高三数学(文科)试题分类直线和圆

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2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练

2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α．故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值. 【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35ak a k CB AB +=-=∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y = 【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x ym m+=，代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+nym x 中要求m ，n 均非零。

故做题时应考虑此情形【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。

不要漏解。

题型三直线位置关系的判断例1 直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直，则实数k 的值是（）A. 2-或1-B. 2或1-C. 2-或1D. 2或1 【答案】D【解析】根据直线垂直的充要条件得到： ()()()3*22*20k k k k -+-+= 化简为23201k k k -+=⇒= 或2 故选择D【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。

2021年高考数学分项汇编专题08 直线与圆(含解析)文

2021年高考数学分项汇编专题08 直线与圆（含解析）文
一．基础题组
1. 【xx全国3，文2】已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（）
A．0 B．－8 C．2 D．10
【答案】B
2. 【xx全国新课标，文13】圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．
【答案】：x2＋y2＝2
3.
4. 【xx全国2，文14】圆心为且与直线相切的圆的方程为_____________________．
【答案】
二．能
力题组
1. 【xx全国2，文21】（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：相切
（1）求圆O的方程
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求
的取值范围。

三．拔高题组
1. 【xx全国2，文12】设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
【解析】依题意，直线MN与圆有公共点即可，即圆心到直线MN的距离小于等于1即可，过作MN，垂足为A，在中，因为，故，所以，则，解得．
x y
A 11O
M N
2. 【xx 全国2，文15】过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率
【答案】
【解析】
f35250 89B2 覲25342 62FE 拾I32124 7D7C 絼33464 82B8 芸30169 75D9 痙39715 9B23 鬣 29445 7305 猅o20877
518D 再29892 74C4 瓄I。

(整理版)高考试题解析数学(文科)分项之专题09直线与圆学生

高考试题解析数学〔文科〕分项版之专题09 直线与圆--学生版一、选择题:1.(高考山东卷文科9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为〔〕(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离5. (高考湖北卷文科5)过点P 〔1,1〕的直线，将圆形区域{〔x ，y 〕|x 2+y 2≤4}分两局部，使得这两局部的面积之差最大，那么该直线的方程为( ) A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=06.〔高考安徽卷文科9〕假设直线10x y -+=与圆2)(22=+-y a x 有公共点，那么实数a 取值范围是〔〕〔A 〕[3,1]-- 〔B 〕[1,3]- 〔C 〕[3,1]- 〔D 〕(3][1,)-∞-+∞9. (高考陕西卷文科6)圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，那么〔〕 A l 与C 相交 B l 与C 相切 C l 与C 相离 D. 以上三个选项均有可能二、填空题:10．(高考北京卷文科9)直线x y =被圆4)2(22=-+y x 截得弦长为__________。

13. 〔高考江苏卷12〕在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，假设直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，那么k 的最大值是．14. (高考江西卷文科14)过直线x+y-=0上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，假设两条切线的夹角是60°，那么点P 的坐标是__________。

15．(高考上海卷文科4)假设是直线的一个方向向量，那么的倾斜角的大小为〔结果用反三角函数值表示〕.三、解答题:。

2023年全国各地高考数学真题+详解分类汇编【第10章直线和圆合集】高清解析版

第１０章直线和圆1(2023•乙卷)已知实数x ，y 满足x 2+y 2-4x -2y -4=0，则x -y 的最大值是()A.1+322 B.4 C.1+32 D.7【解析】：根据题意，x 2+y 2-4x -2y -4=0，即(x -2)2+(y -1)2=9，其几何意义是以(2，1)为圆心，半径为3的圆，设z =x -y ，变形可得x -y -z =0，其几何意义为直线x -y -z =0，直线y =x -z 与圆(x -2)2+(y -1)2=9有公共点，则有|2-1-z |1+1≤3，解可得1-32≤z ≤1+32，故x -y 的最大值为1+32．故选：C ．2(2023•乙卷)已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO |=2，则PA •PD 的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2【解析】：如图，设∠OPC =α，则-π4≤α≤π4，根据题意可得：∠APO =45°，∴PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |⋅cos α+π4=1×2cos αcos α+π4=cos 2α-sin αcos α=1+cos2α-sin2α2=12+22cos 2α+π4 ，又-π4≤α≤π4，∴当2α+π4=0，α=-π8，cos 2α+π4 =1时，PA ⋅PD 取得最大值12+22．故选：A ．3(2023•新高考Ⅰ)过点(0，-2)与圆x 2+y 2-4x -1=0相切的两条直线的夹角为α，则sin α=()A.1 B.154 C.104 D.64【解析】：圆x 2+y 2-4x -1=0可化为(x -2)2+y 2=5，则圆心C (2，0)，半径为r =5；设P (0，-2)，切线为PA 、PB ，则PC =22+22=22，△PAC 中，sin α2=522，所以cos α2=1-58=322，所以sin α=2sin α2cos α2=2×522×322=154．故选：B ．4(2023•全国)O 为原点，P 在圆C (x -2)2+(y -1)2=1上，OP 与圆C 相切，则|OP |=()A.2B.23C.13D.14【解析】：O 为原点，P 在圆C (x -2)2+(y -1)2=1上，OP 与圆C 相切，则|OP |=|OC |2-|PC |2=5-1=2．故选：A ．5(2023•天津)过原点的一条直线与圆C ：(x +2)2+y 2=3相切，交曲线y 2=2px (p >0)于点P ，若|OP |=8，则p 的值为．【解析】：如图，由题意，不妨设直线方程为y =kx (k >0)，即kx -y =0，由圆C ：(x +2)2+y 2=3的圆心C (-2，0)到kx -y =0的距离为3，得|-2k |k 2+1=3，解得k =3(k >0)，则直线方程为y =3x ，联立y=3xy2=2px，得x=0y=0或x=2p3y=23p3，即P2p3，23p3．可得|OP|=2p32+23p32=8，解得p=6．故答案为：6．6(2023•上海)已知圆x2+y2-4x-m=0的面积为π，则m=．【解析】：圆x2+y2-4x-m=0化为标准方程为：(x-2)2+y2=4+m，∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，∴4+m=1，∴m=-3．故答案为：-3．7(2023•新高考Ⅱ)已知直线x-my+1=0与⊙C：(x-1)2+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值．【解析】：由圆C：(x-1)2+y2=4，可得圆心坐标为C(1，0)，半径为r=2，因为△ABC的面积为85，可得S△ABC=12×2×2×sin∠ACB=85，解得sin∠ACB=45，设12∠ACB=θ所以∴2sinθcosθ=45，可得2sinθcosθsin2θ+cos2θ=45，∴2tanθtan2θ+1=45，∴tanθ=12或tanθ=2，∴cosθ=25或cosθ=15，∴圆心眼到直线x-my+1=0的距离d=45或25，∴21+m2=45或21+m2=25，解得m=±12或m=±2．故答案为：2(或-2或12或-12)．8(2023•上海)已知圆C的一般方程为x2+2x+y2=0，则圆C的半径为．【解析】：根据圆C的一般方程为x2+2x+y2=0，可得圆C的标准方程为(x+1)2+y2=1，故圆C的圆心为(-1，0)，半径为1，故答案为：1．。

