4-17计数原理排列组合专题

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计数原理排列组合精简题型

或：7名学生争夺5项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 75 种。重排问题 -住店法：允许重复的排列问题，是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置。通常，n个不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn种。
6
七、环排问题 ——线性排列
例7. 8人围桌而坐，共有多少种坐法?
五、小集团问题——先整体后局部
例5. 用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中恰有
两偶数夹在1、５两个奇数之间，这样的五位数有多少个？解：把１、５、２、４当作一个元素（小集团）与３排队 A2 A A ，共有种排法，再排小集团内部，共有种排法， 2 2 2 A2 由分步计数原理，共有种排法。 2 A2 A2
解：围桌而坐与坐成一排的不同点是：坐成圆形没有首尾之分，所以先固定一人，并从此位置把圆形展成直线，其余7人任意排列，共有(8-1)！种排法，即7！
C D E F G H B A A B C D E F G H A
环排问题：一般地，n个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法。
7
八、分排问题 ——直排法
例2. 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法? 解：因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有A66 种排法,其中女生内部也有A33 种排法,根据乘法原理,共有A66A33种不同的排法.
捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须进行排列！
例10. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

计数原理、排列、组合

计数原理、排列、组合一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。

分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。

区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。

二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题；区别：前者有顺序，后者无顺序。

（2）排列数、组合数：排列数的公式：)(!)1()2)(1(n m n m n n n n A m n ≤=+---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列数的性质：①1-=m m nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）②m m m A mA A 1-+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成：第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。

第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）即有11--m n mA 种不同的方法。

第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个位置上，有m n A 1-种方法。

排列组合问题17种方法.ppt

练习题
1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ 42 ）
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
（ 78 ）
六.环排问题线排策略例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法?
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
※解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
1.排列的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的
顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个
元素的一个排列。
2.组合的定义: 从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共
有C__52种方法.再把5个元素(包含一个复合
元素)装入4个不同的盒内有_A__44__种方法.
根据分步计数原理装球的方法共有C__52_A_44_
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?
练习题
一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人
C
C2
6
C2
4
22种方法,但这里出现重复计数
的现象,不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB,第二步取
CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)
C
C2
6
C2
4

