人教9年级数学上册 专题训练(2) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
九年级数学上册专题提高培优一元二次方程：根的判别式、根与系数的关系
九年级数学一元二次方程：根的判别式、根与系数的关系知识精讲【基础知识精讲】1．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式: ac b 42-=∆⑴ 当0>∆时,方程有两个不相等的实数根； (2) 当0=∆时,方程有两个相等的实数根； ⑶ 当0<∆时,方程没有实数根。
（以上三点反之亦成立）。
2．一元二次方程有实数根0≥∆⇔注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数0≠a(3)证明ac b 42-=∆恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。
3．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设21x x 、是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根，则abx x -=+21，a c x x =⋅214．设21x x 、是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根，则：0,0121>>x x ）（时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙>-=+002121a c x x a b x x0,0)2(21<<x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙<-=+002121a c x x a b x x0,0)3(21<>x x 时，有021<=∙acx x 5．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 【例题巧解点拨】1---根的判别式：例1：1.方程012=--kx x 的根的情况是（ ）A ．方程有两个不相等的实数根 B.方程有两个相等的实数根C.方程没有实数根D.方程的根的情况与k 的取值有关2.若一元二次方程06)4(22=+--x kx x 无实数根，则k 的最小整数值是（ ） A.－1 B.2 C.3 D.43.若关于x 的方程0)()(22=-+-+a b x b a ax 有两个相等的实数根,则b a :等于( )A.-1或2B.1或12 C.-12或1 D.-2或1 4.若关于y 的一元二次方程43342+=--y y ky 有实根,则k 的取值范围是( )A.47->k B.047≠-≥k k 且 C.47-≥k D.047≠>k k 且例2：已知关于x 的方程0)21(4)12(2=-++-k x k x 。
小专题(二) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
小专题(二) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1．(金华中考)一元二次方程x 2－3x －2＝0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是(C )A ．x 1＝－1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－2C ．x 1＋x 2＝3D ．x 1x 2＝22．(桂林中考)若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是(B )A ．k<5B ．k<5，且k ≠1C ．k ≤5，且k ≠1D ．k>53．(玉林中考)关于x 的一元二次方程x 2－4x －m 2＝0有两个实数根x 1、x 2，则m 2(1x 1＋1x 2)＝(D ) A .m 44 B ．－m 44C ．4D ．－44．若关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋m 2－3m ＋3＝0的两根互为倒数，则m 的值等于(B )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．若m 、n 是方程x 2－2 016x ＋2 017＝0的两根，则(m 2－2 017m ＋2 017)(n 2－2 017n ＋2 017)的值是2_017．6．(湘潭中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2.(1)求m 的值；(2)当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．解：(1)∵一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×m ＝9－4m>0.∴m<94. (2)根据一元二次方程根与系数的关系x 1＋x 2＝－b a，得1＋x 2＝3，∴x 2＝2.7．设x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根．请问：是否存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立？试说明理由．解：不存在．理由如下：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根，则b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(k ＋1)≥0，即16－4k －4≥0，解得k ≤3.由根与系数关系，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝k ＋1.假设存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2，则k ＋1＞4，解得k ＞3.这与k ≤3相矛盾，∴假设不成立．∴不存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立．8．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m －3)x ＋m 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数m 的取值范围；(2)若x 1＋x 2＝6－x 1x 2，求(x 1－x 2)2＋3x 1x 2－5的值．解：(1)Δ＝(2m －3)2－4m 2＝4m 2－12m ＋9－4m 2＝－12m ＋9，∵方程有两个实数根，∴Δ≥0.∴－12m ＋9≥0.∴m ≤34. (2)由题意可得x 1＋x 2＝－(2m －3)＝3－2m ，x 1x 2＝m 2，又∵x 1＋x 2＝6－x 1x 2，∴3－2m ＝6－m 2.∴m 2－2m －3＝0.∴m 1＝3，m 2＝－1.又∵m ≤34，∴m ＝－1. ∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝1.∴(x 1－x 2)2＋3x 1x 2－5＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＋3x 1x 2－5＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2－5＝52－1－5＝19.9．(鄂州中考)关于x 的方程(k －1)x 2＋2kx ＋2＝0.(1)求证：无论k 为何值，方程总有实数根；(2)设x 1，x 2是方程(k －1)x 2＋2kx ＋2＝0的两个根，记S ＝x 2x 1＋x 1x 2＋x 1＋x 2，S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值．若不能，请说明理由．解：(1)证明：①当k －1＝0，即k ＝1时，方程为一元一次方程2x ＋2＝0，x ＝－1，有一个解； ②当k －1≠0，即k ≠1时，方程为一元二次方程．Δ＝(2k)2－4×2(k －1)＝4k 2－8k ＋8＝4(k －1)2＋4＞0，方程有两个不等实根．综合①②，得无论k 为何值，方程总有实数根．(2)根据一元二次方程的两个根分别为x 1和x 2，由一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k k －1，x 1x 2＝2k －1， 又∵S ＝x 2x 1＋x 1x 2＋x 1＋x 2， ∴S ＝x 21＋x 22x 1x 2＋x 1＋x 2 ＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＋x 1＋x 2 ＝（－2k k －1）2－4k －12k －1＋－2k k －1＝2k 2k －1－2＋－2k k －1＝2k －2.当S ＝2时，2k －2＝2，解得k ＝2.。
