数学必修1学业水平考试复习(教师版)

合集下载

高中数学学业水平考试复习必修1导学案

必修１第一章§1-1 集合及其运算【自主学习】1．元素与集合的关系:用或表示；2．集合中元素具有、、3．集合的分类：①按元素个数可分：限集、限集；②按元素特征分：数集，点集等4．集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N={0，1，2，3，…}；②描述法③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R;5．集合与集合的关系:6．熟记：①任何一个集合是它本身的子集；②空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集；③如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ；如果A B ⊆，B C ⊆，A C ⊆那么.④n 个元素的子集有2n个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n－2个.7．集合的运算（用数学符号表示）交集A∩B= ;并集A ∪B= ；补集C U A= ，集合U 表示全集.8.集合运算中常用结论: ;A B A B A ⊆⇔=I A B A B B ⊆⇔=U【典例讲解】边听边练边落实例1．集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，求A B U ，A B I ，()R C A B I例2．已知集合M=2{|1}y y x =+，N={|x y =x ∈R}，求M∩N例3．集A ＝{－1，3，2m －1}，集B ＝{3，2m }．若B A ⊆，则实数m ＝【及时练习】1．下列关系式中正确的是（）A. 0∈∅B. 0{0}∈C. 0{0}⊆D. {0}⊂∅≠2．设{}220,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，则{a }与M 的关系是( )A ．{a }=MB ． M Ü{a }C ．{a }∉MD ．M ⊇{a } 3．方程3231x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解集为______.4．全集{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}I =，{1,2,3}A ={2,5,6,7}B =，则A B U ＝，A B I ＝，()I C A B I ＝【课后作业】1．已知全集,U R =且{}|12,A x x =->{}2|680,B x x x =-+<则()U C A B I 等于=（）A ．[1,4)-B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(3,4) 2．设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,B y y x ==-，则()R C A B I 等于（）A ．(,0]-∞B ．{},0x x R x ∈≠ C ．(0,)+∞ D ．∅3．已知全集U Z =，{1,0,1,2}A =-，2{|}B x x x ==则U A C B I 为 4．{}2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A =U ，满足条件的m 集合是______5．已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a 2－a ＋2｝，如果{}1U A =-ð，那么a 的值为____ 必修１第一章§1-2 函数的概念及定义域【自主学习】1．定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的一个数x ，在集合B 中确定的数f(x)和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合的一个，记作：2．函数的三要素、、3．函数的表示法：解析法（函数的主要表示法），列表法，图象法；4. 同一函数：相同，值域，对应法则 .5．求函数定义域的依据：① 分式分母有意义，即分母不能为0；② 有意义集合是{|0}x x ≥③ 00无意义④ 指数式、对数式的底a 满足：{|0,1}a a a >≠,对数的真数N 满足：{|0}N N >【典例讲解】边听边练边落实例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。

2023_2024学年新教材高中数学测试一学业水平综合性测试卷(期末卷)课件北师大版必修第一册

D.图象关于直线x=a对称
答案
解题通法名师教方法
把函数零点问题转化为两个函数图象交点问题的“三部曲”是: (1)先移项使之分解为两个常见函数; (2)在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的图象; (3)两图象交点的个数即为方程根的个数. 注意:两个函数的构建要遵循“图象容易作出、交点容易找到”的原则.
答案
解答题
答案
解答题
20.(12分)[2023赣州中学高一期末]为了加快高中新课程新教材的实施,促进教考有效衔接,某市教育部门组织该市全体新高一教师在暑假期间进行相关学科培训,培训后举行测试(满分100分).现从该市参加测试的数学老师中抽取了 120名,并统计他们的测试成绩,将成绩分成六组:第一组[70,75),第二组[75,80),…,第六组[95,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值以及这120人中测试成绩在[85,90)的人数; (2)若要从成绩在第四、五、六组的老师中用分层随机抽样的方法抽取6人进行学习心得交流分享,并在这6人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人,求这2人中至少有1人成绩在第四组的概率.
答案
解答题
答案
解答题
22.(12分)[2023扬州中学高一阶段练习]已知函数f(x)=log3(3x+1). (1)若f(x)=log3(5x-4x+1),求x的值; (2)若函数F(x)=f(x)-x-log3(a·3x-a)(a∈R)有且仅有一个零点,求实数a的取值范围.
那么全班同学踢到毽球次数的平均数为
,方差为
.(本题第一空2分,第二空3分)
答案
解答题
答案
17.【解析】 (1)选条件①, 由-x2+4≥0得-2≤x≤2, ∴B={x|-2≤x≤2}. 当m=1时,A={x|0≤x≤5},

【湘教版】高中数学必修一、必修二学业水平测试试题(6)(教师)

