人教培优一元二次方程辅导专题训练附答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程

2

(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式221

6

k k k -+-的值．

【答案】0. 【解析】 【分析】

由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】

解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2

则12123940x x x x a a +-⎧⎪

⎨⎪-≥⎩

＝＝＝ ， 由条件，知12

1212

11x x x x x x ++==3， 即

33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，

则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，

Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则221

06

k k k -=+-.

Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则17

8

k ≤

， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使221

6k k k -+-无意义.

综上，代数式221

6

k k k -+-的值为0

【点睛】

本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，

2．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=

，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF

的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，

D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．

（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；

（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：

①∠FCD的最大度数为；

②当FC∥AB时，AD= ；

③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;

④△FCD的面积s的取值范围是 .

【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.

（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.

②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.

③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.

④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.

∵CD=10，∴AD=2.

（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.

∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."

② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，

∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.

∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.

∵AC=12，∴AD=.

③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，

由②知DH=3，FH=，则HC=

.

在Rt △CFH 中，根据勾股定理，得

.

∵以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边， ∴

，即

，解得

.

④设AD=x ，易知，即

. 而，

当

时，

；当时，.

∴△FCD 的面积s 的取值范围是

.

考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.

3．已知关于x 的一元二次方程()2

20x m x m -++=（m 为常数）

（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；

(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】

（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=2

1

m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明：

△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0， 即△＞0，

所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根.

(2)设方程的另一个根为t ，

()220x m x m -++=

根据题意得2+t=2

1

m + ,2t=m ， 解得t=0， 所以m=0，

即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】

本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.

4．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β． （1）求m 的取值范围； （2）若

1

1

1α

β

+

=-，则m 的值为多少？

【答案】（1）1

4

m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】 【分析】

（1）根据△≥0即可求解, （2）化简1

1

α

β

+

,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.

【详解】

解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0， 解得：m≥-

34

； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵1

1

1α

β

+

=-，即

αβ

αβ

+=-1, ∴

2m 3m2

+﹣（）

=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0

解得：m 1=﹣1，m 1=3， 由（1）知m≥-34

， ∴m 1=﹣1应舍去， ∴m 的值为3． 【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.