垂直平分线的证明
5.6几何证明举例(3)——线段的垂直平分线的性质和判定
A
性质：线段垂直平分线上的 点到线段两端的距离相等。
证明线段垂直平分线的性质
求证：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为M， P 是直线CD上任意一点 ． C 求证：PA =PB． P （1）当点P不与点M重合时 A M B D
如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q、R分别 在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC． 求证：点Q在PR的垂直平分线上．
A
R P B Q C
1.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o , A 2= 45o .
30o
M
D
30o
BB=120º ，AB， AC的垂直平分线分别交BC于点E、F， 则∠EAF等于（ ） A．40º B．50º C．60º D．80º
B
D
E
C
课堂练习
练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ 解：∵ AD⊥BC，BD =DC， A ∴ AD 是BC 的垂直平分线， ∴ AB =AC． ∵ 点C 在AE 的垂直平分线上， ∴ AC =CE． D C ∴ AB =AC =CE．B ∵ AB =CE，BD =DC， ∴ AB +BD =CD +CE． 即 AB +BD =DE ．
当点P不在线段AB上时
P
当点P在线段AB上时
A
C
B
M P
A
N
B
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到一条线段两个端点的 距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上）
线段垂直平分线定理知识总结
线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。
例题、如图所示，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。
分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。
解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线， 所以BE=AE 。
因为△BCE 的周长等于50， 即BE ＋EC ＋BC=50， 所以AE ＋EC ＋BC=50。
又因为AE ＋EC=AC=27， 所以BC=50－27=23。
二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条EDCBA线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。
例题1、如图所示，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。
分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。
证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。
因为PA=PB ， 所以∠A=∠B 。
又因为PC ⊥AB ， 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC ， 所以AC=BC 。
又因为PC ⊥AB ，所以PC 垂直平分线段AB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。
垂直平分线的证明讲解
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址. C
A
B
P A
N
M
C
B
M
A
C
B
N
Q
M P
.
C
A
N
B
.Q
定理(线段垂直平分线的性质定理) 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
证明题: 2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD. 求证:AD∥BC. C 证明: ∵线段CD垂直平分AB(已知) ∴ CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理) ∴ 1= 3(等边对等角) 又 ∵ AB 平分 CAD( 已知 ) 3 1 A B ∴ 1= 2(角平分线的定义) 2 O ∴ 2= 3(等量代换) ∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行) D