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——直线与圆、圆与圆的位置关系

第4节直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，两圆圆心间的距离为d ，则两圆的位置关系可用下表表示：位置关系外离外切相交内切内含图形量的关系d ＞R ＋rd ＝R ＋rR －r ＜d ＜R ＋rd ＝R －rd ＜R －r公切线条数432101.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x ＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x M＋x N和x M·x N，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M·x N.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝3－m ，圆心为(1，2)，半径r ＝3－m (m <3).若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1，2)到直线l 的距离d ＝|3－m |2≤3－m ，解得1≤m <3. 因为{m |1≤m ≤2}{m |1≤m <3}，所以“1≤m ≤2”是“直线l ：x ＋y －m ＝0和圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l ：x －2y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，则CA →·CB →＝( ) A.165 B.－165 C.125 D.－125 答案 D解析由圆的一般方程x 2＋y 2－4y ＝0得标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，故可得圆心C (0，2)，半径r ＝2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋6＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝185.不妨设A (－2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，185，则CA →＝(－2，0)，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85，所以CA →·CB →＝－2×65＋0×85＝－125.4.(2021·洛阳模拟)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a .∵公共弦长为23， ∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.5.(易错题)若半径为r ，圆心为(0，1)的圆和定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切，则r 的值等于________. 答案2＋1或2－1解析由题意，定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心为A (1，2)，半径R ＝1，半径为r 的圆的圆心为B (0，1)，所以|AB |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.因为两圆相切，所以|AB |＝|R －r |或|AB |＝|R ＋r |，即|1－r |＝2或 |1＋r |＝2，解得r ＝1±2或r ＝－1±2. 因为r >0，所以r＝2＋1或r＝2－1.6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________.答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.∵|OA|＝（3－1）2＋（5－2）2＝13>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.考点一直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2.(2022·成都诊断)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定答案 A解析法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交.法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.法三易得直线l 过定点(1，1)，把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<5， ∴点(1，1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.3.“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题例1 (1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)B解析(1)根据题意，圆C：(x－a)2＋y2＝4的半径r＝2.圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋22－2＝0的距离为2，即|a＋22－2|2＝2，解得a＝2或a＝2－42(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|2－4|2＝2，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为222－d2＝2 2.(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC |＝22，弦的长度l ＝2r 2－|MC |2＝29－8＝2.感悟提升弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.训练1 (2022·南昌摸底测试)若直线x ＋ay －a －1＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当|AB |最小时，劣弧AB 的长为( ) A.π2 B.πC.2πD.3π答案 B解析圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径r ＝2.直线的方程可化为x －1＋a (y －1)＝0，可知直线恒过点D (1，1). 因为点D (1，1)的坐标满足(1－2)2＋12<4，所以点D (1，1)恒在圆C 内，且|CD |＝2，易知，当CD ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|CD |2＝2 2.此时，劣弧AB 对应的圆心角为π2，所以劣弧AB 对应的弧长为π2×2＝π. 考点三圆的切线问题例2 (经典母题)过点P (2，4)引圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________________.答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.迁移1 在例2中，若点P 坐标变为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1，其他条件不变，求切线方程.解易知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，则k PC ＝22＋1－122＋1－1＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，即x ＋y －2－2＝0.迁移2 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A ，B ，求切点弦AB 所在的直线方程.解由题意得，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，此圆的方程为(x －2)(x －1)＋(y －4)(y －1)＝0，整理得x 2＋y 2－3x －5y ＋6＝0.①圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1展开得x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，② 由②－①得x ＋3y －5＝0，即为直线AB 的方程.感悟提升求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练2 (1)过直线y ＝2x ＋3上的点作圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )A.19B.2 5C.21D.555(2)(2021·晋中模拟)过点P (2，3)作圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y ＝2x ＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y ＝2x ＋3的距离d ，d ＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d 2－r 2＝19.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心C (1，0)，半径为1，所以|PC |＝2，|P A |＝|PB |＝3，∠APB ＝60°，所以P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 60°＝32. 考点四圆与圆的位置关系例3 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解因为两圆的标准方程分别为 (x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，故两圆的公共弦的长为2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2022·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案(1)B(2)D解析(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3.因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|P A |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证明：设|AB |＝2m (m >0)，|P A |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－m ，0)，B (m ，0).又设P (x ，y )，则由|P A |＝λ|PB |得（x ＋m ）2＋y 2＝λ（x －m ）2＋y 2，两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2).当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2（λ2－1）2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆. 例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3，2). 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3，圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34. 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |，知x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4，即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切，故1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，解得0≤a ≤125. 即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. 例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1，0)，B (3，0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，|PC |＝|PD |，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－22－1，22－1]解析设P(x，y)，则（x－1）2＋y2＝2·（x－3）2＋y2，整理得(x－5)2＋y2＝(22)2，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动. 另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝(22)2有交点.所以|a＋1|≤2 2.故实数a的取值范围是[－22－1，22－1].1.(2022·兰州质检)“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l与圆相切，则有|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，所以“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件.2.(2021·福州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8答案 B解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|＝2，半径是22，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.24.(2021·南昌模拟)已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是()A.x2＋y2＝1B.(x－4)2＋(y－5)2＝16C.x＋y＝1D.x－y＝2答案 B解析圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(1，1)，半径r＝1.对于选项A，x2＋y2＝1表示的是圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1的圆，此圆与圆O的圆心距为12＋12＝2<r＋r1＝2，所以两圆不相切，不符合题意.对于选项B，(x－4)2＋(y－5)2＝16表示的是圆心坐标为(4，5)，半径r2＝4的圆，此圆与圆O的圆心距为（4－1）2＋（5－1）2＝5＝r＋r2＝5，所以两圆相切.对于选项C，圆心(1，1)到直线x＋y＝1的距离为22<1，故直线x＋y＝1与圆O 相交.对于选项D，圆心(1，1)到直线x－y＝2的距离为2>1，故直线x－y＝2与圆O 相离.5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB 所在直线的方程为()A.y＝－34 B.y＝－12C.y＝－32 D.y＝－14答案 B解析由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－12.6.(2022·宜宾诊断)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B 两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A.3＋6或3－ 6B.3＋26或3－2 6C.9或－3D.8或－2答案 A解析由题意知圆心C(0，3)到直线l的距离d＝|0－3＋m|3＋1＝|m－3|2.因为∠ACB＝120°，所以|m－3|2×2＝6，解得m＝3±6.7.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝25，|AC|＝（－2－0）2＋（－1－m）2＝4＋（m＋1）2，|BC |＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2，解得m ＝－2.因此r ＝|AC |＝4＋（－2＋1）2＝ 5.8.(2021·长春模拟)已知点P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析因为C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0为圆，所以k 2＋4－4k 2>0，解得－233<k <233.又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故1＋4＋k ＋4＋k 2>0，解得k ∈R ，综上可知－233<k <233.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－233，233. 9.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______.答案 10 2解析圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5.由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.10.已知圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0，圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，且圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上.(1)求圆M 的方程；(2)证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l .(1)解圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0的圆心为M (a ，－5a )，∵圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上，∴直线x ＋y ＋4＝0经过M ，则a －5a ＋4＝0，解得a ＝1.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0.(2)证明 ∵圆M 的圆心M (1，－5)，半径r 1＝52，圆N 的圆心N (－1，－1)，半径r 2＝10，∴|MN |＝（1＋1）2＋（－5＋1）2＝2 5.∵52－10<25<52＋10，∴圆M 和圆N 相交.由圆M ，圆N 的方程左右两边分别相减，得x －2y ＋4＝0，∴两圆公共弦的直线方程为x －2y ＋4＝0.∵M 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35， ∴公共弦长度l ＝2h 2－d 2＝2 5.11.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN →为定值，理由如下：过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7.根据圆的弦切角定理及相似三角形，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12.(2022·宝鸡模拟)过点P (x ，y )作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，切点分别为A ，B ，若|P A |＝|PB |，则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.8 答案 B解析由(x 2＋y 2－1)－(x 2＋y 2－4x －4y ＋7)＝0得x ＋y －2＝0，则P 点在直线l ：x ＋y －2＝0上，原点到直线l 的距离d ＝2，所以(x 2＋y 2)min ＝d 2＝2.13.(2022·南阳联考)阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为________；P A →·PB →的最大值是________. 答案 12π 24＋16 3解析以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝3，∴（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝3，得x 2＋y 2－8x ＋4＝0，即(x －4)2＋y 2＝12，所以点P 的轨迹为圆，其面积为12π.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝|OP |2－4，如图，当P 位于点D 时，|OP |2最大，|OP |2的最大值为(4＋23)2＝28＋163，故P A →·PB →的最大值是24＋16 3.14.(2021·北京海淀区模拟)已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|P A |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解 (1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m <3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29， ∴|P A |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4；令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝213，∴△MON内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。

【课堂新坐标】高三文科数学二轮复习：11 直线与圆(含答案解析)

专题限时集训(十一) 直线与圆[建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组高考达标]一、选择题1．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2 B.4 2C.6D.210C [圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1－1＝0，所以a ＝－1，从而A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝－4－2＋－1－2－4＝6.]2．(2016·衡水一模)已知圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与抛物线y ＝14x 2的准线相切，则m ＝( )A ．±2 2 B.±3 C. 2D. 3B [抛物线的准线为y ＝－1，将圆化为标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋y 2＝1＋m24，圆心到准线的距离为1＝1＋m 24⇒m ＝±3.] 3．(2016·长春一模)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上运动，则AB 的中点M 到原点的距离最小值为( )A. 2B.2 2C.3 2D.4 2C [由题意知AB 的中点M 的集合为到直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离相等的直线，则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在的直线方程为：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得，|m ＋7|2＝|m ＋5|2，解得m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，再根据点到直线的距离公式得点M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.]4．(2016·承德二模)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )【导学号：85952048】A ．－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－34D [由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.又因为光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，所以|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D.]5．(2016·湘潭二模)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1 B.3 C.19D.49A [x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，即(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0，即x 2＋(y －2b )2＝1，依题意可得，两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和，则a 2＋b2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2⎝⎛⎭⎫a 2＋4b 29＝19⎝⎛⎭⎫5＋a 2b 2＋4b 2a 2≥19⎝⎛⎭⎫5＋2a 2b 2·4b 2a 2＝1，当且仅当a 2b 2＝4b 2a2即a ＝±2b 时取等号，故选A.]二、填空题6．(2016·赤峰高三统考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是________．(－∞，－1]∪[1，＋∞) [因为圆心为O (0,0)，半径R ＝1. 设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形P AOB 为正方形，故有PO ＝2R ＝2，由题意知圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于PO ＝2，即|2|1＋k2≤2，即1＋k 2≥2，解得k ≥1或k ≤－1.]7．(2016·合肥一模)设点P 在直线y ＝2x ＋1上运动，过点P 作圆(x －2)2＋y 2＝1的切线，切点为A ，则切线长|P A |的最小值是________．2 [圆心C (2,0)到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝5，所以|P A |＝|PC |2－1≥d 2－1＝2.] 8．(2016·哈尔滨二模)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.2 [由题意可得，圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的14，则直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为22r ＝22，即|a |2＝|b |2＝22，所以a 2＋b 2＝2.] 三、解答题9．(2016·南昌一模)已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上．(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． [解] (1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )，则a －2＋－2a ＋2＝|a －2a －1|2，2分化简得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1. ∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝－2＋－2＋2＝ 2.4分∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.5分(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件.7分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，9分∴直线l 的方程为y ＝－34x .10分综上所述，直线l 的方程为x ＝0或y ＝－34x .12分10．(2016·洛阳一模)已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0. (1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．[解] (1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，2分所以圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，所以|AD |＝23，|AC |＝4，C 点坐标为(－2,6)．在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋－2＝2，得k ＝34. 故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.4分直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0.6分所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.7分 (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )，则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，所以(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，10分化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.12分[B 组名校冲刺]一、选择题1．已知圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，点P (2,2)是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是( )A ．3 5 B.4 5 C.57D.67D [依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点P 垂直于直径的弦，所以|AC |＝2×3＝ 6.因为圆心到BD 的距离为－2＋－2＝2，所以|BD |＝232－22＝27.则四边形ABCD 的面积为S ＝12×|AC |×|BD |＝12×6×27＝67.故选D.]2．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A.5B.5C.25D.10B [由题意，知圆心M 的坐标为(－2，－1)，所以－2a －b ＋1＝0. 因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离的平方，而a －2＋b －2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.故选B.]3．命题p ：4＜r ＜7，命题q ：圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离等于5，所以圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1时，4＜r ＜6，所以p 是q 的必要不充分条件．]4．(2016·兰州二模)已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞) B.[2，22) C.[2，＋∞)D.[3，22)B [由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |2＜2，由k ＞0，得0＜k ＜2 2.① 如图，又由|OA →＋OB →|≥33|AB →|，得|OM |≥33|BM |⇒∠MBO ≥π6，因|OB |＝2，所以|OM |≥1，故|k |1＋1≥1⇒k ≥ 2.② 综①②得2≤k ＜2 2.] 二、填空题5．已知直线x ＋y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是坐标原点，向量OA →，OB →满足|2OA →－3OB →|＝|2OA →＋3OB →|，则实数a 的值为________.【导学号：85952049】±2 [由|2OA →－3OB →|＝|2OA →＋3OB →|得OA →·OB →＝0，即OA ⊥OB ，则直线x ＋y －a ＝0过圆x 2＋y 2＝2与x 轴，y 轴正半轴或负半轴的交点，故a ＝±2.]6．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．x 2＋(y －1)2＝10 [设所求圆的半径为r ，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－2＝1，故圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.] 三、解答题7．已知半径为2，圆心在直线y ＝－x ＋2上的圆 C.(1)当圆C 经过点A (2,2)，且与y 轴相切时，求圆C 的方程；(2)已知E (1,1)，F (1，－3)，若圆C 上存在点Q ，使|QF |2－|QE |2＝32，求圆心的横坐标a 的取值范围．[解] (1)∵圆心在直线y ＝－x ＋2上，半径为2， ∴可设圆的方程为(x －a )2＋[y －(－a ＋2)]2＝4，2分其圆心坐标为(a ，－a ＋2)．∵圆C 经过点A (2,2)，且与y 轴相切，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋[2－－a ＋2＝4，|a |＝2，解得a ＝2，4分∴圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝4.5分 (2)设Q (x ，y )，由|QF |2－|QE |2＝32，得(x －1)2＋(y ＋3)2－[(x －1)2＋(y －1)2]＝32，解得y ＝3，∴点Q 在直线y ＝3上.7分又∵点Q 在圆C ：(x －a )2＋[y －(－a ＋2)]2＝4上， ∴圆C 与直线y ＝3必须有公共点． ∵圆C 圆心的纵坐标为－a ＋2，半径为2， ∴圆C 与直线y ＝3有公共点的充要条件是 1≤－a ＋2≤5，即－3≤a ≤1.10分∴圆心的横坐标a 的取值范围是[－3,1].12分8．已知△ABC 的三个顶点A (－1,0)，B (1,0)，C (3,2)，其外接圆为⊙H . (1)若直线l 过点C ，且被⊙H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以点C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求⊙C 的半径r 的取值范围．[解] (1)线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0，所以外接圆圆心为H (0,3)，半径为－2＋32＝10，⊙H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10.设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被⊙H 截得的弦长为2，所以d ＝10－1＝3.3分当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；4分当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k (x －3)，则|3k ＋1|1＋k 2＝3，解得k ＝43，直线方程为4x －3y －6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.5分 (2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )，因为点M 是线段PN 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫m ＋x 2，n ＋y 2，又M ，N 都在半径为r 的⊙C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝r 2，⎝⎛⎭⎫m ＋x 2－32＋⎝⎛⎭⎫n ＋y 2－22＝r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝r 2，x ＋m －2＋y ＋n －2＝4r 2.7分因为该关于x ，y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m,4－n )为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r )2≤(3－6＋m )2＋(2－4＋n )2≤(r ＋2r )2，8分又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对∀m ∈[0,1]成立．而f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0,1]上的值域为⎣⎡⎦⎤325，10，故r 2≤325且10≤9r 2.10分又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2＞r 2对∀m ∈[0,1]成立，即r 2＜325.故⊙C 的半径r 的取值范围为⎣⎡⎭⎫103，4105.12分。

