2.6函数的单调性与周期性

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高一数学必修一函数图像知识点总结

高一数学必修一函数图像知识点总结高一数学必修一函数图像知识点总结高中数学因为知识点多，好多同学听课能听懂，但是做题却不会。

因此，经常性的复习是巩固数学知识点的很好的途径。

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高一数学必修一函数图像知识点总结 1知识点总结：本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。

函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。

所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。

一、函数的单调性1、函数单调性的定义2、函数单调性的判断和证明：(1)定义法(2)复合函数分析法(3)导数证明法(4)图象法二、函数的奇偶性和周期性1、函数的奇偶性和周期性的定义2、函数的奇偶性的判定和证明方法3、函数的周期性的判定方法三、函数的图象1、函数图象的作法(1)描点法(2)图象变换法2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。

本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。

选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。

在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。

多考查函数的单调性、最值和图象等。

误区提醒1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。

2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。

3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。

4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。

5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。

高一数学必修一函数图像知识点总结 2一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π/2;6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

函数的奇偶性、单调性、周期性

一. 函数的奇偶性
2．对函数奇偶性的理解．（1）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是函）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，数的整体性质. 数的整体性质（2）函数奇偶性中对定义域内任意一个，都有 (－x) = ）函数奇偶性中对定义域内任意一个x，都有f － f (x)，f (－x) = －f (x)的实质是：函数的定义域关于原点的实质是：，－的实质是对称，这是函数具备奇偶性的必要条件. 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件函数的奇偶性是其相应图象特殊的对称性的反映. 其相应图象特殊的对称性的反映
A.关于原点对称 A.关于原点对称 C.关于y C.关于y轴对称关于
B.关于直线y B.关于直线y=-x对称关于直线 D.关于直线y D.关于直线y=x对称关于直线
解析: 解析:
由于定义域为（由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又关于原点对称，
f(x)=-f(-x),故函数为奇函数,图象关于原点对称. )=),故函数为奇函数,图象关于原点对称. 故函数为奇函数
例3：(2008·山东)函数y=ln cos x (2008·山东)函数y 山东
(−
π
2
<x<
π
2
)
的图象是（A ）
解析: 解析:
为偶函数, y=ln cos x为偶函数,且函数图象在 [ 0 , π )上单
2
调递减. 调递减.
若函数f 的导函数若函数 (x)的导函数 f ′(x) 在D上的函数上的函数
值为正,则称上为增函数；值为正则称y = f (x)在D上为增函数；则称在上为增函数
四.函数的单调性
2. 函数单调性的等价定义

函数的单调性奇偶性和周期性和对称性之间的关系

函数的对称性一个函数的自对称定义1、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=-或是(2)()f a x f x -=，图像特征函数自身关于x a =对称。

就是该函数的对称轴是x a =。

定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=--或是(2)()f a x f x -=-，图像特征函数自身关于点(,0)a 对称。

就是该函数的对称点是(,0)a 。

定义3、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=-，图像特征函数自身关于2a b x +=对称。

就是该函数的对称轴是2a b x +=。

定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=--，图像特征函数自身关于点(,0)2a b +对称。

就是该函数的对称点是(,0)2a b +。

还可以推广为()()f a x m f b x +=-- 含义：函数()f x 关于(,)22a b m +这个点对称。

周期性:若()f x 对于定义域中的任意x 均有()()f x T f x +=,则()f x 是周期函数.它的变形有: (1)f(x-1)=f(x+1) (2)f(x+2)=－f(x)；(3)f(x+2)=1()f x - (4)f(x+3) ＋f(x)=1 (5)f(x+1)=)(11)(x f x f -+ 特征是x 的符号相同。

习题1、已知()f x 是R 上的偶函数，且f(-x-1)=f(-x+1) 当[0,1]x ∈时，()1f x x =-+，求当[5,7]x ∈时,()f x 的解析式。

2、定义域为R 的()f x 既是奇函数又是周期函数,T 是它的一个周期.问:区间[,]T T -上它有几个根?（财富：奇函数的半周期也是0点）3、定义在R 上的偶函数()f x 以3为周期,且(2)0f =,则方程()0f x =在区间(0,6) 上有几个根?4、()f x 是R 上的偶函数,若将()f x 的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数,且(2)1f =-,求(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++L 的值.5、定义在R 上的函数()f x 满足5()()02f x f x ++=且5()4f x +为奇函数,下列结论谁正确? ①函数()f x 的最小正周期是52;②函数()f x 的图象关于点（5,04）对称;③函数()f x 的图象关于52x =对称;④函数()f x 的最大值为5()2f . 6、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（）(A) ()f x 是偶函数； (B) ()f x 是奇函数(C) ()(2)f x f x =+ ； (D) (3)f x +是奇函数例4举例子，构造新函数，用定义，平移，伸缩处理四道抽象函数题。

