圆综合训练

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人教版六年级上册第五单元圆综合训练(一)(含答案)

人教版六上第五单元圆综合训练（一）一、选择题（满分16分）1．下面几种说法中正确的是（）A．圆周率表示圆的周长B．圆周率表示圆的周长与它直径的比的比值C．圆周率表示π保留两位小数的近似值2．大圆周长和直径的比（）小圆周长和直径的比．A．大于B．小于C．等于D．不确定3．一个长方形的长是4厘米,宽是2厘米,在长方形内画一个最大的圆,圆的直径长是（）厘米．A．4 B．1.25 C．2.5 D．24．以下四个图形中阴影部分面积最大的一个是（）A．B．C．D．5．利用半径为5厘米的圆形纸片剪一个面积最大的正方形,此正方形的面积为（）A．．60平方厘米B．、55平方厘米C．.50平方厘米6．在一个边长是8厘米的正方形里面画一个最大的圆,这个圆的半径是（）厘米．A．4 B．8 C．167．在正方形内画一个最大的圆,若此圆周长是12.56厘米,则正方形面积是（）A．16平方厘米B．16π平方厘米C．4平方厘米D．4π平方厘米8．如图中圆的直径是6厘米,则正方形的面积是（）A．9.42cm2B．18cm2C．25cm2D．28.26cm2二、填空题（满分16分）9．一条线段长4cm,以它的中点为圆心画出的圆的周长是（______）cm,面积是（______）cm2。

10．一个圆形花坛的直径是3米,它的周长是（________）米,面积是（________）平方米。

11．用一条长20m的绳子绕一根圆柱形柱子6圈还余下1.16m这根圆柱形柱子底面的周长是（________）m,直径是（________）m。

12．推导圆的面积公式时,把圆剪成若干等份后拼成一个近似长方形,长方形的长是18.84分米,这个圆的半径是（________）分米,面积是（________）平方分米。

13．用一张正方形纸片剪成一个最大的圆,若正方形的周长是40cm。

剪成的圆的面积是（________）cm2。

14．如图长方形的长为12厘米,长方形的宽是（________）cm,两个等圆的半径是（________）cm。

中考圆的综合题训练(含答案)

圆综合复习1、(12分)(2014•攀枝花,23.）如图,以点Ｐ(﹣1，０)为圆心的圆，交x轴于Ｂ、Ｃ两点（Ｂ在C的左侧),交ｙ轴于Ａ、Ｄ两点（Ａ在D的下方)，AＤ=２，将△ＡBC绕点P旋转180°,得到△MCB.(1)求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MＣ,并判断四边形ACＭB的形状(不必证明),求出点M的坐标;(3)动直线l从与ＢＭ重合的位置开始绕点B顺时针旋转,到与ＢＣ重合时停止，设直线ｌ与CM交点为E，点Ｑ为ＢE的中点,过点E作EＧ⊥BC于G,连接MＱ、ＱＧ．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变,求出∠MQG的度数;若变化，请说明理由.２.(8分)（2014•苏州2７）如图,已知⊙O上依次有A、B、Ｃ、D四个点,＝，连接AB、AD、ＢＤ，弦AB不经过圆心O,延长AＢ到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接ＢF．（1）若⊙O的半径为3,∠DAB=120°,求劣弧的长;（2）求证:BF=BD;(３）设G是BＤ的中点，探索:在⊙Ｏ上是否存在点P（不同于点Ｂ）,使得PG=PＦ?并说明PB与AE的位置关系．３.（9分）（2014•苏州2８)如图,已知l1⊥ｌ２，⊙Ｏ与l１，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l１，l2重合,ＡB＝4cm，AD＝4cm，若⊙O与矩形ABCＤ沿l１同时向右移动，⊙O的移动速度为3cｍ，矩形ABCD的移动速度为4cm／s,设移动时间为t(ｓ）(1）如图①，连接ＯA、ＡC,则∠OAＣ的度数为°；(2）如图②,两个图形移动一段时间后,⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A１B1C1D１的位置，此时点Ｏ1,A1，Ｃ1恰好在同一直线上，求圆心Ｏ移动的距离（即OO１的长）；(3）在移动过程中,圆心Ｏ到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d(cm),当d<２时,求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．４.（2014上海25.本题满分1４分，第(1)小题满分3分,第（１)小题满分5分,第(1）小题满分６分）如图1，已知在平行四边形A ＢC Ｄ中，A Ｂ＝5，BC ＝8，c ｏs B ＝45,点P 是边BC 上的动点，以CP 为半径的圆C 与边AD 交于点E 、F (点F 在点Ｅ的右侧），射线ＣE 与射线BA 交于点G ．(1）当圆C 经过点A 时,求CP 的长；（2）联结ＡP ,当A Ｐ//C Ｇ时，求弦EF 的长; (3)当△AG Ｅ是等腰三角形时,求圆Ｃ的半径长．图１备用图５.（2０14成都27本小题满分10分）如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠A ＣB=90°,ＡC=2ＢC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点Ｄ，垂足为E.设P 是错误!上异于A,C 的一个动点,射线AP 交l 于点F,连接PC 与PD,PD 交AB 于点G ．（１)求证:△PAC ∽△PDF;（２)若AB=5，错误!＝错误!，求PD 的长；（3)在点Ｐ运动过程中,设x BGAG =,y AFD =∠tan ，求y 与x 之间的函数关系式.（不要求写出x 的取值范围)tan AE AFD FE∠=，6．(9分)(2０1４•淄博２4）如图,点A 与点B 的坐标分别是（1，０）,(５,0），点P 是该直角坐标系内的一个动点． (1）使∠APB ＝3０°的点P 有个;（2）若点Ｐ在ｙ轴上，且∠APB =3０°，求满足条件的点Ｐ的坐标;(3)当点Ｐ在y 轴上移动时，∠ＡPB 是否有最大值？若有，求点Ｐ的坐标,并说明此时∠A ＰＢ最大的理由;若没有，也请说明理由．７、（10分）（2014•襄阳25．）如图，Ａ，P ，B,C 是⊙O 上的四个点,∠APC=∠B ＰC=60°，过点A 作⊙O 的切线交BP 的延长线于点Ｄ．（１)求证：△ADP∽△ＢＤＡ;(２）试探究线段ＰＡ,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;(3）若AD=2,PＤ=1，求线段BC的长.８、（10分）（2014•南宁25.）如图1，四边形ABＣD是正方形，点E是边BC上一点,点F在射线ＣM上,∠ＡEF=90°,AE＝EF,过点F作射线BＣ的垂线,垂足为Ｈ,连接ＡC．（1)试判断BＥ与ＦH的数量关系，并说明理由;(2)求证：∠AＣF=90°;（3）连接AF，过Ａ、E、F三点作圆,如图2,若EC=4，∠CEF=15°,求的长.９、(12分）(2014•泰州25.）如图,平面直角坐标系ｘＯｙ中,一次函数ｙ=﹣x＋b(b为常数,b>０)的图象与x轴、ｙ轴分别相交于点A、B,半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C,与ｙ轴相交于点D、E,点D在点Ｅ上方.(１）若直线ＡＢ与有两个交点F、G.①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出ｂ的取值范围；（2）设ｂ≥５,在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°?若存在,请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.１0、(201４•湖州２4．)已知在平面直角坐标系xＯｙ中，O是坐标原点,以P(1，1)为圆心的⊙Ｐ与x轴,ｙ轴分别相切于点M和点N,点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,连接PF,过点ＰE⊥PF交y轴于点E，设点Ｆ运动的时间是t秒(t>０)(1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示)，求证：PE＝ＰF；(2)在点F运动过程中,设OE＝a，OF=b,试用含a的代数式表示b；(３）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和Ｆ′三点的抛物线的对称轴交ｘ轴于点Q,连接QE.在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q、Ｏ、E为顶点的三角形与以点P、M、Ｆ为顶点的三角形相似？若存在,请直接写出t的值；若不存在，请说明理由.11、（20１4 徐州28.本题１０分)如图,矩形ABCD的边AB=３cm,AD=4cm，点E从点Ａ出发,沿射线AＤ移动,以CＥ为直径作圆Ｏ,点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF,过点Ｅ作EG⊥ＥF,EG与圆O相交于点G，连接ＣG.（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆Ｏ与射线BＤ相切时，点Ｅ停止移动，在点E移动的过程中,①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在,求出这个最大值或最小值；若不存在,说明理由；②求点G移动路线的长．12、(12分)（2０14•荆州25.）如图①，已知：在矩形ＡBＣＤ的边ＡＤ上有一点O，OA=，以O为圆心,OA长为半径作圆,交AD于Ｍ,恰好与BD相切于H,过H作弦ＨP∥AＢ，弦HP=３.若点E是CＤ边上一动点(点E与C，D不重合)，过E作直线ＥF∥BD交ＢC于F,再把△CＥF沿着动直线ＥF对折，点C的对应点为G.设ＣE=x,△EFG与矩形ＡBＣD重叠部分的面积为Ｓ．（1)求证:四边形ABHＰ是菱形;（2)问△ＥFG的直角顶点G能落在⊙O上吗?若能，求出此时ｘ的值；若不能,请说明理由;(３）求Ｓ与x之间的函数关系式，并直接写出FＧ与⊙O相切时，S的值.13、(2014日照本小题满分１4分21．)阅读资料：小明是一个爱动脑筋的好学生,他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽,又查阅到了与圆的切线相关的一个问题:如图l ，已知ＰＣ是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，延长刚交切线PC 于点P ．连接ＡC ，ＢC ，ＯC. 因为PC 是⊙Ｏ的切线,AB 是⊙O 的直径,所以∠OCP=∠AC Ｂ＝90°，所以∠1=∠2．又因为∠B=∠1，所以∠B=∠2．在△P ＡC 与△PCB 中,又因为∠P=∠P ，所以△PAC~△P ＣB ，所以PC PA =PBPC,即P Ｃ2=PA·PB ．问题拓展:(1）如果P Ｂ不经过⊙O 的圆心Ｏ（如图2），等式PC ２＝P Ａ·PB ，还成立吗？请证明你的结论. 综合应用:（2）如图3,⊙O 是△ABC 的外接圆,P Ｃ是⊙Ｏ的切线,Ｃ是切点，ＢA 的延长线交ＰC 于点Ｐ.①当ＡB=PA ，且PC=１2时，求PA 的值;②D 是BC 的中点,PD 交AC 于点Ｅ．求证:AE CEPAPC 22ﻩ图1 图2 图３14、（１１分）(2０14•河北25.)图1和图2中,优弧所在⊙O 的半径为2，ＡB=2．点P 为优弧上一点（点P 不与A,B重合)，将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A ′．（1）点O 到弦ＡB 的距离是 ,当BP 经过点O 时,∠ＡＢA ′= °； (2)当BA ′与⊙Ｏ相切时,如图2,求折痕的长: （3)若线段ＢＡ′与优弧只有一个公共点B ，设∠AB Ｐ=α．确定α的取值范围．1５、(1２分)(20１4•漳州24．)阅读材料：如图1,在△AOB 中，∠O=90°,OA=OB ，点Ｐ在AB 边上，ＰE ⊥OA 于点E,P Ｆ⊥ＯB 于点Ｆ，则PE ＋ＰF=O Ａ．（此结论不必证明，可直接应用) (1）【理解与应用】如图２，正方形AB ＣＤ的边长为2,对角线A Ｃ，BD 相交于点O ，点P 在A Ｂ边上，PE ⊥ＯA 于点E ，PF ⊥OB 于点F,则PE+P Ｆ的值为＿____＿_＿_ ． (2）【类比与推理】如图3，矩形ＡBCD的对角线ＡC,ＢD相交于点Ｏ,AB=４，AD=3,点P在AB边上，PＥ∥ＯB交ＡC于点E，PF∥OA交BD 于点Ｆ，求ＰＥ+PF的值；（３)【拓展与延伸】如图4，⊙O的半径为4,A,B,C，Ｄ是⊙O上的四点，过点Ｃ,D的切线CH,ＤＧ相交于点M，点Ｐ在弦AB上，PＥ∥BC交AC于点E,PＦ∥AD于点F,当∠ADG=∠BCＨ=3０°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值;若不是,请说明理由．16、(10分）（2０1４•常州28.)在平面直角坐标系xOy中，点M(，),以点M为圆心，ＯM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B,与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A(如图),连接ＡM．点P是上的动点．（1)写出∠AMB的度数;(2)点Q在射线OP上,且ＯＰ•ＯQ=20,过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C,直线QC交ｘ轴于点Ｅ．①当动点P与点B重合时,求点E的坐标;②连接QD，设点Q的纵坐标为ｔ,△QOＤ的面积为Ｓ．求S与t的函数关系式及S的取值范围.17、(9分)（20１4年云南省23.)已知如图平面直角坐标系中,点Ｏ是坐标原点,矩形ABＣＤ是顶点坐标分别为A(3，０）、B(3,4）、Ｃ(0，4).点Ｄ在ｙ轴上，且点D的坐标为（０，﹣5)，点P是直线AC上的一动点.(1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；(２)当点P沿直线AC移动时，过点D、Ｐ的直线与ｘ轴交于点Ｍ.问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在,请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由;(3)当点P沿直线AC移动时,以点P为圆心、R（Ｒ＞０）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P.若设动圆P的半径长为,过点Ｄ作动圆Ｐ的两条切线与动圆Ｐ分别相切于点Ｅ、Ｆ．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DＥPF?若存在，请求出最小面积S的值；若不存在,请说明理由．18、(201４•江西，第2２题8分)如图1，ＡＢ是圆O的直径，点C在AB的延长线上,AＢ=4，BC=２，P是圆Ｏ上半部分的一个动点,连接OP,CP。

《圆的综合》压轴题专题训练

《圆的综合》压轴题专题训练1．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连结CO，过B作BD∥OC交⊙O于D，连结AD交OC于G，延长AB、CD交于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BE＝2，DE＝4，求CD的长；（3）在（2）的条件下，连结BC交AD于F，求的值．2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，D为AC的中点，过点C作⊙O的切线与射线OD交于点E．（1）求证：∠E＝∠A；（2）若延长EC与AB交于点F，若⊙O的半径为3，sin F＝，求DE的长．3．如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F．（1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；（2）若DE2＝EF•EA，求证：AE平分∠BAD；（3）在（2）的条件下，若AD＝4，DF＝2，求⊙O的半径．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，8），B（6，0），C（0，3），点D从点A运动到点B停止，连接CD，以CD长为直径作⊙P．（1）若△ACD∽△AOB，求⊙P的半径；（2）当⊙P与AB相切时，求△POB的面积；（3）连接AP、BP，在整个运动过程中，△PAB的面积是否为定值，如果是，请直接写出面积的定值，如果不是，请说明理由．5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AD与BC相交于点E．连接BD，作∠BDF＝∠BAD，DF与AB的延长线相交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DF∥BC，求证：AD平分∠BAC；（3）在（2）的条件下，若AB＝10，BD＝6，求CE的长．6．如图，平行四边形ABCD中，以B为坐标原点建立如图所示直角坐标系，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，点P在边AD上运动（点P不与A重合，但可以与D点重合），以P为圆心，PA 为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．（1）设AP为x，P点坐标为（，）（用含x的代数式表示）（2）当⊙P与边CD相切于点F时，求P点的坐标；（3）随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB延长线于点F．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O半径为5，CD＝6，求DE的长；（3）求证：BC2＝4CE•AB．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D（点D不与点A重合），交边BC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DE，求证：△DEC是等腰三角形；（3）若CD＝2，BE＝3，求⊙O的半径．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB上一点，以AD为直径作⊙O交AC于E，与BC相切于点F，连接AF．（1）求证：∠BAF＝∠CAF；（2）若AC＝3，BC＝4，求BD和CE的长；（3）在（2）的条件下，若AF与DE交于H，求FH•FA的值．10．如图，已知AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，且BC＝CD＝2，延长AB与直线CD交于点P，且BP＝AB，过点A作AF⊥CD，垂足为F．（1）求证：AD平分∠CAF；（2）求AB的长度；（3）求DF的长度．11．如图，⊙O的直径AB＝10，点P为BA的延长线上一点，直线PD切⊙O于点D，过点B 作BH⊥PD，垂足为H，BH交⊙O于点C，BC＝6，连接BD．（1）求证：BD平分∠ABH；（2）求PA的长；（3）E是上的一动点，DE交AB于点F，连接AD，AE．是否存在点E，使得△ADE∽△FDB？如果存在，请证明你的结论，并求弧AE的长；如果不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（8，0）、B（0，6），以AB为直径画圆⊙P，点C 为⊙P上一动点，（1）判断坐标原点O在⊙P的位置关系是．（2）若点C在第一象限，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接BC，且∠DBC＝∠ABC，①求证：CD与⊙P相切；②求线段BC的长（3）若PD∥AO交⊙P于点D，点C在劣弧BD上，Q是劣弧BC的中点，OQ、DC交于点K，当点C在劣弧BD上运动时（不包括B、D两点），线段DK的长度是否发生变化？若变化，请指出其变化范围；若不变化，请求出其值．13．如图，AB为⊙O的直径，D为的中点，AC、BD交于点E，P为BD延长线上一点，且PD＝DE．（1）试判断PA与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若E为BD的中点，求tan∠DBC的值．（3）若AB＝10，＝，求四边形ABCD的面积．14．如图示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点AF．（1）求证：DE与⊙O相切：（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长；（3）若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF•EF 的最大值．15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是BC中点．连接AG．作BD⊥AG，垂足为F，△ABD的外接圆⊙O交BC于点E，连接AE．（1）求证：AB＝AE；（2）过点D作圆O的切线，交BC于点M．若，求tan∠ABC的值；（3）在（2）的条件下，当DF＝1时，求BG的长．。