根的判别式及根与系数的关系大题专练(重难点培优60题)-九年级数学上册尖子生培优必刷题【人教版】
【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题21.12根的判别式及根与系数的关系大题专练（重难点培优60题）一．解答题（共60小题）1．（2023春•鼓楼区校级期末）关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于0，求k的取值范围．2．（2023春•淮北期末）已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2023的值．3．（2023春•凤阳县期末）关于x的一元二次方程mx2+（2m+3）x+m+1＝0有两个不等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最小整数时，求x的值．4．（2023•西宁二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若a为正整数，求一元二次方程的解．5．（2023春•惠城区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+3＝0．（1）当m＝1时，判断方程根的情况；（2）当m＝2时，求方程的根．6．（2022秋•方城县期末）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1＝0．（1）请说明：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为3，求m的值．7．（2023春•丰城市校级期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为5，试求k的值．8．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．9．（2023•梁山县二模）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c．则称该方程为“和谐方程”．（1）下列属于和谐方程的是；①x2+2x+1＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2+x＝0．（2）求证：和谐方程总有实数根；（3）已知：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系．10．（2023春•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程mx2+（2﹣3m）x+（2m﹣4）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值．11．（2023春•鼓楼区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一实数根大于3，求a的取值范围．12．（2023春•安庆期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．13．（2023•保康县模拟）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．14．（2023春•延庆区期末）关于x的方程x2﹣4x+2（m+1）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求此时方程的根．15．（2023•北京二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．16．（2023春•瑶海区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若满足x12+x22=2，求m的值．17．（2023春•南岗区期末）已知：方程（m﹣2）x|m|﹣x+n＝0是关于x的一元二次方程．（1）求m的值；（2）若该方程无实数根，求n的取值范围．18．（2023•延庆区一模）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．19．（2023春•肇东市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝﹣1，求m的值．20．（2023春•龙口市期中）已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0两个不相等的实数根x1，x2，若1x1+1x2=4m，求m的值．21．（2023•邗江区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．22．（2023春•如东县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+2m＝0．（1）求证无论实数m取何值，此方程一定有两个实数根；（2）设此方程的两个实数根分别为x1x2，若x12+x22=13，求m的值．23．（2023春•环翠区期末）已知：关于x的方程x2+（8﹣4m）x+4m2＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．24．（2023春•霍邱县期末）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m＝0．（1）若x＝1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根．（2）若x1x2是方程的两个实数根，且满足x12+x22+5x1x2−x12x22=0，求m的值．25．（2023春•莒县期末）（1）解方程：（2x+1）（x﹣4）＝5；（2）已知方程x2+（2k﹣1）x+k2+3＝0的两实数根的平方和比两根之积大15，求k的值．26．（2023春•青阳县期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．27．（2023春•广饶县期中）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．28．（2023春•贵池区期末）已知：关于x的方程x2+mx﹣8＝0有一个根是﹣4，求另一个根及m的值．29．（2023春•大观区校级期末）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S=x1x2+x2x1+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．30．（2023•湟中区校级开学）关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．31．（2023•襄州区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β满足α2+β2＝9，求m的值．32．（2023•惠州一模）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）试确定实数m的取值范围；（2）若（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，求m的值．33．（2023•鼓楼区校级模拟）已知关于m的方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0（m≠0）有两实数根x1，x2，请用m表示x12+x22的值并求出m的取值范围．34．（2023春•宁波期末）阅读材料，根据上述材料解决以下问题：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1x2，则x1+x2=−bax1x2=c a材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0 的两个不相等的实数根．