函数的单调性奇偶性与周期性知识点与试题

函数的性质知识要点一、函数的奇偶性1．定义：如果对于函数fx 定义域内的任意x 都有f －x=－fx,则称fx 为奇函数；如果对于函数fx 定义域内的任意x 都有f －x=fx,则称fx 为偶函数;如果函数fx 不具有上述性质,则fx 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则fx 既是奇函数,又是偶函数;注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则－x 也一定是定义域内的一个自变量即定义域关于原点对称; 2．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称； 2 确定f －x 与fx 的关系；3 作出相应结论：若f －x = fx 或 f －x －fx = 0,则fx 是偶函数；若f －x =－fx 或 f －x ＋fx = 0,)0)((1)()(0)()()()(≠±=-⇔=±-⇔±=-x f x f x f x f x f x f x f 则fx 是奇函数; 3．简单性质：1图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；2设fx,gx 的定义域分别是D1,D2那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇3任意一个定义域关于原点对称的函数()f x 均可写成一个奇函数()g x 与一个偶函数()h x 和的形式,则()()()()(),()22f x f x f x f xg xh x --+-==;4．奇偶函数图象的对称性1若)(x a f y +=是偶函数,则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；2若)(x b f y +=是奇函数,则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；5．一些重要类型的奇偶函数：1 函数()x x f x a a -=+ 是偶函数,函数()x x f x a a -=- 是奇函数；2函数221()(01x x x x xx a a a f x a a a a ----==>++ 且1)a ≠是奇函数； 3函数1()log 1axf x x-=+ (0a > 且1)a ≠是奇函数； 4函数()log (a f x x =+ (0a > 且1)a ≠是奇函数;二、函数的单调性1．定义：一般地,设函数y =fx 的定义域为I, 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有fx 1<fx 2fx 1>fx 2,那么就说fx 在区间D 上是增函数减函数；注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质； 2必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1,x2；当x1<x2时,总有fx1<fx2 3函数单调性的两个等价形式：1212()()0(0)()f x f x f x x x >><⇔-在给定区间上单调递增递减；[]1212()()()0(0)()x x f x f x f x ->><⇔在给定区间上单调递增递减;2．如果函数y=fx 在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=fx 在这一区间具有严格的单调性,区间D 叫做y=fx 的单调区间;3．设复合函数y= fgx,其中u=gx , A 是y= fgx 定义域的某个区间,B 是映射g : x→u=gx 的象集：①若u=gx 在 A 上是增或减函数,y= fu 在B 上也是增或减函数,则函数y= fgx 在A 上是增函数；②若u=gx 在A 上是增或减函数,而y= fu 在B 上是减或增函数,则函数y= fgx 在A 上是减函数,简称“同增异减”; 4．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数fx 在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：1 任取x1,x2∈D,且x1<x2；2作差fx1－fx2；3变形通常是因式分解和配方； 4定号即判断差fx1－fx2的正负；5 下结论指出函数fx 在给定的区间D 上的单调性; 5．简单性质1奇函数在其对称区间上的单调性相同； 2偶函数在其对称区间上的单调性相反；3在公共定义域内：增函数fx+增函数gx 是增函数；减函数fx+减函数gx 是减函数；增函数fx-减函数gx 是增函数；减函数fx-增函数gx 是减函数; 三、函数的最值1．定义：最大值：一般地,设函数y=fx 的定义域为I,如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I,都有fx≤M ；②存在x0∈I,使得fx0 = M;那么,称M是函数y=fx的最大值;最小值：一般地,设函数y=fx的定义域为I,如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I,都有fx≥M；②存在x0∈I,使得fx0 = M;那么,称M是函数y=fx的最小值;注意：1函数最大小首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得fx0 = M；2函数最大小应该是所有函数值中最大小的,即对于任意的x∈I,都有fx≤Mfx≥M;2．利用函数单调性的判断函数的最大小值的方法：1利用二次函数的性质配方法求函数的最大小值；2利用图象求函数的最大小值；3 利用函数单调性的判断函数的最大小值：如果函数y=fx在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=fx在x=b处有最大值fb; 如果函数y=fx在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=fx 在x=b处有最小值fb；函数的单调性A组1．下列函数fx中,满足“对任意x1,x2∈0,＋∞,当x1<x2时,都有fx1>fx2”的是________．①fx＝错误!②fx＝x－12③fx＝e x④fx＝ln x＋12．函数fxx∈R的图象如右图所示,则函数gx＝f log a x0<a<1的单调减区间是________．3．函数y＝错误!＋错误!的值域是________．4．已知函数fx＝|e x＋错误!|a∈R在区间0,1上单调递增,则实数a的取值范围是________．5．如果对于函数fx定义域内任意的x,都有fx≥MM为常数,称M为fx的下界,下界M中的最大值叫做fx的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________．①fx＝sin x；②fx＝lg x；③fx＝e x；④fx＝错误!6．已知函数fx＝x2,gx＝x－1.1若存在x∈R使fx<b·gx,求实数b的取值范围；2设Fx＝fx－mgx＋1－m－m2,且|Fx|在0,1上单调递增,求实数m的取值范围.B组1．下列函数中,单调增区间是－∞,0的是________．①y＝－错误!②y＝－x－1③y＝x2－2④y＝－|x|2．若函数fx＝log2x2－ax＋3a在区间2,＋∞上是增函数,则实数a的取值范围是________．3．若函数fx＝x＋错误!a>0在错误!,＋∞上是单调增函数,则实数a的取值范围是________．4．定义在R上的偶函数fx,对任意x1,x2∈0,＋∞x1≠x2,有错误!<0,则下列结论正确的是________．①f3<f－2<f1②f1<f－2<f3 ③f－2<f1<f3④f3<f1<f－25．已知函数fx＝错误!满足对任意x1≠x2,都有错误!<0成立,则a的取值范围是________．6．函数fx的图象是如下图所示的折线段OAB,点A的坐标为1,2,点B的坐标为3,0,定义函数gx＝fx·x－1,则函数gx的最大值为________．7．已知定义域在－1,1上的函数y＝fx的值域为－2,0,则函数y＝f cos错误!的值域是________．8．已知fx＝log3x＋2,x∈1,9,则函数y＝fx2＋fx2的最大值是________．9．若函数fx＝log a2x2＋xa>0,a≠1在区间0,错误!内恒有fx>0,则fx的单调递增区间为__________．10．试讨论函数y＝2log错误!x2－2log错误!x＋1的单调性．11．已知定义在区间0,＋∞上的函数fx满足f错误!＝fx1－fx2,且当x>1时,fx<0.1求f1的值；2判断fx的单调性；3若f3＝－1,解不等式f|x|<－2.12．已知：fx＝log3错误!,x∈0,＋∞,是否存在实数a,b,使fx同时满足下列三个条件：1在0,1上是减函数,2在1,＋∞上是增函数,3fx的最小值是1.若存在,求出a、b；若不存在,说明理由．函数的性质A组1．设偶函数fx＝log a|x－b|在－∞,0上单调递增,则fa＋1与fb＋2的大小关系为________．2．定义在R上的函数fx既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f1＋f4＋f7等于________．3．已知定义在R上的奇函数fx满足fx－4＝－fx,且在区间0,2上是增函数,则f－25、f11、f80的大小关系为________．4．已知偶函数fx在区间0,＋∞上单调增加,则满足f2x－1<f错误!的x取值范围是________．5．已知定义在R上的函数fx是偶函数,对x∈R,f2＋x＝f2－x,当f－3＝－2时,f2011的值为________．6．已知函数y＝fx是定义在R上的周期函数,周期T＝5,函数y＝fx－1≤x≤1是奇函数,又知y＝fx在0,1上是一次函数,在1,4上是二次函数,且在x＝2时函数取得最小值－5.1证明：f1＋f4＝0；2求y＝fx,x∈1,4的解析式；3求y＝fx在4,9上的解析式．B组1．函数fx的定义域为R,若fx＋1与fx－1都是奇函数,则下列结论正确的是________．①fx是偶函数②fx是奇函数③fx＝fx＋2 ④fx＋3是奇函数2．已知定义在R上的函数fx满足fx＝－fx＋错误!,且f－2＝f－1＝－1,f0＝2,f1＋f2＋…＋f2009＋f2010＝________.3．已知fx是定义在R上的奇函数,且f1＝1,若将fx的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则f1＋f2＋f3＋…＋f2010＝________.4．已知函数fx是R上的偶函数,且在0,＋∞上有f′x>0,若f－1＝0,那么关于x的不等式xfx<0的解集是________．5．已知函数fx是－∞,＋∞上的偶函数,若对于x≥0,都有fx＋2＝fx,且当x∈0,2时,fx＝log2x＋1,则f－2009＋f2010的值为________．6．已知函数fx是偶函数,并且对于定义域内任意的x,满足fx＋2＝－错误!,若当2<x<3时,fx＝x,则f＝________.7．定义在R上的函数fx在－∞,a上是增函数,函数y＝fx＋a是偶函数,当x1<a,x2>a,且|x1－a|<|x2－a|时,则f2a －x1与fx2的大小关系为________．8．已知函数fx为R上的奇函数,当x≥0时,fx＝xx＋1．若fa＝－2,则实数a＝________.9．已知定义在R上的奇函数fx满足fx－4＝－fx,且在区间0,2上是增函数．若方程fx＝mm＞0在区间－8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1＋x2＋x3＋x4＝________.10．已知fx是R上的奇函数,且当x∈－∞,0时,fx＝－x lg2－x,求fx的解析式．11．已知函数fx,当x,y∈R时,恒有fx＋y＝fx＋fy．1求证：fx是奇函数；2如果x∈R＋,fx<0,并且f1＝－错误!,试求fx在区间－2,6上的最值．12．已知函数fx 的定义域为R,且满足fx ＋2＝－fx ．1求证：fx 是周期函数；2若fx 为奇函数,且当0≤x ≤1时,fx ＝错误!x ,求使fx ＝－错误!在0,2010上的所有x 的个数．例题1、函数12()log (sin cos )f x x x =+的单调递增区间是______________．例题2、1函数()142-+=x x x x f 是A 、是偶函数但不是奇函数B 、是奇函数但不是偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、既不是奇函数也不是偶函数2.设(32()log f x x x =+,则对任意实数,a b ,0a b +≥是()()0f a f b +≥的A 、充分必要条件B 、充分而不必要条件C 、必要而不充分条件D 、既不充分也不必要条件3已知实数x 、y 满足()()()()55111511541545x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩,则x y +=_____．4已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-x ∈R,且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有A 、2个B 、3个C 、4个D 、无数个例题3、2004复旦若存在M,使任意t D ∈D 为函数()f x 的定义域,都有()f x M ≤,则称函数()f x 有界.问函数11()sin f x x x=在1(0,)2x ∈上是否有界例题4、设)3(log )2(log )(a x a x x f a a -+-=,其中0>a 且1≠a ．若在区间]4,3[++a a 上1)(≤x f 恒成立,求a 的取值范围．课后精练1．已知)13(log 21)(3+-=x abx x f 为偶函数,x x ba x g 22)(++=为奇函数,其中b a ,为复数, 则∑=+10001)(k k k b a 的值是______1-________.2．函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于21e+;解：)|4sin(|2|cos sin |2sin 2sin )(π+++=+=x x x e x ex x f ,从而当4π=x 时取最大值21e +,当4π-=x 时取最小值0,从而最大值与最小值之差等于21e +3．函数[)。

函数的基本性质

函数的基本性质(函数的单调性、奇偶性、周期性)一、函数单调性 1、可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。

（2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增；如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。

（3）定量刻画，即定义。

2、判断增函数、减函数的方法：①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

与之相等价的定义： ⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。

⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。

②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`<x f 那么就说()f x 在这个区间上是减函数；如果函数()x f y =在某个区间上是增函数（或减函数），就说()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间。

