2021年高三数学一轮复习 8.4直线与圆、圆与圆的位置关系精品试题
2021年高考数学一轮总复习 8.4直线与圆、圆与圆的位置关系练习
2021年高考数学一轮总复习 8.4直线与圆、圆与圆的位置关系练习一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解析 ∵圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， ∴圆心为(1，－2)，半径r ＝3.又圆心在直线2tx －y －2－2t ＝0上， ∴圆与直线相交． 答案 C2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径为r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距|O 1O 2|＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．答案 B3．(xx·浙江卷)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，因此圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a . 圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，又弦长为4，因此由勾股定理可得(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝(2－a )2，解得a ＝－4.故选B.答案 B4．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析 C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案 B5．若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A ，B 两点，则CA →·CB →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析 由题意可知，圆心C (3,3)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|3－3＋2|12＋12＝ 2.又因为sin ∠BAC ＝d r ＝22，所以∠BAC ＝45°，又因为CA ＝CB ，所以∠BCA ＝90°.故CA →·CB →＝0.答案 B6．(xx·河南南阳三联)动圆C 经过点F (1,0)，并且与直线x ＝－1相切，若动圆C 与直线y ＝x ＋22＋1总有公共点，则圆C 的面积( )A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π解析 设圆心为C (a ，b )，半径为r ，r ＝|CF |＝|a ＋1|，即(a －1)2＋b 2＝(a ＋1)2，即a ＝14b 2，∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 2，b ，r ＝14b 2＋1，圆心到直线y ＝x ＋22＋1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 24－b ＋22＋12≤b24＋1，∴b ≤－2(22＋3)或b ≥2，当b ＝2时，r min ＝14×4＋1＝2，∴S min ＝πr 2＝4π.答案 D 二、填空题7．以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0公共弦为直径的圆的方程为______________．解析 将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0.解得两交点坐标A (－1,2)，B (5，－6)．∵所求圆以AB 为直径，∴所求圆的圆心是AB 的中点M (2，－2)，圆的半径为r ＝12|AB |＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y ＋2)2＝25.答案 (x －2)2＋(y ＋2)2＝258．(xx·湖北卷)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.解析 由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2.答案 29．设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析 ∵l 与圆相交所得弦的长为2， ∴1m 2＋n 2＝4－1.∴m 2＋n 2＝13≥2|mn |，∴|mn |≤16.l 与x 轴交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，与y 轴交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，∴S △AOB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＝12·1|mn |≥12×6＝3.答案 3三、解答题10．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方，得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.11．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＋32＋y 2＝2x －32＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．则直线l 2是此圆的切线，连接CQ ， 则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16， 当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.培 优 演 练1．直线y ＝x ＋m 与圆x 2＋y 2＝16交于不同的两点M ，N ，且|MN →|≥3|OM →＋ON →|，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－22，－2]∪[2，22)B ．(－42，－22]∪[22，42)C ．[－2,2]D ．[－22，22]解析 设MN 的中点为D ，则OM →＋ON →＝2OD →，|MN →|≥23|OD →|，由|OD →|2＋14|MN →|2＝16，得16＝|OD →|2＋14|MN →|2≥|OD →|2＋14(23|OD →|)2，从而得|OD →|≤2，由点到直线的距离公式可得|OD→|＝|m |2≤2，解得－22≤m ≤2 2.答案 D2．过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( ) A. 3 B ．2 C. 2D ．4解析 如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线， ∴OA ⊥AP .∵P (1，3)，O (0,0)， ∴|OP |＝1＋3＝2.又∵|OA |＝1，在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12，∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AO |sin ∠AOP ＝ 3.故选A. 答案 A3．设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，则M ∩N ≠∅时，a 的最大值与最小值分别为________、________.解析 因为集合M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，所以集合M 表示以O (0,0)为圆心，半径为r 1＝2a 的上半圆． 同理，集合N 表示以O ′(1，3)为圆心，半径为r 2＝a 的圆上的点． 这两个圆的半径随着a 的变化而变化，但|OO ′|＝2.如图所示， 当两圆外切时，由2a ＋a ＝2，得a ＝22－2； 当两圆内切时，由2a －a ＝2，得a ＝22＋2. 所以a 的最大值为22＋2，最小值为22－2. 答案 22＋2 22－24．过点Q (－2，21)作圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)的切线，切点为D ，且|QD |＝4. (1)求r 的值；(2)设P 是圆O 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆O 的切线l ，且l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，设OM →＝OA →＋OB →，求|OM →|的最小值(O 为坐标原点)．解 (1)圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为O (0,0)， 于是|QO |2＝(－2)2＋(21)2＝25.由题设知，△QDO 是以D 为直角顶点的直角三角形，故有r ＝|OD |＝|QO |2－|QD |2＝25－42＝3.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，即bx ＋ay －ab ＝0，则A (a,0)，B (0，b )，∴OM →＝(a ，b )， ∴|OM →|＝a 2＋b 2.∵直线l 与圆O 相切，∴|－ab |a 2＋b 2＝3⇒a 2b 2＝9(a 2＋b 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222.∴a 2＋b 2≥36，∴|OM →|≥6.当且仅当a ＝b ＝32时取到“＝”．∴|OM →|取得最小值为6.3TP23113 5A49 婉29280 7260 牠31874 7C82 粂38572 96AC 隬20796 513C 儼28025 6D79 浹 29642 73CA 珊33829 8425 营323217E41 繁 36062 8CDE 賞。
2021年高考数学一轮复习 直线与圆备考试题
2021年高考数学一轮复习直线与圆备考试题一、填空题1、（xx年江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为▲ ．2、（xx年江苏高考）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是▲ ．3、（xx届江苏南通市直中学高三9月调研）已知圆，直线过点P（3，1），则当直线被圆C截得的弦长最短时，直线的方程为▲4、（xx届江苏苏州高三9月调研）已知圆与直线相交于两点则当的面积最大时此时实数的值为▲5、（南京市xx届高三第三次模拟）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60，则圆M的方程为6、（南通市xx届高三第三次调研）在平面直角坐标系中，圆C的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是▲．7、（xx江苏百校联考一）已知圆，点在直线上，若过点存在直线与圆交于、两点，且点为的中点，则点横坐标的取值范围是．8、（南通市xx届高三第二次模拟）在平面直角坐标系xOy中，设是半圆：（）上一点，直线的倾斜角为45°，过点作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交半圆于点，则直线的方程是▲9、（南京、盐城市xx届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为▲10、（苏锡常镇四市xx届高三3月教学情况调研（一））在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若△ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为▲11、（江苏省诚贤中学xx届高三12月月考）垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是▲12、（江苏省灌云高级中学xx届高三第三次学情调研）已知点（1，0）在直线的两侧，则下列说法（1）（2）时，有最小值，无最大值（3）恒成立（4）,, 则的取值范围为（-其中正确的是（把你认为所有正确的命题的序号都填上）二、解答题1、（xx年江苏高考）本小题满分14分。
高三数学一轮复习精讲精练：8.4直线与圆的位置关系
第4课 直线与圆的位置关系【考点导读】能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用.【基础练习】1.若直线4x -3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax +4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是-6＜a ＜42.直线x -y +4=0被圆x 2+y 2+4x -4y +6=0截得的弦长等于23.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2-2x +2y +1=0相切的直线的方程为 x =2或3x -4y -2=0 .【范例导析】例1.已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0.由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩即l 恒过定点A （3，1）.∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点.（2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－21， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时，可以从垂径定理角度考虑，充分利用圆的几何性质.例2.已知圆O: 122=+y x ，圆C: 1)4()2(22=-+-y x ，由两圆外一点),(b a P 引两圆切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，满足|PA|=|PB|.求实数a 、b 间满足的等量关系.解：连结PO 、PC ，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1∴|PO|2=|PC|2，从而2222)4()2(-+-=+b a b a 化简得实数a 、b 间满足的等量关系为: 052=-+b a .例3.已知圆C 与两坐标轴都相切，圆心C 到直线y x =-. 求圆C 的方程.解：设圆C 半径为r，由已知得：a b r a ⎧⎪=⎪⎪=⎨ ∴11a b r ==⎧⎨=⎩，或11a b r ==-⎧⎨=⎩∴圆C 方程为2222(1)(1)1,(1)(1)1x y x y -+-=+=或＋＋.例4.如图，在平面直角坐标系x O y 中，平行于x 轴且过点A(33，2)的入射光线l 1被直线l ：y =33x 反射．反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1， l 2都相切. (1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB+PQ 的最小值及此时点P 的坐标．解：（1）直线1:2,l y =设12l l D D 交于点，则（）.l 的倾斜角为30，260l ∴的倾斜角为，2k ∴=∴反射光线2l 所在的直线方程为2y x -=-.40y --=.已知圆C 与1l A 切于点，设C （a,b)，圆心C 在过点D 且与l垂直的直线上，8b ∴=+ ，又圆心C 在过点A 且与1l 垂直的直线上，a ∴=81b ∴=+=-，圆C 的半径r=3， 故所求圆C的方程为22((1)9x y -++=.例2（2）设点()0,4B -关于l 的对称点00(,)B x y '，则00004224y x y x ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得(2)B '-，固定点Q 可发现，当B P Q '、、共线时，PB PQ +最小，故PB PQ +的最小值为33B C '-=-.此时由121y y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩1)2P .【反馈练习】1.圆x 2+y 2-4x=0在点P(1，3)处的切线方程为20x -+=2.已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k的取值范围是-（ 3.设m>0，则直线2(x+y)+1+m=0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为相切或相离解析：圆心到直线的距离为d=21m+，圆半径为m . ∵d-r=21m +-m =21(m-2m +1)=21(m -1)2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离.4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为35.点P 从(1，0)出发，沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为)23,21(- 6.若圆04122=-++mx y x 与直线1-=y 相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为347.设P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 1 .8.已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖． (1)试求圆C 的方程.(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,.A B 满足CA CB ⊥，求直线l 的方程.解:(1)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2，1)，所以圆C 的方程是22(2)(1)5x y -+-=.(2)设直线l 的方程是:y x b =+. 因为CA CB ⊥，所以圆心C 到直线l ，解得:1b =-±.所以直线l 的方程是:1y x =-±.。
2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第八章 8.4 直线与圆的位置关系 (含解析)
§8.4 直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.概念方法微思考1．过一定点作圆的切线，切线条数可能有几种情况．提示三种情况，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条．2．求圆的弦长有几种常用方法．提示三种．(1)用代数法求出弦的端点坐标，然后利用两点间的距离公式．(2)利用半径、半弦和圆心到直线的垂线段构成的直角三角形．(3)利用弦长公式．若斜率为k的直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(其中k≠0)，特别地，当k＝0时，AB＝|x1－x2|，当斜率不存在时，AB＝|y1－y2|.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( × ) (2)直线y ＝kx ＋1和圆x 2＋y 2＝4一定相交．( √ )(3)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( √ ) 题组二 教材改编2．圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是________． 答案 相交解析 圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离为|2－2－5|5＝5<6，故直线与圆相交．3．若过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________． 答案 1或177解析 将圆的方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －1)2＝1， ∴圆心坐标为(1,1)，半径r ＝1， 又弦长为2，∴圆心到直线l 的距离d ＝12－⎝⎛⎭⎫222＝22， 设直线l 的斜率为k (易知直线l 斜率存在)，又直线l 过点(－1，－2)， ∴直线l 的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，∴|2k －3|1＋k 2＝22，即(k －1)(7k －17)＝0， 解得k ＝1或k ＝177，则直线l 的斜率为1或177.题组三 易错自纠4．若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是________________． 答案 [－22－1,22－1]解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m |2≤2， 解得－22－1≤m ≤22－1.5．过点A (3,5)作圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为__________________． 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)， ∵AC ＝(3－1)2＋(5－2)2＝13>2，∴点A (3,5)在圆外．显然，当直线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1,2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，即|3－2k |＝2k 2＋1，∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.6．(2020·苏北四市摸底)若直线ax ＋y ＋1＝0被圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0截得的弦长为2，则实数a 的值是________． 答案 －2解析 圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0可化为(x －a )2＋y 2＝a 2－a ， ∴圆心为(a,0)，半径为a 2－a ， 圆心到直线的距离为d ＝a 2＋1a 2＋1＝a 2＋1.∵直线ax ＋y ＋1＝0被圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0截得的弦长为2， ∴a 2＋1＋1＝a 2－a ， ∴a ＝－2(符合a 2－a >0)．直线与圆的位置关系的判断1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是________． 答案 相交解析 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离 d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交．2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为________． 答案 相交解析 直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交．3．在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是________． 答案 相切解析 因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0， 所以由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝0.故圆心C (0,0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝1＝r ，故圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0相切．4．(2019·苏州、无锡、常州、镇江模拟)若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,10]解析 圆的方程x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1， 所以圆心为(－1,2)，半径r ＝1， 圆心到直线3x ＋4y －m ＝0的距离 d ＝|－3＋8－m |9＋16＝|5－m |5，∵直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点， ∴0≤|5－m |5≤1，解得0≤m ≤10，∴实数m 的取值范围是[0,10]．思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．切线问题例1 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.思维升华 解决圆的切线问题的关键是抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系求解． 跟踪训练1 点P 为射线x ＝2(y ≥0)上一点，过P 作圆x 2＋y 2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P 的坐标为( ) A ．(2,1) B ．(2,2) C ．(2，2) D ．(2,0)答案 C解析 如图所示．设切点为A ，B ，则OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OA ＝OB ，AP ＝BP ，AP ⊥BP ，故四边形OAPB 为正方形， 则|OP |＝6，又x P ＝2，则P (2，2)．直线与圆相交问题命题点1 圆的弦长例2 直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________． 答案 2 3解析 ∵圆x 2＋y 2＝4的圆心为点(0,0)，半径r ＝2， ∴圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|－2|2＝1，∴弦长AB ＝24－1＝2 3. 命题点2 直线与圆相交求参数范围例3 已知直线l ：kx －y －2k ＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (1)求证：无论k 取何值，直线l 与圆C 都有两个交点； (2)若k ＝1，求直线l 被圆C 截得的弦长；(3)是否存在实数k ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由．(1)证明 直线l 的方程可化为k (x －2)－y ＝0， 所以直线l 过定点(2,0)．由于22＋02－2×2－2×0－2<0，故点(2,0)在圆C 内， 所以直线l 与圆C 恒有两个交点．(2)解 当k ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0， 圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心C (1,1)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－1－2|2＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为 2r 2－d 2＝222－(2)2＝2 2. (3)解 存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由kx －y －2k ＝0与x 2＋y 2－2x －2y －2＝0消元得 (k 2＋1)x 2－(4k 2＋2k ＋2)x ＋4k 2＋4k －2＝0，x 1,2＝(4k 2＋2k ＋2)±(4k 2＋2k ＋2)2－4(k 2＋1)(4k 2＋4k －2)2(k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝4k 2＋2k ＋2k 2＋1，x 1x 2＝4k 2＋4k －2k 2＋1.因为以线段AB 为直径的圆过原点， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以(k 2＋1)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)＋4k 2＝0， 所以(k 2＋1)·4k 2＋4k －2k 2＋1－2k 2·4k 2＋2k ＋2k 2＋1＋4k 2＝0， 所以k ＝－1±2.思维升华 (1)直线和圆问题的代数解法就是联立直线方程和圆的方程，通过交点坐标满足的关系式解题，往往“设而不求”．(2)弦长问题可采用几何法，利用半弦、半径和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形． 跟踪训练2 (1)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则MN ＝__________. 答案 4 6解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以MN ＝|y 1－y 2|＝4 6.(2)(2019·江苏省如东高级中学等四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＝2，直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|≥3|OA →－OB →|，则b 的取值范围是________________．答案 ⎣⎡⎭⎫－153，－1∪⎝⎛⎦⎤1，153 解析 设AB 中点为M ，则|OA →＋OB →|≥3|OA →－OB →|， 即2OM ≥3× 2AM ，即OM ≥32OA ＝62. 又直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点， 所以62≤OM <2，而OM ＝21＋b 2， 所以62≤21＋b 2<2，解得1<b 2≤53， 即b 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－153，－1∪⎝⎛⎦⎤1，153. .。
