北京市朝阳区高三年级第一次综合练习文数
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习文科综合能力测试题
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习2019.4（考试时间150分钟 满分300分）第Ⅰ卷（选择题，共140分）一、本卷共35小题，每小题4分，共计140分。
在每小题列的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
过去的一年，地球似乎得了重症感冒，喷嚏不止，火山接二连三地喷发。
图1为2019年3月～2019年3月世界主要火山喷发地位置示意图，回答1、2题。
1. 图中火山喷发地多位于A ．太平洋东岸B ．亚洲东部和东南部C ．欧洲西部D ．地中海沿岸 2. 图中A ．甲地火山喷发致使欧洲多国机场被迫关闭B ．乙地火山喷发对其西北部地区的危害大于东北部地区C ．丙地位于亚欧板块和印度洋板块交界处D ．丁地东侧海沟的形成与板块张裂有关3．图2为我国某城市不同时段进出某功能区地铁平均客流量统计图。
该功能区最有可能为A ．工业区B ．中央商务区C ．休闲娱乐区D ．住宅区读图3，回答4～6题。
图1 单位：人 010000 500015000 200007:00-8:0012:00-13:0018:00-19:00离开本区的客流量 进入本区的客流量图24．图中A 、B 、C 分别代表A ．资源 市场 环境B ．环境 市场 资源C ．环境 资源 市场D ．资源 环境 市场 5．此工业地域A ．以廉价劳动力导向型工业为主B ．产品更新换代快C ．可能发展成为工业城市D ．工业发展趋向分散 6．在此循环经济体系中A ．各产业之间以主产品为原料发生联系B ．所需能源完全由余热发电提供C ．污染物实现了零排放D ．生产环节的废弃物被回收再利用2019年联合国气候大会于当地时间11月29日10时，在墨西哥海滨城市坎昆举行。
读图4，回答7～9题。
7．坎昆气候大会开幕时，北京时间为A ．11月28日20时B ．11月29日8时C ．11月29日23时D ．11月30日0时 8．坎昆与巴亚尔塔都位于沿海平原地区，但坎昆降水量更多，其原因是A ．沿岸有暖流经过、受东北信风影响B ．地处迎风坡、受东南信风影响C ．位于大陆东岸、受海陆热力性质差异影响D ．多台风活动、终年盛行上升气流9．本次会议把发达国家在碳排放中应承担的责任和义务作为重点议题，这体现了可持续发展的①持续性原则 ②发展性原则 ③公平性原则 ④共同性原则 ⑤整体性原则 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．④⑤ 丹霞地貌是指由陆相红色砂砾岩构成的具有陡峭坡面的各种地貌形态，因在广东丹霞山发育典型而得名；雅丹地貌多指一些干涸的湖底，由于干缩形成的裂隙在定向风或加图3 图4图例 首都 城市23°26′上暴流的作用下，把平坦的地面切割成许多不规则的槽和脊等各种地貌形态。
北京市朝阳区高三年级期2022学年数学统一考试含答案
北京市朝阳区2022-2022学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（文史类）2022.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，1{|2,}2B x x x =<<∈R ，那么集合A B = A.∅B ．1{|1,}2x x x <<∈RC ．{|22,}x x x -<<∈RD ．{|21,}x x x -<<∈R 2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是A ．1y x =- B ．tan y x =C ．3y x =D ．2y x=-3. 已知3sin 5x =，则sin 2x 的值为A ． 1225 B ．2425 C ．1225或1225- D ．2425或2425-4. 设x ∈R 且0x ≠，则“1x >”是“1+2x x>”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面.下列命题正确的是A ．若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥ B ．若//,,//m n αβαβ⊥，则 m n ⊥C ．若,,//m n αβαβ⊥⊥，则//m nD ．若,,m n m αβαβ⊥=⊥ ，则n β⊥6. 已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且OB OC +=0 ， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于（ ）A ．154-B ．34-C ．154D ．347. 已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()1()()2g x f f x =-的零点个数是A ．4 B ．3 C ．2 D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 设平面向量，若//，则y = .10. 已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，sin A = . cos 2A = . 11. 已知 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 .12. 设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23=a ，245S S =，则1a 的值为，4S 的值为．13．已知函数221,0,()(1)2,0,xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上具有单调性，则实数m 的取值范围是.14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐。
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学文科2019年3月(1)朝阳一模文科终稿
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学 （文）2019．3第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 在复平面内，复数12iiz +=对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 设实数,x y 满足不等式组01010.y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，， 则2x y +的最大值是A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知集合{1,2,3,4,5}A =，且AB A =，则集合B 可以是A. {|21}xx > B. 2{|1}x x > C. 2{|log 1}x x > D. {1,2,3}4. 已知ABC △中， 120A ∠=，a =ABC且b c <.则c b -=A.B. 3C. 3-D.5. 已知,,a b c ∈R ，给出下列条件：①22a b >；②11a b<；③22ac bc >,则使得a b >成立的充分而不必要条件是A. ①B. ②C. ③D. ①②③6. 某三棱锥的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为A ．4B ．2C ．83 D ．437. 已知圆22:(2)2C x y -+=，直线:2l y kx =-. 若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条的切线12,l l ，使得12l l ⊥，则实数k 的取值范围是A. （）UB. 22[C. ∞(-,0)D. )∞[0,+8. 某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 已知平面向量(2,1)-a =，(1,)x b =.若a b ，则x = ．10. 执行如图所示的程序框图，则输出的x 值为．11．双曲线2214x y -=正（主）视图 俯视图侧（左）视图12. 能说明“函数()f x 的图象在区间[0,2]上是一条连续不断的曲线，若(0)(2)0f f ⋅>，则()f x 在区间(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 ．13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．图1 图214. 若不等式log 40a x x +->（0a >且1a ≠）在区间(0,2)内有解，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x =. （Ⅰ）求()3f π的值及()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若函数()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求实数m 的最大值．16. （本小题满分13分） 在等比数列{}n a 中，141,42a a ==，n ∈N *. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设6n n b a n =+-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若0n S >，求n 的最小值.17. （本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频率分布直方图：乙站甲站（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）记A 表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”，试估计A的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客的平均等待时间分别为1X ,2X ,求1X 的值，并直接写出1X 与2X 的大小关系.18. （本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，2BC =． （Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）若M 为线段BD 的中点，求证：CE //平面AMF ； （Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积．EDCBA FM19. （本小题满分13分）已知函数()e 4x f x a x =-，a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，求证：曲线()y f x =在抛物线21y x =--的上方.20. （本小题满分14分）已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．。
北京市朝阳区高三数学第一次综合练习试题文(朝阳一模,含解析)新人教B版
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（文史类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2【答案】A 【解析】111111(1)(1)222i i i i i i ++===+--+，所以虚部是12，选A.（2）若集合{}23M x x =-<<，{}121x N x +=≥，则MN =A. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]-- 【答案】C 【解析】{}121{10}{1}x N x x x x x +=≥=+≥=≥-，所以{13}MN x x =-≤<，选C.（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为 A ．15 B ．3- C ．35- D ．17- 【答案】B【解析】(3,1)AB OB OA =-=,因为//AB OC ，所以3(1)20m m +-=，解得3m =-，选B.（4）已知命题p ：x ∀∈R ，210x x +->；命题q ：x ∃∈R ，sin cos x x +=则下列判断正确的是A ．p ⌝是假命题B ．q 是假命题C ．p q ∨⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题 【答案】D【解析】因为22131()24x x x +-=+-，所以p 为假命题。
sin cos )4x x x π+=+，所以q 为真命题，所以()p q ⌝∧是真命题，选D.（5）若直线y x m =+与圆22420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A．(22+ B ．()4,0-C．(22--+ D . ()0,4【答案】D【解析】圆的标准方程为22(2)2x y ++=，所以圆心为(2,0)-，半径为。
北京市朝阳区2019年高三年级第一次综合练习数学(文)试题(含精品解析)
2019北京朝阳高三一模数学（文）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.设实数满足不等式组，则的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】首先绘制出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最值的点的位置，最后求解目标函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择B选项.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y 轴上截距最小时，z值最大.3.已知集合，且，则集合可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可知，，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可.【详解】由可知，，对于A：＝，符合题意.对于B：＝，没有元素1，所以不包含A；对于C：＝，不合题意；D显然不合题意，【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知中，，三角形的面积为，且，则（）A. B. 3 C. D. -【答案】B【解析】【分析】由三角形面积公式可得＝4，据此结合余弦定理和已知条件求解的值即可.【详解】依题意可得：，所以＝4，由余弦定理，得：，即：，据此可得：.结合可得 3.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知,给出下列条件：①；②；③，则使得成立的充分而不必要条件是（）A. ①B. ②C. ③D. ①②③【答案】C【解析】【分析】由题意逐一考查所给的三个条件是否是成立的充分而不必要条件即可.【详解】由①，得：，不一定有成立，不符；对于②，当时，有，但不成立，所以不符；对于③，由，知c≠0，所以，有成立，当成立时，不一定有，因为c可以为0，符合题意；【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥，该棱锥的体积：.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（）A. B. [,]C. D. ）【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.