x ）是周期为4的周期函数；
（2）若f （x ）=
（0＜x ≤1），求x ∈[﹣5，﹣4]时，函数f （x ）的解析式．
18．已知函数f （x ）=是奇函数．
24．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1)cos 2cos a B b A c -=， （Ⅰ）求
tan tan A
B
的值；
（Ⅱ）若a =4
B π
=
，求ABC ∆的面积．
杜集区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：F 1，F 2为椭圆
=1的两个焦点，可得F 1（﹣
，0），F 2（
）．a=2，b=1．
点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，PF 1⊥F 1F 2， |PF 2|=
=，由勾股定理可得：|PF 1|=
=．
==．
故选：C ．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
2． 【答案】A.
【解析】(3)(3)()(6)f x f x f x f x +=-⇔=-，∴()f x 的图象关于直线3x =对称， ∴6个实根的和为3618⋅=，故选A. 3． 【答案】C
【解析】解：集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2﹣3x ＜0，x ∈Z}={1，2}，P ∩Q ≠∅， 可得b 的最小值为：2． 故选：C ．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题．
4． 【答案】A 【解析】 试题分析：
()()()()2224(22)2225ai i ai a a i
i i i +-+++-==
++-，对应点在第四象限，故40220a a +>⎧⎨-<⎩
，A 选项正确. 考点：复数运算． 5． 【答案】C
【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．121123m
n
n n n n m S C m
---+=
⋅⋅⋅⋅=L ，当8,10m n ==时，82
101045m n C C C ===，选C ．
6． 【答案】B
【解析】
试题分析：函数()cos ,3f x x π⎛⎫
=+
∴ ⎪⎝
⎭()5'sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以函数 ()cos 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以将函数函数()y f x =的图象上所有的点向左平移2π个单位长度得到
5cos cos 326y x x πππ⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故选B.
考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换.
7． 【答案】D
【解析】解：设球的半径为R ，圆锥底面的半径为r ，则πr 2=×4πR 2=
，∴r=
．
∴球心到圆锥底面的距离为=．∴圆锥的高分别为和
．
∴两个圆锥的体积比为： =1：3．
故选：D ．
8． 【答案】C
【解析】由已知，得{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为3. 9． 【答案】D 【解析】
试题分析：由题知(1)CB BM CM CB xCA y =-=+-su u r u u u u v u u u u v u u u v u u u v ，BA CA CB =-u u
u v u u u v u u u v ；设BM k BA =u u u u v u u u v ，则,1x k y k =-=-，
可得1x y +=，当
14x y +取最小值时，()141445x y
x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，最小值在4y x x y =时取到，此时21
,33y x ==，将()
1,CN 2CM xCA yCB CA CB =+=+u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 代入，则
()22111233322233x y CM CN xCA yCB CA CB x y +⎛⎫⋅=++⋅=+=+= ⎪⎝⎭
u u u u r u u u r u u u v u u u v u u u v u u u v .故本题答案选D.
考点：1.向量的线性运算；2.基本不等式． 10．【答案】A 【解析】
试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2h 上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：
220()2()a S a h
S a S a h
S '
⎧=⎪+⎪⎨'⎪=+⎪⎩，解得02S S S '=A ．
考点：棱台的结构特征．
11．【答案】C
【解析】解：x=两边平方，可变为3y2﹣x2=1（x≥0），
表示的曲线为双曲线的一部分；
故选C．
【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想．
12．【答案】D
【解析】
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，
设点P到CD的距离为h，
则有V=×2×h××2，
当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，
则四面体ABCD的体积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．
14．【答案】{0，1}．
【解析】解：
=[﹣]+[+]
=[﹣]+[+]，
∵0＜＜1，
∴﹣＜﹣＜，＜+＜，
①当0＜＜时，
0＜﹣＜，＜+＜1，
故y=0；
②当=时，
﹣=0，+=1，
故y=1；
③＜＜1时，
﹣＜﹣＜0，1＜+＜，
故y=﹣1+1=0；
故函数的值域为{0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．
15．【答案】
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（k1＋k2·2n）－（k1＋k2·2n－1）＝k2·2n－1，∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，①
又a2，a3，a4－2成等差数列．∴2a3＝a2＋a4－2，
即8k2＝2k2＋8k2－2.②
由①②联立得k1＝－1，k2＝1，∴a n＝2n－1.