（1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0 两个根为x1x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）应用探究：已知实数m，n满足9m2﹣9m﹣1＝09n2﹣9n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足9s2+9s+1＝0t2+9t+9＝0，其中st≠1且st≠0．求3st+9s+3t的值．35．（2023春•合肥期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22−x1x2=18，求a的值．36．（2023春•长沙期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2﹣x1﹣x2＝3，求k的值．37．（2023春•莱芜区期末）已知：关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是√2，求另一个根及m的值．38．（2023春•长沙期末）方程x2+2x+m﹣1＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22+3x1x2+10＝0，求m的值．39．（2023•广陵区校级一模）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的三边a，b，c中a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．40．（2023•沙市区模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求m的值．41．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝3，求m的值．42．（2023•蓬江区校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+x22=3，求k的值．43．（2023春•淮北月考）关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若已知此方程的一个根为﹣2，求m的值以及方程的另一根．44．（2023春•岳麓区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0．（1）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值范围；（2）若此方程的两根互为倒数，求x12+x22的值．45．（2023•襄阳模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）=−6m−7？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．46．（2023春•房山区期末）已知关于x的一元二次方程x2+nx﹣6＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．47．（2023春•顺义区期末）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣3＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求b的值及方程的另一个根．48．（2023春•思明区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+5m＝0．（1）求证：此一元二次方程一定有两个实数根；（2）设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．49．（2023春•虹口区期末）设x1，x2为关于x的方程x2﹣2px﹣p＝0的两根，P为实数．（1）求证：2px1+x22+3p≥0．（2）当|x1﹣x2|≤|2p﹣3|时，求p的最大值．50．（2023春•蒙城县校级期中）关于x的一元二次方程为x2﹣2x﹣m（m+2）＝0．（1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两根之积等于0，求m的值．51．（2023春•蚌山区月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，若△ABC的两边AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．（1）若k＝3时，请判断△ABC的形状并说明理由；（2）若△ABC是等腰三角形，求k的值．52．（2023•海淀区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．（1）判断方程根的情况，并说明理由；（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．53．（2022秋•自贡期末）已知关于x的方程x2+nx+2m＝0．（1）求证：当n＝m+3时，方程总有两个不相等实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．54．（2023春•建邺区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +1）x +2k ﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．55．（2023春•蓬莱区期中）已知关于x 的方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1＝0，（1）若方程有实数根，求a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使方程的两根x 1，x 2满足x 1+x 2+x 1x 2＝3，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．56．（2023•海淀区校级三模）已知关于x 的方程mx 2﹣（m +3）x +3＝0（m ≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．57．（2023•石景山区二模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx +m 2﹣1＝0（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若m ＞1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．58．（2023•郓城县一模）已知关于x 的一元二次方程12x 2+（m ﹣3）x ﹣m +2＝0． （1）求证：不论m 取何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个根分别为x 1，x 2，且x 1＞x 2，若x 1﹣x 2＝2√10，求m 的值．59．（2023春•绍兴期中）已知有关于x 的一元二次方程（k +1）x 2﹣（3k +1）x +2k ＝0．（1）求k 的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况；（2）若方程有一个根为﹣2，求k 的值及方程的另一个根；（3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k 的值．60．（2023春•肇源县月考）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2﹣3x +2a +1＝0的两个根为x 1，x 2，求x 12x 2+x 1x 22的值．。
人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》基础练习