中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案

中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图△ABC内接于⊙O AB、CD是⊙O的直径E是DA长线上一点且∠CED=∠CAB．(1)求证：CE是⊙O的切线；求线段CE的长．(2)若DE=3√5tanB=122．如图在△ABC中AB=AC以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC 垂足为E延长CA交⊙O于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；⊙O的半径为5 求线段CF的长．(2)若tanB=123．如图△ABC内接于⊙O直径DE⊙AB于点F交BC于点M DE的延长线与AC的延长线交于点N连接AM．（1）求证：AM＝BM；（2）若AM⊙BM DE＝8 ⊙N＝15° 求BC的长．4．如图△ABC内接于⊙O AB是⊙O的直径D是⊙O上的一点CO平分∠BCD CE⊥AD垂足为E AB与CD相交于点F．(1)求证：CE是⊙O的切线；时求CE的长．(2)当⊙O的半径为5sinB=355．如图1 锐角△ABC内接于⊙O⊙BAC=60°若⊙O的半径为2√3．(1)求BC的长度；(2)如图2 过点A作AH⊙BC于点H若AB+AC=12 求AH的长度．6．如图AB是⊙O的直径M是OA的中点弦CD⊥AB于点M过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．(1)连接AD则∠AOD=_______；(2)求证：DE 与⊙O 相切；(3)点F 在BC ⏜上 ∠CDF =45° DF 交AB 于点N ．若DE =6 求FN 的长．7．如图 AB 是⊙O 的直径点C 为⊙O 上一点 OF ⊥BC 垂足为F 交⊙O 于点E AE 与BC 交于点H 点D 为OE 的延长线上一点且∠ODB =∠AEC ．(1)求证：BD 是⊙O 的切线(2)求证：CE 2=EH ⋅EA(3)若⊙O 的半径为52 sinA =35 求BH 和DF 的长． 8．如图在⊙ABC 中 ⊙C=90° 点O 在AC 上以OA 为半径的⊙O 交AB 于点D BD 的垂直平分线交BC 于点E 交BD 于点F 连接DE ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线（2）若AB=5 BC=4 OA=1 求线段DE 的长．9．如图 AB 是⊙O 的直径弦CD 与AB 交于点E 过点B 的切线BP 与CD 的延长线交于点P 连接OC CB ．(1)求证：AE ·EB =CE ·ED(2)若⊙O 的半径为 3 OE =2BE CE DE =95 求tan∠OBC 的值及DP 的长．10．如图菱形ABCD中AB=4以AB为直径作⊙O交AC于点E过点E作EF⊥AD于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线(2)连接OF若∠BAD=60°求OF的长．(3)在（2）的条件下若点G是⊙O上的一个动点则线段CG的取值范围是什么？11．如图点C在以AB为直径的半圆O上（点C不与A B两点重合）点D是弧AC的中点DE⊥AB于点E连接AC交DE于点F连接OF过点D作半圆O的切线DP 交BA的延长线于点P．(1)求证：AC∥DP(2)求证：AC=2DE的值．(3)连接CE CP若AE⊙EO=1⊙2求CECP12．如图1 AB为⊙O直径CB与⊙O相切于点B D为⊙O上一点连接AD OC若AD//OC．（1）求证：CD为⊙O的切线（2）如图2 过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E连接BD交OC于点F若AB=3AE=12求BF的长．13．已知：如图在⊙O中∠PAD=∠AEP AF=CF AB是⊙O的直径CD⊥AB于点G．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若AG=4tan∠DAG=2求△ADE的面积．(3)在（2）的条件下求DQ的长．14．如图已知AB是⊙O的直径点E是⊙O上异于A B的点点F是弧EB的中点连接AE AF BF过点F作FC⊙AE交AE的延长线于点C交AB的延长线于点D⊙ADC的平分线DG交AF于点G交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线(2)求sin⊙FHG的值(3)若GH＝4√2HB＝2 求⊙O的直径．15．如图⊙O的两条弦AB、CD互相垂直垂足为E且AB=CD．(1)求证：AC=BD．(2)若OF⊥CD于F OG⊥AB于G问四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．(3)若CE=1，DE=3求⊙O的半径．16．【问题提出】如图1 △ABC为⊙O内接三角形已知BC=a圆的半径为R 探究a R sin∠A之间的关系．【解决问题】如图2 若∠A为锐角连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D在△DBC中BD为⊙O的直径BC=a所以BD=2R,∠BCD=90°．所以在Rt△DBC中建立a R sin∠D的关系为________________．所以在⊙O内接三角形△ABC中a R sin∠A之间的关系为________________．类比锐角求法当∠A为直角和钝角时都有此结论．【结论应用】已知三角形△ABC中∠B=60°,AC=4则△ABC外接圆的面积为________．17．已知AB为⊙O的直径PA PC是⊙O的的切线切点分别为A C过点C作CD//AB交⊙O于D．（1）如图当P D O共线时若半径为r求证CD=r（2）如图当P D O不共线时若DE=2CE=8求tan∠POA．18．如图1 已知矩形ABCD中AB=2√3AD=3 点E为射线BC上一点连接DE以DE为直径作⊙O（1）如图2 当BE=1时求证：AB是⊙O的切线（2）如图3 当点E为BC的中点时连接AE交⊙O于点F连接CF求证：CF=CD （3）当点E在射线BC上运动时整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值若不存在请说明理由．19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形直径AC与对角线BD相交于点E作CH⊥BD于H CH与过A点的直线相交于点F∠FAD=∠ABD.（1）求证：AF为⊙O的切线（2）若BD平分∠ABC求证：DA=DC（3）在（2）的条件下N为AF的中点连接EN若∠AED+∠AEN=135°⊙O 的半径为2√2求EN的长.20．如图1 直线l1⊥l2于点M以l1上的点O为圆心画圆交l1于点A B交l2于点C D OM＝4 CD＝6 点E为弧AD上的动点CE交AB于点F AG⊙CE 于点G连接DG AC AD．（1）求⊙O的半径长（2）若⊙CAD＝40° 求劣弧弧AD的长（3）如图2 连接DE是否存在常数k使CE−DE=k·EG成立？若存在请求出k的值若不存在请说明理由（4）若DG⊙AB则DG的长为（5）当点G在AD的右侧时请直接写出⊙ADG面积的最大值．参考答案1．（1）证明：⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙∠CAB+∠B=90°⊙∠CED=∠CAB∠B=∠D⊙∠CED+∠D=90°⊙∠DCE=∠ACB=90°⊙CD⊥CE⊙CD是⊙O的直径即OC是⊙O半径⊙CE是⊙O的切线（2）由（1）知CD⊥CE在Rt△ABC和Rt△DEC中⊙∠B=∠D tanB=12⊙tan∠B=tan∠D=CECD =12⊙CD=2CE在Rt△CDE中CD2+CE2=DE2DE=3√5⊙(2CE)2+CE2=(3√5)2解得CE=3（负值舍去）即线段CE的长为3．2．解：（1）⊙OB=OD⊙∠ABC=∠ODB⊙AB=AC⊙∠ABC=∠ACB⊙∠ODB=∠ACB⊙OD∥AC⊙DE⊥AC OD是半径⊙DE⊥OD⊙DE是⊙O的切线．（2）连接BF AD⊙⊙O的半径为5 AB为直径⊙AB=10∠ADB=90°∠BFC=90°⊙tanB=1设AD=x则BD=2x2在Rt△ABD中由勾股定理得：AD2+BD2=AB2即x2+(2x)2=102解得：x=2√5或x=−2√5（舍去）⊙BD=2x=4√5⊙AB=AC∠ADB=90°⊙BD=CD⊙BC=2BD=8√5由（1）知OD∥AC⊙∠ODB=∠C⊙OB=OD⊙∠B=∠ODB=∠C⊙tanC=tanB=1即CF=2BF2在Rt△BCF中BF2+CF2=BC2即BF2+(2BF)2=(8√5)2解得BF=8或BF=−8（舍去）⊙CF=2BF=16．3．（1）证明：⊙直径DE⊙AB于点F⊙AF＝BF⊙AM＝BM（2）连接AO BO如图由（1）可得AM＝BM⊙AM⊙BM⊙⊙MAF＝⊙MBF＝45°⊙⊙CMN＝⊙BMF＝45°⊙AO＝BO DE⊙AB∠AOB⊙⊙AOF＝⊙BOF＝12⊙⊙N＝15°⊙⊙ACM＝⊙CMN+⊙N＝60° 即⊙ACB＝60°∠AOB．⊙⊙ACB＝12⊙⊙AOF＝⊙ACB＝60°．⊙DE＝8⊙AO＝4．得AF＝2√3在Rt⊙AOF中由sin∠AOF=AFAO在Rt⊙AMF中AM＝√2AF＝2√6．得BM= AM＝2√6得CM＝2√2在Rt⊙ACM中由tan∠ACM=AMCM⊙BC＝CM+BM＝2√2+2√6．4．（1）证明：⊙弧AC=弧AC⊙∠ADC=∠B．⊙OB=OC⊙∠B=∠OCB．⊙CO平分∠BCD⊙∠OCB=∠OCD⊙∠ADC=∠OCD．⊙CE⊥AD⊙∠ADC+∠ECD=90°⊙∠OCD+∠ECD=90°即CE⊥OC．⊙OC为⊙O的半径⊙CE是⊙O的切线．（2）连接OD得OD=OC⊙∠ODC=∠OCD．⊙∠OCD=∠OCB=∠B⊙∠ODC=∠B⊙CO=CO⊙△OCD≌△OCB⊙CD=CB．⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙AC=AB⋅sinB=10×35=6⊙CB=√AB2−AC2=√102−62=8⊙CD=8⊙CE=CD⋅sin∠ADC=CD⋅sinB=8×35=245．5．解：（1）连接OB OC过点O作OD⊙BC于点D⊙BD =CD =12BC⊙⊙A =60°⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =⊙OCB =180°−∠BOC2=30°⊙OB =2√3⊙BD =OB •cos30°=2√3×√32=3⊙BC =2BD =6．（2）设点G 为此三角形ABC 内切圆的圆心（角平分线的交点）过G 分别向ABAC BC 作垂线GM GN GQ⊙GM =GN =GQ CQ =CN BQ =BM AM =AN⊙AM +AN =AB +AC -BC =6⊙AM =AN =3．在Rt △AGM 中⊙⊙GAM =30°⊙GM =√3⊙S △ABC =12BC •AH =S △ABG +S △BCG +S △ACG=12AB •GM +12BC •GQ +12AC •GN=12GM（AB+AC+CB）=9√3∵BC=6, S△ABC=12BC•AH⊙AH=3√3．6．（1）解：如图1 连接OD AD⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙AB垂直平分CD⊙M是OA的中点⊙OM=12OA=12OD⊙cos∠DOM=OMOD =12⊙∠DOM=60°即∠AOD=60°故答案为：60°（2）解：⊙CD⊥AB AB是⊙O的直径⊙CM=MD⊙M是OA的中点⊙AM=MO又⊙∠AMC=∠DMO⊙△AMC≌△OMD⊙∠ACM=∠ODM⊙CA∥OD⊙DE⊥CA⊙∠E=90°⊙∠ODE=180°−∠E=90°⊙DE⊥OD⊙DE与⊙O相切（3）如图2 连接CF CN⊙OA⊥CD于M⊙M是CD中点⊙NC=ND⊙∠CDF=45°⊙∠NCD=∠NDC=45°⊙∠CND=90°⊙∠CNF=90°由（1）可知∠AOD=60°∠AOD=30°⊙∠ACD=12在Rt△CDE中∠E=90°∠ECD=30°DE=6=12⊙CD=DEsin30°在Rt△CND中∠CND=90°∠CDN=45°CD=12⊙CN=CD•sin45°=6√2⊙∠AOD=60°，OA=OD⊙△OAD是等边三角形⊙∠OAD=60°∠CAD=2∠OAD=120°⊙∠CFD=180°−∠CAD=60°在Rt△CNF中∠CNF=90°∠CFN=60°CN=6√2 =2√6．⊙FN=CNtan60°7．（1）证明：如图1所示⊙∠ODB=∠AEC∠AEC=∠ABC⊙∠ODB=∠ABC⊙OF⊥BC⊙∠BFD=90°⊙∠ODB+∠DBF=90°⊙∠ABC+∠DBF=90°即∠OBD=90°⊙BD⊥OB⊙AB是⊙O的直径⊙BD是⊙O的切线（2）证明：连接AC如图2所示⊙OF⊥BC⊙弧BE=弧CE⊙∠CAE=∠ECB⊙∠CEA=∠HEC⊙△AEC ∽△CEH⊙CE EH =EACE⊙CE 2=EH ⋅EA（3）解：连接BE 如图3所示⊙AB 是⊙O 的直径⊙∠AEB =90°⊙⊙O 的半径为52 sin∠BAE =35 ⊙AB =5 BE =AB ⋅sin∠BAE =5×35=3 ⊙EA =√AB 2−BE 2=4⊙弧BE =弧CE⊙BE =CE =3⊙CE 2=EH ⋅EA⊙EH =94⊙在Rt △BEH 中 BH =√BE 2+EH 2=√32+(94)2=154 ⊙∠A =∠C⊙sinC =sinA⊙OF ⊥BC 垂足为F⊙在Rt △CFE 中 FE =CE ⋅sinC =3×35=95 ⊙CF =√CE 2−EF 2=√32−(95)2=125 ⊙BF =CF =125⊙OF =√BO 2−BF 2=√(52)2−(125)2=710 ⊙∠ODB =∠ABC⊙tan∠ODB =tan∠ABC⊙BFDF =OFBF⊙BF 2=OF ⋅DF⊙(125)2=710DF ⊙DF =28835．8．解：（1）连接OD 如图⊙EF 垂直平分BD⊙ED=EB⊙⊙EDB=⊙B⊙OA=OD⊙⊙A=⊙ODA⊙⊙A+⊙B=90°⊙⊙ODA+⊙EDB=90°⊙⊙ODE=90°⊙OD⊙DE⊙直线DE 是⊙O 的切线（2）作OH⊙AD 于H 如图则AH=DH 在Rt △OAB 中 sinA=BC AB =45在Rt △OAH 中 sinA=OH OA =45⊙OH=45⊙AH=√12−(45)2=35⊙AD=2AH=65 ⊙BD=5﹣65=195⊙BF=12BD=1910在Rt⊙ABC 中 cosB=45 在Rt⊙BEF 中 cosB=BF BE =45⊙BE=54×1910=198 ⊙线段DE 的长为198．9．(（1）证明：连接AD∵∠A =∠BCD ∠AED =∠CEB ∴ΔAED ∽ΔCEB∴ AECE =EDEB∴AE ·EB =CE ·ED（2）解：∵⊙O 的半径为 3 ∴OA =OB =OC =3∵OE =2BE∴OE =2 BE =1 AE =5 ∵ CEDE =95 ∴设CE =9x DE =5x∵AE ·EB =CE ·ED∴5×1=9x ·5x解得：x 1=13 x 2=−13（不合题意舍去） ∴CE =9x =3 DE =5x =53 过点C 作CF ⊥AB 于F∵OC =CE =3∴OF =EF =12OE =1∴BF =2在RtΔOCF中∵∠CFO=90°∴CF2+OF2=OC2∴CF=2√2在RtΔCFB中∵∠CFB=90°∴tan∠OBC=CFBF =2√22=√2∵CF⊥AB于F∴∠CFB=90°∵BP是⊙O的切线AB是⊙O的直径∴∠EBP=90°∴∠CFB=∠EBP在ΔCFE和ΔPBE中{∠CFB=∠PBE EF=BE ∠FEC=∠BEP∴ΔCFE≅ΔPBE(ASA)∴EP=CE=3∴DP=EP−ED=3−53=43．10．:解：（1）证明：如图连接OE．⊙四边形ABCD是菱形∴∠CAD=∠CAB∵OA=OE∴∠CAB=∠OEA∴∠CAD=∠OEA∴OE∥AD∵EF⊥AD∴OE⊥EF又⊙OE是⊙O的半径⊙EF是⊙O的切线．（2）解：如图连接BE．⊙AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°∵∠BAD=60°∴∠CAD=∠CAB=30°在Rt△ABE中AE=AB·cos30°=2√3在Rt△AEF中EF=AE·sin30°=√3AB=2在Rt△OEF中OE=12⊙OF=√OE2+EF2=√4+3=√7．（3）解：如图过点C作CM垂直AB交AB延长线于点M由（2）知∠BAD=60°∴∠ACB=∠CAB=30°，∠CBM=60°∴AB=BC=4，BM=2，CM=2√3∴AM=6，OM=6−2=4．⊙OC=√OM2+CM2=√42+(2√3)2=2√7⊙CG近=2√7−2CE远=2√7+2⊙线段CG的取值范围是：2√7−2≤CG≤2√7+211．（1）证明：连接OD∵D为弧AC的中点∴OD⊥AC又∵DP为⊙O的切线∴OD⊥DP∴AC∥DP（2）证明：∵DE⊥AB∴∠DEO=90°由（1）可知OD⊥AC设垂足为点M∴∠OMA=90°∴∠DEO=∠OMA AC=2AM又∵∠DOE=∠AOM OD=OA∴△ODE≌△OAM(AAS)∴DE=AM∴AC=2AM=2DE（3）解：连接OD OC CE CP∵∠ODP=∠OED=90°∠DOE=∠DOP ∴△DOE∽△POD∴ODOP =OEOD∴OD2=OE⋅OP ∵OC=OD∴OC2=OE⋅OP∴OCOE =OPOC又∵∠COE=∠POC ∴△COE∽△POC∴CECP =OEOC∵AE:EO=1:2∴OEOA =23∴OEOC =23∴CECP =23．12．解：（1）连接OD⊙CB与⊙O相切于点B⊙OB⊥BC⊙AD//OC⊙∠A=∠COB,∠ADO=∠DOC⊙OA=OD⊙∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC⊙△DOC≌△BOC(SAS)⊙∠ODC=∠OBC=90°⊙OD⊥DC又OD为⊙O半径⊙CD为⊙O的切线（2）解：设CB=x⊙AE⊥EB⊙AE为⊙O的切线⊙CD CB为⊙O的切线⊙ED=AE=4,CD=CB=x,∠DOC=∠BCO⊙BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M则EM=12,CM=x−4⊙(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9⊙CB=9⊙OC=√62+92=3√13⊙AB是直径且AD⊙OC⊙⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又⊙⊙COB=⊙BOF⊙⊙OBF⊙⊙OCB⊙OB BF =OCBC⊙BF=OB⋅BCOC =6×93√13=1813√1313．（1）证明：如图所示连接AC ⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙弧AD=弧AC⊙∠AEP=∠ADC⊙∠PAD=∠AEP⊙∠PAD=∠ADC⊙AP∥CD⊙AP⊥AB⊙AB是⊙O的直径⊙AP是⊙O的切线（2）解：如图所示连接BD⊙AF=CF⊙∠FAC=∠FCA⊙弧CE=弧AD⊙弧AD=弧AC⊙弧AD=弧AC=弧CE⊙∠ADG=∠QDG⊙AB⊥CD⊙∠AGD=∠QGD=90°又⊙OG=OG⊙△AGD≌△OGD(ASA)⊙QG=AG=4∠DQG=∠DAG=2在Rt△ADG中tan∠DAG=DGAG⊙DG=2AG=8⊙QD=√DG2+QG2=4√5连接OD过点E作EH⊥AB于H设圆O的半径为r则OG=r−4在Rt△ODG中由勾股定理得OD2=OG2+DG2⊙r2=(r−4)2+82解得r=10⊙AB=20⊙BQ=12⊙∠AEQ=∠DBQ，∠EAQ=∠BDQ⊙△AQE∽△DQB⊙QE BQ =AQDQ即QE12=84√5⊙QE=12√55⊙∠EQH=∠DQG=∠DAG⊙在Rt△EQH中tan∠EQH=EHQH=2⊙EH=2QH⊙EH2+QH2=QE2⊙4QH2+QH2=1445⊙QH=125⊙EH=245⊙S△ADE=S△ADQ+S△AEQ=12AQ⋅DG+12AQ⋅EH=12×8×8+12×8×245=70.4．（3）解：由（2）得DQ=4√5．14．（1）证明：连接OF．⊙OA＝OF⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙EF̂=FB̂,⊙⊙CAF＝⊙F AB⊙⊙CAF＝⊙AFO⊙OF∥AC⊙AC⊙CD⊙OF⊙CD⊙OF是半径⊙CD是⊙O的切线．（2）⊙AB是直径⊙⊙AFB＝90°⊙OF⊙CD⊙⊙OFD＝⊙AFB＝90°⊙⊙AFO＝⊙DFB⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙⊙DFB＝⊙OAF⊙GD平分⊙ADF⊙⊙ADG＝⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙OAF+⊙ADG⊙FHG＝⊙DFB+⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙FHG＝45°⊙sin⊙FHG=sin45°=√22（3）解：过点H作HM⊙DF于点M HN⊙AD于点N．⊙HD平分⊙ADF⊙HM＝HNS△DHF⊙S△DHB= FH⊙HB=DF ⊙DB⊙⊙FGH是等腰直角三角形GH＝4√2⊙FH＝FG＝4⊙DF DB =42=2设DB＝k DF＝2k⊙⊙FDB＝⊙ADF⊙DFB＝⊙DAF ⊙⊙DFB⊙⊙DAF⊙DF2＝DB•DA⊙AD＝4k⊙GD平分⊙ADF⊙FG AG =DFAD=12⊙AG＝8⊙⊙AFB＝90° AF＝12 FB＝6∴AB=√AF2+BF2=√122+622=6√5⊙⊙O的直径为6√515．（1）证明：⊙AB=CD⊙弧AB=弧CD⊙弧AB−弧BC=弧CD−弧BC即弧AC=弧BD⊙AC=BD（2）解：四边形OFEG是正方形.理由如下：⊙AB⊥CD OF⊥CD OG⊥AB⊙∠AED=∠OGE=∠OFE=90°⊙四边形OFEG是矩形．如图连接OA OD．⊙OF⊥CD OG⊥AB⊙CF=DF AG=BG．⊙CD=AB⊙AG=DF．⊙OG=√OA2−AG2OF=√OD2−DF2OA=OD⊙OG=OF⊙四边形OFEG是正方形（3）解：⊙CE=1 DE=3⊙CD=4⊙CF=DF=2⊙EF=CF-CE=2-1=1．⊙四边形OFEG是正方形⊙OF=EF=1．在Rt△OED中OD=√OF2+DF2=√5⊙⊙O的半径为√5．16．:解：【解决问题】如图连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D 在△DBC中⊙BD为⊙O的直径BC=a⊙BD=2R,∠BCD=90°⊙sinD=BCBD =a2R⊙sinA=a2R故答案为：sinD=a2R sinA=a2R【结论应用】解：设△ABC外接圆的半径为R ⊙∠B=60°,AC=4⊙sinB=AC2R⊙√3 2=42R解得：R=43√3⊙△ABC外接圆的面积为π×(43√3)2=163π．故答案为：163π17．（1）证明：连接OC⊙PA PC是⊙O的切线切点分别为A C ⊙PA=PC∠PAO=∠PCO=90°在RtΔPAO和RtΔPCO中{PA=PCPO=PO⊙RtΔPAO≌RtΔPCO(HL)⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CDO=∠DOA⊙∠CDO=∠COD⊙CD=OC=r（2）解：设OP交CD于E连接OC过O作OH⊥CD于点H由（1）可知RtΔPAO≌RtΔPCO⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CEO=∠EOA⊙∠CEO=∠COE⊙CE=CO=8⊙CD=CE+ED=10⊙OH⊥CD⊙CH=DH=5⊙EH=DH−DE=3在RtΔCHO中⊙OH=√OC2−CH2=√82−52=√39在RtΔOHE中⊙tan∠POA=tan∠HEO=OHEH =√393⊙tan∠POA=√393．18．解：（1）如图过点O作OM⊥AB且OM的反向延长线交CD于点N．由题意可知四边形BCNM为矩形⊙MN=AD=3⊙O为圆心即O为DE中点⊙N为DC中点即线段ON为△DEC中位线又⊙CE=BC−BE=3−1=2⊙ON=12CE=1⊙OM=MN -ON=3-1=2．在Rt △DEC 中 DE =√CD 2+CE 2=√(2√3)2+22=4． ⊙OD=DE=OM=2．即AB 为⊙O 的切线．（2）设⊙O 与AD 交于点G 连接CG EG DF FG ⊙DE 为直径⊙∠EGD =∠EFD =90°．⊙∠GEC =90°⊙CG 为直径．⊙∠CFG =∠CDG =90°⊙E 为BC 中点⊙G 为AD 中点在Rt △AFD 中 FG 为中线⊙AG=DG=FG在Rt △CFG 和Rt △CDG 中 {FG =DG CG =CG⊙△CFG ≅△CDG(HL)．⊙CF=CD ．（3）如图取AD 中点H 连接CH FH FD ．由（2）可知FH =12AD =32 在Rt △CDH 中 CH =√CD 2+HD 2=√(2√3)2+(32)2=√572 ⊙CF ≥CH −FH =√572−32． ⊙当F 点在CH 上时CF 长有最小值最小值为√572−32．19．解：（1）⊙AC 为⊙O 的直径⊙⊙ADC =90°⊙⊙DAC +⊙DCA =90°．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD =⊙DCA ．⊙⊙F AD =⊙ABD⊙⊙F AD =⊙DCA⊙⊙F AD +⊙DAC =90°⊙CA ⊙AF⊙AF 为⊙O 的切线．（2）连接OD ．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD=1⊙AOD．2⊙弧DC=弧DC⊙DOC．⊙⊙DBC=12⊙BD平分⊙ABC⊙⊙ABD=⊙DBC⊙⊙DOA=⊙DOC⊙DA=DC．（3）连接OD交CF于M作EP⊙AD于P．⊙AC为⊙O的直径⊙⊙ADC=90°．⊙DA=DC⊙DO⊙AC⊙⊙F AC=⊙DOC=90° AD=DC=√(2√2)2+(2√2)2=4 ⊙⊙DAC=⊙DCA=45° AF⊙OM．⊙AO=OCAF．⊙OM=12⊙⊙ODE+⊙DEO=90° ⊙OCM+⊙DEO=90°⊙⊙ODE=⊙OCM．⊙⊙DOE=⊙COM OD=OC⊙⊙ODE⊙⊙OCM⊙OE=OM．设OM=m⊙OE =m AE =2√2−m AP =PE =2−√22m⊙DP =2+√22m ． ⊙⊙AED +⊙AEN =135° ⊙AED +⊙ADE =135°⊙⊙AEN =⊙ADE ．⊙⊙EAN =⊙DPE⊙⊙EAN ⊙⊙DPE⊙AE DP =AN PE ⊙2√2−m 2+√22m =m2−√22m⊙m =2√23⊙AN =2√23 AE =4√23由勾股定理得：NE =2√103．20．解：（1）连接OD⊙AB 是⊙O 的直径 l 1⊥l 2 CD ＝6⊙CM =DM =12CD =3在Rt △DOM 中 OM ＝4⊙OD=√OM2+CM2=5即⊙O的半径长为5（2）⊙AB是⊙O的直径l1⊥l2⊙弧BC=弧BD⊙∠BAD=∠BAC=12∠CAD=20°⊙∠BOD=2∠BAD=40°⊙∠AOD=180°−∠BOD=140°⊙劣弧弧AD的长为140×π×5180=35π9（3）存在常数k=2理由如下：如图在CG上截取CH=DE连接AH AE⊙AB垂直平分CD⊙AC=AD又⊙⊙ACH=⊙ADE⊙⊙ACH⊙⊙ADE（SAS）⊙AH=AE⊙ AG⊙HE⊙HG=EG⊙CE-DE=2EG⊙k=2（4）⊙DG⊙AB⊙⊙CFM⊙⊙CGD⊙FM DG =CFCG=CMCD=12⊙CF=FG DG=2FM⊙⊙CMF=⊙AGF⊙CFM=⊙AFG ⊙⊙CFM⊙⊙AFG⊙CF AF =FMFG⊙FM×AF=CF×FG=CF2设FM=x则AF=9-x⊙x(9−x)=32+x2解得：x=32或3⊙DG=3或6（5）如图取AC的中点P当PG⊙AD时⊙ADG的面积最大在Rt△AMC中⊙CMA=90° CM=3 AM=OA+OM=5+4=9⊙AD=AC=√CM2+AM2=√32+92=3√10在Rt△AGC中⊙CGA=90° 点P为AC的中点⊙PG=12AC=3√102过点C作CN⊙AD于点N在Rt⊙CDN和Rt⊙ADM中⊙⊙CND=⊙AMD=90° ⊙CDN=⊙ADM ⊙Rt⊙CDN~Rt⊙ADM⊙CN AM =CDAD⊙CN=AM⋅CDAD =9×63√10=9√105设PG交AD于点K ⊙PK⊙AD CN⊙AD ⊙PK⊙CN⊙⊙APK⊙⊙CAN⊙PK CN =APAC=12⊙PK=12CN=9√1010⊙GK=PG−PK=3√102−9√1010=3√105⊙⊙ADG面积的最大值为12AD⋅GK=12×3√10×3√105=9．。

