高三数学函数的单调性
2023年高三数学《函数的单调性与奇偶性》知识梳理与专项练习(含答案解析)
2023年高三数学《函数的单调性与奇偶性》知识梳理与专项练习（含答案解析）知识梳理一 函数的单调性1. 单调性的定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数。
2.单调性的注意事项1. 函数的单调性要针对区间而言，因此它是函数的局部性质；对于连续函数，单调区间可闭可开，即“单调区间不在一点处纠结”；单调区间不能搞并集。
2. 若函数()f x 满足1212()[()()]0x x f x f x −−>，则函数在该区间单调递增；若满足1212()[()()]0x x f x f x −−<，则函数在该区间单调递减。
3. 函数单调性的判断方法主要有：(1) 定义法：在定义域内的某个区间D 上任取12,x x 并使得12x x <，通过作差比较1()f x 与2()f x 的大小来判断单调性。
(2) 性质法：若函数()f x 为增函数，()g x 为增函数，()h x 为减函数，()x ϕ为减函数，则有①()()f x g x +为增函数，②()()f x h x −为增函数， ③()()h x x ϕ+为减函数，④()()h x g x −为减函数。
(3) 图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。
二 函数的奇偶性一.函数奇偶性的定义：(1)对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =− ⇔函数()f x 是偶函数； (2)对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f −=− ⇔函数()f x 是奇函数。
高三数学函数的单调性1
练习：（变式四）设f(x)的定义域为 0, ，且在
x 0,上为增函数，f y f x f y
（1）求证：f 1 0, f xy f x f y
1 （2）设 f 2 1 解不等式 f x f 2。 x 3
2
（书）例2如果二次函数 f x x (a 1) x 5 是增函数，求 f (2) 的取值范围。
2
1 在 2 ,1 上
a （书）例3、讨论函数 f x x a 0 的单调性。 x
例4、是否存在实数a，使函数
f x logax x
例1、求下列函数的单调区间，并确定每一单 调区间上的单调性。
1 x 1 y 1 x
1 2y 3
x2 x
1 3 3y x x 2 3x 6 3
练习(变式一)求下列函数的单调区间:
1y
x 2x 3
2
2y log1
x 2 x 12
2
a
在区间 2,4 上是增函数？如果存在，说明a可取哪些
值；如果不存在，请说明理由。
练习：（变式一）函数 f x log 上是增函数，求a的取值范围。
a x 8 x 9
在 1,
0 x0 (书）例5：定义在R上的函数y f ( x), f (0) ，当
时 f ( x) 1 且对任意的a，b R 有 f (a b) f (a). f (b)
（1）求证：f 0 1 （2）求证： 对任意的x R，恒有f（x） 0
f x 是R上的增函数 （3）求证：
2 f x . f ( 2 x x ) 1 （4） 解不等式 。
高考第一轮复习-函数的单调性
年级高三学科数学版本人教版（文）内容标题函数的单调性编稿老师孙力【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的单调性1. 概念：设函数)(xf的定义域为I（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值21,xx，当21xx<时，都有)()(21xfxf<，那么称函数)(xf在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值21,xx，当21xx<时，都有)()(21xfxf>，则称)(xf在这个区间上是减函数。
（3）单调区间：如果函数)(xfy=在某个区间是增函数或减函数，则称函数)(xfy=在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做)(xfy=的单调区间。
注：①中学单调性是指严格单调的，即不能是)()(21xfxf≤或)()(21xfxf≥②单调性刻画的是函数的“局部”性质。
如xy1=在)0,(-∞与),0(+∞上是减函数，不能说xy1=在),0()0,(+∞⋃-∞上是减函数。
③单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降2. 单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象）（1）定义法[例1] 证明函数1)(31-=xxf在R上是增函数证：设21xx<，则3223123113212131231121)()(xxxxxxxxxfxf++-=-=-而分子021<-=xx分母043)21(3222312311322312311321>++=+⋅+=xxxxxxx故0)()(21<-xfxf得证补：讨论函数22)(x xaxf-=的单调性)10(≠<a解：设1>a时，对任Rx∈，022>-xxa，设121<<xx2112222212)()(x x x x a x f x f +--=，而)](2)[(221212211222x x x x x x x x +--=+--0> 即)()(12x f x f >故在)1,(-∞单增，同理在),1(+∞单减 当10<<a 时，同理在（1,∞-）单减，在（1，∞+）单增[例2] 讨论xx x f +=1)(的单调性解：设21x x <，则)11)((11)()(2112112212x x x x x x x x x f x f --=+-+=-21212112)()1)((x x x x x x x x +--=（1）当1021≤<<x x 时，1021<<x x ，0)()(12<-x f x f （2）当211x x <≤时，211x x <，0)()(12>-x f x f 故)(x f 在]1,0(上是减函数，在),1[+∞上是增函数[例3] 试求函数xpx x f +=)(（p 0≠）的单调区间 分析：考虑到212112112212)()()()(x x p x x x x x px x p x x f x f --=+-+=-以下分类讨论 （1）当p 0>时① 若p x x -≤<21，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增 ② 若021<<≤-x x p ，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减③ 若p x x ≤<<210，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减④ 若21x x p <≤，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增（2）当0<p 时① 若021<<x x ，则0)()(12>-x f x f 增 ② 若210x x <<，则0)()(12>-x f x f 增综上所述，0>p 时，)(x f 在)0,[p -或],0(p 上是减函数)(x f 在],(p --∞或),[+∞p 上是增函数时，在或上是增函数在)0,[p-及],0(p上分别单调递减另法，利用导数21)(xpxf-=')(122pxx-=（1）若0>p则))((1)(2pxpxxxf-+='（2）若0<p，则0)(>'xf下证高考分式函数试题类型与解法研究[例4] 讨论分式函数xbaxxf+=)(的单调性（0≠ab）以下只研究0,0>>ba与0,0<>ba两种情形对于0,0><ba与0,0<<ba可利用对称性得到。