如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。

(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.6

讲案2.6函数的奇偶性与周期性课前自主研习温故而知新可以为师矣知识导读1.函数的奇偶性(1)如果对于定义域内每一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫奇函数；都有__________，函数f(x)叫偶函数，奇偶函数的定义域是__________(大前提)．(2)函数可分为(按奇偶性)：__________、__________、__________、__________.任何一个定义域对称的非奇非偶函数都可写成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)＝__________，其中__________是偶函数，__________是奇函数．(3)基本性质：在公共定义域上，两函数有：奇±奇＝__________，偶±偶＝__________.奇×奇＝偶，偶×偶＝________，奇÷奇＝__________，偶÷偶＝__________(分母不为零)．奇函数的反函数是__________，若奇函数的定义域包含0，则__________．(4)图象特征：奇函数图象关于__________对称；偶函数图象关于__________对称；反之亦然．(5)判定方法：首先看函数的__________，若对称，再看：f(x)是奇函数⇔__________⇔__________⇔f(－x)f(x)＝__________⇔__________图象__________．f(x)是偶函数⇔__________⇔__________⇔f(－x)f(x)＝__________⇔__________图象__________．(6)推广：y＝f(a＋x)是偶函数⇔__________⇔__________⇔__________；类似地，f(a＋x)＝f(b－x)⇔__________.y＝f(b＋x)是奇函数⇔__________⇔__________；类似地，f(a＋x)＝－f(b－x )⇔__________.2．函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个__________常数T ，使得当x 取定义域内的__________值时，都有__________，那么函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫f (x )的__________．如果所有的周期中存在一个__________，那么这个__________就叫f (x )的最小正周期．(2)周期函数__________有最小正周期，若T ≠0是f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也一定是f (x )的周期，周期函数的定义域无__________界．(3)设a 为非零常数，若对f (x )定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立：①f (x ＋a )＝－f (x )；②f (x ＋a )＝1f (x )；③f (x ＋a )＝－1f (x )f (x ＋a )＝f (x )＋1f (x )－1；⑤f (x ＋a )＝1－f (x )1＋f (x )；⑥f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是__________函数，__________是它的一个周期．(上述式子分母不为零)若f(x)同时关于x＝a与x＝b对称(a ＜b)，则f(x)是周期函数，__________是它的一个周期；若f(x)关于x＝a对称同时关于点(b,0)对称(b≠a)，则f(x)的一个周期T＝__________；若f(x)关于(a,0)对称同时关于(b,0)对称，则f(x)是一个周期函数，周期T＝__________.导读校对：1.(1)f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)关于原点对称的(2)奇函数偶函数既奇且偶函数非奇非偶函数f(x)＋f(－x)2＋f(x)－f(－x)2f(x)＋f(－x)2f(x)－f(－x)2(3)奇偶偶偶偶奇函数f(0)＝0(4)原点y轴(5)定义域是否关于原点对称f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0－1(f(x)≠0)f(x)＝－f(－x)关于原点对称f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝01(f(x)≠0)f(x)＝f(|x|)＝f(－x)关于y轴对称(6)f(a＋x)＝f(a －x)f(x)＝f(2a－x)f(x)关于x＝a对称f (x )关于x ＝a ＋b 2对称 f (b －x )＝－f (b ＋x ) f (x )关于(b,0)成中心对称图形 f (x )关于⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2，0中心对称 2.(1)非零每一个 f (x ＋T )＝f (x ) 周期最小的正数最小正数 (2)不一定上、下 (3)周期 2a 2(b －a ) 4(b －a ) 2(b －a )基础热身1.设f (x )是定义在R 上的增函数，F (x )＝f (x )－f (－x )，那么F (x )必为( )A ．增函数且是奇函数B ．增函数且是偶函数C ．减函数且是奇函数D ．减函数且是偶函数解析：F (－x )＝f (－x )－f (x )＝－F (x )，排除B 、D.∵f (x )为增函数，∴f (－x )为减函数． ∴F (x )＝f (x )－f (－x )为增函数．答案：A2．(2010·广东卷)若函数f (x )＝3x ＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：∵f(x)＝3x＋3－x，∴f(－x)＝3－x＋3x.∴f(x)＝f(－x)，即f(x)是偶函数．又∵g(x)＝3x－3－x，∴g(－x)＝3－x －3x.∴g(x)＝－g(－x)，即函数g(x)是奇函数．答案：B3．(2010·山东卷)设f(x)为定义在R 上的奇函数，若当x≥0时，f(x)＝2x＋2x ＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．3 B．1C．－1 D．－3解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，因此f(－x)＋f(x)＝0.当x＝0时，可得f(0)＝0，可得b＝－1，此时f(x)＝2x＋2x－1，因此f(1)＝3.又f(－1)＝－f(1)，所以f(－1)＝－3.答案：D4．(2010·安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1 B．1C．－2 D．2解析：∵函数f(x)的周期为5，∴f(x ＋5)＝f(x)．∴f(3)＝f(－2＋5)＝f(－2)．又∵f(x)为奇函数，∴f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2.同理f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－2－(－1)＝－1.答案：A5．(2010·江苏卷)若函数f(x)＝x(e x ＋a e－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为__________．解析：因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，即－x·(e－x＋a e x)＝x(e x＋a e －x)，化简得x(e－x＋e x)(a＋1)＝0.因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1.答案：－16．若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)＝－f(x)，给出下列4个结论：①f(2)＝0；②f(x)是以4为周期的周期函数；③f(x)的图象关于直线x＝0对称；④f(x＋2)＝f(－x)．其中所有正确的结论的序号是__________．解析：∵f(x－2)＝－f(x)且f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(0)＝0，f(2)＝－f(－2)＝0.又由f(x－2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝－f((x＋4)－2)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴T＝4是周期．∴y＝f(x)的图象不关于x＝0对称，③错．∵f(x)是奇函数．∴f(x＋2)＝－f(－x－2)＝－[－f(－x)]＝f(－x)．答案：①②④思维互动启迪博学而笃志切问而近思疑难精讲1.判断函数的奇偶性，首先要判定其定义域是否关于原点对称，若对称，在定义域内尽可能地化简函数解析式，然后判定f(－x)＝±f(x)，f(－x)±f(x)＝0，f(－x)＝±1(f(x)≠0)等．f(x)2．函数的周期性(1)若T为函数f(x)的一个周期，则kT也是函数f(x)的周期(k为非零整数)，这就是说，一个函数如果有周期，就有无数多个．(2)若f(x)满足f(x＋a)＝f(x＋b)恒成立，其中a，b均为常数，且a≠b，则T ＝a－b是函数f(x)的一个周期.互动探究题型1判断函数的奇偶性例1.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －1＋12； (2)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；(3)f (x )＝1|x －1|； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x (x ≥0)x 2＋2x (x <0). 【解析】根据奇偶性的定义，先求函数的定义域，且化简函数式，再验证f (－x )＝±f (x )是否成立，最后做出判断．(1)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．且f (x )＝x 2·2x ＋12x －1， ∵f (－x )＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝－x 2·1＋2x 1－2x ＝x 2·2x＋12x －1＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (2)函数的定义域为R ，∵f (－x )＝log 2(－x ＋(－x )2＋1)＝log 2(x 2＋1－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＋1＋x ＝log 2(x ＋x 2＋1)－1＝－log 2(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以f (x )是非奇非偶函数．(4)解法一：f (x )的定义域为R x >0时，－x <0f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＝x 2－2x ＝f (x )x ＝0时，f (0)＝0＝f (－0)x <0时，－x >0f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＝x 2－2x ＝f (x )∴对于x ∈R 总有f (－x )＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．解法二：x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x2－2|x|x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2－2|x|∴f(x)＝x2－2|x|∴f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)∴f(x)为偶函数.题型2函数奇偶性的应用例2.(1)定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a＋1)＜f(2a －1)，求a的取值范围；(2)定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求a 的取值范围．【解析】(1)∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，可得f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(a＋1)＝f(|a＋1|)，f(2a－1)＝f(|2a－1|)．由已知得f(|a＋1|)＜f(|2a－1|)，∴|a＋1|＞|2a－1|得：0＜a＜2.∴a 的取值范围是(0,2)．(2)∵f (x )是奇函数f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，∴f (1－a )＜－f (1－a 2)＝f (a 2－1)．∴f (x )定义在(－1,1)上，且在(－1,1)上为减函数．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1－1＜a 2－1＜11－a ＞a 2－1解得：0＜a ＜1.∴a 的取值范围为(0,1)．题型3函数周期性的判定及其应用例3.已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12的所有x . 【解析】 (1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )．∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)由0≤x ≤1时，f (x )＝12x . 设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x ，即－f (x )＝－12x . ∴f (x )＝12x . 故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)．又设1＜x ＜3，则－1＜x －2＜1.∴f (x －2)＝12(x －2)．又知f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [2＋(－x )]＝－[－f (－x )]＝－f (x )．∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1＜x ＜3)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x (－1≤x ≤1)，－12(x －2) (1＜x ＜3).由上式知在[－1,3)上，仅有f (－1)＝－12，由f (x )是周期函数，得f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．题型4抽象函数的奇偶性及其应用例4.已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．且当x ＞0时，f (x )＜0恒成立，f (3)＝－3.(1)证明：函数y ＝f (x )是R 上的减函数；(2)证明：函数y ＝f (x )是奇函数；(3)试求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n ∈Z )上的值域．【思维点拨】(1)应根据函数的单调性定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件；(2)根据函数的奇偶性定义进行证明，只需证f(－x)＋f(x)＝0；(3)可考虑运用(1)、(2)两小题的结论．【解析】(1)设任意x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2)＝f(x1＋(x2－x1))＝f(x1)＋f(x2－x1)∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＜0.∴f(x2)＝f(x1)＋f(x2－x1)＜f(x1)．故f(x)是R上的减函数．(2)∵f(a＋b)＝f(a)＋f(b)恒成立，∴可令a＝－b＝x，则有f(x)＋f(－x)＝f(0)．又令a＝b＝0，则有f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.从而任意的x∈R，f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．故y＝f(x)是奇函数．(3)由于y＝f(x)是R上的单调递减函数，∴y＝f(x)在[m，n]上也是减函数，故f(x)在[m，n]上的最大值f(x)max＝f(m)，最小值f(x)min＝f(n)．由于f(n)＝f(1＋(n－1))＝f(1)＋f(n－1)＝…＝nf(1)，同理f(m)＝mf(1)．又f(3)＝3f(1)＝－3，∴f(1)＝－1，∴f(m)＝－m，f(n)＝－n.因此函数y＝f(x)在[m，n]上的值域为[－n，－m].错解辨析例5.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2－1＋1－x2；(2)f(x)＝(x－1) 1＋x 1－x；(3)f(x)＝1－x2|2－x|－2.【错解】(1)∵f(－x)＝(－x)2－1＋1－(－x)2＝x2－1＋1－x2＝f(x)∴f(x)为偶函数．(2)∵f (x )＝(x －1) 1＋x 1－x ＝－1－x 2，∴f (－x )＝－1－(－x )2＝－1－x2＝f (x )．∴f (x )为偶函数．(3)∵f (－x )＝1－(－x )2|2＋x |－2＝1－x 2|2＋x |－2， ∴f (－x )≠f (x )且f (－x )≠－f (x )． ∴f (x )为非奇非偶函数．【错因】 (1)中错在只看到f (－x )＝f (x )，没有注意到f (x )的定义域，事实上定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0.∴x ＝±1， ∴f (x )＝0，正由于没有注意到f (x )＝0，所以误以为只能是偶函数．(2)中错在忽略了定义域为[－1,1)，它不关于原点对称，而仅仅从f (－x )＝f (x )出发而导致了错误．(3)中错在忽略了定义域为[－1,0)∪(0,1]，在此定义域内函数很容易化简，错解忽略了定义域，导致无法化简而造成错误．【正解】 (1)∵定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1≥0，1－x 2≥0.∴x ＝±1.∴f (x )＝0，∴f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为既奇又偶函数．(2)先确定函数的定义域．由1＋x 1－x≥0且x ≠1，得－1≤x ＜1，其定义域不对称关于原点，所以f (x )＝(x－1) 1＋x 1－x既不是奇函数也不是偶函数．(3)定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|2－x |－2≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤1，x ≠0.∴f(x)＝1－x2|2－x|－2＝1－x2(2－x)－2＝－1－x2 x.∴f(－x)＝－1－x2－x＝1－x2x＝－f(x)．∴函数f(x)为奇函数．说明：判断函数奇偶性时，首先要注意函数的定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系.。

函数的单调性奇偶性与周期性

函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性 1．单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时， ①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2．函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增；如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。

二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。

5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。

T 是f (x )的一个周期。

若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。

函数的单调性、奇偶性、周期性

函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。

2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。

注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。

（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。

（4）利用函数的图象分别指出：一次函数y=kx+b 、反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）．（7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法（3导数法）二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。

函数的单调性、奇偶性与最值

函数的单调性、奇偶性与最大(小)值1．函数的单调性(1)单调函数的定义如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．2．奇函数、偶函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．3．奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.4．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．5．函数的最值1．函数单调性定义的理解(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(2)函数f (x )＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( ) (3)(教材改编)函数f (x )＝1x 在其定义域上是减函数．( )(4)已知f (x )＝x ，g (x )＝－2x ，则y ＝f (x )－g (x )在定义域上是增函数．( ) 2．函数的单调区间与最值(5)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (6)(教材改编)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) (7)(2013·北京卷改编)函数y ＝lg|x |的单调递减区间为(0，＋∞)．( ) (8)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的最小值为0.( ) 3．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )(3)(教材习题改编)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( )(4)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(5)(2013·山东卷改编)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝－2.( )(6)(2014·鹰潭模拟改编)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是[－2,2]．( )4．对函数周期性的理解(7)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )(8)(2013·湖北卷改编)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R 上是周期函数．()考点一确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)判断函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．(2)(2013·高安中学模拟)求函数y＝log 13(x2－4x＋3)的单调区间．【训练1】试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．考点二利用单调性求参数【例2】若函数f(x)＝ax－1x＋1在(－∞，－1)上是减函数，则a的取值范围是________．【训练2】(1)函数y＝x－5x－a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()．A．{－3}B．(－∞，3)C．(－∞，－3]D．[－3，＋∞)(2)(2014·贵溪模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()．A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1)D．(0,1]考点三利用函数的单调性求最值【例3】已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2 3.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．考点四函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝x 2－1＋1－x 2；②f (x )＝ln 1－x1＋x.(2)(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f (lg 12)＝( )． A ．－1 B ．0 C ．1D ．2【训练1】 (1)(2013·湖南卷)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2， f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )． A ．4 B ．3 C ．2D ．1(2)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3考点五函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )．A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝－x C ．f (x )＝2－x －2xD ．f (x )＝－tan x(2)(2013·江西九校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B ．(2，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞)【训练2】 (2013·天津卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )．A ．[1,2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D ．(0,2]考点六函数的单调性、奇偶性、周期性【例3】 (经典题)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)【训练3】设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)．基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝1－1x 在[3,4)上( )． A ．有最小值无最大值 B ．有最大值无最小值 C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，343．(2013·玉山一中模拟)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2014·南昌模拟)已知函数y ＝f (x )的图像关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c5．(2013·渭南模拟)下列函数中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )． A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2x6. (2013·咸阳二模)若函数f (x )＝sin x(x ＋a )2是奇函数，则a 的值为( )． A ．0 B ．1 C ．2D ．47. 函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )．A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)二、填空题8．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．9．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.10．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________. 11. (2014·临川二中)f (x )为奇函数，当x ＜0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________. 12. 设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．14. f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．能力提升题组1．(2014·宜春模拟)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是( )． A ．y ＝cos x B ．y ＝－|x －1| C ．y ＝ln2＋x2－xD ．y ＝e x ＋e －x 2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数3. (2013·吉安模拟)已知偶函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时f (x )＝2x ，则f (2 013)＝( )．A ．1B ．－1C ．12D ．－123．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．。