五年级数学培优之《圆的直径和半径》综合训练

五年级数学培优之《圆的直径和半径》综
合训练
引言
圆是数学中重要的几何概念之一，了解圆的直径和半径的概念对于理解圆的性质和应用非常重要。

本练旨在帮助五年级学生加深对圆的直径和半径的理解，并通过综合训练提高他们在这方面的能力。

圆的直径
圆的直径是连接圆上任意两点且通过圆心的线段。

直径是圆的特殊半径，具有以下性质：
- 直径是圆的最长线段。

- 圆的直径长度是半径长度的两倍。

圆的半径
圆的半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

半径是圆的特殊线段，具有以下性质：
- 圆的半径长度是直径长度的一半。

综合练
在练中，我们将结合理论知识和实际问题进行综合训练。

问题一
已知一个圆的半径为7厘米，求其直径的长度。

问题二
已知一个圆的直径为16厘米，求其半径的长度。

问题三
小明用一个尺寸为10厘米的线段作为直径，画了一个圆，请问这个圆的半径是多少厘米？圆的周长是多少厘米？
问题四
求一个圆的直径和半径的长度之和。

问题五
小红画了一个圆的直径是5厘米，小蓝画了一个圆的半径是3厘米，谁画的圆的周长更长？为什么？
在完成以上练后，请仔细检查答案并进行讨论，以加深对圆的直径和半径的理解。

结论
通过综合训练，我们可以更好地理解圆的直径和半径的概念和性质。

掌握这些基本概念对于学习和应用几何知识都非常重要，希望同学们能够在练习中提高自己的能力，并在后续学习中加深对圆的认识。

华师版九年级下册数学第27章圆阶段综合训练【范围：27

【点拨】如图，连结OA，OC，OD，CE，DB. 在圆内接四边形ABCE中，有∠ABC＋∠AEC＝180°；由圆周角定理知∠AOC＝2∠AEC， ∴∠ABC＋ ∠AOC＝180°. 同理得∠AED＋ ∠AOD＝180°.
1 2
1 2
1 1 两式相加得230°＋ ∠AOC＋ ∠AOD＝360°，
2 ∴∠AOC＋∠AOD＝260°.
A．35° B．38° C．40° D．42°
C
9．小明将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高AC为160mm
，直角顶点到轮胎与地面接触点的距离AB为320mm，轮胎的直径为( )
A．350mm
B．700mm
C．800mm
D．400mm
【点拨】如图，连结OB，OC，作CD⊥OB于D，则易知四边形ABDC为矩形．设⊙O的半径为xmm，则OD＝OB－BD＝(x－160)mm，CD＝AB＝320mm，在Rt△OCD中，由勾股定理得，(x－160)2＋3202＝x2，解得x＝400， ∴2x＝800，即轮胎的直径为800mm.
PPAB＝PPDC.
∴1y0＝x3，∴y＝3x0. 【答案】y＝3x0
20．【中考·自贡】如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连结AD、 BC.求证：
(1)A︵D＝B︵C；证明：∵AB＝CD， ∴A︵B＝C︵D，即A︵D＋A︵C＝B︵C＋A︵C， ∴A︵D＝B︵C.
(2)AE＝CE.
，∴∠COD＝∠COE.
A︵C＝B︵C ∵OA＝OB，AD＝BE，∴OD＝OE.
又∵OC＝OC，∴△COD≌△COE，∴CD＝CE.
(2)A︵M＝B︵N.
证明：如图，连结OM，ON. ∵△COD≌△COE，∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE. ∵OC＝OM＝ON，∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC， ∴∠OMD＝∠ONE. ∵∠ODC＝∠DMO＋∠MOD，∠CEO＝∠CNO＋∠EON， ∴∠MOD＝∠NOE，∴