【详解】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，－2），直线方程即，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上9.已知平面向量,若,则________.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件可得：，据此确定x的值即可.【详解】由向量垂直的充分必要条件可得：，解得：.故答案为：．【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件及其应用，属于基础题.10.执行如图所示的程序框图，输出的值为__________.【答案】【解析】【分析】由题意可知，流程图对应的程序首先初始化数据：，然后执行循环体2次得到输出值，据此计算输出值即可.【详解】由题意可知，流程图对应的程序运行过程如下：首先初始化数据：，此时满足，执行，此时满足，执行，此时不满足，输出.故答案为：．【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．11.双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．【答案】1【解析】【分析】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，结合点到直线距离公式求解距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为：，即，则焦点到渐近线的距离为：.故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________．【答案】【解析】【分析】由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可.【详解】考查函数，绘制函数图像如图所示，该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题.【点睛】本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误.13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，a n＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.若不等式(且且)在区间内有解，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】原问题即在区间内有解，分别画出的图象，分类讨论＞1和0＜＜1两种情况确定实数的取值范围即可.【详解】，即，在区间内有解，分别画出的图象.（1）当＞1时，由图可知，当x＝2时，，即时，，在区间内有解，所以，.（1）当0＜＜1时，由下图可知，，在区间内有解，所以，.所以，则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查对数的运算法则，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.已知函数.（1）求的值及的最小正周期；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由函数的解析式求解的值即可，整理函数的解析式为的形式，然后由最小正周期公式确定函数的最小正周期即可；（2）由(1)中函数的解析式可知函数的单调增区间为，．据此结合题意可得实数的最大值.【详解】（1）由已知.因为，所以函数的最小正周期为．（2）由得，.所以，函数的单调增区间为，．当时,函数的单调增区间为，若函数在区间上单调递增，则，所以实数的最大值为.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设,数列的前项和为，若，求的最小值.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）由题意可得数列的公比，结合首项确定数列的通项公式即可.（2）由题意可得，分组求和可得，据此确定的最小值即可.【详解】（1）由数列为等比数列，且,，得，解得.则数列的通项公式,.（2）.当时，，，所以；当时，；当时，；当时，；当时，.所以，的最小值为.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列的通项公式，分组求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按，，，分组，制成频率分布直方图：（1）求的值；（2）记表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”，试估计的概率；（3）假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为,,求的值，并直接写出与的大小关系.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形面积之和为1确定a的值即可；（2）由题意，利用频率近似概率值，计算事件A的概率即可；（3）结合直方图中的数据首先求得的值，然后比较与的大小关系即可.【详解】（1）因为，所以.（2）由题意知，该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为：，故的估计值为（3）.由直方图知：.【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.（1）求证：；（2）若为线段的中点，求证：平面；（3）求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由题意结合几何关系可证得平面，由线面垂直的定义即可证得．（2）延长交于点，由题意可证得四边形为平行四边形，据此结合线面平行的判定定理证明题中的结论即可；（3）设为中点，连接，．将多面体分割为两部分，分别求解对应的体积，然后相加即可确定多面体的体积.【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）延长交于点，因为，为中点，所以≌，所以．因为，所以．由已知，且,又因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（3）设为中点，连接，．由已知，所以平面．又因为，所以平面，所以平面平面．因为，，所以平面，所以多面体为直三棱柱．因为，且，所以．由已知，且，所以，且．又因为，平面，所以平面．因为，所以，所以．【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直的方法，线面平行的判定定理，组合体体积的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求证：曲线在抛物线的上方.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得.且函数的定义域.据此分类讨论确定函数的单调区间即可；（2）原问题等价于.设.利用导函数研究函数的最值，证明结论即可证得题中的结论.【详解】（1）求导得.定义域.当时，,函数在上为减函数.当时，令得,为增函数；令得,为减函数.所以时，函数减区间是.当时，函数增区间是；减区间是.（2）依题意，只需证.设.则，设.因为，所以在上单调递增.又因为，所以在内有唯一解，记为即.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以.设，.则.所以.所以，即曲线在抛物线上方.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．(1)求椭圆的离心率及左焦点的坐标；(2)求证：直线与椭圆相切；(3)判断是否为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，据此确定离心率即可；（2）由题意可得.分类讨论和两种情况证明直线与椭圆相切即可；（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得．据此即可证得为定值．【详解】（1）由题意，，所以离心率，左焦点．（2）由题知，，即.当时直线方程为或，直线与椭圆相切．当时，由得，即所以故直线与椭圆相切．（3）设，，当时，，，，，所以，即．当时，由得，则，，．因为．所以，即．故为定值．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
北京市朝阳区2019年高三年级第一次综合练习数学(文)试题(含解析)
2019北京朝阳高三一模数学（文）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.设实数满足不等式组，则的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】首先绘制出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最值的点的位置，最后求解目标函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择B选项.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3.已知集合，且，则集合可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可知，，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可.【详解】由可知，，对于A：＝，符合题意.对于B：＝，没有元素1，所以不包含A；对于C：＝，不合题意；D显然不合题意，本题选择A选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知中，，三角形的面积为，且，则（）A. B.3 C. D. -【答案】B【解析】【分析】由三角形面积公式可得＝4，据此结合余弦定理和已知条件求解的值即可.【详解】依题意可得：，所以＝4，由余弦定理，得：，即：，据此可得：.结合可得 3.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知,给出下列条件：①；②；③，则使得成立的充分而不必要条件是（）A. ①B. ②C. ③D. ①②③【答案】C【解析】【分析】由题意逐一考查所给的三个条件是否是成立的充分而不必要条件即可.【详解】由①，得：，不一定有成立，不符；对于②，当时，有，但不成立，所以不符；对于③，由，知c≠0，所以，有成立，当成立时，不一定有，因为c可以为0，符合题意；本题选择C选项.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥，该棱锥的体积：.本题选择D选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（）A. B. [,]C. D. ）【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.【详解】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），因为两切线，如下图，P A⊥PB，由切线性质定理，知：P A⊥AC，PB⊥BC，P A＝PB，所以，四边形P ACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，－2），直线方程即，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上9.已知平面向量,若,则________.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件可得：，据此确定x的值即可.【详解】由向量垂直的充分必要条件可得：，解得：.故答案为：．【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件及其应用，属于基础题.10.执行如图所示的程序框图，输出的值为__________.【答案】【解析】【分析】由题意可知，流程图对应的程序首先初始化数据：，然后执行循环体2次得到输出值，据此计算输出值即可.【详解】由题意可知，流程图对应的程序运行过程如下：首先初始化数据：，此时满足，执行，此时满足，执行，此时不满足，输出.故答案为：．【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．11.双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．【答案】1【解析】【分析】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，结合点到直线距离公式求解距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为：，即，则焦点到渐近线的距离为：.故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________．【答案】【解析】【分析】由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可.【详解】考查函数，绘制函数图像如图所示，该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题.【点睛】本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误.13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，a n＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.若不等式(且且)在区间内有解，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】原问题即在区间内有解，分别画出的图象，分类讨论＞1和0＜＜1两种情况确定实数的取值范围即可.【详解】，即，在区间内有解，分别画出的图象.（1）当＞1时，由图可知，当x＝2时，，即时，，在区间内有解，所以，.（1）当0＜＜1时，由下图可知，，在区间内有解，所以，.所以，则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查对数的运算法则，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.已知函数.（1）求的值及的最小正周期；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由函数的解析式求解的值即可，整理函数的解析式为的形式，然后由最小正周期公式确定函数的最小正周期即可；（2）由(1)中函数的解析式可知函数的单调增区间为，．据此结合题意可得实数的最大值.【详解】（1）由已知.因为，所以函数的最小正周期为．（2）由得，.所以，函数的单调增区间为，．当时,函数的单调增区间为，若函数在区间上单调递增，则，所以实数的最大值为.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设,数列的前项和为，若，求的最小值.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）由题意可得数列的公比，结合首项确定数列的通项公式即可.（2）由题意可得，分组求和可得，据此确定的最小值即可.【详解】（1）由数列为等比数列，且,，得，解得.则数列的通项公式,.（2）.当时，，，所以；当时，；当时，；当时，；当时，.所以，的最小值为.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列的通项公式，分组求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按，，，分组，制成频率分布直方图：（1）求的值；（2）记表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”，试估计的概率；（3）假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为,,求的值，并直接写出与的大小关系.