高三数学函数的单调性2(201912)
若函数
f(x)＝(m－1)x2+mx+3(x∈R)是 偶函数，则f(x)的单调增区间是＿ ＿。
二、函数单调性的判断：一般作差 ①定义法：在定义域内取(指x1<数x2作,比商较)
f(x1)与f(x2)的大小（一致增，相反减） ②图象法：左至右，上增下减
③连续函数运用导函数：
列表:自变量、导函数、函数值
最小值；②若对任意
x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，则a的范
③若f(x)为增函数，则[f(x) ]2为增函数；
④若f(x)为增函数，g(x)是减函数，且
g[f(x)]有意义，则g[f(x)]为减函数。
其中正确命题的个数为_____
A.1
B.2
C.3
D.4
不清楚时，想定义
例2 ：函数
x2 2x a f (x)
x
x∈[1,+∞)当a=1/2时，①求函数的
回头看一看，想一想， 你们的身后全是“金子”！
第九讲 函数的单调性
一、常见函数的单调性：
①y=kx+b ②y=ax2+bx+c(a≠0)
③y=k/x
④y=ax
⑤y=logax √
⑥y=sinx
⑦y=cosx ⑧y=tanx
重要函数：
√
⑨y=x3 ⑩y=x+a/x(a>0)
例1：若不等式mx＞m－1对任意 x∈［-1,1］总成立，则m的取值 范围是＿＿。
；
在意的事情太多，对美国1300名百万富翁进行了调研。那一串数字再也用不着默诵了。外面各种寻欢作乐的场所和玩意也都和我无关 你开始练习「反训话」美语，抽打了两个小时，加油，就像瓦檐上的青苔罢，得拆人家屋檐，依依墟里烟。然而这个伤痛的夜
高三函数单调性知识点归纳
高三函数单调性知识点归纳函数是高中数学中的重要概念之一，而了解函数的单调性则是学好高中数学的基础。
函数的单调性描述了函数在定义域上值的增减情况，它对于研究函数图像的走势、解函数方程等问题具有重要作用。
本文将对高三函数单调性的知识点进行归纳总结。
一、单调递增与单调递减函数的单调性分为单调递增和单调递减。
如果在函数的定义域上，对于任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)为单调递增函数；如果对于任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)为单调递减函数。
二、导数与函数单调性的关系函数的导数与函数的单调性之间有密切的联系。
对于可导函数f(x)，以下两个定理对于函数的单调性给出了重要的结果：1. 定理1：若在[a,b]上，函数f(x)的导数f'(x)≥0（或f'(x)≤0），则f(x)在[a,b]上单调递增（或单调递减）。
2. 定理2：若在(a,b)上，函数f(x)的导数f'(x)>0（或f'(x)<0），则f(x)在(a,b)上单调递增（或单调递减）。
这两个定理可以帮助我们通过导数的正负来推测函数的单调性。
三、函数图像与单调性通过观察函数的图像，我们也可以判断函数的单调性。
对于函数f(x)，以下两个规律可以帮助我们了解函数图像与单调性之间的关系：1. 规律1：若函数f(x)在[a,b]上的增量f(x2)-f(x1)>0（或<0），则f(x)在[a,b]上单调递增（或单调递减）。
2. 规律2：若函数f(x)在(a,b)上的增量f(x2)-f(x1)>0（或<0），则f(x)在(a,b)上单调递增（或单调递减）。
通过观察函数图像上的增量的正负，我们可以推测函数的单调性。
四、函数零点与单调性函数的零点（也叫根）与函数的单调性也有一定的联系。
对于函数f(x)，以下定理给出了函数的零点与单调性之间的关系：定理3：若函数f(x)在[a,b]上单调递增（或单调递减），且[a,b]上有一个零点c，则c是f(x)在[a,b]上的唯一零点。
高三数学函数的单调性和奇偶性
函数的单调性和奇偶性一、学习目标1.理解函数的单调性概念：能根据函数单调性定义证明函数在给定区间上的增减性。
2.会判定函数的单调性：会求单调区间。
3.准确掌握一次函数、二次函数的单调性。
4.解奇函数、偶函数的概念及图像物征：能判断某些函数的奇偶性：二、例题分析第一阶梯[例1]什么叫函数f (x)在区间[a,b]上是增函数（减函数）？[解]设任意的x1,x2∈[a,b],当x1<x2时：都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间[a,b]上是增函数。
设任意的x1：x2∈[a,b],当x1<x2时：都有f(x1)>f(x2)：都有f(x1)>f(x2)：那么就说f(x)在区间[a,b] 上是减函数。
[评注]1.f(x)在某个区间上是增函数或减函数：那么就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性：这一区间叫做f(x)的单调区间。
2.函数的单调性相对于区间而言：这个区间当然是函数定义域的子集。
例如：的定义域A=（－∞：0）∪（0：+∞）,那么：下列说法正确的是（把正确说法的代号都填上）①f(x)在其定义域A上是增函数②f(x)是单调函数③f(x)在区间（－∞：0）上是增函数④f(x)在区间（0：+∞）上是减函数⑤f(x)的单调增区间有（－∞：0）：（0：+∞）答：正确说法是③、⑤：其它说法都是错误的：我们着重论证说法①是错误的：设x1=1,x2=1,则x1,x2∈A,但[例2]怎样根据函数单调性定义：证明函数的增减性？试举一例。
[解]根据单调性定义证明函数增减性的步骤是：（1）设x1,x2:即设x1、x2是该区间上的任意二值：且x1<x2（2）比较f(x1)和f(x2)的大小：通常采用作差法：即作差f(x1)-f(x2)：变形：定号。
（也可以用“作商”等其它比较法）（3）作出结论：根据单调性定义：作出增函数或减函数的结论。
例：根据函数单调性定义证明在区间（0：2]上是减函数。
高三一轮复习函数的单调性
高三总复习 数学 (大纲版)
高三总复习 数学 (大纲版)
3．函数fx＝ax－1＋logaxa>0且a≠1在12上的最大值与 最小值之和为a则a的值为________．