A 1题图 B
E
D
C
填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高, E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号) A 1题图 B
A 2题图 C B
E
E
D
D
C
3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o , A 2= 45o .
30o
M
D
30o
B 2
1 75o C
N
填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 19 cm A
《线段垂直平分线的性质》
在几何图形中的应用
确定点与线段的距离
利用线段垂直平分线的性质，可以确定一个点到线段两端 点的距离相等，从而确定点的位置。
三角形中垂线定理
在三角形中，通过三角形顶点向对边作垂直平分线，该垂 直平分线将与对边相交于一点，该点将相对边分为两段相 等的线段，这是三角形中垂线定理。
角的平分线性质
角的平分线上的点到角的两边距离相等，利用这一性质可 以将角平分，从而将几何图形划分为两个相等的部分。
在日常生活中的应用
01
确定物体的对称点
在建筑、艺术和设计等领域中，常常需要找到一个物体的对称点，以实
现物体的平衡和美感。线段垂直平分线的性质可以用来确定这些对称点
。
02
测量距离
在道路、桥梁和建筑物等工程中，需要测量两点之间的距离。通过找到
这两点的垂直平分线，可以确定这两点之间的最短路径，从而得到准确
性质
总结词
如果一个点与线段两端点的距离相等，那么这个点必然位于线段的垂直平分线 上。
详细描述
这是对性质1和性质2的综合应用。如果一个点与线段两端点的距离相等，那么 这个点必然位于线段的垂直平分线上。这一性质在解决几何问题时也非常重要 ，尤其是在处理与中点和对称性相关的问题时。
03
线段垂直平分线的应用
定理
ห้องสมุดไป่ตู้
总结词
该定理描述了线段垂直平分线的性质，即如 果一条直线经过线段两端点，并且与经过中 点的垂直线相交，则这条直线也是该线段的 垂直平分线。
详细描述
在几何学中，这个定理进一步揭示了线段垂 直平分线的性质。如果一条直线同时经过线 段的两端点，并且与经过中点的垂直线相交 ，那么这条直线也是该线段的垂直平分线。 这个定理对于理解线段垂直平分线的性质和 判定方法非常重要。
几何运算与证明线段的平分线及垂直平分线的性质
几何运算与证明线段的平分线及垂直平分线的性质在几何学中，线段是由两个点连接而成的有限长度的直线。
线段的性质在几何运算和证明中起到重要的作用。
本文将探讨线段的两个重要性质：平分线和垂直平分线。
我们将介绍它们的定义、证明方法以及相关的运算。
一、线段的平分线1. 定义平分线是指将线段分成两段长度相等的线段的直线。
设线段AB，平分线为直线CD，若AC = CB，则称CD为线段AB的平分线。
2. 证明方法为证明一条直线是线段的平分线，我们可以使用构造法或作图法。
构造法：设线段AB，通过A、B两点分别作一条与线段AB长度相等的弦，分别交于点C和点D。
连接线段CD，若CD是线段AB的直线，则CD为线段AB的平分线。
作图法：在图纸上绘制线段AB，确定A、B两点。
利用量规或者圆规，以A为圆心，AB为半径画一个弧，然后以B为圆心，BA为半径再画一个弧。
弧交于点C，连接线段AC和BC，若直线CD经过点C且与线段AB相交于一点，则CD为线段AB的平分线。
3. 运算应用线段的平分线在几何运算中有广泛的应用，例如三角形的内切圆、平行四边形的对角线等。
二、线段的垂直平分线1. 定义垂直平分线是指将线段垂直分成两段长度相等的线段的直线。
设线段AB，垂直平分线为直线CD，若AC = CB且∠ACD = ∠BCD = 90°，则称CD为线段AB的垂直平分线。
2. 证明方法证明一条直线是线段的垂直平分线，同样可以使用构造法或作图法。
构造法：设线段AB，通过A、B两点分别作一条与线段AB长度相等的弦，分别交于点C和点D。
连接线段CD，若CD是线段AB的直线且∠ACD = ∠BCD = 90°，则CD为线段AB的垂直平分线。
作图法：在图纸上绘制线段AB，确定A、B两点。
利用量规或者圆规，以A为圆心，AB为半径画一个弧，然后以B为圆心，BA为半径再画一个弧，弧交于点C。
连接线段AC和BC，利用直角尺或者梯形尺证明∠ACD = ∠BCD = 90°，若直线CD经过点C且与线段AB相交于一点，则CD为线段AB的垂直平分线。
三角形三边的垂直平分线交于一点的证明-概述说明以及解释