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形面积之和为1确定a的值即可；（2）由题意，利用频率近似概率值，计算事件A的概率即可；（3）结合直方图中的数据首先求得的值，然后比较与的大小关系即可.【详解】（1）因为，所以.（2）由题意知，该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为：，故的估计值为（3）.由直方图知：.【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.（1）求证：；（2）若为线段的中点，求证：平面；（3）求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由题意结合几何关系可证得平面，由线面垂直的定义即可证得．（2）延长交于点，由题意可证得四边形为平行四边形，据此结合线面平行的判定定理证明题中的结论即可；（3）设为中点，连接，．将多面体分割为两部分，分别求解对应的体积，然后相加即可确定多面体的体积.【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）延长交于点，因为，为中点，所以≌，所以．因为，所以．由已知，且,又因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（3）设为中点，连接，．由已知，所以平面．又因为，所以平面，所以平面平面．因为，，所以平面，所以多面体为直三棱柱．因为，且，所以．由已知，且，所以，且．又因为，平面，所以平面．因为，所以，所以．【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直的方法，线面平行的判定定理，组合体体积的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求证：曲线在抛物线的上方.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得.且函数的定义域.据此分类讨论确定函数的单调区间即可；（2）原问题等价于.设.利用导函数研究函数的最值，证明结论即可证得题中的结论.【详解】（1）求导得.定义域.当时，,函数在上为减函数.当时，令得,为增函数；令得,为减函数.所以时，函数减区间是.当时，函数增区间是；减区间是.（2）依题意，只需证.设.则，设.因为，所以在上单调递增.又因为，所以在内有唯一解，记为即.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以.设，.则.所以.所以，即曲线在抛物线上方.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．(1)求椭圆的离心率及左焦点的坐标；(2)求证：直线与椭圆相切；(3)判断是否为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，据此确定离心率即可；（2）由题意可得.分类讨论和两种情况证明直线与椭圆相切即可；（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得．据此即可证得为定值．【详解】（1）由题意，，所以离心率，左焦点．（2）由题知，，即.当时直线方程为或，直线与椭圆相切．当时，由得，即所以故直线与椭圆相切．（3）设，，当时，，，，，所以，即．当时，由得，则，，．因为．所以，即．故为定值．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
北京市朝阳区届高三第一次统一练习 数学文科试题.pdf
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷（文史类） 2012.3 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．复数A. B. C. D. 2. 若集合，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B必要不充分条件 已知向量满足，且，则向量与的夹角为A. B. C. D. 4. 已知数列的前项和为，，则A. B. C. D. 5. 关于两条不同的直线,与两个不同的平面,，下列命题正确的是 A．且，则 B．且，则 C．且，则 D．且，则 6. 已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 A． B． C. D. 7. 某工厂生产的种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对种产品 征收销售额的的管理费（即销售100元要征收元），于是该产品定价每件比第一年 增加了元，预计年销售量减少万件，要使第二年商场在种产品经营中收取的 管理费不少于14万元，则的最大值是 A. B. C. D. 8. 函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有.当时，.若直线与函数的图象有两个不同的公共点，则实数的值为 A. B. C. 或 D. 或 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.若,，则 . 10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是 .满足约束条件则目标函数的最大值是 ； 使取得最大值时的点的坐标是 . 13. 已知函数则的值为 ；函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 . 14. 已知集合，集合.若为坐标原点，，为集合所表示的平面区域与集合所表示的平面区域的边界的交点,则的面积与的关系式为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上. 15. （本题满分13分） 已知函数. （Ⅰ）若，其中 求的值； （II）设，求函数在区间上的最大值和最小值. 16. （本题满分13分） 某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示． (Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数的值； 区间[25，30)[30，35)[35，40)[40，45)[45，50]5050150 (Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？ (Ⅲ)在()的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第组的概率．在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，， 平面，，，，，且是的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在上是否存在一点，使得最大？ 若存在，请求出的正切值；若不存在， 请说明理由. 18. （本题满分14分） 已知函数,. （Ⅰ）若函数在时取得极值，求的值； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间. 19.（本题满分14分） 已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点,设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 20（本题满分13分） 已知各项均为非负整数的数列（），满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为．设，． （Ⅰ）若数列，试写出数列；若数列，试写出数列； （Ⅱ）证明存在数列，经过有限次变换，可将数列变为数列； （Ⅲ）若数列经过有限次变换，可变为数列．设，，求证，其中表示不超过的最大整数. 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷答案（文史类） 2012.3 一、选择题： 题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案BACBCADC 二、填空题： 题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案3 ;0；注：若有两空，则第一个空3分，第二个空2分. 三、解答题： （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为，且， …………1分 所以. .…………5分. （II）====. .…….…..10分 当时，. 则当时，的最大值为；当时，的最小值为. ………13分 （16）（本小题满分13分） 解：(Ⅰ)由题设可知， . ……………2分 (Ⅱ) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人， 利用分层抽样在300名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为， 第2组的人数为， 第3组的人数为， 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．………………6分 ，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从六位同学中抽两位同学有： 共种可能． ………… 10分年龄在第组的共1种可能， ……… ………12分至少有1人年龄在第组的．………………13分17）（本小题满分13分） （Ⅰ）证明：取的中点，连接. 在中，是的中点，是的中点， 所以. ……………2分 ， 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以. ………………4分 平面，平面， 故平面. ……………………6分 上存在一点，使得最大. 因为平面，所以. 又因为，所以平面. ………………………8分 中，. 因为为定值，且为锐角，则要使最大，只要最小即可. 显然，当时，最小. 因为，所以当点在点处时，使得最大. …………11分=. 所以的正切值为. ……………………13分 18）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）. ……………………2分，解得. 经检验符合题意. ………4分，设， （1）当时，，在上为单调减函数. ……5分时，方程=的判别式为， 令, 解得（舍去）或. 1°当时，， 即， 且在两侧同号，仅在时等于， 则在上为单调减函数. ……………………7分时，，则恒成立， 即恒成立，则在上为单调减函数. ……………9分时，，令， 方程有两个不相等的实数根 ，， 作差可知， 则当时，，，在上为单调减函数； 当时，，， 在上为单调增函数； 当时，，，在上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分时，函数的单调减区间为；当时，函数的单调减区间为，，函数的单调增区间为. …………………………14分19）（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，由已知得 ，，由已知易得, 解得. ………………………3分.………………………4分II) ①当直线的斜率不存在时，由解得. 设，，则为定值. ………5分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：. 将代入整理化简，得.…6分与椭圆必相交于两点，设，， 则，. ……………………7分，， 所以 ………………………8分 .…….………………13分为常数2. .…….………………14分13分） 解：（Ⅰ）若，则；； ； ； ． 若，则 ； ； ； ． .……….………………4分满足及，则定义变换，变换将数列变为数列：．易知和是互逆变换． 对于数列连续实施变换（一直不能再作变换为止）得 ， 则必有（若，则还可作变换）．反过来对作有限次变换，即可还原为数列，因此存在数列满足条件．…………………………8分，这是由于若对某个，，则由变换的定义可知， 通过变换，不能变为.由变换的定义可知数列每经过一次变换，的值或者不 变，或者减少，由于数列经有限次变换，变为数列时，有， ， 所以为整数，于是，， 所以为除以后所得的余数，即．………13分 高考学习网（ 您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
朝阳区高三一模试卷及答案(数学文)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2019.3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i12i=- A.42i - B. 42i -+ C. 24i + D. 24i -2. 若集合{}21,A m =，{}3,4B =，则“2m =”是“{}4=B A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 4. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 325. 关于两条不同的直线m ,n 与两个不同的平面α,β，下列命题正确的是 A ．βα//,//n m 且βα//，则n m // B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则m //n C ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥D ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //6. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率e =，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为A ．2212x y -= B ．22123x y -= C. 2214x y -= D. 221x y -=7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为 A.n ()n ∈Z B.2n ()n ∈Z C. 2n 或124n - ()n ∈Z D. n 或14n -()n ∈Z第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.若sin 3θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= . 10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .（第11题图）12. 设,x y 满足约束条件0, , 230,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是 ；使z 取得最大值时的点(,)x y 的坐标是 .正视图 侧视图13. 已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，则((2))f f 的值为 ；函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 . 14. 已知集合{}22(,)4A x y x y =+≤，集合B =(){},,x y y m x m ≥为正常数.