高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 word版含答案
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． (3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识点一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d >rd ＝rd <r易误提醒 对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形．必备方法 求圆的弦长的常用方法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式． |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．[自测练习]1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．与m 的取值有关解析：圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1<1＝r ，故选A.答案：A2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. 答案：D3．过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________．解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝0 知识点二 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|) 相离外切相交内切内含图形量的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|易误提醒 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[自测练习]4．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析：圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．答案：B考点一 直线与圆的位置关系|1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2<3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交，故选C.答案：C2．(2015·皖南八校联考)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A.12，－4 B ．－12，4C.12，4 D ．－12，－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，所以直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，2×2＋0＋b ＝0，解得k ＝12，b ＝－4.答案：A3．若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3解析：由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m 2＝1，解得m ＝±3. 答案：C判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．考点二 切线、弦长问题|(1)(2015·高考重庆卷)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210(2)(2016·太原一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215[解析] (1)由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.(2)将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23，∴S 四边形ABCD＝12|AC |×|BD |＝215. [答案] (1)C (2)D处理切线、弦长问题的策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．1．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)，所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0，故选C.答案：C2．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA (图略)，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |＝|OP |2－|OA |2＝2.答案：2考点三 圆与圆的位置关系|1．(2016·惠州调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．答案：B2．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．答案：C3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a ＝1.答案：1求解两圆位置关系问题的两种方法(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．19.直线与圆的位置关系中的易错问题【典例】对于任意实数m，直线l：y＝m(x－1)＋b恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，则a，b满足的条件是________．[易错点析]对直线l方程分析不彻底，盲目利用Δ法或几何法无法判断导致失误．[解析]由题意知，①直线l经过定点M(1，b)．又直线l恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，所以，②点M在圆的内部，所以，12＋b2<a2，即a2－b2>1.[答案]a2－b2>1[方法点评]点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[跟踪练习](2016·大连双基)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d>1，即2k2＋1>1，解得k∈(－3，3)．答案：(－3，3)A组考点能力演练1．(2016·洛阳二练)已知圆C：x2＋y2＝4，若点P(x0，y0)在圆C外，则直线l：x0x＋y0y ＝4与圆C的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．不能确定解析：由题意：圆C的圆心到直线l的距离d＝4x20＋y20，∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4外，∴x20＋y20>4，∴d＝4x20＋y20<2，∴直线l与圆相交．答案：C2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：B3．(2015·长春二模)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)B ．(－∞，－22]∪[22，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：由直线与圆相切可知 |m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2， 整理得mn ＝m ＋n ＋1，由mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22可知m ＋n ＋1≤14(m ＋n )2，解得m ＋n ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选A. 答案：A4．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：本题考查直线与圆的位置关系．由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1，2)，过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－(－1)＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0，故选A.答案：A5．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝5上的任意一点，点Q (2a ，a ＋2)，其中a ∈R ，则线段PQ 长度的最小值为( )A.55B. 5C.355D.655解析：设点Q (x ，y )，则x ＝2a ，y ＝a ＋2，∴x －2y ＋4＝0，∴点Q 在直线x －2y ＋4＝0上．由于圆心(2,0)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|2－0＋4|1＋4＝655，所以PQ 长度的最小值为d －5＝655－5＝55，故选A.答案：A6．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________． 解析：公共弦的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－(5)2＝4 5.答案：4 57．(2016·泰安调研)已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两平行直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.答案：25π8．(2016·福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A 、B 两点，则CA →·CB →的值为________．解析：依题意得，点C 的坐标为(3,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，(x －3)2＋(y －3)2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3， 可令A (3,5)，B (1,3)，∴CA →＝(0,2)，CB →＝(－2,0)， ∴CA →·CB →＝0. 答案：09.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：k AN ＋k BN 为定值．解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋⎝⎛⎭⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋(y －2)2＝254. (2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN＝0.当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3＝2ty 1y 2－3(y 1＋y 2)(ty 1－3)(ty 2－3)＝－6t t 2＋1＋6tt 2＋1(ty 1－3)(ty 2－3)＝0.综上可知，k AN ＋k BN 为定值．10．已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 截得的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方．(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．解：(1)设圆心M (a,0)，由已知得点M 到直线l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎫322＝12，∴|8a －3|82＋62＝12.又点M 在直线l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设直线AC 的斜率为k 1，直线BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，解得C 点的横坐标为6k 1－k 2.∵|AB |＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12×⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18|k 1－k 2|.∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ；同理，k 2＝1－(t ＋6)22(t ＋6).∴k 1－k 2＝3(t 2＋6t ＋1)t 2＋6t，∴S ＝6(t 2＋6t )t 2＋6t ＋1＝6⎝⎛⎭⎫1－1t 2＋6t ＋1，∵－5≤t ≤－2，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4， ∴S max ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋18＝274. B 组 高考题型专练1．(2014·高考浙江卷)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫422得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.答案：B2．(2014·高考重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：易知△ABC 是边长为2的等边三角形，故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为3，即|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15.经检验均符合题意，则a ＝4±15.答案：4±153．(2014·高考山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．(2015·高考山东卷)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.解析：在平面直角坐标系xOy 中作出圆x 2＋y 2＝1及其切线P A ，PB ，如图所示．连接OA ，OP ，由图可得|OA |＝|OB |＝1，|OP |＝2，|P A →|＝|PB →|＝3，∠APO ＝∠BPO ＝π6，则P A →，PB →的夹角为π3，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos π3＝32. 答案：325．(2015·高考重庆卷)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．解析：由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝0。
高三数学(文)一轮复习讲解与练习8.4直线与圆、圆与圆的位置关系(含答案解析)
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.[探究] 1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示：应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，则切线不存在．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).[探究] 2.若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．[自测·牛刀小试]1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：选A法一：圆心(0,1)到直线的距离d＝|m|m2＋1<1< 5.法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的．2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：选B两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．3．已知p：“a＝2”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A a＝2，则直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，反之，则有a＝±2.因此p是q的充分不必要条件．4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是()A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝0解析：选D 法一：圆心O (0,0)，C (3，－3)的中点P ⎝⎛⎭⎫32，－32在直线l 上，故可排除A 、B 、C.法二：两圆方程相减得，6x －6y －18＝0，即x －y －3＝0.5．(2012·重庆高考)设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D 因为直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心 (0,0)，所以所得弦长|AB |＝2.[例1] (1)(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) (2)(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．[自主解答] (1)因为直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|a －0＋1|2≤r ＝2，可得|a ＋1|≤2，即a ∈[－3,1]．(2)圆C 方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线y ＝kx －2上至少存在一点(x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，因为两个圆有公共点，故(x －4)2＋(kx －2)2≤2，整理得(k 2＋1)x 2－(8＋4k )x ＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k )2－64(k 2＋1)≥0，解之得0≤k ≤43，故最大值为43.[答案] (1)C (2)43——————————————————— 判断直线与圆、圆与圆的位置关系的常用方法(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．(2)判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解．1．直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________． 解析：将x 2＋y 2－2y －3＝0化为x 2＋(y －1)2＝4.由于直线l 过定点(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝1<4，即直线过圆内一点，从而直线l 与圆相交．答案：相交2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 设圆心C (x ，y )，则题意得(x －0)2＋(y －3)2＝y ＋1(y >0)，化简得x 2＝8y －8.[例2] (1)(2012·北京高考)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________． (2)(2013·济南模拟)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．[自主解答] (1)法一：几何法：圆心到直线的距离为d ＝|0－2|2＝2，圆的半径r ＝2，所以弦长为l ＝2×r 2－d 2＝24－2＝2 2.法二：代数法：联立直线和圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋(y －2)2＝4，消去y 可得x 2－2x ＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为2(2－0)2＝2 2.(2)由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知⎝⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.[答案] (1)22 (2)x ＋y －3＝0 ———————————————————求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2；(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB ||x 1－x 2|＝3．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或3 B ．1或3 C ．－2或6D ．0或4解析：选D 圆心(a,0)到直线x －y ＝2的距离d ＝|a －2|2，则(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －2|22＝22， 所以a ＝0或a ＝4.4．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝10[例3] 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)从圆C 外一点P ( x ，y )向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求点P 的轨迹方程．[自主解答] (1)将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2. 由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零， 设直线方程为x ＋y －a ＝0，由|－1＋2－a |2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3.故直线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)由于|PC |2＝|PM |2＋|CM |2＝|PM |2＋r 2， ∴|PM |2＝|PC |2－r 2.