高三数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性一、函数的单调性 1.单调性的定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调增区间；如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调减区间。

2.单调函数与严格单调函数设()f x 为定义在I 上的函数，若对任何12,x x I ∈，当12x x <时，总有(ⅰ) )()(21x x f f ≤，则称()f x 为I 上的增函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x <成立时称()f x 为I 上的严格单调递增函数。

(ⅱ) )()(21x x f f ≥，则称()f x 为I 上的减函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x >成立时称()f x 为I 上的严格单调递减函数。

2.函数单调的充要条件★若()f x 为区间I 上的单调递增函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()0f f x x x x ->-或1212)[()()]0f f x x x x -->（★若()f x 为区间I 上的单调递减函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()0f f x x x x-<-或1212)[()()]0f f x x x x --<（3.函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法4.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。

2024年高二数学函数基本性质知识总结（2篇）

2024年高二数学函数基本性质知识总结____年高二数学函数基本性质知识总结（____字）一、函数的定义和基本性质函数是一种特殊的关系，每一个自变量只对应一个因变量。

函数的定义包括定义域、值域、对应关系和表达式。

函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性和界值性。

1.1 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

定义域可以通过解不等式或考察定义域的连续性来确定。

值域可以通过求导或考察函数的图像来确定。

1.2 对应关系函数的对应关系决定了自变量和因变量之间的对应关系。

函数可以用图像、显式表达式、隐式表达式或递推关系来表示。

对应关系可以用一一对应、多对一或一对多来描述。

1.3 单调性一个函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。

函数可以是上下单调递增、上下单调递减、左右单调递增或左右单调递减。

单调性可以通过求导数或摸底函数的上下凸性来判断。

1.4 奇偶性一个函数的奇偶性是指函数在定义域上的对称性。

一个函数是奇函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=-f(x)。

一个函数是偶函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=f(x)。

奇偶性可以通过观察函数的对称性或通过代入-x来判断。

1.5 周期性一个函数的周期性是指函数具有重复出现的规律。

周期函数满足f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期。

周期性可以通过观察函数的周期性或通过解函数的方程来判断。

1.6 界值性一个函数的界值性是指函数在定义域或值域上的极大值或极小值。

界值性可以通过求导数或考察函数的图像来判断。

二、高中数学中常见的函数高中数学中常见的函数包括常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

2.1 常函数常函数是一个常数，其函数图像是一条平行于x轴的直线。

常函数的定义域是整个实数集，值域是只有一个值的数集。

2.2 一次函数一次函数是一个一次多项式，函数表达式为f(x)=ax+b，其中a 和b为常数，a称为斜率，b称为截距。

函数的单调性、奇偶性、周期性

函数的单调性、奇偶性、周期性一、知识回顾第一部分函数的单调性1.定义：一般地，设函数)(x f y =定义域为A ，区间A M ⊆.如果取区间M 中的任意两个值21,x x 该变量012>-=∆x x x 则当0)()(12>-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数，当0)()(12<-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数，如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是偶函数，就说函数在这个区间M 上具有单调性.区间M 称为单调区间.2.单调性的判断:1.定义法：①21,x x 必须在定义域内，且给定关系21x x <；②作差)()(12x f x f -，作商)()(12x f x f （)(x f 恒大于零，或恒小于零）； ③整理变形.（转变成因式相乘，或相除的形式）；④定号判断)()(12x f x f -是否大于零，或)()(12x f x f 是否大于1； ⑤做结论.2.图象法：从左到右看图象的走势，上升即为增函数，下降即为减函数.3.定义变形：若0)]()()[(2121>--x f x f x x ，则说)(x f 在这个区间上是增函数；若0)]()()[(2121<--x f x f x x ，则说)(x f 在这个区间上是减函数. 若0)()(2121>--x x x f x f ，则说)(x f 在这个区间上是增函数；若0)()(2121<--x x x f x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数. （4）复合函数单调性判断：))((x g f y =，令)(x g m =，在区间),(b a 上，若)(x g m =为单调函数，且)(m f y =在区间))(),((b g a g 或))(),((a g b g 上也为单调函数，则)(m f y =，)(x g m =同增同减时，))((x g f y =为单调递增函数；)(m f y =，)(x g m =一增一减时，))((x g f y =为单调递减函数；3.性质：（1）若)(),(x g x f 均为增函数（减函数）则)()(x g x f +为增函数（减函数）.（2）若)(x f 为增函数（减函数）则)(x f -为减函数（增函数）.（3）互为反函数的两个函数单调性相同.（4）奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反.（5）当),(b a x ∈时，)(),(x g x f 为增函数（减函数）且0)(,0)(>>x g x f 则)()(x g x f ⋅在),(b a 内递增（减）.（6）当),(b a x ∈时，)(x f 恒正（负），且)(x f 为增函数（减函数）则)(1x f 为减函数（增函数）. 第二部分函数的奇偶性1.奇函数：（1）设函数)(x f y =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x 都有D x ∈-，且)()(x f x f -=-则这个函数叫做奇函数.（2）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（3）奇函数的变式定义：对于函数)(x f y =，在它的定义域内，任意一个x 如果都有0)()(=+-x f x f 或)0)((,1)()(≠-=-x f x f x f ，则函数)(x f 叫奇函数. （4）奇函数)(x f 定义域为R ，则一定有0)0(=f .2.偶函数：（1）设函数)(x g y =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x 都有D x ∈-，且)()(x g x g =-则这个函数叫做偶函数.（2）如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，那么这个函数是偶函数.（3）对于函数)(x f y =，在它的定义域内，任意一个x 如果都有0)()(=--x f x f 或1)()(=-x f x f ，)0)((≠x f 则函数)(x f 叫偶函数. （4）)(x f 为偶函数)()()(x f x f x f ==-⇔.3判断函数的奇偶性：（1）定义域必须对称.（2）整理)(x f -的形式，尤其是指数和对数.（3）确定⎩⎨⎧-=-奇函数偶函数)()()(x f x f x f4.若奇函数)(),(x g x f 的定义域的交集关于原点对称，则有)()(x g x f ±为奇函数；)0)((,)()(≠x g x g x f 为偶函数；)()(x g x f 为偶函数. 若偶函数)(),(x g x f 的定义域的交集关于原点对称，则有)()(x g x f ±为偶函数；)0)((,)()(≠x g x g x f 为偶函数；)()(x g x f 为偶函数. 若偶函数)(x f 与奇函数)(x g 的定义域的交集关于原点对称，则有)()(x g x f 为奇函数；)0)((,)()(≠x g x g x f 为奇函数；)()(x g x f ±奇偶性不确定. 5.常见结论：（1）1()(01)1x x a f x a a a -=>≠+且为奇函数. （2）为奇函数且)10)(1(log )(2≠>++=a a x x x f a . （3）为奇函数且)10(log )(≠>-+=a a xb x b x f a . （4）若)(b ax f +为偶函数，有)()(b ax f b ax f +-=+;若)(b ax f +为奇函数，有)()(b ax f b ax f +-=+-.第三部分函数的周期性1.定义：对于函数)(x f 如果存在非零的常数T ，使得当x 取定义域内的任何数时，都有)()(x f T x f =+那么就称)(x f 为周期函数.T 为)(x f 的一个周期.2.相关结论:设实数0≠m ，若对于函数)(x f 的定义域内的任意x ，恒有以下关系：（1）)()(x f m x f -=+；（2）)(1)(x f m x f =+；（3）)(1)(x f m x f -=+；（4）1)(1)()(-+=+x f x f m x f ；（5）1)()(1)(+-=+x f x f m x f ；（6）)()(m x f m x f -=+；则)(x f 是周期m T 2=的周期函数.（7）)0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；（8）)()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a ；（9）若)()(x a f x a f -=+且)(x f 是偶函数，则)(x f y =是周期为2a 的周期函数；若)()(x a f x a f -=+且)(x f 是奇函数，则)(x f y =是周期为4a 的周期函数（10）若)()(x a f x a f --=+且)(x f 是偶函数，则)(x f y =是周期为4a 的周期函数.若)()(x a f x a f --=+且)(x f 是奇函数，则)(x f y =是周期为2a 的周期函数. 若)(x f y =关于点（a ，0），（b ，0）对称，则)(x f 是周期为2b a -的周期函数.（11）)(x f y =的图象关于直线a x =，b x =（b a ≠）对称，则函数)(x f y =是周期为2b a -的周期函数.（12）如果函数)(x f y =的图象有一个对称中心)0.(a A 和一条对称轴)(,b a b x ≠=，则函数)(x f y =必是周期函数，且周期为b a T -=4.二、精选例题第一部分：函数的单调性例1.下列函数中，既是偶函数又是区间),0(+∞上的增函数的是（）A 3x y =B 1+=x yC 12+-=x yD x y -=2【解析】因为函数x y x y -==和都是偶函数，所以内层有它们的就是偶函数，但是它们在),0(+∞的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定.由偶函数可排除A ，再由增函数排除C ，D ，故选B例2.函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________【答案】1(,)2-+∞【解析】因为210x +>，所以定义域为1(,)2-+∞，由复合函数的单调性知:函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是1(,)2-+∞.例3.若函数32)(2+-=mx x x f 在[)∞+-,2上是增函数，在(]2,-∞-上为减函数，则)1(f 等于（）A : 11 B: 10 C: 12 D: 13 【解析】由题意可知对称轴24-==m x ，8-=∴m ，382)(2++=x x x f ，13)1(=∴f . 例4.求证：)0()(2>+=a xa x x f 在区间(]a ,0是单调递减函数. 【解析】任取a x x ≤<<210，则212211212122212))(()()(x x a x x x x x a x x a x x f x f --=--+=-， a x ≤<20Θ，a x <<10Θ，2210a x x <<∴，又012>-x x ，0)()(12<-∴x f x f ，)()(12x f x f <∴，故)(x f 在区间(]a ,0是单调递减函数.例5.下列区间中，函数()lg(2)f x x =-，在其上为增函数的是（A ）(,1]-∞ （B ） 41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ） 3[0,)2 （D ） [1,2)【解析】用图象法解决，将lg y x =的图象关于y 轴对称得到()lg y x =-，再向右平移两个单位，得到()()lg 2y x =--，将得到的图象在x 轴下方的部分翻折上来，即得到()lg(2)f x x =-的图象.由图象，选项中()f x 是增函数的显然只有D例6.动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间0t =时，点A的坐标是1(2，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是A 、[]0,1B 、[]1,7C 、[]7,12D 、[]0,1和[]7,12【解析】画出图形，设动点A 与x 轴正方向夹角为α，则0t =时3πα=，每秒钟旋转6π，在[]0,1t ∈上[,]32ππα∈，在[]7,12上37[,]23ππα∈，动点A 的纵坐标y 关于t 都是单调递增的.例7.求函数6)(2-+=x x x f 的单调区间.【解析】由062≥-+x x ，得3-≤x ，或2≥x .)