2023年中考数学(人教版)总复习训练：圆综合

2023年中考数学(人教版)总复习训练：圆综合一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1. (2020•资中县一模)已知⊙O中最长的弦长8cm,则⊙O的半径是( )A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm2. (2020秋•河东区期末)已知⊙O的半径OA长为1,OB=2,则正确图形可能是( )A. B. C. D.3. (2020•宜昌)如图,E,F,G为圆上的三点,∠FEG＝50°,P点可能是圆心的是( )A. B. C. D.4. (2020•随州)设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R,则下列结论不正确的是( )A.h＝R+rB.R＝2rC.r aD.R a5. (2020·吉林长春中考)如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠BDC=20o,则∠AOC的大小为( )A.40oB.140oC.160oD.170o6. (2020•绍兴)如图,点A,B,C,D,E均在⊙O上,∠BAC＝15°,∠CED＝30°,则∠BOD的度数为( )A.45°B.60°C.75°D.90°7. (2020•平房区二模)如图,AB为O的切线,AC为弦,连接CB交O于点D,若CB 经过圆心O,∠ACB=28o,则∠B的度数为( )A.33oB.34oC.56oD.28o8. (2020•凉山州)如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O,则AD:AB＝( )A.2:B.:C.:D.:29. (2020•沈阳)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC＝2,以点A为圆心,AD长为半径画弧交边BC于点E,连接AE,则劣弧DE的长为( )A. B.π C. D.10. (2020·辽宁营口·中考真题)如图,AB为⊙O的直径,点C,点D是⊙O上的两点,连接CA,CD,AD.若∠CAB＝40°,则∠ADC的度数是( )A.110°B.130°C.140°D.160°二、填空题(本大共8小题，每小题5分，满分40分)11. (2020•武威)若一个扇形的圆心角为60°,面积为cm2,则这个扇形的弧长为cm(结果保留π).12. (2020•攀枝花)如图,已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O,OD⊥BC于点D,∠BAC＝60°,则OD＝.13. (2020•无锡)已知圆锥的底面半径为1cm,高为3cm,则它的侧面展开图的面积为＝cm2.14. (2020·黑龙江鹤岗中考)如图,AD是△ABC的外接圆的直径,若∠BCA=50o,则∠ADB=_____.15. (2022北京十一学校一分校)如图,PA,PB分别切半径为1的⊙O于A,B两点,BC为直径,若∠P=60o,则PB的长为_____.16. (2021•太原二模)如图,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,23),⊙A与y 轴相切,点C是⊙A上的动点,射线BC与x轴交于点D,则BD长的最大值等于.O17. (2020•牡丹江)AB 是⊙O 的弦,OM ⊥AB,垂足为M,连接OA.若△AOM 中有一个角是30°,OM ＝2,则弦AB 的长为 .18. (2021•兰州)如图,传送带的一个转动轮的半径为18cm,转动轮转n °,传送带上的物品A 被传送12πcm,则n ＝ .三、解答题(本大题共6道小题,每小题6-12分)19. (6分)(2020年湖南省长沙市长郡滨江中学中考数学3月模拟试题)如图,在Rt △ABC 中,点O 在斜边AB 上,以O 为圆心,OB 为半径作圆,分别与BC 、AB 相交于点D 、E,连接AD,已知∠CAD ＝∠B.(1)求证:AD 是⊙O 的切线;(2)若∠B ＝30°,AC 求劣弧BD 与弦BD 所围阴影图形的面积;(3)若AC ＝4,BD ＝6,求AE 的长.20. (6分)(2020秋•新抚区期末)如图,AB 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点,CF 为⊙O 的切线,OE ⊥AB 于点O,分别交AC,CF 于D,F 两点.(1)求证:ED ＝EC;(2)若EC ＝1,∠A ＝30°,求图中阴影部分的面积.321. (8分)(2020秋•集贤县期末)如图,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝54°,以AB 为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,过点B作直线BF,交AC的延长线于点F.(1)求证:BE＝CE;(2)若AB＝6,求弧DE的长;(3)当∠F的度数是多少时,BF与⊙O相切,证明你的结论.22. (10分)(2020•咸宁)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,点O在AC上,以OA为半径的半圆O交AB于点D,交AC于点E,过点D作半圆O的切线DF,交BC于点F.(1)求证:BF＝DF;(2)若AC＝4,BC＝3,CF＝1,求半圆O的半径长.23. (12分)(2021•陕西模拟)问题探究(1)如图①,在△ABC中,AB＝AC,∠B＝30°,AB＝3,则BC的长为;(2)如图②,四边形ABCD中,DA⊥AB,CB⊥AB,AD＝3,AB＝5,BC＝2,P是边AB上的动点,求PC+PD的最小值;问题解决(3)某山庄有一营地,如图③,营地是由等边△ABC和弦AB与其所对的劣弧围成的弓形组成的,其中AC＝600m,所对的圆心角为120°,点D是AB上的一个取水点,AD＝200m,连接CD交于点E.管理员计划在上建一个入口P,在PC、PB上分别建取水点M、N.由于取水点之间需按D→M→N→D的路径铺设水管,因此,为了节约成本要使得线段DM、MN、ND之和最短,试求DM+MN+ND的最小值.24. (12分)(2022北京东直门中学)对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W 2.给出如下定义:在图形W1上存在两点A,B(点A,B可以重合),在图形W2上存在两点M,N,(点M于点N可以重合)使得AM=2BN,则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1,点点P在线段DE上运动(点P可以与点D,E 重合),连接OP,CP.①线段OP的最小值为_______,最大值为_______;线段CP的取值范直范围是_____;②在点O,点C中,点____________与线段DE满足限距关系;(2)如图2,⊙O的半径为1,直线y b=+(b>0)与x轴、y轴分别交于点F,G.若线段FG与⊙O满足限距关系,求b的取值范围;(3)⊙O的半径为r(r>0),点H,K是⊙O上的两个点,分别以H,K为圆心,1为半径作圆得到⊙H和⊙K,若对于任意点H,K,⊙H和⊙K都满足限距关系,直接写出r的取值范围.。

六年级数学上册试题 -《5.圆》综合训练人教版(含答案)

=125.6×8
=1004.8（厘米）
=10.048（米）
答：前进10.048米．;
【解析】：已知一种独轮车的半径是20厘米，根据圆的周长公式：S=2πr可求出转动一周的距离，再乘8就是前进的距离，注意单位要求的是米．
18.【答案】：解：根据分析作图如下：
;
【解析】：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以2厘米为半径（题目没有要求半径，所以这里取2厘米为半径），即可画出这个圆，因为圆周角为360°，所以用以圆的任意一条半径为扇形的边，再利用量角器画出圆心角为85°的扇形即可．
A.缩小2倍，缩小4倍
B.扩大2倍，扩大4倍
C.缩小2倍，缩小2倍
6.下列说法错误的是（）
A.半径一定比直径短
B.圆具有对称性
C.圆是曲线图形
7.（）决定圆的大小．
A.
8.一个半圆的半径是1厘米，这个半圆的周长是（）厘米．
A.3.14
B.5.14
C.6.28
二、非选择题
16.【答案】：解：（1）以O为圆心，以4÷2=2厘米为半径，画圆如下图所示：
（2）根据S=πr2可得：
3.14×22，
=3.14×4，
=12.56（平方厘米），
答：这个圆的面积是12.56平方厘米．;
【解析】：先求出圆的半径，再紧扣画圆的步骤，利用S=πr2即可解决．
17.【答案】：解：2×3.14×20×8
9.圆心决定圆的____，____决定圆的大小．
10.圆的半径扩大到原来的3倍，直径就扩大到原来的____倍，周长会扩大到原来的____倍。如果圆的周长增加π cm，圆的直径增加____cm。
11.战国时期的《墨经》一书中记载：“圜（圆），一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即____都相等．若一圆的周长是31.4厘米，从圆心到圆上的距离是____．

中考数学复习专题训练《圆的综合》(3)

中考数学复习专题训练《圆的综合》（3）1．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，O、A、B三点都在格点处，线段OA绕点O顺时针旋转至OB．（1）求线段OA的长；（2）画出旋转过程中点A经过的路径，且求出该路径的长．2．如图，网格中每个小正方形的边长为1，△OAB的顶点都在格点上，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（1）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使A点初次落在点A1上，请在图中画出△OAB 旋转后所得的像△OA1B1；（2）将△OA1B1向左平移三个单位得到△O2A2B2，请在图中画出平移后所得的像△O2A2B2；（3）求两次变换后B点所经过的路径总长．3．如图，点O、B的坐标分别为（0，0），（3，0），将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°到△OA′B′．（1）画出△OA′B′；（2）点A′的坐标为；（3）求在旋转过程中，点B所经过的路线的长度．4．如图，在正三角形网格中，每一个小三角形都是边长为1的正三角形，解答下列问题：（1）网格中每个小三角形的面积为；（2）将顶点在格点上的四边形ABOC绕点O顺时针旋转120°两次，画出所得到的两个图形，并写出点A所经过的路线为．（结果保留π）．5．如图，边长为a的正方形ABCD沿直线l向右滚动．（1）当正方形滚动一周时，正方形中心O经过的路程为，此时点A经过的路程为；（2）当点A经过的路程为时，中心O与初始位置的距离为；（3）将正方形在滚动中转了180°时点A的位置记为A1，正方形转了360°时点B的位置记为B1，请你猜想∠AA1B1的大小，并请你利用三角函数中正切的两角和公式来验证你的猜想．6．如图，⊙O的半径为10cm．（1）如果∠AOB＝100°，求扇形AOB的面积；（2）已知弧BC长为25cm，求∠COB的度数．（结果保留整数）7．如图，点C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝8，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求证：AF＝DF．（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．8．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A，B，O都在格点上．（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的三角形；（2）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积．9．如图，P A、PB是半径为1的⊙O的两条切线，点A、B分别为切点，∠APB＝60°，OP 与弦AB交于点C，与⊙O交于点D．（1）在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的全等三角形；（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．10．如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C 在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上．（1）求正方形CDEF的边长；（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．11．如图，已知△ABC，若将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1．①请在图中画出△A1B1C1；②写出A点的对应点A1的坐标；③求出线段CB在旋转过程中扫过的面积．12．如图，⊙O交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴的正半轴于点C，点D 为第一象限内⊙O上的一点，连接AD，OD，CD，已知∠DAB＝15°，CD＝2．（1）∠OCD＝．（2）⊙O的半径为．（3）S扇形COD＝．13．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，已知△ABC的边长为a，求图中阴影部分的面积．14．如图，点P在圆O外，P A与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA＝4，P A＝．求：（1）∠POA的度数；（2）弦AB的长；（3）阴影部分的面积．15．如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C作DC⊥OA，交AB于点D，（1）求证：∠CDO＝∠BDO；（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留π）16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．17．如图，扇形OAB的半径OA＝4，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的一点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，过点C作弧AB所在圆的切线CG交OA的延长线于点G．（1）求证：∠CGO＝∠CDE；（2）若∠CGD＝60°，求图中阴影部分的面积．18．如图，已知A为⊙O外一点，连接OA，交⊙O于P，AB是⊙O的切线，B是切点，且PO＝2cm，AB＝2cm，求阴影部分的面积．19．如图，已知菱形ABCD的边长为1.5cm，B，C两点在扇形AEF的上，求的长度及扇形ABC的面积．20．如图所示，在⊙O中，＝，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．（1）求证：AC2＝AB•AF；（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B＝60°，求图中阴影部分面积．21．在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC＝10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）．（1）如图1，画出小狗活动的区域，并求出当BC＝2m时S的值．（结果保留π）（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，设BC＝xm，①写出面积S与x的关系式；②在BC的变化过程中，当S取得最小值时，求边BC的长及S的最小值．（结果保留π）22．如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ 所围成图形的面积S．23．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝8cm，连结OB，求图中扇形BOC的面积．24．如图，点A是游乐场上方25m处安装的一盏照明灯，灯光以圆锥形式照射地面．若圆锥的母线AB与AC的夹角为60°，求此灯光照射地面的面积．25．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，请用尺规作图法作经过A、B、C三点的⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）26．如图，点E，C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．（1）求证：AB＝DE；（2）若AC交DE于M，且AB＝，ME＝，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．27．如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的圆，圆心为O，且AB＝AD，延长CB、DA 交于P，过C点作PD的垂线交PD的延长线于E，且PB＝BO，连接OA．（1）求证：OA∥CD；（2）求线段BC：DC的值；（3）若CD＝18，求DE的长．28．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC为直径的半⊙O与边AD相切于点E．（1）求证：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的长．29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD的交点为E，OB∥CD，BH⊥AC，垂足为H，且∠BF A＝∠DBC．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若BH＝3，求AD的长度；（3）若sin∠DAC＝，求△OBH的面积与四边形OBCD的面积之比．30．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF：FD＝4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD＝10，求半径CD的长．。

中考数学圆综合题专题训练

中考数学圆综合题专题训练（第11天）1.如图，以△ABC 的BC 边为直径作⊙O ，分别交AC 、AB 于E 、F 两点，过A 作⊙O 的切线，切点为D ，且点E 、F 为劣弧CD ︵的三等分点．（1）求证：AD ∥BC ；（2）求∠DAC 的大小．2．（成都某校自主招生）如图，在直角坐标系中，点B （－1－3，0），C （1＋3，0），△ABC 的内切圆的圆心是I （－1，1），求△ABC 的面积．3．（四川德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB 的延长线于G．（1）求证：FC＝FB；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB＝FE＝2，求⊙O的半径．4．（四川广安）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC＝25，sin∠BCP＝55，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．CP5．（四川泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是AD ︵的中点，弦CE ⊥AB 于点H ，连接AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连接BD ．（1）求证：P 是线段AQ 的中点；（2）若⊙O 的半径为5，AQ ＝152，求弦CE 的长．B中考数学圆综合题专题训练（第12天）6．（四川宜宾）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1＝2，⊙O2的半径r2＝2．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E．（1）求证：P APB＝2；（2）若PQ＝2，试求∠E度数．7．（四川资阳）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，连接DE ，过点B 作BP ∥DE ，交⊙O 于点P ，连接EP 、CP 、OP ．（1）求证：BD ＝DC ；（2）求∠BOP 的度数；（3）求证：CP 是⊙O 的切线．AC BD OE P8．（四川某校自主招生）如图，等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与⊙O相切于点E、D，AD＝3，DC＝5，直线FG与AC、BC分别交于点F、G，且∠CFG＝60°．（1）求阴影部分的面积；FG与⊙O的位置关系，并说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，半径分别为m、n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴、y轴分别切于点M、N，⊙O2与x轴、y轴分别切于点R、H．（1）求两圆的圆心O1、O2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心O1、O2之间的距离d；（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2．试探究：是否存在一条经过P、Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为|S1－S2|2d的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．中考数学圆综合题专题训练（第13天）10．（湖南怀化）如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝4，∠OBC ＝30°，点C 是弦AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD 、DB ．（1）当∠ADC ＝18°时，求∠DOB 的度数；（2）若AC ＝23，求证△ACD ∽△OCB ．ACBDO11．（湖南湘潭）如图，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，AC ＝12AB ，点P在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作直线PB 的垂线CD 交PB 于D 点．（1）如图1，求证：△PCD ∽△ABC ；（2）当点P 运动到什么位置时，△PCD ≌△ABC ？请在图2中画出△PCD 并说明理由；（3）如图3，当点P 运动到CP ⊥AB 时，求∠BCD 的度数．B 图2D图1B图312．（湖南张家界）如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为圆周上一点，AC ＝2，过点C 作⊙O 的切线DC ，点P 为优弧CBA ︵上一动点（不与A 、C 重合）．（1）求∠APC 与∠ACD 的度数；（2）当点P 移动到CB ︵的中点时，证明：四边形ACPO 是菱形；（3）P 点移动到什么位置时，由点A 、P 、C 三点构成的三角形与△ABC 全等，请说明理由．B13．（湖北鄂州）如图，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中点，以CD长为直径作圆，交BC于E，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：OE∥AB；（2）若EH＝12CD，求证：AB是⊙O的切线；（3）若BE＝4BH，求BHCE的值．中考数学圆综合题专题训练（第14天）14．（湖北恩施）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD＝15，BE＝10，sin A＝513，求⊙O的半径．C15．（湖北十堰）如图1，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD ∥AC ，且∠CBD ＝∠BAC ，OD 交⊙O 于点E ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线．（2）若点E 为线段OD 的中点，证明：以O 、A 、C 、E 为顶点的四边形是菱形；（3）作CF ⊥AB 于点F ，连接AD 交CF 于点G （如图2）．求FGFC的值．ACB ODE图1A CB ODE图2F G16．（湖北襄阳）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E，F，过点B作PO 的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．AC BO D EPF17．（湖北某校自主招生）已知扇形AOB 的半径为6，圆心角为90°，E 是半径OA 上一点，F 是AB ︵上一点．将扇形AOB 沿EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径OB 相切于点G ．（1）若OE ＝4，求折痕EF 的长；（2）若G 是OB 中点，求OE 和折痕EF 的长；（3）点E 可移动的最大距离是多少？B中考数学圆综合题专题训练（第15天）18．（湖北某校自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以点A为圆心，2为半径的⊙A与x轴交于O、B两点，OC为弦，∠AOC＝60°，P是x轴上的一动点，直线CP交⊙A于点Q，连接OQ、AQ．Array（1）当△OCQ是等腰三角形时，求点P的坐标；（2）当△APQ是等腰三角形时，求∠OCQ的度数．19．（湖北模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，且⊙O内切于△ABC，D、E、F是切点，CF 交⊙O于G，EG延长线交BC于M，AG交⊙O于K．（1）求证：△MCG∽△MEC；（2）若EM⊥BC，求cos∠FAK的值．20．（湖北模拟）已知矩形ABCD中，半径为r的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与边AB、BC相切，⊙O2与边BC相切．点E是边CD上一点，将△ADE沿AE翻折得△AD′E，AD′恰好与⊙O2相切于点D′．若AD＝3，折痕AE的长为10．（1）求r的值；（2）求证：矩形ABCD为正方形．D E。

圆综合训练(单元测试)-数学六年级上册

人教版六上圆综合训练（四）一、填空题1.若一个外圆的直径是16厘米的环形铁片，它的内圆半径是5厘米，则它的面积是（）2.从一个长9厘米，宽6厘米的长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的周长是（）厘米，面积是（）平方厘米。

3. 已知两个圆的半径分别是2厘米和3厘米，那么，他们的周长比是（），面积比是（）．4. 圆周率π是一个（）小数．5.一根绳子将两个相同的瓶子捆在一起，正好捆了两周。

一个瓶子的半径是 5cm，这根绳子长（）厘米。

二、选择题1. 把一个圆对折使两边完全重合，这样对折两次，两条折痕的交点是这个圆的（）A.半径B.圆心C.直径D.圆周率2. 计算半圆的周长公式是（）A..πrB.πr+2rC.2πr3. 车轮转动一周，所行的路程是车轮的（）A.周长B.直径C.面积D.都不是4. 画一个周长是15.7厘米的圆，圆规的两脚应在直尺上量取（）厘米的距离．A.15.7B.5C.3.14D.2.55. 一个半圆，半径为r，直径为d，这个半圆的周长是多少？（）A.πd÷2B.πr+dC.（πd+d）÷2三、判断题1.直径是圆内最长的线段（）2.要画一个直径是8厘米的圆，圆规的两脚分开的距离应该是8厘米（）3.半圆的周长大于圆周长的一半。