【湘教版】高中数学（必修一、必修二）学业水平测试试题（6）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入答题卡中．．．．．．．．．．．．．．．） 1．设b 是a 的相反向量，则下列说法一定错误的是( ) A ．a 与b 的长度相等 B ．a ∥b C ．a 与b 一定不相等 D ．a 与b 互为相反向量答案：C2．记符号{}B x A x x B A ∉∈=-且,，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=2221xxA ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<=1log 31x x B ，则=-B A （） A ⎥⎦⎤⎝⎛-31,1 B ⎪⎭⎫⎝⎛-31,1 C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21D ⎥⎦⎤⎝⎛31,0答案：A3．若f (x ) cos 2xπ 是周期为2的奇函数,则f (x )可以是（）A ．sin 2x π B ．cos 2xπ C ．sinπx D ．cosπx答案：A4．函数()431-+=x x x f 的零点所在的区间是（）A ()3,2B ()2,1C ()1,0D ()4,3 答案：A5．方程sinx = lgx 的实根有（）A ．1个B ．3个C ．2个D ．无穷多个答案：B6．已知函数y =f (x ),将f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得到图象沿x 轴向左平移4π个单位,这样得到的曲线与y =3sin x 的图象相同,那y =f (x )的解析式为（）A ．f(x)=3sin(42π-x ) B ．f(x)=3sin(2x+4π) C ．f(x)=3sin(42π+x ) D ．f(x)=3sin(2x －4π)答案：D7．已知函数112++=mx mx y 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是（）A (][)+∞∞-,40,B []4,0C (]4,0D [)4,0 答案：D8．y= log 21sin(2x +4π)的单调递减区间是（）A ．[kπ－4π,kπ](k ∈Z) B ．(kπ－8π ,kπ+8π)(k ∈Z)C ．[kπ－83π ,kπ+8π] (k ∈Z) D ． (kπ－8π, kπ+83π)(k ∈Z)答案：B9．已知函数)(x f y =为R 上的偶函数，若对于0≥x 时，都有)()2(x f x f -=+，且当[)2,0∈x 时，),1(log )(2+=x x f 则)12()11(f f +-等于（）A 6log 2B 23log 2C 1D 1-答案：D10．函数f （x ）（x ∈R ）的图象如图所示，则函数)(log)(x f x g a=（0＜a ＜1）的单调减区间是( )A.［0，21］ B.（-∞，0）∪［21，+∞）C.［a ，1］D.［，］答案：C二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填入答题卡中．．．．．．．．．．．．） 11．设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且c b c a //,⊥+=答案：因为c b c a //,⊥，所以有042=-x 且042=+y ，解得2=x ，2-=y ，即)2,1(),1,2(-==b a ，所以)1,3(-=+b a10=+，12．计算45tan 2sin216log )001.0(3log 12312++--+-π= .答案：213．函数|)3cos()23cos(|x x y --=ππ最小正周期是．答案：π14．设,11)(xxx f -+=又记：,,2,1)),(()(),()(11 ===+k x f f x f x f x f k k 则=)2012(2012f答案：201215．以下结论正确的有（写出所有正确结论的序号）①函数xy 1=在()()+∞∞-,00, 上是减函数；②对于函数()12+-=x x f ，当21x x ≠时，都有()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+222121x x f x f x f ；③已知幂函数的图象过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛532,2，则当1>x 时，该函数的图象始终在直线x y =的下方； ④奇函数的图像必过坐标原点；⑤函数)(x f 对任意实数y x ,，都有,1)()()(-+=+y f x f y x f 且当,1)(0<<x f x 时，则)(x f 在R 上为增函数。

高中数学必修一专题复习--详细整理附带习题【人教版】

高中数学必修一专题复习--详细整理附带
习题【人教版】
本文档是针对高中数学必修一的专题复，详细整理了各个知识点，并附带了相应的题。

以下是各个专题的内容概要：
1. 函数
- 函数及其表示方法
- 常用函数的性质和图像
- 函数的运算与初等函数的复合
- 函数的单调性和奇偶性
- 函数的解析式及其应用
2. 三角函数
- 三角函数的概念和基本性质
- 三角函数的图像和性质
- 三角函数的和差化积公式
- 三角函数的倍角公式和半角公式
- 三角函数的解析式及其应用
3. 数列与数学归纳法
- 等差数列和等差数列的前n项和
- 等比数列和等比数列的前n项和
- 数学归纳法的基本原理和应用
4. 平面向量
- 平面向量的定义和运算
- 平面向量的数量积和向量积
- 平面向量的坐标表示和平面向量的夹角
- 平面向量的共线与垂直
5. 解析几何基础
- 直线和线段的表示和性质
- 平面和面积的表示和性质
- 二次曲线和椭圆、双曲线的表示和性质
为了帮助同学们更好地复习，本文档附带了大量的习题。