(x f ∴的定义域为{}2,3≥-≤x x x 或，令62-+=x x u ，则原函数化为u y =，而425)21(622-+=-+=x x x u ，（1）当(]3,-∞-∈x 时，函数u 关于x 为减函数，y 关于u 为增函数，为减函数，区间关于x y ∴(]3,-∞-为函数)(x f 的单调递减区间；（2）当(]∞+∈,2x 时，函数u 关于x 为增函数，y 关于u 为增函数，为增函数，区间关于x y ∴(]∞+,2为函数)(x f 的单调递增区间；故函数)(x f 的单调递增区间为(]∞+,2，单调递减区间为(]3,-∞-.例8.求函数421342)(22+-+-=x x x x x f 在区间),2(∞+上的单调性. 【解析】3)1(524252425842421342)(222222+-+=+-+=+-++-=+-+-=x x x x x x x x x x x x f ，当2>x 时，3)1(2+-x 是递增的，∴3)1(52+-x 是递减的，即3)1(52)(2+-+=x x f 是递减的， ∴421342)(22+-+-=x x x x x f 在区间),2(∞+上是递减的，区间),2(∞+为减区间. 例9.已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠.（1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性；（2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 折取值范围.【解析】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>⇒-<，121233,0(33)0x x x x b b <>⇒-<， ∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数.（2）(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>当0,0a b <>时，3()22x ab >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x ab <-，则 1.5log ()2ax b <-.第二部分：函数的奇偶性例1.设函数()f x 和g （x ）分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（） A . ()()f x g x +是偶函数 B. ()()f x g x +是奇函数C. ()()f x g x +是偶函数D. ()()f x g x -是奇函数【解析】设()()()h x f x g x =+，|)(|)(|)(|)(|)(|)()(|)(|)()(x g x f x g x f x g x f x h x g x f x h +=-+=-+-=-∴+=)(x h =，所以)(x h 是偶函数，所以选A .例2.若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a =.【答案】 0 【解析】22()(),)f x f x x x a x x a -=--+=-+即(-，则,,0x a x a x R a -=+∈∴=Q例3.函数22log 2xy x -=+的图象（A ）关于原点对称（B ）关于主线y x =-对称（C ）关于y 轴对称（D ）关于直线y x =对称【解析】由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f （-x ）= 22log 2x x+-=-f （x ），故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A . 例4.函数)0()(≠=x x f y 是奇函数，且当()∞+∈,0x 时是增函数，若0)1(=f ，求不等式0)21(<-x f 的解集.【解析】0)1(=f Θ，∴不等式可转化为)1()21(f x f <-，又)(x f 在()∞+,0上递增，不难看出：1210<-<x ，得2321<<x ；又)(x f 是奇函数，∴它在对称区间上的单调性相同，且0)1()1(=-=-f f ，于是又得)1()21(-<-f x f ，即121-<-x ，得21-<x ， ∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<<212321x x x 或. 例5.已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，12)(23-+=x x x f ，求)(x f 在R 上的表达式.【解析】)0(12)(23>-+=x x x x f Θ，设0<x ，则0>-x 121)(2)()(2323-+-=--+-=-∴x x x x x f ，又Θ)(x f 为奇函数，12)(,12)(,12)(232323+-=∴-+-=-∴-+-=-∴x x x f x x x f x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧>-+=<+-=∴0,120,00,12)(2323x x x x x x x x f例6.数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（）（A ） ()f x 是偶函数（B ） ()f x 是奇函数（C ） ()(2)f x f x =+ （D ） (3)f x +是奇函数【解析】Q (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数.故选D例7.函数)0()(≠=x x f y 是奇函数，且当()∞+∈,0x 时是增函数，若0)1(=f ，求不等式0)21(<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x f 的解集. 【解析】0)1(=f Θ，∴不等式可转化为)1()21(f x x f <⎥⎦⎤⎢⎣⎡-，又)(x f 在()∞+,0上递增，不难看出1)21(0<-<x x ，解得417121+<<x 或04171<<-x ；又)(x f 是奇函数，∴它在对称区间上的单调性相同，且0)1()1(=-=-f f ，于是又得)1()21(-<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-f x x f ，即1)21(-<-x x ，得φ∈x ， ∴原不等式的解集是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-<+<<0417*******x x x 或. 例8.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则（）（A ）(3)(2)(1)f f f <-< （B ） (1)(2)(3)f f f <-<（C ） (2)(1)(3)f f f -<< （D ） (3)(1)(2)f f f <<-【解析】由2121()(()())0x x f x f x -->等价于2121()()0f x f x x x ->-则()f x 在1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠上单调递增，又()f x 是偶函数，故()f x 在1212,(0,]()x x x x ∈+∞≠单调递减.且满足*n N ∈时， (2)(2)f f -=， 03>21>>，得(3)(2)(1)f f f <-<，故选A .第三部分：函数的周期性例1.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=（A ） -12 （B ）1 4- （C ）14 （D ）12【答案】A【解析】5511()(2)()()2222f f f f -=-+=-=-Q 1112()(1)222=-⨯-=-故选A 例2.设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为.【答案】[15,11]-例3.若定义在R 上的奇函数满足)()2(x f x f -=+，求)2010(f 的值.【解析】)()2(x f x f -=+Θ，)()4(x f x f =+∴，又)(x f 在R 上为奇函数，故0)0(=f ， 0)2(=∴f ，从而0)2()2010(==f f例4.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9【解析】因为当02x ≤<时， 3()f x x x =-，又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =，所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====，又因为(1)0f =，所以(3)0f =，(5)0f =，故函数()y f x =的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为7个，选B.例5.奇函数()x f 的最小正周期为T ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-2T f 的值（） A .T B.0 C.2T D.不能确定【解析】)2()2()2(T f T T f T f =+-=-，又()x f 为奇函数，∴)2()2(T f T f -=-，从而)2()2(T f T f --=-，0)2(=-∴T f . 例6.给出下列三个命题：①函数11cos ln 21cos x y x -=+与ln tan 2x y =是同一函数； ②若函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线y x =对称，则函数()2y f x =与()12y g x =的图象也关于直线y x =对称；③若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()(2)f x f x =-，则()f x 为周期函数.其中真命题是A . ①② B. ①③ C.②③ D. ②【解析】考虑定义域不同，①错误，排除A 、B ；验证③， ()[2()](2)f x f x f x -=--=+，又通过奇函数得()()f x f x -=-，所以f （x ）是周期为2的周期函数，选择C.例7.函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（）（A ） ()f x 是偶函数（B ） ()f x 是奇函数（C ） ()(2)f x f x =+ （D ） (3)f x +是奇函数【解析】Q (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数.故选D例8.定义在R 上的函数()f x 满足()f x = ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则(2009)f 的值为 A .-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=，所以函数()f x 的值以6为周期重复性出现.，所以(2009)f = (5)f =1，故选C.例9.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（）A .(25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<【解析】因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数，(0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0，2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D.三、课堂训练第一部分：函数的单调性1.对于函数(),y f x x R =∈，“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要【解析】由奇函数定义，容易得选项B 正确.2.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（）A .1ln ||y x = B.3y x = C.||2x y = D.cos y x =【解析】由偶函数，排除B;由减函数，又排除B 、D ，故选A .3.函数1()f x x x=-的图象关于（） A .y 轴对称 B.直线x y -=对称 C.坐标原点对称 D.直线x y =对称【解析】1()f x x x=-是奇函数，所以图象关于原点对称 4.已知函数2)1(2)(2+--=x a x x f 在(]4,∞-上是减函数，求实数a 的范围.【解析】[]222)1(2)1(2)1(2)(a a x x a x x f --+--=+--=[][]2222)1()1(12)1(++--=+++--=a a x a a a x ，∴函数减区间(]a -∞-1,，而已知2)1(2)(2+--=x a x x f 在(]4,∞-上是减函数， ∴(]∈∞-4,(]a -∞-1,，即,14a -≤即3-≤a .5.已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是（）（A ）(1,)+∞ （B ） [1,)+∞（C ） (2,)+∞ （D ） [2,)+∞【解析】由0a b <<，且()()f a f b =得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x '=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2 6.已知函数10)2(2)(2-++=x m x x f 在区间()3,1上是增函数，求)1(f 的取值范围.【解析】10)2(2)(2-++=x m x x f 的对称轴为)2(+-=m x ，在区间()3,1上为增函数，而)(x f 是开口向上的抛物线，在[]∞++-,)2(m 上是增函数，()3,1∴是[]∞++-,)2(m 的一个子区间，3,)2(1-≥+-≥∴m m ，115)3(252101)2(21)1(2-=--⨯≥-=-⨯++=∴m m f ，即11)1(-≥f .7.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（）A ),3()1,3(+∞⋃-B ),2()1,3(+∞⋃-C ),3()1,1(+∞⋃-D )3,1()3,(⋃--∞【解析】由已知，函数先增后减再增，当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x当0<x ，3,36-==+x x 故3)1()(=>f x f ，解得313><<-x x 或8.已知函数[)∞+∈++=,1,2)(2x x a x x x f ，当21=a 时，求函数)(x f 的最小值；【解析】当21=a 时，222)21(221)(2++-=++=x x x x x f ，当且仅当xx 21=，即21=x 时，)(x f 最小，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,21上递增，∴在区间上[)∞+,1为增函数， 272211)1(=++=∴f 是函数)(x f 的最小值. 9.