若O 为坐标原点，M ，N 为集合A 所表示的平面区域与集合B 所表示的平面区域的边界的交点,则MON ∆的面积S 与m 的关系式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上. 15. （本题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-. （Ⅰ）若3()5f α=，其中π3π,44α<< 求πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16. （本题满分13分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．(Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率． 17. （本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，2AB=，=1EF，=BC （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ；（Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得∠ 若存在，请求出CPD ∠请说明理由.18. （本题满分14分）已知函数()2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值； （Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间. 19.（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F ，2F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值. 20（本题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a （n *∈N ），满足00a =，1n a a n ++=．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++．设1()i i A T A +=，0,1,2i =．（Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n 个；（Ⅲ）若数列0A 经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,n n 个．设1m m m n S a a a +=+++，1,2,,m n =，求证[](1)1mm m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m Sm +的最大整数. 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类） 2019.3注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为π3()cos()45f αα=-=，且ππ042α<-<， …………1分 所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………5分. （II ）()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=ππsin()cos()44x x +⋅+ =1πsin(2)22x +=1cos 22x . .…….…..10分 当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 则当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………13分 （16）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=， 0.02550050b =⨯⨯=.……………2分(Ⅱ) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=， 第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=， 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ………………6分(Ⅲ)设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从六位同学中抽两位同学有：1234(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A C A C A C 1234(,),(,),(,),(,),B C B C B C B C 12(,),C C13(,),C C 142324(,),(,),(,),C C C C C C 34(,),C C 共15种可能． ………… 10分其中2人年龄都不在第3组的有：(,),A B 共1种可能， ……… ………12分 所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=． ………………13分 （17）（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AD 的中点N ，连接,MN NF .在DAB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN//AB,MN 12=AB . ……………2分 又因为EF//AB,EF 12=AB ，所以MN//EF 且MN =EF .所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM//FN . ………………4分 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故EM//平面ADF . ……………………6分 （Ⅱ）解：假设在EB 上存在一点P ，使得CPD ∠最大.因为EB ⊥平面ABD ，所以EB CD ⊥.又因为CD BD ⊥，所以CD ⊥平面EBD . ………………………8分 在Rt CPD ∆中，tan =CDCPD DP∠. 因为CD 为定值，且CPD ∠为锐角，则要使CPD ∠最大，只要DP 最小即可. 显然，当DP EB ⊥时，DP 最小.因为DB EB ⊥，所以当点P 在点B 处时，使得CPD ∠最大. …………11分 易得tan CD CPD =DB ∠=23. 所以CPD ∠的正切值为23. ……………………13分 （18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()2()21e xf x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分 依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分 （Ⅱ）()2()21e xf x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，（1）当0a =时，()e xf x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分NCA F EB MD（2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+，令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤， 即()2()21e 0x f x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分 3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =， 方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x a =-+，21x a =--，作差可知11a a-->-+，则当1x <-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1-∞-上为单调减函数；当11x a a -+<<--时，()0g x >，()0f x '>，()f x 在(11a a-+--上为单调增函数；当1x >-时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1)--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分 综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x 的单调减区间为(,1-∞-，(1)--+∞，函数()f x 的单调增区间为(11-+-. …………………………14分 （19）（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，由已知得c =，222a b -=，由已知易得1b OM ==,解得a =………………………3分则椭圆的方程为2213x y +=. ………………………4分 (II) ①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==.设(1,)3A，(1,3B -，则122233222k k +=+=为定值. ………5分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=.…6分 依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. ……………………7分 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ………………………8分 122112(2)(3)(2)(3)(3)(3)y x y x x x --+--=--12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k k x x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++ 2212(21) 2.6(21)k k +==+ .…….………………13分 综上得12k k +为常数2. .…….………………14分 （20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ；4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． .……….………………4分（Ⅱ）若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T -，变换1T -将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+---．易知1T -和T 是互逆变换． 对于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T -（一直不能再作1T -变换为止）得,0,0,,0n 1T -−−→1,1,0,,0n -1T-−−→2,0,2,0,,0n -1T-−−→3,1,2,0,,0n -1T-−−→1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T -）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．…………………………8分（Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n =，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a 通过变换，不能变为0.由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不 变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n =，所以m m S mt =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤，所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1mm m S a S m m =-++．………13分。
北京朝阳区高三年级第一次综合练习
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习语文学科测试2018.3（考试时间150分钟满分150分）本试卷共8页。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、本大题共8小题，共24分。
阅读下面的材料，完成1—8题。
材料一丝绸之路的概念自19世纪末提出之后，就成为东西方交通的代名词。
许多研究者认为，陆上中西交通可能很早就存在，在人类进入文明社会之前，欧亚大陆东西方之间在农作物和家畜方面就已经有了交流。
东方的粟通过今天的新疆等地传入西方，而驯马、小麦等从西方传入中国，重要的传播路线就是后来所称的丝绸之路。
公元前2世纪，汉武帝出于消弭．．匈奴军事威胁、谋求和平发展的目的，派张骞出使西域，从此诞生了真正意义上的丝绸之路。
这条丝绸之路是沟通长安和罗马，横贯亚、非、欧的贸易通道和文化走廊。
自开通西域后，汉朝在这里设立了西域都护府、西域长史府等行政管理机构，护卫中华帝国与域外的交往。
唐代有以安西大都护为核心的‚安西四镇‛等军政建置，还在龟兹、焉耆、于阗、疏勒四城修筑城堡。
这些措施对于保护中西陆路交通、保障经济利益、巩固西北边防起到了十分重要的作用。
丝绸之路上长期的商贸往来、频繁的出使求法，极大地丰富了中原人们的物质与精神生活，使人们接触到异国的生产方式、生活习俗和宗教信仰，以及语言、服饰、艺术等，‚胡帽‛‚胡乐‛‚胡旋舞‛等曾在长安盛极一时。
中外文化的交流也造就了中原人们宽广的视野和包容的心态。
丝绸之路还促进了沿途各国的人口增长，以及商业、医药、手工业及畜牧业的繁荣发展。
中华古老的文明、繁盛的都市、广阔的疆域，吸引了众多周边国家前来朝觐、学习。
当时的长安已成为照亮西方的国际性大都市。
中华文明得到广远的传播，故而有学者称这条丝绸之路为文化‚大动脉‛。
丝绸之路的发展以唐代中期的安史之乱为分水岭，在此之后，西北陆路长期受阻。
明朝永乐之后，中国在西北方向采取守势，退入嘉峪关自保，丝绸之路至此彻底衰落。
北京市朝阳区届高三第一次综合练习(一模)数学文试题(解析版)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类）2016.3（考试时间 120 分钟 满分 150 分）第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U = R ，集合 A = {x x ≤ 3}， B = {x x < 2}，则 (ðU B ) A =A ．{x x ≤ 2}B ．{x 1 ≤ x ≤ 3} C. {x 2 < x ≤ 3} D ．{x 2 ≤ x ≤ 3}答案：D解析：考查补集与交集的运算。
因为 C U B ＝{x| x ≥ 2}，所以， (ðU B ) A = {x 2 ≤ x ≤ 3}。
2.已知 i 为虚数单位,则复数 2i = 1+ iA ．1+ i 答案：AB ．1- iC ． -1+ iD ． -1- i2i2i (1- i ) 解析：分母实数化，即分子与分母同乘以分母的其轭复数：1+ i== 1+ i 。
1- i23.已知非零平面向量 a , b ，“ a + b = a - b ”是“ a ⊥ b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C解析：因为| a + b |=| a - b |，平方： (a + b )2= (a - b )2，展开，合并同类项，得： a b = 0 ， 所以， a ⊥ b 。