2024高考数学常考题型第18讲直线与圆常考6种题型总结(解析板)

第18讲直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标()C a b ，，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=考点三：圆的一般方程圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标：()22D E --，，半径：r =注意：①对于F E D 、、的取值要求：2240D E F +->当2240D E F +-=时，方程只有实数解22D E x y =-=-，．它表示一个点()22D E--，当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的充要条件是22040A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩考点四：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y -⋅-+--=考点五：阿波罗尼斯圆设A B ，为平面上相异两定点，且||2(0)AB a a =>，P 为平面上异于A B ，一动点且||||PA PB λ=（0λ>且1λ≠）则P 点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交r d <0>∆两个②直线与圆相切r d =0=∆一个③直线与圆相离r d >0<∆0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程2Ax Bx C ++=考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则弦长222d r AB -=法二：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O 所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=【例2】已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．92C ．4D ．8故选：B【例3】过点(1,1),(3,5)A B -，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程为_______．【例4】设甲：实数3a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：≈3.162）A ．6.48B ．5.48C ．4.48D ．3.48【答案】A【解析】以O 为原点,以AB 所在直线为x 轴,以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a ），则P (0,10),A (-50,0).可设圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=,由题意可得：()()222221050a r a r ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2120,16900a r =-=.所以所求圆的方程为()2212016900x y ++=.将x =-30代入圆方程,得:()290012016900y ++=,因为y >0,所以12040 3.162120 6.48y =≈⨯-=.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则PAB △面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【答案】C【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10B ,．设(),P x y，∵PA PB==两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2238x y -+=．要使PAB △的面积最大，只需点P到AB （x 轴）的距离最大时，此时面积为122⨯⨯故选：C.【题型专练】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．2.经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】22420x y x y +--=或22460x y x y +--=或22814033x y x y +--=或2216162055x y x y +---=（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，则0164020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得420D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22420x y x y +--=；若圆过(0,0)，(4,0)，(1,1)-三点，则0164020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解得460D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22460x y x y +--=；若圆过(0,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则02020420F D E F D E F =⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得831430D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故圆的方程为22814033x y x y +--=；若圆过(4,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则16402020420D F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得1652165D E F ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，故圆的方程为2216162055x y x y +---=.4.已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-5.若两定点()1,0A ，()4,0B ，动点M 满足2MA MB =，则动点M 的轨迹围成区域的面积为（）．A ．2πB ．5πC ．3πD ．4π6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PA PB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PD PE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.MA MO，则在O，A，M三点所能构成7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足2=的三角形中面积的最大值是（）A．1B．2C．3D．4易知90MBO ∠=︒时，MOA S △取得最大值3．故选：C ．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线:10l kx y k -+-=与圆223x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()43-=-x k y ，即043=-+-k y kx ，圆心为()3,2，半径为1，所以圆心到直线得距离1211433222+≤-⇒≤+-+-=k k k kk d ，解得3333≤≤-k【例3】直线:20l kx y --=与曲线1C x -只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬D ．(-由图知，当24k <≤或故选：C【例4】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【题型专练】1.直线():120l kx y k k R -++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【解析】将直线l 变形为()012=+-+y x k ，令⎩⎨⎧=+-=+0102y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ，所以直线过定点()1,2-P ，因为()51222=+-，所以点P 在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于x 的方程2(3)1k x ++有两个不同的实数根，则实数k 的范围______.当直线与半圆相切时，圆心O 到直线1l 的距离d 解得：13265k -=（舍），或13265k +=当直线过点(2,0)-时，可求得直线2l 的斜率2k =则利用图像得：实数k 的范围为3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭故答案为：3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭3.（2022全国新高考2卷）设点A (－2，3)，B (0(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围为_______．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C ：()()22210x y a a +-=>与直线l ：x -y -1=0相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为2，则圆C 的面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】如图，由圆C 方程可知圆心()0,1C ，半径为a ，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l 的距离d =又△ABC 的面积为11222S AB d =⋅==，解得AB =2222a ⎛+= ⎝⎭，则a =2，即圆C 的半径为2.则圆C 的面积为24S a ππ==.故选：C.【例2】已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为13的等差数列，则n 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值此时，直线DE 的解析式为：3y x =-+直线BC 的解析式为：=+1y x 圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,由勾股定理得，()22=322=1AB -x y+=交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于【例3】已知直线:10l mx y+--=与圆2216,C D两点，则当AB最小时，CD=（）A．4B．C．8D．故选：D【例4】（多选题）若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（）A ．3x =B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【题型专练】1.直线:l y x m =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，若AB ≥m 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线l 的距离为d ，而圆半径为2r =，弦AB 长满足AB ≥，则有1d =，又d =1≤，解得m ≤≤所以实数m 的取值范围为⎡⎣.故选：B2.在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=化简为22(2)(1)5x y -++=可得圆心为(2,1),r -=易知过点()1,0E 的最长弦为直径，即||AC =而最短弦为过()1,0E 与AC 垂直的弦，圆心(2,1)-到()1,0E 的距离：d ==所以弦||BD ==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：D.3.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于B A ,两点，且60AOB ∠= (其中O 为原点)，则k 的值为（）A ．3-或3B ．3C ．D 4.直线l ：()()2110m x m y -+-+=与圆C ：2260x x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值是（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】分别取1,2m m ==，则1010x y -+=⎧⎨-+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,1)P ，将圆C 化为标准方程：22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)，半径3r =.如图，因为AB =，所以当圆心到直线距离最大时AB 最小.当CP 不垂直直线l 时，总有d CP <，故当CP l ⊥时AB 最小，因为CP =所以AB的最小值为4=.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【例2】已知圆C ：228240x y y +--+=，且圆外有一点()0,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为A ，B ，则AB =______.【例3】点P 在圆C ：()()22334x y -+-=上，()2,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最大时，PB =___________.【答案】3【分析】根据题意PBA ∠最大时，直线【详解】点P 在圆C ：()23x -+如图将BA 绕点B 沿逆时针方向旋转，当刚好与圆当旋转到与圆相切于点2P 时，∠【例4】过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【题型专练】1.过点(0,2)作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（）A ．3480x y -+=B ．3480x y +-=C ．0x =D ．1x =2.直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【详解】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ =，故选：B.3.过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______．【答案】2+-x y 0=【分析】由题知()0,2A 、()2,0B ，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即2+-x y ；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：2+-x y 题型五：圆中最值问题【例1】已知l ：4y x =+，分别交x ，y 轴于A ，B 两点，P 在圆C ：224x y +=上运动，则PAB △面积的最大值为（）A ．82-B ．1682-C ．842+D ．162+【答案】C 【解析】如图所示，以AB 为底边，则PAB △面积最大等价于点P 到l 距离最大，而点P 到l 距离最大值等于O 到l 的距离加半径看，O 到l 的距离422d =O 的半径2r =，()4,0A -，()0,4B ，则42AB =PAB △面积的最大值为()14222822⨯=+故选：C【例2】已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．295【答案】B【分析】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，计算出圆心E 到直线125240x y -+=的距离d ，结合对称性可得出PQ QR +的最小值为25d -，即可得解.【详解】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为()221265247125d ⨯-+==+-，【例3】已知直线:320l x y ++=与x 、轴的交点分别为A 、B ，且直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，则PAB 面积的最大值是（）A ．103+B ．103+C D【例4】已知圆()()22:254C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为（）A ．10B ．16C ．18D ．20()2TM TC TC CM TC TC CM ⋅=+⋅=+ CM TM ⊥ ，CM CT CM CT ∴⋅=⋅ 24TM TC TC ∴⋅=- ，【例5】已知复数z 满足1i 1z +-=（i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．1【答案】B【解析】令i z x y =+，x ，y ∈R ，则()1i 11i 1z x y +-=++-=，即()()22111x y ++-=，表示点(),x y 与点()1,1-距离为1的点集，此时，i z x y =-()()22111x y ++-=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，，且半径为1，1．故选：B ．【例6】若0x =，则2yx -的取值范围为【答案】11[,]22-【解析】因为0x +=x =-所以()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,2yx -的几何意义是点(),x y 与点()2,0连线的斜率如图，()()0,1,0,1A B -，()2,0P101022PA k -==--，101022PB k --==-所以2y x -的取值范围为11[,]22-故选：D【例】AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为Q ,利用数量积的运算性质可得2||9PA PB PQ ⋅=- ，再利用圆的性质可得||PQ 取值范围，即求.【详解】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+= ，PA PB BA -= 221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦ 2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦ ，又||6BA = ，4CQ =2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∵点P 为⊙C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72].故选：D.【题型专练】1．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y ++=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣2.（多选题）已知点P 在圆O :224x y +=上,直线l :43120x y +-=分别与x 轴,轴交于,A B 两点,则（）A ．过点B 作圆O 的切线,则切线长为B ．满足0PA PB ⋅=的点P 有3个C ．点P 到直线l 距离的最大值为225D ．PA PB +的最小值是1【答案】ACD【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,0PA PB ⋅=即PA PB ⊥,所以点P 在以AB 为直径的圆上,设AB 的中点为M ,写出圆M 的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大3．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【答案】3-##3-+如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故答案为：523-4．过直线3450x y +-=上的一点P 向圆()()22344x y -+-=作两条切线12l l ，．设1l 与2l 的夹角为θ，则θ的最大值为______．【答案】π3##60︒【分析】由题可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，根据圆的性质结合条件可得1sin sin22APC θ∠=≤，进而即得.【详解】由()()22344x y -+-=，可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，则2APB APC θ=∠=∠，在Rt APC △中，2AC =，2sin sin 2CA APC CP CPθ∠===又()3,4C 到直线3450x y +-=的距离为223344534⨯+⨯-+所以4CP ≥，1sin sin22APC θ∠=≤，所以APC ∠的最大值为π6，即θ的最大值为π3.故答案为：π3.5．已知圆22:410,+--=M x y x (),P x y 是圆M 上的动点，则3t x =+的最大值为_________；22x y +的最小值为____________．6.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】2z = ，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z -- 的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.题型六：圆与圆的位置关系问题【例1】已知圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)4C x y -+-=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离【例2】已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥ 可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.【例3】圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（）A ．B ．C ．D ．【例4】已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】由题意得P 点轨迹，转化为有交点问题【详解】90APB ∠=︒，记AB 中点为O ，则||OP m =，故P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则|1|||1m OC m -≤≤+，而||10OC =，得911m ≤≤．故选：B【题型专练】1．写出与圆221x y +=和圆()2264x y -+=都相切的一条直线的方程______.2.（2022全国新高考1卷）写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程_______．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.3.（多选题）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 14.已知点()()2,3,5,1A B -，则满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A 与圆B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数即为圆A 与圆B 的公切线条数，因为513AB ==>+，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D5.已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】分析可知()21max 4PN PM PC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max min max PN PM PN PM -=- ，又2max 3PN PC =+，1min 1PMPC =-，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤==，所以，()max 549PN PM -=+=，故选：B ．。