计数原理与排列组合

计数原理与排列组合1．两个计数原理2．排列3．组合1．计数原理的两个不同点(1)分类问题中的每一个方法都能完成这件事．(2)分步问题中每步的每一个方法都只能完成这件事的一部分．2．排列与组合问题(1)三个原则①有序排列、无序组合．②先选后排．③复杂问题分类化简或正难则反．(2)两个优先①特殊元素优先．②特殊位置优先．即先考虑特殊的元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．3．正确理解组合数的性质(1)C m n＝C n－mn从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数．(2)C m n＋C m－1＝C m n＋1n从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有C m n种方法；②含特殊元素A有C m－1种方法．n[四基自测]1．从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A．6B．8C．12D．16答案：C2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40B．16C．13 D．10答案：C3．(a＋b＋c)(d＋e＋f＋h)(i＋j＋k＋l＋m)展开后共有________项．答案：604．如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．答案：325．(2017·高考全国卷Ⅱ改编)安排3人完成3项工作，每人完成一项，有______种安排方式．答案：6授课提示：对应学生用书第187页考点一计数原理◄考基础——练透[例1](1)已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A．9B．14C．15 D．21解析：因为P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P⊆Q，所以x∈{y，2}．所以当x＝2时，y＝3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况；当x＝y时，x＝3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况．故共有7＋7＝14种情况，即这样的点的个数为14.答案：B(2)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有() A．10种B．25种C．52种D．24种解析：共分4步：一层到二层有2种，二层到三层有2种，三层到四层有2种，四层到五层有2种，一共有24种．答案：D(3)从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为()A．56 B．54C．53 D．52解析：在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56个对数值；但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52个．答案：D(4)从0，1，2，3，4这5个数字中任选3个组成三位数，其中偶数的个数为________．解析：按个位数字是否为0进行分类，因为0不能排在首位．若0在个位，则十位数字有4种排法，百位数字有3种排法，共有4×3＝12种．若2或4在个位，个位数字有2种排法，再分类，若0在十位，则百位数字有3种排法．若0不在十位，十位数字有3种排法，百位数字有2种排法．共有2×(1×3＋3×2)＝18，故总12＋18＝30.答案：30应用计数原理的三个注意点(1)注意完成“这件事”是做什么．(2)弄清完成“这件事”是分类还是分步．①根据完成事件的特点，进行“分类”，根据事件的发生过程进行“分步”．②分类要按照同一个标准，任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．③分步时各步相互依存，只有各步都完成时，才算完成这件事．(3)合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰，还要注意元素是否可以重复选择．1．将本例(3)改为从1，2，3，4，9中每次取出两个数记为a，b，则可得到log a b 的不同值的个数为()A．9 B．10C．13 D．16解析：显然a≠1，若a＝2，3，4，9，b＝1时，有log a b＝0，1个；若a＝2，b＝3，4，9时，有log23，log24＝2，log29，3个；若a ＝3，b ＝2，4，9时，有log 32，log 34，log 39＝2(舍去)，2个；若a ＝4，b ＝2，3，9时，有log 42＝12，log 43，log 49＝log 23(舍去)，2个；若a ＝9，b ＝2，3，4时，有log 92，log 93＝12(舍去)，log 94＝log 32(舍去)，1个，共有1＋3＋2＋2＋1＝9个．答案：A2．将本例(4)改为用数字2，3，4，6，8组成无重复数字的三位偶数的个数为________．解析：先排个位有4种方法，再排十位有4种方法，最后排百位，有3种方法，故共有4×4×3＝48种排法，对应48个三位偶数．答案：483．将本例(4)改为在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．解析：根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题设条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知：符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．答案：36考点二排列问题◄考能力——知法[例2] (1)室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8名同学请出座位并且编号为1，2，3，4，5，6，7，8.通过观察这8名同学的身体特征，王老师决定，按照1，2号相邻，3，4号相邻，5，6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，则有________种排法．(用数字作答)解析：把编号相邻的3组同学每两名同学捆成一捆，这3捆之间有A 33＝6(种)排序方法，并且形成4个空当，再将7号与8号插进空当中，有A24＝12(种)插法，而捆好的3捆中每相邻的两名同学都有A22＝2(种)排法．所以不同的排法种数为23×6×12＝576.答案：576(2)(2019·济南模拟)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)．解析：优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解．由于0号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5种选择．最后两项实验的顺序确定，所以共有5A55A22＝300种不同的编排方法．答案：300有限制条件的排列问题的解题方法1．(2019·衡水冀州中学月考)将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A，B必须放入相邻的抽屉内，文件C，D也必须放入相邻的抽屉内，则所有不同的放法有()A．120种B．210种C．420种D．240种解析：可先排相邻的文件，再作为一个整体与其他文件排列，则有A22A22A35＝240种排法，所以选D．答案：D2．6名同学排成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．解析：先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A25种站法；第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A44种站法．由分步乘法计数原理可知，共有A25A44＝480(种)不同的站法．答案：480考点三组合问题及混合问题◄考基础——练透角度1简单的组合问题[例3](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：法一：按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种，有2位女生参加有C22C14种．故共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种)．法二：间接法．从2位女生，4位男生中选3人，共有C36种情况，没有女生参加的情况有C34种，故共有C36－C34＝20－4＝16(种)．答案：16(2)有甲、乙、丙3项任务，甲需2个人承担，乙、丙各需1个人承担，从10个人中选出4个人承担这3项任务，不同的选法有________．解析：要从10个人中选出4个人承担3项任务，甲需2个人承担，乙、丙各需1个人承担，先从10个人中选出2个人承担甲项任务，不同的选法有C210种；再从剩下8个人中选1个人承担乙项任务，不同的选法有C18种；最后从另外7个人中选1个人承担丙项任务，不同的选法有C17种．综上，不同的选法共有C210C18C17＝2 520(种)．答案：2 520角度2简单的组合与排列混合问题[例4](1)将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为()A．18 B．24C．30 D．36解析：将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有C24A33＝36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A33＝6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6＝30种．答案：C(2)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是() A．150 B．300C．600 D．900解析：若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5名教师中选2名，有C25×A44＝240种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从6名教师中选4名，共有C46×A44＝360种方法．因此共有600种不同的选派方案．答案：C角度3分组、分配问题[例5](1)(2017·高考全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解析：因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有C24C12C11A22＝6种，再分配给3个人，有A33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．答案：D(2)将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有() A．12种B．10种C．9种D．8种解析：先从4名学生中选2人安排到甲地，有C24种不同的方法；再从2名老师中选1人安排到甲地，有C12种不同的方法；其余2名学生和1名老师安排到乙地只有一种方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C24C12＝12种，故选A．答案：A1．解决简单的排列与组合的综合问题的思路(1)根据附加条件将要完成事件先分类．(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列．(3)由分类加法计数原理计算总数．2．“分组分配”问题的解题技巧1．(2019·河南豫北名校联考)2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A．18种B．24种C．48种D．36种解析：由题意，有两类：第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个，有C23＝3种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生，有C12C12＝4种，故有3×4＝12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，有C13＝3种，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人，有C12C12＝4种，这时共有3×4＝12种，根据分类计数原理得，共有12＋12＝24种不同的乘车方式，故选B．答案：B2．(2019·福建福州模拟)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有()A．90种B．180种C．270种D．360种解析：根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C16＝6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C15＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有C24C22A22×A22＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案，故选B．