4.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为A.42B. 19C. 8D.3答案：B 解析：依次执行结果如下：S ＝2×1＋1＝3，i ＝1＋1＝2，i ＜4；3 3 S ＝2×3＋2＝8，i ＝2＋1＝3，i ＜4； S ＝2×8＋1＝19，i ＝3＋1＝4，i ≥4； 所以，S ＝19，选 B 。
5.在 ∆ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，若 a cos B + b s in A = 0 ，则B =A.π6 B. π 3C. 2π3 D. 5π6答案：C解析：因为 acos B + b s in A = 0 ，由正弦定理，得： sin A cos B + sin B sin A = 02π 所以， cos B + sin B = 0 ，即 2 s in(B +) ＝0，所以，B ＝ 。
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习文数
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题(文史类)2017.3(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共 40分)和非选择题(共 110分)两部分第一部分(选择题共40分)8小题，每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，选出符合题(6)设抛物线y 2 8x 的焦点为F ,准线为I , P 为抛物线上一点，PA l , A 为垂足.如果直线AF 的斜率为J3，那么PF一、选择题：本大题共 目要求的一项• (1) 已知集合A {x|(A ) {0,1}1 x 3}, B {x Z |x 24}，贝U AI B (B ) { 1,0,1,2}(C ) { 1,0,1}(D ) { 2, 1,0,1,2}2x y 三 0,(2) 若 x, y 满足 x y < 3,x > 0,则y x 的最大值为(A ) 0 (B ) 3 (C ) 4 (D ) 5(3) 执行如图所示的程序框图，若输入 m 4 , n 6，则输出a(A ) 4 (B ) 8(C ) 12(D ) 16(4) 已知直线 l 过定点(0,1) ,则“直线2 2l 与圆(x 2) y 43相切”是“直线l 的斜率为巴”的4(A )充分不必要条件 (C )充分必要条件(5)已知函数f(x)(A ) 1,0(B )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件x 2 4x,log 2 x a,(B) 1,2 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是(C ) 1,+ (D 2,+ (A )8(B) 16(C ) 4.3 (D ) 8、3x(7)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的底面的面积是(8)如图，A,B,C 三个开关控制着1,2,3,4号四盏灯•若开关 A 控制着2,3,4号灯(即按一下开关A , 2,3,4号灯亮，再按一下开关 A , 2,3,4号灯熄灭)，同样,开关B 控制着1,3,4号灯，开关C 控制着1,2,4号灯•开始时， 四盏灯都亮着，那么下列说法正确的是(A) 只需要按开关A,C 可以将四盏灯全部熄灭 (B) 只需要按开关B,C 可以将四盏灯全部熄灭 (C) 按开关A,B,C 可以将四盏灯全部熄灭 (D) 按开关A,B,C 无法将四盏灯全部熄灭ABC第二部分(非选择题共110分):■、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.1(9) _____________________________________________ 复数z 1 -在复平面内对应的点的坐标是 .i(10) 已知｛a n ｝为等差数列，S n 为其前n 项和.若S 6 51 ,內a ? 26，则数列｛a n ｝的公差d通项公式a n ______x2(A )(B )!■ 1 Jt 0.5丄>(C )(D )(11 )已知函数f(x) 2 - a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是—(12)在厶ABC 中， A - , BC 3, AB ^6，则C , AC .3(13)为了促销某电子产品，商场进行降价，设m 0, n 0 , m n,有三种降价方案：方案①：先降m%，再降n% ；方案②：先降m+n %，再降m+n % ；2 2方案③：一次性降价(m+ n)% .则降价幅度最小的方案是__________ .(填出正确的序号)(14)如图，AB!。
2024北京朝阳区高三一模数学试题及答案
2024北京朝阳高三一模数 学2024.4（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集{1,2,3,4},{|2}U A x U x ==∈<，则UA =（A ）{1} （B ）{1,2}（C ）{3,4} （D ）{2,3,4}（2）复数i3i+在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）在ABC △2sin b A =，则B ∠=（A ）6π （B ）6π或65π （C ）3π（D ）3π或32π （4）已知a ∈R ，则“01a <<”是“函数3()(1)f x a x =−在R 上单调递增”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知直线60x −+=222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r =（A ）2（B）（C ）4（D）（6）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12341,4aaaa =++=，则6S =（A ）9（B ）16（C ）21（D ）25（7）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，,M N 分别是l与双曲线C 及其渐近线在第一象限内的交点．若M 是线段FN 的中点，则C 的渐近线方程为 （A ）y x =±（B）y = （C）y = （D）y = （8）在ABC △中，2,AB AC BC ===P 在线段BC 上．当PA PB ⋅取得最小值时，PA =（A（B（C ）34（D ）74（9）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，,,E F G 分别为棱11,,AA BC CC 的中点，动点H 在平面EFG 内，且1DH =．则下列说法正确的是 （A ）存在点H ，使得直线DH 与直线FG 相交G1A（B ）存在点H ，使得直线DH ⊥平面EFG （C ）直线1B H 与平面EFG 所成角的大小为π3（D ）平面EFG （10）已知n 个大于2的实数21,,,n x x x ，对任意(1,2,),i n x i =，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y x i i x y =，则使得12115n n x x x x −+++≤成立的最大正整数n 为（A ）14（B ）16 （C ）21 （D ）23第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（文史类）2014．3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．（1）已知集合|03}A x x =∈<<N ｛，1|21}x B x -=>｛，则A B =（）．A ．∅B ．{}1C ．{}2D ．{}1,2（2）已知i 为虚数单位，复数2i1i-的值是（）． A ．1i --B ．1i +C ．1i -+D ．1i -（3）若,x y 满足约束条件,1,33,x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是（）．A ．1-B ．0C ．3D ．6（4）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没 有站稳”可表示为（）．A ．p q ∨B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝（5）执行如右图所示的程序框图，则输出S 的值是（）．A ．10B ．17C ．26D ．28（6）函数2sin ()1xf x x =+的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．（7）已知AB 和AC 是平面内两个单位向量，它们的夹角为60，则2AB AC -与CA 的夹角是（）．A ．30B ．60C ．90D ．120（8）如图，梯形ABCD 中，AD BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠=，将ABD ∆沿对角线BD折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD ．给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-；③CD ⊥平面A BD '； ④平面A BC '⊥平面A DC '． 其中正确命题的序号是（）．A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）抛物线28y x =的准线方程是．（10）在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分．那么最高分比最低分高分．（11）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．已知4b =，2c =，60A ∠=，则a =；C ∠=．（12）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为； 表面积为．（13）已知直线y x m =+与曲线224x y +=交于不同的两点,A B ，若||AB ≥则实数m 的取值范围是．（14）将1，2，3，…………，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）已知函数()2sin cos 2f x x x x =-．（Ⅰ）求(0)f 的值及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求函数()x f 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．俯视图 CB A某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15．（Ⅰ）求a， 的值；（Ⅱ）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11A C 与11B D 交点，已知11AA AB ==，60BAD ∠=． （Ⅰ）求证：11AC ⊥平面11B BDD ； （Ⅱ）求证：AO ∥平面1BC D ； （Ⅲ）设点M 在1BC D ∆内（含边界），且OM ⊥11B D ，说明满足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最 小值．1设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； （Ⅱ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅲ）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，一个焦点为0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围．已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列(N )n *∈，且110a b =>．（Ⅰ）若33a b =，比较2a 与2b 的大小关系； （Ⅱ）若2244,a b a b ==．（ⅰ）判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由；（ⅱ）若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（不必说明理由）．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类）二、填空题30三、解答题15．解：（Ⅰ）因为π()sin 22sin(2)3f x x x x ==-所以，(0)f =． 由πππ2π22π232k x k -+-+≤≤，k ∈Z ， 得π5πππ1212k x k -++≤≤，k ∈Z 所以)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．………………………………………8分（Ⅱ）因为π0,2x ≤≤所以ππ2π2333x --≤≤．所以，当ππ233x -=-，即0x =时，()f x 取得最小值 当ππ232x -=即5π12x =时，()f x 取得最大值2．……………………………………………13分16．解：（I ）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人． 设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，则21()205a P A +==． 解得2a =． 所以4b =． ……………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为123456,,,,,M M M M M M ．其中5M 和6M 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生． 从中任意抽取2位，可表示为1213141516,,,,M M M M M M M M M M ，2324,,M M M M 2526,M M M M ，343536,,M M M M M M ，454656,,M M M M M M ，共15种可能．设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生．事件B 包括1516,M M M M ，2526,M M M M ，3536,M M M M ，454656,,M M M M M M ，共9种可能．所以93()155P B ==．所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为35．………………………………………………13分17．解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ， 所以1BB ⊥底面1111A B C D ．又11AC ⊂底面1111A B C D ， 所以1BB ⊥11A C ．因为1111A B C D 为菱形， 所以1111AC B D ⊥．而1111BBB D B =， 所以11AC ⊥平面11B BDD ．4分 （Ⅱ）连接AC ，交BD 于点E ，连接1C E ．依题意，1AA ∥1CC ，且11AA CC =，1AA AC ⊥， 所以11A ACC 为矩形． 所以1OC ∥AE ．又11112OC AC =，12AE AC =，11AC AC =， 所以1OC =AE ，所以1AOC E 为平行四边形， 则AO ∥1C E ．又AO ⊄平面1BC D ，1C E ⊂平面1BC D ，所以AO ∥平面1BC D ．………………………………………………………9分 （Ⅲ）在1BC D ∆内，满足OM ⊥11B D 的点M 的轨迹是线段1C E ，包括端点．分析如下：连接OE ，则BD OE ⊥．由于BD ∥11B D ，故欲使OM ⊥11B D ，只需OM BD ⊥，从而需ME BD ⊥． 