（）4.两个圆的直径相等，它们的半径也一定相等；（）5.圆上任意两点连成的线段中，直径最长；（）四、解答题1.如图是一个直角梯形的街心花园的平面图，空白部分是健身场地，阴影部分打算铺上草坪．如果每平方米草坪按95元计算，铺好这块草坪需要多少元？2.圆形铁片的直径是10厘米，圆的周长是多少厘米？3. 一根铜丝长12.56米，正好在一个圆形线圈上绕满50圈，这个线圈的半径是多少厘米？4.在长6分米，宽4分米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的周长多少分米？5.一辆自行车轮胎的外直径70厘米，如果每分钟转100圈，通过一座1099米的大桥需要多少分钟？6.长方形长3cm，宽2cm，在长方形中挖去一个最大的圆，求剩余部分的面积。

第一单元《圆》综合达标训练提优测评卷 2022—2023北师大版六年级上册(含答案)

第一单元《圆》综合训练习题2022—2023北师大版六年级上册（含答案）一、选择题1. 下面三幅图的阴影部分的周长相比较，（）。

A．图（1）大B．图（2）大C．图（3）大2. 画一个周长是56.52厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（）厘米。

A．3 B．6 C．9 D．123. 外圆半径为R，内圆半径为r的一个圆环的面积等于（）。

A．π（R²－r²）B．π（R－r）²C．2πR－2πr D．π（R＋r）²4. 车轮滚动一周，求所行的路程，就是求车轮的（）。

A．半径 B．直径 C．周长 D．面积5. 小明在三张边长为8厘米的正方形彩色卡纸上分别画出不同规格的圆形（如图所示），将图中的圆形剪下后，正方形彩色卡纸一定会有剩下的废料，下面说法正确的是（）。

A．甲种彩色卡纸剩下的废料多B．乙种彩色卡纸剩下的废料多C．丙种彩色卡纸剩下的废料多D．剩下的废料同样多二、填空题6. 一个周长是12.56厘米的圆，若它的直径扩大到原来的4倍，则周长扩大到原来的_________倍，面积扩大到原来的___________倍。

7. 用一根6.28dm长的铁丝弯成一个圆形铁环，这个铁环的直径是( )dm，面积是( )2dm。

8. 杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮直径为30cm，要骑过18.84m长的钢丝，车轮要转____________周。

（取3.14）9. 如图,长方形和圆的面积相等，圆的周长是6.28厘米，长方形的长是( )厘米。

请你任选一种（画示意图、写文字、列算式等）方式表达：( )10. 一个车轮滚动100圈前进了188.4米，这个车轮的半径是( )米。

11. 一个钟表分针长10厘米，时针长8厘米，从2时走到3时，分针所扫过的面积是__________平方厘米，分针尖端走过的周长是__________厘米；从3时到6时，时针扫过的面积是__________平方厘米。

（取3.14）12. 圆周率是圆的和的比值，它是一个小数．13. 在一个直径是6米的圆形水池周围，修一条2米宽的石子路。

中考数学《圆的综合》专题训练(含有答案)

中考数学《圆的综合》专题训练(含有答案)1．如图，：AB 是O 的直径：BC 是O 弦，OD CB ⊥于点E ，交BC 于点D ．(1)请写出三个不同类型的正确结论(2)连结CD ，设BCD α∠= ABC β∠= 试找出α与β之间的一种关系式并给予证明．2．如图，，在ABC 中 AB AC = 以AB 为直径的O 交BC 于点D 交CA 的延长线于点E ．(1)求证点D 为线段BC 的中点．(2)若63BC = 3AE = 求O 的半径及阴影部分的面积．3．如图，AB 为O 的直径点C 在O 上延长BC 至点D 使DC CB =．延长DA 与O 的另一个交点为E 连结AC CE ，．(1)求证D E ∠=∠(2)若42AB BC AC =-=，求CE 的长．4．请仅用无刻度的直尺完成下列作图不写作法保留作图痕迹(1)如图1， ABC 与ADE 是圆内接三角形 AB AD = AE AC = 画出圆的一条直径．(2)如图2 ， AB CD 是圆的两条弦 AB CD =且不相互平行画出圆的一条直径． 5．如图，AB 是O 的直径点D 在AB 的延长线上点C 在O 上 ,30CA CD CDA =∠=︒．(1)求证CD 是O 的切线(2)若O 的半径为6 求点A 到CD 所在直线的距离．6．如图，点C 在以AB 为直径的O 上过C 作O 的切线交AB 的延长线于E AD CE ⊥于D 连接AC ．(1)求证ACD ABC ∠=∠(2)若3tan 4CAD ∠= 8AD = 求O 直径AB 的长．7．如图，已知以Rt ABC 的直角边AC 为直径作O 交斜边AB 于点E 连接EO 并延长交BC 的延长线于点D 连接AD 点F 为BC 的中点连接EF ．(1)求证EF 是O 的切线(2)若O 的半径为6 8CD = 求AB 的长．8．如图， AB 是半圆O 的直径 D 为半圆O 上的点(不与A B 重合) 连接AD 点C 为BD 的中点过点C 作CF AD ⊥ 交AD 的延长线于点F 连接BF AC 交于点E ．(1)求证FC 是半圆O 的切线(2)若3AF = 23AC = 求半圆O 的半径及AE 的长．9．如图， AB 为O 的直径 C 为BA 延长线上一点 CD 是O 的切线 D 为切点 OF AD ⊥于点E 交CD 于点F ．(1)求证ADC AOF ∠=∠ (2)若53OC OB = 24BD = 求EF 的长． 10．如图，所示 AB 是O 的直径点D 在AB 上点C 在O 上 AD AC =CD 的延长线交O 于点E ．(1)在CD 的延长线上取一点F 使BF BC = 求证BF 是O 的切线 (2)若2AB = 2CE 求图中阴影部分的面积．11．如图， ABC 内接于O AB 为O 的直径 D 为BA 延长线上一点连接CD 过O 作OF BC ∥交AC 于点E 交CD 于点F ACD AOF ∠=∠．(1)求证CD 为圆O 的切线 (2)若1sin 4D =10BC = 求EF 的长． 12．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形 AD CD = 70BAC ∠=︒ 50∠=°ACB ．(1)求ABD ∠的度数 (2)求BAD ∠的度数．13．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形且对角线BD 为O 的直径过点A 作AE CD ⊥ 与CD 的延长线交于点E 且DA 平分BDE ∠．(1)求证AE 是O 的切线(2)若O 的半径为5 6CD = 求DA 的长．14．如图，在正方形ABCD 中有一点P 连接AP BP 旋转APB △到CEB 的位置．(1)若正方形的边长是8 4BP =．求阴影部分面积 (2)若4BP = 7AP = 135APB ∠=︒ 求PC 的长．15．如图， AB 是O 的直径 OD 垂直于弦AC 于点E 且交O 于点D F 是BA 延长线上一点若CDB BFD ∠=∠．(1)求证 FD 是O 的一条切线(2)若15AB = 9BC = 求DF 的长． 16．如图，O 是ABC ∆的外接圆 AE 切O 于点A AE 与直径BD 的延长线相交于点E ．(1)如图，① 若70C ∠=︒ 求E ∠的大小 (2)如图，① 若AE AB = 求E ∠的大小．17．已知如图，直线MN 交O 于A B 两点 AC 是直径 AD 平分CAM ∠交O 于D 过D 作DE MN ⊥于E ．(1)求证DE 是O 的切线(2)若8cm DE = 4cm AE = 求O 的半径．18．已知四边形ABCD 内接于O C 是DBA 的中点 FC AC ⊥于C 与O 及AD 的延长线分别交于点,E F 且DE BC =．(1)求证~CBA FDC(2)如果9,4AC AB == 求tan ACB ∠的值．参考答案与解析1．(1)见解析(2)关系式为2=90αβ+︒ 证明见解析【分析】（1）AB 是O 的直径 BC 是弦 OD BC ⊥于E 本题满足垂径定理．（2）连接,CD DB 根据四边形ACDB 为圆内接四边形可以得到290αβ+=︒．【解析】（1）解不同类型的正确结论有 ①BE CE = ①BD CD = ①90BED ∠=︒ ①BOD A ∠=∠ ①AC OD ∥ ①AC BC ⊥ ①222OE BE OB += ①ABC S BC OE =⋅△ ①BOD 是等腰三角形 ①BOE BAC △∽△等等．（2）如图，连接,CD DBα与β之间的关系式为290αβ+=︒证明AB 为圆O 的直径90A ABC ∴∠+∠=︒①又四边形ACDB 为圆内接四边形180A CDB ∠∠∴+=︒①∴①-①得90CDB ABC ∠∠-=︒①18021802CDB BCD α∠=︒-∠=︒- 即180290αβ︒--=︒ ①2=90αβ+︒．【点评】本题考查了圆的一些基本性质且有一定的开放性垂径定理圆内接四边形的性质掌握圆的相关知识． 2．(1)见解析 (2)半径为3 39π324S =阴【分析】（1）连结AD 可得90ADB ∠=︒ 已知AB AC = 根据等腰三角形三线合一的性质即可得证点D 为线段BC 的中点（2）根据已知条件可证ABC DEC ∽△△ 得到ED ECAB BC= 22BD AB EC =⋅ 且EDC △是等腰三角形进而得到ED DC BD == 设AB x = 则(()22333x x =+ 解方程即可求得O 的半径连接OE 可证AOE △是等边三角形再根据AOEAOE S S S =-阴扇形即可求出阴影部分的面积【解析】（1）连结AD①AB 为O 的直径 ①90ADB ∠=︒ ①AB AC = ①BD CD =即点D 为线段BC 的中点．（2）①B E ∠=∠ C C ∠=∠ ①ABC DEC ∽△△ ①ED ECAB BC= ①AB AC = ①B C ∠=∠ ①C E ∠=∠ ①ED DC BD == ①22BD AB EC =⋅ 设AB x = 则 (()22333x x =+解得19x =-（舍去） 26x = ①O 的半径为3 连接OE ①60AOE =︒∠ ①AOE △是等边三角形 ①AE 33①AOEAOE S S S=-阴扇形260313333602π⨯⨯=-⨯ 39π324=【点评】本题主要考查等腰三角形的性质相似三角形的判定和性质不规则图形面积的计算熟练掌握相关知识点是解题的关键． 3．(1)见解析 (2)CE 的长为17【分析】（1）由AB 为O 的直径得90ACB ∠=︒ 通过证明()ACD ACB ≌SAS 得到D B ∠=∠ 又由B E ∠=∠ 从而得到D E ∠=∠（2）设BC x = 则2AC x =- 在Rt ABC 中由勾股定理可得222AC BC AB += 即()22224x x -+= 解一元二次方程得到BC 的长由（1）知D E ∠=∠ 从而得到CD CE = 又由DC CB = 得到17CE CB ==【解析】（1）证明AB 为O 的直径90ACB ∴∠=︒180ACD ACB ∠+∠=︒90ACD ∴∠=︒在ACD 和ACB △中AC AC ACD ACB DC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD ACB ∴≌SASD B ∴∠=∠ BE ∠=∠D E ∴∠=∠（2）解设BC x =2BC AC -=∴2AC x =-在Rt ABC 中由勾股定理可得222AC BC AB += 即()22224x x -+=解得117x = 217x = 17BC ∴=由（1）得D E ∠=∠ CD CE ∴= DC CB =17CE CB ∴==∴ CE 的长为17【点评】本题主要考查了圆周角定理三角形全等的判定与性质等腰三角形的性质勾股定理解直角三角形熟练掌握圆周角定理三角形全等的判定与性质等腰三角形的性质是解题的关键． 4．(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）设BC DE 交于点G 连接AG 交圆于点F 即可作答（2）连接BC AD 交于点F 延长BA DC 两线交于点E 作直线EF 交圆于点M N 即可作答．【解析】（1）如图，设BC DE 交于点G 连接AG 并延长交圆于点F线段AF 即为所求证明如图， BC AE 交于点Q DE AC 交于点P 连接DB 交AF 于点H①AB AD = AE AC = ①C E ∠=∠ ADE ABC =∠∠ ①DAE BAC ∠=∠①DAE BAC ≌ ①BC DE = ①DAE BAC ∠=∠ ①BAE DAC ∠=∠①AB AD = ADE ABC =∠∠ ①DAP BAQ ≌ ①AQ AP = ①AE AC = ①QE PC =①QGE PGC ∠=∠ C E ∠=∠ ①QGE PGC ≌ ①QG PG =①AG AG = AQ AP = ①QAG PAG ≌ ①QAG PAG ∠=∠ ①BAE DAC ∠=∠ ①BAG DAG ∠=∠ ①AH AH = AB AD = ①BAH DAH ≌①BH DH = 90AHB AHD ∠=∠=° ①AF 垂直平分弦DB ①AF 是圆的直径（2）如图，连接BC AD 交于点F 延长BA DC 两线交于点E 作直线EF 交圆于点M N线段MN 即为所求．证明方法同（1）．【点评】本题主要考查了垂径定理圆周角定理以及全等三角形的判定与性质等知识掌握圆周角定理以及垂径定理是解答本题的关键． 5．(1)见解析 (2)9【分析】（1）已知点C 在O 上先连接OC 由已知CA CD = 30CDA ∠=︒ 得30CAO ∠=︒ 30ACO ∠=︒ 所以得到60COD ∠=︒ 根据三角形内角和定理得90DCO ∠=︒ 即能判断直线CD 与O 的位置关系．（2）要求点A 到CD 所在直线的距离先作AE CD ⊥ 垂足为E 由30CDA ∠=︒ 得12AE AD = 在Rt OCD △中半径6OD = 所以212OD OC == 18AD OA OD =+= 从而求出AE ．【解析】（1）①ACD 是等腰三角形 30D ∠=︒①30CAD CDA ∠=∠=︒．连接OC①AO CO =①AOC 是等腰三角形①30CAO ACO ∠=∠=︒①60COD ∠=︒在COD △中又①30CDO ∠=︒①90DCO ∠=︒①CD 是O 的切线即直线CD 与O 相切．（2）过点A 作AE CD ⊥ 垂足为E ．在Rt OCD △中 ①30CDO ∠=︒①212OD OC ==61218AD AO OD =+=+=在Rt ADE △中①30EDA ∠=︒①点A 到CD 边的距离为92AD AE ==．【点评】此题考查的知识点是切线的判定与性质解题的关键是运用直角三角形的性质及30°角所对直角边的性质．6．(1)见解析 (2)252AB =．【分析】（1）连接OC 由DE 为O 的切线得到OC DE ⊥ 再由AD CE ⊥ 得到AD OC ∥ 得到OCA CAD ∠=∠ 根据OA OC = 利用等边对等角得到OCA CAB ∠=∠ 等量代换得到CAD CAB ∠=∠ 由AB 为O 的直径可知90ACB ∠=︒ 最后根据等角的余角相等可得结论（2）在Rt CAD △中利用锐角三角函数定义求出CD 的长根据勾股定理求出AD 的长由（1）易证ADC ACB 得到AD AC AC AB= 即可求出AB 的长．