垂直平分线的证明

填空： 1.已知:如图,AD是 ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则 ABC为 等腰 三角形.
A
1题图
E
B D C
填空：
1.已知:如图,AD是 ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则 ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰 ABC,AB=AC,AD为BC边上的高, E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号)
相等!
B 此时,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB ∴PA=PB
M
P
P/
已知线段AB,有一点P,并且PA=PB.那么, 点P是否一定在AB的垂直平分线上?
这样的点P /不存在
A
B
C
N
已知:
线段AB,且PA=PB
求证: 点P在线段AB的垂直
P
证明:
平分线MN上.
过点P作PC AB垂足为C.
∵ PA=PB(已知)
∴ 1= B 即 CAF= B.
如图,已知: AOB,点M、N. 求作:一点P,使点P到 AOB两边的距离相等,并且满足PM=PN.
A
.N
. .M P
点P为所求
作的点
O
B
∴ ABC=60o(三角形内角和定理) ∵BD平分 A BC(已知)
30o
∴ ABD=30o(角平分线的定义)
∴ A= ABD (等量代换)
D
∴ AD=BD(等角对等边)
30o
∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一 条线段两个端点距离相等的点,在这
条线段的垂直平分线上.)
C
B
证明题: 2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分 CAD. 求证:AD∥BC.
∴ PAB是等腰三角形(等腰三角
形的定义)
A
C
∴AC=BC(等腰三角形底边上 B 的高是底边上的中线)
∴PC是线段AB的垂直平分线. 即点P在线段AB的垂直 平分线MN上.
逆定理
和一条线段两个端 点距离相等的点,在
这条线段的垂直平 分线上.
Fra Baidu bibliotek 小结: 1.线段的垂直平分线上的点,和这条线段两个端点的距离相等.
∴ PCA= PCB(垂直的定义)
M
P
在 PCA和 PCB中,
AC=CB(已知), PCA= PCB(已证)
PC=PC(公共边)
A
C
B ∴ PCA ≌ PCB(SAS)
N ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
M P
A
C
N
当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷?
PCA与 PCB将不存在.
PA与PB还相等吗?
A
E
13cm
B
D
C
5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?
D 3
AD =BD
AC = BC
CF = BF
CE = BE
F CF =DF
即:BF=CF=DF 2
1
A
C
E
B
证明题:1.已知: ABC
中, C=90 , A=30o,BD
平分 ABC交AC于D. 求A证证:D明点:在∵AB的C垂=9直0o平, 分A线=上30.o(已知)
B
N
C
N/
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等)
同理 PB=PC ∴ PA=PB=PC.
问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等. 请你帮助确定校址.
C
P
A
B
点P为校址
作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB
A
B l
P 点P为所求作的点
A
3 21 E
4
B
D
C
F
A
E3 2 1
4
B
DC
F
证明:∵ EF垂直平分AD(已知) ∴ AF=DF(线段垂直平分线的性质定理) ∴ 1+ 2= 4(等边对等角)
又∵ 4= B+ 3(三角形的一个外角等于与
它 不相邻的两个内角的和)
∴ 1+ 2= B+ 3 ∵ AD平分 BAC(已知)
∴ 2= 3(角平分线的定义)
哈五中
问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等. 请你帮助确定校址.
C
A
B
M
P
A
C
B
N
M
A
B
C
Q N
M
.P
A
C
B
.Q
N
定理(线段垂直平分线的性质定理)
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
C 证明: ∵线段CD垂直平分AB(已知)
A
1 2
∴ CA=CB(线段垂直平分线的
性质定理)
∴ 1= 3(等边对等角)
O
3
又∵ AB平分 CAD(已知) B∴ 1= 2(角平分线的定义)
∴ 2= 3(等量代换)
∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)
D
证明题:3.已知:如图,在 ABC中, AB=AC, A=120o AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F. 求证:CF=2BF.
A
E
300
300
B
60O F
CF=2AF AF=BF
30O C
CF=2BF
v线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等.
[和一条线段两个端点距离相等的点,
在这条线段的垂直平分线上. k线段的垂直平分线可以看作是和线
段两个端点距离相等的所有点的集合.
作业: P95 2. 3. 4
证明题:4.已知:如图,AD平分 BAC,EF垂直平分 AD交BC的延长线于F,连结AF. 求证: CAF= B.
2.和一条线段两个端点距离相等的 上.
点,在这条线段的垂直平分线
M
A
B
C
N
M
A
B
C
N
线段的垂直平分线可以看作是
和线段两个端点距离相等 的所有点的集合.
例 已知:如图 ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P.
A
求证:PA=PB=PC.
M
证明: ∵ 点A在线段AB的垂直平分线上(已知)
M/ P
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
已知： 直线MN AB，垂足是C， 且AC=CB.点P在MN上.
M
P
求证： PA=PB
A
C
B
证明:
∵MN AB（已知）
A
A
1题图
E
B D C
2题图
E
B D C
3.已知:如图,AB=AC, A=30o,AB的垂直平分线MN交AC于D,则 1=
,
2=
.
60o
45o
A
30o
M
D
1N
30o
B 2 75o C
填空： 4.已知:如图,在 ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则 ABC 的周长 为 19 cm