2016高考数学大一轮复习 9.2两条直线的位置关系试题理苏教版

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两条直线的位置关系9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测(原卷版)

高考数学一轮复习第九章解析几何第二节两条直线的位置关系教案理(含解析)苏教版-苏教版高三全

第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2[小题体验]1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则实数m 的值为________．解析：由k AB ＝4－mm ＋2＝－2，得m ＝－8.答案：－82．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________. 解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，所以|a ＋1|＝2，又a ＞0，所以a ＝2－1. 答案：2－13．若直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为________．解析：直线ax ＋2y －1＝0的斜率k 1＝－a 2，直线2x －3y －1＝0的斜率k 2＝23，因为两直线垂直，所以－a 2×23＝－1，即a ＝3.答案：31．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：①若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t ，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，因为l 1⊥l 2，所以k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，所以t ＝－1.综上可知t ＝－1或t ＝1. 答案：－1或12．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．解析：因为63＝m 4≠14－3，所以m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 答案：2考点一两条直线的位置关系 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·沭阳月考)若直线y ＝mx ＋1与直线y ＝4x －8垂直，则m ＝________. 解析：由直线y ＝mx ＋1与直线y ＝4x －8垂直，得m ×4＝－1，解得m ＝－14.答案：－142．(2018·某某模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________．解析：依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝03．(2019·启东调研)已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2. 解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)＋b ＝0.① 又l 1过点(1,1)，所以a ＋b ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去．所以a ＝2，b ＝－2.(2)因为l 1∥l 2，所以a －b (a －1)＝0，③由题意，知a ＞0，b ＞0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4a，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，4b .则12×4a ×4b＝2，得ab ＝4，④ 由③④，得a ＝2，b ＝2.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 l 1与l 2平行的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交的充分条件 A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) [提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．考点二距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使PA ＝PB ，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．因为A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. 因为点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，所以a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，所以|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.所以所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87.[由题悟法]距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．[即时应用]1．(2019·阜宁中学检测)在坐标轴上，与点A (1,5)，B (2,4)等距离的点的坐标是________．解析：线段AB 的垂直平分线方程为y －92＝－1－25－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，令x ＝0，可得y ＝3；令y＝0，可得x ＝－3，∴在坐标轴上，与点A (1,5)，B (2,4)等距离的点的坐标是(0,3)或(－3,0)．答案：(0,3)或(－3,0)2．(2018·某某中学测试)已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则PM 的最小值为________．解析：PM 的最小值即为点P (3，－1)到直线x ＋3y ＝2的距离，又d ＝|3－3－2|1＋3＝1，故PM 的最小值为1.答案：13．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为______________________．解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)．又因为l 1与l 2的距离是2，所以|b ＋1|12＋12＝2，解得b ＝1或b ＝－3，即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0考点三对称问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．(2019·丹阳高级中学检测)点A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为________．解析：设A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为(x 0，y 0)，由中点坐标公式，得2＋x 02＝0，3＋y 02＝5，则x 0＝－2，y 0＝7.∴点A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为(－2,7)．答案：(－2,7)角度二：点关于线对称2．(2018·某某模拟)已知△ABC 的两个顶点A (－1，5)和B (0，－1)，若∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，则BC 边所在的直线方程为______________．解析：设点A 关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×x ′－12－3×y ′＋52＋6＝0，y ′－5x ′＋1＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ′－3y ′－5＝0，3x ′＋2y ′－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3113，y ′＝－113，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113，－113，由题意知，点A ′在直线BC 上．所以直线BC 的方程为y ＝－113－－13113－0x －1，整理得12x －31y －31＝0. 答案：12x －31y －31＝0 角度三：线关于线对称3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________．解析：设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，所以2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0. 答案：x －2y ＋3＝0[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．(2019·沭阳期中)已知点A (1，－2)关于直线x ＋ay －2＝0的对称点为B (m,2)，则实数a 的值为________．解析：由对称的特点可知，AB 的中点在对称轴上，直线AB 垂直于对称轴，则1＋m 2＋－2＋22a －2＝0，2－－2m －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得m ＝3，a ＝2.答案：22．(2018·启东期末)已知直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的斜率为________．解析：设P (a ，b )是直线l 上任意一点，则点P 到直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0的距离相等，即|2a －b －2|5＝|a ＋2b －1|5，整理得a －3b －1＝0或3a ＋b －3＝0， ∴直线l 的斜率为13或－3.答案：13或－33．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·某某调研)已知点A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5，1)，则直线l 的方程为________．解析：∵已知点A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5,1)，故直线l 为线段AB 的中垂线．求得AB 的中点为(－2,2)，AB 的斜率为1－3－5－1＝13，故直线l 的斜率为－3，故直线l 的方程为 y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0.答案：3x ＋y ＋4＝02．(2018·宿迁模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是________．解析：因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率ky －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.答案：2x ＋y －2＝03．直线y ＝3x ＋3关于直线l ：x －y －2＝0对称的直线方程为________．解析：取直线y ＝3x ＋3上一点A (0,3)，设A 关于直线l ：x －y －2＝0对称的点为A ′(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －0·1＝－1，a ＋02－b ＋32－2＝0，解得a ＝5，b ＝－2.∴A ′(5，－2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋3，x －y －2＝0，解得x ＝－52，y ＝－92.令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92，∵直线y ＝3x ＋3关于直线l 对称的直线过A ′，M 两点，∴所求直线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－92－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－525－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，即x －3y －11＝0.答案：x －3y －11＝04．(2018·启东中学测试)已知直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则点P 的坐标为________．解析：因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，则直线l 2l 2过点(－1,1)，所以直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理得y ＝2xx ＝0，得y ＝3，所以点P 的坐标为(0,3)．答案：(0,3)5．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，所以直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2，所以a ＝23.答案：236．(2019·某某检测)已知直线l 1：mx ＋2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋(m ＋1)y －2＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________．解析：∵直线l 1：mx ＋2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋(m ＋1)y －2＝0平行，当m ＝－1时，显然不合题意；当m ≠－1时，有m 1＝2m ＋1≠4－2，解得m ＝1，∴l 1与l 2间的距离d ＝|－2－4|1＋4＝655.答案：655二保高考，全练题型做到高考达标1．已知直线l 1：(m ＋1)x ＋2y ＋2m －2＝0，l 2：2x ＋(m －2)y ＋2＝0，若直线l 1∥l 2，则m ＝________.解析：由题意知，当m ＝2时，l 1：3x ＋2y ＋2＝0，l 2：x ＋1＝0，不合题意；当m ≠2时，若直线l 1∥l 2，则m ＋12＝2m －2≠2m －22，解得m ＝－2或m ＝3(舍去)．答案：－22．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1，所以l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.答案：823 3．(2019·X 家港模拟)过点P (1,2)作一直线l ，使直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)的距离相等，则直线l 的方程为________________．解析：易知直线l 的斜率存在，∵直线l 过点P (1,2)，∴设l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.又直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)的距离相等， ∴|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|4k ＋5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝－4或k ＝－32， ∴l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.答案：4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝04．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点________．解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，所以直线l 2恒过定点(0,2)．答案：(0,2)5．已知点P (0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线P Q 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：设Q(x 0，y 0)，因为点Q 在直线x －y ＋1＝0上，所以x 0－y 0＋1＝0.①又直线x ＋2y －5＝0的斜率k ＝－12，直线P Q 的斜率k P Q ＝y 0＋1x 0，所以由直线P Q 垂直于直线x ＋2y －5＝0，得y 0＋1x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.② 由①②解得x 0＝2，y 0＝3，即点Q 的坐标是(2,3)．答案：(2,3)6．(2019·某某一模)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线l 的距离为3，则△AOB 的面积S 的最小值为________．解析：由坐标原点O 到直线l 的距离为3，可得|－1|m 2＋n 2＝3，化简得m 2＋n 2＝13. 对直线l ：mx ＋ny －1＝0，令x ＝0，可得y ＝1n ；令y ＝0，可得x ＝1m，故△AOB 的面积S ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ·1n ＝12|mn |≥1m 2＋n2＝3，当且仅当|m |＝|n |＝66时，取等号．故△AOB 的面积S 的最小值为3.答案：37．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则PA ·PB 的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以PA 2＋PB 2＝AB 2＝10，所以PA ·PB ≤PA 2＋PB 22＝5(当且仅当PA ＝PB ＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，PA ·PB＝0，故PA ·PB 的最大值是5.答案：58．将一X 画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A (0,2)与点B (4,0)重合．若此时点C (7,3)与点D (m ，n )也重合，则m ＋n 的值是________．解析：由题意知，折痕既是A ，B 的对称轴，也是 C ，D 的对称轴．因为AB 的斜率k AB ＝0－24－0＝－12，AB 的中点为(2,1)，所以图纸的折痕所在的直线方程为y －1＝2(x －2)，所以k CD ＝n －3m －7＝－12， ① 因为CD 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫m ＋72，n ＋32，所以n ＋32－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋72－2. ② 由①②解得m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345. 答案：3459．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)当l 1∥l 2时，求a 的值；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＝11－a，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1. 综上可知，a ＝－1.法二：由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a a －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6⇒a ＝－1.(2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1⇒a ＝23. 法二：因为l 1⊥l 2，所以A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23. 10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，所以l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·江阴检测)直线l 经过点P (2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S ，如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则S ＝________.解析：由已知可得直线l 的斜率一定存在且不为零，设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，则直线l 与坐标轴的交点为(0,1－2k )，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，则S ＝12|1－2k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12k －2k . 如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则关于k 的方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12k －2k ＝S 只有三个解，即4k 2＋2(S －2)k ＋1＝0与4k 2－2(S ＋2)k ＋1＝0，一个有一解，一个有两解，解得S ＝4.答案：42．(2018·锡山高级中学检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin B ·sin A ax sin A ＋ay ＋c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －y sin B ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，因此k 1·k 2＝b sin B ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin A a ＝－1，所以两条直线垂直．答案：垂直3．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值，并求此时l 的方程．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，因为点A (5,0)到l 的距离为3，所以|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝2或λ＝12，所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)．所以d max ＝PA ＝5－22＋0－12＝10.因为k PA ＝－13，l ⊥PA ，所以k l ＝3，所以直线l 的方程为y －1＝3(x －2)，即3x －y －5＝0.。

高考一轮复习教案数学(理)新课标第九篇解析几何 2 两条直线的位置关系

第2讲两条直线的位置关系【2013年高考会这样考】1．考查两直线的平行与垂直．2．考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式．【复习指导】1．对两条直线的位置关系，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系．2．熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．基础梳理1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直．2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.一条规律与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0.两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑． (2)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中的x ，y 系数化为分别相等．三种对称(1)点关于点的对称点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.(3)直线关于直线的对称①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；②若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a的值为( )．A ．－3B ．－43C ．2D ．3解析由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×23＝－1，得：a ＝3. 答案 D2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )．A ．1 B. 3 C ．2 D. 5解析 d ＝|－5|1＋22＝ 5. 答案 D3．(2012·银川月考)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )．A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 解析 ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行，∴所求直线斜率k ＝12，排除C 、D.又直线过点(1,0)，排除B ，故选A.答案 A4．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( )．A ．(－a －1，－b －1)B ．(－b －1，－a －1)C ．(－a ，－b )D ．(－b ，－a )解析设对称点为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－b x ′－a ×(－1)＝－1，x ′＋a 2＋y ′＋b 2＋1＝0，解得：x ′＝－b －1，y ′＝－a －1.答案 B5．平行线l 1：3x －2y －5＝0与l 2：6x －4y ＋3＝0之间的距离为________．解析直线l 2变为：3x －2y ＋32＝0，由平行线间的距离公式得：d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－3232＋22＝132.答案13 2考向一两条直线平行与垂直的判定及应用【例1】►(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________.(2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的()．A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[审题视点] (1)利用k1·k2＝－1解题．(2)抓住ab＝4能否得到两直线平行，反之两直线平行能否一定得ab＝4.解析(1)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1.(2)直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－2a＝－b2且－1a≠－1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分条件．答案(1)－1(2)C(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)注意转化与化归思想的应用．【训练1】已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合．解(1)由已知1×3≠m(m－2)，即m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交．(2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2.(4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，即m ＝3时，l 1与l 2重合．考向二两直线的交点【例2】►求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．[审题视点] 可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．解法一先解方程组⎩⎨⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1，故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0.其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是：Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.【训练2】直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．解法一设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，并且满足⎩⎨⎧ 4x 0＋y 0＋3＝0，3(－2－x 0)－5(4－y 0)－5＝0，即⎩⎨⎧ 4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得⎩⎨⎧ x 0＝－2，y 0＝5，因此直线l 的方程为y －25－2＝x －(－1)－2－(－1)，即3x ＋y ＋1＝0. 法二设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由⎩⎨⎧ kx －y ＋k ＋2＝0，4x ＋y ＋3＝0，得x ＝－k －5k ＋4. 由⎩⎨⎧kx －y ＋k ＋2＝0，3x －5y －5＝0，得x ＝－5k －155k －3. 则－k －5k ＋4＋－5k －155k －3＝－2，解得k ＝－3. 因此所求直线方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋1＝0.法三两直线l 1和l 2的方程为(4x ＋y ＋3)(3x －5y －5)＝0，①将上述方程中(x ，y )换成(－2－x,4－y )，整理可得l 1与l 2关于(－1,2)对称图形的方程：(4x ＋y ＋1)(3x －5y ＋31)＝0.②①－②整理得3x ＋y ＋1＝0.考向三距离公式的应用【例3】►(2011·北京东城模拟)若O (0,0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________.[审题视点] 由点到直线的距离公式列出等式求a .解析由题意，得6a 2＋a 4＝|4a －a 2＋6|a 2＋a4，即4a －a 2＋6＝±6，解之得a ＝0或－2或4或6.检验得a ＝0不合题意，所以a ＝－2或4或6.答案－2或4或6用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号．而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．【训练3】已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为 5，求直线l 1的方程．解 ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n －1，∴⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2. (1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0.∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18. 所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22. 所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.考向四对称问题【例4】►光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．[审题视点] 设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则直线A ′D ′经过点B 与C .解作出草图，如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．【训练4】已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )．A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析 l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1.即(1,0)、(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2方程为x －2y －1＝0. 答案 B难点突破19——两直线平行与垂直问题的求解策略从近两年新课标高考试题可看出高考主要以选择题、填空题的形式考查两直线的平行和垂直问题，往往是直线方程中一般带有参数，问题的难点就是确定这些参数值，方法是根据两直线平行、垂直时所满足的条件列关于参数的方程(组)，通过解方程(组)求出参数值，但要使参数符合题目本身的要求，解题时注意直线方程本身的限制．【示例1】►(2011·浙江)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.【示例2】►(2010·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()．A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2。