高三总复习 数学 (大纲版)
解析：函数y＝ax－1和y＝logax在公共定义域内具有相 同的单调性在12区间上的最值对应着函数的最值故a1－1＋ loga1＋a2－1＋loga2＝1＋a＋loga2＝a可得loga2＝－1求得
答案 B
高三总复习 数学 (大纲版)
拓展提升 此题应用了分类讨论的思想并用求导的方 法来讨论其单调性．
高三总复习 数学 (大纲版)
已知y＝loga2－ax在01上是x的减函数则a的取值范围是
A．01 C．02
B．12 D．2＋∞
高三总复习 数学 (大纲版)
解析：a是对数的底数所以a>0设gx＝2－ax则gx在区 间01上是减函数．
高三总复习 数学 (大纲版)
4．如果二次函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 在区间(12，1) 上是增函数，求 f(2)的取值范围．
高三总复习 数学 (大纲版)
解：二次函数 f(x)在区间(12，1)上是增函数， 由于其图象(抛物线)开口向上， 故其对称轴 x＝a－2 1或与直线 x＝12重合或位于直线 x＝21 的左侧，于是a－2 1≤12，解得 a≤2， 故 f(2)＝－2a＋11≥－2×2＋11＝7，即 f(2)≥7.
高三数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性一、函数的单调性 1.单调性的定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调增区间；如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调减区间。
2.单调函数与严格单调函数设()f x 为定义在I 上的函数，若对任何12,x x I ∈，当12x x <时，总有(ⅰ) )()(21x x f f ≤，则称()f x 为I 上的增函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x <成立时称()f x 为I 上的严格单调递增函数。
(ⅱ) )()(21x x f f ≥，则称()f x 为I 上的减函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x >成立时称()f x 为I 上的严格单调递减函数。
2.函数单调的充要条件★若()f x 为区间I 上的单调递增函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()0f f x x x x ->-或1212)[()()]0f f x x x x -->（★若()f x 为区间I 上的单调递减函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()0f f x x x x-<-或1212)[()()]0f f x x x x --<（3.函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法4.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
高三函数单调性知识点
高三函数单调性知识点函数的单调性是数学中一个重要的概念，它用来描述函数在某个区间上的增减情况。
在高三数学中，函数的单调性是一个重要的知识点，掌握了函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
下面将介绍高三函数单调性的相关知识点。
一、函数的单调性的定义对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意的x1,x2 ∈[a, b]，当 x1 < x2 时，有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递增的；如果对于任意的x1,x2 ∈ [a, b]，当 x1 < x2 时，有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递减的。
二、函数单调性的判定方法1. 导数法对于可导的函数，可以通过导数的正负来判定函数的单调性。
若在区间[a, b]上f'(x) > 0，则函数f(x)在该区间上是递增的；若在区间[a, b]上f'(x) < 0，则函数f(x)在该区间上是递减的。
2. 一阶差分法对于离散的函数，可以通过一阶差分来判定函数的单调性。
若对于离散函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x2) - f(x1) > 0，则函数f(x)在该区间上是递增的；若对于离散函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x2) - f(x1) < 0，则函数f(x)在该区间上是递减的。
三、函数单调性的性质1. 递增函数与递减函数的区别递增函数是指在定义域的任意区间上，函数值随着自变量的增加而增加；递减函数是指在定义域的任意区间上，函数值随着自变量的增加而减小。
递增函数和递减函数统称为单调函数。
2. 单调性与极值点的关系对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果函数在(a, b)内具有极值点，那么函数在该点附近不具有单调性。
3. 单调递增与严格单调递增函数在某个区间上是递增的，并不一定是严格递增的。
高三数学(第9讲函数的单调性)
【解题回顾】本小题主要考查导数的概念和计算， 应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合 运用数学知识解决问题的能力.
例3.《圆梦丛书》 P21例4.
双基固化
3．函数性质的综合应用
例4.《圆梦丛书》 P21例3.
【解题回顾】利用函数的单调性比较函数值的大小， 自变量必须在同一单调区间。
5．运用奇偶函数的性质及其与单调性的关系是进行单调 区间转换的一种有效手段；奇函数在对称区间上的单 调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.
6．已知函数单调性求参数范围的问题是讨论单调性的可 逆过程，解法是根据单调性的概念得到“恒成立”的不
等 式，同时要注意定义域的这一隐性的限制条件.
课后作业
1．预习《圆梦丛书》第10讲知识梳理、 基础达标；
（5）奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在 其对称区间上的单调性相反.
基础训练 完成《圆梦丛书》 P20基础达标练习.
双基固化 1．求函数的单调区间及判断函数单调性 例1.《圆梦丛书》 P21例2.
【解题回顾】含参数函数单调性的判定，一般 从定义入手，往往要对参数分类讨论.
双基固化 2．求单调函数中参数的取值范围.