复习时，可以先阅读相关知识点的介绍，然后尝试做相应的习题巩固所学内容。

希望本文档能对同学们的高中数学必修一复习有所帮助！。

学业水平测试(必修1)复习资料

高中数学必修模块一班级：姓名：第一单元集合（一课时）一、基础知识填空1、集合的含义：。

2、集合的表示方法：、、。

3、常见数集及表示：自然数集也称非负整数集记为；正整数集记为；整数集记为；有理数集记为；实数集记为。

4、集合元素的特性：、、。

5、集合与元素的关系：、。

6、集合的相等：。

7、子集的概念：。

8、真子集的概念：。

9、空集：。

10、集合的运算：（1）并集: 。

（2）交集: 。

（3）补集: 。

（4）全集：。

11、集合的运算性质：（1）A A = ；=A A （2）=Φ A ；=Φ A （3）=⊆B A B A 则；=⊆B A B A 则二、标杆题1、试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程220x -=的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.2、写出集合{}a,b 的所有子集，并指出哪些是它的真子集.3、用适当的符号填空：(){}(){}{}{}22100;20,1;(3)2,1320x xN x xx =-+=.{}{}()()()()R R R R 4A 37,210,A B A B C A B C A B C A B A C B .x x B x x =≤<=<< 、已知集合求，，，，，三、巩固练习{}{}R A 1,3,5,9,B 0,3,6,9,12,A C B .=== 1、已知集合,7求{}{}A 1,B ,A B R a .x x x x a =≤=≥== 2、已知集合且，求实数的取值范围是{}{}()()()()()R R R A 35,33,A C A B RA B R C C A B RR R x x x B x x B C C D A BR=<>=-<<==== 4、设全集，或则第二单元函数及其表示（一课时）一、基础知识填空1、函数的概念：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的，使对于集合A 中的，在集合B 中都有和它对应，那么就称为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 .其中x 叫做，x 的取值范围A 叫做函数的，与x 的值相对应的y 值叫做，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的 .值域是集合B 的。

【期末复习系列资料】高一数学(必修一、必修二)学业水平测试试题(1)(教师版)

【湘教版】高中数学（必修一、必修二）学业水平测试试题（1）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入答题卡中）1．已知全集{}{}{}()====N M C ，N M U U 则3,2,2.1,0,4,3,2,1,0（） A. {}2 B. {}3 C. {}432，，D. {}43210，，，。

答案：B2．已知函数()则，x x x x x f ⎩⎨⎧>+-≤+=1,31,1f(2) =（）A.3 B,2 C.1 D.0答案：A3．若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有（）（1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一；（2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像；（3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像；（4）像的集合就是集合B . A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个答案：B4．下列各组函数是同一函数的是（）①()f x =()g x =()f x x =与2)(x x g -=； ③0()f x x =与01()g x x=； ④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。

A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 答案：C5．若21tan =α，则ααααcos 3sin 2cos sin -+=（） A 、43 B 、34- C 、21 D 、21-答案：B6．下列所给四个图象中，与所给三件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。

A 、（1）（2）（4）B 、（4）（2）（3）C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2）答案：D7．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点,则m 的取值范围是（） A.（-2,6） B.[-2,6] C. {}6,2- D.()()∞+-∞-.62, 答案：D8．若函数 ()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的2倍，则a 的值为（） A、4 B、2 C 、14 D 、12（1）（2）（3）（4）答案：C9．若=-=-33)2lg()2lg(,lg lg y x a y x 则（） A ．a 3 B ．a 23 C ．aD ．2a 答案：A10．设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（）A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）C.（1.5,2）D.不能确定答案：B二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填入答题卡中） 11．若幂函数y =()x f 的图象经过点（9,13）, 则f (25)的值是_______ 答案：1512．已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为答案：(2,1)(1,2)--13．函数()()1log 143++--=x x xx f 的定义域是答案：()]4,1(1,1 -14．关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π), (x ∈R )有下列命题：①y ＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；② y ＝f(x)可改写为y ＝4cos(2x －6π)；③y ＝f(x)的图象关于点(－6π，0)对称； ④ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝512π-对称；其中正确的序号为。

2023版苏教版(2019) 必修第一册名校名师卷学业水平合格性测试(高频考点版)

一、单选题二、多选题三、填空题1.用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（）A．B．C．D． 2. （）A ．0B ．2C．D．3.已知，满足，则的最小值为（）A．B ．4C．D．4. 若sin(－110°)＝a ，则tan70°等于（）A．B．C．D．5. 已知A，是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则下列说法错误的是（）A ．直线过焦点时，最小值为4B．直线过焦点且倾斜角为60°时（点A在第一象限），C．若中点的横坐标为3，则最大值为8D ．点A坐标，且直线，斜率之和为0，与抛物线的另一交点为，则直线方程为：6. 下列说法正确的是（）A ．平行四边形是一个平面B ．任何一个平面图形都是一个平面C ．平静的太平洋面就是一个平面D ．一个平面可以将空间分成两部分7. 已知直线：与圆：有两个不同的公共点，，则（）A ．直线过定点B ．当时，线段长的最小值为C ．半径的取值范围是D ．当时，有最小值为8. 已知双曲线：的一条渐近线过点，点F 为双曲线C 的右焦点，那么下列结论中正确的是（）A ．双曲线C的离心率为B ．双曲线C的一条渐近线方程为C ．若点F 到双曲线C 的渐近线的距离为，则双曲线C的方程为D ．设O 为坐标原点，若，则9. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为______.10.已知函数，若存在实数使得，则的取值范围是___________；若，则的最大值是___________.11.若在第二象限，则______；_______．2023版苏教版(2019) 必修第一册名校名师卷学业水平合格性测试(高频考点版)2023版苏教版(2019) 必修第一册名校名师卷学业水平合格性测试(高频考点版)四、解答题12.的值是________.13. 袋中有5个大小一致的小球，其中3个白球，2个红球，从袋中任意取出3球，求下列事件的概率：(1)取出的3球恰有2个是白球；(2)取出的3球至少有1个红球.14.已知奇函数的定义域为，当时，求的解析式．15. 函数的部分图像如图所示．(1)求的解析式；(2)已知函数求的值域．16. 近年来，中国航天事业取得巨大成就.为发扬并传承中国航天精神，某校组织“航天知识”擂台赛，每场擂台赛共5局，每局胜者1分，负者0分，先得3分者为获胜者.分出胜负，比赛立即结束，现有甲、乙两名参赛者进行比赛，设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，若第三局比赛结束分出胜负的概率为.(1)求；(2)设比赛结束时的比赛局数为，求的分布列和数学期望.。