高考数学一轮复习课时作业9.2 两直线的位置关系文

第2讲两直线的位置关系基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是________．解析由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案 3x ＋2y －1＝02．(2014·济南模拟)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝________.解析若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线若平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2. 答案－1或2 3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为________．解析把3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0，则两平行线间的距离d ＝|1－－6|62＋22＝72010.答案 71020 4．(2015·金华调研)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以kk －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限．答案二5．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________. 解析由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.答案 356．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点________．解析直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．答案 (0,2)7．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.答案－98．(2015·扬州检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k2， ∴k ＝2或k ＝－23. ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0二、解答题9．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：(1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合．解 (1)由已知1×3≠m (m －2)，即m 2－2m －3≠0，解得m ≠－1且m ≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交．(2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2. (3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2.(4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，即m ＝3时，l 1与l 2重合．10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.能力提升题组(建议用时：25分钟)1．(2014·泉州一模)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是________．解析因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求m －02＋n －02的最小值，而m －02＋n －02表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2.所以m 2＋n 2的最小值为4.答案 42．如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________．解析易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1(4,2)与A 2(－2,0)两点间的距离．于是A 1A 2＝4＋22＋2－02＝210.答案 210 3．l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝04．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510. (1)求a 的值； (2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12； ③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－12＝7510，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72，又a ＞0，解得a ＝3. (2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12；(舍去)联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．。

高考数学一轮复习 9.2 点与直线、两条直线的位置关系

命题规律
本节考点在近五年高考中, 没有单独命过题,仅作为一道综合性题目中的工具.在解析几何的高考题中,主要涉及有两直线交点坐标的求解、点到直线的距离的求解及两直线间的平行或垂直条件的应用.
知识梳理
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知识梳理
双击自测
1.两直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况.
双击自测
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2.已知直线 ax+3y-1=0 与直线 3x-3y+4=0 垂直,则 a 的值为(
A.3
B.-3
C.1
D.-1
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)
由已知得 3a-9=0,得 a=3.
A
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7 解析答案
知识梳理
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知识梳理
双击自测
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3.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
因(1此,1)点 A'的坐标为(1,1).
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10 解析答案
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知识梳理
12345
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自测点评 1.对于直线 l1 与直线 l2 相互平行(垂直)的条件一定要注
意其适用范围. 2.求解点到直线、两平行线间的距离时,注意直线方程要用一般式. 3.对称问题是解析几何中的常见问题,尤其要掌握好点关于线的轴对
9.2 点与直线、两条直线的位置关系
考情概览
-2-
考纲要求
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.

高考数学一轮复习第9章第2节两直线的位置关系课件理2

复习课件
高考数学一轮复习第9章第2节两直线的位置关系课件理2
2021/4/17
高考数学一轮复习第9章第2节两直线的位置关系课件理2
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第九章解析几何
第二节两直线的位置关系
栏
课前 ·基础巩固 1
目
导
课堂 ·考点突破 2
航
3 课时 ·跟踪检测
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
yxx000－－＋2 yxx·－1＝y0＋－2 y1＋，1＝0，解得xy00＝＝yx－＋11.，将(y－1，x＋1)代入 2x0＋y0－4＝0 中，得 x＋2y－5＝0. [答案] x＋2y－5＝0
►名师点津 1．线关于点对称的求解方法 (1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； (2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求的直线方程． 2．线关于点对称的实质 “线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．
[答案] x＋4y－4＝0
►名师点津点关于点对称的求解方法
若点 M(x1，y1)和点 N(x，y)关于点 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得xy＝＝22ab－－xy11，，进而求解．
●命题角度二点关于线的对称问题
【例 2】 (2019 届湖北孝感五校联考)已知直线 y＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所
点，则|PQ|的最小值为( )
A．95
B．158
C．2190
D．259
解析：选 C 因为36＝48≠－512，所以两直线平行．由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－6224＋－852|＝2190，所以|PQ| 的最小值为2190.故选 C．

高考数学大一轮复习9.2两条直线的位置关系试题理苏教版【含答案】

第2讲两条直线的位置关系一、填空题1． “直线：x ＋(a －1)y ＋1＝0与直线：ax ＋2y ＋2＝0垂直”的充要条件是________．解析由a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23. 答案 a ＝232．平面直角坐标系中，与点A (1,1)的距离为1，且与点B (－2，－3)的距离为6的直线条数为________．解析 ∵|AB |＝5，∴以A 为圆心，半径为1的圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与以B 为圆心，半径为6的圆(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝36内切．∴与A 距离为1，与B 距离为6的直线只有过两圆公共切点并与两圆都相切的一条直线．答案 13．经过两条直线2x －3y ＋3＝0，x －y ＋2＝0的交点，且与直线x －3y －1＝0平行的直线一般式方程为________．解析两条直线2x －3y ＋3＝0，x －y ＋2＝0的交点为(－3，－1)，所以与直线x －3y－1＝0平行的直线为y ＋1＝13(x ＋3)，即x －3y ＝0. 答案 x －3y ＝04．已知曲线f (x )＝x sin x ＋1在点(π2，1)处的切线与直线ax －y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________.解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，∴f ′(π2)＝1.∴a ＝－1. 答案－15．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最小距离为________．解析当点P 为直线y ＝x ＋2平移到与曲线y ＝x 2－ln x 相切的切点时，点P 到直线y ＝x ＋2的距离最小．设点P (x 0，y 0)，f (x )＝x 2－ln x ，则f ′(x 0)＝1.∵f ′(x )＝2x －1x ，∴2x 0－1x 0＝1.又x 0>0，∴x 0＝1.∴点P 的坐标为(1,1)，此时点P 到直线y ＝x ＋2的距离为22＝ 2.答案 26．已知1a ＋1b＝1(a ＞0，b ＞0)，点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为________．解析点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b5＝15(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当a 2＝2b 2且a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号．答案 35＋21057．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有________个．解析三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23，故实数m 的取值最多有4个．答案 48．已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．解析由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18. 答案 189．直线2x －y －4＝0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3,4)的距离之差最大，则P 点的坐标是________．解析易知A (4，－1)，B (3,4)在直线l ：2x －y －4＝0的两侧．作A 关于直线l 的对称点A 1(0,1)，当A 1，B ，P 共线时距离之差最大．答案 (5,6)10．设直线l 经过点A (－1,1)，则当点B (2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为________．解析设B (2，－1)到直线l 的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 垂直于直线AB ，k l ＝－1k AB ＝32，∴直线l 的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0.答案 3x －2y ＋5＝0二、解答题11．求直线a ：2x ＋y －4＝0关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称的直线b 的方程．解由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，3x ＋4y －1＝0，得直线a 与直线l 的交点P (3，－2)．在直线a ：2x ＋y －4＝0上找一点A (2,0)．设点A 关于直线l 的对称点B 的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3×2＋x 02＋4×0＋y 02－1＝0，y 0－0x 0－2＝43，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－85. 由两点式，得直线b 的方程为y －－－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－85＝x －33－45，即2x ＋11y ＋16＝0. 12．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b . 故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. 13．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，∴a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，又∵l 过点P (0,1)．所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.14. 如图，函数f (x )＝x ＋2x的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图象上任一点，过点P分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：PM ·PN 为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值．(1)证明设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋2x 0(x0>0)．则PN ＝x 0，PM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0，因此PM ·PN ＝1. (2)解直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)，即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，x＝y ＝x 0＋22x 0，S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12PN ·ON ＋12PM ·OM＝12x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2x 0＋22x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12x 0＝2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋1x 20≥1＋2，当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立，因此四边形OMPN 的最小值为1＋ 2.。

高考数学 9-2 两条直线的位置关系配套课时作业理

【与名师对话】2014年高考数学总复习 9-2 两条直线的位置关系配套课时作业理新人教A 版一、选择题1．(2012年茂名模拟)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．2x －3y ＋5＝0C ．3x ＋2y ＋7＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：A2．(2012年浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由l 1∥l 2，得－a 2＝－1a ＋1，解得a ＝1或a ＝－2，代入检验符合，即“a ＝1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0解析：所求直线过点A 且与OA 垂直时满足条件，此时k OA ＝2，故所求直线的斜率为－12，所以直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.答案：A4．A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2x ＋y －7＝0D ．2y －x －4＝0解析：由题意得A (－1,0)、P (2,3)、B (5,0)，由两点式，得PB 方程为x ＋y －5＝0. 答案：B5．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k .得两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以kk －1<0，2k －1k －1>0，所以交点在第二象限．答案：B6．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为 A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：∵l 2、l 1关于y ＝－x 对称，∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，∴l 2的斜率为12.答案：A 二、填空题7．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________. 解析：由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.答案：358．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a的值为________．解析：由题意得，36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4，c ≠－2，则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，由两平行线间的距离，得21313＝|c2＋1|13.解得c ＝2或－6，所以c ＋2a＝±1. 答案：±19．(2012年武汉调研)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (0,4)，若其欧拉线方程为：x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标是________．解析：AB 的中点坐标为(1,2)，线段AB 的垂直平分线方程为y ＝12x ＋32，将其与欧拉线方程联立，解得外心(－1,1)．设C (a ，b )，则重心⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a 3，4＋b 3，有2＋a 3＋2＝4＋b 3与(a ＋1)2＋(b －1)2＝(2＋1)2＋(0－1)2＝10，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝4(不合题意，舍去)．即C (－4,0)．答案：(－4,0) 三、解答题10．求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2交点为(1,2)．设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2解得：k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.11．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点， (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∴|10＋5λ－5|＋λ2＋－2λ2＝3.即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．∴d max ＝|PA |＝10.12．(1)求点A (3,2)关于点B (－3,4)的对称点C 的坐标； (2)求直线3x －y －4＝0关于点P (2，－1)对称的直线l 的方程； (3)求点A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点的坐标．解：(1)设C (x ，y )，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧3＋x2＝－3，2＋y2＝4，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝6，故所求的对称点的坐标为C (－9,6)．(2)设直线l 上任一点为(x ，y )，它关于点P (2，－1)的对称点(4－x ，－2－y )在直线3x －y －4＝0上，∴3(4－x )－(－2－y )－4＝0. ∴3x －y －10＝0.∴所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.(3)设B (a ，b )是A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点，根据直线AB 与已知直线垂直，且线段AB 的中点在已知直线2x －4y ＋9＝0上，则有⎩⎪⎨⎪⎧12·b －2a －2＝－1，2·a ＋22－4·b ＋22＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴所求的对称点的坐标为(1,4)．[热点预测]13．(1)(2012年河北质检)如图，直角坐标平面内的正六边形ABCDEF 的中心在原点，边长为a ，AB 平行于x 轴，直线l ：y ＝kx ＋t (k 为常数)与正六边形交于M 、N 两点，记△OMN 的面积为S ，则关于函数S ＝f (t )的奇偶性的判断正确的是( )A ．一定是奇函数B ．一定是偶函数C ．既不是奇函数，也不是偶函数D ．奇偶性与k 有关(2)一条光线经过点P (2,3)射在直线x ＋y ＋1＝0上，反射后，经过点A (1,1)，则光线的入射线和反射线所在的直线方程分别为________．解析：(1)设M 点关于原点的对称点为M ′，N 点关于原点的对称点为N ′，易知点M ′、N ′在正六边形的边上．当直线l 在某一个确定的位置时，对应有一个t 值，那么易得直线M ′N ′的斜率仍为k ，对应的直线M ′N ′在y 轴上的截距为－t ，显然△OMN 的面积等于△OM ′N ′的面积，因此函数S ＝f (t )一定是偶函数，选B.(2)入射光线所在的直线和反射光线所在的直线关于直线x ＋y ＋1＝0对称，设点P 关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点的坐标为Q (x 0，y 0)，因此PQ 的中点在直线x ＋y ＋1＝0上，且PQ所在直线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0－3x 0－2－＝－1，x 0＋22＋y 0＋32＋1＝0，解得Q (－4，－3)，∵反射光线经过A 、Q 两点，∴反射光线所在直线的方程为4x －5y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，4x －5y ＋1＝0，得反射点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13.入射光线经过P 、R 两点，∴入射光线所在直线的方程为5x －4y ＋2＝0. 故填5x －4y ＋2＝0；4x －5y ＋1＝0.答案：(1)B (2)5x －4y ＋2＝0；4x －5y ＋1＝0。

高考总复习一轮数学精品课件第9章平面解析几何第2节两条直线的位置关系

D. 2+1
a=-1+ 2或 a=-1- 2.
∵a>0,∴a=-1+ 2.
(3)直线3x-4y-4=0与直线6x-8y-3=0之间的距离为( C )
1
A.
5
2解析直线 3x-4y-4=0 即 6x-8y-8=0,显然与另一条直线平行,
则所求距离为
|-8-(-3)|
62 +82
=
(3)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为
(x,2b-y).
(4)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(5)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为
(k+y,x-k).
2.三种直线系方程
3.直线外一点与直线上的点的距离的最小值就是点到直线的距离.(
)
题组二回源教材
4.(人教A版选择性必修第一册2.3.4节练习第1题改编)已知两条平行直线l1:
2 5
2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2之间的距离是__________.
5
解析利用两平行线间的距离公式得 l1 与 l2 之间的距离 d=
条直线的斜率为0时,l1⊥l2
l1⊥l2⇔__________
k1k2=-1
若 A1,A2,B1,B2,C1,C2 均不为 0,
1
1
1
则 l1 与 l2 重合⇔ = =
2
2
2
l1∥l2⇔__________,且
A1B2-A2B1=0 B1C2-B2C1≠0(或 A1C2-A2C1≠0)