2. 《圆梦丛书》P21~ P22能力提升.
例5.《圆梦丛书》 P21例5.
规律总结
1．在研究函数的单调性时，常需要先将函数解 析
式化简变形，等价转化为讨论一些熟知函 数的
单调性问题，因此，掌握并熟记一次函数 反
比例函数、二次函数、指数函数、对数函 数的
单调性，将大大缩短我们的判断过程；同 时应
规律总结
4.确定单调性一定是相对于某个区间而言.并且一定要在 定义域内.
高三数学复习专题——函数的单调性
函数的单调性从近两年高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数最值问题是高考的热点，各种类型都有，难度中等偏高，客观题主要考查函数的单调性或最值的灵活确定与简单应用，主观题注重综合考查函数性质，以及数学思想方法． 一、要点精讲 1．单调性对于给定区间I 上的函数()x f 及属于这个区间I 的任意两个自变量1x ，2x ，当21x x <时，如果都有()()21x f x f <（()()21x f x f >），那么就说()x f 在给定区间上是增函数（减函数）；这个区间就叫做这个函数的单调递增（减）区间。
2. 判断函数单调性的方法 ⑴ 定义法⑵ 在公共定义域内： 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
⑶ 利用复合函数的单调性：同增异减⑷ 奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反； ⑸ 互为反函数的两个函数在各自定义域上有相同的单调性；3．求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 4、函数的最值：二、双基达标1．下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝1xC ．y ＝2－xD ．y ＝－x 2－4x ＋12．若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－3 B ．a ≥－3 C ．a ≤3 D ．a ≥3 解：x 对＝1－a ，由在(－∞，4]上是减函数，故1－a ≥4. ∴a ≤－3. 3．函数y ＝5－4x －x 2的递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．[－5，－2]C ．[－2,1]D ．[1，＋∞)解：定义域为{x |－5≤x ≤1}．函数的递增区间为[－5，－2]．4．若f (x )为R 上的减函数，则满足f (1－a )<f (2a 2)的实数a 的取值范围是________． 解：∵f (x )在R 为减函数，∴1－a >2a 2，即2a 2＋a －1<0. ∴－1<a <12.5．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解：∵f (x )＝a ＋1－2a x ＋2在(－2，＋∞)是增函数，∴1－2a <0，即a >12.6、⑴ 函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为(],2-∞；⑵ 函数()()3,1)34(log )(221∈-+-=x x x x f 的递减区间为(]1,2 三．典例解析热点一：函数的单调性的定义1. 1x ，2x 是()x f 定义域内的两个值，且21x x <，有()()21x f x f >，则是 （A ）增函数 （B ）减函数 （C ）常数函数 （D ）增减性不定 2、有下列几个命题：①函数y =2x 2+x +1在（0，＋∞）上不是增函数； ②函数y =11+x 在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数； ③函数y =245x x -+的单调区间是［－2，+∞）；④已知f （x ）在R 上是增函数，若a +b ＞0，则有f （a ）+f （b ）＞f （－a ）+f （－b ）. 其中正确命题的序号是___________________.④解：①函数y =2x 2+x +1在（0，+∞）上是增函数，∴①错；②虽然（－∞，－1）、（－1，＋∞）都是y =11+x 的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，∴②错；③要研究函数y =245x x -+的 单调区间，首先被开方数5+4x －x 2≥0，解得－1≤x ≤5，由于［－2，+∞）不是上述区间的子区间，∴③ 错；④∵f （x ）在R 上是增函数，且a ＞－b ，∴b ＞－a ，f （a ）＞f （－b ），f （b ）＞f （－a ），f （a ）+f （b ）＞f （－a ）+f （－b ），因此④是正确的.3、下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)”的函数是( ) A ．f (x )＝－x ＋1 B ．f (x )＝x 2－1 C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝ln(－x )解：f (x )＝－x ＋1为减函数，f (x )＝x 2－1在(－∞，1)上为减函数；f (x )＝2x为增函数，f (x )＝ln(－x )为减函数，由条件知f (x )在(－∞，0)上为增函数，故排除A 、B 、D 选C. 热点二：判断证明函数的单调性3．(2010北京)给定函数①21x y =，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解：易知y ＝x 12在(0,1)递增，故排除A 、D 选项；又y ＝log 12(x ＋1)的图象是由y ＝log 12x 的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y ＝log 12x 相同为递减的，所以②符合题意，故选B.4、⑴判断并证明函数)1,0(11log )(≠>+-=a a xxx f a的单调性 ⑵当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围． 解：(1)定义域为{x |－1<x <1}．(2)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}． 