《一元二次方程的根与系数的关系》基础练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一元二次方程x2+mx+n＝0的两根为﹣1和3，则m的值是（）A．﹣3B．3C．﹣2D．22．（5分）一元二次方程x2+3x＝0的两根分别为x1和x2，则x1•x2是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．03．（5分）已知方程x2﹣3x﹣k＝0的一个根为﹣2，那么它的另一个根为（）A．5B．1C．3D．﹣24．（5分）方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．两实根的和为﹣2B．两实根的积为3C．有两个不相等的正实数根D．没有实数根5．（5分）以2和4为根的一元二次方程是（）A．x2+6x+8＝0B．x2﹣6x+8＝0C．x2+6x﹣8＝0D．x2﹣6x﹣8＝0二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）设a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两实数根，则a2+3a+ab+2b＝．7．（5分）设α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，则（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝．8．（5分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x12+x22+3x1x2＝．9．（5分）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为1和﹣2，则b•c＝．10．（5分）若x1，x2是一元二次方程3x2﹣x﹣3＝0的两根，则x1+x2的值是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）方程x2﹣2x+m﹣5＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若（x1+x2）2+x1•x2+10＝0，求m的值．12．（10分）已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，（1）求x1+x2；x1x2的值；（2）求x12+x22的值．13．（10分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+2x1+x2+k＝3，试求k的值．14．（10分）关于x的一元二次方程ax2﹣5x+a2+a＝0的一个根是0，求a的值及另一根．15．（10分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（1）求证：方程总有实数根；（2）已知方程有两个实数根α，β满足+＝2，求m的值．《一元二次方程的根与系数的关系》基础练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一元二次方程x2+mx+n＝0的两根为﹣1和3，则m的值是（）A．﹣3B．3C．﹣2D．2【分析】根据根与系数的关系得到﹣1+3＝﹣m，然后解关于m的方程即可，【解答】解：根据题意得﹣1+3＝﹣m，所以m＝﹣2．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．2．（5分）一元二次方程x2+3x＝0的两根分别为x1和x2，则x1•x2是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．0【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1•x2＝＝0．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．3．（5分）已知方程x2﹣3x﹣k＝0的一个根为﹣2，那么它的另一个根为（）A．5B．1C．3D．﹣2【分析】首先根据根与系数的关系可以得到两根之和，然后利用两根之和，可以求出另一个根．【解答】解：设x1，x2是方程x2﹣3x﹣k＝0的两根，由题意知x1+x2＝﹣2+x2＝3，解得x2＝5．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．4．（5分）方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．两实根的和为﹣2B．两实根的积为3C．有两个不相等的正实数根D．没有实数根【分析】利用判别式的意义进行判断．【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×3＜0．∴方程没有实数解．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了判别式的意义．5．（5分）以2和4为根的一元二次方程是（）A．x2+6x+8＝0B．x2﹣6x+8＝0C．x2+6x﹣8＝0D．x2﹣6x﹣8＝0【分析】根据已知两根确定出所求方程即可．【解答】解：以2和4为根的一元二次方程是x2﹣6x+8＝0，故选：B．【点评】此题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）设a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两实数根，则a2+3a+ab+2b＝﹣2．【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2018，a+b＝﹣1，ab＝﹣2018，将其代入a2+3a+ab+2b＝（a2+a）+2（a+b）+ab中即可求出结论．【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两实数根，∴a2+a＝2018，a+b＝﹣1，ab＝﹣2018，∴a2+3a+ab+2b＝（a2+a）+2（a+b）+ab＝2018﹣2﹣2018＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解．7．（5分）设α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，则（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝4．【分析】根据一元二次方程的解的定义得出α2+2018α＝2，β2+2018β＝2，再代入（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2），计算即可得出结论．【解答】解：∵α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，∴α2+2018α＝2，β2+2018β＝2，∴（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝（2﹣1）（2+2）＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解得出α2+2018α＝2，β2+2018β＝2是解题的关键．8．（5分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x12+x22+3x1x2＝﹣1．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣2，把x12+x22+3x1x2变形为（x1+x2）2+x1x2，然后利用整体代入的方法计算；【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣5，x12+x22+3x1x2＝（x1+x2）2+x1x2＝22+（﹣5）＝﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．9．（5分）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根分别为1和﹣2，则b•c＝﹣2．【分析】根据根与系数的关系得到1+（﹣2）＝﹣b，1×（﹣2）＝c，然后分别求出b、c的值，再计算bc的值．【解答】解：根据题意得1+（﹣2）＝﹣b，1×（﹣2）＝c，所以b＝1，c＝﹣2，所以bc＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．10．（5分）若x1，x2是一元二次方程3x2﹣x﹣3＝0的两根，则x1+x2的值是．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程3x2﹣x﹣3＝0的两根，∴x1+x2＝．故答案为．