答案：B数学建模、数学运算——不定方程与组合问题中的学科素养在学习排列组合知识时，我们经常遇到把若干相同元素分成几组的问题．这类问题可以用一个比较简单的模型，就是转化为不定方程解的个数问题，从而得以快速解决．[直接隔板法][例]把6个相同的小球放入4个盒子中，每个盒子都不为空，有多少种不同的放法？解析：本题相当于将6个相同的球分为4组．可以先把6个球排成一排，中间有五个空位，我们只需在这五个位置中任取三个位置放上隔板就可把小球分隔成4组了，故有C35＝10种不同的放法．[拓展为不定方程法]设每个盒子中的小球数分别为x1，x2，x3，x4，求x1＋x2＋x3＋x4＝6的正整数解的组数．这是四元不定方程，把6分为6个1，6个1之间有5个空，选3个空放3个加号，所以有C35＝10种放法．一种放法就唯一对应不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝6的一组正整数解，故此不定方程有C35＝10组正整数解．[拓展模型]设n，m∈N*，n≥m≥1，则不定方程x1＋x2＋x3＋…＋x m＝n的正整数解有C m－1n－1组．拓展应用1把20个相同的小球放入4个盒子中，有多少种不同的放法？解析：与例题相比少了“每个盒子都不为空”这个条件，就是说盒子里可以为空．我们可以这样理解：设每个盒子的小球数分别为x1，x2，x3，x4，求不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝20的非负整数解的组数．那么能否转化为模型1来解决呢？先在每个盒子里放上1个球，保证每个盒子不空，然后再来放这20个球，就是模型1了．即(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＋(x4＋1)＝20＋4＝24，令y1＝x1＋1，y2＝x2＋1，y3＝x3＋1，y4＝x4＋1，则y1，y2，y3，y4为正整数，问题转化为求不定方程y1＋y2＋y3＋y4＝24的正整数解的组数，从而转化为模型1，可知不定方程有C4－1＝C323组正整数解．所以，原20＋4－1问题中，有C323种不同的放球方法．拓展应用2把20个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子中，且每个盒子里的球数不得少于编号，问有多少种不同的放法？解析：问题即是解不定方程x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝20，(x i≥i，x i∈N*)．我们先在2号盒子里放1个球，3号盒子放2个球，4号盒子放3个球，5号盒子放4个球，则有x1＋(x2－1)＋(x3－2)＋(x4－3)＋(x5－4)＝10，令y i＝x i－(i－1)，则y1，y2，y3，y4，y5为正整数，只需求y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝C49＝126种不同＝10的正整数解有多少组，从而转化为模型1，知有C5－110－1的放法．课时规范练单独成册：对应学生用书第325页A组基础对点练1．把标号为1，2，3，4，5的同色球全部放入编号为1～5号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为()A．36B．20C．12 D．10解析：依题意，满足题意的放法种数为A22·A33＝12，选C．答案：C2．一个学习小组有6个人，从中选正、副组长各一个，则不同的选法种数为()A．C26B．A26C．62D．26解析：问题可转化为从6个元素中任选两个元素的排列问题，共有A26种不同的选法．答案：B3．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则集合A的含偶数个元素的子集的个数为()A．16 B．32C．64 D．128解析：由题意，集合A的含偶数个元素的子集的个数为C06＋C26＋C46＋C66＝1＋15＋15＋1＝32.答案：B4．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为()A．24B．18C．12 D．6解析：当从0，2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，十位、百位全排列即可，共有C23C12A22＝12个．当选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，共有C23C12＝6个．综上，共有12＋6＝18个．选B．答案：B5．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有()A．336种B．120种C．24种D．18种解析：分三步完成：第一步，插入第1本书，有6种方法；第二步，插入第2本书，有7种方法；第三步，插入第3本书，有8种方法，所以不同的插法有6×7×8＝336种．答案：A6．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为() A．144 B．120C．72 D．24解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A34＝24种放法，故选D．答案：D7．若从1，2，3，…，9这9个数字中同时取4个不同的数字，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45＋C44＋C25C24＝66(种)．答案：D8．(2019·洛阳模拟)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．72 B．56C．49 D．28解析：分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选，甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为C12C27＋C22C17＝49.答案：C9．(2019·唐山模拟)某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为()A．8 B．16C．24 D．60解析：根据题意，9个座位中满足要求的座位只有4个，现有4人就座，把4人进行全排列，即有A44＝24种不同的坐法．答案：C10．(2019·成都模拟)由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，若2与4相邻，且1与2不相邻，则这样的五位数共有()A．12个B．24个C．36个D．48个解析：分步完成，先排2，4，有A22种排法，再把排好的2，4看成一个整体，与3，5再排，有A33种排法；最后把1插空，仅有3个空位可选，有3种插法，故共有A22A33·3＝2×6×3＝36个不同的五位数．答案：CB组能力提升练11．如图所示，∠MON的边OM上有四点，A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为()A．30 B．42C．54 D．56解析：分类完成．在O，A1，A2，A3，A4这5个点中取2个，在B1，B2，B3中取1个，有C25C13个三角形；在B1，B2，B3中取2个，在A1，A2，A3，A4中取1个，有C23C14个三角形，故共C25C13＋C23C14＝42个．答案：B12．某学习小组共6人，现遇到了两道难题，一道物理题，一道数学题，其中甲、乙、丙三人对数学题感兴趣，丁对两道题都感兴趣，戍、己两人对物理题感兴趣，现从感兴趣的人中各选2人解这两道难题，则不同的选法种数为() A．9 B．15C．18 D．30解析：若丁解数学题，则不同的选法为C24C22；若丁解物理题，则不同的选法为C23C23；故共有C24C22＋C23C23＝15种不同的选法．答案：B13．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对解析：正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有C212＝66对，12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60°角．相对两面上的4条对角线组成的C24＝6对组合中，平行有2对，垂直有4对，所以所有的平行和垂直共有3C24＝18对．所以成60°角的有C212－3C24＝66－18＝48(对)．答案：C14．在一次8名运动员参加的百米成绩测试中，甲，乙，丙三人要求在第三、四、五跑道上，其他人随意安排，则安排这8人进行成绩测试的方法的种数为________．解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有3，4，5三条跑道可安排．所以安排方式有3×2×1＝6种．第二步：安排另外5人，可在余下的5条跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120种．所以安排这8名运动员的方式有6×120＝720种．答案：72015．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：“小集团”处理，特殊元素优先，则不同的排法共有C36C12A22A33＝480(种)．答案：48016．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种.解析：首先看图形中的3，5，7，有C13＝3种涂法．对于2，有两种涂法，对于4有两种涂法．当2，4涂的颜色相同时，1有2种涂法；当2，4涂的颜色不同时，1有1种涂法．根据对称性可知共有3×(2×2＋2×1)2＝108种涂法．答案：108第二节二项式定理授课提示：对应学生用书第190页[基础梳理]1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)，其中右端为(a＋b)n 的二项展开式．2．二项展开式的通项公式＝C k n a n－k b k．第k＋1项为：T k＋13．二项式系数(1)定义：二项式系数为：C k n(k∈{0，1，2，…，n})．(2)二项式系数的性质和1．一对易混概念二项展开式中第r＋1项的(1)二项式系数是C r n .而不是C r ＋1n .(2)项的系数是该项的数字因数． 2．两个常用公式(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.(展开式的奇数项、偶数项的二项式系数相等) 3．三个重要特征(1)字母a 的指数按降幂排列由n 到0. (2)字母b 的指数按升幂排列由0到n .(3)每一项字母a 的指数与字母b 的指数和等于n .[四基自测]1．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 26的展开式中，常数项的值是( )A ．240B ．60C ．192D ．180答案：A2．(x －1)10的展开式中第6项的系数是( ) A ．C 610 B ．－C 610 C ．C 510 D ．－C 510答案：D3．二项式(2a 3－3b 2)10的展开式中各项系数的和为________．答案：14．C 111＋C 311＋…＋C 1111＝________.答案：2105．(2018·高考全国卷Ⅲ改编)(x 2＋2x )5的展开式的二项式系数和为________．答案：32授课提示：对应学生用书第190页考点一通项公式法解决特定项或系数问题◄考基础——练透[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅲ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. 故选C ．答案：C(2)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1ax 6(a >0)展开式中x 2项的系数为15，则实数a ＝________．解析：由题意可知T r ＋1＝C r 6x 6－2r(－1)r ·a －r ，0≤r ≤6，r ∈Z ，则x 2项的系数是C 26a－2＝15，又a >0，则a ＝1. 答案：1(3)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －124x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 8x (r＝0，1，2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0，4，8，故共有3个有理项，分别是T 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－120C 08x 4＝x 4，T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－128C 88x －2＝1256x 2. 答案：3通项公式法即利用二项展开式的通项公式，根据题意，对相应的指数进行赋值，从而解决指定项问题的方法．此方法适用于已知二项式，求常数项、指定项的系数等问题．