【解析】（1）解连接OC由题意可知DE 与O 的相切于COC DE ∴⊥AD CE ⊥AD OC ∴∥OCA CAD ∴∠=∠OA OC =OCA CAB ∴∠=∠CAD CAB ∴∠=∠ AB 为O 的直径90ACB ∴∠=︒90CAD ACD CAB ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒ACD ABC ∴∠=∠（2）在Rt CAD △中3tan 4CDCAD AD ∠== 8AD =364CD AD ∴==22226810AC CD AD ∴+=+=由（1）可知CAD CAB ∠=∠90D ACB ∠=∠=︒ADC ACB ∴ADACAC AB ∴=81010AB∴= 252AB ∴=【点评】此题考查了切线的性质以及解直角三角形熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 7．(1)证明见解析 (2)125AB =【分析】（1）连接FO 可根据三角形中位线的性质可判断OF AB ∥ 然后根据直径所对的圆周角是直角可得CE AE ⊥ 进而知OF CE ⊥ 然后根据垂径定理可得FEC FCE ∠=∠OEC OCE ∠=∠ 再通过Rt ABC 可知90OEC FEC ∠+∠=︒ 因此可证EF 为O 的切线（2）根据题意可先在Rt OCD △中求出OD 然后在Rt EFD 中求出FC 最终在Rt ABC 中求解AB 即可．【解析】（1）证连接FO 则由题意OF 为Rt ABC 的中位线①OF AB ∥①AC 是O 的直径①CE AE ⊥①OF AB ∥①OF CE ⊥①由垂径定理知 OF 所在直线垂直平分CE①FC FE = OE OC =①FEC FCE ∠=∠ OEC OCE ∠=∠①90ACB ∠=︒即90OCE FCE ∠+∠=︒①90OEC FEC ∠+∠=︒即90FEO ∠=︒①EF 是O 的切线（2）解①O 的半径为6 8CD = 90ACB ∠=︒①OCD 为直角三角形 6OC OE == 8CD = ①2210OD OC CD += 10616ED OD OE =+=+=由（1）知 EFD △为直角三角形且FC FE =①设FC FE x == 则8FD FC CD x =+=+①由勾股定理 222EF ED FD +=即()222168x x +=+ 解得12x =即12FC FE ==①点F 为BC 的中点①224BC FC ==①212AC OC ==①在Rt ABC 中 22125AB BC AC +①125AB =【点评】本题考查切线的证明圆的基本性质以及勾股定理解三角形等掌握切线的证明方法熟练运用圆中的基本性质是解题关键．8．(1)见解析(2)半径为2 123AE =【分析】（1）根据点C 为弧BD 的中点得出FAC CAB ∠∠= 然后得出FAC ACO ∠∠= 根据平行线的性质得出CF OC ⊥ 进而即可求解（2）连接BC 设OC 与BF 相交于点P 证明AFC ACB ∽ 得出4AB = 证明BOP BAF ∽得出1322OP AF == 进而证明ECP EAF ∽ 根据相似三角形的性质列出比例式进而即可求解．【解析】（1）证明连接OC 如图，点C 为弧BD 的中点∴CD CB =FAC CAB ∠∠∴=又OA OC =CAB ACO ∠∠∴=FAC ACO ∠∠∴=∴OC AF ∥又CF AD ⊥CF OC ∴⊥FC ∴是半圆O 的切线．（2）解连接BC 如图，AB 是半圆O 的直径90ACB ∠∴=︒90AFC ACB ∠∠∴==︒又FAC CAB ∠∠=AFC ACB ∴∽ ∴AFACAC AB = 23234AB ∴=∴半圆O 的半径为2．设OC 与BF 相交于点POC AF ∥BOP BAF ∴∽ ∴12OPOB AF AB == ∴1322OP AF == ∴12PC OC OP =-=OC AF ∥ECP EAF ∴∽ ∴EC PCAE AF = 即123AC AEAE -= 2316AE-=∴123AE = 【点评】本题考查了切线的性质与判定相似三角形的性质与判定掌握切线的判定以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．9．(1)见解析(2)3【分析】（1）连接DO 根据CD 是O 的切线 OF AD ⊥ 证明ADC DOF ∠∠= 利用等腰三角形三线合一性质证明ADC AOF ∠∠=．（2）利用平行线分线段成比例定理计算OE 证明CFO CDB △∽△ 计算OF两线段作差即可求解．【解析】（1）如图，连接DO CD 是O 的切线OD DF ∴⊥90ADC ADO ∠∠∴+=︒OF AD ⊥ OA OD =90DOF ADO ∠∠∴+=︒ DOF AOF ∠∠=ADC DOF ∠∠∴=ADC AOF ∠∠∴=．（2）如图，连接DO CD 是O 的切线OD DF ∴⊥90CDO ∠∴=︒53OC OB =设5(0)CO k k => 则3DO OB AO k ===4CD k ∴=538CB CO OB k k k ∴=+=+= AB 是O 的直径 24BD =AD DB ∴⊥OF AD ⊥∴OF BD ∥ ∴AO AE OB ED = CFO CDB △∽△ ∴OF CO BD CB= AE ED ∴=5524538OF k k k ==+ ∴1122OE BD == 15OF = 3EF OF OE ∴=-=．【点评】本题考查了切线的性质等腰三角形的三线合一性质平行线分线段成比例定理相似三角形的性质与判定熟练掌握切线的性质相似三角形的性质与判定是解题的关键．10．(1)证明过程见解析 (2)142π-【分析】（1）AB 是O 的直径 AC AD = BF BC = 可求出90FBD ∠=︒ AB BF ⊥ 由此即可求证（2）如图，所示（见解析）连接,CO EO 可得1OC OE == 可证222CO O CE += 90COE ∠=︒ 根据扇形面积的计算方法即可求解．【解析】（1）证明①AB 是O 的直径①90ACB ∠=︒①90ACD BCD ∠+∠=︒①AC AD =①ACD ADC ∠=∠①ADC BDF ∠=∠①ACD BDF ∠=∠①BC BF =①BCD F ∠=∠①90BDF F ∠+∠=︒①180()90FBD FDB F ∠=︒-∠+∠=︒①AB BF ⊥ 且OB 是O 的半径①BF 是O 的切线．（2）解如图，所示连接,CO EO①2AB =①1OC OE == ①2CE ①222CO EO += 2222CE == ①222CO O CE +=①90COE ∠=︒ ①29011111360242ππS ⨯=-⨯⨯=-阴影 ①图中阴影部分的面积为142π-．【点评】本题主要考查圆的基础知识掌握圆的切线的证明方法扇形面积的计算方法是解题的关键．11．(1)见解析(2)3【分析】（1）连接CO 根据OF BC ∥可得B AOF ∠=∠ 根据直径所对的圆周角为直角可得90B CAB ∠+∠=︒ 再根据AO CO =得出CAB ACO ∠=∠ 最后证明90ACD ACO ∠+∠=︒即可（2）根据中位线定理得出152OE BC == 证明DBC DOF ∽ 根据相似三角形对应边成比例即可求解．【解析】（1）证明连接CO①OF BC ∥①B AOF ∠=∠①AB 为O 的直径①90ACB ∠=︒ 则90B CAB ∠+∠=︒①90AOF CAB ∠+∠=︒①AO CO =①CAB ACO ∠=∠①ACD AOF ∠=∠①90ACD ACO ∠+∠=︒ 即OC CD ⊥①CD 为圆O 的切线（2）①AB 为O 的直径①点O 为AB 中点①OF BC ∥①OE 为ABC 中位线 ①152OE BC == ①1sin 4D = OC CD ⊥ ①4OD OC = 则5BD OD OB OC =+=①OF BC ∥①DBC DOF ∽ ①OF OF BC BD = 即4510OC OF OC = 解得8OF =①853EF OF OE =-=-=．【点评】本题主要考查了切线的判定和性质圆周角定理相似三角形的判定和性质以及解直角三角形解题的关键是掌握切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．12．(1)30︒(2)100︒【分析】（1）根据三角形内角和定理可得60ABC ∠=︒ 再由AD CD = 可得ABD CBD ∠=∠ 即可求解（2）根据圆周角定理可得30ABD ACD ∠∠==︒ 从而得到80BCD ∠=︒ 再由圆内接四边形的性质即可求解．【解析】（1）解①70,50BAC ACB ∠=︒∠=︒①18060ABC BAC ACB ∠=︒-∠-∠=︒①AD CD = ①1302ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒ （2）解由圆周角定理得30ABD ACD ∠∠==︒①80BCD ACB ACD ∠=∠+∠=︒①四边形ABCD 是O 的内接四边形①180100BAD BCD ∠=︒-∠=︒．【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质圆周角定理等知识熟练掌握圆内接四边形的性质圆周角定理是解题的关键．13．(1)见解析(2)AD 的长是25【分析】（1）连接OA 根据已知条件证明OA AE ⊥即可解决问题（2）作OF CD ⊥ 则四边形OAEF 是矩形且132DF CD ==由此可求得DE 的长在Rt OFD △中勾股定理求出OF 即AE 的长在Rt AED △中利用勾股定理求DA ．【解析】（1）证明如图，连接OA①AE CD ⊥①90DAE ADE ∠+∠=︒．①DA 平分BDE ∠①ADE ADO ∠=∠又①OA OD =①OAD ADO ∠=∠①90DAE OAD ∠+∠=︒①OA AE ⊥①AE 是O 的切线（2）解过点O 作OF CD ⊥于F ．①90OAE AEF OFE ∠︒=∠=∠=①四边形OAEF 是矩形①5EF OA AE OF ===，．①OF CD ⊥ ①132DF FC CD ===①532DE EF DF =-=-=在Rt OFD △中 2222534OF OD DF --=①4AE OF ==在Rt AED △中 22224225AD AE DE ++=①AD 的长是25【点评】本题考查了切线的判定与性质垂径定理圆周角定理勾股定理解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．14．(1)12π(2)9【分析】(1) 根据题意 CEB APB ABC PBE S S S S S =+--阴影扇形扇形根据公式计算即可．(2) 连接PE 根据题意 45,135,90PEB CEP PEC ∠=︒∠=︒∠=︒ 根据勾股定理计算即可．【解析】（1）如图， ①正方形ABCD 旋转APB △到CEB 的位置①APB CEB ≌ 90ABC PBE ∠=∠=︒ =CEB APB S S ①CEB APB ABC PBE S S S S S =+--阴影扇形扇形①ABC PBE S S S =-阴影扇形扇形①48BP AB ==， ①9064901612360360S πππ︒⨯⨯︒⨯⨯=-=︒︒阴影．（2）连接PE根据题意 45,135PEB APB CEP ∠=︒∠=∠=︒ AP CE =①90PEC ∠=︒①4BP = 7AP =①2227,4432CE PE ==+=①222273281PC CE PE =+=+=解得9PC =．【点评】本题考查了正方形的性质旋转的性质阴影面积的计算扇形面积公式勾股定理熟练掌握旋转的性质阴影面积的计算扇形面积公式勾股定理是解题的关键．15．(1)证明见解析(2)10DF =【分析】（1）因为CDB CAB ∠=∠ CDB BFD ∠=∠ 所以CAB BFD ∠=∠ 即可得出FD ①AC 可得得出OD FD ⊥ 进而得出结论（2）利用勾股定理先求解AC 再利用垂径定理得出AE 的长可得OE 的长证明AEO FDO ∽ 再利用相似三角形的判定与性质得出DF 的长．【解析】（1）①CDB CAB ∠=∠ CDB BFD ∠=∠①CAB BFD ∠=∠①FD AC ∥①OD 垂直于弦AC 于点E①OD FD ⊥①FD 是O 的一条切线（2）①AB 为O 的直径①90ACB ∠=︒①15AB = 9BC = ①2215912AC -= 7.5AO OB OD ===①DO AC ⊥①6AE CE == ①227.56 4.5OE -①AC FD ∥①AEO FDO ∽ ①AE EO FD DO = ①4.567.5FD= 解得10DF =．经检验符合题意.【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质垂径定理圆周角定理切线的判定以及平行线的判定掌握相似三角形的判定与性质垂径定理圆周角定理以及平行线的判定是解题的关键．16．(1)50︒(2)30︒【分析】（1）连接OA 先由切线的性质得OAE ∠的度数求出2142AOB C ∠=∠=︒ 进而得AOE ∠ 则可求出答案（2）连接OA 根据等腰三角形的性质及切线的性质列方程求解即可．【解析】（1）连接OA ．如图，①AE 切O 于点AOA AE ∴⊥90OAE ∴∠=︒70C ∠=︒2270140AOB C ∴∠=∠=⨯︒=︒又180AOB AOE ∠+∠=︒40AOE ∴∠=︒90AOE E ∠+∠=︒904050E ∴∠=︒-︒=︒．（2）连接OA 如图，①设E x ∠=．AB AE =ABE E x ∴∠=∠=OA OB =OAB ABO x ∴∠=∠=2AOE ABO BAO x ∴∠=∠+∠=． AE 是O 的切线OA AE ∴⊥ 即90OAE ∠=︒在OAE ∆中 90AOE E ∠+∠=︒即290x x +=︒解得30x =︒30E ∴∠=︒．【点评】本题主要考查了切线的性质等腰三角形的性质圆周角的性质三角形内角和的性质用方程思想解决几何问题关键是熟悉掌握这些性质．17．(1)见解析(2)10cm【分析】(1)连接OD 根据平行线的判定与性质可得90ODE DEM ∠=∠=︒ 又点D 在O 上即可证得DE 是O 的切线(2)首先根据勾股定理可得AD 的长再由ACD ADE ∽ 根据相似三角形的性质列出比例式代入数据即可求得圆的半径．【解析】（1）证明如图，连接ODOA OD =OAD ODA ∠=∠∴ AD 平分CAM ∠OAD DAE ∴∠=∠ODA DAE ∴∠=∠DO MN ∴∥DE MN ⊥90ODE DEM ∴∠=∠=︒ 即OD DE ⊥ 又点D 在O 上 OD 为O 的半径DE ∴是O 的切线（2）解90AED ∠=︒ 8cm DE = 4cm AE =22228445AD DE AE ∴++如图，连接CDAC 是直径90ADC AED ∴∠=∠=︒CAD DAE ∠=∠ACD ADE ∴△∽△AD AC AE AD ∴= 4545=解得20AC =O ∴的半径为10cm ．【点评】本题考查圆了切线的判定；等边对等角平行线的判定与性质圆周角定理勾股定理相似三角形的判定和性质等知识在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键．18．(1)见解析 (2)49【分析】（1）欲证~CBA FDC ，只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明DE BC =就可以（2）由~CBA FDC 可得814CF = ACB F ∠=∠ 进而即可得到答案．【解析】（1）证明①四边形ABCD 内接于O①CBA CDF ∠=∠．①DE BC =①BCA DCE ∠=∠．①~CBA FDC（2）解①C 是DBA 的中点①9CD AC ==①~CBA FDC 4AB = ①AB AC CD CF = 即499CF= ①814CF = ①~CBA FDC ①94tan tan 8194AC ACB F CF ∠=∠===．【点评】本题考查的是圆的综合题；涉及弧、弦的关系；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数；掌握相似三角形的判定和性质是解答此题的关键．。