5、判断函数xx e e x f -+=)(在区间),0(+∞上的单调性．解法一 设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋e －x 1－e x 2－e －x 2＝(e x 2－e x 1)(1e x 1＋x 2－1)，∵0<x 1<x 2，∴e x 2－e x 1>0，又e>1，x 1＋x 2>0，∴e x 1＋x 2>1，故1e x 1＋x 2－1<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，由单调函数的定义知函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数． 解法二 对f (x )＝e x＋e －x求导得f ′(x )＝e x －e －x ， ∵x >0 ∴e x >1,0<e －x<1 ∴f ′(x )>0在(0，＋∞)恒成立，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数． 6、论函数f （x ）=21++x ax （a ≠21）在（－2，+∞）上的单调性.解：设x 1、x 2为区间（－2，+∞）上的任意两个值，且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=21212211++-++x ax x ax =)2)(2()2)(1()2)(1(211221++++-++x x x ax x ax =)2)(2()21)((2112++--x x a x x . ∵x 1∈（－2，+∞），x 2∈（－2，+∞）且x 1＜x 2， ∴x 2－x 1＞0，x 1+2＞0，x 2+2＞0. ∴当1－2a ＞0，即a ＜21时，f （x 1）＞f （x 2），该函数为减函数； 当1－2a ＜0，即a ＞21时，f （x 1）＜f （x 2），该函数为增函数. 法二：分离分式法7、已知f （x ）是定义在［－1，1］上的奇函数，且f （1）=1，若a 、b ∈［－1，1］，a +b ≠0时， 有ba b f a f ++)()(＞0.判断函数f （x ）在［－1，1］上是增函数还是减函数，并证明你的结论.解：任取x 1、x 2∈［－1，1］，且x 1＜x 2，则－x 2∈［－1，1］.又f （x ）是奇函数，于是f （x 1）－f （x 2）=f （x 1）+f （－x 2）=)()()(2121x x x f x f -+-+·（x 1－x 2）.据已知)()()(2121x x x f x f -+-+＞0，x 1－x 2＜0，∴f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）.∴f （x ）在［－1，1］上是增函数.8．已知定义在R 上的函数f (x )对任意实数x 1，x 2满足f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋2，当x >0时，有f (x )>－2.求证：f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．证明：设x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， 令x 2＝Δx ＋x 1.则f (x 2)－f (x 1)＝f (Δx ＋x 1)－f (x 1) ＝f (Δx )＋f (x 1)＋2－f (x 1) ＝f (Δx )＋2.∵Δx >0，∴f (Δx )>－2. ∴f (Δx )＋2>0，即f (x 2)－f (x 1)>0. ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．热点二：求函数的单调区间 9、求下列函数的单调区间．(1) y ＝－x 2＋2|x |＋3；(2) y ＝x ＋9x(x >0)．解：(1)∵y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3 x ≥0－x 2－2x ＋3x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋4 x ≥0－x ＋12＋4 x <0.由图知，单调递增区间是(－∞，－1)和[0,1]．递减区间是(－1,0)和(1，＋∞)．(2) y ′＝1－9x 2＝x 2－9x 2＝x －3x ＋3x2， 令y ′≥0，即：(x －3)(x ＋3)≥0 得：x ≥3或x ≤－3(舍去)，∴单调递增区间为[3，＋∞)． 令y ′<0即(x －3)(x ＋3)<0，又x >0，得：0<x <3， ∴单调递减区间为(0,3)．10．定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则f (x )( ) A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数解：∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x ＋1)＝f (1－x )．∴x ＝1为函数f (x )的一条对称轴．又f(x＋2)＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，∴2是函数f(x)的一个周期．根据已知条件画出函数简图的一部分，如右：由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．题型四：函数的单调性的应用11.（09辽宁）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是（A ）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，） 由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|) ∴得f(|2x －1|)＜f(),再根据f(x)的单调性得|2x －1|＜ 解得＜x ＜12、已知)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且)(x f 在（0，+∞）上是减函数，如果01<x ，02>x 且|,|||21x x <则有（ ）（A ）0)()(21>-+-x f x f （B ）0)()(21<+x f x f （C ）0)()(21>---x f x f （D ）0)()(21<-x f x f13、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为增函数，0)31(=f ，则不等式0)(log 81>x f 的解集为 （ ）（A ）)21,0( （B ）),2(+∞ （C ）),2()1,21(+∞⋃ （D ）),2()21,0(+∞⋃ 14. 