破解此类题的关键点：(1)求通项，根据二项式(a ＋b )n 的展开式的通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k (k ＝0，1，2，…，n )，整理出T k ＋1＝m ·x f (k )．(2)找方程，依题设条件中的指定项的相关信息，寻找关于k 的方程． (3)解方程，通过解方程，求出k 的值． (4)得结论，把k 的值代入通项公式，得结论．1．在本例(2)的条件下求展开式中的常数项．解析：由于a ＝1，(x －1x )6的通项公式T r ＋1＝(－1)r C r 6·x 6－2r . 令6－2r ＝0，∴r ＝3. 常数项为T 4＝(－1)3C 36＝－20.2．将本例(1)改为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 5的展开式中x 4的系数为40，求a 的值．解析：T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝C r 5·a r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4.∴r ＝2.∴C 25a 2＝40，∴a 2＝4，∴a ＝±2.考点二赋值法解决二项展开式的各项系数和问题◄考能力——知法[例2] (1)设⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中含x 的项为________．(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．解析：(1)由已知条件4n－2n＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r 54－r C r 4x ，令4－3r2＝1，得r ＝2，T 3＝150x .(2)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式的第6项是T 5＋1＝C 5n (－1)5x 2n －15，令2n －15＝1，得n ＝8.在二项式(1－3x )8的展开式中，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(－2)8＝256.所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝255. 答案：(1)150x (2)255赋值法是指对二项式中的未知元进行赋值，从而求得二项展开式的各项的系数和的方法．此方法体现的是从一般到特殊的转化思想．破解此类题的关键点： (1)赋值，认真观察已知等式，给未知元合理赋值．常赋的值有1，－1，0等． (2)求参数，通过合理赋值，建立关于参数的方程，并解方程，求出参数的值． (3)得结论，求出指定项的系数和．1．(2019·河北邯郸模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( ) A ．15 B ．45 C ．135D ．405解析：令⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 中x 为1，得各项系数和为4n ，又展开式的各项的二项式系数和为2n，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，∴4n2n ＝64，解得n＝6，∴二项式的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·3r·x ，令6－32r ＝3，求得r ＝2，故展开式中x 3的系数为C 26·32＝135，故选C ．答案：C2．(2019·湖南湘潭模拟)若(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 9x 9，x ∈R ，则a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29的值为( ) A ．29 B ．29－1 C ．39D ．39－1解析：(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝2，得a 0＋a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39， ∴a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39－1.故选D ．答案：D考点三求非二项式结构的展开的特定项(或系数)◄考基础——练透[例3] (1)如果(1＋x ＋x 2)(x －a )5(a 为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x 4项的系数为________；(2)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为________； (3)(1＋3x )6⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋14x 10展开式中的常数项为________．解析：(1)∵(1＋x ＋x 2)(x －a )5的展开式所有项的系数和为(1＋1＋12)(1－a )5＝0， ∴a ＝1.∴(1＋x ＋x 2)(x －a )5＝(1＋x ＋x 2)(x －1)5＝(x 3－1)·(x －1)4＝x 3(x －1)4－(x －1)4，其展开式中含x 4项的系数为C 34(－1)3－C 04(－1)0＝－5.(2)由题意，(x 2－x ＋1)10＝[x (x －1)＋1]10＝C 010[x (x －1)]0·110＋C 110[x (x －1)]1·19＋C 210[x (x －1)]2·18＋C 310[x (x －1)]3·17＋…＋C 1010[x (x －1)]10·10 ＝C 010＋C 110x (x －1)＋C 210x 2(x －1)2＋C 310x 3(x －1)3＋…＋C 1010x 10(x －1)10，因为x 3出现在C 210x 2(x －1)2＋C 310x 3(x －1)3＝C 210x 2(x 2－2x ＋1)＋C 310x 3(x 3－3x 2＋3x －1)中，所以x 3的系数为C 210(－2)＋C 310(－1)＝－90－120＝－210.(3)分别求两个因式的通项：T r ＋1＝C r 6x，T r ′＋1＝C r ′10x ，则C r 6x ·C r ′10x＝C r 6C r ′10x.又0≤r ≤6，0≤r ′≤10，则r 3－r ′4＝0，解得r ＝r ′＝0，r ＝3且r ′＝4，r ＝6且r ′＝8. 即常数项为1＋C 36C 410＋C 66C 810＝4 246.[答案] (1)－5 (2)－210 (3)4 246非二项式结构求指定项的方法1．(2017·高考全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.答案：C2．(2017·高考全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35解析：(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C ．答案：C3．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5的展开式中只有C 25(x 2＋x )3y 2中含x 5y 2，易知x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C ．答案：C考点四二项式系数或项的系数的最值问题◄考基础——练透[例4] (1)已知二项式(a x ＋13x)n (a ＞0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中x 2项的系数为84，则a 的值为( ) A ．1 B ．14 C ．2D ．12解析：由展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大可知n ＝9，则展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9(a x )9－r(13x)r ＝C r 9a9－rx ·x＝C r 9a9－rx (r ＝0，1，2，3，…，9)，令92－5r 6＝2，则r ＝3，所以C 39a 9－3＝C 39a 6＝84，解得a ＝±1，因为a ＞0，所以a ＝1. 答案：A(2)(2019·石家庄模拟)在(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式二项式系数最大的项为________．解析：由二项式系数的性质知，2n －1＝128，解得n ＝8，(1－2x )8的展开式共有9项，中间项，即第5项的二项式系数最大，T 4＋1＝C 4814(－2x )4＝1 120x 4. 答案：1 120x 41．二项式系数的最大值，根据(a ＋b )y 的二项式系数性质求解．2．项的系数的最值，利用不等式法．求出展开式的通项公式T r ＋1＝C r n ·m ·x q ＝a r x q为最大系数，则⎩⎪⎨⎪⎧a r ≥a r ＋1，a r ≥a r －1.求r 的整数解．1．设n 为正整数，(x －2x 3)n 的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．解析：依题意得，n ＝8，所以展开式的通项T r ＋1＝C r 8x 8－r (－2x 3)r ＝C r 8x8－4r(－2)r ，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2＝112.答案：1122．(2019·厦门模拟)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为( ) A ．120 B ．210 C ．252D ．45解析：由已知得，二项式展开式中各项的系数和二项式系数相等．由展开式中只有第6项的系数C 52n 最大，可得展开式有11项，即2n ＝10，n ＝5. ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10xx＝C r 10x，令5－56r ＝0可得r ＝6，此时T 7＝C 610＝210.答案：B数学运算、逻辑推理——二项式定理的展开原理的应用 [例1] (x ＋2y －3z )9的展开式中含x 4y 2z 3项的系数为( ) A ．－136 000 B ．－136 080 C ．－136 160D ．136 280解析：由(x ＋2y －3z )9＝[x ＋(2y －3z )]9，得展开式的通项T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·(2y －3z )r ＝C r 9·x 9－r ·C t r ·(2y )r －t ·(－3z )t ＝C r 9·C t r ·2r －t ·(－3)t ·x 9－r ·y r －t ·z t (t ≤r ≤9)，令⎩⎪⎨⎪⎧t ＝3，r －t ＝2，9－r ＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＝3，r ＝5.故含x 4y 2z 3项的系数为C 59×C 35×22×(－3)3＝－136 080.故选B ．答案：B[例2] (2019·临沂模拟)489被7除的余数为________．解析：由489＝(49－1)9＝C 09499＋C 19498(－1)＋C 29497(－1)2＋…＋C 8949(－1)8＋C 99(－1)9＝49[C 09498＋C 19497(－1)＋C 29496(－1)2＋…＋C 89(－1)8]－7＋6，知489被7除的余数为6. 答案：6课时规范练单独成册：对应学生用书第326页A 组基础对点练1．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20D ．10解析：T k ＋1＝C k 515－k (2x )k ＝C k 5×2k ×x k ，令k ＝2，则可得含x 2项的系数为C 25×22＝40. 答案：B2．(x －2y )8的展开式中，x 6y 2项的系数是( ) A ．56 B ．－56 C ．28D ．－28解析：二项式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－2y )r ，令8－r ＝6，即r ＝2，得x 6y 2项的系数为C 28(－2)2＝56.答案：A3．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10解析：在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26·x 2＝15x 2，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系数为15. 答案：C4.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54 B ．54 C ．－1516D ．1516解析：T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4. ∴常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D ．。