三角形三边的垂直平分线交于一点的证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面展开：三角形是初中数学中的基本几何概念之一，垂直平分线是与三角形密切相关的重要概念。
本文将探讨三角形三边的垂直平分线交于一点的证明。
首先，我们将介绍垂直平分线的定义和性质。
垂直平分线是指与一条线段垂直且将其分为两个等长部分的线段。
在三角形中，我们将研究三条不同边的垂直平分线是否有可能交于一点。
其次，我们将提到证明的重要性。
证明是数学中的基本方法之一，通过证明可以确立一个定理或结论的正确性。
在证明三角形三边的垂直平分线交于一点的问题时，我们需要运用几何知识和推理能力，从而得到最终的结论。
接着，我们将讨论证明的思路和方法。
通过分析几何问题的特点，我们可以采用不同的方法来证明三角形三边的垂直平分线交于一点。
例如，我们可以利用垂直线的性质和角的平分线的性质来推导证明。
最后，我们将总结本文的研究目的和意义。
通过该证明，我们可以加深对三角形性质的理解，进一步掌握几何推理的方法，提高数学思维和解题能力。
综上所述，本文将详细阐述三角形三边的垂直平分线交于一点的证明，并从定义、性质、证明方法等方面展开讨论，旨在进一步加深对几何概念的理解和运用能力，培养数学思维和解题技巧。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几点：1.2 文章结构本文将按照以下结构来展开证明三角形三边垂直平分线交于一点的观点:1. 引言：在引言部分，我们将对三角形的垂直平分线进行简要的概述，说明其在三角形内部的重要性和应用，并明确本文的目的。
2. 正文：在正文部分，我们将分为两个要点来逐步证明三角形三边的垂直平分线交于一点。
2.1 第一个要点：我们将首先证明垂直平分线可以对三角形的两边进行垂直平分，并通过证明过程阐述这一点的合理性。
我们将利用三角形的几何性质和角度定义来推导证明。
2.2 第二个要点：在第二个要点中，我们将进一步证明垂直平分线可以对三角形的第三边进行垂直平分，并通过推理和几何证明过程来论证这一点。
《线段的垂直平分线》课件
线段垂直平分线是数学竞赛中常用的解题工具之一。在数学竞赛中，常常会遇到一些复杂的几何问题 ，需要利用线段垂直平分线的性质来解决。通过深入理解线段垂直平分线的性质和定理，可以更好地 解决数学竞赛中的几何问题，提高解题效率。
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《线段的垂直平分线》PPT 课件
目录
• 引言 • 线段垂直平分线的性质证明 • 线段垂直平分线的作法 • 线段垂直平分线的应用实例
01
引言
什么是线段的垂直平分线是一条 过线段中点且垂直于线段 所在直线的直线。
性质
垂直平分线上的任意一点 到线段两端点的距离相等 。
详细描述
首先，连接两个给定点并确定中点。 然后，同样使用直角三角板或量角器 ，过中点作与线段垂直的垂线。最后 ，标记垂足，完成作图。
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线
总结词
通过三个给定点作已知线段的垂直平分线的方法较为复杂，需要先确定三个点 的中点，然后过中点作垂线。
详细描述
首先，连接三个给定点并确定其中两个点的中点。然后，使用直角三角板或量 角器，过中点作与线段垂直的垂线。接着，再确定第三个点与前两个点的中点 ，重复上述步骤。最后，标记所有垂足，完成作图。
04
线段垂直平分线的应 用实例
线段垂直平分线在几何图形中的应用
总结词
解决几何图形问题
详细描述
线段的垂直平分线在几何图形中有着广泛的应用。它可以用来解决与线段、三角 形、四边形等有关的几何问题，例如线段的等分、角度的确定等。通过利用线段 垂直平分线的性质，可以简化几何图形的解题过程。
线段垂直平分线在日常生活中的应用
在三角形中，垂直平分 线将三角形分为两个面
积相等的子三角形。
垂直平分线的判定
2.如图，AB=AC,MB=MC上, 求证： 直线AM是线段BC的 垂直平分线上．
A
M
B
C
1． 如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD ＋AD＝BC．求证： 点D在AC的垂直平分线上．
证明：∵ BD＋AD＝BC
∴AD=BC-BD=CD
∴点D在AC的垂直平分 线上(到一条线段两个端 点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上)
C
B
判断
（1）如图，CDAB于D，则AC＝BC。（ ）
C A
D
C
B
A
D
B
（2）如图，AD＝BD，则AC＝BC。（ ）
C
A
D
B
1. 已知线段AB （1）若CA=CB，问：过C点的直线是 不是线段AB的垂直平分线？若不是，请找出 反例.