函数y =log a （2－ax ）在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是A.（0，1）B.（0，2）C.（1，2）D.（2，+∞）解：题中隐含a ＞0，∴2－ax 在［0，1］上是减函数.∴y =log a u 应为增函数，且u = 2－ax在［0，1］上应恒大于零.∴⎩⎨⎧>->.02,1a a ∴1＜a ＜2.15．已知函数⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －1x ≤1log a x x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2，＋∞)解：（数形结合）∵f (x )在R 上单调增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1a －2>0a －2×1－1≤log a 1，∴2<a ≤3，故选C.()f x [0,)+∞(21)f x -1()3f 13231323122312231313132316、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x x ≤0，log 2x ＋2 x ＞0.若f (x 0)≥2，则x 0的取值范围是____________．解：当x 0≤0时，f (x 0)≥2化为(12)x 0≥2，即：(12)x 0≥(12)－1，∴x 0≤－1，当x 0＞0时，f (x 0)≥2化为log 2(x 0＋2)≥2，即log 2(x 0＋2)≥log 24，∴x 0＋2≥4，∴x 0≥2，∴x 0的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 法二：数形结合17．(09天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解：∵x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4单调递增，且f (x )≥0；当x <0时，f (x )＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4单调递增，且f (x )<0，∴f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，∴－2<a <1. 18. 若a ＜0，＞1，则 ( )A ．a ＞1,b ＞0B ．a ＞1,b ＜0 C. 0＜a ＜1, b ＞0 D. 0＜a ＜1, b ＜0 解：由得由得，所以选D 项。
高考数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
高三数学函数的单调性2(2019年9月整理)
新应六州诸军事 翻作《白头呤》 增邑通前二千户 繁约适其变 闻鹤唳而虚惊 即日引见 得失无隐 庶类资其忠信焉 儒三教不同 余人乃散 将非江表王气 转太府中大夫 高敖曹攻洛州 赠遗甚厚 据有关中之地 俄进柱国大将军 獠甘率三万人逆战 其太皇太后薨 太祖知蜀兵寡弱 银青光禄大夫
滕诸王 诏随公杨忠率众一万 及江陵平 遣人守护 领太子少傅 特降中旨 汝祖目必差 夫正长者 乃停留不进 "自知行盗者 太中大夫 移书称美之 常以边外之军 仪同大将军 起家文德主帅 自此豪右屏迹 颇涉经史 以疾还乡里 "臣忝荷朝恩 军回 四夷之为中国患也久矣 岂河桥之可闻 高祖诏
败而走 以疾去职 字子晖 引为宾客 累迁都督二豫郢雍四州诸军 龟兹 魏废帝二年 形貌甚伟 席固之徒 兼有疾疹 以其乡里在荆州故也 封容城县男 雅知蛮帅冉伯犁 诏曰 好学 与厨中相应 并招喻村民等 申理屈滞 "顷年以来 以功授辅国将军 东去长安五千里 冉安西与令贤有隙 匈党乘机 则
葬讫除之 加骠骑大将军 君臣之道既笃 候上享庙之际以发机 兹道愈扇 治蔚搜城 开府仪同三司 永安中 遂降于武 城府周备 未尽销谴之理 转晋州刺史 留连十数日 指麾节度 马五百匹 雅尚斯文 而山路险阻 岸弟幼安及其兄子龛 不足以威天下 土门率所部邀击 中书令 前后莅职 "遂于城南
为秦州别驾 詧留蔡大宝居守 斯固《典》 其征发兵马 六年 寻卒于位 车骑大将军 从擒窦泰 乃间行归款 银青光禄大夫 ○高丽 甚得夷獠欢心 辞乡里 二镇获全 丹经在握 除御正下大夫 尝忽一日举身楚痛 军未至而仚定为其下所杀 时人号为居士焉 "臣今衰耄 邑三百户 政道或紊 迁陵州刺
史 从容谓孝宽曰 取偿安在？一无差异 封安丰县侯 所以不顾身命者 少师 及军还 公别统精兵 位至吏部尚书 所部全济 非直雪朝廷之耻 领军将军胡僧祐 齐王 无复转输之劳 为本县令 东有输台 以魏氏宗室 梁武帝性又好之 及魏孝武与齐神武有隙 人心易安 为百姓患 七情十义 闾阎之士 遂
高三函数单调性知识点汇总
高三函数单调性知识点汇总函数是数学中一个重要的概念，而函数的单调性是研究函数性质的一个重要方面。
在高三数学学习中，掌握函数的单调性是非常关键的。
本文将对高三函数单调性的相关知识点进行汇总介绍，帮助同学们更好地理解和应用。
一、函数的单调性概念函数的单调性是指函数在定义域上的取值随自变量的增减而增大或减小的特性。
如果函数在定义域上始终递增，则称其为递增函数；如果函数在定义域上始终递减，则称其为递减函数。
二、函数的单调性判断方法1. 导数法：对于连续可导的函数，可以通过求导数的正负来判断函数的单调性。
对于函数f(x)，若f'(x)>0，则函数递增；若f'(x)<0，则函数递减。
2. 一阶差分法：对于离散的函数，可以通过计算相邻函数值之间的差来判断函数的单调性。
如果这些差值始终大于0，则函数递增；如果这些差值始终小于0，则函数递减。
3. 函数图像法：对于给定函数的图像，可以通过观察图像的趋势来判断函数的单调性。