(易错题精选)初中数学圆的综合训练

（易错题精选）初中数学圆的综合训练一、选择题1．下列命题错误的是（）A ．平分弦的直径垂直于弦B ．三角形一定有外接圆和内切圆C ．等弧对等弦D ．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可．【详解】A 、平分弦的直径一定垂直于弦，是真命题；B 、三角形一定有外接圆和内切圆，是真命题；C 、在同圆或等圆中，等弧对等弦，是假命题；D 、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，是真命题；故选C ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念等知识解答，难度不大．2．下列命题中，是假命题的是( )A ．任意多边形的外角和为360oB ．在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C VC ．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边D ．同弧所对的圆周角和圆心角相等【答案】D【解析】【分析】根据相关的知识点逐个分析．【详解】解：A. 任意多边形的外角和为360o ,是真命题；B. 在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C V ，根据HL ，是真命题；C. 在一个三角形中，任意两边之差小于第三边，是真命题；D. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，本选项是假命题.故选D．【点睛】本题考核知识点：判断命题的真假. 解题关键点：熟记相关性质或定义．3．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长．【详解】连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI=∠BAI，由平移得：AC∥DI，∴∠CAI=∠AID，∴∠BAI=∠AID，∴AD=DI，同理可得：BE=EI，∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，即图中阴影部分的周长为4，故选B．【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．4．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（）A ．34B ．13C ．12D ．14 【答案】C【解析】【分析】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．【详解】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．Q 圆的直径正好是大正方形边长，∴根据勾股定理，其小正方形对角线为2，即圆的直径为2，∴大正方形的边长为2，则大正方形的面积为222⨯=，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为12．故选：C ．【点睛】概率=相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比．设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.5．如图，ABC ∆是O e 的内接三角形，45A ∠=︒，1BC =，把ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆，点A 的对应点为点D ，则点A ，D 之间的距离是（）A ．1B 2C 3D ．2【答案】A【解析】【分析】连接AD ，构造△ADB ，由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质，证△ADB 和△DBE 全等，从而得到AD=BE=BC=1.【详解】如图，连接AD ，AO ，DO∵ABC ∆绕圆心O 按逆时针方向旋转90︒得到DEB ∆，∴AB=DE ，90AOD ∠=︒，45CAB BDE ∠=∠=︒ ∴1452ABD AOD ∠=∠=︒（同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半），即45ABD EDB ∠=∠=︒，又∵DB=BD ，∴DAB BED ∠=∠（同弧所对应的圆周角相等），在△ADB 和△DBE 中 ABD EDB AB ED DAB BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADB ≌△EBD （ASA ）,∴AD=EB=BC=1.故答案为A.【点睛】本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用；顶点在圆上，两边都与圆相交的角角圆周角；掌握三角形全等的判定是解题的关键.6．如图，O e 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为( )A 32πB 332πC ．23π-D 33π【答案】A【解析】【分析】【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，∴OG=OA•sin60°=2×32=3，∴S阴影=S△OAB﹣S扇形OMN=12×2×3﹣260(3)360π⨯=32π-．故选A．7．如图，在扇形OAB中，120AOB∠=︒，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π【答案】A【解析】【分析】如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．【详解】解：如图作OH⊥AB于H．∵C 、D 分别是弦AP 、BP 的中点．∴CD 是△APB 的中位线，∴AB ＝2CD ＝63， ∵OH⊥AB ，∴BH ＝AH ＝33，∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，∴∠AOH ＝∠BOH ＝60°，在Rt △AOH 中，sin ∠AOH ＝AH AO， ∴AO ＝336sin 3AH AOH ==∠， ∴扇形AOB 的面积为：2120612360ππ=g g ，故选：A ．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．8．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则图中阴影部分的面积是（）A ．224π-- B ．224π- C ．142π+ D ．142π- 【答案】B【解析】【分析】先根据正方形的边长，求得CB 1=OB 1=AC-AB 1=2-1，进而得到211(21)2OB C S =-V ，再根据S △AB1C1=12，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积．【详解】连结DC 1，∵∠CAC 1＝∠DCA ＝∠COB 1＝∠DOC 1＝45°，∴∠AC 1B 1＝45°，∵∠ADC ＝90°，∴A ，D ，C 1在一条直线上，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ＝2，∠OCB 1＝45°，∴CB 1＝OB 1∵AB 1＝1，∴CB 1＝OB 1＝AC ﹣AB 1＝2﹣1，∴211111(21)22OB C S OB CB ∆=⋅⋅=-， ∵1111111111222AB C S AB B C =⋅=⨯⨯=V ， ∴图中阴影部分的面积＝2245(2)11(21)22360224ππ⨯⨯---=-+．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．9．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（）A ．123B ．1536π-πC ．30312π-D ．48336π-π【答案】C【解析】【分析】易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可．【详解】连接OE ，OF ．∵BD=12，AD ：AB=1：2，∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°，∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形=603616,633933602OEB S ππ⨯==⨯⨯=V ∵两个阴影的面积相等，∴阴影面积=()224369330312ππ⨯--=- .故选：C【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积．10．在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线323y x =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为( )A ．3B ．2C 3D 2 【答案】D【解析】【分析】先根据题意，画出图形，令直线3x+ 23x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH ⊥CD 于H ，作OH ⊥CD 于H ；然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C 、D 两点的坐标值；再在Rt △POC 中，利用勾股定理可计算出CD 的长，并利用面积法可计算出OH 的值；最后连接OA ，利用切线的性质得OA ⊥PA ，在Rt △POH 中，利用勾股定理，得到21PA OP =-PA 的最小值即可.【详解】如图，令直线3x+23x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，当x=0时，y=3D（0，3当y=033，解得x=-2，则C（-2，0），∴222(23)4CD=+=，∵12OH•CD=12OC•OD，∴OH=233 4⨯=连接OA，如图，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴2221PA OP OA OP=-=-当OP的值最小时，PA的值最小，而OP的最小值为OH的长，∴PA22(3)12-=故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．11．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA=OB．点P为⊙C上的动点，∠APB=90°，则AB长度的最小值为（）A ．4B ．3C ．7D ．8【答案】A【解析】【分析】连接OC ，交⊙C 上一点P ，以O 为圆心，以OP 为半径作⊙O ，交x 轴于A 、B ，此时AB 的长度最小，根据勾股定理和题意求得OP =2，则AB 的最小长度为4．【详解】解：如图，连接OC ，交⊙C 上一点P ，以O 为圆心，以OP 为半径作⊙O ，交x 轴于A 、B ，此时AB 的长度最小，∵C （3，4），∴OC 2234+，∵以点C 为圆心的圆与y 轴相切．∴⊙C 的半径为3，∴OP =OC ﹣3=2，∴OP =OA =OB =2，∵AB 是直径，∴∠APB =90°，∴AB 长度的最小值为4，故选：A ．【点睛】本题考查了圆切线的性质、坐标和图形的性质、圆周角定理、勾股定理，找到OP 的最小值是解题的关键.12．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．将ABC V 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC △，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A ．302，B ．602，C ．3602， D ．603，【答案】C【解析】试题分析：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot ∠33AB=2BC=4，∵△EDC 是△ABC 旋转而成，∴BC=CD=BD=12AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∵BD=12AB=2，∴DF 是△ABC 的中位线，∴DF=12BC=12×2=1，CF=12AC=1233∴S 阴影=12DF×CF=1233故选C ．考点：1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．13．“直角”在几何学中无处不在，下列作图作出的AOB 不一定．．．是直角的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据作图痕迹，分别探究各选项所做的几何图形问题可解.【详解】解：选项A 中，做出了点A 关于直线BC 的对称点，则AOB ∠是直角.选项B 中，AO 为BC 边上的高，则AOB ∠是直角.选项D 中，AOB ∠是直径AB 作对的圆周角，故AOB ∠是直角.故应选C【点睛】本题考查了尺规作图的相关知识，根据基本作图得到的结论，应用于几何证明是解题关键．14．如图，点E 为ABC ∆的内心，过点E 作MN BC P 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若7AB =，5AC =，6BC =，则MN 的长为（）A ．3．5B ．4C ．5D ．5．5【答案】B【解析】【分析】连接EB 、EC ，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME ，同理可得NC=NE ，接着证明△AMN ∽△ABC ，所以767MN BM -=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56MN②，把两式相加得到MN 的方程，然后解方程即可．连接EB、EC，如图，∵点E为△ABC的内心，∴EB平分∠ABC，EC平分∠ACB，∴∠1=∠2，∵MN∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴BM=ME，同理可得NC=NE，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴MN AMBC AB=，即767MN BM-=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56MN②，①+②得MN=12-2MN，∴MN=4．故选：B．【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．15．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，若∠ABD＝24°，则∠C 的度数是（）A．48°B．42°C．34°D．24°【答案】B【解析】根据切线的性质求出∠OAC ，结合∠C ＝42°求出∠AOC ，根据等腰三角形性质求出∠B ＝∠BDO ，根据三角形外角性质求出即可．【详解】解：∵∠ABD ＝24°，∴∠AOC ＝48°，∵AC 是⊙O 的切线，∴∠OAC ＝90°，∴∠AOC +∠C ＝90°，∴∠C ＝90°﹣48°＝42°，故选：B ．【点睛】考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，解此题的关键是求出∠AOC 的度数，题目比较好，难度适中．16．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是（）A ．183π-B ．183πC ．32316πD ．1839π-【答案】C【解析】【分析】由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=383= ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积 =2120(43)84332316ππ⨯⨯=．故选：C.本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=86°，则∠BCD的度数是（）A．86°B．94°C．107°D．137°【答案】D【解析】【分析】【详解】解：∵∠BOD=86°，∴∠BAD=86°÷2=43°，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-43°=137°，即∠BCD的度数是137°．故选D．【点睛】本题考查圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．18．如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD=43，连接AC，OD,若∠A与∠DOB互余，则EB的长是（）A．3B．4 C3D．2【答案】D【解析】【分析】连接CO，由直径AB平分弦CD及垂径定理知∠COB=∠DOB，则∠A与∠COB互余，由圆周角定理知∠A=30°，∠COE=60°，则∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,利用勾股定理即可求出x，再求出BE即可.【详解】连接CO，∵AB平分CD，∴∠COB=∠DOB，AB⊥CD，CE=DE=23∵∠A与∠DOB互余，∴∠A+∠COB=90°，又∠COB=2∠A，∴∠A=30°，∠COE=60°，∴∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,∴CO2=OE2+CE2即(2x)2=x2+(23)2解得x=2，∴BO=CO=4，∴BE=CO-OE=2.故选D.【点睛】此题主要考查圆内的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理及勾股定理.19．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，连接AO，BO，则图中阴影部分的面积之和为（）A．10﹣32B．14﹣52πC．12 D．14【答案】B 【解析】【分析】根据勾股定理求出AB ，求出△ABC 的内切圆的半径，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：设⊙O 与△ABC 的三边AC 、BC 、AB 的切点分别为D 、E 、F ，连接OD 、OE 、OF ，在Rt △ABC 中，AB ＝22AC BC +＝10，∴△ABC 的内切圆的半径＝68102+-＝2， ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴∠OAB ＝12∠CAB ，∠OBA ＝12∠CBA ， ∴∠AOB ＝180°﹣（∠OAB+∠OBA ）＝180°﹣12（∠CAB+∠CBA ）＝135°，则图中阴影部分的面积之和＝22290211352521021436023602πππ⨯⨯-+⨯⨯-=-，故选B ．【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心、扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．20．如图，弧 AB 等于弧CD ，OE AB ⊥于点E ，OF CD ⊥于点F ，下列结论中错误．．的是（）A ．OE=OFB ．AB=CDC ．∠AOB =∠COD D ．OE ＞OF【答案】D【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系可得B 、C 正确，根据垂径定理和勾股定理可得A 正确，D 错误．【详解】解：∵»»AB CD =，∴AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ，∵OE AB ⊥，OF CD ⊥，∴BE＝12AB，DF＝12CD，∴BE＝DF，又∵OB＝OD，∴由勾股定理可知OE＝OF，即A、B、C正确，D错误，故选：D．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理，熟练掌握基本性质定理是解题的关键．。