高考数学大一轮复习 9.2两直线的位置关系教师用书理苏教版-苏教版高三全册数学试题

§9.2 两直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离P 1P 2＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[知识拓展]1．一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.2．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0 (λ∈R )，但不包括l 2.3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件： (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( × ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )1．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________. 答案2－1解析依题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2. ∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.2．已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为________．答案－7解析 l 1的斜率为－3＋m 4，纵截距为5－3m 4，l 2的斜率为－25＋m ，纵截距为85＋m. 又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m 得，m 2＋8m ＋7＝0，得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m＝2，l 1与l 2重合，故不符合题意；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m＝－4，符合题意． 3．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________________．答案 x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0解析设l 1的方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋1|2＝ 2.∴|c ＋1|＝2，即c ＝1或c ＝－3.∴直线l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.4．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________. 答案 1解析依题意得2×1－2×m ＝0，∴m ＝1.题型一两条直线的平行与垂直例1 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．思维点拨本题考查两直线平行或垂直成立的充要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况．解 (1)方法一由已知可得l 2的斜率存在， ∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)．∴此种情况不存在，∴k 2≠0.即k 1，k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.方法二 ∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0. 即b ＝a 2－a .①又∵l 1过点(－3，－1)． ∴－3a ＋b ＋4＝0.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.经验证，符合题意．故a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x 、y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)方法一当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22. 所以α＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等．故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.方法二由A 1B 2－A 2B 1＝0，得2sin 2α－1＝0，所以sin α＝±22.所以α＝k π±π4，k ∈Z . 又B 1C 2－B 2C 1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. 故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2. 题型二两直线相交例2 求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．思维点拨可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．解方法一先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.方法二由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1，l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1，故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.方法三由于l 过l 1，l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0. 其斜率为－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程得l 的方程为5x ＋3y －1＝0. 思维升华 (1)两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．(2)常见的三大直线系方程①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )．②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．③过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．解与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0. 设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0，即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0.又直线过(－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0. 解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.题型三距离公式的应用例3 正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．思维点拨中心C 到各边的距离相等．解点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0. 思维升华正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍．本题的解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程．运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x ，y 的系数化为相同的形式．已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离．(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解 (1)过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P (2，－1)垂直于x 轴的直线满足条件．此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解之得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可证过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1. 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0，即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P 点且与原点距离为6的直线．题型四对称问题例4 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．思维点拨解决对称问题，不管是轴对称还是中心对称，一般都要转化为点之间的对称问题．解 (1)设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′(－3313，413)．(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′(613，3013)．设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， ∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.思维升华 (1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直．(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题． (3)若直线l 1、l 2关于直线l 对称，则有如下性质：①若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；②若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上．(2013·某某改编)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 发射后又回到原点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP ＝________. 答案 43解析建立如图所示的坐标系：可得B (4,0)，C (0,4)，故直线BC 的方程为x ＋y ＝4， △ABC 的重心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0＋43，0＋4＋03，设P (a,0)，其中0<a <4，则点P 关于直线BC 的对称点P 1(x ，y )，满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋x 2＋y ＋02＝4，y －0x －a ·－1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4－a ，即P 1(4,4－a )，易得P 关于y 轴的对称点P 2(－a,0)，由光的反射原理可知P 1，Q ，R ，P 2四点共线，直线QR 的斜率为k ＝4－a －04－－a ＝4－a 4＋a ，故直线QR 的方程为y ＝4－a4＋a (x ＋a )，由于直线QR 过△ABC 的重心(43，43)，代入化简可得3a 2－4a ＝0，解得a ＝43，或a ＝0(舍去)，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，故AP ＝43.妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．典例1：求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程．思维点拨因为所求直线与3x ＋4y ＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 (c ≠1)．规X 解答解依题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 (c ≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.温馨提醒与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋C 1＝0 (C 1≠C )，再由其他条件求C 1. 二、垂直直线系由于直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解．典例2：求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．思维点拨依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．规X 解答解因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C 1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C 1＝0，解得C 1＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.温馨提醒与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋C 1＝0，再由其他条件求出C 1. 三、过直线交点的直线系典例3：求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．思维点拨可分别求出直线l 1与l 2的交点及直线l 的斜率k ，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．规X 解答解方法一解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.温馨提醒本题方法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在y 轴上，故采用斜截式求解；方法二则采用了过两直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解.方法与技巧1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1、l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法．失误与防X1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑．2．在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数化为相同的形式.A 组专项基础训练(时间：40分钟)1．已知两条直线l 1：x ＋y －1＝0，l 2：3x ＋ay ＋2＝0且l 1⊥l 2，则a ＝________. 答案－3解析由l 1⊥l 2，可得1×3＋1×a ＝0，∴a ＝－3.2．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为________．答案 x ＋2y －4＝0解析由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式得所求方程为x ＋2y －4＝0.3．(教材改编)若A (－3，－4)，B (6,3)两点到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a ＝________.答案－79或－13解析依题意，|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－79或a ＝－13. 4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．答案 2解析 ∵63＝m 4≠－143，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0.可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 5.如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________．答案 210解析由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为CD ＝210.6．与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是______________．答案 12x ＋8y －15＝0解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.7．已知点A (－1,1)，B (2，－2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，则实数m 的取值X 围是______________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[2，＋∞) 解析直线l ：x ＋my ＋m ＝0可化为x ＋m (y ＋1)＝0，所以直线恒过定点P (0，－1)．∵点A (－1,1)，B (2，－2)，∴k PA ＝－2，k PB ＝－12， ∵直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段AB 相交(包含端点的情况)，∴－1m ≤－2或－1m ≥－12， ∴m ≤12或m ≥2(经验证m ＝0也符合题意)． ∴实数m 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[2，＋∞)． 8．将一X 坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案 345 解析由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345. 9．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且AB ＝5，求直线l 的方程．解过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时AB ＝5，即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －1，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)．则B 点坐标为(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)．由已知(k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.B 组专项能力提升(时间：25分钟)1．(2013·某某改编)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝_________________________________________________________________. 答案 2解析圆心为O (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直．∴k OP ＝2－02－1＝2，又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直．∴a ＝k OP ＝2.2．(2014·某某改编)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则PA ＋PB 的取值X 围是________．答案 [10，25]解析由动直线x ＋my ＝0知定点A 的坐标为(0,0)，由动直线mx －y －m ＋3＝0知定点B 的坐标为(1,3)，且两直线互相垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动．故当点P 与点A 或点B 重合时，PA ＋PB 取得最小值，(PA ＋PB )min ＝AB ＝10.当点P 与点A 或点B 不重合时，在Rt△PAB 中，有PA 2＋PB 2＝AB 2＝10.因为PA 2＋PB 2≥2PA ·PB ，所以2(PA 2＋PB 2)≥(PA ＋PB )2，当且仅当PA ＝PB 时取等号，所以PA ＋PB ≤2PA 2＋PB 2＝2×10＝25，所以10≤PA ＋PB ≤25，所以PA ＋PB 的取值X 围是[10，25]．3.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. Rt△ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9 ＝12a 2＋4·36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a2 ≥1272＋72＝6.(当且仅当a ＝－2时取等号) 4．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值PQ ＝2－02＋1＋32＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.5．(2013·某某)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案 (2,4)解析设平面上任一点M ，因为MA ＋MC ≥AC ，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理MB ＋MD ≥BD ，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连结AC ，BD 交于一点M ，若MA ＋MC ＋MB ＋MD 最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2， ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－－11－7＝－1， ∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，∴M (2,4)．。

高考数学一轮复习学案：9.2 两条直线的位置关系(含答案)

高考数学一轮复习学案：9.2 两条直线的位置关系（含答案）9.2两条直线的位置关系两条直线的位置关系最新考纲考情考向分析1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3.掌握两点间的距离公式.点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.以考查两条直线的位置关系.两点间的距离.点到直线的距离.两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆.椭圆.双曲线.抛物线交汇考查题型主要以选择.填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.1两条直线的位置关系1两条直线平行与垂直两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点直线l1A1xB1yC10，l2A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解2几种距离1两点P1x1，y1，P2x2，y2之间的距离|P1P2|x2x12y2y12.2点P0x0，y0到直线lAxByC0的距离d|Ax0By0C|A2B2.3两条平行线AxByC10与AxByC20其中C1C2间的距离d|C1C2|A2B2.知识拓展1直线系方程1与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0mR且mC2与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0nR2两直线平行或重合的充要条件直线l1A1xB1yC10与直线l2A2xB2yC20平行或重合的充要条件是A1B2A2B10.3两直线垂直的充要条件直线l1A1xB1yC10与直线l2A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.4过直线l1A1xB1yC10与l2A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1A2xB2yC20R，但不包括l2.5点到直线.两平行线间的距离公式的使用条件1求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式2求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.2如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为1.3已知直线l1A1xB1yC10，l2A2xB2yC20A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数，若直线l1l2，则A1A2B1B20.4点Px0，y0到直线ykxb的距离为|kx0b|1k2.5直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离6若点A，B关于直线lykxbk0对称，则直线AB的斜率等于1k，且线段AB的中点在直线l上题组二教材改编2P110B组T2已知点a,2a0到直线lxy30的距离为1，则a等于A.2B22C.21D.21答案C解析由题意得|a23|111.解得a12或a12.a0，a12.3P101A组T10已知P2，m，Qm,4，且直线PQ垂直于直线xy10，则m________.答案1解析由题意知m42m1，所以m42m，所以m1.题组三易错自纠4xx郑州调研直线2xm1y40与直线mx3y20平行，则m等于A2B3C2或3D2或3答案C解析直线2xm1y40与直线mx3y20平行，则有2mm1342，故m2或3.故选C.5直线2x2y10，xy20之间的距离是______答案324解析先将2x2y10化为xy120，则两平行线间的距离为d2122324.6若直线3a2x14ay80与5a2xa4y70垂直，则a________.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得3a25a214aa40，解得a0或a1.题型一题型一两条直线的位置关系两条直线的位置关系典例xx青岛模拟已知两条直线l1axby40和l2a1xyb0，求满足下列条件的a，b的值1l1l2，且l1过点3，1；2l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解1由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点3，1，3a40，即a43矛盾，此种情况不存在，k20，即k1，k2都存在且不为0.k21a，k1ab，l1l2，k1k21，即ab1a1.*又l1过点3，1，3ab40.**由***联立，解得a2，b2.2l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即ab1a，又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即4bb，联立，解得a2，b2或a23，b2.a2，b2或a23，b2.思维升华1当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件2在判断两直线平行.垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论跟踪训练已知直线l1ax2y60和直线l2xa1ya210.1试判断l1与l2是否平行；2当l1l2时，求a的值解1方法一当a1时，l1x2y60，l2x0，l1不平行于l2；当a0时，l1y3，l2xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1ya2x3，l2y11axa1，l1l2a211a，3a1，解得a1，综上可知，当a1时，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得aa1120，由A1C2A2C10，得aa21160，l1l2aa1120，aa21160，a2a20，aa216，可得a1，故当a1时，l1l2.2方法一当a1时，l1x2y60，l2x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1y3，l2xy10，l1不垂直于l2，故a0不成立；当a1且a0时，l1ya2x3，l2y11axa1，由a211a1，得a23.方法二由A1A2B1B20，得a2a10，可得a23.题型二题型二两直线的交点与距离问题两直线的交点与距离问题1已知直线ykx2k1与直线y12x2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_____答案16，12解析方法一由方程组ykx2k1，y12x2，解得x24k2k1，y6k12k1.若2k10，即k12，则两直线平行交点坐标为24k2k1，6k12k1.又交点位于第一象限，24k2k10，6k12k10，解得16k12.方法二如图，已知直线y12x2与x轴.y轴分别交于点A4,0，B0,2而直线方程ykx2k1可变形为y1kx2，表示这是一条过定点P2,1，斜率为k的动直线两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上不包括端点，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.kPA16，kPB12.16k12.2若直线l过点P1,2且到点A2,3和点B4,5的距离相等，则直线l的方程为________________________答案x3y50或x1解析方法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2kx1，即kxyk20.由题意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21，即|3k1||3k3|，k13.直线l的方程为y213x1，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意方法二当ABl时，有kkAB13，直线l的方程为y213x1，即x3y50.当l过AB的中点时，AB的中点为1,4直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.思维升华1求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程2利用距离公式应注意点Px0，y0到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等题型三题型三对称问题对称问题命题点1点关于点中心对称典例过点P0,1作直线l，使它被直线l12xy80和l2x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________答案x4y40解析设l1与l的交点为Aa,82a，则由题意知，点A关于点P的对称点Ba,2a6在l2上，代入l2的方程得a32a6100，解得a4，即点A4,0在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于直线对称典例如图，已知A4,0，B0,4，从点P2,0射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是A33B6C210D25答案C解析直线AB的方程为xy4，点P2,0关于直线AB的对称点为D4,2，关于y轴的对称点为C2,0，则光线经过的路程为|CD|6222210.命题点3直线关于直线的对称问题典例已知直线l2x3y10，求直线m3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解在直线m上任取一点，如M2,0，则M2,0关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点Ma，b，则2a223b0210，b0a2231，解得a613，b3013，M613，3013.设直线m与直线l的交点为N，则由2x3y10，3x2y60，得N4,3又直线m经过点N4,3，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.思维升华解决对称问题的方法1中心对称点Px，y关于Qa，b的对称点Px，y满足x2ax，y2by.直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决2轴对称点Aa，b关于直线AxByC0B0的对称点Am，n，则有nbmaAB1，Aam2Bbn2C0.直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决跟踪训练已知直线l3xy30，求1点P4,5关于l的对称点；2直线xy20关于直线l对称的直线方程；3直线l关于1,2的对称直线解1设Px，y 关于直线l3xy30的对称点为Px，y，kPPkl1，即yyxx31.又PP的中点在直线3xy30上，3xx2yy230.由得x4x3y95，y3x4y35.把x4，y5代入得x2，y7，点P4,5关于直线l的对称点P的坐标为2,72用分别代换xy20中的x，y，得关于l对称的直线方程为4x3y953x4y3520，化简得7xy220.3在直线l3xy30上取点M0,3，关于1,2的对称点Mx，y，x021，x2，y322，y1，M2,1l关于1,2的对称直线平行于l，k3，对称直线方程为y13x2，即3xy50.妙用直线系求直线方程一.平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系典例1求与直线3x4y10平行且过点1,2的直线l的方程思想方法指导因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0c1规范解答解由题意，设所求直线方程为3x4yc0c1，又因为直线过点1,2，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.二.垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系可以考虑用直线系方程求解典例2求经过A2,1，且与直线2xy100垂直的直线l的方程思想方法指导依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解规范解答解因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点A2,1，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.三.过直线交点的直线系典例3xx湖南东部校联考经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程为____________思想方法指导可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；又可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解解析方法一由方程组2x3y10，x3y40，解得x53，y79，即交点为53，79，所求直线与直线3x4y70垂直，所求直线的斜率为k43.由点斜式得所求直线方程为y7943x53，即4x3y90.方法二由垂直关系可设所求直线方程为4x3ym0，由方程组2x3y10，x3y40，可解得交点为53，79，代入4x3ym0，得m9，故所求直线方程为4x3y90.方法三由题意可设所求直线方程为2x3y1x3y40，即2x33y140，又所求直线与直线3x4y70垂直，324330，2，代入式得所求直线方程为4x3y90.答案4x3y901直线2xym0和x2yn0的位置关系是A平行B 垂直C相交但不垂直D不能确定答案C解析直线2xym0的斜率k12，直线x2yn0的斜率k212，则k1k2，且k1k21.故选C.2xx邢台模拟“a1”是“直线ax3y30和直线xa2y10平行”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析由题意得，直线ax3y30和直线xa2y10平行的充要条件是aa231，a131，解得a1，故选C.3从点2,3射出的光线沿与向量a8,4平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为Ax2y40B2xy10Cx6y160D6xy80答案A解析由直线与向量a8,4平行知，过点2,3的直线的斜率k12，所以直线的方程为y312x2，其与y轴的交点坐标为0,2，又点2,3关于y轴的对称点为2,3，所以反射光线过点2,3与0,2，由两点式知A正确4xx兰州一模一只虫子从点O0,0出发，先爬行到直线lxy10上的P点，再从P点出发爬行到点A1，1，则虫子爬行的最短路程是A.2B2C3D4答案B解析点O0,0关于直线xy10的对称点为O1,1，则虫子爬行的最短路程为|OA|1121122.故选B.5若直线l1xay60与l2a2x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为A.423B42C.823D22答案C解析l1l2，a2且a0，1a2a362a，解得a1，l1与l2的方程分别为l1xy60，l2xy230，l1与l2的距离d6232823.6若直线l1ykx4与直线l2关于点2,1对称，则直线l2经过定点A0,4B0,2C2,4D4，2答案B解析直线l1ykx4经过定点4,0，其关于点2,1对称的点为0,2，又直线l1ykx4与直线l2关于点2,1对称，故直线l2经过定点0,27若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为________答案9解析由y2x，xy3，得x1，y2.点1,2满足方程mx2y50，即m12250，m9.8将一张坐标纸折叠一次，使得点0,2与点4,0重合，点7,3与点m，n重合，则mn________.答案345解析由题意可知，纸的折痕应是点0,2与点4,0连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点7,3与点m，n连线的中垂线，于是3n227m23，n3m712，解得m35，n315，故mn345.9xx浙江嘉兴一中月考已知直线l1axy60与l2xa2ya10相交于点P，若l1l2，则a________，此时点P的坐标为________答案13,3解析直线l1axy60与l2xa2ya10相交于点P，且l1l2，a11a20，即a1，联立方程xy60，xy0，易得x3，y3，P3,310已知直线l1axy10，直线l2xy30，若直线l1的倾斜角为4，则a________；若l1l2，则a________；若l1l2，则两平行直线间的距离为________答案1122解析若直线l1的倾斜角为4，则aktan41，故a1；若l1l2，则a1110，故a1；若l1l2，则a1，l1xy10，两平行直线间的距离d|13|1122.11已知方程2x1y2320与点P2,21证明对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；2证明该方程表示的直线与点P的距离d小于42.1解显然2与1不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线方程可变形为2xy6xy40，2xy60，xy40，解得x2，y2，故直线经过的定点为M2，22证明过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ||PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ||PM|，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线xy40，M与Q不可能重合，而|PM|42，|PQ|0，c0恒过点P1，m且Q4,0到动直线l的最大距离为3，则12a2c的最小值为________答案94解析因为动直线laxbyc20a0，c0恒过点P1，m，所以abmc20，又Q4,0到动直线l的最大距离为3，所以412m23，解得m0.所以ac2，则12a2c12ac12a2c1252c2a2ac12522c2a2ac94，当且仅当c2a43时取等号15.如图，已知直线l1l2，点A是l1，l2之间的定点，点A 到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作ACAB，且AC与l1交于点C，则ABC的面积的最小值为________答案6解析以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设Ba，2，Cb,3ACAB，ab60，ab6，b6a.RtABC 的面积S12a24b2912a2436a2912729a2144a21272726当且仅当a24时取等号16在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合若直线l与直线l1关于点2,3对称，则直线l的方程是______________答案6x8y10解析由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1ykx35b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为ykx31b52，即ykx34kb，b34kb，解得k34，直线l的方程为y34xb，直线l1为y34x114b，取直线l上的一点Pm，b3m4，则点P关于点2,3的对称点为4m，6b3m4，6b3m4344mb114，解得b18.直线l的方程是y34x18，即6x8y10.。

