2017年秋季学期新版新人教版八年级数学上学期12.2、三角形全等的判定学案43

1. 什么是开放题所谓开放题，即为答案不唯一的问题，解题方法灵活多变，结果往往具有开放性，因而需观察、实验、猜测、分析和推理，同时运用树形结合、分类讨论等数学思想.2. 开放题问题类型及解题策略（1）条件开放与探索型问题2．全等三角形——结论探索型问题【例2】（2014•邵阳）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明．总结：判定两个三角形全等的一般方法有：“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”和“HL”．注意：“AAA”“SSA”不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．练3．（2014•陆川县校级模拟）如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，AE=AF，则图中全等三角形的对数有（）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对3．全等三角形——条件和结论全开放型问题【例3】（2015•金溪县模拟）有下列四个判断：①AD=BF；②AE=BC；③∠EFA=∠CDB；④AE∥BC．请你以其中三个作为题设，余下一个作为结论，写出一个真命题并加以证明．典例探究答案：【例1】【解析】由已知先推出BC=EF ，添加条件AC=DF ，根据“SAS”可推出两三角形全等． 解：AC=DF ．证明：∵BF=EC ，∴BF ﹣CF=EC ﹣CF ，即BC=EF.在△ABC 和△DEF 中12AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．练1．【解析】利用全等三角形判定定理ASA ，SAS ，AAS 对各个选项逐一分析即可得出答案． 解：A 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若BD=CD ，则△ABD ≌△ACD （SAS ）；B 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若AB=AC ，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD ≌△ACD ；C 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若∠B=∠C ，则△ABD ≌△ACD （AAS ）；D 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若∠BAD=∠CAD ，则△ABD ≌△ACD （ASA ）；故选：B ．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．练2．【解析】要使△ADB ≌△CEB ，已知∠B 为公共角，∠BEC=∠BDA ，具备了两组角对应相等，故添加AB=BC 或BE=BD 或EC=AD 后可分别根据AAS 、ASA 、AAS 能判定△ADB ≌△CEB ． 解：AB=BC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，B=∠B∴△ADB ≌△CEB （AAS ）．答案：AB=BC ．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．点评：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．添加条件时，要首选明显的、简单的，由易到难．【例2】【解析】（1）根据题目所给条件可分析出△ABE ≌△CDF ，△AFD ≌△CEB ；（2）根据AB ∥CD 可得∠1=∠2，根据AF=CE 可得AE=FC ，然后再证明△ABE ≌△CDF 即可． 解：（1）△ABE ≌△CDF ，△AFD ≌△CEB ；（2）∵AB ∥CD ，∴∠1=∠2，∵AF=CE ，∴AF+EF=CE+EF ，即AE=FC.在△ABE 和△CDF 中，12AEB CDF AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CDF （AAS ）．练3．【解析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．做题时要从已知条件开始，结合判定方法对选项逐一验证．解：∵△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=AC ，∴BD=CD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD=∠CAD ，又AE=AF ，AO=AO ，∴△AOE ≌△AOF ，EO=FO ，进一步证明可得△BOD ≌△COD ，△BOE ≌△COF ，△AOB ≌△AOC ，△ABF ≌△ACE ，△BCE ≌△CBF ，共7对．故选：C ．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理．【例3】【解析】由已知AD=BF ，证出AF=BD ，再由平行线AE ∥BC 得出∠A=∠B ，证明△AEF ≌△BCD ，即可得出∠EFA=∠CDB ．解：已知：AD=BF ，AE=BC ，AE ∥BC ；求证：∠EFA=∠CDB ；证明：∵AD=BF ，∴AD+DF=BF+DF ，即AF=BD.∵AE ∥BC ，∴∠A=∠B ，在△AEF 和△BCD 中，AE BC A B AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△BCD （SAS ），∴∠EFA=∠CDB ．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及命题与定理；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．练4．【解析】（1）如果①、②，那么③，或如果①、③，那么②，如果②、③，那么①；（2）下面选择“如果①、②，那么③”加以证明．证明：在△AOB 和△COD 中，,,,OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△COD ，∴∠A ＝∠C ，∴AB∥DC．课后小测答案：一、选择题1．【解析】根据已知及全等三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．解：A、正确，符合判定ASA；B、正确，符合判定AAS；C、不正确，满足SSA没有与之对应的判定方法，不能判定全等；D、正确，符合判定SAS．故选：C．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，HL等．2．【解析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分解答．解：∵AB=CD，AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，∴△ABO≌△CDO，△ADO≌△CBO，又△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，∴图中全等三角形有四对．故选：C．点评：本题主要考查全等三角形的判定，先证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．做题时从已知开始结合全等的判定方法由易到难逐个找寻．3．【解析】由等边三角形的性质可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出BE=CG，DE=FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP=∠GFP，EP=PG，得出PC+BE=PE，就可以得出PE=1，从而得出结论．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°．