文科数学2010-2019高考真题分类训练专题九,解析几何第二十四讲,直线与圆—后附解析答案

《文科数学2010-2019高考真题分类训练专题九,解析几何第二十四讲,直线与圆—后附解析答案》摘要：直线与圆 2019年 1.（2019北京文8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A）4β+4cosβ（B）4β+4sinβ（C）2β+2cosβ（D）2β+2sinβ 2.（2019北京文11）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________． 3.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长，一、选择题 1．(2018全国卷Ⅲ)直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A． B． C． D． 2．（2016年北京）圆的圆心到直线的距离为 A．1 B．2 C． D．2 3．（2016年山东）已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是 A．内切B．相交 C．外切 D．相离 4．（2016年全国II卷）圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a= A．− B．− C． D．2 5．（2015北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是A． B． C． D． 6．（2015安徽）直线与圆相切，则的值是 A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12 7．（2015新课标2）已知三点，，，则外接圆的圆心到原点的距离为A． B． C． D． 8．（2014新课标2）设点，若在圆上存在点N，使得，则的取值范围是A． B． C． D． 9．（2014福建）已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是A． B． C． D． 10．（2014北京）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为A． B． C． D． 11．（2014湖南）若圆与圆外切，则 A． B． C． D． 12．（2014安徽）过点P的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 A． B． C． D． 13．（2014浙江）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是 A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 14．（2014四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 A． B． C． D． 15．（2014江西）在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为 A． B． C． D． 16．（2013山东）过点（3，1）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 A． B． C． D． 17．（2013重庆）已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 18．（2013安徽）直线被圆截得的弦长为 A．1 B．2 C．4 D． 19．（2013新课标2）已知点，52．（2013浙江）直线被圆所截得的弦长等于______. 53．（2013湖北）已知圆：，直线：（）．设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 . 54．（2012北京）直线被圆截得的弦长为 . 55．（2011浙江）若直线与直线互相垂直，则实数=___ 56．(2011辽宁)已知圆C 经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为__． 57．（2010新课标）圆心在原点上与直线相切的圆的方程为． 58．（2010新课标）过点A(4,1)的圆C与直线相切于点B(2,1)，则圆C的方程为__ 三、解答题 59．（2018全国卷Ⅰ）设抛物线：，点，，过点的直线与交于，两点． (1)当与轴垂直时，求直线的方程专题九解析几何第二十四讲直线与圆 2019年 1.（2019北京文8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A）4β+4cosβ（B）4β+4sinβ（C）2β+2cosβ（D）2β+2sinβ 2.（2019北京文11）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________． 3.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离． 4.（2019浙江12）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则=_____，=______. 5（2019全国1文21）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由． 2010-2018年一、选择题 1．(2018全国卷Ⅲ)直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A． B． C． D． 2．（2016年北京）圆的圆心到直线的距离为 A．1 B．2 C． D．2 3．（2016年山东）已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 4．（2016年全国II卷）圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a= A．− B．−C． D．2 5．（2015北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是A． B． C． D． 6．（2015安徽）直线与圆相切，则的值是 A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12 7．（2015新课标2）已知三点，，，则外接圆的圆心到原点的距离为 A． B． C． D． 8．（2014新课标2）设点，若在圆上存在点N，使得，则的取值范围是 A． B． C． D． 9．（2014福建）已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是 A． B． C． D． 10．（2014北京）已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为A． B． C． D． 11．（2014湖南）若圆与圆外切，则A． B． C． D． 12．（2014安徽）过点P的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 A． B． C． D． 13．（2014浙江）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是 A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 14．（2014四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 A． B． C． D． 15．（2014江西）在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为 A． B． C． D． 16．（2013山东）过点（3，1）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 A． B． C． D． 17．（2013重庆）已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 18．（2013安徽）直线被圆截得的弦长为 A．1 B．2 C．4 D． 19．（2013新课标2）已知点；；，直线将△分割为面积相等的两部分，则的取值范围是A． B． C． D． 20．（2013陕西）已知点M(a,b)在圆外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是 A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 21．（2013天津）已知过点P(2，2) 的直线与圆相切，且与直线垂直，则 A． B．1 C．2 D． 22．（2013广东）垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是 A． B． C． D． 23．（2013新课标2）设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点．若，则的方程为 A．或 B．或C．或 D．或 24．（2012浙江）设，则“”是“直线：与直线：平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件25．（2012天津）设，，若直线与圆相切，则的取值范围是A． B． C． D． 26．（2012湖北）过点的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 A． B． C． D． 27．（2012天津）在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于( ) 28．（2011北京）已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为A．4 B．3 C．2 D．1 29．（2011江西）若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 A．（，） B．（，0）（0，） C．[，] D．（，）（，+） 30．（2010福建）以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A． B． C． D． 31．（2010广东）若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是 A． B． C． D．二、填空题 32．(2018全国卷Ⅰ)直线与圆交于，两点，则=__． 33．(2018天津)在平面直角坐标系中，经过三点，，的圆的方程为__． 34．(2018江苏)在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为． 35．（2017天津）设抛物线的焦点为，准线为．已知点C在上，以为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点．若，则圆的方程为． 36．（2017山东）若直线过点，则的最小值为． 37．（2016江苏）在平面直角坐标系中，，，点在圆：上，若，则点的横坐标的取值范围是． 38．（2016年天津）已知圆C的圆心在轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________ 39．（2016年全国I卷）设直线与圆：相交于两点，若，则圆的面积为 . 40．（2016年全国III卷）已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则_____________. 41．（2015重庆）若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点处的切线方程为________． 42．（2015湖南）若直线与圆相交于两点，且（O为坐标原点），则=_____． 43．（2015湖北）如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方），且．（1）圆的标准方程为．（2）圆在点处的切线在轴上的截距为． 44．（2015江苏）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为． 45．（2014江苏）在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为． 46．（2014重庆）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________． 47．（2014湖北）直线：和：将单位圆分成长度相等的四段弧，则________． 48．（2014山东）圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为． 49．（2014陕西）若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为____． 50．（2014重庆）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________． 51．（2014湖北）已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上任意一点，都有，则（Ⅰ）；（Ⅱ） . 52．（2013浙江）直线被圆所截得的弦长等于______. 53．（2013湖北）已知圆：，直线：（）．设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 . 54．（2012北京）直线被圆截得的弦长为 . 55．（2011浙江）若直线与直线互相垂直，则实数=___ 56．(2011辽宁)已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为__． 57．（2010新课标）圆心在原点上与直线相切的圆的方程为． 58．（2010新课标）过点A(4,1)的圆C与直线相切于点B(2,1)，则圆C的方程为__ 三、解答题 59．（2018全国卷Ⅰ）设抛物线：，点，，过点的直线与交于，两点． (1)当与轴垂直时，求直线的方程； (2)证明：． 60．（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系中，曲线与轴交于，两点，点的坐标为．当变化时，解答下列问题： (1)能否出现的情况？说明理由； (2)证明过，，三点的圆在轴上截得的弦长为定值． 61．（2016江苏）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点．（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得求实数的取值范围． 62．（2015新课标1）已知过点且斜率为的直线与圆C：交于两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）若，其中为坐标原点，求． 63．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，．（I）求新桥BC的长；（II）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 64．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在上. （I）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（II）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 65．(2013新课标2)在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。