又在1BC D ∆中，11C D C B =，又E 为BD 中点，所以BD ⊥1C E ． 故M 点一定在线段1C E 上．当1OM C E ⊥时，OM 取最小值．在直角三角形1OC E 中，1OE =，1OC =，1C E =， 所以1min 1OC OE OM C E ⋅==……………………………………………………………14分 18．解：（I ）1()f x x '=，则函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1ek =．又(e)1f =， 所以函数()f x 在e x =处的切线方程为11(e)e y x -=-，即1ey x = (4)分（Ⅱ）()ln 1F x x ax =--，11()ax F x a x x-'=-=，（0x >）． ①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增； ②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a >；令()0F x '>，解得10x a<<． 1综上所述，当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞；当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a ，减区间是1(,)a+∞．…………………………………………9分（Ⅲ）依题意，函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解．由（Ⅱ）知，当0a >时，函数()F x 在区间1(0,)a 上为增函数，区间1(,)a+∞上为减函数，由于(1)10F a =--<，只需111()ln 1ln 20F a a a a a=-⋅-=--<， 解得2e a ->．所以实数a 的取值范围为21(,)e +∞．…………………………………………………………………13分19．解：（Ⅰ）由题意得2222=3,131,4a b ab ⎧-⎪⎨+=⎪⎩解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2214x y +=．………………………………………………………4分（Ⅱ）由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+，121222(2)14ky y k x x k -+=+-=+．所以线段AB 的中点坐标为2224(,)1414k kk k -++， 所以线段AB 的垂直平分线方程为22214()1414k k y x k k k --=--++． 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 223(,0)14kk+，又点(1,0)P ， 所以22223111414k k PQ k k +=-=++．又AB ==．于是，22||141||14AB k k PQ k +===++因为0k ≠，所以221331k <-<+．所以||||AB PQ 的取值范围为(4,．……………………………………………………14分20．解：记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠（Ⅰ）2310b b q =>，1313222a a b b a ++==，2213b b b =，2b =当2b =22a b >；当2b =132b b +13b b =时取等号， 而13b b ≠，所以132b b +22a b >． 综上所述，22a b >． ……………………………………………………………………5分 （Ⅱ）（ⅰ）因为2244,a b a b ==，所以3,3,a d aq a d aq +=+=得313(1),q q -=- 所以213,1q q q ++==或2q =-．因为1q ≠，所以2q =-，(1)3d a q a =-=-．令10k a b =，即911(1)a k d b q +-=，93(1)(2)a k a a --=-，172k =， 所以10b 是{}n a 中的一项．（ⅱ）假设m k b a =，则111(1)m a k d b q -+-=，13(1)(2)m a k a a ---=-，143(2)m k --=- 当1,m =或2m n =，（n *∈N ）时，k *∈N ．正整数m 的集合是{}12m m=m=n,n *∈N 或．……………………………………………13分北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类）一、 选择题 1． 【答案】C【解析】解：因为|03}{1,2}A x x =∈<<=N ｛，1|21}{|1}x B x x x -=>=>｛ 所以{2}A B =故选C2． 【答案】C【解析】解：222i 2i(1i)2i+2i 2i 21i 1i (1i)(1i)1i 2+-====-+--+- 故选C3． 【答案】D【解析】画出,1,33,x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥表示的区域，如图所示：由2z x y =-，得2y x z =-，画出2y x =并平移，当过(3,0)时，截距z -最小，即z 最大为6． 故选D4． 【答案】D【解析】解：因为p 是“甲落地站稳”，则p ⌝表示“甲落地没有站稳”；q 是“乙落地站稳”，则q ⌝表示“乙落地没有站稳”所以“至少有一位队员落地没有站稳”可以表示为()()p q ⌝∨⌝．5． 【答案】B【解析】解：列表法：S1 2 5 10 17 循环结束i1 3579故答案选B6． 【答案】A【解析】解：因为22sin()sin ()()()11x xf x f x x x --==-=--++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称；故排除C ．D ；又2π1()0π214f =>+，排除B ． 故选A ．7． 【答案】C【解析】解：设2AB AC -与CA 的夹角是θ，则(2)cos 2AB AC CA AB AC CAθ-⋅=-又AB 和AC 是平面内两个单位向量，则1AB =，1AC =；则22(2)(2)22cos600AB AC CA AB AC AC AB AC AC AB AC AC -⋅=--⋅=-⋅+=-⋅︒+= 所以cos 0θ=，则=90θ︒． 故选C8． 【答案】B【解析】解：依题意，标出平面图形上的信息如图所示，画出折起后的几何体，设BD 中点为E ，并连接'A E 如图所示， 对于①，因为''A B A D =，所以'A E BD ⊥；又平面A BD '⊥平面BCD ，则'A E ⊥面BCD ，'A E BC ⊥； 若A D BC '⊥，'''A D A E A =，则BC ⊥面A BD '，则BC BD ⊥矛盾，故①错；对于②，'11122'2233226A BCD BCD V S A E -==⨯⨯⨯⨯=△，故②错； 对于③，因为'A E ⊥面BCD ，则'A E CD ⊥，又CD BD ⊥，'A E BD E =，所以CD ⊥平面A BD '；故③正确；对于④，由③知，CD ⊥平面A BD '，所以'CD A B ⊥；又''A B A D ⊥，'A D CD D =，所以'A B ⊥面'A DC ；又'A B ⊂平面A BC '，所以平面A BC '⊥平面A DC '．故④正确； 故答案选B二、 填空题 9． 【答案】2x =-【解析】解：因为抛物线28y x =，则28p =，即4p =， 所以准线方程为22px =-=-． 故答案为2x =-． 10． 【答案】16【解析】解：因为去掉一个最低分后平均分为90分，则这4人的总分为904360⨯=． 因为去掉一个最高分后平均分为86分，则这4人的总分为864344⨯=； 所以最高分比最低分高36034416-=． 故答案为16．11．【答案】23，30︒【解析】解：由余弦定理，得2222cos 164812a b c bc A =+-=+-=，解得23a =；由正弦定理，得32sin 12sin 223c A C a ⨯===，所以30C =︒或150︒（舍） 故答案为23，30︒． 12．【答案】13，3+2【解析】解：由三视图画出几何体的直观图如图所示， 则几何体是底面是直角三角形的直三棱柱横着放． 所以1111133V =⨯⨯⨯=，1112111121322S =⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=+故答案为13，3+213． 【答案】[2,2]-【解析】解：如图，圆心O 到直线AB 距离为2m d =，则222224232m AB r d =-=-≥，解得22m -≤≤． 故答案为[2,2]m ∈-．14． 【答案】二，{3,4,9}【解析】解：因为每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上，所以6只能在第二张卡片上（否则，若6在第一张上，651-=矛盾；若6在第三张卡片上633-=矛盾）同理，4只能在第三张卡片上（否则，4若在第一张上，514-=矛盾；若4在第二张上，422-=矛盾）；同理，8只能在第一张卡片上，7只能在第二张卡片上，9只能在第三张卡片上．如图所示．故答案为：二，{3,4,9}．。
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷(文科类)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2016.3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U =R ，集合{}3A x x =≤，{}2B x x =<，则()U B A =ðA ．{}2x x ≤B ．{}13x x ≤≤ C. {}23x x <≤ D ．{}23x x ≤≤ 2.已知i 为虚数单位,则复数2i1i+= A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 3.已知非零平面向量,a b ，“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A. 42 B. 19 C. 8 D. 35.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b ccos sin 0B b A +=，则B = A. π6B. π3C.2π3D.5π66.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A. 3+B.C. 1+D.1+7. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月份C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D. 前6个月的平均收入为40万元 （注：结余=收入-支出）8. 若圆222(1)x yr +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A．0r < B．0r <<C ．0r <D ．0r <<月俯视图侧视图第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.已知函数22log (3),0,(), 0,x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩则((1))f f -= .10.已知双曲线221x y m-=过抛物线28y x =的焦点，则此双曲线的渐近线方程为 . 11.已知递增的等差数列}{n a ()n *∈N 的首项11=a ，且1a ,2a ,4a 成等比数列，则数列}{n a 的通项公式n a = ；48124+4+n a a a a +++=____.12.已知不等式组0,,290y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域为D .若直线()1y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 .13.已知圆22:(3)(5)5C x y -+-=，过圆心C 的直线l 交圆C 于,A B 两点，交y 轴于点P . 若A 恰为PB 的中点，则直线l 的方程为 .14.甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”， “3，4”，…，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数()2sin cos()3f x x x ωωπ=+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值. 16.(本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-,n *∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .17. (本小题满分13分)某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查.调查结果如下表:（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数;（Ⅱ）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率； （Ⅲ）试判断该班男生阅读名著本数的方差21s 与女生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需写出结论）．（注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x 2x ，…… n x 的平均数）18.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA ．,M N 分别为BC 和1CC 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点．（Ⅰ）求证：平面APM ⊥平面11BBC C ；（Ⅱ）若P 为线段1BB 的中点，求证：1//A N 平面APM ； （Ⅲ）试判断直线1BC 与平面APM 是否能够垂直.若能垂直，求PB 的值；若不能垂直，请说明理由．19.(本小题共14分）已知椭圆:C 22142x y +=的焦点分别为12,F F . （Ⅰ）求以线段12F F 为直径的圆的方程；（Ⅱ）过点(4,0)P 任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N .在x 轴上是否存在点Q ，使得180PQM PQN ∠+∠=︒？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.NAMPCBA 1C 1B 120. （本题满分13分） 已知函数()e xk x f x k x+=⋅-()k ∈R . （Ⅰ）若1,k =求曲线()y f x =在点()0(0)f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设0k ≤，若函数()f x 在区间上存在极值点，求k 的取值范围.。