【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）方程x2﹣2x+m﹣5＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若（x1+x2）2+x1•x2+10＝0，求m的值．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（m﹣5）≥0，然后解关于m的不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝m﹣5，利用整体代入的方法得到∴22+m ﹣5+10＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（m﹣5）≥0，解得m≤6；（2）根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝m﹣5，∵（x1+x2）2+x1•x2+10＝0，∴22+m﹣5+10＝0，∴m＝﹣9．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝12．（10分）已知x1、x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，（1）求x1+x2；x1x2的值；（2）求x12+x22的值．【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）先利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣3；（2）x12+x22＝（x1+x2）2﹣﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．13．（10分）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x12+2x1+x2+k＝3，试求k的值．【分析】（1）因为方程有两个实数根，得到△≥0，由此可求k的取值范围；（2）由一元二次方程的解的定义得出，x12＝﹣3x1﹣k+3，将它代入x12+2x1+x2+k＝3，得出x1＝x2；那么△＝32﹣4（k﹣3）＝0，即可求出k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0有两个实数根，∴△＝32﹣4（k﹣3）≥0，解得k≤，∴当k≤时，关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0有两个实数根；（2）∵x1是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的根，∴x12+3x1+k﹣3＝0，即x12＝﹣3x1﹣k+3．∵x12+2x1+x2+k＝3，∴x1＝x2；∴△＝32﹣4（k﹣3）＝0，解得k＝．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的解的定义．14．（10分）关于x的一元二次方程ax2﹣5x+a2+a＝0的一个根是0，求a的值及另一根．【分析】代入x＝0可求出a值，由一元二次方程的定义可确定a值，将其代入原方程利用根与系数的关系结合方程的一根，可求出方程的另一根，此题得解．【解答】解：当x＝0时，a2+a＝0，解得：a1＝﹣1，a2＝0．又∵原方程为一元二次方程，∴a＝﹣1，∴原方程为﹣x2﹣5x＝0，∴方程的另一根为﹣﹣0＝﹣5．故a的值为﹣1，方程的另一根为x＝﹣5．【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，代入x＝0求出a值是解题的关键．15．（10分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．（1）求证：方程总有实数根；（2）已知方程有两个实数根α，β满足+＝2，求m的值．【分析】（1）当二次项系数为零时，通过解一元一次方程可得出该方程有解；当二次项系数非零时，由根的判别式△＝（m﹣2）2≥0可得出当m＝0时方程有解．综上，此题得证；（2）根据根与系数的关系可得出α+β＝，αβ＝，结合+＝2即可得出关于m 的方程，解之即可得出m的值．【解答】（1）证明：当m＝0时，原方程为﹣2x+2＝0，解得：x＝1，∴当m＝0时，方程有解；当m≠0时，△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴当m≠0时，方程mx2﹣（m+2）x+2＝0有解．综上：无论m为何值，方程总有实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴α+β＝，αβ＝．∵+＝＝2，即＝2，解得：m＝2．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）分二次项系数非零及二次项系数为零两种情况找出方程有解；（2）利用根与系数的关系结合+＝2找出关于m的方程．。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系专题训练
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一.选择题（共8小题）1.（2016•包头）若关于x的方程x2+（m+1）x+工二。
的一个实数根的倒数恰是它本身，则2m的值是（）A.--B.C.-或D.122.（2016.青海）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的根，则该三角形的周长为（）A.8B.10C.8或10D.123.（2016.枣庄）若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A. B. C.D.4.（2016•河北）a,b,c为常数，且（a-c）2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.有一根为05.（2016•黄冈）若方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1,x2，则x1+x2=（）A.-4B.3C.-yD.6.（2016・凉山州）已知x1、x2是一元二次方程3x2=6-2x的两根，则x1-x1x2+x2的值是（）4A.--B.C.D.37.（2016•贵港）若关于x的一元二次方程x2-3x+p=0（pWO）的两个不相等的实数根分别为a和b,且a2-ab+b2=18,则且+的值是（）A.3B.-3C.5D.-58.（2016•威海）已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根，且x1+x2=-2,x1・x2=1,则b a的值是（）A.yB.-C.4D.-1二．填空题（共3小题）9.（2016•菏泽）已知m是关于x的方程x2-2x-3=0的一个根，则2m2-4m=.10.（2016•眉山）设m、n是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根，则m2+3m+n=.11.（2016•南通）设一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是x1,x2，贝U x1+x2（x22-3x2）三.解答题（共19小题）12.（2016•临夏州）已知关于x的方程x2+mx+m-2=0.（1）若此方程的一个根为1,求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根.13.（2016•十堰）已知关于x的方程（x-3）（x-2）-p2=0.（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x1,x2，且满足x12+x22=3x1x2，求实数p的值.14.（2016•绥化）关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根.（1）求m的取值范围；（2）若x1,x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8,求m的值.15.(2016•潍坊)关于x的方程3x2+mx-8=0有一个根是求另一个根及m的值.16.(2016•鄂州)关于x的方程(k-1)x2+2kx+2=0.(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根.