设函数)0()(>>++=b a bx a x x f ，求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在单调区间上的单调性. 【解析】在定义域内任取21x x <，))(())(()()(2121221121b x b x x x a b b x a x b x a x x f x f ++--=++-++=-∴， 0,0,021<-<-∴>>x x a b b a Θ，只有当b x x -<<21或21x x b <<-时函数才单调.当b x x -<<21或21x x b <<-时，函数0)()(21>-x f x f ，)(x f ∴在()b -∞-,和()∞+-,b 上是单调减函数.第二部分：函数的奇偶性1.函数()412x xf x +=的图象 A . 关于原点对称 B. 关于直线y =x 对称 C.关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称【解析】)(241214)(x f x f x xx x =+=+=---)(x f ∴是偶函数，图象关于y 轴对称 2.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f 2)(3+=；（2）xx x x f -+⋅-=11)1()( 【解析】（1）因为定义域为R ，关于原点对称，且)(2)(2)()(33x f x x x x x f -=--=-+-=-，故)(x f 为奇函数.（2）函数的定义域满足011≥-+xx ，所以函数的定义域为{}11<≤-x x ，因为定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.3.判断下列函数的奇偶性：（1）2432)(x x x f +=；（2）2211)(x x x f -+-=【解析】（1）定义域关于原点对称，又有24)(3)(2)(x x x f -+-=-=)(3224x f x x =+，故)(x f 为偶函数.（2）由题意知，定义域为{}1,1-，关于原点对称，且有0)(=x f ，所以)(x f 为既奇又偶函数.4.下面四个结论：① 偶函数的图象一定与y 轴相交；② 奇函数的图象一定通过原点；③ 偶函数的图象关于y 轴对称；④ 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是)(0)(R x x f ∈=.其中正确结论的是： .【解析】偶函数图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，反例：1)(-=x x f ，故①错；奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，反例：1)(-=x x f ，故②错；若)(x f 是既奇又偶，有0)(=x f ，但未必R x ∈，反例：0)(=x f ，2±=x ，故④错；所以，只有③正确.5.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为（） A .2- B.1- C.1 D.2【解析】1222(2008)(2009)(0)(1)log log 1f f f f -+=+=+=，故选C.6.判断函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f 的奇偶性. 【解析】当0>x 时，1)(+=x x f ，0<-x ，)()1(1)(x f x x x f -=+-=--=-∴；当0<x 时，1)(-=x x f 0>-x ，)()1(1)(x f x x x f -=--=+-=-∴；当0=x 时，0)()(==-x f x f ，综上)()(x f x f -=-；故函数为奇函数.7.已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，12)(23-+=x x x f ，求)(x f 在R 上的表达式.【解析】)0(12)(23>-+=x x x x f Θ，设0<x ，则0>-x ， 121)(2)()(2323-+-=--+-=-∴x x x x x f ，又Θ)(x f 为奇函数，12)(,12)(,12)(232323+-=∴-+-=-∴-+-=-∴x x x f x x x f x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧>-+=<+-=∴0,120,00,12)(2323x x x x x x x x f .8.函数)0()(≠=x x f y 是奇函数，且当()∞+∈,0x 时是增函数，若0)1(=f ，求不等式0)21(<-x f 的解集.【解析】0)1(=f Θ，∴不等式可转化为)1()21(f x f <-，又)(x f 在()∞+,0上递增，不难看出：1210<-<x ，得2321<<x ；又)(x f 是奇函数，∴它在对称区间上的单调性相同，且0)1()1(=-=-f f ，于是又得)1()21(-<-f x f ，即121-<-x ，得21-<x ， ∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<<212321x x x 或. 第三部分：函数的周期性1.若)(x f 的最小正周期是T 2，且)()(x T f T x f -=+对一切实数x 恒成立，则)(x f 是（）A . 奇函数 B. 偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数【解析】)(x f Θ的周期是T 2，)()2()(T x f T x T f x T f --=--=-∴，[])()(T x f T x f +-=+∴，设u T x =+，)()(u f u f -=∴为偶函数.2.奇函数()x f 的最小正周期为T ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-2T f 的值（）A . T B. 0 C.2T D. 不能确定【解析】)2()2()2(T f T T f T f =+-=-，又()x f 为奇函数，∴)2()2(T f T f -=-，从而)2()2(T f T f --=-，0)2(=-∴T f . 3.设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，且132)2(,1)1(+-=>m m f f ，求m 的取值范围. 【解析】Θ)(x f 是定义在R 上的奇函数，1)1()1(>--=∴f f ，1)1(-<-∴f ，而)(x f 的最小正周期为3，1)2()31()1(-<=+-=-∴f f f ，从而1132-<+-m m ，解得321<<-m . 4.已知函数()f x 的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f （x ）＝f （x －1）＋f （x ＋1）若f （0）＝2004，求f （2004）【解析】因为f （x ）＝f （x －1）＋f （x ＋1），所以f （x ＋1）＝f （x ）＋f （x ＋2）两式相加得0＝f （x －1）＋f （x ＋2）即：f （x ＋3）＝－f （x ）∴f （x ＋6）＝f （x ），故f （x ）是以6为周期的周期函数，又2004＝6×334，∴f （2004）＝f （0）＝20045.定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程()0=x f 在闭区间[]T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为_____.【解析】()x f 为奇函数且周期为T ，().00=∴f()().0=-=∴T f T f 又,2222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-T f T f T T f T f Θ .02,02=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴T f T f ()x f ∴在[]T T ,-上至少有5个根. 6.对于定义在R 上的函数f （x ），有下述四个命题，其中正确命题的序号为________. ①若f （x ）是奇函数，则f （x －1）的图象关于点A （1，0）对称；②若对x ∈R ，有f （x ＋1）＝f （x －1），则y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝1对称； ③若函数f （x －1）的图象关于直线x ＝1对称，则f （x ）为偶函数；④函数y ＝f （1＋x ）与函数y ＝f （1－x ）的图象关于直线x ＝1对称.【解析】f （x －1）的图象是由f （x ）的图象向右平移一个单位而得到，又f （x ）是奇函数，其图象关于原点对称，所以f （x －1）的图象关于点A （1，0）对称，故①正确；由f （x ＋1）＝f （x －1）可知f （x ）的周期为2，无法判断其对称轴，故②错误； f （x －1）的图象关于直线x ＝1对称，则f （x ）关于y 轴对称，故f （x ）为偶函数，③正确；y ＝f （1＋x ）的图象是由y ＝f （x ）的图象向左平移一个单位后得到，y ＝f （1－x ）是由y =f （x ）的图象关于y 轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y 轴对称，故④错误.7.定义在R 上的奇函数)(x f 以5为周期，若0)3(=f ，则在()10,0内，0)(=x f 的解得最少个数是（）A .3 B.4 C .5 D .7【解析】0)8()53()3(==+=f f f ，又)0()0(f f -=-，)0()0(f f =∴，0)0()50()5(==+=∴f f f ，又0)3()3(=-=-f f ，0)2()53()3(==+-=-∴f f f ，0)2()52()7(==+=∴f f f ，从而有0)5()8()3()7()2(=====f f f f f ，而)25()525()25(f f f =+-=-∴，且)25()25(f f -=-，0)25(=∴f ， 0)5.7()525(==+∴f f ， ∴在()10,0内使0)(=x f 的解为8,7,5,3,2=x ，以及5.7,5.2=x .8.已知)(x f 是R 上的偶函数，)(x g 是R 上的奇函数，且)1()(-=x f x g ，若2)2(=f ，求)2004(f 的值为.【解析】Θ)1()(-=x f x g ，① ∴)1()1()(+=--=-x f x f x g ， ②两式相加得：0)1()1(=-++x f x f ，③，由③可知0)1()3(=+++x f x f ，④ ，④-③得)1()3(-=+x f x f ，即)()4(x f x f =+，)(x f ∴以4为周期，从而)0()05014()2004(f f f =+⨯=，2)2()0(-=-=f f ，2)2004(-=∴f .9.设)(x f 是()∞+∞-,上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，求)5.7(f 的值.【解析】Θ对任意的R x ∈，都有)()2(x f x f -=+，[][])()()2(2)2()4(x f x f x f x f x f =--=+-=++=+，∴)(x f 是周期4=T 的周期函数，)5.0()45.3()5.3()45.7()5.7(-=-==-=∴f f f f f ，)(x f Θ为奇函数，)5.0()5.0(f f -=-∴，5.0)5.0()5.7(-=-=∴f f .四、课后作业【训练题A 类】1.函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是A . )2,(-∞B （0，3） C.（1，4） D. ),2(+∞2.若函数2()()a f x x a x=+∈R ，则下列结论正确的是（） A .a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数B.a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数C.a ∃∈R ，()f x 是偶函数D.a ∃∈R ，()f x 是奇函数3.函数y =22log 2x y x-=+的图象（A ）关于原点对称（B ）关于主线y x =-对称（C ）关于y 轴对称（D ）关于直线y x =对称4.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是A .()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+5.已知12a =，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 .6.已知)(x f 是周期为T 的周期函数，那么)12(+x f 是（）A . 周期为T 的周期函数 B. 周期为T 2的周期函数C.周期为2T 的周期函数 D.不是周期函数 7.若)(x f 的最小正周期是T 2，且)()(x T f T x f -=+对一切实数x 恒成立，则)(x f 是（）A .奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数8.定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程()0=x f 在闭区间[]T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为_____.9.奇函数()x f 的最小正周期为T ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-2T f 的值（） A . T B. 0 C.2T D. 不能确定 10.函数()21x b ax x f ++=是定义在()1,1-上的奇函数，且.5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 试确定函数()x f 的解析式.【参考答案】1.【答案】D【解析】()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-，令()0f x '>，解得2x >2.【答案】C【解析】对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数 3.【答案】A【解析】由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又()()f x f x -=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A .4.【答案】A【解析】依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确.5.【答案】m <n【解析】 1(0,1)2a =∈，函数()x f x a =在R 上递减.由()()f m f n >得：m <n 6.【答案】C【解析】)()(T x f x f +=Θ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=+∴1)2(2)12()12(T x f T x f x f ，所以周期为2T. 7.