又∵|PM |＝|PO |，∴|PC |2－r 2＝|PO |2， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2.∴2x －4y ＋3＝0即为所求的方程．若将本例(1)中“不过原点”的条件去掉，求直线l 的方程． 解：将圆C 配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得y ＝(2±6)x ；当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0，由直线与圆相切得x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上可知，直线l 的方程为 (2＋6)x －y ＝0或 (2－6)x －y ＝0或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.——————————————————— 求过一点的圆的切线方程的方法(1)若该点在圆上，由切点和圆心连线的斜率可确定切线的斜率，进而写出切线方程；若切线的斜率不存在，则可直接写出切线方程x ＝x 0.(2)若该点在圆外，则过该点的切线将有两条．若用设斜率的方法求解时只求出一条，则还有一条过该点且斜率不存在的切线．5．已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值．解：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3. 由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.故方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.2种方法——解决直线与圆位置关系的两种方法直线和圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合．(1)从思路来看，代数法侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．(2)从适用类型来看，代数法可以求出具体的交点坐标，而几何法更适合定性比较和较为简单的运算．3个注意点——直线与圆相切、相交的三个注意点(1)涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直；(2)当直线与圆相交时，半弦、弦心距、半径所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意把它与点到直线的距离公式结合起来使用；(3)判断直线与圆相切，特别是过圆外一点求圆的切线时，应有两条．在解题中，若只求得一条，则说明另一条的斜率不存在，这一点经常忽视，应注意检验、防止出错.创新交汇——直线与圆的综合应用问题1．直线与圆的综合应用问题是高考中一类重要问题，常常以解答题的形式出现，并且常常是将直线与圆和函数、三角、向量、数列及圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数、最值、圆的方程等问题．2．对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系；其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化、待定系数及分类讨论等思想方法．[典例](2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．[解](1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为32＋(t－1)2＝3.则圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1. [名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查形式的创新，将轨迹问题、向量问题和圆的问题融为一体来考查．(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆的位置关系，同时也考查了转化与化归思想．2．解决直线和圆的综合问题要注意以下几点(1)求点的轨迹，先确定点的轨迹的曲线类型，再利用条件求得相关参数； (2)存在性问题的求解，即先假设存在，再由条件求解并检验． [变式训练]1．已知直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 是直角三角形，则点P (a ，b )与点M (0,1)之间的距离的最大值为( )A.2＋1 B ．2 C. 2D.2－1解析：选A 直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则依题意可知，△AOB 是等腰直角三角形，坐标原点O 到直线2ax ＋by ＝1的距离d ＝12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2， ∴a 2＝2－b 22(－2≤b ≤2)，则|PM |＝a 2＋(b －1)2＝b 22－2b ＋2＝2|b －2|2，∴当b ＝－2时，|PM |max ＝2×|－2－2|2＝2＋1.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即|c |122＋(－5)2<1，解得－13<c <13.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝1的切线方程中有一个是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x ＝0D ．y ＝0解析：选C 圆心为(1，－3)，半径为1，故x ＝0与圆相切．2．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6 B.π2 C.2π3D.56π 解析：选D 由题意知，|k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝－33，故直线l 的倾斜角为56π.3．(2012·陕西高考)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：选A 把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l 与圆C 相交．4．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A ．2 3 B ．4 C ．2 5D ．5解析：选B 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小，此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.5．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.6．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M ，N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM ·ON(O为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14解析：选A 设OM ，ON的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，cos θ＝13，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79，OM ·ON ＝3×3cos2θ＝－7.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33.答案：±338．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)．答案：(2，2)9．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3.答案：3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程．解：设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ，则A ，M ，C 三点共线，且有|MA |＝|AP |＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －1＝2－31＋1，(m －1)2＋(n －2)2＝(m －4)2＋(n ＋1)2＝r ，解得m ＝3，n ＝1，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围； (2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率k OC ＝b a＝－1，故b ＝－a ，则|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2，结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ (m －4)2＋n 2＝42，m 2＋n 2≠0，(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得⎩⎨⎧ m ＝45，n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125符合题意．1．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )A ．4B ．4 2C ．8D ．8 2解析：选C 依题意，可设圆心坐标为(a ，a )，半径为r ，其中r ＝a >0，因此圆方程是(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，由圆过点(4,1)得(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，即a 2－10a ＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C 1，C 2的横坐标，|C 1C 2|＝2×102－4×17＝8.2．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)解析：选D 由题意可得|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，化简得mn ＝m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.3．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 与⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．解析：⊙O 的圆心为(0,0)，半径为2，⊙O ′的圆心为(4,0)，半径为6，设点P 为(x ，y )，由已知条件和圆切线性质得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，化简得x ＝32. 答案：x ＝324．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：依题意，设l 的方程为y ＝x ＋b ，①x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，②联立①②消去y 得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝b 2＋4b －42，③ ∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA ⊥OB ，即x 1 x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2，∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，由③得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0，即b 2＋3b －4＝0，∴b ＝1或b ＝－4.∴满足条件的直线l 存在，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.。
2021新高考数学(江苏专用)一轮复习课时练习：8.4 直线与圆的位置关系 (含解析)
1．已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2≠0，则直线l ：ax ＋by ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋by ＝0的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定 答案 B解析 圆C 的方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24，圆心C ⎝⎛⎭⎫－a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22，圆心到直线ax ＋by ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－a 2×a ＋⎝⎛⎭⎫－b 2×b a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，所以直线与圆相切．2．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 答案 A解析 方法一 由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交． 方法二 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)， 因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部， 所以直线l 与圆相交．3．(2020·苏州模拟)已知圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0截直线x ＋y －4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为( ) A.()2－17，2＋17 B.()2－17，2 C.()－15，＋∞ D ．(－15,2) 答案 D解析 圆心(1，－1)，半径r ＝2－a ，2－a >0，∴a <2， 圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|2＝2 2.则弦长为2(2－a )2－(22)2＝2－a －6<6. 解得a >－15，故－15<a <2.4．直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案 D解析 画出图形，如图，圆心(2,0)到直线的距离为d ＝|2|12＋(3)2＝1，∴sin ∠AOC ＝d OC ＝12，∴∠AOC ＝π6，∴∠CAO ＝π6，∴∠ACO ＝π－π6－π6＝2π3.5．过点A (a,0)(a >0)，且倾斜角为30°的直线与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点B ，且AB ＝3，则△OAB 的面积是( ) A.12 B.32 C ．1 D ．2 答案 B解析 由切线的性质可得△ABO 是以点B 为直角顶点的直角三角形，在Rt △ABO 中，∠OAB ＝30°，AB ＝3，则OB ＝1，OA ＝2，△OAB 的面积是12×1×3＝32.6．已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A ．m ∥l ，且l 与圆相交 B ．m ⊥l ，且l 与圆相切 C ．m ∥l ，且l 与圆相离 D ．m ⊥l ，且l 与圆相离答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2. ∵圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0,0)，故由题意得OP ⊥m ，又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b ，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r ＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离．故选C.7．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －8＝0的最大距离与最小距离的差是________． 答案 5 2解析 圆的方程可化为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，圆心到直线的距离为|2＋2－8|2＝22<32，故直线与圆相交，最小距离为0，最大距离为32＋22＝5 2.综上可得，圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －8＝0的最大距离与最小距离的差是52－0＝5 2.8．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为________． 答案 2y ＋1＝0解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以PC ＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0. 9．(2019·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx 被圆x 2＋y 2－2mx －23my ＋3m 2－1＝0截得的弦长是定值(与实数m 无关)，则实数k 的值为________． 答案33解析 由圆的方程可得(x －m )2＋(y －3m )2＝m 2＋1， 所以圆心为(m ，3m )，R ＝m 2＋1， 圆心到直线的距离d ＝|3m －km |1＋k 2，由题意R 2－d 2＝m 2＋1－(3－k )2m 21＋k 2，不论m 取何值时，此式为定值，所以当(3－k )21＋k 2＝1时，R 2－d 2为定值1，即k ＝33.10．(2020·扬州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－2，0)，点B 是圆C ：(x －2)2＋y 2＝4上的点，点M 为AB 的中点，若直线l ：y ＝kx －5k 上存在点P ，使得∠OPM ＝30°，则实数k 的取值范围是________． 答案 [－2,2]解析 因为点M 为AB 中点，所以OM ＝12CB ＝1，即点M 的轨迹为以原点为圆心的单位圆， 当PM 为单位圆切线时，∠OPM 取得最大值， 所以∠OPM ≥30°，从而OP ＝1sin ∠OPM≤2，因此原点到直线l ：y ＝kx －5k 的距离不大于2， 即|－5k |k 2＋1≤2，解得－2≤k ≤2. 11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件PM ＝PO 的点P 的轨迹方程．解 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1， C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件． 当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34.∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0. (2)设P (x ，y )，则PM 2＝PC 2－MC 2 ＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， PO 2＝x 2＋y 2，∵PM ＝PO ， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2， 整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.12．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)设圆心C (a ,0)⎝⎛⎭⎫a >－52， 则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，x 1,2＝2k 2±4k 4－4(k 2＋1)(k 2－4)2(k 2＋1)，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0，则k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t＝0， 即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，即2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4，所以当点N 的坐标为(4,0)时，能使得x 轴平分∠ANB 总成立．13．若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为________． 答案 34解析 由已知可得圆心(0,0)到直线2ax ＋by －2＝0的距离d ＝24a 2＋b2， 则直线被圆截得的弦长为24－44a 2＋b2＝23， 化简得4a 2＋b 2＝4. ∴t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2 ≤142[(22a )2＋(1＋2b 2)2]＝142(8a 2＋2b 2＋1)＝942， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，即t 取最大值，此时a ＝34(舍负值)．14．(2019·江苏盐城东台中学检测)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －2＝0上的两点E ，F 之间，过点P 分别作圆O ，C 的切线，切点为A ，B ，若满足PB ≥2P A ，则线段EF 的长度为________． 答案2393解析 由PB ≥2P A ，得PB 2≥4P A 2，所以PC 2－4≥4(PO 2－1)，所以PC 2≥4PO 2， 设P (x ，y )，所以x 2＋y 2＋83x －163≤0，即⎝⎛⎭⎫x ＋432＋y 2≤649， 点P 在圆⎝⎛⎭⎫x ＋432＋y 2＝649上及圆内， 圆心⎝⎛⎭⎫－43，0到直线x ＋3y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪－43－21＋3＝1032＝53， 因为EF 为直线截圆所得的弦， 所以EF ＝2649－⎝⎛⎭⎫532＝2399＝2393.15．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 恒过定点________． 答案 (1,2)解析 因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的任一点，所以设P (9－2m ，m )，因为P A ，PB 为圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆(记为圆C )上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦， 易知圆C 的方程是⎝⎛⎭⎫x －9－2m 22＋⎝⎛⎭⎫y －m 22＝(9－2m )2＋m 24，①又x 2＋y 2＝9，②②－①得，(2m －9)x －my ＋9＝0，即公共弦AB 所在直线的方程是(2m －9)x －my ＋9＝0， 即m (2x －y )＋(－9x ＋9)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，－9x ＋9＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以直线AB 恒过定点(1,2)．16．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D ⎝⎛⎭⎫－32，t ，求实数t 的取值范围．解 由题意可得直线AB 的方程为x ＝y ＋1，与y 2＝4x 联立消去x ，可得y 2－4y －4＝0，显然Δ＝16＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1,2＝4±16＋162，y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4，设E (x E ，y E )，则y E ＝y 1＋y 22＝2，x E ＝y E ＋1＝3，又AB ＝x 1＋x 2＋2＝y 1＋1＋y 2＋1＋2＝8，所以圆E 是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，所以点D 恒在圆E 外．圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D ⎝⎛⎭⎫－32，t ，即圆E 上存在点P ，Q ，使得DP ⊥DQ ，设过D 点的两直线分别切圆E 于P ′，Q ′点，要满足题意，则∠P ′DQ ′≥π2，所以EP ′DE＝4⎝⎛⎭⎫3＋322＋()2－t 2≥22，整理得t 2－4t －314≤0，解得2－472≤t ≤2＋472，故实数t 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2－472，2＋472。
2025年高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【含答案】
参考答案
1．C [由题意可得
＝2，于是圆心 C 到直线 l 的距离 d＝
＝＝
＝r，所以直线和圆相切． 故选 C.] 2．C [当切线的斜率不存在时，直线 x＝2 是圆的切线． 当切线斜率存在时，设切线方程为 y－3＝k(x－2)， 由(0，0)到切线距离为 d＝ ＝2，得 k＝ ，
此时切线方程为 y－3＝ (x－2)， 即 5x－12y＋26＝0.故选 C.] 3．D [令直线 l 与圆 C 交于点 A，B，依题意，∠ACB＝120°，∠ABC＝30°，而 圆 C 的圆心 C(2，0)，半径 r＝2，
可得
＝
，整理得 x2＋(y＋1)2＝4，则圆(x－a)2＋(y－2a
＋ 4)2 ＝ 1 与 圆 x2 ＋ (y ＋ 1)2 ＝ 4 有 公 共 点 ， 则 2 －
1≤
≤2＋1，
即 1≤5a2－12a＋9≤9，解得 0≤a≤ .故选 D.]