(2)设Xi，X2是方程(k-1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=」+X1+X2,S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由.17.(2016•南充)已知关于x的一元二次方程x2-6x+(2m+1)=0有实数根.(1)求m的取值范围；(2)如果方程的两个实数根为x1,x2，且2x1x2+x1+x2N20,求m的取值范围.18.(2016•孝感)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根x1,x2.(1)求m的取值范围；(2)当x12+x22=6x1x2时，求m的值.l-r-119.(2016•荆州)已知在关于x的分式方程二2①和一元二次方程(2-k)x2+3mx+K-1(3-k)n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数.(1)求k的取值范围；(2)当方程②有两个整数根x「x2,k为整数，且k=m+2,n=1时，求方程②的整数根;(3)当方程②有两个实数根x「x2，满足x1(x1-k)+x2(x2-k)=(x1-k)(x2-k),且k为负整数时，试判断|m|W2是否成立？请说明理由.20.(2016•蓝山县校级自主招生)已知关于x的方程x2-(2k+l)x+4(k-2)=02(1)求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求^ABC的周长．9/-4y2=3621.(2016•黄石)解方程组《K-y-222.（2016.平顶山一模）若0是关于x的方程（m-2）x2+3x+m2+2m-8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．23.（2016.仪征市一模）已知m是方程x2+x-1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m-1）的值.24.（2016.剑川县校级模拟）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0,其中a、b、c分别为^ABC三边的长.（1）如果x=-1是方程的根，试判断4ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断4ABC的形状，并说明理由.25.（2016•唐河县一模）已知关于x的一元二次方程（m-2）x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根.（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根.26.(2016.厦门校级模拟)关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分别为^ABC三边的长.(1)如果方程有两个相等的实数根，试判断^ABC的形状，并说明理由；(2)如果4ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.27.(2016•洛阳模拟)已知关于x的一元二次方程x2+2(k-3)x+k2-9=0有两个不相等的实数根.(1)求实数k的取值范围；(2)0可能是方程的一个根吗？若是,请求出它的另一个根；若不是,请说明理由.28.(2016•临胞县一模)已知关于x的一元二次方程(①-1)J-及币/有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围；(2)当1t A二11时，求的值•29.(2016•东明县模拟)已知：关于x的方程x2+4x+(2-k)=0有两个不相等的实数根.(1)求实数k的取值范围.(2)取一个k的负整数值，且求出这个一元二次方程的根.30.(2016•厦门校级模拟)已知关于x的一元二次方程kx2+2(k+4)x+(k-4)=0(1)若方程有实数根，求k的取值范围(2)若等腰三角形ABC的边长a=3,另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求^ABC的周长.。
一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练(含答案)
一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练10. 已知关于x 的一元二次方程220x x a --=．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围； （2）如果此方程的两个实数根为12x x ，，且满足121123x x +=-，求a 的值．11. 已知关于x 的一元二次方程x 2-m x -2=0． ……①(1) 若x =-1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根； (2) 对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．12. 已知关于x 的方程2(2)210x m x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．13. 当m 为何值时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？14. 已知关于 x的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．15. 若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值.16. 已知关于x 的一元二次方程x 2= 2（1－m ）x －m 2的两实数根为x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．17. 关于x 的一元二次方程230x x k --=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根．18.已知关于x 的一元二次方程2260x x k --=（k 为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （3分）（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值． （4分）19. 关于x 的一元二次方程22(23)0x k x k +-+=有两个不相等的实数根αβ、．（1）求k 的取值范围；（2）若6αβαβ++=，求2()35αβαβ-+-的值．20. 已知关于x 的一元二次方程x 2 + 2（k －1）x + k 2－1 = 0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．21.在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x 的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．22. 设12x x 、是关于x 的方程2410x x k -++=的两个实数根．试问：是否存在实数k ，使得1212x x x x >+·成立，请说明理由．23. 已知关于x 的方程222(2)0x m x m --+=．问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．24. 关于x 的方程2(2)04k kx k x +++=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．25. 关于x 的一元二次方程210x x p -+-=有两实数根12x x 、．（1）求p 的取值范围；（4分）（2）若1122[2(1)][2(1)]9x x x x +-+-=，求p 的值．（6分）一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练答案第10题答案.解：（1）2(2)41()44a a ∆=--⨯⨯-=+．1分 方程有两个不相等的实数根，0∴∆>． 2分 即1a >-．3分 （2）由题意得：122x x +=，12x x a =- ．4分121212112x x x x x x a++==-，121123x x +=-223a ∴=--． 6分3a ∴=．7分第11题答案.解：（1） x =-1是方程①的一个根，所以1+m -2=0，1分 解得m =1．