（2）若CA=CB，DA=DB，问过C和D两点 的直线是不是线段AB的垂直平分线？为什么？
解：∵ED是线段AB的垂直平分线
∴BD=AD
A
∴ △BCD的周长=BD+DC+BC
=AD+DC+BC
B
E
D
12
C
变式：如图，若AC=12，△BCD的周长=25， AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求BC。
=AC+BC =12+7 =19 所以△BCD的周长为19。 7
4.在△ABC中,DE为BC 的垂直平分 线,DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于 点E,EF⊥AB于F点, A
B
C
线段的垂直平分线
一、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 二、判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
初二第6讲垂直角平分线
题型分类： 无星代表普通高中 ★重点高中 ★ ★三大名校1、垂直平分线的定义如图1，直线l ⊥AB 于点D ，且AD ＝BD ，则 . 1) 直线l 叫做线段AB 的_______________。
2) 求证PA ＝PB 。
总结：直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
即： ∵点P 在线段AB 的垂直平分线l 上，∴________＝___________2、线段垂直平分线的判定如图，已知线段BC 外两点A D ，且AB =AC ，BD =CD ， 则直线AD 与线段BC 的关系是_________.总结：线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
表述如下∵________＝___________，∴点P 在线段AB 的垂直平分线l 上。
第五讲 证明（二）垂直平分线角平分线ABlD图1P◆二、角平分线的性质与判定1、如图3，∵ 射线OC 是∠AOB 的平分线，∴ ∠AOC＝∠______1______2=∠。
2、角平分线的性质 如图，已知∠AOB 。
（1）求作∠AOB 的平分线OC 。
（2）在射线OC 上任取一点P ，过点P 分别作PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足为D 、E 。
求证：PD=PE即：角平分线上的点到角两边的距离相等。
3、角平分线的判定如图，DP ⊥AO ，EP ⊥BO ，垂足为D 、E ，且DP=EP求证：点P 在∠AOB 的角平分线上。
证明：总结：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
OA BC图3图例1：如右图，P 是∠AOB 的平分线OM 上任意一点，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥OB 于F ，连结EF .求证：OP 垂直平分EF .例2：如图12，CE⊥AB 于点E ，BD⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且OB ＝OC 。
求证：AO 平分∠BAC .★变式练习2：如图,在△ABC 中，∠C ＝90 ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF 。
三角形 垂直平分线 共点 证明
三角形垂直平分线共点证明
我们需要证明在一个三角形中，三条垂直平分线的交点共线。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C。
我们可以通过垂直平分线将三个角平分为相等的两部分，设垂直平分线分别与边BC、CA、AB交于点D、E、F。
为了证明垂直平分线共点，我们需要找到一个共同的竖直线使得D、E、F都在这条线上。
我们首先考虑两个垂直平分线，例如AD和BE。
由于垂直平分线平分了角BAD和角ABE，所以角DAB和角EBA是相等的。
我们知道，相等的角对应的边是平行的，因此AD和EB是平行的。
同样地，我们可以证明BE和CF是平行的，以及CF和AD是平行的。
因此，AD、BE和CF都是平行的。
根据平行线的性质，我们可以得到以下结论：如果两条直线分别与另外两条平行直线相交，那么这两条直线也相交。
因此，AD、BE和CF三条平行线一定相交于同一点。
因此，我们证明了在一个三角形中，三条垂直平分线的交点共线。
证明垂直平分线的条件
证明垂直平分线的条件
垂直平分线是指一条直线，它既垂直于另一条直线，又将其平分为两段相等的部分。
证明垂直平分线的条件可以通过以下步骤进行：
1. 假设一条直线AB与另一条直线CD相交于点E，且AE=EB，CE=ED。
2. 画出AE的中垂线，交CD于点F。
3. 证明EF垂直于CD。
4. 证明EF平分CD。
证明步骤：
1. 根据题目假设，我们可以得到AE=EB，CE=ED。