计数原理与排列组合知识点总结

计数原理与排列组合知识点总结计数原理和排列组合是高中数学中重要的概念和工具，在各种数学问题的解决过程中起到了重要的作用。

本文将对计数原理和排列组合的相关知识点进行总结和介绍。

一、计数原理计数原理通过分析一个问题中的各个步骤或条件，来确定解决问题的方式和策略。

常用的计数原理有加法原理、乘法原理、容斥原理和抽屉原理等。

1. 加法原理加法原理适用于多个事件发生的情况，它指出如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，那么这两个事件发生的总方式数为m+n。

2. 乘法原理乘法原理适用于多个事件发生的情况，它指出如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，则这两个事件发生的总方式数为m×n。

3. 容斥原理容斥原理适用于计算多个集合的并集的情况。

它指出如果有n个集合，分别有A1,A2,...,An个元素，那么这n个集合的并集中元素的个数为：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| - Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| - ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。

4. 抽屉原理抽屉原理也称为鸽笼原理，它指出如果有m+1个物体放入m个抽屉中，那么至少会有一个抽屉中放入两个或两个以上的物体。

二、排列组合排列组合是计数原理的一个重要应用，用于解决选择和安排问题。

它包括排列和组合两个不同的概念。

1. 排列排列是指从一组元素中按一定顺序选取若干元素的方式，其中元素的选取不可重复。

常见的排列问题有全排列和有限排列。

- 全排列是指将一组元素全部进行排列，例如3个元素的全排列有3! = 3×2×1 = 6种。

- 有限排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，其中元素的选取数目有限。

例如从3个元素中选取2个进行排列，有3×2 = 6种不同的排列方式。

2. 组合组合是指从一组元素中选择若干元素的方式，其中元素的选取不按顺序进行，而是以集合的形式呈现。

计数原理排列组合

计数原理排列组合
计数原理是组合数学中的一种计数方法。

它主要用于确定一个事件发生的可能性的数量。

计数原理包括排列和组合两种方式。

排列是指将一组对象按照一定的顺序进行排列的方法。

假设有
n个不同的对象，要从中选择r个进行排列，那么排列数的计
算公式为：
P(n,r) = n! / (n-r)!
其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。

当r=n时，排列数P(n,n)即为对象全部进行排列的方法总数，
也就是n的阶乘。

组合是指从一组对象中选择出一些对象，而不考虑它们的顺序。

假设有n个不同的对象，要从中选择r个进行组合，那么组合
数的计算公式为：
C(n,r) = n! / (r! × (n-r)!)
其中，”C”表示组合数，r!表示r的阶乘。

组合数的计算公式
中的分母的r!是考虑到组合中的对象不考虑顺序，因此要除去重复的排列情况。

计数原理的应用广泛，涵盖了很多领域。

在组合数学中，计数原理可以用于组合数的计算，例如在概率论中，计数原理可以用于确定事件的样本空间的大小；在统计学中，计数原理可以
用于计算某个总体中的子集数量等。

因此，熟练掌握计数原理对于解决各种计数问题是非常重要的。

排列组合专题复习及经典例题详解

排列组合专题复习及经典例题详解研究目标：掌握排列、组合问题的解题策略。

重点：1.特殊元素优先安排的策略；2.合理分类与准确分步的策略；3.排列、组合混合问题先选后排的策略；4.正难则反、等价转化的策略；5.相邻问题捆绑处理的策略；6.不相邻问题插空处理的策略。

难点：综合运用解题策略解决问题。

研究过程：1.知识梳理1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类型办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。

+mn种不同的方法。

2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有N=m1×m2×。

×mn种不同的方法。

特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。

3.排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，m<n时叫做选排列，m=n时叫做全排列。

4.排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pn表示。

5.排列数公式：Pn=n(n-1)(n-2)。

(n-m+1)=m!/(n-m)。

其中m≤n，n、m∈N+。

特别提醒：规定0!=1.6.组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合。

7.组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号Cn表示。

计数原理和排列组合

计数原理、知识要点1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m!种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N= _____________ 种不同的方法。

注意：1 )分类要全、清； 2 )任何一种方法均能完成此事；3)各类方法相互独立。

2、分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m!种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有的N=________________________________________________________________________________ 种不同的方法。

注意：1 )各步方法数相互独立；2)每步均完成后才能完成这件事。

3、用两个原理解决实际问题时可按下列步骤进行思考：(1)做什么事？定目标；(2 )怎么做？一一定方法(分类、分步、先分类后分步、先分步后分类等) ；(3)确定每类或每步的方法数；(4)利用原理计算出方法总数并作答。

二、例题分析：例1 :从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。

那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？例2 :如图，由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。

从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？三、巩固练习：1.某班级有男三好学生5人，女三好学生4人。

(1)从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法?2、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？3、一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个数字组成，可以设置多少种三位数的密码4、如图,从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？甲地地到丙地有2条路可通。

《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)

排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -；规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三解决排列应用题例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？（3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？（4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人，（1）共有多少种不同的选法？（2）恰好有一名女生的不同选法？分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？（2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2）最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（）妙记巧学，归纳感悟三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻；（2）甲乙互不相邻；（3）甲乙必须站两端；（4）甲乙不在两端；（5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？（1）分成相等的三份；（2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本；（4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟：排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。