2分 方程为x 2-x -2=0， 解得， x 1=-1， x 2=2． 所以方程的另一根为x =2．4分 （2） ac b 42-=m 2+8，5分 因为对于任意实数m ，m 2≥0，6分 所以m 2+8>0，7分 所以对于任意的实数m ，方程①有两个不相等的实数根． 8分第12题答案.（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m 1分 =4)2(2+-m3分所以无论m 取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ， 5分 根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ，7分所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x9分第13题答案.由题意，△=(-4)2-4(m -21)=0…………………………………………（2分）即16-4m+2=0，m=29.………………………………………………（4分）当m=29时，方程有两个相等的实数根x 1=x 2=2.……………………（6分）第14题答案.解：由题意可知 0= ．即 2(4)4(1)0m ---=． 解得 5m =．3分当5m =时，原方程化为2440x x -+=． 解得 122x x ==．所以原方程的根为 122x x ==．5分第15题答案.解：∵关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根， ∴244121680k k ∆=-⨯⨯=-≥． ……3分 解得2k ≤． ……2分 ∴k 的非负整数值为0，1，2． ……3分第16题答案.（1）将原方程整理为 x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0． ∵ 原方程有两个实数根，∴ △= [ 2（m －1）2－4m 2 =－8m + 4≥0，得 m ≤21．（2） ∵ x 1，x 2为x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0的两根， ∴ y = x 1 + x 2 =－2m + 2，且m ≤21．因而y 随m 的增大而减小，故当m =21时，取得极小值1．第17题答案.解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴ 2(3)4()k ---＞0． 即 49k >-，解得，94k >-． ……（4分）（2）若k 是负整数，k 只能为－1或－2． ……（5分） 如果k ＝－1，原方程为 2310x x -+=．解得，12x =22x =（如果k ＝－2，原方程为2320x x -+=，解得，11x =，22x =．）第18题答案.解：（1）0436)(14)6(42222>+=-⨯⨯--=-k k ac b ，·················2分因此方程有两个不相等的实数根．·································3分（2）12661b x x a -+=-=-= ，·····································4分 又12214x x += ，解方程组：12126,214,x x x x +=+=⎧⎨⎩ 解得：218.2,x x ==-⎧⎨⎩·····················5分方法一：将21-=x 代入原方程得：0)2(6)2(22=--⨯--k ，················6分解得：4±=k ．·················································7分方法二：将21x x 和代入12c x x a=，得：1822k -=⨯-，······················6分解得：4±=k ．·················································7分第19题答案.解：（1） 方程22(23)0x k x k +-+=有两个不相等的实数根，0∴∆>，即22(23)410k k --⨯⨯>．解得34k <．（2）由根与系数的关系得：2(23)k k αβαβ+=--=，． 262360k k αβαβ++=∴-+-= ，． 解得31k k ==-或．由（1）可知3k =不合题意，舍去． 151k αβαβ∴=-∴+==，，． 故()2235()519αβαβαβαβ-+-=+--=．第20题答案.（1）△= [ 2（k —1）] 2－4（k 2－1）= 4k 2－8k + 4－4k 2 + 4 =－8k + 8．∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ －8k + 8＞0，解得 k ＜1，即实数k 的取值范围是 k ＜1．（2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k －1）· 0 + k 2－1 = 0， 解得 k =－1 或 k = 1（舍去）．即当 k =－1时，0就为原方程的一个根．此时，原方程变为 x 2－4x = 0，解得 x 1 = 0，x 2 = 4，所以它的另一个根是4．第21题答案.解：根据题意得：△()()2246b b =+--28200b b =+-=解得：2b = 或10b =-（不合题意，舍去）∴2b =………………………………………………………………………………４分（1）当2c b ==时，45b c +=<，不合题意（2）当5c a ==时， 12a b c ++=…………………………………………６分第22题答案.解：∵方程有实数根，∴240b ac -≥，∴2(4)4(1)0k --+≥，即3k ≤．解法一：又∵22x ==±∴12(2(24x x +=++-=，12(2(21x x k =+-=+若1212x x x x >+ ，即14k +>，∴3k >．而这与3k ≤相矛盾，因此，不存在实数k ，使得1212x x x x >+ 成立． 解法二：又∵12441b x x a -+=-=-=，12111c k x x k a +===+ ，（以下同解法一）第23题答案.解：设方程的两实根为12x x ，，则：122(2)x x m +=-，212x x m = ．1分 令221256x x +=得：2221212()24(2)256x x x x m m +-=--=．3分即28200m m --=．10m ∴=或2m =-．5分当10m =时，222[2(102)]410164000∆=--⨯=-<，∴10m =不合题意，舍去．6分当2m =-时，222[2(22)]4(2)8160∆=---⨯-=->．故：存在实数m 使原方程的两实根的平方和等于56，m 的值是2-．7分第24题答案.（1）由2(2)404k k k ∆=+->·得：1k >-又0k ≠∴k 的取值范围是1k >-且0k ≠． （2）不存在符合条件的实数k ． 理由：设方程2(2)04k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ，由根与系数的关系有：121212214110k x x kx x x x ⎧++=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩则20k k +-=，2k ∴=- 但由（1）知，2k =-时0∆<，原方程无解，故2k ≠-． 因此不存在符合条件的实数k ．第25题答案.解：（1）由题意得：2(1)4(1)0p ∆=---≥．2分 解得，54p ≤．4分（2）由1122[2(1)][2(1)]9x x x x +-+-=得，221122(2)(2)9x x x x +-+-=．6分12x x 、是方程210x x p -+-=的两实数根， 21110x x p ∴-+-=，22210x x p -+-=， 22112211x x p x x p ∴-=--=-，．(21)(21)9p p ∴+-+-=，即2(1)9p +=． 8分 2p ∴=，或4p =-． 9分 54p ≤，∴所求p 的值为4p =-．10分说明：1．可利用121x x +=，得121x x =-，211x x =-代入原求值式中求解； 2．把已知等式按多项式乘法展开后求解．。
人教版初中数学九上 基本功训练(二) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
＝0，∴方程有两个相等的实数∴根方. 程有两个不相等的实数根.