9．AC [直线 l：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，由
＝， ＝，
解得 k＝ ；当直线 l 过 B 点时，直线 l 的斜率 k＝ ＝1，则直线 l 与半圆有
两个不同的交点时，实数 k 的取值范围为 ， .故选 A.]
5．D [点(－2，－3)关于 y 轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的 直线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线 的方程为 y＋3＝k(x－2)，即 kx－y－2k－3＝0．由反射光线与圆相切，得
＝，
由
消去 y 并化简，得 x2－2x＝0，
＝
解得 x＝0 或 x＝2，所以点 P 的横坐标的取值范围为[0，2].] 14．x＋2y＋1＝0 [⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0 的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2
2021年高考数学一轮复习 8.4 直线与圆的位置关课时作业 理(含解析)新人教A版
2021年高考数学一轮复习 8.4 直线与圆的位置关课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(xx·北京朝阳期末)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为k ＝1时，直线为x －y ＋1＝0，则圆心到直线的距离d ＝12<1，即相交；反之，若直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交，则圆心到直线的距离d ＝|k |2<1，得k ∈(－2，2)，故选A.答案：A2．(xx·浙江高三摸底测试)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1C.22D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22因此根据三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 答案：D3．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＝8－m 2(m >3)，则两圆的位置关系是( )A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离解析：将两圆方程分别化为标准式 圆C 1：(x －m )2＋y 2＝4 圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝9， 则|C 1C 2|＝m ＋12＋m 2＝2m 2＋2m ＋1> 2×32＋2×3＋1＝5＝2＋3 ∴两圆相离． 答案：D4．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( ) A ．[－1,1＋22] B ．[1－22，1＋22] C ．[1－22，3]D ．[1－22，3]解析：曲线y ＝3－4x －x 2表示圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的下半圆，如图所示，当直线y ＝x ＋b 经过点(0,3)时，b 取最大值3，当直线与半圆相切时，b 取最小值，由|2－3＋b |2＝2⇒b ＝1－22或1＋22(舍)，故b min ＝1－22，b 的取值范围为[1－22，3]．答案：C5．(xx·山东卷)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.故选A.答案：A6．(xx·兰州模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1，2＋1)C ．(0，2－1)D ．(0，2＋1)解析：计算得圆心到直线l 的距离为22＝2>1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1. 答案：A 二、填空题7．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为________．解析：显然x ＝2为所求切线之一．另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，k ＝34，即3x －4y ＋10＝0.答案：x ＝2或3x －4y ＋10＝08．(xx·内江市高三第二次模拟)若直线y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，且∠AOB ＝60°，则实数k ＝________.解析：△AOB 为等腰三角形，∠AOB ＝60°，所以|AB |＝1，圆心到直线的距离d ＝32即1k 2＋1＝32，解得k ＝±33. 答案：±339．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________；公共弦长为________．解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230.答案：2x ＋y －5＝0 230 三、解答题10．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.11．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．解：已知圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴的对称圆C ′的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，如图所示．可设光线l 所在直线方程为y －3＝k (x ＋3)，∵直线l 与圆C ′相切，∴圆心C ′(2，－2)到直线l 的距离d ＝|5k ＋5|1＋k2＝1，解得k ＝－34或k ＝－43.∴光线l 所在直线的方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.12．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：依题意，设l 的方程为y ＝x ＋b ①x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0②联立①②消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－b ＋1，x 1x 2＝b 2＋4b －42，③∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2∴2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0， 由③得b 2＋4b －4－b (b ＋1)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0，∴b ＝1或b ＝－4， ∴满足条件的直线l 存在，其方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.[热点预测]13．(1)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|O A →＋O B →|＝|OA →－OB →|(其中O 为坐标原点)，则实数a 等于( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6(2)(xx·临沂模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212C ．2 2D ．2 (3)(xx·无锡质检)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦长为2，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为________．解析：(1)由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|知OA ⊥OB ，所以由题意可得|a |2＝2，所以a ＝±2.(2)圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1，所以四边形面积的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×d 2－1＝2，解得k 2＝4，即k ＝±2. 又k >0，即k ＝2.(3)∵直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫0，1n ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，而直线与圆相交所得的弦长为2，∴圆心到直线的距离d 满足d 2＝r 2－12＝4－1＝3， 即圆心到直线的距离d ＝|－1|m 2＋n 2＝3，∴m 2＋n 2＝13；∵三角形的面积为S ＝121m ·1n ＝12|mn |，又S ＝12|mn |≥1m 2＋n 2＝3，当且仅当|m |＝|n |＝66时取等号，故最小值为3. 答案：(1)C (2)D (3)324385 5F41 彁i[24832 6100 愀29212 721C 爜31083 796B 祫-^28488 6F48 潈 21260 530C 匌ts6。
2021年高考数学考点49直线与圆圆与圆的位置关系必刷题理含解析
考点49 直线与圆、圆与圆的位置关系1．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是（）A． 2或 B． 2或 C．或 D．或【答案】A2．直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是A． B．或 C． D．【答案】B【解析】曲线有即 x2+y2=1 （x≥0），表示一个半圆（单位圆位于x轴及x轴右侧的部分）．如图，A（0，1）、B（1，0）、C（0，﹣1），当直线y=x+b经过点A时，1=0+b，求得 b=1；当直线y=x+b经过点B、点C时，0=1+b，求得b=﹣1；当直线y=x+b和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得1=，求得b=﹣，或 b=（舍去），故要求的实数b的范围为﹣1＜b≤1或b=﹣，故答案为：B3．设圆心在x轴上的圆C与直线：相切，且与直线：相交于两点M，N，若，则圆C的半径为A． B． C． 1 D．【答案】C4．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则（）A． B． 1 C． 2 D． 3【答案】B由①②解得．∴．故选B．5．若圆：上的点到直线：的最小距离为2，则 ( ) A． B． C． D．6．已知直线与圆相交于，，且为等腰直角三角形，则实数的值为（）A．或 B． C．或 D．【答案】C【解析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1，故选：C．7．已知两点，若圆上存在点，使得，则正实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为存在点P使得，即以原点为圆心，半径为的圆与有公共点所以解得8．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D9．设P ，Q 分别为圆O1：x 2＋(y －6)2＝2和圆O2：x 2＋y 2－4x ＝0上的动点，则P ，Q 两点间的距离的最大值是( ) A ． 2＋2＋ B ． ＋2＋ C ． 2＋1＋D ．＋1＋【答案】A 【解析】圆O 1的圆心O 1(0,6)，半径r 1＝，圆O 2化为标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心O 2(2,0)，半径r 2＝2.则|O 1O 2|＝＝＝2>r 1＋r 2＝2＋，所以两圆相离，则|PQ |max ＝2＋2＋.选A.10．已知圆2221:C x y r +=，圆()()2222:C x a y b r -+-= (0)r >交于不同的()11,A x y ， ()22,B x y 两点，给出下列结论：①()()12120a x x b y y -+-=；②221122ax by a b +=+；③12x x a +=， 12y y b +=.其中正确结论的个数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【答案】D11．若圆221:5O x y +=与圆()222:20O x m y ++=相交于,A B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是（ ）A ． 3B ． 4C ． 23D ． 8 【答案】B【解析】由题100O （，）与20O m -：（，）， 根据圆心距大于半径之差而小于半径之和， 可得535m ＜＜． 再根据题意可得212520255O A AO m m ⊥∴=+=∴=±，，， ∴利用52552AB ⋅⋅＝，解得4AB =． 故选B ．12．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈， b R ∈，且0ab ≠，则2211a b +的最小值为( ) A ． 49 B ． 109C ． 1D ． 313．设为坐标原点，曲线上有两点，满足关于直线称，又满足 .（1）求的值；（2）求直线的方程.【答案】（1）-1；（2）.【解析】（1），所以曲线为以为圆心，为半径的圆，由已知，直线过圆心，所以，解之得.（2）设,14．已知为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于的动点，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆在点处的切线交于点，当点在椭圆上运动时，求证:以为直径的圆与直线恒相切.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)设椭圆的方程为,由题意知解之得,15．已知点()1,0A 和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆22:4O x y +=.（1）求动点B 的轨迹方程；（2）已知点()2,0P ， ()2,1Q -，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ， N 两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值.【答案】（1）22143x y+=；（2）见解析.16．已知直线与圆相交于两点，点，且，若，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由，消去y得：（k2+1）x2-（2k+2）x+1=0，①设P（x1，y1）Q（x2，y2），∵，17．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是______ 【答案】【解析】由曲线y=3+，得（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，0≤x≤4，∵直线y=x+b与曲线y=3+有公共点，∴圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d不大于半径r=2，即∵0≤x≤4，∴x=4代入曲线y=3+，得y=3，把（4，3）代入直线y=x+b，得b min=3﹣4=﹣1，②联立①②，得．∴实数b的取值范围是[﹣1，1+2]．故答案为：.18．若动点P在直线上，动点Q在直线上，记线段PQ的中点为，且，则的取值范围为________.【答案】，代表的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方的最小值为，为最大值联立，可得，当与重合时，的最大值为故的取值范围为故答案为.19．若抛物线在点处的切线也与圆相切，则实数的值为_____.【答案】20．如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD//AC．过点 A 作圆的切线与DB的延长线交于点E， AD与BC交于点F．若AB = AC，AE = ， BD = 4，则线段CF的长为______．【答案】21．已知为坐标原点，，平面上动点满足，动点的轨迹为曲线，设圆的半径为1，圆心在直线上，若圆与曲线有且仅有一个公共点，则圆心横坐标的值为__________．【答案】或【解析】 设，由， 得，化简得，故曲线C 表示以为圆心，2为半径的圆，由题意得，圆C 与圆M 只能相外切，其中，故，解得圆心的横坐标的值为或.22．为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为,,A B C 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理,,A B C 三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M 只能建在与A 村相距5km ，且与C 31km 的地方.已知B 村在A 村的正东方向，相距3km ， C 村在B 村的正北方向，相距33km ，则垃圾处理站M 与B 村相距__________ km ． 【答案】2或723．在四边形中，，，为等边三角形，则的外接圆与的内切圆的公共弦长=__________．【答案】1【解析】如图所示建立平面直角坐标系，为等边的中心.则的外接圆为：，的内切圆半径为：.由得.两圆的公共弦为EF，则.故答案为：1.24．已知ABC ∆中， 3AB AC ==， ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为__________．【答案】5231625．已知圆C 1：22(4)(2)10x y -+-=与y 轴交于O,A 两点，圆C 2过O ，A 两点，且直线C 2O 恰与圆C 1相切；（1）求圆C 2的方程。
2021高考数学一轮复习考点规范练48线与圆、圆与圆的位置关系(含解析)
则圆心为 P(1,3),半径 r= 10.