高考数学(文科)分项专题直线与圆(解析)

一．基础题组 1. 【2008全国1，文10】若直线1x y a b+=与圆221x y +=有公共点，则（） A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b +≤D ．2211a b+≥1 【答案】D二．能力题组1. 【2011新课标，文20】（本小题满分12分）【解析】2.【2016新课标1文数】设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若23AB =，则圆C的面积为 .【答案】4π【解析】试题分析：圆22:220C x y ay +--=，即222:()2C x y a a +-=+，圆心为(0,)C a ，由||23,AB =圆心C 到直线2y x a =+的距离为|02|2a a -+，所以得22223|02|()()222a a a -++=+，则22,a =所以圆的面积为2π(2)4πa +=.【考点】直线与圆【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在求圆的方程时常常用到. 三．拔高题组1. 【2011全国1，文11】设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =(A)4 (B)42 (C)8 (D)82【答案】C2. 【2005全国1，文12】设直线l 过点)0,2(-，且与圆221x y +=相切，则l 的斜率是（A ）1±（B ）21±（C ）33± （D ）3±【答案】C【解析】3. 【2015高考新课标1，文20】（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .【答案】（I ）4747,33（II ）2考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力。

高考数学最新真题专题解析—直线与圆(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—直线与圆（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】写出与圆x2+y2=1和(x−3)2+(y−4)2=16都相切的一条直线的方程【答案】x+1=07x−24y−25=03x+4y−5=0(填一条即可)【分析】本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识，属较难题．【解答】解：方法1:显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x+by+c=0，于是√1+b2=1，√1+b2=4．故c2=1+b2 ①，|3+4b+c|=|4c|.于是3+4b+c=4c或3+4b+c=−4c，再结合 ①解得{b=0c=1或{b=−247c=−257或{b=43c=−53，所以直线方程有三条，分别为x+1=0，7x−24y−25=0，3x+4y−5=0．(填一条即可)方法2:设圆x2+y2=1的圆心O(0,0)，半径为r1=1，圆(x−3)2+ (y−4)2=16的圆心C(3,4)，半径r2=4，则|OC|=5=r1+r2，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 x +1=0 符合题意；又由方程 (x −3)2+(y −4)2=16 和 x 2+y 2=1 相减可得方程 3x +4y −5=0 ，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线 OC 的方程为 4x −3y =0 ，直线 OC 与直线 x +1=0 的交点为 (−1,−43) ，设过该点的直线为 y +43=k(x +1) ，则|k−43|√k 2+1=1 ，解得 k =724 ，从而该切线的方程为 7x −24y −25=0.( 填一条即可 ) 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】设点A(−2,3)，B(0,a)，直线AB 关于直线y =a 的对称直线为l ，已知l 与圆C:(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围为．【答案】[13,32] 【分析】本题考查直线关于直线对称的直线求法，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．【解答】解：因为k AB=a−32，所以AB关于直线y=a的对称直线为(3−a)x−2y+2a=0，所以√4+(3−a)2⩽1，整理可得6a2−11a+3⩽0,解得13≤a≤32．【命题意图】考察直线倾斜角与斜率，考察直线方程，考察直线平行与垂直，考察直线交点坐标，点到直线距离公式。

2011-2020年高考数学真题分类汇编专题25 直线与圆(教师版含解析)