（3）x2－x＝－2. 解：移项，得x2－x＋2＝0. a＝1，b＝－1，c＝2. Δ＝b2－4ac＝（－1）2－4×1×2 ＝－7＜0，∴方程没有实数根.
2.已知关于x的方程2x2－（4k＋1）x＋2k2－1＝0. （1）当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 解：a＝2，b＝－（4k＋1），c＝2k2－1. Δ＝b2－4ac＝[－（4k＋1）]2－4×2（2k2－1）＝8k＋9.
基本功训练（二） 一元二 次方程根的判别式及根与系
数的关系
1.不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x2－10x＋25＝0；
（2）x2＋2x－5＝0；
解：a＝1，b＝－10，c＝25. 解：a＝1，b＝2，c＝－5.
Δ＝b2－4ac＝（－10）2－4×1×Δ＝25b2－4ac＝22－4×1×（－5）＝
（2）若x1＋x2＝3，求k的值及方程的根. 解：（2）由题意，得x1＋x2＝2k＋1＝3，解得k＝1. 将k＝1代入方程，得x2－3x＋2＝0， 解得x1＝2，x2＝1.
5.设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根. （1）求k的取值范围； 解：（1）由题意，得Δ≥0， 即（－4）2－4（k＋1）≥0，解得k≤3. （2）是否存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2成立？请说明理由. 解：（2）不存在.理由如下： ∵x1x2＝k＋1，x1＋x2＝4，x1x2＞x1＋x2， ∴k＋1＞4，解得k＞3. 由（1）知k≤3，∴不存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2成立.
（2）当k取何值时，方程有两个相 等的实数根？
（3）当k取何值时，方程没 有之和与两根之积：
（1）－2x2＋3＝0；
数学人教版九年级上册初三总复习 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
一元二次方程根的判别式、根与系数关系（A 班）教学设计如东县洋口镇古坳初中 沈小军【教学目标】1.熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数关系。
2.能灵活运用，解决相关问题。
【教学过程】一、小题训练，构建知识框架知识点一：一元二次方程根的判别式1． 利用根的判别式判断下列方程的根的情况。
（1）2210x x --= （2） 2x -x +9=0 （3）223122x x x +=+2. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .小结：一元二次方程的根的情况：△＞0 方程有两个________的实数根；△＝0 方程有两个________的实数根；△＜0 方程__________________；△≥0 方程__________________．知识点二：一元二次方程根与系数的关系3.设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根，则12x x += ，12x x = ，=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ ． 4．关于x 的方程2x 2＋nx ＋m ＝0（n 2－8m ≥0），当m ＝ 时，两根互为倒数； 当n ＝ 时，两根互为相反数．5．若x 1＝2-是关于x 的方程x 2＋3x ＋a ＝0的一个根，则a ＝ ，另一个根x 2 = ． 小结：如果方程()200ax bx c a ++=≠的两个根是21,x x ，则12x x += ，12x x = ．二、例题解析，体会思想方法例1： 已知关于019)13(22=-+--m x m mx x 的方程有两个实数根，求m 的取值范围．变式：如果关于x 的一元二次方程210kx +=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．－12≤k ＜12D ．－12≤k ＜12且k ≠0解题反思：例2：已知1x 、2x 是方程0132=+-x x 的两根，求代数式21122x x x -+的值．变式1 已知1x 、2x 是方程0132=+-x x 的两根，你能求出2124122x x +-的值吗？变式2 已知二次函数244y x x m =-+的图像与x 轴交点的横坐标（1,0x ）、纵坐标（2,0x ）且12112()45)8x x x x x +--=（，求该函数的最小值。