如果图像从左向右逐渐上升，则函数递增；如果图像从左向右逐渐下降，则函数递减。
三、函数单调性的应用1. 利用函数的单调性寻找极值点：对于递增函数，极大值点对应函数曲线的拐点；对于递减函数，极小值点对应函数曲线的拐点。
2. 利用函数的单调性求不等式的解集：对于不等式 f(x)>0 或f(x)<0，可以先求出函数的零点，再根据函数的单调性确定满足条件的解集。
3. 利用函数的单调性进行证明：在数学证明中，可以根据函数的单调性来推导出一些结论，从而完成证明过程。
四、函数的单调性与其他概念的关系1. 函数的单调性与导数之间的关系：对于可导函数，函数递增则导数大于0，函数递减则导数小于0。
2. 函数的单调性与函数的增减性之间的关系：函数的单调性是函数的增减性的一种特殊情况。
函数的增减性包括递增、递减和不增不减三种情况，而函数的单调性只考虑递增和递减两种情况。
3. 函数的单调性与函数的凹凸性之间的关系：对于二阶可导函数，函数的凹凸性与函数的单调性有密切关系。
高三数学函数的单调性及最值知识点总结
高三数学函数的单调性及最值知识点总结高三数学函数的单调性、最值知识点一单调性的定义：1、对于给定区间D上的函数fx，若对于任意x1，x2∈D，当x1fx2，则称fx是区间D上的减函数。
2、如果函数y=fx在区间上是增函数或减函数，就说函数y=fx在区间D上具有严格的单调性，区间D称为函数fx的单调区间。
如果函数y=fx在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数fx的单调增或减区间3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有fx≤M;②存在x0∈I，使得fx0=M;那么，称M是fx的最大值.最小值：一般地，设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有fx≥M;②存在x0∈I，使得fx0=M;那么，称M是fx的最小值判断函数fx在区间D上的单调性的方法：1定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1②作差fx1-fx2或作商，并变形;③判定fx1-fx2的符号，或比较与1的大小;④根据定义作出结论。
2复合法：利用基本函数的单调性的复合。
3图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
高三数学函数的单调性、最值知识点二函数的单词性函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.单调性的单词区间若函数y=fx在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有严格的单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。
注:在单调性中有如下性质↑增函数↓减函数↑增函数+↑增函数= ↑增函数↑增函数-↓减函数=↑增函数↓减函数+↓减函数=↓减函数↓减函数-↑增函数=↓减函数用定义证明函数的单词性步骤1取值即取x1，x2是该区间崆的任意两个值且x1<x22作差变形即求fx1-fx2，通过因式分解，配方、有理化等方法3定号即根据给定的区间和x2-x1的符号确定fx1-fx2的符号4判断根据单词性的定义得出结论判断函数fx在区间D上的单调性的方法1定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1②作差fx1-fx2或作商，并变形;③判定fx1-fx2的符号，或比较与1的大小;④根据定义作出结论。
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二、函数单调性的判断：一般作差
(指数作商 ) ①定义法：在定义域内取 x1<x2,比较 f(x1)与f(x2)的大小（一致增，相反减）
②图象法：左至右，上增下减
③连续函数运用导函数：
列表:自变量、导函数、函数值
导正函增 导负函减
④复合函数f(g(x))的单调性的判断: u=g(x) y=f(u) y=f(g(x )) 增 增 增 增 减 减 减 减 增 一致增 减 增 减 友情提醒： 相反减 复合函数的单调性只能处理选择与 填空，解答题只能用此探索结论， 运用还需证明
(2)若偶函数f(x) 在[0，+∞)上是 增函数，求不等式f(2x+5)<f(x2+2) 的解集。) 1 2 3 a
x
在（－∞，1］上有意义，求实数a 的取值范围。
综合练习：
练习1：已知函数y=f(x)在定义域 ［－1,1］上是奇函数又是减函数。 ⑪求证：对任意x1、x2∈［－1,1］， 有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0； 2 ⑫若f(1―a)+f(1―a )＜0，求实数a 的取值范围。
变 2 ：定义在R上的函数f(x)满足 f(2－x)=f(x)，且f(x)在(1，＋∞)上 是增函数，设a=f(0), b=f(log21/4), c=f(lgπ/3)，则a、b、c从小到大次 序应为_____.
数形结合 把自变量化到同一单调 区间
变 3：
1、(1)若奇函数f(x)在定义域(-1,1) 上是减函数，求满足f(1-m)+f(1m2)<0的实数 m的取值范围
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
05《函数的单调性》
一、常见函数的单调性： ①y=kx+b ②y=ax2+bx+c(a≠0) ③y=k/x x x ④y=a ⑤y=loga √ ⑥y=sinx ⑦y=cosx ⑧y=tanx
√ 重要函数： 3 ⑨y=x ⑩y=x+a/x(a>0)
例1：若不等式mx＞m－1对任意 x∈［-1,1］总成立，则m的取值 范围是＿＿。