2. 画出AE的中垂线，交CD于点F。
3. 证明EF垂直于CD。
根据中垂线的定义，EF是AE的垂直平分线，所以EF与AE垂直，即EF垂直于CD。
4. 证明EF平分CD。
由于AE=EB，CE=ED，且EF垂直于CD，所以EF平分CD，即CF=FD。
综上所述，当一条直线与另一条直线相交于一个点，并且这条直线通过这个点把另一条直线分成两段相等的部分时，这条直线就是另一条直线的垂直平分线。
- 1 -。
推导：证明在平面上,两条相交直线的垂直平分线过它们的交点。
推导：证明在平面上，两条相交直线的垂直平分线过它们的交点。
问题陈述：
在平面上，假设有两条相交的直线AB和CD，我们需要证明它们的垂直平分线EF过它们的交点O。
证明过程：
Step 1: 构造垂直平分线EF
1.1. 连接AC和BD，得到直线AC和BD的交点P。
1.2. 以P为中心，以任意长度为半径作弧，分别与直线AC和BD交于点E和F，得到线段EF。
1.3. 这样，我们构造了直线EF作为直线AB和CD的垂直平分线。
Step 2: 证明EF平分线段AB和CD
2.1. 因为直线EF是以P为中心，且以与直线AC和BD的交点为半径所作的弧交于点E和F，所以EF必然与AB和CD相交。
2.2. 通过AB和CD上任意一点M，分别作线段PM和PN垂直于直线EF。
2.3. 由步骤1.2可知，EF是直线AC和BD的垂直平分线，所以AP和BP在EF上等长，CP和DP在EF上等长。
2.4. 因此，PM和PN分别是线段AB和CD的中垂线。
2.5. 根据中垂线的性质，线段AB和CD在直线EF上被平分。
结论：
通过以上证明过程，我们可以得出结论：在平面上，两条相交直线的垂直平分线必然过它们的交点。
即，垂直平分线EF是直线AB和CD的公共垂线，过它们的交点O。
直角三角形三边上的垂直平分线交于斜边上一点
C 证明直角三角形三边上的垂直平分线交于斜边上一点在上线段的垂直平分线时，老师说直角三角形三边上的垂直平分线交于斜边上一点，但未作证明，现在我来证明一下这个结论。
首先，因为证明的是一小段文字，所以先将文字化为已知、求、解、答，并画图。
如图：RT △ABC 中,∠ABC=90°求证：AB 、AC 、BC 上的垂直平分线交于AC 上一点证明：①作DE 垂直平分AB ；②过E 作EF ⊥BC,垂足为E ；③连接BE.∵DE 垂直平分AB∴AD=BD,∠ADE=∠BDE=90°在△ADE 和△BDE 中∵ AD=BD∠ADE=∠BDEDE=DE∴△ADE ≌△BDE(SAS)∵∠ADE=∠ABF=∠EFC=90°∴AB ∥EF,DE ∥BC∴∠DBE=∠FEB, ∠DEB=∠FBE在△DBE 和△FEB 中∵ ∠DBE=∠FEBBE=EB∠DEB=∠FBE∴△DBE≌△FEB(ASA)∴DB=FE∴AD=EF∵∠DAE=∠FEC在△DAE和△FEC中∵∠DAE=∠FECAD=EF∠ADE=∠EFC∴△DAE≌△FEC(ASA)∴△ADE≌△BDE≌△EFB≌△EFC∴BF=CF,CE=EA∴DE垂直平分AB,EF垂直平分BC,AC的垂直平分线也必过中点E 即：AB、AC、BC上的垂直平分线交于AC上一点小结：本次我通过证明四个三角形全等证明了直角三角形三边上的垂直平分线交于斜边上一点，通过这个证明还可得出直角三角形斜边上的中线是斜边的一半。
希望大家能够掌握。
（注意辅助线的添加）贾小艺。
垂直平分线与角平分线的有关证明问题
课题垂直平分线、角平分线的有关证明问题教学过程一、主要知识点1、线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
2、角平分线。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
二、重点例题分析例 1：在△ ABC 中， AB 的中垂线 DE 交 AC 于 F，垂足为 D，若 AC=6 ， BC=4 ，求△ BCF 的周长。
（垂直平分线的性质）ECFA D B例 3：如图所示， AC=AD ， BC=BD ， AB 与 CD 相交于点 E。
求证：直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线。
（用定义去证）AC DEB例 4：如图所示，在△ ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D、F 分别为 AB 、AC 的中点，DE AB，FGAC ，E、 G 在 BC 上， BC=15cm ，求 EG 的长度。
（连AE ，AG ）AD FB E G C例 5:：如图所示， Rt△ ABC 中，， D 是 AB 上一点， BD=BC ，过 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E， CD 交 BE 于点 F。
求证： BE 垂直平分 CD 。