因为点 E(0,1),所以|PE|= 12 + (3 - 1)2 = 5.
过圆 x2+y2-2x-6y=0 内点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,所以|AC|=2r=2 10,|BD|=2
1
1
r2 - |PE|2=2 10 - 5=2 5,且 AC⊥BD,所以四边形 ABCD 的面积为 S=2 × |AC|×|BD|=2 × 2
12.已知直线 x+y-k=0(k>0)与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 A,B,O 是坐标原点,且有|OA + OB|
3
≥ 3 |AB|,则 k 的取值范围是( )
A.( 3,+∞)
B.[ 2,+∞) C.[ 2,2 2) D.[ 3,2 2)
答案:C
解析:设 AB 中点为 D,则 OD⊥AB,
3
答案:4
|k - 2|
|k - 2|
3
解析:设点 C(1,4)到直线 l 的距离为 d,则 d= 10 - 32=1.因为 d= k2 + 1,所以 k2 + 1=1,解得 k=4.
8.(2019 云南昆明调研)若过点(1,1)的直线与圆 x2+y2-6x-4y+4=0 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小值 为 .
2
≥
1.
∵k>0, ∴ 2 ≤ k<2 2,故选 C.
13.已知点 P(x,y)是直线 y=-kx-4(k>0)上的一个动点,PA,PB 是圆 C:x2+y2-2y=0 的两条切线,A,B 是 切点,若四边形 PACB 的面积的最小值为 2,则实数 k 的值为 .
2021版高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标49直线与圆圆与圆的位置关系202105072104
2021版高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标49直线与圆圆与圆的位置关系202105072104[解密考纲]直线与圆的位置关系、切线、弦长问题是高考的热点，常以选择题、填空题的形式显现，有时也在解答题中显现．一、选择题1．(2021·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( A )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2解析 由圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，故圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.2．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( B ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析 两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r ＝2，R ＝3，两圆的圆心距为－2－22＋0－12＝17，则R －r <17<R ＋r ，因此两圆相交，故选B ．3．过点P (2,0)的直线l 被圆(x －2)2＋(y －3)2＝9截得的线段长为2时，直线l 的斜率为( A )A ．±24B ．±22 C ．±1D ．±33解析 由题意，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.由点到直线的距离公式，得圆心到直线l 的距离d ＝|2k －3－2k |k 2＋1＝3k 2＋1.由圆的性质可得d 2＋12＝r 2，即⎝⎛⎭⎪⎫3k 2＋12＋12＝9，解得k 2＝18，即k ＝±24. 4．已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得AM ⊥MB ，则实数t 的取值范畴为( C )A ．[－2.6]B ．[－3,5]C ．[2,6]D ．[3,5]解析 过M 作⊙C 的切线，两切点为E ，F ，当且仅当∠EMF ≥90°时，圆C 上才存在使MA ⊥MB 的两点A ，B ， 若∠EMF ＝90°，则四边形CEMF 是正方形，|MC |＝25， 即(5－1)2＋(t －4)2＝20，解得t ＝2或t ＝6，故2≤t ≤6.5．若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是( D )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析 依题意，直线l ：y ＝kx ＋1过定点P (0,1)．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，故圆心为C (1,0)，半径为r ＝2.易知定点P (0,1)在圆内，由圆的性质可知当PC ⊥l 时，直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短．因为k PC ＝1－00－1＝－1，因此直线l 的斜率k ＝1，即直线l 的方程是x －y ＋1＝0.6．圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( A )A ．52－4B ．17－1C ．6－2 2D ．17解析 设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝2－32＋－3－42＝52.而|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.二、填空题7．若直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则k 的值是__±33___. 解析 因为直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，因此圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2k |k 2＋1＝r ＝1，解得k ＝±33.8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 作圆C 的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范畴是__[－22，22]__.解析 圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.“圆的两条切线相互垂直”转化为“点到圆心的距离不大于22”，故|3k |k 2＋1≤22，解得－22≤k ≤2 2.9．(2021·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝ 12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则||CD ＝__4__.解析 圆心(0,0)到直线x－3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝23，过C 作CE ⊥BD 于E ，因为直线l 的倾斜角为30°， 因此|CD |＝|CE |cos 30°＝|AB |cos 30°＝2332＝4.三、解答题10．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程． 解析 (1)由圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4， 知圆C 的圆心为(0,4)，半径为2. 若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则依照题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.11．已知一圆C 的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l ：x －y －1＝0截得的弦长为22，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程．解析 设圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)， ∵圆心(2，－1)到直线x －y －1＝0的距离d ＝2， ∴r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2222＝4，故圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x －22＋y ＋12＝4，解得弦的两端点为(2,1)和(0，－1)．∴过弦的两端点的圆的切线方程为y ＝1和x ＝0.12．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1，l 2都相切．(1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及现在点P 的坐标． 解析 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)， 因为直线l 的斜率为33， 因此l 的倾斜角为30°，因此l 2的倾斜角为60°，因此k 2＝3， 因此反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)， 即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )， 因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上， 因此b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上，因此a ＝33，② 由①②得a ＝33，b ＝－1，因此圆C 的半径r ＝3， 故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9. 综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0， 圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)设点B (0，－4)关于l 对称的点为B ′(x 0，y 0)， 即y 0－42＝33·x 02，且y 0＋4x 0＝－3， 解得x 0＝－23，y 0＝2，故B ′(－23，2)．由题意易知，当B ′，P ，Q 三点共线时，|PB |＋|PQ |最小， 故|PB |＋|PQ |的最小值为 |B ′C |－3＝－23－332＋2＋12－3＝221－3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P ⎝⎛⎭⎪⎫32，12， 故|PB |＋|PQ |的最小值为221－3，现在点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，12.。
2025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【含答案】
1.两圆 x2＋y2－2y＝0 与 x2＋y2－4＝0 的位置关系是（ ）
A.相交
B.内切
C.外切
D.内含
2.若直线 y＝x＋m 与圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝1 交于 A，B 两点，且｜AB｜＝2，则 m＝（ ）
A.－1
B.－2
－
解得 m＝4，所以椭圆的长轴长为 4，当 0＜m＜2 时，椭圆焦点在 y 轴上， ＝ ＝ ，得 m＝1，
所以椭圆的长轴长为 2 .
8. ＋ ＝1（答案不唯一） 解析：不妨设椭圆的焦点在 x 轴上，椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b ＞0），因为长轴长等于离心率 8 倍，故 2a＝8 ，即 a2＝4c，不妨令 c＝1，则 a2＝4，b2＝3，所以满 足条件的一个椭圆方程为 ＋ ＝1.
＝ － ＝2.所以椭圆的方程是 ＋ ＝1.
5.ABC ∵k＜9，∴25－k＞9－k＞0，又 25＞9＞0，∴两曲线都是焦点在 x 轴上的椭圆，故 A 正确；
曲线 C1 的焦距为 2× － ＝8，曲线 C2 的焦距为 2 （ － ) − ( － ）＝8，故 B、C 正确；曲
线 C1 的离心率 e1＝ ，曲线 C2 的离心率 e2＝
.
15.已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0，3），直线 l：y＝2x－4，设圆 C 的半径为 1，圆心在直 线 l 上.
（1）若圆心 C 也在直线 y＝x－1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；
（2）若圆 C 上存在点 M，使｜MA｜＝2｜MO｜，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.