(江苏版)高考数学一轮复习专题9.2 两条直线的位置关系(讲)-人教版高三全册数学试题

专题9.2 两条直线的位置关系【考纲解读】【直击考点】题组一常识题1．若直线l 过点(－1，2)，且与直线y ＝x 垂直，则直线l 的方程是________________． [解析] 由条件知，直线l 的斜率k ＝－1，∴其方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0. 2．过点A (4，a )和B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为__________．[解析] 依题有b －a 5－4＝1，即b －a ＝1，则|AB |＝（b －a ）2＋（5－4）2＝ 2.3．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是________________． [解析] 由点到直线的距离公式得，所求距离d ＝|1＋1＋1|12＋（－1）2＝322. 题组二常错题4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则两直线之间的距离是________． [解析] ∵63＝m 4≠－143，∴m ＝8，∴直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，所求两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 5．若直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝____________． [解析] 由k (k －1)＋(1－k )(2k ＋3)＝0，得k ＝1或k ＝－3.题组三常考题6．若点(1，1)到直线3x ＋4y ＝b 的距离为1，则b ＝____________． [解析] 因为点(1，1)到直线3x ＋4y ＝b 的距离为1，所以||3＋4－b 32＋42＝1，得b ＝2或12.7．已知平行直线l 1：2x ＋y －a ＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0之间的距离为55，则实数a ＝____________． [解析] 由题意知d ＝|1＋a |22＋12＝|1＋a |5＝55，所以|1＋a |＝1，得a ＝－2或a ＝0. 8．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是______________．[解析] 由已知得，圆心为(0，3)，所求直线的斜率为1，所以所求直线方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0.【知识清单】考点1 两条直线平行与垂直 1．两直线的平行关系(1) 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有1212//l l k k ⇔=. (2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1212211221//0,0l l A B A B AC A C ⇔-=-≠.2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有12121l l k k ⊥⇔=-.(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1211220l l A B A B ⊥⇔+=. 考点2 距离问题 1．两点间的距离公式设两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP =2．点到直线的距离公式设点000(,)P x y ，直线:0l Ax By C ++=，则点000(,)P x y 到直线:0lAx By C ++=的距离d =.3．两平行线间的距离公式设两条平行直线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=，则这两条平行线之间的距离d =.考点3 两条直线的交点1.两条直线相交：对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，若12210A B A B -≠，则方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，联立方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有无数组解，则12,l l 重合．考点4 对称问题 1.中点坐标公式 2．两条直线的垂直关系(1) 对于两条直线12,l l ，其斜率为12,k k ，有12121l l k k ⊥⇔=-.(2)对于两条直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，有1211220l l A B A B ⊥⇔+=.【考点深度剖析】本节知识高考要求难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现．【重点难点突破】考点1 两条直线平行与垂直【1-1】已知两条直线12:2470,:250l x y l x y -+=-+=．求证：12//l l . 【答案】见解析【解析】由于122112212(2)(4)10,25170A B A B AC A C -=⨯---⨯=-=⨯-⨯≠，所以12//l l . 【1-2】若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于. 【答案】2a =-【解析】直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，所以11221210A B A B a +=⨯+⨯=，解之得：2a =-.【思想方法】1.解决两直线的位置关系问题要根据已知直线方程的形式灵活选用相应的条件，显然该题中直接利用一般式方程对应的条件更为简洁．另外利用直线的斜率和截距讨论时，不要忘记斜率不存在时的讨论． 2.可将方程化成斜截式，利用斜率和截距进行分析；也可直接利用一般式套用两直线垂直与平行的条件求解．一般式方程化成斜截式方程时，要注意直线的斜率是否存在（即y 的系数是否为0）. 【温馨提醒】给定两条直线的方程，可以判断两条直线是否平行、相交或垂直.若是告诉我们两条直线平行或是垂直，则可得两直线的斜率间的关系．考点2 距离问题【2-1】已知两条直线12:2470,:250l x y l x y -+=-+=．求12,l l 间的距离．【答案】3510【解析】1:2470l x y -+=即2 3.50x y -+=，所以12,l l 间的距离为：225 3.53510512d -===+．【2-2】已知点A （1，3），B （3，1），C （-1，0），求三角形ABC 的面积．【答案】5【思想方法】1.求点到直线的距离，一般先把直线方程化为一般式．2.求两条平行线间的距离有两种思路：（1）利用“化归”法将两条平行线的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．（2）直接应用两平行直线之间的距离公式.【温馨提醒】涉及距离公式问题，主要有两类，一是给定点和直线，则可求相关的距离；二是已知某距离，利用距离公式确定相关的量.考点3 两条直线的交点【3-1】已知两条直线1l：0x By C++=，2l：20x By-+=的交点为P(1，－3)，求B、C的值. 【答案】2a=-【解析】将点P(1，－3)的坐标代入方程0x By C++=、20x By-+=得1301320B CB-+=⎧⎨++=⎩，解这个方程组得14BC=-⎧⎨=-⎩.【3-2】经过两条直线3x4y50+=﹣和3x4y130=﹣﹣=0的交点，且斜率为2的直线方程是________. 【答案】2x﹣y﹣7=0【思想方法】涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征.【温馨提醒】涉及两直线的交点问题，即解方程组问题；注意利用数形结合思想，将直线的交点问题与方程组求解问题灵活的加以转化.考点4 对称问题【4-1】点(4,0)关于直线54210x y++=对称的点是________.【答案】（-6，-8）【解析】设点(4,0)关于直线54210x y++=对称的点是00(,)x y，则0040542102205()144x yyx++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解这个方程组得：068xy=-⎧⎨=-⎩.【4-2】直线0632=-+yx关于点(1,1)-对称的直线方程为________.【答案】2380x y++=【解析】设对称直线为:230l x y C'++=，则有02222623622323C----=⨯++，解这个方程得20C=-或08C=.结合图形可看出20C=-时两直线都在点(1,1)-的同侧，故舍去.所以对称直线l'的方程中2380x y++=．【4-3】（2004·某某卷（文理））已知直线1:10,:220.l x y l x y－－＝－－＝若直线2l与1l关于l对称,则2l 的方程是________.【答案】210x y－－＝【思想方法】涉及对称问题，主要有以下几种情况：1．若点00(,)P x y关于直线:0l Ax By C++=对称，设对称点是00(,)Q x y''，则线段PQ的中点在直线l上且直线PQ l⊥，由此可得一方程组00000022()1x x y yA B Cy y Ax x B''++⎧⨯+⨯+=⎪⎪⎨'-⎪⨯-=-'-⎪⎩，解这个方程组得：00,x y''的值，从而求得对称点的坐标.2．若直线:0l Ax By C++=关于点00(,)P x y对称，由于对称直线必与直线:0l Ax By C++=平行，故可设对称直线为:0l Ax By C'++=.因为直线,l l'间的距离是点P到直线:0l Ax By C++=的距离的00022222C C Ax By CA B A B-++=++0C的值（注意这里求出的C有两个），再结合图形可求得对称直线l'的方程．3．若直线:0l Ax By C++=关于直线0000:0l A x B y C++=对称，则在直线:0l Ax By C++=上取两点，求出这两点关于直线l对称的两点的坐标，再由两点式便可得直线l关于直线l对称的直线的方程．【温馨提醒】对称问题实际上是两直线位置关系的应用，主要是应用转化与化归思想、数形结合思想分析求解.【易错试题常警惕】[失误与防X]1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑．2．在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数化为相同的形式．。