高一数学(必修1)-学业-水平复习共42页文档

谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
高一数学(必修1)-学业-水平复习
11、用道德的示范来12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克

高一数学(必修1)-学业-水平复习共42页

高一数学(必修1)-学业-水平复习
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不穿。ห้องสมุดไป่ตู้名言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者的牢骚，这是羊群中的瘟疫，我不能被它传染。我要尽量避免绝望，辛勤耕耘，忍受苦楚。我一试再试，争取每天的成功，避免以失败收常在别人停滞不前时，我继续拼搏。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命就永远只能是死水一潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候，睁大眼睛，千万别眨眼!你会看到世界由清晰变模糊的全过程，心会在你泪水落下的那一刻变得清澈明晰。盐。注定要融化的，也许是用眼泪的方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了，也不要以为过去的光荣可以被永远肯定。
Thank you

学业水平考试2018学年高一数学必修1浙江专用教师文档

3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点目标定位 1.了解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的联系.2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.3.能利用函数的图象和性质判断函数零点的个数.自主预习1.函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.2.方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. 3.函数零点存在的判定方法如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.温馨提示判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)＜0不一定成立.即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点是一个点.()(2)若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在(a，b)内有唯一零点.()(3)函数y＝f(x)满足f(a)·f(b)>0，函数y＝f(x)也可能有零点.()提示(1)错.函数的零点是一个数，而不是一个点.(2)错.有零点但不一定唯一.(3)对.如：f(x)＝x2，x∈[－1，1]. 答案(1)×(2)×(3)√2.下列函数没有零点的是()A.f(x)＝0B.f(x)＝3C.f(x)＝x2－2D.f(x)＝x－1 x解析函数f(x)＝3不能满足f(x)＝0，因此没有零点；函数f(x)＝0有无数个零点；函数f(x)＝x2－2有两个零点，为±2；函数f(x)＝x－1x有两个零点，为±1.答案 B3.若4是函数f(x)＝ax2－2log2x的零点，则a的值等于()A.4B.－4C.－14 D.14解析由题意知f(4)＝0，即16a－2log24＝0，解得a＝1 4.答案 D4.函数f(x)＝x2－5x的零点是________.解析由f(x)＝x2－5x＝0，解得x＝0或x＝5，所以函数f(x)的零点为0或5.答案0或5类型一求函数的零点【例1】指出下列函数的零点：(1)f(x)＝x2－3x＋2的零点是________；(2)f(x)＝x4－1的零点是________；(3)若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则a＝________，b＝________. 解析(1)令f(x)＝0，即(x－1)(x－2)＝0，所以零点为1和2.(2)由x4－1＝0，得(x2＋1)(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝±1，所以函数f(x)＝x4－1的零点是1和－1.(3)由于函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，所以是2和3是方程x2－ax －b＝0的两个根，所以2＋3＝－(－a)，2×3＝－b，所以a＝5，b＝－6.答案(1)1和2(2)1和－1(3)5；－6规律方法求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.【训练1】 (1)函数f (x )＝2x －1的零点是________；(2)若f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点3，则函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是________. 解析 (1)由2x －1＝0，得x ＝0，故函数的零点为0.(2)因为f (x )＝ax －b 的零点是3，所以f (3)＝0，即3a －b ＝0，也就是b ＝3a . 所以g (x )＝bx 2＋3ax ＝bx 2＋bx ＝bx (x ＋1).所以方程g (x )＝0的两个根为－1和0，即函数g (x )的零点为－1和0.答案 (1)0 (2)－1和0类型二判断函数零点所在区间【例2】在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －1＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上. 答案 C规律方法 (1)判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象.(2)要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f (x )图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点.【训练2】方程lg x ＋x ＝0的根所在的区间可能是( )A.(－∞，0)B.(0.1，1)C.(1，2)D.(2，4)解析由于lg x 有意义，所以x >0，令f (x )＝lg x ＋x ，显然f (x )在定义域内为增函数，又f (0.1)＝－0.9<0，f (1)＝1>0，故f (x )在区间(0.1，1)内有零点.答案 B类型三函数零点个数的判断(互动探究)【例3】 (1)判断函数f (x )＝x 2＋x －b 2的零点的个数.(2)判断函数f (x )＝ln x ＋x 2－3的零点的个数.[思路探究]探究点一如何求二次函数的零点个数？提示二次函数的零点个数的判断可借助判别式. 探究点二如何求不可解函数的零点个数？提示对于不可解函数可转为图象交点的个数.解 (1)对于方程x 2＋x －b 2＝0，因为Δ＝12＋4b 2>0，所以方程有两个实数根，即函数f (x )有两个零点.(2)法一函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数.在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点.从而ln x ＋x 2－3＝0有一个根，即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点.法二由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，∴f (1)·f (2)＜0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1，2)上是不间断的，所以f (x )在(1，2)上必有零点，又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个.规律方法判断函数零点个数的四种常用方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.(2)画出函数y ＝f (x )的图象，判断它与x 轴的交点个数，从而判断零点的个数.(3)结合单调性，利用f (a )·f (b )＜0，可判定y ＝f (x )在(a ，b )上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.例如，函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )＝g (x )的实数根的个数，也就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象交点的个数.【迁移探究1】若例题第(1)题中，变为若函数f (x )＝ax 2－x －1有两个零点，求实数a 的取值范围.解 ∵f (x )＝ax 2－x －1有两个零点，则满足⎩⎨⎧a ≠0，Δ＝1＋4a >0，得a >－14且a ≠0，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞. 【迁移探究2】若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个负零点，求实数a 的取值范围.解当a ＝0时，由f (x )＝－x －1＝0，得x ＝－1.当a >0时，此函数图象开口向上，又f (0)＝－1<0，结合二次函数图象知成立.当a <0时，此函数图象开口向下，又f (0)＝－1<0，从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1＋4a ＝0，－－12a<0，解得a ＝－14. 综上可知，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫14∪[0，＋∞). [课堂小结]1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.2.方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标.3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.1.对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)＜0，则( )A.方程f (x )＝0一定有实数解B.方程f (x )＝0一定无实数解C.方程f (x )＝0一定有两实根D.