专题25直线与圆年份题号考点考查内容2011文20直线与圆圆的方程的求法，直线与圆的位置关系2013卷2文20直线与圆圆方程的求法，直线与圆的位置关系2014卷2文20直线与圆圆方程的求法，圆的几何性质，直线与圆的位置关系2015卷1理14圆与椭圆椭圆的标准方程及其几何性质，过三点圆的方程的求法文20直线与圆直线与圆的位置关系卷2理7直线与圆三角形外接圆的求法，圆的弦长的计算公式文7点与圆三角形外接圆的求法，两点间距离公式2016卷1文15直线与圆直线与圆的位置关系卷2理4文6直线与圆圆的方程、点到直线的距离公式卷3文15直线与圆直线与圆的位置关系2017卷3理20直线、圆、抛物线直线与抛物线的位置关系；圆的方程的求法文20直线与圆直线与圆的位置关系，圆的几何性质，圆的定值问题的解法2018卷1文15直线与圆直线与圆的位置关系，圆的弦长计算卷3理6文8直线与圆直线与圆位置关系，点到直线的距离公式，三角形的面积公式2019卷3理21直线与圆，直线与抛物线直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方程及其几何性质，抛物线的定点问题文21直线与圆，直线与抛物线直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准方程及其几何性质，抛物线的定点问题2020卷1理11直线与圆直线与圆位置关系，圆与圆的位置关系，圆的几何性质文6直线与圆直线与圆的位置关系，圆的弦的最值问题卷2理5文8直线与圆直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，点到直线距离公式卷3理10直线与圆直线与圆相切，直线与曲线相切，导数的几何意义文8直线与圆点到动直线距离公式的最值问题考点出现频率2021年预测考点86直线方程与圆的方程37次考8次命题角度：(1)圆的方程；(2)与圆有关的轨迹问题；(3)与圆有关的最值问题．考点87两直线的位置关系37次考1次考点88直线与圆、圆与圆的位置关系37次考35次考点86直线方程与圆的方程1．(2020全国Ⅲ文6)在平面内，,A B 是两个定点，C 是动点．若1AC BC，则点C 的轨迹为()A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【答案】A【思路导引】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可．【解析】设 20AB a a ，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则： ,0,,0A a B a ，设 ,C x y ，可得： ,,,AC x a y BC x a y，从而： 2AC BC x a x a y，结合题意可得： 21x a x a y ，整理可得：2221x y a ，即点C 的轨迹是以AB 为半径的圆．故选：A ．2．(2020全国Ⅲ文8)点(0，﹣1)到直线 1y k x 距离的最大值为()A ．1B ．C ．D ．2【答案】B【解析】由(1)y k x 可知直线过定点(1,0)P ，设(0,1)A ，当直线(1)y k x 与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x 距离最大，即为||AP3．(2015北京文)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是A ．22(1)(1)1x y B ．22(1)(1)1x y C ．22(1)(1)2x y D ．22(1)(1)2x y【答案】D 【解析】由题意可得圆的半径为r22112x y ．4．【2018·天津文】在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为__________．【答案】2220x y x 【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ，圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，则01104020F D E F D F ，解得200D E F，则圆的方程为2220x y x ．5．【2017·天津文】设抛物线24y x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若120FAC ，则圆的方程为___________．【答案】22(1)(1x y 【解析】由题可设圆心坐标为(1,)C m ，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m，1cos 2AC AF CAF AC AF，解得m ，由于圆C 与y轴得正半轴相切，则m所求圆的圆心为( ，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ．6．【2016·浙江文数】已知a R ，方程222(2)4850a x a y x y a 表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______．【答案】(2,4) ；5．【解析】由题意22a a ，12a 或，1a 时方程为224850x y x y ，即22(2)(4)25x y ，圆心为(2,4) ，半径为5，2a 时方程为224448100x y x y ，2215((1)24x y 不表示圆．7．【2016·天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y的距离为5，则圆C 的方程为__________．【答案】22(2)9.x y 【解析】设(,0)(0)C a a2,35a r，故圆C 的方程为22(2)9.x y 8．(2011辽宁文)已知圆C 经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为．【答案】22(2)10x y 【解析】以题意设圆C 的方程为222()x a y r ，把所给的两点坐标代入方程得2222(5)1(1)9a r a r，解得2210a r ，所以圆C ：22(2)10x y ．考点87两直线的位置关系9．【2016·上海文科】已知平行直线012:,012:21 y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________．【答案】5【解析】利用两平行线间距离公式得d 510．(2011浙江文)若直线250x y 与直线260x my 互相垂直，则实数m =．【答案】1【解析】当0m 时，两直线不垂直，故0m ．因为直线250x y 与直线260x my 的斜率分别为12和2m ，由12(12m，故1m ．考点88点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系11．(2020·新课标Ⅰ文)已知圆2260x y x ，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】圆2260x y x 化为22(3)9x y ，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为2 ．12．(2020·新课标Ⅱ文理5)若过点 2,1的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线032 y x 的距离为()A ．55B ．552C ．553D ．554【答案】B【思路导引】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离．【解析】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为222x a y a a ．由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，∴圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y的距离均为5d ，∴圆心到直线230x y．故选B ．13．(2020全国Ⅰ理11】已知⊙22:2220M x y x y ，直线:220l x y ，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为()A ．210x yB ．210x y C ．210x y D ．210x y 【答案】D【思路导引】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ，根据22PAM PM AB S PA △可知，当直线MP l 时，PM AB 最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【解析】圆的方程可化为 22114x y ，点M 到直线l的距离为2d ，∴直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ，∴12222PAM PM AB S PA AM PA △，而PA ，当直线MP l时，min MP，min 1PA ，此时PM AB 最小．∴ 1:112MP y x 即1122y x ，由1122220y x x y解得，10x y．∴以MP 为直径的圆的方程为 1110x x y y ，即2210x y y ，两圆的方程相减可得：210x y ，即为直线AB 的方程，故选D ．14．(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】设圆心 ,C x y ，则1 ，化简得 22341x y ，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM 5 ，所以||514OC ，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选A ．15．(2019北京文8)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB 是锐角，大小为β．图中阴影区域的面积的最大值为(A)4β+4cosβ(B)4β+4sinβ(C)2β+2cosβ(D)2β+2sinβ【答案】B【解析】由题意和题图可知，当P 为优弧 AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为O ，2AOB ， 1222BOP AOP．此时阴影部分面积211222222AOP BOP AOB S S S S △△扇形 sin 44sin ．故选B ．16．【2018·全国Ⅲ文】直线20x y 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y 上，则ABP △面积的取值范围是A ． 26，B ． 48，C ．D ．【答案】A【解析】∵直线20x y 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， 2,0,0,2A B ，则AB ．∵点P 在圆22(2)2x y 上，圆心为(2，0)，则圆心到直线的距离1d故点P 到直线20x y 的距离2d 的范围为，则 2212,62ABP S AB d△．故答案为A ．17．【2018高考全国2理2】已知集合22,3,,A x y xy x yZ Z ，则A 中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】试题分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数．试题解析：2223,3x y x ∵，又,1,0,1x x Z ．当1x 时，1,0,1y ；当0x 时，1,0,1y ；当1x 时，1,0,1y ；所以共有9个，选A ．【考点】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别．18．【2018高考全国3理6】直线20x y 分别与x 轴y 交于,A B 两点，点P 在圆 2222x y 上，则ABP △面积的取值范围是()A ． 26，B ．48，C ．D ．【答案】A【解析】∵直线20x y 分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点， 2,0,0,2A B ，则AB∵点P 在圆 2222x y 上，圆心为 2,0，则圆心到直线距离1d，故点P 到直线20x y 的距离2d 的范围为，则 2212,62ABP S AB d△，故选A ．19．【2018高考北京理7】在平面直角坐标系中，记d 为点 cos ,sin P 到直线20x my 的距离．当,m 变化时，d 的最大值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】试题分析：P 为单位圆上一点，而直线20x my 过点 2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA ．试题解析：22cos sin 1P ∵,为单位圆上一点，而直线20x my 过点 2,0A ，所以d 的最大值为1213OA ，选C ．【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．20．(2017新课标Ⅲ理)在矩形ABCD 中，1AB ，2AD ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD，则的最大值为A ．3B．CD ．2【答案】A 【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)Px y 所以圆的方程为224(2)5x y，所以(,1)AP x y ，(0,1)AB ，(2,0)AD，由AP AB AD ，得21x y ，所以 =12x y ，设12x z y，即102xy z ，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z 的距离小于半径，，解得13z≤≤，所以z的最大值为3，即的最大值为3，选A．21．【2016·山东文数】已知圆M：2220(0)x y ay a+-=>截直线0x y+=所得线段的长度是M与圆N：22(1)1x y+-=（-1）的位置关系是()(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离【答案】B【解析】由2220x y ay(0a )得 222x y a a(0a )，所以圆M的圆心为0,a，半径为1r a ，因为圆M截直线0x y所得线段的长度是，解得2a ，圆N的圆心为 1,1，半径为21r ，所以MN ，123r r ，121r r ，因为1212r r MN r r，所以圆M与圆N相交，故选B．22．【2016·北京文数】圆22(1)2x y的圆心到直线3y x 的距离为()A．1B．2CD．2【答案】C【解析】圆心坐标为(1,0)，由点到直线的距离公式可知d ，故选C．23．【2016·新课标2文数】圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=()(A)−43(B)−34(D)2【答案】A【解析】由2228130x y x y配方得22(1)(4)4x y，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y的圆心到直线10ax y的距离为11 ，解得43a ，故选A．24．(2015安徽文)直线34x y b与圆222210x y x y相切，则b的值是A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12【答案】D【解析】圆的标准方程为22(1)(1)1x y ，圆心(1,1)到直线34x y b 的距离|7|15b ，所以2b 或12b ．25．(2015新课标2文)已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为A ．35B ．321C ．352D ．34【答案】B 【解析】由题意可得，2AB BC AC ===，∴ΔABC 为等边三角形，故ΔABC 的外接圆圆心时ΔABC 的中心，又等边ΔABC (1,3，故ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为3=．26．(2015山东理)一条光线从点(2,3) 射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y 相切，则反射光线所在直线的斜率为A ．53 或35B ．32或23C ．54或45D ．43或34【答案】D 【解析】(2,3) 关于y 轴对称点的坐标为(2,3) ，设反射光线所在直线为3(2)y k x ，即230k x y k ，则1d ，|55|k 43k 或34．27．(2015广东理)平行于直线210x y 且与圆225x y 相切的直线的方程是A ．250x y 或250x yB ．20x y 或20x yC ．250x y 或250x y D ．20x y 或20x y【答案】A 【解析】设所求直线的方程为20x y c (1) c，所以c ，故所求直线的方程为250x y 或250x y ．28．(2015新课标2理)过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C 的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．10【答案】C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ，则3100422007500D E F D E F D E F，解得2,4,20D E F ，所求圆的方程为2224200x y x y ，令0x =，得24200y y ，设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y ，1220y y ，所以12||||MN y y29．(2015重庆理)已知直线l ：10()x ay a R 是圆C ：224210x y x y 的对称轴，过点(4,)A a 作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B．C ．6D．【答案】C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y ，圆心为(2,1)C ，半径为2r ，因此2110a ，1a ，即(4,1)A，6AB ．选C ．30．(2014新课标2文理)设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y 上存在点N ，使得°45OMN ，则0x 的取值范围是A ．1,1B ．1122，C． D．22，【答案】A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN，所以01x 符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM M 作圆O 的一条切线MN ，连接ON ，则在Rt OMN中，sin 32OMN，则45OMN ，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN，即0x C ，故选A ．31．(2014福建文)已知直线l 过圆 2234x y 的圆心，且与直线10x y 垂直，则l 的方程是A ．20x yB ．20x yC ．30x yD ．30x y 【答案】D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y ．32．(2014北京文)已知圆 22:341C x y 和两点 ,0A m ， ,00B m m ，若圆C 上存在点P ，使得90APB ，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC ，所以以原点为圆心、以m 为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．33．(2014湖南文)若圆221:1C x y 与圆222:680C x y x y m 外切，则mA ．21B ．19C ．9D ．11【答案】C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r 1212||15C C r r ，所以9m ．34．(2014安徽文)过点P ）（1,3 的直线l 与圆122y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]6，（B ．3，（C ．60[ ，D ．]30[ ，【答案】D 【解析】设直线l 的倾斜角为，由题意可知min max 0,263．35．(2014浙江文)已知圆22220x y x y a 截直线20x y 所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8【答案】B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ，则圆心(1,1)C ，半径r 满足22r a ，则圆心C 到直线20x y 的距离d2422r a ，故4a ．36．(2014四川文)设m R ，过定点A 的动直线0x my 和过定点B 的动直线30mx y m 交于点(,)P x y ，则||||PA PB 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】易知直线0x my 过定点(0,0)A ，直线30mx y m 过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB 102sin()4PAB[10,25] ．故选B ．37．(2014江西文)在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y 相切，则圆C 面积的最小值为A ．45B ．34C ．(625)D ．54【答案】A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y 相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点0到直线240x y 的距离，此时25r5r，圆C 的面积的最小值为245S r．38．(2014福建理)已知直线l 过圆 2234x y 的圆心，且与直线10x y 垂直，则l 的方程是A ．20x y B ．20x y C ．30x y D ．30x y 【答案】D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y ．39．(2014北京理)已知圆 22:341C x y 和两点 ,0A m ， ,00B m m ，若圆C 上存在点P ，使得90APB ，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC ，所以以原点为圆心、以m 为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．40．(2014湖南理)若圆221:1C x y 与圆222:680C x y x y m 外切，则m A ．21B ．19C ．9D ．11【答案】C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,25r r m1212||1255C C r r m ，所以9m ．41．(2014安徽理)过点P ）（13 的直线l 与圆122y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]6，（B ．3，（C ．60[ ，D ．]30[ ，【答案】D 【解析】设直线l 的倾斜角为，由题意可知min max 0,263．42．(2014浙江理)已知圆22220x y x y a 截直线20x y 所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8【答案】B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ，则圆心(1,1)C ，半径r 满足22r a ，则圆心C 到直线20x y 的距离d 所以2422r a ，故4a ．43．(2014四川理)设m R ，过定点A 的动直线0x my 和过定点B 的动直线30mx y m 交于点(,)P x y ，则||||PA PB 的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】易知直线0x my 过定点(0,0)A ，直线30mx y m 过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB 4PAB．故选B ．44．(2014江西理)在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y 相切，则圆C 面积的最小值为A ．45B ．34C ．(6D ．