一轮复习：两条直线的位置关系

授课主题两条直线的位置关系教学目标1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．4．能运用数形结合的思想方法，体会用代数方法研究直线问题的基本思路和方法，将几何问题转化为代数问题来解决；反过来，某些代数问题也可转化为几何问题来解决．教学内容1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系2．三种距离3．常用的直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.题型一两直线的平行与垂直例1、已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( )A ．－1B ．2C ．0或－2D ．－1或2方法点拨：分类讨论法．答案 D解析若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2.故选D.例2、已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．方法点拨：分类讨论法．答案 1或0解析 l 1的斜率k 1＝3a －01－(－2)＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －(－1)a －0＝1－2aa .因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2aa＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，这时直线l 2为y 轴，A (－2，0)，B (1,0)，直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2. 综上可知，实数a 的值为1或0. 方法技巧研究两直线平行与垂直关系的解题策略1．已知两直线的斜率存在．(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.2．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．【冲关针对训练】1．(2018·宁夏银川九中模拟)已知b ＞0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0垂直，则ab 的最小值为( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3答案 B解析由已知两直线垂直，得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，又b ＞0，∴ab ＝b ＋1b .由基本不等式得b ＋1b ≥2b ·1b＝2，当且仅当b ＝1时等号成立，∴(ab )min ＝2.故选B.2．(2017·西安模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．答案 25解析由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6ba≥13＋26a b ·6ba＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25. 题型二两条直线相交及距离问题例3、(2018·福建厦门联考)“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件方法点拨：直接求满足条件的C 的取值再判定．答案 B解析点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3等价于|3×2＋4×1＋C |32＋42＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.例4、已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．方法点拨：画出直线y ＝－12x ＋2，分析直线系y ＝kx ＋2k ＋1动态思考．答案 ⎝⎛⎭⎫－16，12 解析如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4，0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ： Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．【冲关针对训练】(2017·石家庄期末)设定点A (3,1)，B 是x 轴上的动点，C 是直线y ＝x 上的动点，则△ABC 周长的最小值是( )A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D.10答案 B解析作出点A (3,1)关于y ＝x 的对称点A ′(1,3)，关于x 轴的对称点A ″(3，－1)，连接A ′A ″，交直线y ＝x 于点C ，交x 轴于点B ，则AC ＝A ′C ，AB ＝A ″B ，∴△ABC 周长的最小值为|A ′A ″|＝(1－3)2＋(3＋1)2＝2 5.故选B.1.(2018·山西长治模拟)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎫2019π2－2α的值为( )A.45 B ．－45C ．2D ．－12答案 B解析由题意知tan α＝2，又α∈[0，π)，∴sin α＝255，cos α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎫2019π2－2α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2α＝－sin2α＝－2sin αcos α＝－45，故选B.2．(2017·天山期末)直线a 1x ＋b 1y ＝2和a 2x ＋b 2y ＝2交于点P (2,3)，则过点A (a 1，b 1)、B (a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋3y －2＝0B ．3x ＋2y －2＝0C ．3x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y ＋2＝0答案 A解析 ∵直线a 1x ＋b 1y ＝2和a 2x ＋b 2y ＝2交于点P (2,3)， ∴把P (2,3)代入两直线得2a 1＋3b 1＝2和2a 2＋3b 2＝2，过点A (a 1，b 1)，B (a 2，b 2)的直线方程为2x ＋3y ＝2即2x ＋3y －2＝0，故选A.3．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．答案－3解析 ∵y ＝ax 2＋b x ，∴y ′＝2ax －bx2，由题意可得⎩⎨⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.(经检验满足题意)．∴a ＋b ＝－3.4．(2017·山西太原质检)光线从A (－4，－2)点射出，射到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C . 故BC 所在的直线方程为y ＋46＋4＝x ＋21＋2.即10x －3y ＋8＝0.一、选择题1．(2017·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3答案 C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.故选C.2．(2017·清城一模)已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为P (1，p )，则m －n ＋p 的值是( )A ．24B ．20C ．0D ．－4答案 B解析 ∵直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，∴m －4×25＝－1，∴m ＝10，直线mx ＋4y －2＝0即5x ＋2y －1＝0，垂足(1，p )代入得，5＋2p －1＝0，∴p ＝－2. 把P (1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0，可得n ＝－12， ∴m －n ＋p ＝20，故选B.3．过点P (1,2)且与原点O 距离最大的直线方程为( )点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2，3)． (2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|P A ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|P A ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10，故所求的点P 的坐标为(12,10)． 16．(2018·深圳质检)如图所示，函数f (x )＝x ＋2x的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图象上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：|PM |·|PN |为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值．解 (1)证明：设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋2x 0(x 0>0)，则|PN |＝x 0，|PM |＝⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0，因此|PM |·|PN |＝1，即|PM |·|PN |为定值． (2)直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)，即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，得x ＝y ＝x 0＋12x 0. 所以|OM |＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋12x 0. 连接OP ，S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12|PN ||ON |＋12|PM ||OM |＝12x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋2x 0＋12·1x 0·2⎝⎛⎭⎫x 0＋12x 0＝2＋12⎝⎛⎭⎫x 20＋1x 20≥1＋2，当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立，因此四边形OMPN 面积的最小值为1＋ 2.17．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0. 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在．∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在且l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.18．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P .(1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，解得λ＝2或λ＝12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)．如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． ∴d max ＝|P A |＝10.方法与技巧1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1、l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意． 2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法．失误与防范1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑． 2．在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中x ，y 的系数化为相同的形式．1． (2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，所以“a ＝1”是“直线l 1与直线l 2平行”的充分不必要条件．2．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0 答案 A解析由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确． 3．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 答案 D解析设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直答案 C解析由a sin A ＝bsin B ，得b sin A －a sin B ＝0.∴两直线垂直．5. 如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5答案 A解析由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为|CD |＝210.6． (2013·天津)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a 等于 ( )A ．－12B ．1C ．2 D.12答案 C解析圆心为O (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上， ∴P 为切点，OP 与P 点处的切线垂直． ∴k OP ＝2－02－1＝2，又点P 处的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直． ∴a ＝k OP ＝2，选C.7．已知直线l 1：y ＝x sin α和直线l 2：y ＝2x ＋c ，则直线l 1与l 2()A ．通过平移可以重合B ．可能垂直C ．可能与x 轴围成等腰直角三角形D ．通过绕l 1上某一点旋转可以重合答案 D解析 l 1的斜率sin α∈[－1,1]，l 2的斜率为2，积可能为－1，即两直线可能垂直，斜率不可能相等，所以必相交，l 1绕交点旋转可与l 2重合．8．设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线l 的距离为3，则△AOB 的面积S 的最小值为 ( )A.12 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析原点O 到直线l 的距离d ＝|m ×0＋n ×0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2＝3，∴m2＋n 2＝13，在直线l 的方程中，令y ＝0可得x ＝1m，即直线l 与x 轴交于点A (1m ，0)，令x ＝0可得y ＝1n ，即直线l 与y 轴交于点B (0，1n)，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12·1|m |·1|n |＝12|m |·|n |≥1m 2＋n 2＝3，当且仅当|m |＝|n |时上式取等号，由于m 2＋n 2＝13，故当m 2＝n 2＝16时，△AOB 面积取最小值3.9．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值 |PQ |＝2－02＋1＋32＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.10． (2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案 (2,4)解析设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.① 又k BD ＝5－－11－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2,4)．11．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.答案 35解析由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.12．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________．答案 ①⑤解析两直线x －y ＋1＝0与x －y ＋3＝0之间的距离为|3－1|2＝2，又动直线l 1与l 2所截得的线段长为22，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．13．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案345解析由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m 2－3n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35n ＝315，故m ＋n ＝345.14．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．解过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0y ＋1＝k x －1，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)．则B 点坐标为(k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)．由已知(k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.15．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x－2y －5＝0，求直线BC 的方程．解依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)， ∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.16．如图，函数f (x )＝x ＋2x的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图象上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：|PM |·|PN |为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值． (1)证明设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋2x 0 (x 0>0)．则|PN |＝x 0，|PM |＝⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0，因此|PM |·|PN |＝1. (2)解直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)，即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，得x ＝y ＝x 0＋22x 0， S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM ＝12|PN ||ON |＋12|PM ||OM |＝12x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋2x 0＋22x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋12x 0＝2＋12⎝⎛⎭⎫x 20＋1x 20≥1＋2，当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立，因此四边形OMPN 面积的最小值为1＋ 2.。

苏教版高三数学一轮复习---9.2 两条直线的位置关系

§9.2 两条直线的位置关系2020高考会这样考 1.考查两条直线的平行、垂直关系；2.考查两点间的距离公式及点到直线的距离公式的应用．复习备考要这样做 1.对于两条直线的位置关系问题，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系；2.熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行． (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解． 3．三种距离公式(1)点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)间的距离： AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝ |Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 (C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.[难点正本疑点清源]1．两条直线平行、垂直的充要条件是有大前提的，就是两条直线都有斜率．当直线无斜率时，要单独考虑．2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0.1．直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________．答案－4解析因为两直线的交点在y 轴上，所以点⎝⎛⎭⎫0，43在第一条直线上，所以C ＝－4. 2．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________. 答案 1解析 ∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，∴12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，∴m ＝1.3．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为________________．答案 x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0解析设l 1的方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋1|2＝ 2.∴|c ＋1|＝2，即c ＝1或c ＝－3.4．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是______________．答案 x －2y －1＝0解析 ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行，∴所求直线的斜率为k ＝12，又直线过点(1,0)，可得所求方程为x －2y －1＝0.5．若经过点(3，a )、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为12的直线垂直，则a 的值为______．答案－10解析 ∵a －03－(－2)＝－2，∴a ＝－10.题型一两条直线的平行与垂直例1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)l 1⊥l 2时，求a 的值．思维启迪：运用两条直线平行或垂直的条件求解，要注意斜率为0或斜率不存在的情形．解 (1)方法一当a ＝1时， l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3， l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧－a 2＝11－a，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．方法二由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6，⇒a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行． (2)方法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2；当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23. 方法二由A 1A 2＋B 1B 2＝0得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.探究提高 (1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x 、y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝02m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.(2)当m ＝0时，显然l 1不平行于l 2；当m ≠0时，由m 2＝8m ≠n－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ·m －8×2＝0，8×(－1)－n ·m ≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2，或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2时或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当m ·2＋8·m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2.又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 题型二两条直线的交点问题例2 求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y＋6＝0的直线l 的方程．思维启迪：可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．解方法一先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝05x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.方法二由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1，故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.方法三由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0. 其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.探究提高运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有： (1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0 (m ∈R 且m ≠C )； (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0 (m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0 (λ∈R )，但不包括l 2.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．解与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0. 设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0，即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0.又直线过A (－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.题型三距离公式的应用例3 已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0 (a >0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0.且l 1与l 2的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．思维启迪：(1)由l 1与l 2的距离构建方程求a ；(2)假设存在点P ，并设出其坐标，根据条件建立方程求解并作出判断．解 (1)∵l 1：4x －2y ＋2a ＝0 (a >0)，l 2：4x －2y －1＝0， ∴两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝|2a ＋1|25，由已知，可得|2a ＋1|25＝7510.又a >0，可解得a ＝3.(2)设点P 的坐标为(x ，y )，由条件①，可知x >0，y >0. 由条件②和③，可得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －y ＋3|5＝|4x －2y －1|45，5·|2x －y ＋3|5＝2·|x ＋y －1|2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧4|2x －y ＋3|＝|4x －2y －1|，|2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|，于是可得，4|x ＋y －1|＝|4x －2y －1|，也就是4(x ＋y －1)＝4x －2y －1，或4(x ＋y －1)＝－4x ＋2y ＋1，解得y ＝12，或8x ＋2y －5＝0.当y ＝12时，代入方程|2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|，解得x ＝－3<0或x ＝－23<0，均舍去．由⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2y －5＝0|2x －y ＋3|＝|x ＋y －1|，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 8x ＋2y －5＝0x －2y ＋4＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋2y －5＝03x ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝19y ＝3718或⎩⎨⎧x ＝－23<0y ＝316(舍去)．即存在满足题设条件的点P ，其坐标为⎝⎛⎭⎫19，3718.探究提高 (1)在应用两条直线间的距离公式时．要注意两直线方程中x 、y 的系数必须相同．(2)第(2)问是开放探索性问题，要注意解决此类问题的一般策略．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使P A ＝PB ，且点P 到直线l 的距离为2.解设点P 的坐标为(a ，b )，∵A (4，－3)，B (2，－1)， ∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)， ∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在上述直线上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87.对称变换思想的应用典例：(14分)光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．审题视角 (1)入射光线所在直线与反射光线所在直线关于l 对称．(2)对称点的连线被对称轴垂直平分．规范解答解方法一由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∴反射点M 的坐标为(－1,2)．[2分]又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.[6分]而PP ′的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02， Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.[8分]由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32(x 0－5)－y 0＋7＝0.得⎩⎨⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.[12分]根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.[14分] 方法二设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x＝－23，[4分]又PP ′的中点Q ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，[6分]由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－(y ＋y 0)＋7＝0.可得P 点的坐标为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，[10分]代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， ∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.[14分]温馨提醒 (1)综合利用物理学知识，利用对称变换的思想方法求解是本题的关键．(2)构建方程解方程组是本题的又一重要方法．(3)坐标转移法是对称变换中常用的方法之一．(4)本题的易错点，一是计算错误，二是不能用对称的思想求解，亦即找不到解决问题的突破口.方法与技巧1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1、l2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法．失误与防范1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑． 2．在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中的x ，y 系数化为分别相等．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是____________．答案 3x ＋2y －1＝0解析由题意知，直线l 的斜率为－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y－1＝0.2．(2012·浙江改编)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的______________条件．答案充分不必要解析若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，所以“a ＝1”是“直线l 1与直线l 2平行”的充分不必要条件．3．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为____________．答案 x ＋2y －4＝0解析由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式得反射光线的直线方程x ＋2y －4＝0.4．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为____________．答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析由题意设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.5．若不同两点 P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________．答案－1解析由题可知k PQ ＝3－a －b3－b －a＝1，又k l k PQ ＝－1⇒k l ＝－1.6．若直线ax －2y ＋2＝0与直线x ＋(a －3)y ＋1＝0平行，则实数a 的值为________．答案 1解析由两直线平行的条件得a (a －3)＝－2，解得a ＝1或2，经检验，a ＝2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a 的值为1.7．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是________．答案 ①⑤解析两直线x －y ＋1＝0与x －y ＋3＝0之间的距离为|3－1|2＝2，又动直线l 1与l 2所截得的线段长为22，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．二、解答题(共27分)8．(13分)求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程．解由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1，l 2的交点为(1,2)．设所求直线方程为y －2＝k (x －1)．即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得：k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.9．(14分)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0.①又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a ＋b (a －1)＝0，∴b ＝a1－a ，故l 1和l 2的方程可分别表示为：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0，又原点到l 1与l 2的距离相等．∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23， ∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.B 组专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．答案垂直解析由a sin A ＝bsin B ，得b sin A －a sin B ＝0.∴两直线垂直．2. 如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________．答案 210解析由题意知点P 关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线所经过的路程PMN 的长为CD ＝210.3．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为__________．答案 x ＋2y －5＝0解析所求直线与直线OA 垂直，∵k OA ＝2，∴所求直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.4．已知0<k <4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．答案 18解析由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18. 5．一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为________．答案 x －2y ＋7＝0解析取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0,2)，设点A (0,2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b ＋22－5＝0b －2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝5， ∴B (3,5)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4，∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1,4)，∴反射光线在经过点B (3,5)和点P (1,4)的直线上，其直线方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x －2y ＋7＝0. 6．已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．答案 12解析由题意知A (2,0)，B (0,1)，所以线段AB 的方程用截距式表示为x 2＋y ＝1，x ∈[0,2]，又动点P (a ，b )在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0,2]，又a 2＋b ≥2ab 2，所以1≥2ab 2，解得0≤ab ≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P ⎝⎛⎭⎫1，12时，ab 取得最大值12. 二、解答题(共28分)7．(14分)已知直线l 过点P (3,1)，且被两平行线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．解方法一若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别是A (3，－4)，B (3，－9)，截得的线段长|AB |＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l 的斜率存在时，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1，分别与直线l 1，l 2的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，1－4k k ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，1－9k k ＋1. 由两点间的距离公式，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k k ＋1－1－9k k ＋12＝25，解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1.综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.方法二两平行线间的距离d ＝|6－1|2＝522，如图，直线l 被两平行线截得的线段长为5，设直线l 与两平行线的夹角为θ，则sin θ＝22，所以θ＝45°. 因为两平行线的斜率是－1，故所求直线的斜率不存在，或为0.又因为直线l 过点P (3,1)，所以直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.8．(14分)如图，函数f (x )＝x ＋2x的定义域为(0，＋∞)．设点P 是函数图象上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：PM ·PN 为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值．(1)证明设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋2x 0 (x 0>0)．则PN ＝x 0，PM ＝⎪⎪⎪⎪2x 02＝1x 0，因此PM ·PN ＝1. (2)解直线PM 的方程为y －x 0－2x 0＝－(x －x 0)，即y ＝－x ＋2x 0＋2x 0. 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－x ＋2x 0＋2x 0，x ＝y ＝x 0＋22x 0， S 四边形OMPN ＝S △NPO ＋S △OPM＝12PN ·ON ＋12PM ·OM ＝12x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋2x 0＋22x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋12x 0 ＝2＋12⎝⎛⎭⎫x 20＋1x 20≥1＋2，当且仅当x 0＝1x 0，即x 0＝1时等号成立，因此四边形OMPN的最小值为1＋ 2.。