【答案】B【解析】)(x f Θ的周期是T 2，)()2()(T x f T x T f x T f --=--=-∴，[])()(T x f T x f +-=+∴，设u T x =+，)()(u f u f -=∴为偶函数.8.【答案】5【解析】()x f 为奇函数且周期为T ，().00=∴f ()().0=-=∴T f T f又,2222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-T f T f T T f T f Θ.02,02=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴T f T f()x f ∴在[]T T ,-上至少有5个根.9.【答案】【解析】)2()2()2(T f T T f T f =+-=-，又()x f 为奇函数，∴)2()2(Tf T f -=-，从而)2()2(T f T f --=-，0)2(=-∴Tf10.【解析】依题意得⎪⎩⎪⎨⎧==52)21(0)0(f f ，即⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+015241120012b a b a b，21)(x x x f +=∴ 【训练题B 类】1.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，若方程()f x =m （m >0）在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=2.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则f （f （52））的值是（）A .0B.12C.1D.523.奇函数)(x f 在区间[]7,3上是增函数，且最小值是5，则)(x f 在区间[]3,7--上是A .增函数，且最大值是5- B.增函数，且最小值是5- C. 减函数，且最大值是5- D.减函数，且最小值是5-4.已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且2)()(2-+=+x x x g x f ，求)(x f 、)(x g 的解析式.5.已知定义域为R 的函数)(x f 在()∞+,8上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（）A .)7()6(f f > B.)9()6(f f > C.)9()7(f f > D.)10()7(f f >6.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对于任意的[]2,+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，求实数t 的取值范围.7.已知函数)(x f y =，R x ∈满足)()(x f x f =-，则下列各点中必在函数)(x f y =图象上的是（）A .())(,a f a - B.())(,a f a -- C.())(,a f a --- D.())(,a f a -8.下列说法正确的是.______① 函数3)(=x f ，因为该函数解析式中不含x ，无法判断其奇偶性； ② 偶函数一定与y 轴相交；③ 若)(x f y =是奇函数，由)()(x f x f -=-知0)0(=f ； ④ 若一个图形关于y 轴成轴对称，则该图形一定是偶函数的图象.9.设()()()2++=x bg x af x F 在()+∞,0上有最大值8，且()()x g x f ,都是奇函数，则在()0,∞-上()x F 有（）A .最大值8 B.最小值8- C.最小值4- D.最大值10-【参考答案】1.【答案】-8【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0，2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2，0]上也是增函数. 如图所示，那么方程f （x ）=m （m >0）在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<由对称性知1212x x +=-344x x +=所以12341248x x x x +++=-+=-2.【答案】A【解析】由已知令x ＝0，则(0)0f =，由已知令x ＝－12，得－12f （12）＝12f （－12）＝12f （12），∴f （12）＝0.又令x ＝12，得12f （32）＝32f （12），又∵f （12）＝0，∴f （32）＝0.再令x ＝32，得32f （52）＝52f （32），∵f （32）＝0，∴f （52）＝0.∴f （f （52））＝f （0）＝0.3.【答案】C【解析】Θ奇函数)(x f 在区间[]7,3上是增函数，∴)(x f 在区间[]3,7--上也是增函数，由图象可知结果.4.【解析】Θ)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，)()(,)()(x g x g x f x f -=-=-∴，由2)()(2-+=+x x x g x f ，得2)()(2--=-+-x x x g x f ，即2)()(2--=-x x x g x f ，所以x x g x x f =-=)(,2)(2.5.【答案】D【解析】Θ)8(+=x f y 为偶函数，)8()8(+=+-∴x f x f ，)(x f ∴的对称轴为8=x ， Θ)(x f 在()∞+,8上为减函数，)(x f 由对称性知∴在()8,∞-上为增函数，故由单调性及对称轴结合图象知)10()7(f f >.6.【解析】若0>t ，则222)()(2)(x t x x f t x f ≥+⇔≥+，即[]2,,0222+∈≤--t t x t tx x 恒成立；⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-+≤--∴0)2(2)2(0222222t t t t t t t 恒成立，即2≥t . 7.【答案】A【解析】Θ)()(x f x f =-，∴当a x -=时，)()(a f a f y =-=，∴点())(,a f a -在图象上.8.【答案】④【解析】根据奇偶性的定义可知，错误的是①②③. 9.【答案】C【解析】由()()()+∞∈≤++,0,82x x bg x af 得()()()()x f x g x bg x af ,.6Θ≤+都是奇函数，()()()()42,6-≥+-+-∴-≥-+-∴x bg x af x bg x af ）【训练题C 类】1.有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4a x a xf x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（*x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.（1）证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(121,133].当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.2.设函数ax x x f -+=1)(2，其中0a >.（Ⅰ）解不等式)(x f ≤1；（Ⅱ）证明：当a ≥1时，函数)(x f 在区间[0，+∞]上是单调函数.3.已知函数],1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f . （1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值：（2）若对任意0)(],,1[>+∞∈x f x 恒成立，试求实数a 的取值范围.4.已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围.5.若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（）A . 必是增函数B. 必是减函数C. 是增函数或是减函数D.无法确定增减性6.当(]5,0∈x 时，函数c x x x f +-=43)(2的值域为（）A .[])5(,)0(f f B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡)23(,)0(f f C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡)5(,)32(f f D. [])5(,f c7.函数x x y )3(--=的递增区间是__________. 8.已知函数)1(13)(≠--=a a axx f （1）若0>a ，则)(x f 的定义域是________；（2）若)(x f 在区间(]1,0上是减函数，则实数a 的取值范围是________. 9.函数)(x f 的定义域为{}0>=x x D ，且满足：对于任意D n m ∈,，都有)()()(n f m f n m f +=⋅.（1）求)1(f 的值；（2）如果,2)62()13(,1)2(≤-++=x f x f f (2)1f =，且)(x f 在()∞+,0上是单调增函数，求x 的取值范围.10.若函数5)(2++=x mx x f 在[]∞+-,2上是增函数，求m 的取值范围.【参考答案】1.【解析】（1）当0.47(1)()(3)(4)x f x f x x x ≥+-=--时，而当7x ≥时，函数(3)(4)y x x =--单调递增，且(3)(4)x x -->0故(1)()f x f x +-单调递减∴当7x ≥时，掌握程度的增长量(1)()f x f x +-总是下降（2）由题意可知0.1+15l n6a a -=0.85，整理得0.056a e a =- 解得0.050.05620.506123.0,123.0(121,127]1e a e =⋅=⨯=∈- 由此可知，该学科是乙学科2.【解析】（Ⅰ）不等式1)(≤x f 即ax x +≤+112，由此得ax +≤11，即0≥ax ，其中常数0φa .所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥02)1(,02a x a x所以，当10≤≤a 时，所给不等式的解集为}120|{2aax x -≤≤；当1≥a 时，所给不等式的解集为}0|{≥x x . （Ⅱ）在区间),0[+∞上任取21,x x 使得12x x <1212221212()()()()().f x f x a x x a x x x x a -=-=--⎛⎫⎪=--⎪⎭∵1,a 1<≥且0a -<，又120x x -<，∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >. 所以，当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调递减函数.3.【解析】（1）当221)(,21++==xx x f a 时， )(x f Θ在区间),1(+∞上为增函数，∴)(x f 在区间),1(+∞上最小值为27)1(=f ，（2）解法一：在区间),1(+∞上，0202)(22<++⇔>++=a x x xa x x x f 恒成立恒成立，设),1(,22+∞∈++=x a x x y ，1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，∴当1=x 时，a y +=3min ，于是当且仅当03min >+=a y 时，函数0)(>x f 恒成立，故3->a .解法二：],1[,2)(+∞∈++=x xax x f ，当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正，当0<a 时，函数)(x f 递增，故当a x f x +==3)(,1min 时，于是当且仅当03)(min >+=a x f 时，函数0)(>x f 恒成立，故3->a .4.【解析】（1）当0=a 时，()2x x f =为偶函数；当0≠a 时，()x f 既不是奇函数也不是偶函数. （2）设212≥>x x ，()()22212121x a x x a x x f x f --+=-()[]a x x x x x x x x -+-=21212121，由212≥>x x 得()162121>+x x x x ，0,02121><-x x x x 要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数只需()()021<-x f x f ，即()02121>-+a x x x x 恒成立，则16≤a . 另解（导数法）：()22'xa x x f -=，要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数，只需当2≥x 时，()0'≥x f 恒成立，即022≥-xax ，则[)+∞∈≤,1623x a 恒成立，故当16≤a 时，()x f 在区间[)+∞,2是增函数.5.【答案】D6.【答案】C【解析】结合函数图象可知，当32≥x时，)(xf为增函数，当32<x时为减函数，故)(xf最大值为)5(f，最小值为)32(f，所以值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡)5(,)32(ff.7.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0【解析】⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-=--=33)3(22xxxxxxxxy，作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0.8.【答案】3,a⎛⎤-∞⎥⎝⎦；(](]3,10,Y∞-∈a【解析】（1）Θ0>a且1≠a，要使)(xf有意义，只需03≥-ax，即ax3≤，⎥⎦⎤⎝⎛∞-∈∴ax3,.（2）若0=a，3)(-=xf，不合题意；若axya-=<3,0是(]1,0上的增函数，且01<-a，)(xf∴是(]1,0上的减函数；若0>a，axy-=3Θ是(]1,0上的减函数，故需01>-a，1>∴a，另一方面，)(xf的定义域为⎥⎦⎤⎝⎛∞-a3,，(]3,1,3,13∈∴≤∴≥∴aaa，综上知(](]3,10,Y∞-∈a.9.【解析】（1）令,1==nm有)1()1()11(fff+=⨯，解得0)1(=f；（2）2)2()2()22()4(=+=⨯=ffff，所以)4()62()13(2)62()13(f x f x f x f x f ≤-++⇔≤-++，因为)(x f 在()∞+,0上是单调增函数，所以)4()62()13(f x f x f ≤-++⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>->+⇔4)62)(13(062013x x x x 33143+≤<⇔x故x 的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛+3314,3.10.【解析】当0=m ，5+=x y 在[]∞+-,2上是增函数，当0>m 时，且221-≤-m ，解得：410≤<m ，综上所述，m 的取值范围是410≤≤m .。