北京市朝阳区高三第一次综合练习数学(文)试题(扫描版)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类）2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）答案B DC B A CD A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．题号 （9） （10） （11） （12） （13）（14） 答案2800 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）（Ⅰ）因为，，又，所以.由正弦定理得，.=. 所以. ……… 6分（Ⅱ）在中，sin cos60cos sin 60B B =+==. 所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅==. ……13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高． ……… 4分（Ⅱ）设事件：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩．由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为；乙校成绩不低于90分的同学有5人，从小到大依次记为．其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B =======分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能．其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有这4种可能．所以．即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为. ……… 13分（17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以11,CC BC CC AC ^^,.所以底面．因为底面，所以．由已知可得，底面为正三角形．因为是中点，所以．因为，所以平面． ……… 5分（Ⅱ）证明：如图，连接交于点，连接．显然点为的中点．因为是中点， 所以．又因为平面，平面，所以直线平面．………10分 （Ⅲ）在内的平面区域（包括边界）存在一点，使．此时点是在线段上. 证明如下：过作交线段于，由（Ⅰ）可知平面，而平面，所以．又，，所以平面．又平面，所以． ……… 14分（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为，，所以，3212448a S a a ==+=+=，4312344816a S a a a ==++=++=．……… 3分 （Ⅱ）当时，11222n n nn n n a S S +-=-=-=．又当时，．所以 ……… 6分（Ⅲ）依题意，，.则由得，，,则.所以20,1,(1)2, 2.n n n n a b n n +=⎧⋅=⎨-≥⎩所以2(1)2(*)n n n a b n n +⋅=-∈N .因为=1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯.所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- . 所以. ……… 13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得2222,3,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得，. 故椭圆的方程为． ……… 5分（Ⅱ）由题意可知直线斜率存在，设其方程为，点，，，， 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以． 因为121224(4)13k y y k x x k -+=+-=+， 所以中点．因此直线方程为． 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得，． 因为四边形为矩形，所以，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以．所以．解得．故直线的方程为． ……… 14分（20）（本小题满分13分）解：函数定义域为，322()e x x x ax a f x x++-'=. （Ⅰ）当时，，.所以.所以曲线在点处的切线方程是，即. ……… 3分（Ⅱ） 当时，.设，则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+.令()(31)(1)0g x x x '=-+>得，或，注意到，所以.令()(31)(1)0g x x x '=-+<得，注意到，得.所以函数在上是减函数，在上是增函数.所以函数在时取得最小值，且.所以在上恒大于零.于是，当，恒成立.所以当时，函数在上为增函数. ……… 7分（Ⅱ）问另一方法提示：当时，.由于在上成立，即可证明函数在上为增函数. （Ⅲ）（Ⅱ）322()e ()xx x ax a f x x ++-'=. 设，.(1) 当时，在上恒成立，即函数在上为增函数.而，，则函数在区间上有且只有一个零点，使,且在上，，在上，，故为函数在区间上唯一的极小值点;（2）当时，当时，成立，函数在区间上为增函数，又此时，所以函数在区间恒成立，即，故函数在区间为单调递增函数，所以在区间上无极值；（3）当时，3232(1)x x ax a x x a x ++-=++-.当时，总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值. 综上所述. ……… 13分。
北京朝阳区高三年级第一次综合练习
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（文史类）2018．3（考试时间120分钟满分150分）B= ()1,+∞在复平面内，复数i1+iz=．第一象限7.函数2πsin12()12xf xx x=-+的零点个数为A．0B．1C．2D．4俯视图正视图侧视图8.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加 “智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；11.已知圆C :222410x y x y +--+=内有一点(2,1)P ，经过点P 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当弦AB 恰被点P 平分时，直线l 的方程为 ．12.已知实数,x y 满足10101x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，，，若(0)z mx y m =+>取得最小值的最优解有无数多个，则m 的值为_________．13.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,2A ωϕπ>><）的部分图象如图所示， 则=ϕ ； ω= ．17.（本小题满分13分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出了三个科目作为选考科目．若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次图1 图219.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2018．3212n n n b b ---=，以上1n -个式子相加得：111(12)12n n b b -⨯--=-，又因为12b =，所以121()n n b n -*=+∈N . ……………… 13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由2cos b a A =，得cos 0A >，因为sin A =，所以cos A =.1518. （本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图1，在梯形ABCD 中，因为BE AD ⊥，所以BE A E '⊥（如图2）． 因为平面A BE '⊥平面BCDE ，且平面A BE '平面BCDE BE =，所以A E '⊥平面BCDE ．又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A E CD '⊥． ……………… 4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知A E '⊥平面BCDE ，所以A E BE '⊥，A E DE '⊥．BD平面MCE 平面MCE ，得MD BN =又因为1A E '=，2DE =，所以A D 'A M ' …………14分 19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得22222,111.2c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得a =1b =，1c =．故椭圆C 的方程为2212x y +=． ……………… 5分（Ⅱ）证明：由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =+，直线2l 的方程为y kx =-，（Ⅱ）(0,)x ∈+∞，2()f x x '=.令2()2ln g x ax x =--，则221()ax g x x--'=．令()0g x '=，得x =（依题意102a ->）由()0g x '>，得x >()0g x '<，得0x <<又(1)220h a '=->，()2()30222h a '=-=-<，所以0112x <<.则0030,ln 02x x ->->.因此003ln 02x x -->，即0()0h x >.所以()0h x >所以()1f x <-. ……………13分专业K12教研共享平台11。
北京市朝阳区2019届高三第一次(3月)综合练习(一模)数学(文)试卷Word版含解析
2019北京朝阳高三一模数学（文）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.设实数满足不等式组，则的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】首先绘制出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最值的点的位置，最后求解目标函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择B选项.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3.已知集合，且，则集合可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可知，，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可.【详解】由可知，，对于A：＝，符合题意.对于B：＝，没有元素1，所以不包含A；对于C：＝，不合题意；D显然不合题意，本题选择A选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知中，，三角形的面积为，且，则（）A. B. 3 C. D. -【答案】B【解析】【分析】由三角形面积公式可得＝4，据此结合余弦定理和已知条件求解的值即可.【详解】依题意可得：，所以＝4，由余弦定理，得：，即：，据此可得：.结合可得 3.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知,给出下列条件：①；②；③，则使得成立的充分而不必要条件是（）A. ①B. ②C. ③D. ①②③【答案】C【解析】【分析】由题意逐一考查所给的三个条件是否是成立的充分而不必要条件即可.【详解】由①，得：，不一定有成立，不符；对于②，当时，有，但不成立，所以不符；对于③，由，知c≠0，所以，有成立，当成立时，不一定有，因为c可以为0，符合题意；本题选择C选项.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥，该棱锥的体积：.本题选择D选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（）A. B. [,]C. D. ）【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.【详解】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，－2），直线方程即，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上9.已知平面向量,若,则________.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件可得：，据此确定x的值即可.【详解】由向量垂直的充分必要条件可得：，解得：.故答案为：．【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件及其应用，属于基础题.10.执行如图所示的程序框图，输出的值为__________.【答案】【解析】【分析】由题意可知，流程图对应的程序首先初始化数据：，然后执行循环体2次得到输出值，据此计算输出值即可.【详解】由题意可知，流程图对应的程序运行过程如下：首先初始化数据：，此时满足，执行，此时满足，执行，此时不满足，输出.故答案为：．【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．11.双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．【答案】1【解析】【分析】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，结合点到直线距离公式求解距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为：，即，则焦点到渐近线的距离为：.故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________．【答案】【解析】【分析】由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可.【详解】考查函数，绘制函数图像如图所示，该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题.【点睛】本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误.13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，a n＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.若不等式 (且且)在区间内有解，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】原问题即在区间内有解，分别画出的图象，分类讨论＞1和0＜＜1两种情况确定实数的取值范围即可.【详解】，即，在区间内有解，分别画出的图象.（1）当＞1时，由图可知，当x＝2时，，即时，，在区间内有解，所以，.（1）当0＜＜1时，由下图可知，，在区间内有解，所以，.所以，则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查对数的运算法则，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.已知函数.（1）求的值及的最小正周期；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的最大值.【答案】（1）1；；（2）.【解析】【分析】（1）由函数的解析式求解的值即可，整理函数的解析式为的形式，然后由最小正周期公式确定函数的最小正周期即可；（2）由(1)中函数的解析式可知函数的单调增区间为，．据此结合题意可得实数的最大值.【详解】（1）由已知.因为，所以函数的最小正周期为．（2）由得，.所以，函数的单调增区间为，．当时,函数的单调增区间为，若函数在区间上单调递增，则，所以实数的最大值为.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设,数列的前项和为，若，求的最小值.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）由题意可得数列的公比，结合首项确定数列的通项公式即可.