答案：2n－1
16．【答案】
62 (1,)
2
+
【解析】
17．【答案】．
【解析】解：由于角A为锐角，
∴且不共线，
∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．
18．【答案】
1 2 -
考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．
【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）…（2分）
令解得…
f（x）的递增区间为…（6分）
（2）∵，∴…（8分）
∴，∴…（10分）
∴f（x）的值域是…（12分）
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）=x2+a，
即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，
则切线方程为y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1），
令x=0，得y=为定值；
（Ⅱ）解：由xe x+m[f′（x）﹣a]≥m2x对x≥0时恒成立，
得xe x+mx2﹣m2x≥0对x≥0时恒成立，
即e x+mx﹣m2≥0对x≥0时恒成立，
则（e x+mx﹣m2）min≥0，
记g（x）=e x+mx﹣m2，
g′（x）=e x+m，由x≥0，e x≥1，
若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴，
则有﹣1≤m≤1，
若m＜﹣1，则当x∈（0，ln（﹣m））时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
则当x∈（ln（﹣m），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
∴，
∴1﹣ln（﹣m）+m≥0，
令﹣m=t，则t+lnt﹣1≤0（t＞1），
φ（t）=t+lnt﹣1，显然是增函数，
由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，则t＞1即m＜﹣1，不合题意．
综上，实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．
【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．
21．【答案】
【解析】（I）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴AD⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB，
∴AD⊥PB．
（II）解：由（I）可知，AD⊥平面PAB，又E为PA的中点，
当M为PD的中点时，EM∥AD，
∴EM⊥平面PAB，∵EM⊂平面BEM，
∴平面BEM⊥平面PAB．
此时，．
（III）设CD的中点为F，连接BF，FM
由（II）可知，M为PD的中点．
∴FM∥PC．
∵AB∥FD，FD=AB，
∴ABFD为平行四边形．
∴AD∥BF，又∵EM∥AD，
∴EM ∥BF ． ∴B ，E ，M ，F 四点共面．
∴FM ⊂平面BEM ，又PC ⊄平面BEM ，
∴PC ∥平面BEM ．
【点评】本题考查了线面垂直的性质，线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．
22．【答案】⑴2a =⑵11,,64
⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
⑶2
【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数f x （）求导，由导数的几何意义分析可得曲线y f x =（） 在点11f （，（））处的切线方程，代入点
211（，），计算可得答案； （2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（23，）
上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案； （3）由题意得，2min max f x g x +≥（）（）， 分析可得必有()()215
218
f x ax a x lnx +--≥
＝ ，对f x （）求导，对a 分类讨论即可得答案． 试题解析：
⑵()
()()211'ax x f x x
-+=
Q ，
∴若函数()f x 在区间()2,3上单调递增，则210y ax =-≥在()2,3恒成立，
410{
610a a -≥∴-≥，得14
a ≥；
若函数()f x 在区间()2,3上单调递减，则210y ax =-≤在()2,3恒成立，
410{
610a a -≤∴-≤，得1
6
a ≤，
综上，实数a 的取值范围为11,,64
⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
；
⑶由题意得，()()min max 2f x g x +≥，
()max 1
28g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭Q ，
()min 158f x ∴≥，即()()215
21ln 8
f x ax a x x =+--≥，
由()()()()()2
22112111'221ax a x ax x f x ax a x x x
+---+=+--==， 当0a ≤时，()10f <Q ，则不合题意；
当0a >时，由()'0f x =，得1
2x a
=或1x =-（舍去）， 当1
02x a
<<时，()'0f x <，()f x 单调递减， 当1
2x a
>
时，()'0f x >，()f x 单调递增． ()min 115
28f x f a ⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭
，即117ln 428a a --≥，
整理得，()117
ln 2228a a -⋅≥，
设()1ln 2h x x x =-，()2
11
02h x x x ∴=+>'，()h x ∴单调递增，
a Z ∈Q ，2a ∴为偶数，
又Q ()172ln248h =-<，()17
4ln488
h =->，
24a ∴≥，故整数a 的最小值为2。

23．【答案】
【解析】（1）证明：由函数f （x ）的图象关于直线x=1对称， 有f （x+1）=f （1﹣x ），即有f （﹣x ）=f （x+2）．
又函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，有f （﹣x ）=﹣f （x ）．故f （x+2）=﹣f （x ）．
从而f （x+4）=﹣f （x+2）=f （x ）．即f （x ）是周期为4的周期函数．
（2）解：由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，有f （0）=0．x ∈[﹣1，0）时，﹣x ∈（0，1]，
．故x ∈[﹣1，0]时，．x ∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，．
从而，x ∈[﹣5，﹣4]时，函数f （x ）的解析式为．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函
数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．
24．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解： （Ⅰ）由31)cos 2cos a B b A c -=及正弦定理得
(31)sin cos 2sin cos sin sin cos +cos sin A B B A C A B A B -==， （3分）
3cos 3sin cos A B B A =，∴tan 3tan A
B
=6分）
（Ⅱ）tan 33A B ==3
A π
=
，6sin 42sin sin 3
a B
b A π
π=
=
=， （8分） 62
sin sin()C A B +=+=
， （10分） ∴ABC ∆的面积为11621
sin 62(33)222ab C +==（12分）。