(完整版)两个计数原理与排列组合知识点及例题(最新整理)

m
1
mm
1
2m
1n
m
1
m
n!
1!n
m
1 ! n
2n
1
m
n 1 !n
2!
m
1 !
C m1 n2
右
另法：利用公式
C
m n
Cm n1
C
m1 n1
推得
左
C m1 n
C nm
C
m n
C m1 n
C m1 n1
Cn n1
C m1 n2
右
点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质
并列需要分类计算
解：（1）A 中每个元都可选 0,1,2 三者之一为像，由分步计数原理，共有 3 3 3 3 34 个不同
映射
（2）根据 a, b, c, d 对应的像为 2 的个数来分类，可分为三类：
第一类：没有元素的像为 2，其和又为 4，必然其像均为 1，这样的映射只有一个；
第二类：一个元素的像是
（1）6 名学生排 3 排，前排 1 人，中排 2 人，后排 3 人；（2）6 名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）从 6 名运动员中选出 4 人参加 4×100 米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（4）6 人排成一排，甲、乙必须相邻；（5）6 人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6 人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）
根据分类计数原理和点 A 共面三点取法共有 3C53 3 33 种
（2）取出的 4 点不共面比取出的 4 点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取 4 点（ C140
例 1 完成下列选择题与填空题

高考讲计数原理与排列组合课件理

课件理2023-11-05contents •引言•计数原理•排列组合的应用•计数原理与排列组合的关系•高考真题解析•总结与展望•参考文献与致谢目录01引言理解计数原理和排列组合的基本概念和应用掌握计数原理和排列组合的解题方法提高解决实际问题的能力课程目标课程大纲第一章：计数原理理解计数原理的概念和意义掌握计数原理的解题方法练习计数原理的例题和习题第二章：排列组合理解排列和组合的概念和意义掌握排列和组合的解题方法练习排列和组合的例题和习题第三章：应用题解法掌握应用题的解题思路和方法通过例题和习题提高解决应用题的能力第四章：综合练习课程大纲通过综合练习，提高解决实际问题的能力对重点和难点进行归纳和总结课程大纲02计数原理定义分类加法计数原理是指，在处理复杂的问题时，将问题分成若干个互不相同的子问题，分别解决子问题，最后将各个子问题的解合并，得到原问题的解。

实例比如，一个学校有三种课程，每种课程有不同的老师和教材，学生可以选择其中一种课程，也可以选择两种或三种课程。

那么，学生选择不同课程的组合数就是分类加法计数原理的应用。

分类加法计数原理分步乘法计数原理是指，在处理复杂的问题时，将问题分成若干个相同的步骤，每个步骤都可以独立完成，最后将各个步骤的解相乘，得到原问题的解。

定义比如，一个班级要组织一次文艺晚会，需要准备节目、布置会场、安排座位等。

如果每个节目都需要排练，那么，所有节目的排练次数之和就是分步乘法计数原理的应用。

实例分步乘法计数原理定义排列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。

组合是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素，不考虑排序。

排列组合的定义与区别区别排列需要考虑元素的顺序，而组合只考虑元素的组合方式。

实例比如，从5个人中选择3个人去旅游，那么这3个人的选择方式有3种，分别是排列3个人、组合3个人和随机选择3个人。

其中排列需要考虑3个人的顺序，而组合只考虑3个人的组合方式。

计数原理与排列组合经典题型

计数原理与排列组合题型解题方法总结计数原理一、知识精讲1、分类计数原理：2、分步计数原理：特别注意:两个原理的共同点：把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。

不同点：如果完成一件事情共有n类办法，这n类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理。

分类时应不重不漏（即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类）如果完成一件事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。

各步骤有先后，相互依存，缺一不可。

3、排列(1)排列定义,排列数(2)排列数公式:(3)全排列列:4.组合(1)组合的定义,排列与组合的区别;(2)组合数公式:(3)组合数的性质二、.典例解析题型1:计数原理例1.完成下列选择题与填空题(1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。

A.81B.64C.24D.4(2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( )A.81B.64C.24D.4(3)有四位学生参加三项不同的竞赛,①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有;②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有。

例2（1）如图为一电路图，从A 到B 共有条不同的线路可通电。

例3: 把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？例4、某城在中心广场造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答)例5、四面体的顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，问共有多少种不同的取法？例6、（1）电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果?（2）三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是DA题型2:排列、组合问题处理策略一.元素个数较少的排列组合问题枚举法:1、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？2、学号为1、2、3、4的学生坐到编号为1、2、3、4的四张凳子上，要求学生的学号与其所坐的凳子编号不同，问有多少种不同的坐法？二、特殊元素和特殊位置优先策略3、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.4、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有( ）A．120种B．96种C．78种D．72种三、相邻捆绑、不相邻插空5、（1）7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？（2）7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？6、马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？7、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为8、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？四、不尽相异元素、定序问题倍缩法9、（1）7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法（2）10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？（3）由4个A和3个B可以组成多少个7位字符信息？五、分排问题“直排法”10、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？11、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法六、重排问题方幂策略（住店、投邮、影射）12、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法13、某8层大楼从一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,则他们下电梯的方法有多少种？七.构造模型的策略14、10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法？15、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？八、排列组合混合问题先选后排策略16、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.17、一个班有6名战士,其中正副班长各1人，现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________ 种九、.正难则反总体淘汰策略18、我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十、无编号平均分组问题除法策略19、6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？20、10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法21、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为十一化归策略22、25人排成5×5方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？23、某城市的街区由4 5条街道组成，从西南A走到东北B的最短路径有多少种？三、练习题组：1、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？2、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法3.(1)在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有( ）(A)36个(B)24个(C)18个(D)6个(2)从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有( )(A)108种(B)186种(C)216种(D)270种(3)在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是( )A.6B. 12C. 18D. 24(4)高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( )(A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)50404.(1)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有个(用数字作答);(2)电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示).5.(1)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有( )(A)30种(B)90种(C)180种(D)270种(2)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )A.10种B.20种C.36种D.52种6.(1)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有种;(2)5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有(A)150种(B)180种(C)200种(D)280种7、.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数8、甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项工程，乙公司承包1项，丙、丁各承包2项，问共有种承包方式？9、停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？10、x+y+z+w=100求这个方程组的正整数解的组数11、.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2，3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法12、.正方体的8个顶点可连成多少对异面直线13、3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？14．（2008陕西，16）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成。

1717解排列组合问题常用方法(二十种)