A.两圆的圆心距｜O1O2｜＝2
B.直线 AB 的方程为 x－y＋1＝0
2021年高考数学一轮复习 8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业 文
2021年高考数学一轮复习 8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业 文一、选择题1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定，与m 的取值有关解析：圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m2＋1＝|m|m2＋1＜1＝r ，故选A. 答案：A2．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x2－6x ＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2C.7 D ．3解析：切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7. 答案：C3．(xx 年三明一模)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C ．[－3， 3 ] D.⎣⎡⎭⎫－23，0 解析：设弦心距为d ，则由题意知d ＝22－⎝⎛⎭⎫MN 22≤1，即|2k －3＋3|k2＋1≤1，解得－33≤k≤33. 答案：B4．(xx 年高考天津卷)已知过点P(2,2)的直线与圆(x －1)2＋y2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay ＋c ＝0，由切线x ＋ay ＋c ＝0过点P(2,2)，∴c ＝－2－2a ，∴|1－2－2a|1＋a2＝5，解得a＝2. 答案：C 5．(xx 年合肥二模)已知圆C1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为( )A.62B.32C.94D ．2 3 解析：由两圆外切可得圆心(a ，－2)，(－b ，－2)之间的距离等于两圆半径之和，即(a ＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab ，所以ab≤94，当且仅当a ＝b 时取等号，即ab 的最大值是94. 答案：C二、填空题6．(xx 年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35，所以直线x ＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555. 答案：25557．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay －6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay －6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y ＝1a，又a>0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a ＝ 22－32＝1⇒a ＝1. 答案：18．(xx 年高考重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a)2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：易知△ABC 是边长为2的等边三角形，故圆心C(1，a)到直线AB 的距离为3，即|a ＋a －2|a2＋1＝3，解得a ＝4±15.经检验均符合题意，则a ＝4±15. 答案：4±15三、解答题9．已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x2＋y2－6x ＋12y ＋20＝0.(1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长．解析：(1)证明：直线的方程可化为y ＋3＝2m(x －4)，由点斜式可知，直线过点P(4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交．(2)圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C(3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又kPC ＝－3－－64－3＝3，所以直线l 的斜率为－13， 则2m ＝－13，所以m ＝－16. 在Rt △APC 中，|PC|＝10，|AC|＝r ＝5， 所以|AB|＝2|AC|2－|PC|2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215. 10．已知圆M ：x2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q(1,0)，求切线QA ，QB 的方程；(2)求四边形QAMB 面积的最小值；(3)若|AB|＝423，求直线MQ 的方程． 解析：(1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m2＋1＝1，∴m ＝－43或0， ∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1. (2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA|·|QA|＝|QA|＝|MQ|2－|MA|2＝|MQ|2－1≥|MO|2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3. (3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ，∴|MP|＝ 1－⎝⎛⎭⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB|2＝|MP||MQ|，即1＝13|MQ|， ∴|MQ|＝3，∴x2＋(y －2)2＝9.设Q(x,0)，则x2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q(±5，0)，∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.B 组 高考题型专练 1．若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A.12，－4 B ．－12，4C.12，4 D ．－12，－4 解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，所以直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝12，2×2＋0＋b ＝0，解得k ＝12，b ＝－4. 答案：A2．(xx 年高考山东卷)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0 解析：如图，圆心坐标为C(1,0)，易知A(1,1)，又kAB·kPC ＝－1，且kPC ＝1－03－1＝12，∴kAB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.答案：A3．(xx 年泉州质检)若直线3x －4y ＝0与圆x2＋y2－4x ＋2y －7＝0相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．2B ．4C ．2 2D ．4 2解析：圆x2＋y2－4x ＋2y －7＝0的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝12，则圆心为(2，－1)，半径r ＝23，又圆心到直线3x －4y ＝0的距离d ＝|6＋4|5＝2，所以弦AB 的长为2r2－d2＝212－4＝4 2.答案：D4．两个圆C1：x2＋y2＋2ax ＋a2－4＝0(a ∈R)与 C2：x2＋y2－2by －1＋b2＝0(b ∈R)恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( )A ．－6B ．－3C ．－3 2D ．3解析：圆C1：(x ＋a)2＋y2＝4，C2：x2＋(y －b)2＝1，∴圆C1的圆心C1(－a,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心C2(0，b)，半径r2＝1.已知两圆恰有三条公切线，则两圆相外切，圆心距等于两圆半径之和，∴a2＋b2＝3，则|a ＋b|＝a ＋b 2≤ 2a2＋b2＝32，∴－32≤a ＋b≤32，故a ＋b 的最小值为－3 2.答案：C 5．(xx 年高考安徽卷)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x2＋y2－2x －4y ＝0截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．4 6解析：圆的方程可化为C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径R ＝ 5.如图所示，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝|CP|＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝R2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.答案：C6．(xx年高考浙江卷)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故圆心为(3,4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r2－d2＝2×25－5＝220＝4 5.答案：4 57．(xx年高考新课标全国卷Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．解析：由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1,0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]8．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2.请将n表示为m的函数．解析：(1)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0，(*)由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12>0得k2>3.所以k的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则|OM|2＝(1＋k2)x21，|ON|2＝(1＋k2)x22，又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2，由2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2得21＋k2m2＝11＋k2x21＋11＋k2x22，所以2m2＝1x21＋1x22＝x1＋x22－2x1x2x21x22.由(*)知x1＋x2＝8k1＋k2，x1x2＝121＋k2，所以m2＝365k2－3.因为点Q在直线l上，所以k＝n m，代入m2＝365k2－3，可得5n2－3m2＝36，由m2＝365k2－3及k2>3得0<m2<3，即m∈(－3，0)∪(0，3)．依题意，点Q在圆C内，则n>0，所以n＝36＋3m25＝15m2＋1805，于是，n与m的函数关系为n＝15m2＋1805(m∈(－3，0)∪(0，3))．o37763 9383 鎃+39911 9BE7 鯧n27771 6C7B 汻34469 86A5 蚥37594 92DA 鋚/Njfw384879657 陗31959 7CD7 糗。
2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第8章8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
§8.4直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r )相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ＝0Δ>0几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系(⊙O 1，⊙O 2的半径分别为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)图形量的关系外离d >r 1＋r 2外切d ＝r 1＋r 2相交|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2内切d ＝|r 1－r 2|内含d <|r 1－r 2|3.直线被圆截得的弦长(1)几何法：弦心距d 、半径r 和弦长|AB |的一半构成直角三角形，弦长|AB |＝2r 2－d 2.(2)代数法：设直线y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交于点M ，N ，代入，消去y ，得关于x 的一元二次方程，则|MN |＝1＋k 2· x M ＋x N 2－4x M x N .常用结论1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程①过直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )；②过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C 2，所以注意检验C 2是否满足题意，以防丢解)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(×)(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．(√)(4)在圆中最长的弦是直径．(√)教材改编题1．直线3x ＋4y ＝5与圆x 2＋y 2＝16的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交答案A解析圆心到直线的距离为d ＝532＋42＝1<4，所以直线与圆相交．2．直线m ：x ＋y －1＝0被圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为()A ．4B ．23 C.12D.13答案B解析∵x 2＋y 2－2x －4y ＝0，∴(x －1)2＋(y －2)2＝5，∴圆M 的圆心坐标为(1,2)，半径为5，又点(1,2)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|1＋2－1|12＋12＝2，∴直线m被圆M截得的弦长等于2 5 2－ 2 2＝2 3.3．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为()A．±3B．±5C．3或5D．±3或±5答案D解析圆C1与圆C2的圆心距为d＝ a－0 2＋ 0－0 2＝|a|.当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5；当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.题型一直线与圆的位置关系命题点1位置关系的判断例1(1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切答案ABD解析圆心C(0,0)到直线l的距离d＝r2a2＋b2，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝r2a2＋b2>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝r2a2＋b2<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为()A．相交、相切或相离B．相交或相切C．相交D．相切答案C解析方法一直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2)．因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．方法二圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为|k＋2－k|1＋k2＝21＋k2≤2<3，所以直线与圆相交．思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系判断．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．命题点2弦长问题例2(1)(2022·北京模拟)已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么实数k 的值为()A．±33B.33C.3D．±3答案D解析圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径r＝2，点(0,0)到直线y＝k(x－2)的距离d＝|2k|12＋k2，则弦长为2r2－d2＝2，得24－4k21＋k2＝2，解得k＝± 3.(2)(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝23时，直线l的方程为________．答案x＝0或3x＋4y－4＝0解析因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，因为|AB |＝23，所以圆心到直线的距离为d ＝22－ 3 2＝1，当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时圆心(－1,3)到直线x ＝0的距离为1，满足条件；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则圆心(－1,3)到直线l 的距离d ＝|－k －3＋1|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，此时直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0，综上，所求直线的方程为3x ＋4y －4＝0或x ＝0.思维升华弦长的两种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．(2)几何法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.命题点3切线问题例3已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．解由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2.(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴过点P 的切线的斜率为－1k PC＝1，∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M 在圆C 外．当过点M 的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，∴直线x ＝3是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，由圆心C 到切线的距离d ′＝|k －2＋1－3k |k 2＋1r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.∵|MC |＝ 3－1 2＋ 1－2 2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.思维升华当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .(2)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .注意验证斜率不存在的情况．命题点4直线与圆位置关系中的最值(范围)问题例4(2023·龙岩模拟)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：x ＋y ＝4上的一点，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝2的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 的面积的最小值为________．答案23解析由圆O ：x 2＋y 2＝2，得r ＝2，四边形PAOB 的面积S ＝2S △PAO ＝|PA |·|AO |＝2|PA |，∵点P (x 0，y 0)是直线l ：x ＋y ＝4上的一点，∴P (x 0，4－x 0)，则|PA |＝|PO |2－|OA |2＝|PO |2－2，又|PO |2＝x 20＋(4－x 0)2＝2x 20－8x 0＋16＝2(x 0－2)2＋8≥8，∴|PO |2－2≥6，则|PA |≥6，∴四边形PAOB 的面积的最小值为2×6＝2 3.思维升华涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．跟踪训练1(1)(2022·宣城模拟)在平面直角坐标系中，直线3x cos α＋2y sin α＝1(α∈R )与圆O ：x 2＋y 2＝12的位置关系为()A ．相切B ．相交C ．相离D ．相交或相切答案D解析因为圆心到直线的距离d ＝13cos 2α＋2sin 2α＝12＋cos 2α≤22，当且仅当α＝k π＋π2(k ∈Z )时，取得等号，又圆x 2＋y 2＝12的半径为22，所以直线与圆相交或相切．(2)(2023·昆明模拟)直线2x ·sin θ＋y ＝0被圆x 2＋y 2－25y ＋2＝0截得的弦长的最大值为()A ．25B ．23C ．3D ．22答案D解析易知圆的标准方程为x 2＋(y －5)2＝3，所以圆心为(0，5)，半径r ＝3，由题意知圆心到直线2x ·sin θ＋y ＝0的距离d ＝|5|4sin 2θ＋1<3，解得sin 2θ>16，所以弦长为2r 2－d 2＝23－54sin 2θ＋1，因为53<4sin 2θ＋1≤5，所以1≤54sin 2θ＋1<3，所以2r 2－d 2＝23－54sin 2θ＋1∈(0,22]．所以当4sin 2θ＋1＝5，即sin 2θ＝1时，弦长有最大值22.题型二圆与圆的位置关系例5(1)(2023·扬州联考)已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋22)2＝16和两点A (0，－m )，B (0，m )，若圆C 上存在点P ，使得AP ⊥BP ，则m 的最大值为()A ．5B ．6C ．7D ．8答案C解析因为两点A (0，－m )，B (0，m )，点P 满足AP ⊥BP ，故点P 的轨迹C 1是以A ，B 为直径的圆(不包含A ，B )，故其轨迹方程为x 2＋y 2＝m 2(x ≠0)，又圆C ：(x －1)2＋(y ＋22)2＝16上存在点P ，故两圆有交点，又|CC1|＝12＋ 22 2＝3，则|4－|m||≤3≤4＋|m|，解得|m|∈[1,7]，则m的最大值为7.(2)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________．