方程f (x )＝0可能无实数解解析 ∵函数f (x )的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)＜0，但未必函数y ＝f (x )在(－1，3)上有实数解.答案 D2.函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A.(－2，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，2)解析 ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)·f (1)＜0，∴f (x )在(0，1)内有零点.答案 C3.若函数f (x )＝23x ＋1＋a 的零点为1，那么函数g (x )＝－2ax 2－2x ＋1的零点是________.解析由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.∴g (x )＝x 2－2x ＋1，令g (x )＝0得方程x 2－2x ＋1＝0的根为x ＝1，故g (x )的零点为1.答案 14.求函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数.解令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x . 设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点.基础过关1.函数f (x )＝lg x ＋1的零点是( )A.110B.10C.1010D.10解析由lg x ＋1＝0，得lg x ＝－1，所以x ＝110.答案 A2.下列图象表示的函数中没有零点的是( )解析由函数零点的意义可得：函数的零点是否存在表现在函数图象与x 轴有无交点.答案 A3.若函数f (x )满足在区间(1，2)内有唯一的零点，则( )A.f(1)·f(2)>0B.f(1)·f(2)＝0C.f(1)·f(2)<0D.不确定解析如图，A、B、C三选项都有可能，故选D.答案 D4.已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________. 解析∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0.答案05.函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a取值的范围是________.解析由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.答案(－∞，1)6.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3.解(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.7.若函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，试求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点. 解函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与方程的根的关系知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝5，b＝－6，所以g(x)＝－6x2－5x－1，易求得函数g(x)的零点为－12，－13.8.已知函数f(x)＝log a(1－x)＋log a(x＋3)(0<a<1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的零点.解 (1)要使函数有意义：则有⎩⎨⎧1－x >0，x ＋3>0，解之得：－3<x <1，所以函数的定义域为(－3，1).(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)，由f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1，即x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1±3.因为－1±3∈(－3，1)，故f (x )的零点是－1± 3.能力提升9.函数f (x )＝ln x ＋2x －3的零点所在的区间是( )A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)解析因为f (1)＝－1<0，f (2)＝1＋ln 2>0，所以f (1)·f (2)<0，且函数f (x )是(0，＋∞)上的连续函数，所以函数f (x )的零点所在区间是(1，2).答案 B10.若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A.(a ，b )和(b ，c )内B.(－∞，a )和(a ，b )内C.(b ，c )和(c ，＋∞)内D.(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析 ∵f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，∴f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )，∵a <b <c ，∴f (a )>0，f (b )<0，f (c )>0，∴f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内.答案 A11.设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析令f (x )＝ln x ＋x －4，且f (x )在(0，＋∞)上递增，∵f (2)＝ln 2＋2－4＜0，f (3)＝ln 3－1＞0.∴f (x )在(2，3)内有解，∴k ＝2. 答案 212.对于方程x 3＋x 2－2x －1＝0，有下列判断：①在(－2，－1)内有实数根；②在(－1，0)内有实数根；③在(1，2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根.其中正确的有________(填序号).解析设f (x )＝x 3＋x 2－2x －1，则f (－2)＝－1<0，f (－1)＝1>0，f (0)＝－1<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，则f (x )在(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)内均有零点，即①②③正确.答案 ①②③13.已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1，4].(1)画出函数y ＝f (x )的图象，并写出其值域；(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点？解 (1)依题意：f (x )＝(x －1)2－4，x ∈[－1，4]，其图象如图所示.由图可知，函数f (x )的值域为[－4，5].(2)∵函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点.∴方程f (x )＝－m 在x ∈[－1，4]上有两相异的实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点.由(1)所作图象可知，－4＜－m ≤0，∴0≤m ＜4.∴当0≤m ＜4时，函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点，故当0≤m ＜4时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1，4]上有两个零点.探究创新14.已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4，求下列条件下，实数a 的取值范围.(1)零点均大于1；(2)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内.解 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得⎩⎨⎧（－2a ）2－16≥0，f （1）＝5－2a >0，a >1.解得2≤a <52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(6，8)内，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得⎩⎨⎧f （0）＝4>0，f （1）＝5－2a <0，f （6）＝40－12a <0，f （8）＝68－16a >0，解得103<a <174. 3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型目标定位 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长的快慢.2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，及其三种函数模型增长速度的差异.3.会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题.自主预习1.三种函数模型的性质2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上.(2)在区间(0，＋∞)上随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢.(3)存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x .即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对数函数y ＝log a x (a >1)和幂函数y ＝x n (n >0)在区间(0，＋∞)上，总存在一个x 0，当x >x 0时，log a x <x n .( )(2)在函数y ＝3x ，y ＝log 3x ，y ＝3x ，y ＝x 3中增长速度最快的是y ＝3x .( )(3)对于任意的x >0，a x >log a x .( )提示 (1)对.根据图象可知结论正确.(2)对.在这几类函数中，指数函数的增长速度最快.(3)错.当0<a <1时，不一定成立.答案 (1)√ (2)√ (3)×2.函数y 1＝2x 与y 2＝x 2，当x ＞0时，图象的交点个数是( )A.0B.1C.2D.3解析当x ＝2，4时，y 1＝y 2，当x ＞4时，y 1＞y 2，当2＜x ＜4时，y 1＜y 2，当0＜x ＜2时，y 1＞y 2，故交点个数是2，选C.