（2）由题意可得，分组求和可得，据此确定的最小值即可.【详解】（1）由数列为等比数列，且,，得，解得.则数列的通项公式,.（2）.当时，，，所以；当时，；当时，；当时，；当时，.所以，的最小值为.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列的通项公式，分组求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按，，，分组，制成频率分布直方图：（1）求的值；（2）记表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”，试估计的概率；（3）假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为,,求的值，并直接写出与的大小关系. 【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形面积之和为1确定a的值即可；（2）由题意，利用频率近似概率值，计算事件A的概率即可；（3）结合直方图中的数据首先求得的值，然后比较与的大小关系即可.【详解】（1）因为，所以.（2）由题意知，该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为：，故的估计值为（3）.由直方图知：.【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.（1）求证：；（2）若为线段的中点，求证：平面；（3）求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由题意结合几何关系可证得平面，由线面垂直的定义即可证得．（2）延长交于点，由题意可证得四边形为平行四边形，据此结合线面平行的判定定理证明题中的结论即可；（3）设为中点，连接，．将多面体分割为两部分，分别求解对应的体积，然后相加即可确定多面体的体积.【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）延长交于点，因为，为中点，所以≌，所以．因为，所以．由已知，且,又因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（3）设为中点，连接，．由已知，所以平面．又因为，所以平面，所以平面平面．因为，，所以平面，所以多面体为直三棱柱．因为，且，所以．由已知，且，所以，且．又因为，平面，所以平面．因为，所以，所以．【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直的方法，线面平行的判定定理，组合体体积的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求证：曲线在抛物线的上方.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得.且函数的定义域.据此分类讨论确定函数的单调区间即可；（2）原问题等价于.设.利用导函数研究函数的最值，证明结论即可证得题中的结论.【详解】（1）求导得.定义域.当时，,函数在上为减函数.当时，令得,为增函数；令得,为减函数.所以时，函数减区间是.当时，函数增区间是；减区间是.（2）依题意，只需证.设.则，设.因为，所以在上单调递增.又因为，所以在内有唯一解，记为即. 当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以.设，.则.所以.所以，即曲线在抛物线上方.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．(1)求椭圆的离心率及左焦点的坐标；(2)求证：直线与椭圆相切；(3)判断是否为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，据此确定离心率即可；（2）由题意可得.分类讨论和两种情况证明直线与椭圆相切即可；（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得．据此即可证得为定值．【详解】（1）由题意，，所以离心率，左焦点．（2）由题知，，即.当时直线方程为或，直线与椭圆相切．当时，由得，即所以故直线与椭圆相切．（3）设，，当时，，，，，所以，即．当时，由得，则，，．因为．所以，即．故为定值．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
北京朝阳区2019届高三第一次综合练习数学文科试题含答案解析
2019北京朝阳高三一模数学（文）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.设实数满足不等式组，则的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】首先绘制出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最值的点的位置，最后求解目标函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择B选项.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3.已知集合，且，则集合可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可知，，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可.【详解】由可知，，对于A：＝，符合题意.对于B：＝，没有元素1，所以不包含A；对于C：＝，不合题意；D显然不合题意，本题选择A选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知中，，三角形的面积为，且，则（）A. B.3 C. D. -【答案】B【解析】【分析】由三角形面积公式可得＝4，据此结合余弦定理和已知条件求解的值即可.【详解】依题意可得：，所以＝4，由余弦定理，得：，即：，据此可得：.结合可得 3.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知,给出下列条件：①；②；③，则使得成立的充分而不必要条件是（）A. ①B. ②C. ③D. ①②③【答案】C【解析】【分析】由题意逐一考查所给的三个条件是否是成立的充分而不必要条件即可.【详解】由①，得：，不一定有成立，不符；对于②，当时，有，但不成立，所以不符；对于③，由，知c≠0，所以，有成立，当成立时，不一定有，因为c可以为0，符合题意；本题选择C选项.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥，该棱锥的体积：.本题选择D选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（）A. B. [,]C. D. ）【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.【详解】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），因为两切线，如下图，P A⊥PB，由切线性质定理，知：P A⊥AC，PB⊥BC，P A＝PB，所以，四边形P ACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，－2），直线方程即，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上9.已知平面向量,若,则________.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件可得：，据此确定x的值即可.【详解】由向量垂直的充分必要条件可得：，解得：.故答案为：．【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件及其应用，属于基础题.10.执行如图所示的程序框图，输出的值为__________.【答案】【解析】【分析】由题意可知，流程图对应的程序首先初始化数据：，然后执行循环体2次得到输出值，据此计算输出值即可.【详解】由题意可知，流程图对应的程序运行过程如下：首先初始化数据：，此时满足，执行，此时满足，执行，此时不满足，输出.故答案为：．【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．11.双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．【答案】1【解析】【分析】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，结合点到直线距离公式求解距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为：，即，则焦点到渐近线的距离为：.故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________．【答案】【解析】【分析】由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可.【详解】考查函数，绘制函数图像如图所示，该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题.【点睛】本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误.13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，a n＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.若不等式(且且)在区间内有解，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】原问题即在区间内有解，分别画出的图象，分类讨论＞1和0＜＜1两种情况确定实数的取值范围即可.【详解】，即，在区间内有解，分别画出的图象.（1）当＞1时，由图可知，当x＝2时，，即时，，在区间内有解，所以，.（1）当0＜＜1时，由下图可知，，在区间内有解，所以，.所以，则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查对数的运算法则，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.已知函数.（1）求的值及的最小正周期；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的最大值.【答案】（1）1；；（2）.【解析】【分析】（1）由函数的解析式求解的值即可，整理函数的解析式为的形式，然后由最小正周期公式确定函数的最小正周期即可；（2）由(1)中函数的解析式可知函数的单调增区间为，．据此结合题意可得实数的最大值.【详解】（1）由已知.因为，所以函数的最小正周期为．（2）由得，.所以，函数的单调增区间为，．当时,函数的单调增区间为，若函数在区间上单调递增，则，所以实数的最大值为.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设,数列的前项和为，若，求的最小值.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）由题意可得数列的公比，结合首项确定数列的通项公式即可.（2）由题意可得，分组求和可得，据此确定的最小值即可.【详解】（1）由数列为等比数列，且,，得，解得.则数列的通项公式,.（2）.当时，，，所以；当时，；当时，；当时，；当时，.所以，的最小值为.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列的通项公式，分组求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按，，，分组，制成频率分布直方图：（1）求的值；（2）记表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”，试估计的概率；（3）假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为,,求的值，并直接写出与的大小关系.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形面积之和为1确定a的值即可；（2）由题意，利用频率近似概率值，计算事件A的概率即可；（3）结合直方图中的数据首先求得的值，然后比较与的大小关系即可.【详解】（1）因为，所以.（2）由题意知，该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为：，故的估计值为（3）.由直方图知：.【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.（1）求证：；（2）若为线段的中点，求证：平面；（3）求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由题意结合几何关系可证得平面，由线面垂直的定义即可证得．（2）延长交于点，由题意可证得四边形为平行四边形，据此结合线面平行的判定定理证明题中的结论即可；（3）设为中点，连接，．将多面体分割为两部分，分别求解对应的体积，然后相加即可确定多面体的体积.【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）延长交于点，因为，为中点，所以≌，所以．因为，所以．由已知，且,又因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（3）设为中点，连接，．由已知，所以平面．又因为，所以平面，所以平面平面．因为，，所以平面，所以多面体为直三棱柱．因为，且，所以．由已知，且，所以，且．又因为，平面，所以平面．因为，所以，所以．【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直的方法，线面平行的判定定理，组合体体积的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求证：曲线在抛物线的上方.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得.且函数的定义域.据此分类讨论确定函数的单调区间即可；（2）原问题等价于.设.利用导函数研究函数的最值，证明结论即可证得题中的结论.【详解】（1）求导得.定义域.当时，,函数在上为减函数.当时，令得,为增函数；令得,为减函数.所以时，函数减区间是.当时，函数增区间是；减区间是.（2）依题意，只需证.设.则，设.因为，所以在上单调递增.又因为，所以在内有唯一解，记为即.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以.设，.则.所以.所以，即曲线在抛物线上方.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．(1)求椭圆的离心率及左焦点的坐标；(2)求证：直线与椭圆相切；(3)判断是否为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，据此确定离心率即可；（2）由题意可得.分类讨论和两种情况证明直线与椭圆相切即可；（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得．据此即可证得为定值．【详解】（1）由题意，，所以离心率，左焦点．（2）由题知，，即.当时直线方程为或，直线与椭圆相切．当时，由得，即所以故直线与椭圆相切．（3）设，，当时，，，，，所以，即．当时，由得，则，，．因为．所以，即．故为定值．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情。