高考数学一轮复习 9.2 两条直线的位置关系理苏教版

9.2 两条直线的位置关系一、填空题1．已知直线l 1经过两点(－2,3)，(－2，－1)，直线l 2经过两点(2,1)， (a ，－5)，且l 1∥l 2，则a ＝________.解析由题意知直线l 1的倾斜角为90°，而l 1∥l 2，所以直线l 2的倾斜角也为90°，又直线l 2经过两点(2,1)，(a ，－5)，所以a ＝2. 答案 22．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有________个．解析三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23，故实数m 的取值最多有4个．答案 43．若三条直线x ＋y ＋1＝0,2x －y ＋8＝0和ax ＋3y －5＝0共有三个不同的交点，则实数a 满足的条件是________．解析当三条直线交于一点时，a ＝13；当x ＋y ＋1＝0与ax ＋3y －5＝0平行时，a ＝3；当2x －y ＋8＝0与ax ＋3y －5＝0平行时，a ＝－6. 故a 满足的条件是a ≠13且a ≠－6且a ≠3.答案 a ≠13且a ≠－6且a ≠34．若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离d ＝________.解析由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722. 答案7225．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为________．解析所求直线过点A 且与OA 垂直时满足条件，此时k OA ＝2，故求直线的斜率为－12，所以直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.答案 x ＋2y －5＝06．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)．解析记直线m 的倾斜角是θ.由题意知直线l 1、l 2间的距离等于22＝ 2.又直线m 被直线l 1、l 2所截得的线段的长是22，因此直线m 与直线l 1的夹角的正弦值等于222＝12，直线m 与直线l 1的夹角是30°，又直线l 1的倾斜角是45°，因此θ＝15°或θ＝75°，故正确答案的序号是①⑤. 答案 ①⑤7．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是________．解析由已知条件可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m ＝3. 答案 38．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移一个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是________．解析设l 的方程是y ＝kx ＋b ，由已知y ＝k (x ＋3)＋b ＋1即y ＝kx ＋3k ＋b ＋1与y ＝kx ＋b 重合，∴3k ＋b ＋1＝b .即k ＝－13.答案－139. 已知直线l 1：2x －3y ＋10＝0，l 2：3x ＋4y －2＝0，则经过l 1和l 2的交点，且与直线l 3：3x －2y ＋4＝0垂直的直线l 的方程为________．解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y +10=0，3x +4y -2=0，得交点坐标(-2,2)．又由l ⊥l 3，且kl 3=32，得到k l =-23，所以直线l 的方程为y-2=-23(x+2)，即2x+3y-2=0.答案 2x+3y-2=010．已知1a ＋1b＝1(a ＞0，b ＞0)，点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为________．解析点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b 5＝15(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当a 2＝2b 2且a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号．答案35＋210511．已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为________．解析由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,4)，直线l 1的纵截距为4－k ，直线l 2的横截距为2k 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8，故面积最小时，k ＝18.答案 1812．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是________．解析由条件，以(10,0)和(－6,8)为端点的线段的垂直平分线方程为y ＝2x ，则与点(－4,2)重合的点即为求点(－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点，求得点为(4，－2)．答案 (4，－2)13．若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．解析根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab ，又ab >0，故a <0，b <0，根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，即ab 的最小值为16. 答案 16 二、解答题14. 已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．解析 (1)∵l 1⊥l 2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a 2－a －b ＝0，① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a＋b(a －1)＝0，∴b＝a1－a，故l 1和l 2的方程可分别表示为：(a －1)x ＋y ＋4 a－1 a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a1－a＝0，又原点到l 1与l 2的距离相等．∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，∴a＝2或a ＝23， ∴a＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.15．一条光线经过P (2,3)点，射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后穿过Q (1,1)． (1)求光线的入射方程； (2)求这条光线从P 到Q 的长度．解析 (1)设点Q ′(x ′，y ′)为Q 关于直线l 的对称点且QQ ′交l 于M 点，由k l ＝－1，得k QQ ′＝1.所以QQ ′所在直线方程为y －1＝1·(x －1) 即x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －y ＝0，解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12.又因为M 为QQ ′的中点，由此得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ′2＝－12，1＋y ′2＝－12.解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2y ′＝－2.所以Q ′(－2，－2)．设入射线与l 交于点N ，且P ，N ，Q ′共线．则P (2,3)，Q ′(－2，－2)，得入射线方程为y ＋23＋2＝x ＋22＋2，即5x －4y ＋2＝0. (2)因为l 是QQ ′的垂直平分线，因而NQ ＝NQ ′. 所以PN ＋NQ ＝PN ＋NQ ′＝PQ ′ ＝ 3＋2 2＋ 2＋2 2＝41，即这条光线从P 到Q 的长度是41.16．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解析 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.17．过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长AB ＝2，求直线l 的方程.解析设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.∵AB ＝2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 3k ＋42＝2，整理，得7k 2－48k －7＝0，解得k 1＝7或k 2＝－17.因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.18．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，∴a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，又∵l 过点P (0,1)．所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.。

两条直线的位置关系9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测(解析版)