（证全等）CEFA D B例 6:：在⊿ ABC 中，点 O 是 AC 边上一动点，过点O 作直线 M N∥BC ，与∠ACB的角平分线交于点E，与∠ ACB的外角平分线交于点F，求证： OE=OFA（角平分线性质、平行线间高处处一样）OM E F N12B C例 7、如图所示， AB>AC ， A 的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE AB 于E，DFAC于F ，求证： BE=CF 。
（角平分线与垂直平分线的性质的综合应用）AEB M CFD相应练习A1、如图，在△ ABC 中， AB=AC=BC ，AE= CD ， AD 、BE 相交于点 P， B Q⊥ AD于 Q。
线段的垂直平分线的几何语言
线段的垂直平分线的几何语言线段的垂直平分线是指将一条线段分成两段相等的线段的线。
在几何学中，垂直平分线是一个重要的概念，它具有许多有趣的性质和应用。
本文将从几何的角度来探讨线段的垂直平分线，并介绍一些相关的概念和定理。
我们来定义一下什么是线段的垂直平分线。
给定一条线段AB，它的垂直平分线是指与线段AB垂直相交，并将线段AB分成两段相等的线段CD和DE的线。
在图形上，垂直平分线通常被表示为一条垂直于线段AB的线，并且与线段AB的中点重合。
线段的垂直平分线具有以下性质：1. 垂直性：垂直平分线与线段AB垂直相交，即它们的交点与线段AB的两个端点A和B构成直角。
2. 平分性：垂直平分线将线段AB分成两段相等的线段CD和DE，即AC=CB和DE=EA。
3. 对称性：线段AB关于垂直平分线具有对称性，即线段AC和线段BC的长度相等，线段AD和线段BE的长度相等。
垂直平分线的性质可以用于解决一些有趣的几何问题。
下面我们来介绍一些应用。
1. 构造线段的垂直平分线：给定一条线段AB，我们可以通过以下步骤来构造它的垂直平分线：a. 以A和B为圆心，以AB的长度为半径，画两个圆，分别与线段AB相交于点C和点D。
b. 连接点C和点D，得到的直线CD就是线段AB的垂直平分线。
2. 证明线段的垂直平分线存在唯一性：线段的垂直平分线存在且唯一的证明可以通过反证法来进行。
假设存在两条不同的垂直平分线，分别为l1和l2，并且它们不重合。
那么l1和l2必然相交于某个点O，且点O不在线段AB上。
由于l1和l2都是垂直平分线，所以它们分别将线段AB平分为两段相等的线段。
但是根据平行线的性质，这意味着l1和l2分别与线段AB平行，与l1和l2相交于点O构成的直线不可能与线段AB相交，与假设矛盾。
因此，线段的垂直平分线存在且唯一。
3. 利用垂直平分线证明三角形的性质：垂直平分线还可以用于证明三角形的一些性质。
例如，利用垂直平分线可以证明三角形的三个角相等、三边相等等性质。
与圆有关的垂直平分线问题
与圆有关的垂直平分线问题
与圆有关的垂直平分线问题如下：
1.证明圆上任意一点与圆心之间的连线段被垂直平分线平分：
这个问题可以通过圆的性质和几何定理证明。
根据圆的性质，圆上任意一点与圆心之间的连线段长度相等。
而根据几何定理，垂直平分线通过圆心，并且垂直于这条连线段。
因此，垂直平分线平分了这条连线段。
2.找出圆上两点之间的最短距离：
这个问题可以通过找到这两点在垂直平分线上的投影，然后计算投影之间的距离来解决。
垂直平分线将圆分成两个相等的部分，因此，两点在垂直平分线上的投影之间的距离是最短距离。
3.证明圆心在垂直平分线上的三点共线：
这个问题可以通过使用圆的性质和几何定理证明。
根据圆的性质，圆心在垂直平分线上的三点共线。
如果这三点不共线，那么它们就不会都在垂直平分线上。
因此，只有当它们共线时，它们才会都在垂直平分线上。
以上是与圆有关的垂直平分线问题的一些常见形式和解决方法。
在解决这些问题时，需要充分运用圆的性质和几何定理，以及相关的数学知识和技巧。
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填空： 1.已知:如图,AD是 ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则 ABC为 等腰 三角形.
A
1题图
E
B D C
填空：
1.已知:如图,AD是 ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则 ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰 ABC,AB=AC,AD为BC边上的高, E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号)
相等!
B 此时,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB ∴PA=PB
M
P
P/
已知线段AB,有一点P,并且PA=PB.那么, 点P是否一定在AB的垂直平分线上?
这样的点P /不存在
A
B
C
N
已知:
线段AB,且PA=PB
求证: 点P在线段AB的垂直
P
证明:
平分线MN上.
过点P作PC AB垂足为C.
∵ PA=PB(已知)
A
E
13cm
B
D
C
5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?