17 解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。

由分步计数原理得113344288C C A =。

变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。

由分步计数原理得25451440A A =。

二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。

先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理得522522480A A A =。

变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。

三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。

分两步。

第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。

变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为。

计数原理、排列、组合专题

训练目标（1）熟练掌握两个计数原理并能灵活应用；⑵会应用排列、组合的计算公式解决与排列组合有关的实际问题.训练题型（1）两个计数原理的应用；（2）排列问题；（3）组合问题；（4）排列与组合的综合问题.解题策略（1）理解两个计数原理的区别与联系，掌握分类与分步的原则，正确把握分类标准；（2）将常见的排列组合问题分成不冋类型，并掌握各种类型的解法，弄清问题实质，做到融会贯通.1 .设集合 A= {0,1,234,5,6,7}，如果方程 X 2— mx — n= 0（m, n€ A）至少有一个根 X o C A,就称方程为合格方程，则合格方程的个数为（） B. 15D. 19汉口一模）某单位有7个连在一起的车位，现有 3辆不同型号的车需停放，如C. 172.（优质试题果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有（）A. 16 种B. 18 种C. 24 种D. 32 种3 .（优质试题西安调研）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有A . 10 种B . 20 种C . 36 种D . 52 种4 .（优质试题德阳诊断）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A . 36 种B . 30 种C . 24 种5.计划将排球、篮球、乒乓球 3个项目的比赛安排在 4个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有则满足题意的四位数的个数为 c ； C3 C 3= 18.由分类加法计数原理得，满足题意的四位数的棒，那么不同的参赛方法共有12 .公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用编排”的方式进行编排.某人欲选由 A 、B 、C 、D 、E 中的两个不同字母，和中的三个不同数字（三个数字都相邻）组成一个号牌，则他选择号牌的不同的方法种数为B. 42 种C. 36 种D. 24 种6. “ 2 012含有数字0,1,2，且有两个数字2,则含有数字 0,1,2,且有两个相同数字的四位数的个数为（）A. 18B. 24C. 27D. 367.（优质试题衡水二模）已知数列｛a n ｝共有5项，a i = 0, a 5= 2，且|a i +1 — a i |= 1, i = 1,2,3,4, 则满足条件的数列｛a n ｝的个数为（）&某亲子节目的热播引发了一阵热潮，某节目制作组选取了 6户家庭到 4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有 1户家庭，则不同的分配方案的种数是（）A . 216B . 420C . 720D . 1 080二、填空题9.已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A, B, C, D, E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物, 则不同的种法共有10 .从甲、乙等6名运动员中选出 4名参加 4 X100米接力赛.如果甲、乙两人都不跑第一11 .现有12种商品摆放在货架上，摆成上层 4件、下层8件的形式，现要从下层的 8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变, 则不同的调整方法的种数为自主1、 2、 3、 4、 5答案精析1. C [当m = 0时，取n= 0,1,4，方程为合格方程;综上可得，合格方程的个数为 17，故选 C.] 2．C [将 4个连在一起的空车位 “捆绑”，作为一个整体，则所求即 4个不同元素的全排列，有 A 44= 24（种）不同的停放方法，故选 C.] 3． A [1 号盒子可以放 1 个或 2 个球， 2 号盒子可以放 2 个或 3 个球，所以不同的放球方法有 c 4c 3+ c 4c 2= 10（种）.] 4． B [由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从一个整体，然后做 3个元素的全排列，共 C 4A 3种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共A3种方法，故总的方法种数为 C 2A 3— A 3= 36- 6= 30.]5. A [两种情况，第一种情况安排3个场地，每个场地安排1项比赛，安排方案有A 4= 24（种）; 第二种情况，一个场地安排两场，第二个场地安排一场，安排方案有综上所述，一共有 60 种方案． ]6．B [依题意，就所含的两个相同数字是否为 0 进行分类计数：第一类，所含的两个相同数字是 0, 则满足题意的四位数的个数为C 23A 22= 6;第二类，所含的两个相同数字不是0，当m=1时，取n= 0,2,6，方程为合格方程;当m = 2时，取 n= 0,3，方程为合格方程; 当m = 3时，取 n= 0,4，方程为合格方程; 当m = 4时，取 n= 0,5，方程为合格方程; 当 m= 5 时，取 n= 0,6，方程为合格方程; 当m = 6时，取 n= 0,7，方程为合格方程; 当 m= 7 时，取 n= 0，方程为合格方程．4 科中任选 2 科看作C 23A 24= 36（种）．则满足题意的四位数的个数为 c ； C3 C 3= 18.由分类加法计数原理得，满足题意的四位数的根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有 6^1 + 2） = 18（种）不同的种法.10. 240解析方法一（从元素考虑）从6名运动员中，选出 4人有三种情况：（1）甲、乙都被选出, 有c 4种选法；（2）甲、乙恰有1人被选出，有 c 2c 3种选法；（3）甲、乙都未被选出，有 c 4种选法•再将4人按要求安排位置：甲、乙都参加，有 A 2A2种排法；甲、乙中有一人参加,有A 1A3种排法；甲、乙都不参加, 有A 4种排法.故不同的参赛方法共有 C 4A 2A 2+ C I C A L A 3+ C 4A 4= 240(种).方法二（从位置考虑）第一棒从甲、乙以外的4人中选取，再排其他各棒，有A 4A 3= 240（种）不同的参赛方法.方法三（间接法）从总数中减去甲、乙跑第一棒的情况，有 A 6—A 2A 5= 240（种）不同的参赛方法. 11. 840个数为6 + 18= 24.] 7. C [方法一■因为 |a i +1 — a i |= 1,所以 a i +1 — a i = 1 或 a i +1 — a i = — 1，即数列｛a n ｝从前往后，相邻两项之间增加 1或减少1,因为a i = 0, a 5= 2,所以从a i 到a 5有3次增加1，有1 次减少1，故数列｛a n ｝的个数为C 4= 4.方法二设 b i = a i +1 — a i , i = 1,2,3,4，因为 |印+1 —卯=1,所以 |b i = 1，即 b i = 1 或一1.a 5= a 5 —a 4 + a 4 — a 3 + a 3 — a 2 + a ? — a i + a i = b 4+ b 3+ b 2 + b i = 2,故 b i (i = 1,2,3,4)中有 3个 1,1 个一 1, 故满足条件的数列｛a n ｝的个数为C i = 4.]2 2& D [先分组，每组含有 2户家庭的有2组，则有号学种不同的分组方法，剩下的 2户家2 2庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有等恋=1 080（种）不同的分配方案.] 9. 18解析先在A, B, C 三个区域种植3个不同的植物，共有A 3= 6（种）种法，若E 与A 种植的植物相同，最后种D ，有1种种法；若E 与C 种植的植物相同，最后种D ，有2种种法,人选择号牌的不同的万法种数为A 53A 25C 31= 60X20X3= 3 600.层有两种情况：一种是 2 件商品相邻，放在上层 4 件商品形成的不同的调整万法；另一种是 2件商品不相邻，把抽出的 2件商品插入上层 4件商品形成的 520（种）不同的调整万法，所以共有 28X10 + 20）= 840（种）不同的调整万法.12. 3 600解析三个数字相邻，则共有 A 种情况，在 A 、B 、C 、D 、E 中选两个不同的字母，共有A5种不同的情况，这两个字母形成三个空，将数字整体插空，共解析首先从下层中抽取 2 件商品，共有 28（种）不同的结果，把抽出的 2 件商品放到上5 个空中，有 5A 22= 10（种）C 3种情况.综上所述，此2个空中， 2 A。