专题39两条直线的位置关系9题型分类1．两条直线的位置关系直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 3：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 4：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(其中l 1与l 3是同一条直线，l 2与l 4是同一条直线)的位置关系如下表：位置关系l 1，l 2满足的条件l 3，l 4满足的条件平行k 1＝k 2且b 1≠b 2A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0垂直k 1·k 2＝－1A 1A 2＋B 1B 2＝0相交k 1≠k 2A 1B 2－A 2B 1≠02.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．②结论：|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.③特例：点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.常用结论1．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．（一）判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点（二）利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．∴PB l 的倾斜角为π6，PA l 的倾斜角为∴直线l 的倾斜角的取值范围是故选：D作B 关于直线:3l x y --则直线AB '和直线l 的交点即为设D 为l 上异于P 的一点，则故DA DB DA DB -=-故||||||PA PB -最大，即此时设(,)B a b '，则432b a a b -⎧=⎪⎪⎨⎪⨯-⎪⎩作C 关于直线:3l x y --则直线AC '和直线l 的交点即为设E 为l 上异于P 的一点，则故EC EA EC EC +=+故||||+PA PC 最小，即此时设(,)C m n '，则43332n m m -⎧=⎪⎪-⎨+⎪⨯⎪⎩故直线AC '方程为19x +即即1126(,)77P ；5-4．（2024高三下·江西2430x y -+=上一动点，则A ．5B 【答案】B【分析】求点()0,2A -关于直线论两点之间线段最短可求5-5．（2024高二下·上海浦东新且1PQ l ⊥，点()3,3A --，【答案】310322+【分析】作出图象，易知l 然后在l 上，直线1l ，2l 之间找点由此求解．【详解】易知12l l //，作出图象如下，过直线:3l y x =-，过P 作直线//PC QB ，与直线l 交于点C ，易知四边形PCBQ 为平行四边形，故PC QB =，且B 到直线2l 的距离等于C 到1l 的距离，设(,3)C t t -，则3230122t t +-++-=，解得32t =或12t =-（舍)，所以33,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而AP PQ QB AP PQ PC ++=++，且2(1)332222PQ --===（定值），故只需求出||||AP PC +的最小值即可，显然223331033222AP PC AC ⎛⎫⎛⎫+≥=--+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故AP PQ QB ++的最小值为310322+．故答案为：310322+．5-6．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数()()()ln 11f x a x a =++∈R 的图象恒过定点A ，圆22:4O x y +=上的两点()11,P x y ，()22,Q x y 满足()PA AQ λλ=∈R，则11222727x y x y +++++的最小值为()A ．25B ．75+C ．155-D ．3025-【答案】C 【分析】设直线l 为270x y ++=.取圆O 的弦PQ 的中点为E ，求出其轨迹方程，求出E 到直线l 距离的最小值.过P 、E 、Q 分别作直线l 的垂线，垂足分别为M 、R 、N ，将11222727x y x y +++++转化为25ER ，即可求其最小值．【详解】由题可知A 为(0，1)，且P 、A 、Q 三点共线，设弦PQ 的中点为E (x ，y )，连接OE ，则OE ⊥PQ ，即OE ⊥AE ，∴0OE AE ⋅=，由此可得E 的轨迹方程为2+−122=14，【点睛】本题需充分利用数形结合思想进行简答，直线的距离公式联系在一起，数形结合求解最值5-7．（2024高三下·上海宝山·开学考试）如图，平面上两点2MN=，且使PM MN++【答案】99, 44骣÷ç÷ç÷ç桫【点睛】本小题主要考查两点间距离公式的应用，考查对称性，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题（三）对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．求直线l关于直线0l对称的直线'lCA．35B．【答案】C【分析】求点A关于y轴的对称点6-3．（2024高二上·四川遂宁A ．(1,4)-C ．(3,4)--【答案】C 【分析】因点A 与点B 关于直线对称，则【详解】设(),A x y ，因点A 垂直，则212022112x y y x ++⎧++=⎪⎧⎪⇒⎨⎨-⎩⎪=⎪-⎩即点A 坐标为(3,4)--.则直线的对称点为（四）一、单选题1．（2024高二上·浙江·期中）已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于（）AB．2C1D1+【答案】C【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.1=．解得1a =-1a =-0a >，1a ∴=-故选：C.2．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知两条直线1:3460l x y -+=，2:3440l x y --=，则这两条直线之间的距离为（）A ．2B ．3C ．5D ．10【答案】A【分析】由两平行线距离公式求解即可.【详解】这两条直线之间的距离为2d ==.故选：A3．（2024高二·全国·课后作业）求直线x ＋2y －1＝0关于直线x ＋2y ＋1＝0对称的直线方程（）A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y ＋3＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．x ＋2y ＋2＝0【答案】B【分析】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.【详解】设对称直线方程为20x yc ++=，=，解得3c =或1c =-（舍去）.所以所求直线方程为230x y ++=.故选：B4．（2024高二·全国·课后作业）直线0ax by c ++=关于直线0x y -=对称的直线为（）A ．0ax by c -+=B ．0bx ay c -+=C ．0bx ay c ++=D ．0bx ay c +-=【答案】C【分析】根据两直线关于对称直线对称的概念即可求解【详解】解：设所求直线上的任意一点为(,)M x y 则M 关于直线0x y -=对称点为(,)N y x 点N 在直线0ax by c ++=上∴(,)N y x 满足直线方程，即0ay bx c ++=∴直线0ax by c ++=关于直线0x y -=对称的直线为0bx ay c ++=故选：C5．（2024·浙江温州·三模）已知直线12:0,:10l x y l ax by +=++=，若12l l ⊥，则a b +=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【分析】根据给定的条件，利用两直线的垂直关系列式计算作答.【详解】因为直线12:0,:10l x y l ax by +=++=，且12l l ⊥，则110a b ⋅+⋅=，所以0a b +=.故选：B6．（2024·安徽蚌埠·三模）已知直线1l ：210ax y ++=，2l ：()30a x y a --+=，则条件“1a =”是“12l l ⊥”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不必要也不充分条件【答案】B 【分析】根据两直线垂直的性质，可得()312a a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，求出a 的值，即可判断.【详解】若12l l ⊥，则()312a a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得1a =或2a =.故1a =是12l l ⊥的充分不必要条件.故选：B7．（2024高二上·全国·课后作业）直线220x y ++=与420ax y +-=互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（）A ．()1,4-B ．()0,2-C ．()1,0-D ．0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由两直线垂直可得2a =-，联立解方程组可得交点坐标.【详解】易知直线220x y ++=的斜率为2-，由两直线垂直条件得直线420ax y +-=的斜率142a -=，解得2a =-；联立2202420x y x y ++=⎧⎨-+-=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩；即交点为()1,0-故选：C.8．（2024高二下·四川广元·期中）若直线2mx ny +=过点()2,2A ，其中m ，n 是正实数，则12m n+的最小值是（）A ．3B ．3+C ．92D ．5【答案】B 【分析】由点A 在直线上可知1m n +=【详解】因为直线2mx ny +=过点(2,2)A ，所以222m n +=，由m 和n 都是正实数，所以1m n +=，0m >，0n >．所以()12122123n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭当2n m m n =时取等号，即1m =，2n =-所以12m n+的最小值是3+故选:B ．9．（2024高二上·全国·课后作业）若直线230x y --=与420x y a -+=，则a 的值为（）A ．4B 6C ．4或16-D ．8或16-【答案】C【分析】将直线230x y --=化为4260x y --=，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.【详解】将直线230x y --=化为4260x y --=，则直线230x y --=与直线420x y a -+=之间的距离d ==，即|6|10a +=，解得4a =或16a =-，所以a 的值为4a =或16a =-.故选：C10．（2024高二上·全国·课后作业）抛物线214y x =的焦点关于直线10x y --=的对称点的坐标是（）A ．(2,1)-B ．(1,1)-C ．11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】求出抛物线214y x =焦点坐标为(0,1)F ，设(0,1)F 关于直线10x y --=的对称点的坐标是(,)F m n '，列出关于,m n 的方程组求解即可.【详解】抛物线214y x =即24x y =，其焦点坐标为(0,1)F ，设(0,1)F 关于直线10x y --=的对称点的坐标是(,)F m n '，则1110011022n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，则(2,1)F '-，故选：A ．11．（2024·四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()124πθ≤+≤PA PB ≤+≤选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.12．（2024·全国）点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（）A ．1B CD ．2【答案】B【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果.【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.13．（2024·北京东城·二模）已知三条直线1:220l x y -+=，2:20l x -=，3:0+=l x ky 将平面分为六个部分，则满足条件的k 的值共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】C【分析】考虑三条直线交于一点或3l 与1l 或2l 平行时，满足条件，求出答案.【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，联立1:220l x y -+=与2:20l x -=，解得22x y =⎧⎨=⎩，则将22x y =⎧⎨=⎩代入3:0+=l x ky 中，220k +=，解得1k =-，当3:0+=l x ky 与1:220l x y -+=平行时，满足要求，此时2k =-，当3:0+=l x ky 与2:20l x -=平行时，满足要求，此时0k =，综上，满足条件的k 的值共有3个.故选：C14．（2024高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两直线方程为1:3260l x y --=，22:0x y l --=，则1l 关于2l 对称的直线方程为（）A ．3240x y --=B ．2360x y +-=C ．2340x y --=D ．3260x y --=【答案】C【分析】根据题意，设所求直线上任一点M （x ，y ）且M 关于直线22:0x y l --=的对称点1(M x '，1)y ，利用轴对称的性质列出方程组解出用x 、y 表示1x 、1y 的式子，再由点M '在直线3260x y --=上代入，化简即得所求对称直线方程；【详解】设所求直线上任一点(,)M x y ，M 关于直线20x y --=的对称点1(M x '，1)y ，则111112022y y x x x x y y -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪--=⎪⎩，解出112(*)2x y y x =+⎧⎨=-⎩ 点M '在直线3260x y --=上，∴将(*)式代入，得3(2)2(2)60y x +---=，化简得2340x y --=，即为1l 关于2l 对称的直线方程．故选：C15．（2024高一下·海南·期末）设,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅++=与sin sin 0bx B y C -⋅+=的位置关系是（）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C【分析】根据直线方程确定斜率，利用三角形边角关系及直线垂直的判定判断两直线的位置关系即可.【详解】由题设，sin 0A x ay c ⋅++=的斜率为sin Aa-，sin sin 0bx B y C -⋅+=的斜率为sin b B ，又sin sin b aB A =，则1sin sin b BA a ⋅=--，即两直线垂直.故选：C16．（2024高三下·江西·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则(,)F x y =的最小值为（）A ．4B．2+C．3+D．4+【答案】B【分析】根据题意作出图形，证明出三角形ABC 为等腰直角三角形，作出辅助线，找到费马点，求出最小值.【详解】由题意得：(,)F x y 的几何意义为点E 到点()(),1,1,0,2A B C 的距离之和的最小值，因为AB =CB =4AC ==，所以222AB CB AC +=，故三角形ABC 为等腰直角三角形，，取AC 的中点D ，连接BD ，与AO 交于点E ，连接CE ，故122BD AC ==，AE CE =，因为3CO AO =，所以30CAO ∠=︒，故120AEC ∠=︒，则120BEC AEB ∠=∠=︒，故点E 到三角形三个顶点距离之和最小，即(,)F x y 取得最小值，因为122AD CD AC ===，所以cos 303AD AE ==︒，同理得：3CE =，3DE =，2BE BD DE =-=-，故(,)F x y 的最小值为22333AE CE BE ++=++-=+故选：B17．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线()()1:11l x a y a a R ++=-∈，直线21:2l y x =-，下列说法正确的是（）A ．R a ∃∈，使得12l l ∥B ．R a ∃∈，使得12l l ⊥C ．R a ∀∈，1l 与2l 都相交D ．R a ∃∈，使得原点到1l 的距离为3【答案】B 【分析】对A ，要使12l l ∥，则12k k ∥，所以1112a -=-+，解之再验证即可判断；对B ，要使12l l ⊥，121k k ×=-，1112a -=-+，解之再验证即可判断；对C ，当1a =时，1l 与2l 重合，即可判断；对D ，根据点到直线距离列方程即可判断.【详解】对A ，要使12l l ∥，则12k k ∥，所以1112a -=-+，解之得1a =，此时1l 与2l 重合，选项A 错误；对B ，要使12l l ⊥，121k k ×=-，11112a ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，解之得32a =-，所以B 正确；对C ，()1:11l x a y a ++=-过定点()2,1-，该定点在2l 上，但是当1a =时，1l 与2l 重合，所以C 错误；对D ，3d ==，化简得2820170a a -+=，此方程0∆<，a 无实数解，所以D错误.故选：B.18．（2024·全国）如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么（）A ．1,63a b ==B ．1,63a b ==-C ．3,2a b ==-D ．3,6a b ==【答案】A【分析】由题意在2y ax =+上任取一点(0,2)，其关于直线y x =的对称点在3y x b =-上，代入可求出b ，然后在3y x b =-上任取一点，其关于直线y x =的对称点在2y ax =+上，代入可求出a .【详解】在2y ax =+上取一点(0,2)，则由题意可得其关于直线y x =的对称点(2,0)在3y x b =-上，所以06b =-，得6b =，在36y x =-上取一点(0,6)-，则其关于直线y x =的对称点(6,0)-在2y ax =+上，所以062a =-+，得13a =，综上1,63a b ==，故选：A19．（2024高一·全国·课后作业）已知ΔA 的顶点()2,1B ，()6,3C -，其垂心为()3,2H -，则其顶点A 的坐标为A ．()19,62--B ．()19,62-C ．()19,62-D ．()19,62【答案】A【分析】由垂心的定义可知AH BC ⊥，BH AC ⊥；根据垂直时斜率乘积为1-可知4AH k =，5AC k =，利用两点连线斜率公式可构造出方程组求得结果.【详解】H 为ΔA 的垂心AH BC ∴⊥，BH AC⊥又311624BC k -==---，211325BH k -==---∴直线,AH AC 斜率存在且4AH k =，5AC k =设(),A x y ，则243356AH AC y k x y k x -⎧==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩，解得：1962x y =-⎧⎨=-⎩()19,62A ∴--本题正确选项：A【点睛】本题考查根据直线与直线垂直的位置关系求解参数的问题；关键是能够利用垂心的性质得到直线与直线的垂直关系.20．（2024高三·全国·课后作业）若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为()A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求出点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，再求出m 的值和原点到直线l 的距离即得解.【详解】依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，所以|m ＋7|＝|m ＋5|，所以m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式得M=.故选：A.【点睛】本题主要考查平行线间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．（2024高二上·湖北·阶段练习）在等腰直角三角形ABC 中，3AB AC ==，点P 是边AB 上异于A B ､的一点，光线从点P 出发，经BC CA ､反射后又回到点P ，如图，若光线QR 经过ABC V 的重心，则AP =（）A ．32B ．34C ．1D ．2【答案】C【分析】根据题意，建立坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点1P 的坐标，和P 关于y 轴的对称点2P 的坐标，由1P ，Q ，2RP四点共线可得直线的方程，由于过ABC V 的重心，代入可得关于a 的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP 的值，即可得答案．【详解】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得(3,0)B ，(0,3)C ，故直线BC 的方程为3x y +=，又由(0,0)A ，(3,0)B ，(0,3)C ，则ABC V 的重心为(1,1)，设(,0)P a ，其中0<<3a ，点P 关于直线BC 的对称点1(,)P x y ，则有03220(1)1a x y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯-=-⎪-⎩，解得33x y a =⎧⎨=-⎩，即1(3,3)P a -，易得P 关于y 轴的对称点2(,0)P a -，由光的反射原理可知1P ，Q ，R ，2P 四点共成直线QR 的斜率33ak a-=+，故直线QR 的方程为3()3ay x a a-=++，由于直线QR 过ABC V 的重心(1,1)，代入化简可得20a a -=，解得：1a =或0(a =舍)，即(1,0)P ，故1AP =，故选：C ．22．（2024高一上·湖南长沙·开学考试）如下图，一次函数4y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点(2,0)C -是x 轴上一点，点E ，F 分别为直线4y x =+和y 轴上的两个动点，当CEF △周长最小时，点E ，F 的坐标分别为（）A ．53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,2)F B ．(2,2)E -，(0,2)F C ．53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(2,2)E -，20,3F ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】作C 关于y 轴的对称点G ，作C 关于4y x =+的对称点D ，连接DG 交y 轴于F ，交AB 于E ，有++=++=EC FC EF ED FG EF DG ，即此时CEF △周长最小，求出D 点坐标，可得直线DG 方程，与4y x =+联立求出E 点坐标，令0x =可得F 点坐标.【详解】作(2,0)C -关于y 轴的对称点(2,0)G ，作(2,0)C -关于4y x =+的对称点(,)D a b ，连接DG 交y 轴于F ，交AB 于E ，所以,==FG FC EC ED ，此时CEF △周长最小，即++=++=EC FC EF ED FG EF DG ，由(2,0)C -，直线AB 方程为4y x =+，所以122422ba b a ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=+⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩，所以(4,2)D -，可得直线DG 方程为022042--=---y x ，即1233y x =-+，由41233y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得5232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令0x =可23y =，所以20,3F ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.23．（2024高二上·广东深圳·期中）过定点A 的动直线0x ky +=和过定点B 的动直线210kx y k --+=交于点M ，则MA MB +的最大值是（）A．B ．3CD【答案】C【分析】求出A ，B 的坐标，并判断两直线垂直，推出点M 在以AB为直径的圆上，求得||AB =，即225MA MB +=，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意知0x ky +=过定点(0,0)A ,动直线210kx y k --+=即(2)10k x y --+=过定点(2,1)B ，对于直线0x ky +=和动直线210kx y k --+=满足1(1)0k k ⨯+⨯-=，故两直线垂直，因此点M 在以AB为直径的圆上，||AB ==则225MA MB +=，所以22222()22()10MA MB MA MB MA MB MA MB +++=+≤=，当且仅当MA MB ==故MA MB +，故选：C24．（2024高二下·陕西西安·期末）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（）AB C ．5D ．10【答案】C【分析】先求出两条直线经过的定点，然后根据两条直线的位置关系可判断它们垂直，从而PA PB ⊥，在利用勾股定理和基本不等式求解.【详解】显然0x my +=过定点(0,0)A 30mx y m --+=可化成(1)3y m x =-+，则经过定点()1,3B ，根据两条直线垂直的一般式方程的条件，1(1)0m m ⨯+⨯-=，于是直线0x my +=和直线30mx y m --+=垂直，又P 为两条直线的交点，则PA PB ⊥，又AB =222102PA PB AB PA PB +==≥⋅，则5PA PB ⋅≤，当PA PB ==PA PB ⋅的最大值是5.故选：C25．（河北省张家口市2023-2024学年高二上学期期末数学试题）已知0x y +=，则）AB ．CD ．【答案】C【分析】设点(,)P x y 为直线0x y +=上的动点，题意可转化成求(,)P x y 与()1,1的距离和(,)P x y 与()2,0的距离之和的最小值，求出1(1)M ，关于直线0x y +=的对称点)1(1M '--，，故PM PN PM PN M N''+=+≥=，即可求出答案【详解】设点(,)P x y 为直线0x y +=上的动点，可看作(,)P x y 与()1,1的距离和(,)P x y 与()2,0的距离之和，设点()()1,12,0M N ，，则点()1,1M '--为点1(1)M ，关于直线0x y +=的对称点，故PM PM '=，且M N =='，所以P M PN =+PM PN M N ''=+≥=，当且仅当,,P M N '三点共线时，取等号，.故选：C26．（2024·贵州·模拟预测）已知,x y +∈R ，满足22x y +=，则x 的最小值为（）A ．45B ．85C ．1D 【答案】B【分析】先求出点O 关于线段22x y +=的对称点C C PO P ==.根据几何意义，结合图象，即可得出取最小值时，点P 的位置，进而得出答案.【详解】如图，过点O 作点O 关于线段22x y +=的对称点C ，则PO PC =.设()00,C x y ，则有()0000212222y x x y ⎧⨯-=-⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩，解得008545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以84,55C ⎛⎫⎪⎝⎭.设(),P x y，则PO =C PO P ==，又,x y +∈R ，所以点P 到y 轴的距离为x ，所以，x 可视为线段22x y +=上的点(),P x y 到y 轴的距离和到84,55C ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和.过P 作PD x ⊥轴，过点C 作CH x ⊥轴，显然有PD PC CH +≥，当且仅当,,C P H 三点共线时，和有最小值.则CH 即为最小值，CH 与线段AB 的交点1P ，即为最小值时P 的位置.因为85CH =，所以x 的最小值为85.故选：B ．27．（2024·上海静安·二模）设直线1:220l x y --=与2l 关于直线:240l x y --=对称，则直线2l 的方程是（）A ．112220x y +-=B ．11220x y ++=C ．5110x y +-=D ．10220x y +-=【答案】A【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线2l 上一点，即可求解.【详解】联立220240x y x y --=⎧⎨--=⎩，得20x y =⎧⎨=⎩，取直线1:220l x y --=上一点()0,1-，设点()0,1-关于直线:240l x y --=的对称点为(),a b ，则112124022b a a b +⎧=-⎪⎪⎨-⎪⨯--=⎪⎩，解得：1211,55a b ==-，直线2l 的斜率112k =-，所以直线2l 的方程为()1122y x =--，整理为：112220x y +-=.故选：A28．（2024高三·北京·+的最小值所属区间为（）A ．[10,11]B ．(11,12]C ．(12,13]D ．前三个答案都不对【答案】C【分析】利用代数式的几何意义可求最小值.【详解】如图，设(,0),(0,),(9,2),(3,3)P x Q y A B --．根据题意，设题中代数式为M，则||||||||13M AP PQ QB AB =++≥==，等号当P ，Q 分别为直线AB 与x 轴，y 轴交点时取得．因此所求最小值为13．故选：C.29．（2024·北京）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +.【详解】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．二、多选题30．（2024高二下·江苏南京·期末）已知动点,A B 分别在直线1:3460l x y -+=与2:34100l x y -+=上移动，则线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离可能为（）A B ．75C D 【答案】CD【分析】根据直线平行可得P 在直线:3480l x y -+=上运动，即可根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：动点,A B 分别在直线13460l x y -+=：与234100l x y -+=：上移动，又线段AB 的中点为P ，21//l l ，P ∴在直线:3480l x y -+=上运动，O ∴到直线l 的距离85d ==．P ∴到坐标原点O 的距离大于等于85．故选：CD ．31．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +-=，下列结论正确的是（）A ．若12//l l ，则6a =B ．若12//l l ，则两条平行直线之间的距离为74C ．若12l l ⊥，则323a =D ．若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交【答案】AD【分析】根据两直线平行求出a 的值，可判断A 选项；利用平行线间的距离公式可判断B 选项；根据两直线垂直求出a 的值，可判断C 选项；根据两直线相交求出a 的范围，可判断D 选项.【详解】两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +-=，它们不重合，若12//l l ，则438a =⨯，得6a =，检验符合，故A 选项正确；若12//l l ，由A 选项可知，2l ：68110x y +-=，直线1l 的方程可化为68240x y ++=，72=，故B 选项不正确；若12l l ⊥，则3480a +⨯=，得323a =-，故C 选项不正确；由A 选项知，当6a =时，12//l l ，所以若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交，故D 选项正确.故选：AD.32．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l10y -+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l的一个法向量为)B ．若直线m：10x +=，则l m ⊥C．点)到直线l 的距离是2D．过()2与直线l40y --=【答案】CD【分析】对于A ：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B ：根据直线垂直分析判断；对于C ：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D ：根据直线平行分析求解.【详解】对于A ，因为直线l10y -+=的斜率k =11=≠-，可知)不为直线l 的一个法向量，故A 错误；对于B ，因为直线m：10x +=的斜率3k '=，且11kk '=≠-，所以直线l 与直线m 不垂直，故B 对于C，点)到直线l 的距离2d =，故C 正确；对于D ，过()2与直线l平行的直线方程是2y x -=-40y --=，故D 正确．故选：CD.33．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）已知曲线e 2xy =和直线:240l x y --=，则（）A ．曲线上与直线l 平行的切线的切点为e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．曲线上与直线l 平行的切线的切点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．曲线上的点到直线l D．曲线上的点到直线l 的最短距离为(3e 5+【答案】BC【分析】根据导数得出切线斜率求切点判断A,B,再结合点到直线距离求出最短距离判断C,D.【详解】设与直线122y x =-平行的直线和e 2xy =相切，则斜率为12k =.因为e 2x y =，所以e 2x y '=，令e 122x k ==，可得切点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 错误，B 正确；则点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线240x y --=的距离就是曲线e 2xy =上的点到直线240x y --=的最短距离，C 正确，D 错误.故选：BC.34．（福建省莆田第三中学，励志学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷）以下四个命题叙述正确的是（）A ．直线210x y -+=在x 轴上的截距是1B ．直线0x ky +=和2380x y ++=的交点为P ，且P 在直线10x y --=上，则k 的值是12-C ．设点(,)M x y 是直线20x y +-=上的动点，O 为原点，则OM 的最小值是2D ．直线()12:310:2110L ax y L x a y ++=+++=，，若12//L L ，则3a =-或2【答案】BC【分析】求出直线的横截距判断k 判断B ；求出点到直线的距离判断C ；验证判断D.【详解】对于A ，直线210x y -+=在x 轴上的截距是12-，A 错误；对于B ，由238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩解得12x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,2)P --，则120k --=，解得12k =-，B 正确；对于C，依题意，min OM =C 正确；对于D ，当2a =时，直线12:2310,:2310L x y L x y ++=++=重合，D 错误.故选：BC三、填空题35．（2024高二·全国·课后作业）已知(),6A a ，()2,B b -，点()2,3P 是线段AB 的中点，则a b +=.【答案】6【分析】利用中点坐标公式可求得,a b ，由此可得结果.【详解】由中点坐标公式知：222a -=，632b +=，解得：6a =，0b =，6a b ∴+=.故答案为：6.36．（2024高二·江苏·假期作业）已知点(),4M x -与点()2,3N 间的距离为x =．【答案】9或5-【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可.【详解】由MN =得MN ==即24450x x --=，解得9x =或5-．故答案为：9或5-.37．（2024高三上·河北廊坊·阶段练习）与直线:2310l x y -+=关于点()4,5对称的直线的方程为.【答案】23130x y -+=【分析】根据直线关于点对称方程的特点可设直线方程，在利用点到两条直线的距离相等即可求解直线方程.【详解】解：直线:2310l x y -+=关于点()4,5对称的直线的方程可设为230x y m -+=，其中1m ≠又()4,5点到直线:2310l x y -+=与到直线230x y m -+=的距离相等76m -=，所以13m =或1m =（舍）.故所求直线方程为：23130x y -+=.故答案为：23130x y -+=.38．（2024高一·全国·课后作业）已知直线l 与直线1:1l y =及直线2:70l x y +-=分别交于点P ，Q ．若PQ 的中点为点()1,1M -，则直线l 的斜率为．【答案】23-【分析】由点,P Q 关于点M 对称,运算可得解.【详解】解：设(),1P a ，则()2,3Q a --．由点Q 在直线2l 上，得2370a -+-=，2a =-．故()2,1P -．所以直线l 的斜率为()1121k --=--，所以23k =-故答案为23-【点睛】本题考查了点关于点对称问题，属基础题.39．（2024高二上·辽宁大连·阶段练习）设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是1(2)P -，，则AB 等于【答案】【解析】根据点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且AB 的中点是1(2)P -，，利用中点坐标公式得到A ，B 的坐标，再利用两点间的距离公式求解.【详解】因为点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且AB 的中点是1(2)P -，，所以(40),(02)，，-A B ，所以=AB 故答案为：【点睛】本题主要考查两点间的距离公式和中点坐标公式的应用，属于基础题.40．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）点()0,1-到直线()2y k x =+的距离的最大值是．【分析】直线()2y k x =+恒过点()2,0A -，根据几何关系可得，点()0,1B -到直线()1y k x =+的距离的最大值为||AB .【详解】因为直线()2y k x =+恒过点()2,0A -，记()0,1B -，直线()2y k x =+为直线l ，则当AB l ⊥时，此时点()0,1B -到直线()1y k x =+的距离最大，∴点()0,1-到直线()1y k x =+距离的最大值为：AB =.41．（2024高二上·江苏南通·期中）已知点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标为()2,1-，则线段AB 的长度为.【答案】25【分析】利用直角三角形的几何性质得出2AB OM =，利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】在平面直角坐标系中，AO BO ⊥，则ABO 为直角三角形，且AB 为斜边，故()22222125AB OM ==+-=.故答案为：542．（2024高二·全国·课堂例题）已知点()2,1A ，()3,4B ，()2,1C --，则ABC V 的面积为．【答案】5【分析】利用两点间距离公式求出一边长，再根据两点式求出该边所在直线的方程，利用点到直线的距离公式求高，进而求得三角形面积.【详解】设AB 边上的高为h ，则h 就是点C 到AB 所在直线的距离．易知()()22324110AB -+-．由两点式可得AB 边所在直线的方程为124132y x --=--，即350x y --=．点()2,1C --到直线350x y --=的距离()()()2232151031h ⨯----==+-所以ABC V 的面积为111010522ABC S AB h =⨯⨯=⨯△．故答案为：543．（2024·云南保山·一模）已知坐标原点为O ，过点()P 2,6作直线()2mx 4m n y 2n 0(m,-++=n 不同时为零)的垂线，垂足为M ，则OM 的取值范围是．【答案】5⎡+⎣【分析】根据题意，将直线变形为()()2420m x y n y ---=，分析可得该直线恒过点()4,2，设()4,2Q ，进而分析可得点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，其方程为()()22345x y -+-=，据此分析可得答案．【详解】根据题意，直线()2420mx m n y n -++=，即()()2420m x y n y ---=，则有2402x y y -=⎧⎨=⎩，解可得42x y =⎧⎨=⎩，则直线l 恒过点()4,2．设()4,2Q ，又由MP 与直线垂直，且M 为垂足，则点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，其方程为()()22345x y -+-=，所以55OM -≤+；即OM 的取值范围是5⎡+⎣；故答案为5⎡+⎣．【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果,A B 为定点，且动点M 满足()1MA MB λλ=≠，则动点M 的轨迹为圆；（2）如果ΔA 中，BC 为定长，A 为定值，则动点A 的轨迹为一段圆弧．特别地，当2A π=，则A 的轨迹为圆（除去,B C ）；（3）如果,A B 为定点，且动点M 满足22MA MB λ+=(λ为正常数)，则动点M 的轨迹为圆；44．（2024高二上·全国·课后作业）已知点(),2P a 、()2,3A --、()1,1B ，且PA PB =，则a =.【答案】92-【分析】利用平面内两点间的距离公式可得出关于a 的等式，解之即可.【详解】已知点(),2P a 、()2,3A --、()1,1B ，且PA PB =，92a =-.故答案为：92-.45．（2024高二上·安徽六安·期中）已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为.【答案】210x y +-=【分析】根据两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点列方程，对比后求得直线12Q Q 的方程.【详解】依题意两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，所以112212210,210,a b a b Q Q +-=+-=，在直线210x y +-=上，所以过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点所在直线方程为210x y +-=.故答案为：210x y +-=46．（2024高三上·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1:l y x =和2:2l y x =-+，则22a b +的最大值为.【答案】8【分析】由已知可知两直线12l l ⊥，取P 在12,l l 的右侧时，分别过P 作两直线的垂线，结合几何性质确定P 点轨迹，即可求得22a b +的最大值,其他位置同理可得．【详解】若动点(),P a b 到两直线1:l y x =和2:2l y x =-+12,l l 交点为()121,1,,T l l 的斜率分别为1,1-，则12l l ⊥，P 在12,l l 的右侧时，过P 分别向12,l l 引垂线，垂足分别为Q R ､，那么PQ PR +过P 作y 轴的平行线，与12,l l 交点为C B ､如图，则,PQ TR PR RB ==，所以TR RB +其它位置同理，那么点P 轨迹为正方形ABCD ，当P 在()2,2C 时，PO 取得最大值222||a b PO +=取得最大值8.故答案为：8．。