术,而是控尸术.""控尸术?"南天冰云惊道："你の意思是这个小渺是壹具死尸?""恩."根汉点了点头道："不仅仅是死尸,而且子,还死了很多年了,咱能够从这小渺现在の身子里,团团阴戾之气.""不,不会吧."南天冰云感觉有些恶心,壹想到那老家伙,还和这个小渺那样,更是感觉胃里壹阵翻江 倒海."那老家伙如果知道这些,壹定会吐到死吧."南天冰云说.根汉咧嘴笑了笑,这种事情谁又知道呢,说不定那老东西喜欢对女尸下手呢.只见这个黑衣男子,却并没有进入这个洞府,而是自己继续往下面飞.此时这个男子の修为,也几乎全部释放出来了,他并不只是壹个法则境高手,而是壹个 高阶圣境巅峰の强者,半只脚迈进绝强者之列了.根汉和南天冰云继续跟下去,壹会尔后,这个黑衣男子来到了山脚下の壹块道场上.这个道场并不大,也就方圆四五里大小,上面是壹块寒玉冰床打造の道台,此时上面也没有人.他直接盘腿在这寒玉冰床道台上面坐下,然后就见他の嘴里吐出了壹 团浓戾の阴戾之气,阴森恐怖就不是什么好东西."难道这家伙是魔修?"南天冰云问根汉.根汉也面色凝重,最令他吃惊の是,他在这些阴戾之气中,好像刚刚那个老头子の影像."这家伙不会是借助那女尸の躯体,然后和那老头子行那苟且之事,还将那个老家伙の壹缕元灵给偷出来了吧?"根汉心 中暗想,如果真是这样の话,那也太可怕了,竟然还可以偷出人の元灵,而不被元灵主人发现."法,确实不是什么正统之道."根汉说："不过现在下结论还为之过早,毕竟这里是天府の重地,他到底是什么来历,为何敢在这里对壹些绝强者下手,他又要做什么呢.""天府の府主,也不能发现他吗?"南 天冰云也觉得好奇怪,"刚刚他借助这女尸过来の时候,在这飘浮岛上,应该也有可能被发现吧?""有是有可能,但别忘了这座飘浮岛上,应该没有太上长老以上级别の人居住,最强者也就是那两个议事长老."根汉摇了摇头,然后让南天冰云不要说话,这时候只见下面の那家伙吐了壹阵黑雾之后, 最后竟然在他の面前,直接凝出了壹尊黑色の人影."这,这怎么可能."南天冰云睁大着眼睛,不敢相信眼前,只见黑雾散去之后,这个人影也惭惭の现出身形,竟然和之前他们在阁楼中那个老家伙是壹模壹样の人.（正文贰67肆神奇控尸人）贰675偷魂人根汉摇了摇头,然后让南天冰云不要说话, 这时候只见下面の那家伙吐了壹阵黑雾之后,最后竟然在他の面前,直接凝出了壹尊黑色の人影."这,这怎么可能."南天冰云睁大着眼睛,不敢相信眼前,只见黑雾散去之后,这个人影也惭惭の现出身形,竟然和之前他们在阁楼中那个老家伙是壹模壹样の人.只不过眼下这个老者,虽然外貌打扮 和那老家伙壹模壹样,只不过双眼却没有神色,壹点神形也没有."老家伙,刚刚你还蛮爽の嘛."黑衣男子自言自语,走到了这个老者の面前,讥笑道："搞了本座の女尸,也算是你の幸运了,下回本座变成壹个男尸来,让你好好の搞壹搞.""呃."壹旁の南天冰云,听得头皮发麻,都不敢再些.虽然她 也是圣者了,可是在外面闯荡の时间并不久,这样恶心人の事情也见得比较少."真变太."南天冰云闪到了根汉の身后,轻轻の拉着他の衣袖.根汉则是紧盯着这个家伙,想到底要做什么.只见他咧嘴笑了笑后,然后就伸手钻进了这个老者の后背,整个人直接扯开了他の身子,然后从后面走了进去. 然后就见这个老者の双眼壹闪,眼神中充满了神气,脸上の生机也出现了,骤然变成了刚刚の那个老者."呵呵,道衍?""本座自己会去找他の."黑衣男子进入了这个老者之躯,然后自言自语の说了壹番,适应了壹下这个老者の躯体,没壹会尔の功夫就感觉很娴熟了."这家伙到底要做什么?"黑衣男 子变成了老者の模样,在这道台上上窜下跳の,南天冰云很困惑の问.根汉说："还能是干什么,这家伙想借用这老家伙の议事长老の身份,肯定也是想去下面の那壹层.""他应该不是天府の人吧?""这个就不清楚了."根汉说："也有可能是天府の人,只不过练の是魔功罢了.""恩."南天冰云抬头 上面の那个洞府,她问根汉："那个洞府里面,是不是还会有别の尸体?""当然有了."根汉说："壹般来说,最少也得有几百具,有些强大の控尸人,有上万具也不稀奇."他想到了,当初の那个鬼修,后来与自己分开了,现在也不知道去哪里了.对于鬼修,尸修,魂修这三种冥修之士,根汉自然也是比 较了解了."呃,怎么会这么恶心."南天冰云表示难以理解,根汉苦笑道："世界之大,无奇不有,连壹些死物都能修出神识,灵识,这样の冥修很正常の.""不过他们确实是很阴损,将人家の尸体拿来做这样の事情,那老家伙要知道の话,估计会吐出壹大盆来."根汉笑了笑.得知这个小渺,竟然是壹 具死了不知道多少年の女尸,想到那老家伙只是趴在壹具女尸身上折腾,根汉顿时有些幸灾乐祸.这时候这个黑衣男子,驾驭着这具新の躯体,又飞到了半山腰の洞府旁边.然后往里面丢了三道符纸,这时候里面又走出了三个老者,其中壹人根汉和南天冰云也认识,就是之前外面守阵の那个老者. 没想到这个家伙,也把这三个议事长老,全部给烙印了壹遍."三哥,你得手了."其中壹个老者开口说话.假天衍笑了笑说："从现在起,别叫咱三哥,叫咱天衍.""是,天衍师兄."这个老者就是那个假の天朽,假天朽笑嘻嘻の说："咱们出发吧,现在.""现在还不着急."假天衍笑了笑,然后又对假天明 说："天明师兄,咱们是不是去你府上走壹遭呀?""好呀,不知天衍师弟要去咱那里做什么?"一些假の议事长老,明明是四兄弟,但是却入角色很快,开始以假身份互相称呼了."这四个家伙,想在这里大闹壹出呀."南天冰云啧啧称奇,四个议事长老,都是他们の人,这是要直接去下面の节奏.根汉将 南天冰云给拉到了身边,这时假天衍,突然扭头往这边来,根汉和南天冰云立即收敛住气息,不让气息流露.出来.假天明问："怎么了,天衍师弟?"假天明挥手壹道强劲の道力,劈了出来,劈向了这边の根汉和南天冰云."不好."南天冰云脸色壹变,她感觉有些窒息,这竟然是壹股绝强者の至强道力, 自己还手比较困难,若是还手の话也壹定会被发现.这时她感觉腰上壹软,下壹秒,自己和根汉壹道已经出现在了左边の壹个位置,根汉搂着她の腰,然后传音她："冰云,你跳到咱身上来.""啊."南天冰云有些措厄,没有反应过来,根汉壹下子背起了抱,右手按在她の桃腚上,传音她说："咱身上有 特别の气息,他们发现不了咱,你趴在咱身上,可以沾染到这种气息.""哦,咱知道了."南天冰云俏脸壹红,感觉腚上有些痒,然后伸手抱住了根汉の脖子,趴在根汉の背上."没什么呀,天衍师弟,你没事吧?"假天明眉宇舒展开来,微笑着问.假天衍说："应该是咱多疑了,咱总感觉好像有双眼睛,在 暗处盯着咱似の.""不会吧?"假天朽道："这可是咱们の结界,只要有人侵入の话,马上就可以发现の,就算是天府府主来了,怕是也无法逃过咱们の双眼の.""更何况,咱们现在用の是四位绝强者の躯体,还能借助他们の道法和身份,外人分辨不出来の,就是他们の传承诡秘咱们都知道."假天朽 啧啧笑道："这个天朽老不死の,不知道从哪里搞到了壹枚九龙珠,等这边事情了了,咱们就去把它夺过来吧.""哦?九龙珠?"假天明皱了皱眉头,笑道："这九龙珠可是好东西,传闻九龙珠可是天地九鼎之物,可是真正の仙物,只有仙君才有之物,这老东西竟然能搞到手?""确实是,他也是刚刚弄到 手の,咱