答案x－2y＋4＝025解析2＋y2－2x＋10y－24＝0，2＋y2＋2x＋2y－8＝0，两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，则圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径r＝52，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝|1－2× －5 ＋4|1＋ －2 2＝3 5.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(35)2＋l2，解得l＝5，故公共弦长为2 5.思维升华(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．跟踪训练2(1)(2023·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为()A．内含B．相交C．外切D．外离答案B解析圆M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径R＝2.圆N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圆心N(1,0)，半径r＝2，则|MN|＝22＋12＝5，故有|R－r|<|MN|<R＋r.故两圆是相交关系．(2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________．答案x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)解析如图，因为圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0,0)，半径r 1＝1，圆(x －3)2＋(y －4)2＝16的圆心为A (3,4)，半径r 2＝4，所以|OA |＝5，r 1＋r 2＝5，所以|OA |＝r 1＋r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l 1的方程为x ＝－1.②另一条公切线l 2与公切线l 1关于过两圆圆心的直线l 对称．易知过两圆圆心的直线l 的方程为y ＝43x ，＝－1，＝43x＝－1，＝－43，由对称性可知公切线l 21设公切线l 2的方程为y ＋43＝k (x ＋1)，则点O (0,0)到l 2的距离为1，所以1＝|k －43|k 2＋1，解得k ＝724，所以公切线l 2的方程为y ＋43＝724(x ＋1)，即7x －24y －25＝0.③还有一条公切线l 3与直线l ：y ＝43x 垂直，设公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋t ，易知t >0，则点O (0,0)到l 3的距离为1，所以1解得t ＝54或t ＝－54(舍去)，所以公切线l3的方程为y＝－34x＋54，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.课时精练1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4与直线3x＋4y＋5＝0的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．不确定答案B解析由题意知，圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1,2)，半径r＝2，则圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝|－3＋8＋5|32＋42＝2＝r，所以直线3x＋4y＋5＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的位置关系是相切．2．(2023·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是()A．外离B．相交C．外切D．内切答案B解析由题意知，圆O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圆心坐标O1(1,0)，半径r1＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为O2(0,2)，半径r2＝2，则两圆的圆心距|O1O2|＝1＋4＝5，则2－1<5<2＋1，即|r2－r1|<|O1O2|<r1＋r2，所以圆O1与圆O2相交．3．(2022·沈阳模拟)已知圆C的圆心在直线l1：x＋2y－7＝0上，且与直线l2：x＋2y－2＝0相切于点M(－2,2)，则圆C被直线l3：2x＋y－6＝0截得的弦长为()A．25 B.4215C.21055D.655答案D解析设圆心坐标为(a，b)，0，＝ a＋2 2＋ b－2 2，解得a ＝－1，b ＝4.则圆心坐标为(－1,4)，半径r ＝ －1＋2 2＋ 4－2 2＝5，则圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离d ＝|－2＋4－6|22＋12＝455，则弦长为2r 2－d 2＝2×5－165＝655.4．(多选)(2023·滁州模拟)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝25，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋a )2＝4，若圆C 1与圆C 2内切，则实数a 的值是()A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案BC解析由题可知圆心C 1(a ，－2)，半径r 1＝5，圆心C 2(－1，－a )，半径r 2＝2，因为圆C 1与圆C 2内切，所以|C 1C 2|＝ a ＋1 2＋ －2＋a 2＝|r 1－r 2|＝3，解得a ＝－1或a ＝2.5．(2022·深圳模拟)若圆C ：x 2＋y 2－6x －6y －m ＝0上有到(－1,0)的距离为1的点，则实数m 的取值范围为()A ．(－18,6]B ．[－2,6]C ．[－2,18]D ．[4,18]答案C解析将圆C 的方程化为标准方程得(x －3)2＋(y －3)2＝m ＋18，所以m >－18.因为圆C 上有到(－1,0)的距离为1的点，所以圆C 与圆C ′：(x ＋1)2＋y 2＝1有公共点，所以|m ＋18－1|≤|CC ′|≤m ＋18＋1.因为|CC ′|＝ 3＋1 2＋32＝5，所以|m ＋18－1|≤5≤m ＋18＋1，解得－2≤m ≤18.6．(多选)在平面直角坐标系中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的可能取值是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案AB解析由x 2＋y 2－4x ＝0，得(x －2)2＋y 2＝4，则圆心为C (2,0)，半径r ＝2，过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A ，B ，连接AC ，BC (图略)，所以四边形PACB 为正方形，即PC ＝2r ＝22，圆心到直线的距离d ＝|2k －0＋k |1＋k 2≤22，即－22≤k ≤22，结合选项知实数k 的可能取值是1,2.7．(2022·阳泉模拟)若直线(m ＋1)x ＋my －2m －1＝0与圆x 2＋y 2＝3交于M ，N 两点，则弦长|MN |的最小值为________．答案2解析直线MN的方程可化为m(x＋y－2)＋x－1＝0＋y－2＝0，－1＝0，＝1，＝1，所以直线MN过定点A(1,1)，因为12＋12<3，即点A在圆x2＋y2＝3内，圆x2＋y2＝3的圆心为原点O，半径为3，当OA⊥MN时，圆心O到直线MN的距离取得最大值，此时|MN|取最小值，故|MN|min＝23－|OA|2＝2.8．(2022·鸡西模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则△PAB外接圆的方程是________．答案(x－2)2＋(y－1)2＝5解析由圆x2＋y2＝4，得到圆心为O(0,0)，由题意知O，A，B，P四点共圆，△PAB的外接圆即四边形OAPB的外接圆，又点P(4,2)，从而OP的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，12|OP|＝5为所求圆的半径，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 9．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，则圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，5－1 2＋ 6－3 2＝11＋61－m.解得m＝25＋1011.(2)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.所以公共弦的长为2×27.10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.(1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与圆C相交；(2)若过点P (1,0)的直线m 与圆C 相交于A ，B 两点，求△ABC 面积的最大值，并求此时直线m 的方程．(1)证明转化l 的方程(m －2)x ＋(1－m )y ＋m ＋1＝0，可得m (x －y ＋1)－2x ＋y ＋1＝0，－y ＋1＝0，2x ＋y ＋1＝0，＝2，＝3，所以直线l 恒过点(2,3)，由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4，得点(2,3)在圆内，即直线l 恒过圆内一点，所以无论m 为何值，直线l 都与圆C 相交．(2)解由C 的圆心为(3,4)，半径r ＝2，易知此时直线m 的斜率存在且不为0，故设直线m 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，直线m 的一般方程为my －x ＋1＝0，圆心到直线m 的距离d ＝|4m －3＋1|m 2＋ －12＝|4m －2|m 2＋1，所以|AB |＝2r2－d 2＝24－ 4m －2 2m 2＋1，所以S 2|·＝4－4m －2 2m 2＋1· 4m －2 2m 2＋1，令t ＝ 4m －2 2m 2＋1，可得S 2＝4t －t 2，当t ＝2时，S 2max ＝4，所以△ABC 面积的最大值为2，此时由2＝4m －2 2m 2＋1，得7m 2－8m ＋1＝0，得m ＝1或m ＝17，符合题意，此时直线m 的方程为x －y －1＝0或7x －y －7＝0.11．若一条光线从点A (－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案D解析点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的直线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，得|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.12．(2022·合肥模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2－x ＋3y －3＝0相交于A ，B 两点，则sin ∠AOB ＝________.答案158解析因为圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2－x ＋3y －3＝0相交于A ，B 两点，所以直线AB 的方程为(x 2＋y 2－4)－(x 2＋y 2－x ＋3y －3)＝0，即x －3y －1＝0，所以圆心O (0,0)到弦AB 的距离为d ＝12，所以|AB |＝222－d 2＝15，所以在△AOB 中，|OA |＝|OB |＝2，由余弦定理得cos ∠AOB ＝4＋4－152×2×2＝－78，所以sin ∠AOB ＝1－cos 2∠AOB ＝1－4964＝158.13．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知点P 在圆(x －5)2＋(y －5)2＝16上，点A (4,0)，B (0,2)，则()A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当∠PBA 最小时，|PB |＝32D．当∠PBA最大时，|PB|＝32答案ACD解析设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝|5＋2×5－4|5＝115>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，因为4＋115<5＋1255＝10，故A正确．易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，115－4<1255－4＝1，故B不正确．过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA 最小时，点P与N重合，|PB|＝|MB|2－|MN|2＝52＋ 5－2 2－42＝32，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝32，故C，D都正确．14．(2023·衡水中学模拟)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2的半径的最大值为()A．1B．2C．3D．4答案B解析圆C1：x2＋y2＝9的圆心为原点O(0,0)，半径r1＝3，依题意，得圆C2的圆心C2在圆C1内，设半径为r2，如图，因为圆C2与圆C1内切，则|OC2|＝r1－r2，即r2＝r1－|OC2|，而点C2在线段AB上，过O作OP⊥AB于P，则|OP|＝|－5|32＋42＝1，显然|OC2|≥|OP|，当且仅当点C2与点P重合时取“＝”，所以(r2)max＝r1－|OP|＝3－1＝2，即圆C2的半径的最大值是2.。
2021年高考数学大一轮复习 8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业 理
2021年高考数学大一轮复习 8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业理一、选择题1．圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的内公切线有且仅有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.答案：B2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →的值是( )A ．－12B.12 C ．－34D.34解析：在△OAB 中，由|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝1×1×cos120°＝－12.答案：A3．(xx·安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．(0，π6]B ．(0，π3]C ．[0，π6]D ．[0，π3]解析：设斜率为k ，则直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0，由题可得|3k －1|k 2＋1≤1，解得0≤k ≤ 3.设倾斜角为α，则0≤tan α≤3，得0≤α≤π3.答案：D4．若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A ，B 两点，则CA →·CB →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由题意可知，圆心C (3,3)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|3－3＋2|12＋12＝ 2.又因为sin ∠BAC ＝d r ＝22，所以∠BAC ＝45°，又因为CA ＝CB ，所以∠BCA ＝90°.故CA →·CB →＝0.答案：B5．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a ，b 满足的关系是( )A ．a 2＋2a ＋2b －3＝0 B ．a 2＋b 2＋2a ＋2b ＋5＝0 C ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0D ．a 2－2a －2b ＋5＝0解析：两圆的公共弦必过(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a ＋1)x －2(b ＋1)y ＋a 2＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.答案：C6．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时|OA →＋OB→|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k <22，综上，k 的取值范围为[2，22)，故选C.答案：C 二、填空题7．(xx·重庆卷)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，则圆心C (－1,2)，半径r ＝3.由题可得AB ＝32，则圆心到直线的距离d ＝322，所以|－1－2＋a |12＋－12＝322，解得a ＝0或6. 答案：0或68．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________. 解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4相减得2ay ＝2，则y ＝1a.由已知条件22－32＝1a，即a ＝1.答案：19．两圆相交于两点(1,3)和(m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，且m ，c 均为实数，则m ＋c ＝________.解析：根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m ，－1)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在直线x －y＋c ＝0上，并且过两点的直线与x －y ＋c ＝0垂直，故有⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2－1＋c ＝0，3－－11－m ×1＝－1，∴m ＝5，c ＝－2，∴m ＋c ＝3. 答案：3 三、解答题10．已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程． 解：(1)如图所示 ，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝16， ∴圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ， ∴|AD |＝23，|AC |＝4.C 点坐标为(－2,6)．在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋－12＝2，得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. ∴所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )， 即CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0， ∴(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：2x －y －4＝0，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线2x －3y ＝0上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程． (2)若圆C 与圆D ：x 2＋y 2＋2y －3＝0有公共点，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4＝0，2x －3y ＝0得圆心C (3,2)，又因为圆的半径为1，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1， 设过点A 的切线方程为y ＝kx ＋3，圆心到直线的距离为|3k ＋3－2|1＋k 2＝1， 解得k ＝0或k ＝－34.故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线2x －y －4＝0上， 设圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1， 圆D ：x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4， 因为圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤|CD |≤2＋1，即1≤a 2＋2a －32≤3，所以5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.1．动圆C 经过点F (1,0)，并且与直线x ＝－1相切，若动圆C 与直线y ＝x ＋22＋1总有公共点，则圆C 的面积( )A ．有最大值8π B．有最小值2π C ．有最小值3π D．有最小值4π解析：设圆心为C (a ，b )，半径为r ，r ＝|CF |＝|a ＋1|，即(a －1)2＋b 2＝(a ＋1)2，即a ＝14b 2，∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 2，b ，r ＝14b 2＋1，圆心到直线y ＝x ＋22＋1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 24－b ＋22＋12≤b24＋1，∴b ≤－2(22＋3)或b ≥2，当b ＝2时，r min ＝14×4＋1＝2，∴S min＝πr 2＝4π.答案：D2．(xx·江西卷)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π5B.3π4 C ．(6－25)πD.5π4解析：∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π.答案：A3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (3,0)在圆C ：x 2＋y 2－2mx －4y ＋m 2－28＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意得圆心C (m,2)，半径r ＝4 2.因为点P (3,0)在圆C ：x 2＋y 2－2mx －4y ＋m 2－28＝0内，所以32＋0－6m －0＋m 2－28<0，解得3－27<m <3＋27.设C 到直线的距离为d ，则d ≤|CP |.又S △ABC ＝12d ·|AB |＝12d ·2r 2－d 2≤d 2＋r 2－d 22＝r 22＝16，当且仅当d 2＝r 2－d 2，即d 2＝16，d ＝4时取等号，因此|CP |≥4，m －32＋4≥4，即m ≥3＋23或m ≤3－2 3.综上，实数m 的取值范围为[3＋23，3＋27)∪(3－27，3－23]． 答案：[3＋23，3＋27)∪(3－27，3－23]4．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13.(1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M (0,3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝R 2(a >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋42＝Ra 2＋3＝R，解得a ＝1或a ＝138，又∵S ＝πR 2<13，∴a ＝1， ∴圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l 为：x ＝0，不满足题意． 当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又∵l 与圆C 相交于不同的两点，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3x －12＋y 2＝4，消去y 得：(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0，∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20>0， 解得k <1－263或k >1＋263. x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k2， OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)， 假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2， ∴3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k2， 解得k ＝34∉(－∞，1－263)∪(1＋263，＋∞)，假设不成立，∴不存在这样的直线l . -2584564F5 擵j25483 638B 掋31734 7BF6 篶x23697 5C91 岑'22273 5701 圁 21911 5597 喗@。