54【答案】A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y 相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y 的距离，此时2rr，圆C 的面积的最小值为245S r．45．(2013山东文)过点(3，1)作圆 2211x y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为()A ．230x y B ．230x y C ．430x y D ．430x y 【答案】A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是–2，只有选项A 中直线的斜率为–2．46．(2013重庆文)已知圆 221:231C x y ，圆 222:349C x y ，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN 的最小值为A ．524B ．171C ．622D ．17【答案】A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM|≥|PC 1|－1，|PN|≥|PC 2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－4＝2223344524 ，故选A ．47．(2013安徽文)直线2550x y 被圆22240x y x y 截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．46【答案】C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离1+4-5+5=15d，半径5r ，所以最后弦长为222(5)14 ．48．(2013新课标2文)已知点 1,0A ； 1,0B ； 0,1C ，直线y ax b (0)a 将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．211,22C ．211,23D ．11,32【答案】B 【解析】(1)当y ax b 过 1,0A 与BC 的中点D 时，符合要求，此13b ，(2)当y ax b 位于②位置时1,0b A a，11,11b a b D a a，令1112A BD S 得212b a b，∵0a ，∴12b (3)当y ax b 位于③位置时21,11b b a A a a，21,11b a b D a a，令2212A CD S，即 111112112b b b a a ，化简得22241a b b ，∵0a ，∴22410b b，解得1122b．综上：21122b，故选B ．49．(2013陕西文)已知点M(a ，b)在圆221:O x y 外，则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B 【解析】点M(a ，b)在圆.112222b a y x 外111)00(.22ba d by ax O 距离到直线，圆=圆的半径，故直线与圆相交，故选B ．50．(2013天津文)已知过点P(2，2)的直线与圆225(1)x y 相切，且与直线10ax y 垂直，则aA ．12B ．1C ．2D ．12【答案】C 【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)yk x ，即220kx y k ，圆心(1,0)到12k．因为直线与直线10ax y 垂直，所以112k a，即2a ，选C ．51．(2013广东文)垂直于直线1y x 且与圆221x y 相切于第一象限的直线方程是A．0x y B ．10x y C ．10x y D ．0x y 【答案】A【解析】∵圆心到直线的距离等于1r ，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A ．直接法可设所求的直线方程为： 0y x k k ，再利用圆心到直线的距离等于1r ，求得k．52．(2013新课标2文)设抛物线2:4C y x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF ，则l 的方程为A ．1y x 或1y x B ．3(1)3y x或3(1)3y xC ．1)y x 或1)y x D ．(1)2y x或(1)2y x 【答案】C 【解析】抛物线24y x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF|=3|BF|，所以1213(1)x x ，所以1232x x ，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y ，所以此时1y ，若1y ，则123(3,(,33A B ，此时AB k ，此时直线方程为1)y x ．若1y ，则1(3,(,)33A B ，此时AB k ，此时直线方程为1)y x ．所以l 的方程是1)y x或1)y x ，选C ．53．(2013山东理)过点(3，1)作圆 2211x y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y B ．230x y C ．430x y D ．430x y 【答案】A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2 ，只有选项A 中直线的斜率为2 ．54．(2013重庆理)已知圆 221:231C x y ，圆 222:349C x y ，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN 的最小值为A ．4B 1C ．6D ．【答案】A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM|≥|PC 1|－1，|PN|≥|PC 2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444 ，故选A ．55．(2013安徽理)直线250x y 被圆22240x y x y 截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．【答案】C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d，半径r ，所以最后弦长为4 ．56．(2013新课标2理)已知点 1,0A ； 1,0B ； 0,1C ，直线y ax b (0)a 将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．11,22C ．11,23D ．11,32【答案】B 【解析】(1)当y ax b 过 1,0A 与BC 的中点D 时，符合要求，此13b ，(2)当y ax b 位于②位置时1,0b A a，11,11b a b D a a，令1112A BD S 得212b a b，∵0a ，∴12b ．(3)当y ax b 位于③位置时21,11b b a A a a，21,11b a b D a a，令2212A CD S，即 111112112b b b a a ，化简得22241a b b ，∵0a ，∴22410b b ，解得221122b综上：1122b，故选B ．57．(2013陕西理)已知点(,)M a b 在圆221:O x y 外，则直线1ax by 与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B 【解析】点M(a，b)在圆221x y 外，∴221a b ．圆(0,0)O 到直线1ax by 距离1d=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．58．(2013天津理)已知过点P(2，2)的直线与圆225(1)x y 相切，且与直线10ax y 垂直，则aA ．12B ．1C ．2D ．12【答案】C 【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)yk x ，即220kx y k ，圆心(1,0)到12k．因为直线与直线10ax y 垂直，所以112k a，即2a ，选C ．59．(2013广东理)垂直于直线1y x 且与圆221x y 相切于第一象限的直线方程是A．0x y B ．10x y C ．10x y D ．0x y【答案】A【解析】∵圆心到直线的距离等于1r ，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A ．直接法可设所求的直线方程为： 0y x k k ，再利用圆心到直线的距离等于1r ，求得k．60．(2013新课标2理)设抛物线2:4C y x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF ，则l 的方程为A ．1y x 或1y xB ．(1)3y x或(1)3y xC ．1)y x 或1)y x D ．(1)2y x或(1)2y x 【答案】C 【解析】抛物线24y x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF|=3|BF|，所以1213(1)x x ，所以1232x x ，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y ，所以此时1y ，若1y ，则1(3,(,33A B ，此时AB k ，此时直线方程为1)y x ．若1y ，则123(3,(,)33A B ，此时AB k ，此时直线方程为1)y x ．所以l 的方程是1)y x或1)y x ，选C ．61．(2012浙江文)设a R ，则“1a ”是“直线1l ：210ax y 与直线2l ：(1)40x a y 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】“直线1l ：210ax y 与直线2l ：(1)40x a y 平行”的充要条件是(1)2a a ，解得，1a 或2a ，所以是充分不必要条件．62．(2012天津文)设m ，n R ，若直线(1)+(1)2=0m x n y 与圆22(1)+(y 1)=1x 相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1)C ．[2D ．(,2)【答案】D 【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y 与圆22(1)+(y 1)=1x 相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n ，设=t m n ，则21+14t t ，解得(,2)t ．63．(2012湖北文)过点(1,1)P 的直线，将圆形区域 22(,)|4x y x y 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y B ．10y C ．0x y D ．340x y 【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．又已知点(1,1)P ，则1OP k ，故所求直线的斜率为–1．又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为 11y x ，即20 x y ．故选A ．64．(2012天津文)在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y 与圆224x y 相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于()()A()B ()C ()D【答案】B 【解析】圆224x y 的圆心(0,0)O 到直线3450x y 的距离515d，弦AB 的长AB ．65．(2012浙江理)设a R ，则“1a ”是“直线1l ：210ax y 与直线2l ：(1)40x a y 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】“直线1l ：210ax y 与直线2l ：(1)40x a y 平行”的充要条件是(1)2a a ，解得，1a 或2a ，所以是充分不必要条件．66．(2012天津理)设m ，n R ，若直线(1)+(1)2=0m x n y 与圆22(1)+(y 1)=1x 相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1)C ．[2D ．(,2)【答案】D 【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y 与圆22(1)+(y 1)=1x 相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n ，设=t m n ，则21+14t t ，解得(,2)t ．67．(2012湖北理)过点(1,1)P 的直线，将圆形区域 22(,)|4x y x y 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y B ．10y C ．0x y D ．340x y 【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．又已知点(1,1)P ，则1OP k ，故所求直线的斜率为 1．又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为11y x ，即20 x y ．故选A ．68．(2012天津理)在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y 与圆224x y 相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．CD ．【答案】B 【解析】圆224x y 的圆心(0,0)O 到直线3450x y 的距离515d弦AB 的长AB ．69．(2011北京文)已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C 在函数y x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】设点2(,)C t t ，直线AB 的方程是20x y ，||AB 由于ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程122，即h ，22|2|2t t ，解得有4个实根，故这样的点C 有4个．70．(2011江西文)若曲线1C ：2220x y x 与曲线2C ：()0y y mx m 有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(3，3文)B ．(3，0) (0，3)C ．[3 ，3]D ．( ，3) (3，+ )【答案】B 【解析】221:(1)1C x y ，2C 表示两条直线即x 轴和直线l ：(1)y m x ，显然x 轴与1C 有两个交点，由题意l 与2C 相交，所以1C 的圆心到l 的距离1d r，解得33(,)33m，又当0m 时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选B ．71．(2011北京理)已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C 在函数y =x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】设点2(,)C t t ，直线AB 的方程是20x y ，||AB 由于ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程122，即h ，22|2|2t t ，解得有4个实根，故这样的点C 有4个．72．(2011江西理)若曲线1C ：2220x y x 与曲线2C ：()0y y mx m 有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(33，33)B ．(33，0) (0，33)C ．[3 ，3]D ．( ，3) (3，+ )【答案】B 【解析】221:(1)1C x y ，2C 表示两条直线即x 轴和直线l ：(1)y m x ，显然x 轴与1C 有两个交点，由题意l 与2C 相交，所以1C 的圆心到l的距离1d r，解得(,33m，又当0m 时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选B ．73．【2020年高考天津卷12】已知直线80x 和圆222(0)x y r r 相交于,A B 两点．若||6AB ，则r 的值为_________．【答案】5【解析】因为圆心 0,0到直线80x的距离4d，由l6 ，解得=5r ．74．【2020年高考浙江卷15】设直线:(0)l y kx b k ，圆221:1C x y ，222:(4)1C x y ，若直线l与1C ，2C 都相切，则k ；b．【答案】33；233【解析】由题意可知直线l 是圆1C 和圆2C 的公切线，∵0k ，为如图所示的切线，由对称性可知直线l 必过点 2,0，即20k b ①1，②由①②解得：3k，3b，故答案为：3；3．75．【2020年高考江苏卷14】在平面直角坐标系xOy 中，已知3,0)2P ，A B 、是圆C ：221(362x y上的两个动点，满足PA PB ，则PAB 面积的最大值是________．【答案】【解析】如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，则：∵PA PB ，6CA CB R ，∴PC AB ，EF 为垂径．要使面积PAB S 最大，则P D 、位于C 两侧，并设CD x ，计算可知1PC ，故1PD x ，2AB BD ，故1(12PAB AB PD S x，令6cos x ，(1(16cos )6sin 6sin 18sin 2PAB S x ，02q，记函数()6sin 18sin 2f ，则2()6cos 36cos26(12cos cos 6)f ，令2()6(12cos cos 6)0f ，解得2cos 3 (3cos 04舍去)显然，当20cos 3时，()0f ，()f 单调递减；当2cos 13时，()0f ，()f 单调递增；结合cos 在(0,2 递减，故2cos3 时()f 最大，此时sin 3，故max 552()636333f，即PAB 面积的最大值是．(注：实际上可设BCD ，利用直角BCD 可更快速计算得出该面积表达式)76．【2019·浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y 与圆C 相切于点(2,1)A ，则m =___________，r =___________．【答案】2【解析】由题意可知11:1(2)22ACk AC y x，把(0,)m代入直线AC的方程得2m，此时||r AC77．【2018·全国I文】直线1y x 与圆22230x y y交于A B，两点，则AB ________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为 2214x y，所以圆的圆心为0,1 ，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ，结合圆中的特殊三角形，可知AB，故答案为．78．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，A为直线:2l y x上在第一象限内的点，(5,0)B，以AB 为直径的圆C与直线l交于另一点D．若0AB CD，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】设,2(0)A a a a ，则由圆心C为AB中点得5,,2aC a易得:520C x x a y y a，与2y x联立解得点D的横坐标1,Dx 所以 1,2D．所以55,2,1,22aAB a a CD a，由0AB CD得2551220,230,32aa a a a a a或1a ，因为0a ，所以 3.a79．【2018高考上海12】已知实数1212x x y y,,,满足：22221122121211,1,2x y x y x x y y，则的最大值为．【解析】试题分析：由已知可得点1122,,,A x yB x y在单位圆221x y 上．又由121212x x y y，容易想到向量的数量积，从而得AOB的大小．而容易想到点11,A x y到直线10x y 的距离，因此问题转化为圆上两点 1122,,,A x y B x y 到直线10x y 距离和的最大值问题，再三角换元，进而应用三角函数来求最大值．试题解析：由已知可得两点 1122,,,A x y B x y 在单位圆221x y 上．121211,cos ,223OA OB x x y y AOB AOB OA OB∵ ．设 cos ,sin ,cos ,sin 33A B，则．已知点 1122,,,A x y B x y 在直线10x ysin 1cos sin 13311sin 1cos sin sin cos 1222233cos sin 22222cos 4sin 412当且仅当122即12．80．(2017江苏理)在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A ，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y 上，若20PA PB≤，则点P 的横坐标的取值范围是．【答案】[ 【解析】设(,)P x y ，由20PA PB≤，得250x y ≤，x如图由250x y ≤可知，P 在 MN 上，由2225050x y x y，解得(1,7)M ，(5,5)N ，所以P 点横坐标的取值范围为[ ．81．【2016·四川文科】在平面直角坐标系中，当P(x ，y)不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ．②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．【答案】②③【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P ，而11(,)22P 的伴随点为(1,1) ，而不是P ，故①错误；对于②，令单位圆上点的坐标为(cos ,sin )P x x ，则其伴随点为(sin ,cos )P x x ，仍在单位圆上，故②正确；对于③，设曲线(,)0f x y 关于x 轴对称，则(,)0f x y 与曲线(,)0f x y 表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y 与2222(,)0y xf x y x y ，它们也表示同一曲线，又因为伴随曲线2222(,)0y x f x y x y 与2222(,)0y xf x y x y关于y 轴对称，所以③正确；对于④，取直线y kx b 上一点P(x ，y)，则其伴随点2222(,)y xx y x y ，消参后轨迹是圆，故④错误．所以真命题为②③．82．[2016·新课标Ⅲ文数]已知直线l ：60x 与圆2212x y 交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD _____________．【答案】4【解析】由60x ，得6x，代入圆的方程，并整理，得260y ，解得12y y 120,3x x ，所以||AB ．又直线l 的倾斜角为30 ，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD．83．【2016·新课标1文数】设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若퐴 =23，则圆C 的面积为．【答案】4【解析】圆22:220C x y ay ，即222:()2C x y a a ，圆心为(0,)C a ，由||AB 圆心C 到直线2y x a，所以得222()22a ，则22,a 所以圆的面积为2π(2)4πa ．84．(2015重庆文)若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．【答案】250x y 【解析】由点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225x y ，所以该圆在点P 处的切线方程为125x y 即250x y ．85．(2015湖南文)若直线3450x y 与圆 2220x y r r 相交于,A B 两点，且120o AOB (O为坐标原点)，则r =_____．【答案】2【解析】如图直线3450x y 与圆2220x y r r （＞）交于,A B 两点，O 为坐标原点，且120o AOB ，则圆心(0,0)到直线3450x y 的距离为2r 2r，∴2r =．86．(2015湖北文)如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B (B 在A 的上方)，。