D 3
AD =BD
AC = BC
CF = BF
CE = BE
F CF =DF
即:BF=CF=DF 2
1
A
C
E
B
证明题:1.已知: ABC
中, C=90 , A=30o,BD
平分 ABC交AC于D. 求A证证:D明点:在∵AB的C垂=9直0o平, 分A线=上30.o(已知)
A
3 21 E
4
B
D
C
F
A
E3 2 1
4
B
DC
F
证明:∵ EF垂直平分AD(已知) ∴ AF=DF(线段垂直平分线的性质定理) ∴ 1+ 2= 4(等边对等角)
又∵ 4= B+ 3(三角形的一个外角等于与
它 不相邻的两个内角的和)
∴ 1+ 2= B+ 3 ∵ AD平分 BAC(已知)
∴ 2= 3(角平分线的定义)
A
A
1题图
E
B D C
2题图
E
B D C
3.已知:如图,AB=AC, A=30o,AB的垂直平分线MN交AC于D,则 1=
,
2=
.
60o
45o
A
30o
M
D
1N
30o
B 2 75o C
填空： 4.已知:如图,在 ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则 ABC 的周长 为 19 cm
∴ 1= B 即 CAF= B.
如图,已知: AOB,点M、N. 求作:一点P,使点P到 AOB两边的距离相等,并且满足PM=PN.
A
.N. .M P点P Nhomakorabea所求作的点
O
B
C 证明: ∵线段CD垂直平分AB(已知)
A
1 2
∴ CA=CB(线段垂直平分线的
性质定理)
∴ 1= 3(等边对等角)
O
3
又∵ AB平分 CAD(已知) B∴ 1= 2(角平分线的定义)
∴ 2= 3(等量代换)
∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)
D
证明题:3.已知:如图,在 ABC中, AB=AC, A=120o AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F. 求证:CF=2BF.
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
已知： 直线MN AB，垂足是C， 且AC=CB.点P在MN上.
M
P
求证： PA=PB
A
C
B
证明:
∵MN AB（已知）
B
N
C
N/
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等)
同理 PB=PC ∴ PA=PB=PC.
问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等. 请你帮助确定校址.
C
P
A
B
点P为校址
作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB
A
B l
P 点P为所求作的点
2.和一条线段两个端点距离相等的 上.
点,在这条线段的垂直平分线
M
A
B
C
N
M
A
B
C
N
线段的垂直平分线可以看作是
和线段两个端点距离相等 的所有点的集合.
例 已知:如图 ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P.
A
求证:PA=PB=PC.
M
证明: ∵ 点A在线段AB的垂直平分线上(已知)
M/ P
∴ PCA= PCB(垂直的定义)
M
P
在 PCA和 PCB中,
AC=CB(已知), PCA= PCB(已证)
PC=PC(公共边)
A
C
B ∴ PCA ≌ PCB(SAS)
N ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
M P
A
C
N
当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷?
PCA与 PCB将不存在.
PA与PB还相等吗?
哈五中
问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等. 请你帮助确定校址.
C
A
B
M
P
A
C
B
N
M
A
B
C
Q N
M
.P
A
C
B
.Q
N
定理(线段垂直平分线的性质定理)
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理
线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
∴ ABC=60o(三角形内角和定理) ∵BD平分 A BC(已知)
30o
∴ ABD=30o(角平分线的定义)
∴ A= ABD (等量代换)
D
∴ AD=BD(等角对等边)
30o
∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一 条线段两个端点距离相等的点,在这
条线段的垂直平分线上.)
C
B
证明题: 2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分 CAD. 求证:AD∥BC.
∴ PAB是等腰三角形(等腰三角
形的定义)
A
C
∴AC=BC(等腰三角形底边上 B 的高是底边上的中线)
∴PC是线段AB的垂直平分线. 即点P在线段AB的垂直 平分线MN上.
逆定理
和一条线段两个端 点距离相等的点,在
这条线段的垂直平 分线上.
小结: 1.线段的垂直平分线上的点,和这条线段两个端点的距离相等.
A
E
300
300
B
60O F
CF=2AF AF=BF
30O C
CF=2BF
v线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等.
[和一条线段两个端点距离相等的点,
在这条线段的垂直平分线上. k线段的垂直平分线可以看作是和线
段两个端点距离相等的所有点的集合.
作业: P95 2. 3. 4
证明题:4.已知:如图,AD平分 BAC,EF垂直平分 AD交BC的延长线于F,连结AF. 求证: CAF= B.