∵∠ACB=∠GCF，∵DE⊥BC，FG⊥BC，∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°．在△DEB 和△FGC 中，DEB FGC GCF A BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB ≌△FGC （AAS ），∴BE=CG ，DE=FG ，故①正确；在△DEP 和△FGP 中，DEP FGP DPE FPG DE FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEP ≌△FGP （AAS ），故②正确；∴PE=PG ∠EDP=∠GFP≠60°，故③错误；∵PG=PC+CG ，∴PE=PC+BE ．∵PE+PC+BE=2，∴PE=1．故④正确．正确的有①②④，故选：D ．点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．4．【解析】本题条件较为充分，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA=AB=2BC ，D 为AB 中点可得两直角三角形全等，然后利用三角形的性质问题可解决．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．解：∵EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠EAB=∠ABC=90°Rt △EAD 与Rt △ABC∵D 为AB 中点，∴AB=2AD又EA=AB=2BC∴AD=BC∴Rt △EAD ≌Rt △ABC∴DE=AC ，∠C=∠ADE ，∠E=∠FAD又∠EAF+∠DAF=90°∴∠EAF+∠E=90°∴∠EFA=180°﹣90°=90°，即DE ⊥AC ，∠EAF+∠DAF=90°，∠C+∠DAF=90°∴∠C=∠EAF ，∠C=∠ADE∴∠EAF=∠ADE故选：D ．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；全等三角形问题要认真观察已知与图形，仔细寻找全等条件证出全等，再利用全等的性质解决问题．5．【解析】根据全等三角形的判定定理（SAS ，ASA ，AAS ，SSS ）逐个判断即可． 解：已知图1的△ABC 中，∠B=50°，BC=a ，AB=c ，AC=b ，∠C=58°，∠A=72°，图2中，甲：只有一个角和∠B 相等，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和△ABC 不全等；乙：符合SAS 定理，能推出两三角形全等；丙：符合AAS 定理，能推出两三角形全等；故选：C ．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．6．【解析】如图，运用等腰三角形的性质证明BD=CD ，DE=DF ；证明△ABD ≌△ACD ，△AED ≌△AFD ，即可解决问题．解：如图，∵AB=AC ，AE=AF ，AD ⊥BC ，∴BD=CD ，DE=DF ；在△ABD 与△ACD 中，AD AD ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SAS ），同理可证△AED ≌△AFD ；故选：B．点评：该题主要考查了全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质及其应用问题；灵活运用全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质是解题的关键．二、填空题、7．【解析】根据角平分线的性质，和全等三角形的判定，可证Rt△ASP≌Rt△ARP，得AS=AR；∠PAR=∠PAQ，可证PQ∥AR．解：连接AP,在Rt△ASP和Rt△ARP中PR=PS，PA=PA所以Rt△ASP≌Rt△ARP所以①AS=AR正确因为AQ=PQ所以∠QAP=∠QPA又因为Rt△ASP≌Rt△ARP所以∠PAR=∠PAQ于是∠RAP=∠QPA所以②PQ∥AR正确③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．故填①②．点评：此题考查了到角平分线的性质及全等三角形的判定和平行线的判定定理；正确作出辅助线是解答本题的关键．8．【解析】当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．解：当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，理由是：∵∠C=90°，AO⊥AC，∴∠C=∠QAP=90°，①当AP=5=BC 时，在Rt △ACB 和Rt △QAP 中AB PQ BC AP =⎧⎨=⎩∴Rt △ACB ≌Rt △QAP （HL ），②当AP=10=AC 时，在Rt △ACB 和Rt △PAQ 中AB PQ AC AP =⎧⎨=⎩∴Rt △ACB ≌Rt △PAQ （HL ），故答案为：5或10．点评：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA ，AAS ，SAS ，SSS ，HL ．9．【解析】全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL ，根据判定定理写出一个即可．解：AB=AD ，理由是：∵∠B=∠D=90°，∴在Rt △ABC 和Rt △ADC 中AC AC AB AD=⎧⎨=⎩, ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC （HL ），故答案为：AB=AD ．点评：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL ，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．三、解答题10．【解析】先利用HL 判定△CAE ≌△EBD ，从而得出全等三角形的对应角相等，再利用角与角之间的关系，可以得到线段CE 与DE 的大小与位置关系为相等且垂直．解：CE=DE ，CE ⊥DE ，理由如下：∵AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC=BE ，AE=BD ，∴△CAE ≌△EBD ．∴∠CEA=∠D ．∵∠D+∠DEB=90°，∴∠CEA+∠DEB=90°．即线段CE 与DE 的大小与位置关系为相等且垂直．点评：此题主要考查学生对全等三角形的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意做题格式．11．【解析】先加上条件，再证明，根据所加的条件，利用证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠D ，在△ABE 和△CDF 中，AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△CDF ．点评：本题是一道开放性的题目，考查了全等三角形的判定，是基础知识比较简单．12.【解析】（1）根据中点的性质及全等三角形的判定，写出两个结论即可；（2）根据等边三角形的判定定理可得△ABC 是等边三角形；（3）先证明△ABD ≌△ACD ，再证明△DBM ≌△DCN ．解：（1）①BD=CD ；②△ABD ≌△ACD ；（2）∵AB=AC ，∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形．（3）在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠ABD=∠ACD ，在Rt △DBM 和Rt △DCN 中，MBD NCD B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△DBM ≌△DCN ．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．。