(2021年整理)高考文科数学试题分类解析之直线与圆

2
3【答案】如图直线与圆交于A、B两点，O为坐标原点，且，则圆心（0，0)到直线的距离为 , .故答案为2.
4.【答案】D∵直线与圆心为（1,1），半径为1的圆相切，∴ ＝1 或12，故选D。
5【答案】由点在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为： ,所以该圆在点P处的切线方程为即，故填: .
5.【2015高考重庆，文12】若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________。
6.【2015高考湖北,文16】如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方)，且 .
(Ⅰ）圆的标准方程为_________;
(Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________。
（A)（1，3）（B)(1，4) (C)（2，3） (D)（2，4)
3.【2015高考湖南，文13】若直线与圆相交于A，B两点，且（O为坐标原点），则 =_____.
4。【2015高考安徽,文8】直线3x+4y=b与圆相切，则b=（）
（A)-2或12 （B）2或—12 (C）—2或—12 （D）2或12
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第八章直线与圆
试题部分
1。【2015高考北京,文2】圆心为且过原点的圆的方程是（ )
A． B．
C． D．
2.【2015高考四川，文10】设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：（x－5）2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
所以满足

2023年高考文科数学真题汇编直线和圆学生版

[1,)
+∞
截得旳弦长为（）旳倾斜角旳取值范围是（）
y b
旳上顶点为
2
1(a b0)
32.（江苏）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 已知以M为圆心旳圆M: 及其上一点A(2, 4)
（1）设圆N与x轴相切, 与圆M外切, 且圆心N在直线x=6上, 求圆N旳原则方程；
（2）设平行于OA旳直线l与圆M相交于B、C两点, 且BC=OA,求直线l旳方程；
33. （江苏）在平面直角坐标系中, 点, 直线,设圆旳半径为, 圆心在上。

（1）若圆心也在直线上, 过点作圆旳切线, 求切线旳方程；
（2）若圆上存在点, 使, 求圆心旳横坐标旳取值范围
34. (·全国Ⅰ理, 15)已知双曲线C: －＝1(a>0, b>0)旳右顶点为A, 以A为圆心, b为半径作圆A, 圆A 与双曲线C旳一条渐近线交于M, N两点. 若∠MAN＝60°, 则C旳离心率为________.。

高考数学真题分类汇编(文科) 直线与圆

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科）直线与圆（原卷版）一、选择题1．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知圆2260x y x +-=，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( )A B C D 3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为( )A ．1BCD ．24．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是 ( )A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣ 5．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =( )．A ．−43B ．−34CD ．26．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 ( )5A.34D.37．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)设点0(,1)M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是( )A ．[1,1]-B ．11[,]22- C ．[ D ．[ 二、填空题8．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则||AB = ．9．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)已知直线l ：2k 与圆2212x y +=交于A B ,两点，过A B ,分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则CD =______．10．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于A ，B 两点，若AB =C 的面积为．三、解答题11．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，||4AB =，M 过点A ，B 且与直线20x +=相切．(1)若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；(2)是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MA MP -为定值？并说明理由．12．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)(本小题满分12分)已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于,M N 两点．(I )求k 的取值范围；(II )12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN ．13．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积。

高中文科数学直线和圆题目精选和答案

1 在直角坐标系中，直线033=-+y x 的倾斜角是（）A ．6πB ．3π C ．65π D ．32π 2 若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（）A ．1)1()2(22=++-y x B ．1)1()2(22=-+-y x C ．1)2()1(22=++-y xD ．1)2()1(22=-++y x4 已知直线21:+=x y l ，直线l 过点)1,2(-P ，且l 到l 的夹角为 45，则直线l 的方程是（）A 5 A 6 A 7）A 8 A 9 点(A 10 A C ．点)0,1(在区域x y 2>内D ．点)1,0(在区域01<+-y x 内11 由点)3,1(P 引圆922=+y x 的切线的长是 ( )A ．2B ．19C ．1D ．412 三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．113 已知直线01:,03:21=+-=+y kx l y x l ，若1l 到2l 的夹角为60，则k 的值是A ．03或B ．03或-C ．3D ．3-14 如果直线02012=-+=++y x y ax 与直线互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．31-C ．32-D ．2-15 若直线023022=--=++y x y ax 与直线平行，那么系数a 等于( )A ．3-B ．6-C ．23-D ．3216 由y A ．4π17 A ．(x C ．2(18 A C 1.已知点2.过点A 3.已知圆4.圆2x +5._6、设方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。

变式1：方程224(1)40ax ay a x y +--+=表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。