2021版新高考数学一轮集训48 直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系建议用时：45分钟一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能C [直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内部，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交．]2．过点P (0，1)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则该直线的斜率为( )A ．±1B ．± 2C ．±3D ．±2 A [由题意设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1，1)，半径为r ＝1，又弦长|AB |＝2，所以圆心到直线的距离为d ＝r 2－（|AB |2）2＝1－12＝22，所以有|k |k 2＋1＝22，解得k ＝±1.故选A.] 3．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0B [∵过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上．∵圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.]4．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条D[根据题意，圆x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2，0)，半径为2.圆x2＋y2＋4x＋3＝0，即圆(x＋2)2＋y2＝1，其圆心坐标为(－2，0)半径为1.则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D.]5．(2019·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()A．y＝－34B．y＝－12C．y＝－32D．y＝－14B[圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC|＝（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－1 2.]二、填空题6．[一题两空](2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆相切与点A(－2，－1)，则m＝__________，r＝__________．－25[如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得m＋12＝－12，解得m＝－2.∴圆心为(0，－2)，则半径r＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.]7．(2019·唐山模拟)已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．26[直线kx－y－k＋2＝0可化为y－2＝k(x－1)，故直线l过定点E(1，2)，又E(1，2)在圆x2＋y2－2y－7＝0内，所以，当E是AB中点时，|AB|最小，由x2＋y2－2y－7＝0得x2＋(y－1)2＝8，即圆心C(0，1)，半径22，所以|AB|＝28－|EC|2＝28－2＝2 6.]8．(2019·昆明模拟)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为________．±3[根据题意，圆C：x2＋y2－6y＋6＝0即x2＋(y－3)2＝3，其圆心为(0，3)，半径r＝3，直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线y＝ax的距离d＝32，则有|－3|1＋a2＝32，解得a＝±3.]三、解答题9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x 上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．[解](1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，则（a－2）2＋（－2a＋1）2＝|a－2a－1|2.化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.所以C点坐标为(1，－2)，半径r＝|AC|＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2.故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得|k＋2|1＋k2＝1，解得k＝－34，则直线l的方程为y＝－3 4x.综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.10．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2，1).(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程．[解](1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.又|O1O2|＝（2－0）2＋（1＋1）2＝22，所以r2＝|O1O2|－r1＝22－2.所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8 2.(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r22，又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r22－8＝0.设线段AB的中点为H，因为r1＝2，所以|O1H|＝r21－|AH|2＝ 2.又|O1H|＝|4×0＋4×（－1）＋r22－8|42＋42＝|r22－12|42，所以|r22－12|42＝2，解得r22＝4或r22＝20.所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.1．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A．(2＋1，＋∞) B．(2－1，2＋1)C．(0，2－1) D．(0，2＋1)A[计算得圆心到直线l的距离为22＝2＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1.]2．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35 B ．－32或－23 C ．－54或－45D ．－43或－34D [圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r ＝1.作出点(－2，－3)关于y 轴的对称点(2，－3).由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点(2，－3).设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切可得|k ×（－3）－2－2k －3|1＋k 2＝1，即|5k ＋5|＝1＋k 2，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，即(3k ＋4)(4k ＋3)＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.]3．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．4 [由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos α＝23×23＝4.] 4．(2019·大同模拟)已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1，3)两点，且圆心C 在直线x ＋y －1＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B 且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．[解] (1)∵P (4，－2)，Q (－1，3)，∴线段PQ 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，斜率k PQ ＝－1，则PQ 的垂直平分线方程为y －12＝1×(x －32)， 即x －y －1＝0.解方程组⎩⎨⎧x －y －1＝0，x ＋y －1＝0， 得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0，∴圆心C (1，0)，半径r ＝（4－1）2＋（－2－0）2＝13. 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)由l ∥PQ ，设l 的方程为y ＝－x ＋m .代入圆C 的方程，得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 22－6.故y 1y 2＝(m －x 1)(m －x 2)＝m 2＋x 1x 2－m (x 1＋x 2)， 依题意知OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0. ∴(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，于是m 2＋2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＝0，即m 2－m －12＝0. ∴m ＝4或m ＝－3，经检验，满足Δ>0. 故直线l 的方程为y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.1．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125B ．[0，1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，125 A [因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1，设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.由a 2＋（2a －3）2≥1得5a 2－12a ＋8≥0， 解得a ∈R ；由a 2＋（2a －3）2≤3得5a 2－12a ≤0， 解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.故选A.]2．已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是________．[2，22) [由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |2＜2，又k ＞0，故0＜k ＜2 2. ①如图，作平行四边形OACB ，连接OC 交AB 于M ， 由|OA →＋OB →|≥33|AB →|得|OM →|≥33|BM →|，即∠MBO ≥π6，因为|OB |＝2，所以|OM |≥1，故|k |2≥1，k ≥ 2. ②综合①②得，2≤k ＜2 2.]快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
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2021年高三数学一轮复习 8.4直线与圆、圆与圆的位置关系精品试题一、选择题(每小题5分,共40分)1.两圆x2+y2=m与x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的取值范围是( )A.m<1B.1≤m≤121C.m>121D.1<m<121【解析】选B.若两圆有公共点,则两圆的位置关系为相切或相交,将m=1代入验证符合题意,故选B.2.(xx·杭州模拟)圆x2+y2-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0所得弦长为8,则c的值为( )A.10B.-68C.12D.10或-68【解析】选D.因为圆x2+y2-2x+4y-20=0的圆心坐标为(1,-2),半径r=5,且与直线相交截得弦长为8,所以圆心到直线的距离d=3=,解上式得c=10或-68.3.(xx·广东高考)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )A.x+y-=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+=0【解析】选A.由题意知直线方程可设为x+y-c=0(c>0),则圆心到直线的距离等于半径1,即=1,c=,所求方程为x+y-=0.4.直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则k的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选B.如图,若|MN|=2,则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d2=22-()2=1.因为直线方程为y=kx+3,所以d==1,解得k=±.若|MN|≥2,则-≤k≤.5.圆+(y+1)2=与圆(x-sinθ)2+(y-1)2=(θ为锐角)的位置关系是( )A.外离B.外切C.内切D.相交【解析】选D.两圆圆心之间的距离d==,因为θ为锐角,所以0<sinθ<1,<sinθ+<,<+4<,所以<d<,又两圆的半径之和为,两圆的半径之差的绝对值为2,所以两圆相交.6.(xx·陕西高考)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( )A.相切B.相交C.相离D.不确定【思路点拨】利用点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系中的半径与距离,列出关系式,解之即可判断直线ax+by=1与圆O的位置关系.【解析】选B.点M(a,b)在圆x2+y2=1外⇒a2+b2>1.圆心O(0,0)到直线ax+by=1的距离d=<1=圆的半径,故直线与圆相交.7.(能力挑战题)从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )A.πB.2πC.4πD.6π【解析】选B.如图,圆x2+y2-12y+27=0可化为x2+(y-6)2=9,圆心坐标为(0,6),半径为3.在Rt△OBC中可得:∠OCB=,所以∠ACB=,所以所求劣弧长为2π.8.已知圆x2+y2+x-6y+3=0上的两点P,Q关于直线kx-y+4=0对称,且OP⊥OQ(O为坐标原点),则直线PQ的方程为( )A.y=-x+B.y=-x+或y=-x+C.y=-x+D.y=-x+或y=-x+【解析】选B.由P,Q关于直线kx-y+4=0对称知直线kx-y+4=0过已知圆的圆心,则k=2,直线PQ的斜率k PQ=-. 设直线PQ的方程为y=-x+b,P(x1,y1),Q(x2,y2),则P,Q两点的坐标是方程组的解,消去y得x2+(4-b)x+b2-6b+3=0,故x1+x2=-, ①x1x2=, ②由OP⊥OQ⇒x1x2+y1y2=0⇒x1x2+·=0,x1x2-(x1+x2)+b2=0,将①,②代入得b=或b=.所以直线PQ的方程为y=-x+或y=-x+.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(xx·镇海模拟)若圆C:x2-2mx+y2-2y+2=0与x轴有公共点,则m的取值范围是.【解析】依题设知:圆C:与x轴相交或相切,所以圆心(m,)到直线y=0的距离小于或等于半径.即≤,由题意知m≥0,解得:m≥.答案:m≥【加固训练】当直线l:y=k(x-1)+2被圆C:(x-2)2+(y-1)2=5截得的弦长最短时,k的值为.【解析】直线过定点(1,2),且该点在圆内,则当直线与定点和圆心的连线垂直时得到的弦长最短,定点与圆心连线的斜率为=-1,所以所求斜率k=1.答案:110.设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为.【解析】直线mx+ny-1=0与两坐标轴的交点坐标分别为,,又因为直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为2,结合垂径定理得,+12=22,即=3.所以S△AOB=××≥=3.答案:311.(xx·大庆模拟)点P(x,y)满足:x2+y2-4x-2y+4≤0,则点P到直线x+y-1=0的最短距离是. 【解析】因为x2+y2-4x-2y+4≤0表示以(2,1)为圆心,1为半径的圆及其圆的内部,又圆心(2,1)到直线x+y-1=0的距离d==>1,所以点P到直线x+y-1=0的最短距离为-1.答案:-112.(能力挑战题)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c =0的距离为1,则实数c的取值范围是.【解析】由题意可知,圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,该圆的半径为2,即圆心O(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离d<1,即0≤<1,所以-13<c<13.答案:(-13,13)【加固训练】直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A,B,O是坐标原点,|+|≥||,那么实数m的取值范围是.【解析】将直线方程代入圆的方程得2x2+2mx+m2-2=0,Δ=4m2-8(m2-2)>0得m2<4,即-2<m<2.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-m,x1x2=,|+|≥||,即|+|≥|-|,平方得·≥0,即x1x2+y1y2≥0,即x1x2+(m+x1)(m+x2)≥0,即2x1x2+m(x1+x2)+m2≥0,即2×+m(-m)+m2≥0,即m2≥2,即m≥或m≤-.综合知-2<m≤-或≤m<2.答案:-2<m≤-或≤m<2【一题多解】本题还可以按如下方法解决.根据向量加减法的几何意义得,|+|≥||等价于向量,的夹角为锐角或者直角,由于点A,B是直线x+y+m=0与圆x2+y2=2的交点,故只要圆心到直线的距离大于或者等于1即可(保证相交),也即m满足1≤<,即-2<m≤-或≤m<2.三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,圆O2的圆心坐标为(2,1).若两圆相交于A,B两点,且|AB|=4,求圆O2的方程.【解析】设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0).因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,所以直线AB的方程为4x+4y+r2-10=0.圆心O1到直线AB的距离d=,由d2+22=6,得=2,所以r2-14=±8,r2=6或22.故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22.【方法技巧】求解相交弦问题的技巧把两个圆的方程进行相减得:x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 ①(1)当两圆C1,C2相交时,方程①表示两圆公共弦所在直线的方程.(2)当两圆C1,C2相切时,方程①表示过圆C1,C2切点的公切线的方程.14.已知直线l:y=x+m,m∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且点P在y轴上,求该圆的方程.(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′,问直线l′与抛物线C:x2=4y是否相切?说明理由.【解析】(1)依题意,点P的坐标为(0,m).因为MP⊥l,所以×1=-1,解得m=2,即点P的坐标为(0,2).从而圆的半径r=|MP|==2,故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.(2)因为直线l的方程为y=x+m,所以直线l′的方程为y=-x-m.由得x2+4x+4m=0.Δ=42-4×4m=16(1-m).①当m=1,即Δ=0时,直线l′与抛物线C相切;②当m≠1,即Δ≠0时,直线l′与抛物线C不相切.综上,当m=1时,直线l′与抛物线C相切;当m≠1时,直线l′与抛物线C不相切.【一题多解】本题(1)还可以按如下方法解决:设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2.依题意,所求圆与直线l:x-y+m=0相切于点P(0,m),则解得所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.15.(xx·新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程.(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.【思路点拨】(1)设出点P的坐标与圆P的半径,利用弦长、弦心距、半径之间的关系求得点P的轨迹方程.(2)利用已知条件求得点P的坐标,从而求出半径,写出圆的方程.【解析】(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0).由已知得=.又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得由得此时,圆P的半径r=.由得此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3. 40096 9CA0 鲠36077 8CED 賭 38225 9551 镑`20534 5036 倶27232 6A60 橠30357 7695 皕25892 6524 攤39203 9923 餣 20981 51F5 凵31250 7A12 稒。