答案 C3.下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( )A.y ＝2xB.y ＝10 000xC.y ＝log 3xD.y ＝x 3解析由指数函数，对数函数，幂函数的增长差异来判断.答案 A4.某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年) 的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只.解析由已知第一年有100只，得a ＝100.将a ＝100，x ＝7代入y ＝a log 2(x ＋1)，得y ＝300.答案 300类型一几类函数模型的增长差异【例1】(1)当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A.y ＝10 000xB.y ＝log 2xC.y ＝x 1 000D.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x (2)四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：关于x 呈指数函数变化的变量是________.解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x 增长速度最快. (2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的.从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化.答案 (1)D (2)y 2规律方法在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x 0，当x ＞x 0，就有log a x ＜x n ＜a x .【训练1】下列函数中，随x 增大而增长速度最快的是( )A.2 014ln xB.y ＝x 2 014C.y ＝x 2 014D.y ＝2 014·2x解析由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝2014·2x 的增长速度最快.故选D.答案 D类型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例2】函数f (x )＝2x 和g (x )＝x 3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数.(2)结合函数图象，判断f (6)与g (6)，f (2 010)与g (2 010)的大小.解 (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x .(2)结合图象及运算可知f (1)＞g (1)，f (2)＜g (2)，f (9)＜g (9)，f (10)＞g (10)，∴1＜x1＜2，9＜x2＜10，而x1＜6＜x2，2 010＞x2，从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6).当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2 010)＞g(2 010).规律方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数.【训练2】函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图.(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较). 解(1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x，(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x).函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.类型三函数模型的选择问题【例3】某汽车制造商在2015年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2015年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将2012，2013，2014，2015定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数型函数模型g(x)＝a·b x ＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？解建立年产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30).(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点坐标代入，可得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数型函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎨⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫65x －42，故g (4)＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4. 由(1)(2)可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年产量y 与年份x 的关系. 规律方法解函数应用题的四个步骤第一步：阅读、理解题意，认真审题.读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化.第二步：引进数学符号，建立数学模型.一般地，设自变量为x ，函数为y ，并用x 表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.第三步：利用数学方法解答得到的常规数学问题(即数学模型)，求得结果. 第四步：再转译成具体问题作出解答.【训练3】某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本2元，铅笔每根0.5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本赠送一根铅笔；(2)按总价的92%付款，现要买软皮本4本，铅笔若干根(不少于4根)，若购买铅笔数为x 根，支付款数为y 元，试分别建立两种优惠办法中y 与x 之间的函数关系式，并说明使用哪种优惠办法更合算？解由优惠办法(1)得到y 与x 的函数关系式为：y ＝2×4＋0.5(x －4)＝0.5x ＋6(x ≥4，且x ∈N ).由优惠办法(2)得到y 与x 的函数关系式为：y ＝(0.5x ＋2×4)×92%＝0.46x ＋7.36(x ≥4，且x ∈N ).令0.5x ＋6＝0.46x ＋7.36，解得x ＝34，且当4≤x＜34时，0.5x＋6＜0.46x＋7.36，当x＞34时，0.5x＋6＞0.46x＋7.36，即当购买铅笔数少于34根(不少于4根)时，用优惠办法(1)合算；当购买铅笔数多于34根时，用优惠办法(2)合算；当购买铅笔数是34根时，两种优惠办法支付的总钱数是相同的，即一样合算.[课堂小结]三种函数模型的选取(1)指数型函数模型：能用指数型函数f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.(2)对数型函数模型：能用对数型函数f(x)＝m log a x ＋n(m，n，a为常数，m≠0，x＞0，a＞1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A.y＝100xB.y＝log100xC.y＝x100D.y＝100x解析由指数函数，对数函数，幂函数的增长差异来判断.答案 D2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象.答案 D3.已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·(0.5)x ＋b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品产量为________万件.解析由⎩⎨⎧1＝a ·（0.5）1＋b ，1.5＝a ·（0.5）2＋b ，得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2，所以3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75(万件).答案 1.754.一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半价优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行算集体票，按原价23优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.解设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N *)，旅游收费y ，旅游原价为a .甲旅行社收费：y ＝a ＋12(x ＋1)a ＝12(x ＋3)a ；乙旅行社收费：y ＝23(x ＋2)a .∵23(x ＋2)a －12(x ＋3)a ＝16(x －1)a ，∴当x ＝1时，两家旅行社收费相等.当x ＞1时甲旅行社更优惠.基础过关1.下列函数中，增长速度最慢的是( )A.y ＝6xB.y ＝log 6xC.y ＝x 6D.y ＝6x解析对数函数增长的越来越慢.答案 B2.当2＜x ＜4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( )A.2x ＞x 2＞log 2xB.x 2＞2x ＞log 2xC.2x ＞log 2x ＞x 2D.x 2＞log 2x ＞2x解析法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x ，在区间(2，4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2＞2x ＞log 2x . 法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x ＝3，经检验易知选B.答案 B3.