初中数学专题训练《圆》的综合练习题及解析

专题62 圆的综合（1）【典例分析】例1、如图，AB为⊙O的直径，BC、CD是⊙O的切线，切点分别为点B、D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD，CE，DE，已知AB=2√5，BC=2，当CE+DE的值最小时，则CEDE的值为()A. 910B. 23C. √53D. 2√55【答案】A【解析】【试题解析】解：延长CB到F使得BC=CF，则C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时CE+DE=DF值最小，连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，则OC⊥BD，OC=√OB2+BC2=√5+4=3，∵CB⊥OB，∠COB=∠BOGΔCOB∽ΔBOG∴OBOC =BGBC∴OB⋅BC=OC⋅BG，∴BG=23√5，∴BD=2BG=43√5，∵OD2−OH2=DH2=BD2−BH2，∴5−(√5−BH)2=(43√5)2−BH2，∴BH=89√5，∴DH=√BD2−BH2=209，∵DH//BF，∴EFED =BFDH=2209=910，∴CEDE =910，故选：A．延长CB到F使得BC=CF，则C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时CE+ DE=DF值最小，连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，先求得BG，再求BH，进而DH，运用相似三角形得EFDE =BFDH，便可得解．本题是圆的综合题，主要考查了切线长定理，切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，将军饮马问题，问题较复杂，作的辅助线较多，正确作辅助线是解决问题的关键．例2、如图，在平面直角坐标系中，已知C(3,4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA=OB.点P为⊙C上的动点，∠APB=90°，则AB长度的最大值为______．【答案】16【解析】【分析】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到OP的最大值是解题的关键．连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP=8，则AB的最大长度为16．【解答】解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，∵C(3,4)，∴OC=√32+42=5，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP=OA=OB=8，∵∠APB=90°，∴AB是直径，∴AB长度的最大值为16，故答案为16．例3、如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．(1)证明：OD//BC；(2)若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；(3)在(2)条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．【答案】解：(1)连接OC，在△OAD和△OCD中，∵{OA=OC AD=CD OD=OD，∴△OAD≌△OCD(SSS)，∴∠ADO=∠CDO，又AD=CD，∴DE⊥AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴OD//BC；(2)∵tan∠ABC=ACBC=2，∴设BC=a、则AC=2a，∴AD=AB=√AC2+BC2=√5a，∵OE//BC，且AO=BO，∴OE=12BC=12a，OA=12AB=√5a2，AE=CE=12AC=a，在△AED中，DE=2−AE2=2a，在△AOD中，AO2+AD2=(√5a2)2+(√5a)2=254a2，OD2=(OE+DE)2=(12a+2a)2=254a2，∴AO2+AD2=OD2，∴∠OAD=90°，则DA与⊙O相切；(3)连接AF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD=∠BAD=90°，∵∠ADF=∠BDA，∴△AFD∽△BAD，∴DFAD =ADBD，即DF⋅BD=AD2①，又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，∴△AED∽△OAD，∴ADOD =DEAD，即OD⋅DE=AD2②，由①②可得DF⋅BD=OD⋅DE，即DFOD =DEBD，又∵∠EDF=∠BDO，∴△EDF∽△BDO ， ∵BC =1，∴AB =AD =√5、OD =52、ED =2、BD =√10、OB =√52，∴EF OB =DEBD ，即√52=√10，解得：EF =√22．【解析】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点．(1)连接OC ，证△OAD≌△OCD 得∠ADO =∠CDO ，由AD =CD 知DE ⊥AC ，再由AB 为直径知BC ⊥AC ，从而得OD//BC ；(2)根据tan∠ABC =2可设BC =a 、则AC =2a 、AD =AB =√AC 2+BC 2=√5a ，证OE 为中位线知OE =12a 、OA =12AB =√5a2、AE =CE =12AC =a ，进一步求得DE =√AD 2−AE 2=2a ，再在△AOD 中利用勾股定理逆定理证∠OAD =90°即可得；(3)先证△AFD∽△BAD 得DF ⋅BD =AD 2 ①，再证△AED∽△OAD 得OD ⋅DE =AD 2②，由①②得DF ⋅BD =OD ⋅DE ，即DFOD =DEBD ，结合∠EDF =∠BDO 知△EDF∽△BDO ，据此可得EFOB=DEBD ，结合(2)可得相关线段的长，代入计算可得．【好题演练】一、选择题1. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，且与y 轴交于点B ，过点B 作直线BC 平行于x 轴，点M(a,1)在直线BC 上，若在⊙O 上存在点N ，使得∠OMN =45°，则a 的取值范围是( )A. −1≤a ≤1B. −12≤a ≤12 C. −√2≤a ≤√2D. −√22≤a≤√22【答案】A【解析】解：∵点M(a,1)在直线BC上，∴OB=1，∵BC//x轴，∴BC⊥y轴，∴∠OBM=90°，当BM=OB=1时，△OBM是等腰直角三角形，则∠OMN=45°，此时a=±1；当BM>OB时，∠OMN<45°，∴a的取值范围是−1≤a≤1；故选：A．由题意得出∠OBM=90°，当BM=OB=1时，△OBM是等腰直角三角形，则∠OMN=45°，此时a=±1；当BM>OB时，∠OMN<45°，即可得出结论．本题是圆的综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质等知识；熟练掌握元的性质和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．2.如图，半径为R的⊙O的弦AC=BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD=√2，则半径R的长为()A. 1B. √2C. √22D. 12【答案】A【解析】【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧与弦的关系、等腰直角三角形的性质等知识，注意数形结合思想的应用．由AC=BD以及圆周角定理，证得∠ABD=∠BAC，即可判定AE=BE，再连接OA，OD，由AE=BE，AC⊥BD，可求得∠ABE=45°，继而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得AD=√2R，得出半径的长．【解答】解：∵AC=BD，AC⏜=BD⏜，∴AD⏜=BC⏜，∴∠ABD=∠BAC，∴AE=BE；连接OA，OD，∵AC⊥BD，AE=BE，∴∠ABE=∠BAE=45°，∴∠AOD=2∠ABE=90°，∵OA=OD=R，∴AD=√2R，∵AD=√2，则R=1，故选A．3.如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20∘，则∠BCD的度数为()A. 100∘B. 110∘C. 115∘D. 120∘【答案】B【解析】略4.如图，△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且始终有AP⊥BP，则线段CP的最小值为()A. 8√1313B. 12√1313C. 2D. 32【答案】C【解析】【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵AP⊥BP，∴∠APB=90°，∴OP=OA=OB∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴OC=√BO2+BC2=5，∴PC=OC−OP=5−3=2．∴PC最小值为2．故选C．5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，P是线段AC上一个动点，连接BP，过C作CD⊥BP于D，交AB于E，连接AD，则下列关于线段AD的说法正确的是()A. 存在最大值，最大值为2√55B. 存在最小值，最小值为2√2−2C. 存在最小值，最小值为1−4√1717D. 存在最大值，但不存在最小值【答案】B【解析】解：∵CD⊥BP，∴∠CDB=90°，∴点D总在以BC为直径的圆上，∵线段AD的长为点A到圆上点D的距离，∴当点D为OA与圆的交点时，线段AD最短，如图，∵∠ACB=90°，AC=2，BC=4，∴OC=2，∴OA=√OC2+CA2=2√2，∴AD=OA−OD=2√2−2，即线段AD存在最小值，最小值为2√2−2．故选B．根据垂线的定义得到∠CDB=90°，根据圆周角定理的推理得点D总在以BC为直径的圆上，所以当点D为OA与圆的交点时，线段AD最短，如图，再根据勾股定理计算出OA，然后利用AD=OA−OD计算即可．本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和圆外一点到圆上的最大或最小距离；会利用勾股定理计算线段的长．二、填空题6.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60∘，点C为BD⏜的中点，则AC的长是．【答案】8√33【解析】【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，证得△AEC≌△AFC，得出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．【解答】解：如图，过点C分别作CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD于点F，则∠E=∠CFD=∠CFA=90∘，∵点C为BD⏜的中点，∴BC⏜=CD⏜，则∠BAC=∠DAC，∵∠BAC=∠DAC，∠E=∠AFC=90∘，AC=AC，∴△AEC≌△AFC，∴CE=CF．∵A，B，C，D四点共圆，∴∠D=∠CBE．在△CBE和△CDF中，∵{∠CBE=∠D,∠E=∠CFD,CE=CF,∴△CBE≌△CDF，∴BE=DF．在△AEC和△AFC中，∵{∠E=∠AFC,∠EAC=∠FAC,AC=AC,∴△AEC≌△AFC，∴AE=AF，设BE=DF=x，∵AB=3，∴AE=AF=x+3，又AD=5，∴5=x+3+x，解得x=1，则AE=4．∵∠BAD=60∘，∴∠EAC=30∘，∴AC=2CE，又AC2=CE2+AE2，∴AC=8√33．7.如图，已知⊙O的半径为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，延长BO交AC于点D，连接OA，OC，若AD2=AB⋅DC，则OD=______．【答案】√5−12【解析】解：在△AOB和△AOC中，∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，∴△AOB≌△AOC(SSS)，∴∠ABO=∠ACO，∵OA=OA，∴∠ACO=∠OAD，∵∠ADO=∠BDA，∴△ADO∽△BDA，∴ADBD =ODAD=AOAB，设OD =x ，则BD =1+x ， ∴AD1+x =xAD =1AB ， ∴AD =√x(x +1)，AB =√x(x+1)x，∵DC =AC −AD =AB −AD ，AD 2=AB ⋅DC ， (√x(x +1))2═√x(x+1)x(√x(x+1)x−√x(x +1))，整理得：x 2+x −1=0，解得：x =−1+√52或x =−1−√52(舍去)，因此AD =√5−12，故答案为：√5−12．可证△AOB≌△AOC ，推出∠ACO =∠ABD ，OA =OC ，∠OAC =∠ACO =∠ABD ，∠ADO =∠ADB ，即可证明△OAD∽△ABD ；依据对应边成比例，设OD =x ，表示出AB 、AD ，根据AD 2=AB ⋅DC ，列方程求解即可．考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用参数解决问题是数学解题中经常用到的方法．8. 如图，在矩形ABCD 中，AB =√3，AD =3，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，作点A 关于直线BP 的对称点A 1，连接A 1C ，设A 1C 的中点为Q ，当点P 从点A 出发，沿边AD 运动到点D 时停止运动，点Q 的运动路径长为______．【答案】√33π【解析】【分析】如图，连接BA 1，取BC 使得中点O ，连接OQ ，BD.利用三角形的中位线定理证明OQ =√32=定值，推出点Q 的运动轨迹是以O 为圆心，OQ 为半径的圆弧，圆心角为120°，即可解决问题．本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，连接BA1，取BC的中点O，连接OQ，BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∴tan∠ABD=ADAB=√3，∴∠ABD=60°，∵A1Q=QC，BO=OC，∴OQ=12BA1=12AB=√32，∴点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为120°，∴点Q的运动路径长=120⋅π⋅√32180=√33π.故答案为√33π.9.如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm.半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上．设运动时间为t(s)，当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC= 8cm．(1)当t=0s时，点A在半圆O_____，当t=8s时，点A在半圆O____；(2)当t=_____s时，⊙O与AC所在的直线第一次相切，点C到直线AB的距离为______cm；(3)当t为何值时，△ABC的边AC与半圆O相切？(4)当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切？【答案】(1)外，外(2)2，6(3)解：分两种情况：①如图，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC=OE=6cm，所以AC为半圆O所在的圆相切，此时点O运动了2cm，所求运动时间为：t=2÷1=2(s)；②如图，当点O运动到BC的中点时，AC⊥OD，OC=OD=6cm，所以AC与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了14cm，所求运动时间为：t=14÷1=14(s)；综上所述，当t为2秒或14秒时，△ABC的边AC与半圆O相切．(4)解：分两种情况：①如图2，当直线AB与半圆O所在的圆相切时，过C作CF⊥AB于F，在Rt△BCF中，∵∠ABC=30°，BC=12，∴CF=1BC=6，2又∵圆心O到AB的距离为6，半圆的半径为6，且圆心O又在直线BC上，∴O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时，点O运动了8cm，所求运动时间t=8÷1=8(s)；②如图3，当点O运动到B点的右侧时，且OB=12，过O作OQ⊥AB，交直线AB于Q，在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，OB=6，则OQ=12即OQ与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了12+12+8=32(cm)，所求运动时间t=32÷1=32(s)，综上所述，当t为8秒或32秒时，直线AB与半圆O所在的圆相切．【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，利用了直线与圆相切的概念，能够将各种情况都考虑全是解题的关键．(1)由题意可知当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，求得线段AC的长度，由条件可知CO= 8，在Rt△ACO中可求得AO=4√7，所以点A在半圆O外，当t=8s时，点O与点C重合，在Rt△ACB中，可求得AO=AC=4√3，所以点A在半圆O外；(2)求出路程EC的长，即可以求出时间t=2，作C到AB的距离CF，利用直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以得：CF=6；(3)随着半圆的运动分两种情况：①当点E与点C重合时，AC与半圆相切，②当点O运动到BC的中点时，AC再次与半圆相切，分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间；(4)随着半圆的运动分两种情况：①当点O运动到点C时，AB与半圆相切，过C点作CF⊥AB，交AB于F点，当半圆O与△ABC的边AB相切时，圆心O到AB的距离等于6cm，且圆心O又在直线BC上，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时点O运动了8cm，所求运动时间为t=8；②当点O运动到B点的右侧时，且OB=12cm时，AB的延长线与半圆所在的圆相切，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q，利用直角三角形可求得点O运动了32cm，可求出时间t.【解答】解：(1)当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，∵DE=12，∴OE=OD=6，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AB=2AC，∴AB2=AC2+BC2，即3AC2=BC2，BC=4√3，∴AC=√33在Rt△ACO中，OC=8，则AO=4√7>6，所以点A在半圆O外，当t=8时，如图，此时点O与点C重合，在Rt△ACB中，AC=BC·tan30°=4√3，∵DE=12，∴OE=OD=OM=6，AO=AC>OM，所以点A在半圆O外，故答案为外，外；(2)由(1)知：OE=OD=6，∵OC=8，∴EC=8−6=2，∴t=2÷1=2，∴当t=2s时，⊙O与AC所在直线第一次相切；如图1，过C作CF⊥AB于F，Rt△BCF中，∵∠ABC=30°，BC=12，∴CF=1BC=6，2故答案为2，6；(3)见答案；(4)见答案．10.在平面直角坐标系中，M(6,8)，P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A(−2,0)、B(2,0)，连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是________ ．【答案】296【解析】【分析】本题考查了圆的综合，两点间的距离公司.解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值，难度较大．【解答】解：设P点的坐标为(x,y)，则PA2+PB2=(x+2)2+y2+(x−2)2+y2=2(x2+y2+4)=2(OP2+4)从图中可以看出OP最大时，应该是O，M，P三点一线时，这时OP=OM+2=√62+82+2=12，∴PA2+PB2的最大值=2(OP2+4)=2×(122+4)=296．故答案为296．三、解答题11.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．(1)求证：DH是圆O的切线；(2)若A为EH的中点，求EF的值；FD(3)若EA=EF=1，求圆O的半径．【答案】证明：(1)连接OD，如图1，∵OB=OD，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD=∠ODB①，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB②，由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB，∴OD//AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，且OD是半径，∴DH是圆O的切线；(2)如图2，在⊙O中，∵∠E=∠B，∴由(1)可知：∠E=∠B=∠C，∴△EDC是等腰三角形，∵DH⊥AC，且点A是EH中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，连接AD，则在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD，∵AB=AC，∴D是BC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD//AC，OD=12AC=12×3x=3x2，∵OD//AC，∴∠E=∠ODF，在△AEF和△ODF中，∵∠E=∠ODF，∠AFE=∠OFD，∴△AEF∽△ODF，∴EFFD =AEOD，∴AEOD =x32x=23，∴EFFD =23；(3)设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，∵EF=EA，∴∠EFA=∠EAF，∵OD//EC，∴∠FOD=∠EAF，则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，∴DF=OD=r，∴DE=DF+EF=r+1，∴BD=CD=DE=r+1，在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，∴BF=BD=r+1，∴AF=AB−BF=2OB−BF=2r−(1+r)=r−1，在△BFD和△EFA中，∵{∠BFD=∠EFA∠B=∠E，∴△BFD∽△EFA，∴EFFA =BFDF，∴1r−1=1+rr，解得：r1=1+√52，r2=1−√52(舍)，综上所述，⊙O的半径为1+√52．【解析】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．(1)根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线；(2)如图2，先证明∠E=∠B=∠C，则H是EC的中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，由OD是△ABC的中位线，得：OD=3x2，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论；(3)设⊙O的半径为r，求出BF，DF，AF，证明△BFD∽△EFA，列比例式为：EFFA =BFDF，即可得解．12.如图1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．(1)求证：直线CD与⊙O相切；(2)如图2，记(1)中的切点为E，P为优弧AE⏜上一点，AD=1，BC=2.求tan∠APE的值．【答案】(1)证明：作OE⊥CD于E，如图1所示：则∠OEC=90°，∵AD//BC，∠DAB=90°，∴∠OBC=180°−∠DAB=90°，∴∠OEC=∠OBC，∵CO平分∠BCD，∴∠OCE=∠OCB，在△OCE和△OCB中，{∠OEC=∠OBC ∠OCE=∠OCB OC=OC，∴△OCE≌△OCB(AAS)，∴OE=OB，又∵OE⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；(2)解：作DF⊥BC于F，连接BE，如图所示：则四边形ABFD是矩形，∴AB=DF，BF=AD=1，∴CF=BC−BF=2−1=1，∵AD//BC，∠DAB=90°，∴AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD、BC是⊙O的切线，由(1)得：CD是⊙O的切线，∴ED=AD=1，EC=BC=2，∴CD=ED+EC=3，∴DF=√CD2−CF2=√32−12=2√2，∴AB=DF=2√2，∴OB=√2，∵CO平分∠BCD，∴CO⊥BE，∴∠BCH+∠CBH=∠CBH+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠BCH，∵∠APE=∠ABE，∴∠APE=∠BCH，∴tan∠APE=tan∠BCH=OBBC =√22．【解析】(1)证明：作OE⊥CD于E，证△OCE≌△OCB(AAS)，得出OE=OB，即可得出结论；(2)作DF⊥BC于F，连接BE，则四边形ABFD是矩形，得AB=DF，BF=AD=1，则CF=1，证AD、BC是⊙O的切线，由切线长定理得ED=AD=1，EC=BC=2，则CD=ED+EC= 3，由勾股定理得DF=2√2，则OB=√2，证∠ABE=∠BCH，由圆周角定理得∠APE=∠ABE，则∠APE=∠BCH，由三角函数定义即可得出答案．本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解题的关键．13.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．(1)求证：DO//AC；(2)求证：DE⋅DA=DC2；(3)若tan∠CAD=12，求sin∠CDA的值．【答案】解：(1)∵点D是BC⏜中点，OD是圆的半径，∴OD⊥BC，∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴AC//OD；(2)∵CD⏜=BD⏜，∴∠CAD=∠DCB，又∠CDA=∠ADC，∴△DCE∽△DAC，∴CDAD =DECD，∴CD2=DE⋅DA；(3)∵tan∠CAD=12，∴Rt△ACE中，tan∠CAD=CEAC =12，∴△DCE和△DAC的相似比为：12，设DE=a，则CD=2a，由CD2=DE⋅DA得AD=4a，AE=3a，∴AEDE=3，∵DO//AC，∴△AEC∽△DEF，故△AEC和△DEF的相似比为3，设EF=k，则CE=3k，CF=4k，又AC//DO，O为AB中点，∴F为BC中点，则BC=8k，Rt△ACE中，tan∠CAD=CEAC =12，CE=3k，∴AC=6k，Rt△ABC中，AC=6k，BC=8k，则根据勾股定理得到AB=10k，∴sin∠CDA=sin∠CBA=ACAB =35．【解析】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形相似的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，本题的关键是通过相似比，确定线段的比例关系，进而求解．(1)点D是BC⏜中点，OD是圆的半径，又OD⊥BC，而AB是圆的直径，则∠ACB=90°，故AC//OD；(2)证明△DCE∽△DAC，即可求解；(3)先证明△DCE和△DAC的相似比为：12，设DE=a，则CD=2a，AD=4a，AE=3a，得AEDE =3，即△AEC和△DEF的相似比为3，设EF=k，则CE=3k，BC=8k，tan∠CAD=12，则AC=6k，AB=10k，即可求解．14.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD//BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE边于点F．(1)求证：△DOE∽△ABC；(2)求证：∠ODF=∠BDE；(3)连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若S1S2=27，求sin A的值．【答案】解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEO=90°，∴∠DEO=∠ACB，∵OD//BC，∴∠DOE=∠ABC，∴△DOE～△ABC；(2)证明：∵△DOE～△ABC，∴∠ODE=∠A，∵∠A和∠BDC是BC⏜所对的圆周角，∴∠A=∠BDC，∴∠ODE=∠BDC，∴∠ODF=∠BDE；(3)解：∵△DOE～△ABC，，即S△ABC=4S△DOE=4S1，∵OA=OB，∴S△BOC=12S△ABC，即S△BOC=2S1，∵S1S2=27,S2=S△BOC+S△DOE+S△DBE=2S1+S1+S△DBE，∴S△DBE=12S1，∴BE=12OE，即OE=23OB=23OD，．【解析】(1)根据圆周角定理和垂直求出∠DEO=∠ACB，根据平行得出∠DOE=∠ABC，根据相似三角形的判定得出即可；(2)根据相似三角形的性质得出∠ODE=∠A，根据圆周角定理得出∠A=∠BDC，推出∠ODE=∠BDC即可；(3)根据△DOE～△ABC求出S△ABC=4S△DOE=4S1，求出S△BOC=2S1，求出2BE=OE，解直角三角形求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的性质，三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．15.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC=OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点(不与点A，B重合)，连接CD，PE，PC．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)小明在研究的过程中发现PEPC是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．【答案】解：(1)连接OD、DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，∴DE垂直平分OB，∴DB=DO．∵在⊙O中，DO=OB，∴DB=DO=OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO=∠DBO=60°，∵BC=OB=BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD=∠BDC=12∠DBO．∵∠DBO=60°，∴∠CDB=30°．∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+30°=90°，∴CD是⊙O的切线；(2)答：这个确定的值是12．连接OP，如图：由已知可得：OP=OB=BC=2OE．∴OEOP =OPOC=12，又∵∠COP=∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴PEPC =OPOC=12．【解析】(1)连接OD、DB，由已知可知DE垂直平分OB，则DB=DO，再由圆的半径相等，可得DB=DO=OB，即△ODB是等边三角形，则∠BDO=60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB=30°，从而可得∠ODC=90°，按照切线的判定定理可得结论；(2)连接OP，先由已知条件得OP=OB=BC=2OE，再利用两组边成比例，夹角相等来证明△OEP∽△OPC，按照相似三角形的性质得出比例式，则可得答案．本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．。

九年级数学专题复习之《圆》的综合训练卷

九年级数学专题复习之《圆》的综合训练卷一．选择题（共10小题）1．如图，矩形ABCD中．AB＝3，BC＝6，以点B为圆心、BA为半径画弧，交BC于点E，以点D为圆心、DA为半径画弧，交BC于点F，则阴影部分的面积为（）A．B．6π﹣C．D．2．如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF＝，则BF的长为（）A．B．1C．D．3．已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+D．2﹣14．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD 于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先变大后变小D．先变小后变大6．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．87．如图，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y＝ax2的交点，则a的值为（）A．4B．C．D．58．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（）A．3B．4C．5D．69．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（）A．πB．π+C．D．2π10．如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，则AB+BC 的最大值是（）A．2B．C．D．二．填空题（共10小题）11．已知如图，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，所在圆的圆心是点O，∠BOC＝60°，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F，则PE+EF+FP的最小值为．12．已知圆锥的侧面积是40π，底面圆直径为2，则圆锥的母线长是．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM 的最小值为．14．如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为．15．如图，AB是半圆O的直径，点C在半径OA上，过点C做CD⊥AB交半圆O于点D．以CD，CA为边分别向左、下作正方形CDEF，CAGH．过点B作GH的垂线与GH的延长线交于点I，M为HI的中点．记正方形CDEF，CAGH，四边形BCHI的面积分别为S1，S2，S3．（1）若AC：BC＝2：3，则的值为；（2）若D，O，M在同条直线上，则的值为．16．如图，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C是AB的中点，点D 在直线y＝﹣2上，以CD为直径的圆与直线AB的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知CE+DE＝6，FG＝2，则CD的长是．17．如图1，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，设PB+ PD的值为a，如图2，⊙O是正方形ABCD的内切圆，AB＝4，点P是⊙O上一个动点，设AP+DP的值为b，如图3，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．点O是△MNG内一点，设点O到△MNG三个顶点的距离和的值为c，则a2+b2+c2的最小值为．18．如图，正六边形ABCDEF中，G，H分别是边AF和DE上的点，GF＝AB＝2，∠GCH ＝60°，则线段EH长．19．如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连接AP并延长交圆于点E，则DE的长为．20．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E是对角线AC上的一点，经过C，D，E三点的⊙O与AD，BC分别交于点F，G，连接ED，EF，EG，延长GE交AD于点H．若当△HEF是等腰三角形时，CE的长为．三．解答题（共10小题）21．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点．（1）求证：EB＝EI；（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长．22．如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PD与⊙O相切于点D，C在⊙O上，PC＝PD．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）连接AC，若AC＝PC，PB＝1，求⊙O的半径．23．如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：EF⊥AC．（2）连接DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．24．如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD＝CE （1）求证：OA＝OB；（2）已知AB＝4 ，OA＝4，求阴影部分的面积．25．已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．26．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°（1）求∠B的大小；（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．27．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．（1）若BE＝8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．29．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，∠C＝90°，点D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求BE的长．30．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．。

圆的综合训练题(同步练习)-六年级上册数学人教版

圆综合训练题一、填空题。

1、用一根铁丝围成一个圆，半径正好是10分米，如果把这根铁丝改围成一个正方形，它的边长是（）分米。

2、一个圆的周长是6.28分米，半圆的周长是（）分米。

3、在一个长6cm ，宽3cm 的长方形中画一个最大的半圆形，这个半圆形的周长是（），面积是（）4、将一个直径8厘米的圆形纸片沿直径对折后，得到一个半圆，这个半圆的周长是（）厘米，面积是（）平方厘米。

5、小圆半径是大圆半径的31，小圆与大圆周长比是（），面积比是（）。

6、大圆和小圆直径的比是3:2，小圆和大圆周长的比是（），面积的比是（）。

7、甲乙两圆周长比是2:3，其中一个圆的面积是18，另一个圆的面积可能是（），也可能是（）8、学校新建的运动场正在画跑道，要求终点相同，跑道的宽度是1.25米。

（注：π取3.14）外圈跑道的起跑线应该往前移（）米。

如果跑道的宽度是A 米，则起跑线应该往前移（）米。

9、一座钟的时针长3厘米，它的尖端在一昼夜里走过的路程是( )厘米。

10、一个闹钟的分针长5厘米，从12:00走到12:30，分针的分尖走过（）厘米。

11、把一个圆剪拼成一个近似的长方形，已知剪拼成的长方形的长是6.28厘米，宽为圆的半径，则原来圆的面积是（）平方厘米。

12、在一块长10分米、宽5分米的长方形铁板上，最多能截取（）个直径是2分米的圆形铁板。

13、一个钟表的分针长10㎝，从10时走到12时，分针走过了( )㎝。

14、圆的半径增加2倍，则圆的周长扩大（）倍，圆的面积增加（）倍。

15、大圆的直径是8cm，小圆的半径是2厘米，大圆和小圆的面积比是（）小圆的与大圆的周长比值是（）。

16、如图，把一个圆分成若干偶数等份，拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长是12.56cm，宽是圆的半径，那么这个圆的周长是（）cm，面积是（）cm2。

17、用同样长的铁丝分别围成一个长方形、正方形、圆，（）的面积最大，（）的面积最小。