2016届高考数学理课后限时自测第8章第2节两直线的位置关系(苏教版)

2016届高考数学第8章第2节两直线的位置关系课后限时自测理苏教版[A 级基础达标练]一、填空题1．(2014·镇江调研)点A (1,2)关于点P (3,4)对称的点的坐标为________． [解析] 利用中点坐标公式，得x ＝2×3－1＝5，y ＝2×4－2 ＝6.[答案] (5,6)2．(2014·淮安模拟)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.[解析] ∵直线x －2y ＋5＝0与2x ＋my －6＝0互相垂直， ∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＝－1，∴m ＝1. [答案] 13．(2014·盐城检测)l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．[解析] 当两条平行直线与A ，B 两点连线垂直时两条平行直线的距离最大． ∵A (1,1)，B (0，－1)，∴k AB ＝－1－10－1＝2，∴两条平行直线的斜率k ＝－12，∴直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.[答案] x ＋2y －3＝04．(2014·南京盐城调研)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝________.[解析] 点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0距离为4，|4m －3－1|5＝4，则m ＝6或m ＝－4.又P 在2x ＋y ≥3表示区域内，m ＝－4舍去．取m ＝6. [答案] 65．已知1a ＋1b＝1(a >0，b >0)，点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为________．[解析] 点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离d ＝a ＋2b5＝15(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105. 当a 2＝2b 2且a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号．[答案] 35＋2105图8226．如图822，已知A (4,0)、B (0，4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________．[解析] 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)．则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210. [答案] 2107．(2014·无锡模拟)已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为________．[解析] 依题意a 2＋(b ＋2)(b －2)＝0，得a 2＋b 2＝4，又2ab ≤a 2＋b 2＝4，当且仅当a ＝b ＝2取等号． ∴ab ≤2即ab 的最大值为2. [答案] 28．(2014·苏州模拟)直线l 被两直线l 1：4x ＋y ＋6＝0，l 2：3x －5y －6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，则直线l 的方程为________．[解析] 法一：由题设知l 经过坐标原点，因为x ＝0不满足条件，故设直线l ：y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x ＋y ＋6＝0解得l 与l 1交点的横坐标x 1＝－64＋k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，3x －5y －6＝0解得l 与l 2交点的横坐标x 2＝63－5k. 由x 1＋x 2＝－64＋k ＋63－5k ＝0解得k ＝－16.故直线l 的方程为y ＝－16x .法二：设直线l 与l 1，l 2的交点分别是A ，B ，设A (x 0，y 0)．∵A ，B 关于原点对称，∴B (－x 0，－y 0)．又∵A ，B 分别在l 1，l 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 0＋y 0＋6＝0，－3x 0＋5y 0－6＝0.①②①＋②得x 0＋6y 0＝0，∴A ，B 都在直线x ＋6y ＝0上，∴直线l 的方程是x ＋6y ＝0. [答案] x ＋6y ＝0 二、解答题9．已知直线l 1：(m ＋3)x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(m ＋5)y ＝8，问m 为何值时， ①l 1∥l 2；②l 1与l 2重合；③l 1与l 2相交；④l 1与l 2垂直？[解] ①由(m ＋3)(m ＋5)＝4×2，且－8(m ＋3)≠2(3m －5)，得m ＝－7， ∴当m ＝－7时，l 1∥l 2.②当(m ＋3)(m ＋5)＝4×2，且－8(m ＋3)＝2(3m －5)，得m ＝－1， ∴当m ＝－1时，l 1与l 2重合．③由①②知，当m ≠－1且m ≠－7时，l 1与l 2相交． ④由2(m ＋3)＋4(m ＋5)＝0，得m ＝－133，∴当m ＝－133时，l 1与l 2垂直．10．(2014·镇江中学检测)已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．[解] (1)直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.[B 级能力提升练]一、填空题1．(2014·南京一模)曲线y ＝|x |与y ＝kx －1有且只有一个交点，则实数k 的取值范围是________．[解析] y ＝|x |的图象如图所示，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)．由图可知，当k <－1或k >1时，有一个交点． [答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)2．(2014·泰州调研)已知直线l 1：a (x －y ＋2)＋2x －y ＋3＝0(a ∈R)与直线l 2的距离为1，若l 2不与坐标轴平行且在y 轴上的截距为－2则l 2的方程为________________．[解析] 直线l 1过直线x －y ＋2＝0与直线2x －y ＋3＝0的交点P (－1,1)，由两条直线间的距离为1，可得点P 到直线l 2的距离为1，设l 2的方程为y ＝kx －2，则|－k －1－2|k 2＋1＝1解得k ＝－43，故l 2的方程为y ＝－43x －2即4x ＋3y ＋6＝0.[答案] 4x ＋3y ＋6＝0 二、解答题3．(1)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)在直线l ：3x －y －1＝0上求一点Q ，使得Q 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．(1)[解] (1)如图(1)，设点B 关于l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，直线l 的斜率为k 1，则k 1·k BB ′＝－1.即3·b －4a＝－1. ∴a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0.即3a －b －6＝0.②解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．(2)(2)如图(2)，设C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245.∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫117，267，故Q 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫117，267.。

2016高考数学大一轮复习 9.2两条直线的位置关系试题 理 苏教版

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