据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2016年的湖水量为m ，从2016年起，经过x 年后湖水量y 与x 的函数关系为( )A.y ＝0.9x 50B.y ＝(1－0.1x 50)mC.y ＝0.9x 50mD.y ＝(1－0.150x )m解析设每年湖水量为上一年的q %，则(q %)50＝0.9，∴q %＝0.9150.∴x 年后的湖水量为y ＝0.9x 50m .答案 C4.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________.解析设解析式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎨⎧30＝k ×80＋b ，20＝k ×120＋b ，解得k ＝－14，b ＝50， ∴y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200).答案 y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)5.在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由电脑记录后显示的图象如图所示.现给出下列说法：①前5 min 温度增加的速度越来越快；②前 5min 温度增加的速度越来越慢；③5 min 以后温度保持匀速增加；④5 min 以后温度保持不变. 其中正确的说法是________.解析因为温度y 关于时间t 的图象是先凸后平，即前5 min 每当t 增加一个单位增量Δt 时，y 相应的增量Δy 越来越小，而5 min 后y 关于t 的增量保持为0，故②④正确.答案 ②④6.有一种树木栽植五年后可成材，在栽植后五年内，年增长20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐.乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次.请计算后回答：十年后哪一个方案可以得到较多的木材？(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)解设最初栽植量为a ，甲方案在10年后木材量为y 1＝a (1＋20%)5(1＋10%)5＝a (1.1×1.2)5乙方案在10年后木材量为y 2＝2a (1＋20%)5＝2a ×1.25∵y 1－y 2＝a (1.1×1.2)5－2a ×1.25<0.∴y 1<y 2，因此，十年后乙方案可以得到较多的木材.7.某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元.为了促销，现拟定买一个这种商品赠送一个小礼品的方案.实践表明：礼品的价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品的价值为(n ＋1)元时的销售量比礼品的价值为n 元(n ∈N *)时的销售量增加10%.请确定礼品的价值，使商店利润最大.解设未赠礼品时销售量为m 件，礼品价值为n 元(且n 小于20，因为若n 大于或等于20，那么该商品就不会赚钱)时利润为y n 元，则当礼品价值为n 元时，销售量为m (1＋10%)n ，故利润y n ＝(100－80－n )·m (1＋10%)n ＝m (20－n )·1.1n (0＜n＜20，n ∈N *).设当礼品价值为(n ＋1)元时商店利润最大，则必有⎩⎨⎧y n ＋1≥y n ，y n ＋1≥y n ＋2，即⎩⎨⎧m （19－n ）·1.1n ＋1≥m （20－n ）·1.1n ，m （19－n ）·1.1n ＋1≥m （18－n ）·1.1n ＋2，且0＜n ＜20，n ∈N *，解得8≤n ≤9，即n ＝8或9.故当礼品价值为9元或10元时，获利最大.8.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，记鲑鱼的游速为V (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现V 与log 3Q 100成正比，且当Q ＝900时，V ＝1.(1)求出V 关于Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数.解 (1)设V ＝k ·log 3Q 100，∵当Q ＝900时，V ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴V 关于Q 的函数解析式为V ＝12log 3Q 100.(2)令V ＝1.5，则1.5＝12log 3Q 100，∴Q ＝2 700，所以，一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2 700个单位.能力提升9.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 万公顷关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A.y ＝0.2xB.y ＝110(x 2＋2x )C.y ＝2x 10D.y ＝0.2＋log 16x解析将题中所给三个数据代入解析式知，函数y ＝2x 10较为接近.答案 C10.如图，△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线在右方的图形面积为y ，点A到直线l 的距离为x ，则y ＝f (x )的图象大致为四个选项中的( )解析设AB ＝a ，则y ＝12a 2－12x 2＝－12x 2＋12a 2，其图象为二次函数图象的一段，开口向下，顶点在y 轴上方，故选C.答案 C11.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg 、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v ＝2 000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.解析由题意2 000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12 000.∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝6，从而M m ＝e 6－1. 答案 e 6－112.某化工厂2014年12月的产量是2014年1月份产量的n 倍，则该化工厂这一年的月平均增长率是________.解析设月平均增长率为x，第一个月的产量为a，则有a(1＋x)11＝na，所以1＋x＝11n，所以x＝11n－1.答案11n－113.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品就有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.方案一工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案二工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)工厂每月生产6 000件产品时，又应如何选择呢？解设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000，y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000，∵y1＜y2，∴应选择方案二处理污水.(2)当x＝6 000时，y1＝114 000，y2＝108 000，∵y1＞y2，∴应选择方案一处理污水.探究创新14.某地区为响应上级号召，在2015年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域.(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？解(1)经过1年后，廉价住房面积为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后为200(1＋5%)2；…经过x年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x，所以y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N*).(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0，x∈N*)的图象，如图所示.作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值.因为8<x0<9，则取x0＝9，即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米.3.2.2函数模型的应用实例目标定位 1.能利用给定的函数模型解决实际问题；能选择适当的函数模型进行拟合，实现问题的解决.2.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型在社会生活中的广泛应用.3.初步掌握建立函数模型解决问题的过程和方法.自主预习1.函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测.温馨提示：利用函数模型解决实际应用题时，要抓住关键：选择和建立恰当的函数模型.2.应用函数模型解决问题的基本过程用函数模型解应用题的四个步骤(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；(4)还原——将数学结论还原为实际问题.温馨提示：用得到的函数进行拟合时，可能误差较大或不切合客观实际，因此要对所得函数模型进行检验，切记盲目下结论.即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的.()(2)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好.()(3)根据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模拟效果较好.()提示(1)错.对于一个实际问题，可以选择不同的函数模型，只是模拟效果有区别.(2)对.数据越多，模拟效果越好.(3)对.根据散点图选择函数模型，针对性较强，得到的函数模型效果较好.答案(1)×(2)√(3)√2.某产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数关系式为y＝10(x－2)2＋5，则当产量为3时，利润y等于()A.10B.15C.20D.25解析当x＝3时，代入解析式y＝10(x－2)2＋5得y＝15.答案 B3.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()。