计数原理(排列组合)题型练习

计数原理[基础训练A 组]一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（）A ．81B ．64C ．12D ．142．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（）A ．33AB ．334AC ．523533A A A -D ．2311323233A A A A A +4．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是（）A.20 B ．16 C ．10 D ．65．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A ．男生2人，女生6人B ．男生3人，女生5人C ．男生5人，女生3人D ．男生6人，女生2人.6．在82x⎛ ⎝的展开式中的常数项是（） A.7 B ．7- C ．28 D ．28-7．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是（）A.120 B ．120- C ．100 D ．100-8．22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（）A ．180B ．90C ．45D ．360二、填空题1．从甲、乙，……，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有种选法．（2）甲一定不入选，共有种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有种选法.2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法.3．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.4．在10(x 的展开式中，6x 的系数是 .5．在220(1)x -展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r = ，4r T = .6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个7．用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x .8．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个三、解答题1．判断下列问题是排列问题还是组合问题并计算出结果.（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信②每两人互握了一次手，共握了多少次手（2）高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积2．7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法（1）甲排头，（2）甲不排头，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必须在一起，（4）甲、乙之间有且只有两人，（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，（6）甲在乙的左边（不一定相邻），（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，（8）甲不排头，乙不排当中。

计数原理-排列组合

计数原理-排列组合排列组合知识点⼀、排列定义:⼀般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照⼀定顺序排成⼀列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个排列；排列数⽤符号m n A 表⽰对排列定义的理解：定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照⼀定顺序。

因此，排列要完成的“⼀件事情”是“取出m 个元素，再按顺序排列”相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。

若只有元素相同或部分相同，⽽排列顺序不相同，都是不同的排列。

⽐如abc 与acb 是两个不同的排列描述排列的基本⽅法：树状图排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+---=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，⽤!n 表⽰，即12)2()1(-?-?=n n n n ，并规定1!0=。

全排列数公式可写成!n A n n =.由此，排列数公式可以写成阶乘式：)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+---=（主要⽤于化简、证明等）⼆、组合定义:⼀般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成⼀组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个组合；组合数⽤符号m n C 表⽰对组合定义的理解：取出的m 个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，⽆序性是组合的特点.只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“⽆序”，是组合问题。

组合数公式：),()!()1()2)(1(n m N m n m n m n m m n n n n A A C m m m n m n≤∈-=+---==*，且变式：),,()!()1()2)(1()!(!!n m N m n C m n m n n n m n m n C m n n m n ≤∈=-+--=-=*-且组合数的两个性质1、m n n m n C C -=①计算m n C 时，若2n m ＞，通常不直接计算m n C ，⽽改为计算m n n C -，这样可以减少计算量②为了使这个公式在n m =时也成⽴，我们规定10=n C ，这只是⼀个规定，并没有实际的组合意义2、11-++=m n m n m n C C C题型⼀投信问题1、个⼝袋⾥有5封信，另⼀个⼝袋⾥有4封信，各封信内容均不相同.（1）从两个⼝袋⾥各取⼀封信，有多少种不同的取法？（2）把这两个⼝袋⾥的9封信，分别投⼊4个邮筒，有多少种不同的放法？2、五位旅客到⼀个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿⽅法？3、12名旅客在⼀辆⽕车上，共有六个车站，有多少种下车⽅案？4、3个同学在⼀座只有两个楼梯的楼上下楼，有⼏种下楼⽅案？题型⼆染⾊问题1、如图所⽰，将⼀个四棱锥的每⼀个顶点染上⼀种颜⾊，并使同⼀条棱上的两端异⾊，如果只有5种颜⾊可供使⽤，求不同的染⾊⽅法总数.2. 如图所⽰，⽤五种不同的颜⾊分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂⾊，相邻区域必须涂不同颜⾊，若允许同⼀种颜⾊多次使⽤，则不同的涂⾊⽅法共有________种．3.⽤红、黄、蓝三种颜⾊去涂图中标号为1,2，…，9的9个⼩正⽅形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的⼩正⽅形所涂颜⾊都不相同，且标号为1,5,9的⼩正⽅形涂相同的颜⾊，则符合条件的所有涂法共有________种．题型三相邻问题、间隔问题、特殊位置问题，特殊元素问题、甲不在某位⼄不在某位问题有3名男⽣、4名⼥⽣，在下列不同条件下，求不同的排列⽅法总数.（1）选其中5⼈排成⼀排；（2）排成前后两排，前排3⼈，后排4⼈；（3）全体排成⼀排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成⼀排，⼥⽣必须站在⼀起；（5）全体排成⼀排，男⽣互不相邻；（6）全体排成⼀排，甲、⼄两⼈中间恰好有3⼈.（7）甲必须站在中间（8）甲不能站在开头,⼄不站在排尾。

数学运算之排列组合专题

数学运算之排列组合专题基本知识点回顾： 1、排列：从N 不同元素中，任取M 个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从N 个不同元素中取出M 个元素的一个排列。

个元素的一个排列。

2、组合：从N 个不同元素中取出M 个元素并成一组，叫做从N 个不同元素中取出M 个元素的一个组合（不考虑元素顺序）序）3、分步计数原理（也称乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n 步有mn 种不同的方法。

那么完成这件事共有N ＝m1m1××m2m2×…××…××…×mn mn 种不同的方法。

种不同的方法。

4、分类计数原理：完成一件事有n 类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+…+ mn 种不同的方法。