函数单调性、奇偶性、周期性与对称性涉及的考点梳理JS

3. 复合函数的奇偶性的判断：内偶则偶，内奇同外
对于复合函数 y = f gx 来说，
(1) 若 gx 为偶函数，则 y = f gx 为偶函数，
(2) 若 gx 为奇函数且 y = f x 为奇函数，则 y = f gx 为奇函数，
(3) 若 gx 为奇函数且 y = f x 为偶函数，则 y = f gx 为偶函数，
(4) 若 f a - x =-f a + x 且 f b - x =-f b + x ，则 T = a - b ,
(5) 若 f a - x = f a + x 且 f b - x =-f b + x ，则 T = 4a - b ,
二、考点梳理考点一单调性的定义 1. 已知 f(x) 为 R 上增函数，且对任意 x ∈ R，都有 f[f(x) - 3x] = 4，则 f(3) = ( )
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常见形式：
不等式 f x > gx 在区间 D 上恒成立
⇔ 在区间 D 上函数 y = f x 的图象始终在函数 y = gx 的上方，
⇔ F x = f x - gx > 0 在区间 D 上恒成立，⇔ F x min > 0.
③对 ∀ x1 ∈ a,b , ∀ x2 ∈ c,d ，都有 f x1 > gx2 成立 ⇔ f x1 min > gx2 max，对 ∀ x1 ∈ a,b , ∀ x2 ∈ c,d ，都有 f x1 < gx2 成立 ⇔ f x1 max < gx2 min. (2) 能成立问题的转化，若函数 f(x) 有最大 ( 小 ) 值，则
导数法
导数大于零
导数小于零
运算法
递增 + 递增

高中数学理科知识点总结

高中数学理科知识点总结一、代数1.1 一次方程和一元一次方程组一次方程是指次数为一的方程，一元一次方程指的是一个未知数的一次方程。

解一元一次方程可以通过整理等式，用逆运算求出未知数的值来解决。

1.2 二次函数和二次方程二次函数是指次数为二的函数，常见的形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次方程是指次数为二的方程，通常表现为ax^2+bx+c=0的形式。

解二次方程可以使用公式法、配方法、完全平方公式等方法来解决。

1.3 集合和映射集合是指具有某种共同特征的事物的总体，用大写字母A、B、C等表示，元素用小写字母或数表示。

映射是指一个对应关系，用f：A→B表示，A称为定义域，B称为值域。

1.4 不等式和不等式组不等式指的是两个表达式之间的关系不是相等关系，常见的不等式有绝对值不等式、多项式不等式、有理式不等式等。

不等式组是指由两个或多个不等式组成的数学结构，通过解不等式组可以确定不等式的取值范围。

1.5 同余方程同余方程是指两个整数除以一个正整数m的余数相同的方程，通常形式为a≡b(mod m)。

同余方程在密码学、数论等领域有广泛的应用。

1.6 组合组合是指从n个不同元素中取出m个元素的所有可能性的数目，通常用C(n,m)或者（nm）表示。

1.7 等差数列和等比数列等差数列是指一个数列中每个数与它前面的数的差都是一个常数，该常数称为公差。

等比数列是指一个数列中每个数与它前面的数的比都是一个常数，该常数称为公比。

1.8 多项式多项式是指包含有限个数项的代数和，常见的多项式有二项式、三项式、四项式等，多项式有加减乘除等运算。

1.9 分式分式是指两个多项式的商，通常形式为a/b，其中a、b是多项式。

1.10 因式分解因式分解是指将一个多项式表示成几个乘积的形式，有整式因式分解和分式因式分解等。

1.11 幂的运算幂是指相同数的连乘运算，通常形式为a^n，其中a为底数，n为指数。

1.12 对数对数是表示以一个数为底数的幂等于另一个数，通常形式为loga(b)=c，其中a为底数，b 为真数，c为对数。

高考数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。

满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数；四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ；（2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ；（4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ；（5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ；（6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称；（4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ；（2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

函数的奇偶性、单调性和周期性

函数的奇偶性与单调性湖南岳阳县七中胡旭光供稿一.知识总结1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）(1)为奇函数;为偶函数;(2)奇函数在原点有定义(3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和即（奇）（偶）.2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)(1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为上增函数,若时有,称为上减函数.(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.二.例题精讲【例1】已知定义域为的函数是奇函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）= -f（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：，即：，整理得上式对一切均成立，从而判别式【例2】设函数在处取得极值－2,试用表示和,并求的单调区间.解：依题意有而故解得从而。

令，得或。

由于在处取得极值，故，即。

（1）若，即，则当时，；（2）当时，；当时，；从而的单调增区间为；单调减区间为若，即，同上可得，的单调增区间为；单调减区间为【例3】(理)设函数,若对所有的,都有成立,求实数的取值范围.(文)讨论函数的单调性（理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1，(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜e a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a －1－1，当x＞e a－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e a－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．（文）解：设，则∵∴，，，当时，，则为增函数当时，，则为减函数当时，为常量，无单调性【例4】(理)已知函数,其中为常数.(Ⅰ)若,讨论函数的单调性;(Ⅱ)若,且=4,试证:.(文)已知为定义在上的奇函数，当时，，求的表达式.（理）（文）解：∵为奇函数，∴当时，∵为奇函数∴∴∴三.巩固练习1.已知是上的减函数,那么的取值范围是( )A. B. C. D.2.已知是周期为2的奇函数,当时,,设则( )A. B. C. D.3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. B. C. D.4.若不等式对于一切 (0,)成立,则的取值范围是( )A.0B. –2C.-D.-35.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( )A.是奇函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数6.已知定义在上的奇函数满足,则的值为( )A.－1B.0C.1D.27.已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,记.若在区间上是增函数,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.8.(理)如果函数在区间上是增函数,那么实数的取值范围是( )Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.9.对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )A. B. C.D.10.已知,则( )A. B. C. D.11.已知函数,若为奇函数,则 .12.已知函数是定义在上的偶函数. 当时,,则当时, .13.是定义在上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是( )A.5B.4C.3D.214.下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是( )A. B. C. D.15.若函数, 则该函数在上是( )A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值16.若函数在区间内单调递增,则的取值范围是( )A. B. C. D.17.设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称,则______.18.设函数在上满足,,且在闭区间［0，7］上,只有.(Ⅰ)试判断函数的奇偶性;(Ⅱ)试求方程=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并证明你的结论.19. (理)已知,函数(1)当为何值时,取得最小值？证明你的结论;(2)设在[ -1，1]上是单调函数,求的取值范围.(文)已知为偶函数且定义域为,的图象与的图象关于直线对称,当时,,为实常数,且.(1)求的解析式;(2)求的单调区间;(3)若的最大值为12,求.20.已知函数的图象过点（0,2）,且在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间.21.已知向量若函数在区间（－1,1）上是增函数,求的取值范围.22. (理)已知函数,,.若,且存在单调递减区间,求的取值范围.(文)已知函数在区间上是减函数,且在区间上是增函数,求实数的值.巩固练习参考答案1. C2. D3. A4. C5. D6. B7. D8.B 9.C 10. A 11. a=12. -x-x4 13. B 14.D 15.A 16.B 17. 018 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.19. (理) 解：（I）对函数求导数得令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0解得当变化时，、的变化如下表∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。

函数的单调性与周期性

2019/2/22
4． y＝ f[g(x)]是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x) 的单调性相同，则其复合函数 f[g(x)]为增函数；若 f(x)、 g(x)的单调性相反，则其复合函数 f[g(x)]为减函数． 5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．
1 答案： (－∞，0)∪( ， 2] 2
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(理)若奇函数 f(x)在区间 [3,7]上是增函数且最大值为 5，则 f(x)在区间[－7，－ 3]上是( A．增函数，且有最小值－ 5 B．增函数，且有最大值－ 5 C．减函数，且有最小值－ 5 D．减函数，且有最大值－ 5 )
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2．证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明． (1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取 x1、 x2∈D，且 x1<x2； ②作差 f(x1)－ f(x2)，并适当变形 (“分解因式”、配方成同号项的和等 )； ③依据差式的符号确定其增减性．
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2．在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域 3．注意 f(x)在区间 A 上单调增与 f(x)的单调增区间为 A 的区别．
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一、利用复合函数的单调性解题对于复合函数 y＝f[g(x)]，若 t＝ g(x)在区间(a， b)上是单调增(减 )函数，且 y＝f(t)在区间 (g(a)， g(b))或者 (g(b)， g(a))上是单调函数，那么函数 y＝ f[g(x)]在区间 (a， b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域 .

第2讲-函数的单调性和周期性

函数的单调性和周期性学习目标1、掌握单调函数、周期函数的定义2、能判断常见基本函数之单调性和周期性3、能利用函数的单调性和周期性解决常规问题1、单调函数：设函数()f x 的定义域为I ，对于区间D I ⊆，如对任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <，则称()f x 是区间内D 上的单调递增函数；如果对任意的12,x x D ∈，当12x x <，都有()()12f x f x >，则称()f x 是区间D 上的单调递减函数。

单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数。

函数的单调性的等价关系对任意[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上单调递增； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上单调递减重要结论（1）如)(x f 和)(x g 都是减函数，则)()(x g x f +也是减函数; （2）如)(x f 和)(x g 都是增函数，则)()(x g x f +也是增函数;（3）如)(u f y =和)(x g u =都是减函数，则复合函数)]([x g f y =是增函数；（4）如)(u f y =和)(x g u =都是增函数，则复合函数)]([x g f y =是增函数；（5）如)(u f y =和)(x g u =一增一减，则复合函数)]([x g f y =是减函数；注意：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y ＝1x 分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．周期函数：对于函数()f x ，如果存在正常数T ，使得对任意自变量x ，都有()()f x T f x +=，则称()f x 为周期函数，T 称为()f x 的一个周期。