高一数学(必修1) 学业水平复习

判断下列函数的奇偶性
(1) y x 2 ( 2 x 3) (2) y ( x 1) 1 x (3) y lg 1 x (4) y ln( (5) y x
2
1 x 1 x
x 2 1 x) 1 1 x
2
定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函数也不是偶函数。
∵ x1 , x2 (0,) x1 x2
2
2
1
O 1
x1 x2 ( x1 x2 )(x1 x2 )
2
2
x
x1 x2 x1 x2 0 f ( x1 ) f ( x2 )
0 f (x ) f (x ) 0 1 2
∴函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数.
是任何非空集合的真子集
三、集合的并集、交集、全集、补集
1 A U B {x | x A x B}
∩B {x | x A且x B} 2、A
A B
3、CU A {x | x U且x A}
全集：某集合含有我们所研究的各个集合的全
部元素，用U表示
题型示例
考查集合的含义
若f(x)=3, 则x的值是( D ) 3 B. 1或 2 A. 1 3 C. 1, 3 , 2 D. 3
4.映射的概念
设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对应,那么就称对应f:A→B 为集合A到集合B的一个映射
2
函数奇偶性的定义：
如果对于函数f（x）的定义域内任意的一个x，都有：（1）f（－x）= － f（x），则称 y =f（x）为奇函数（2）f（－x）= f（x），则称 y =f（x）为偶函数