广二模理数答案
广东省深圳市2020届高三年级第二次调研考试数学(理科)试题含答案
2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1．设21(1)iz i +=-则|z|=（ ）A ．12B C ．1D2．已知集合{}{}023,22<+-===x x x B y y A x ，则（ ） A ．A∩B=AB ．A ∪B=RC ．A ⊆BD ．B ⊆A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C D ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12 B ．2 C.18D ．8 6.若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为 A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a+3，2bD ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S = A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()14sin 2xxx f x -=的部分图象大致为9已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|,则C 的方程为A ．221123x y += B.22183x y += C ．22163x y += D.22143x y += 10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u rA ．24B ．26C ．28D ．3211．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即()21,n n n a a a n +++=+∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.n n n a ⎡⎤=-⎥⎦(设n是不等式(1211x x x ->+的正整数解，则n 的最小值为A ．10B ．9C ．8D ．712．已知直线y ω=与函数()()()sin 01x f x ϕωω=+<<的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足()*.N AC nBC n =∈u u u r u u u r 有下列结论：①n 的值可能为2②当n=3，且|φ|<π时，f(x)的图象可能关于直线x=-φ对称③当φ=6π时，有且仅有一个实数ω，使得(),11f x ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦在上单调递增; ④不等式n ω>1恒成立 其中所有正确结论的编号为 A ．③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y=xlnx 在点(1,0)处的切线方程为 ▲14.若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 ▲15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 ▲ 种分配方案16．已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF 体积的最大值为 ▲ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
广东省广州高三第二次模拟考试数学试卷(理科)有答案
广东省广州市高山文化培训学校高三第二次模拟考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则集合＝（）A． B． C． D．2．圆与直线没有公共点的充要条件是（）A． B．C． D．3．复数的虚部是（）A． B． C． D．4．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线斜率的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．5．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A． B． C． D．6．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（）A． B． C． D．7．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．8．设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有x之和为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．注意：答案不完整不给分)9．设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4；（1，2，3，4）.则 .10、函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为11、已知函数图像上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数的取值范围是；12．已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________．13．(坐标系与参数方程选做题)点是椭圆上的一个动点，则的最大值为** ．14．(不等式选讲选做题)在三角形中，所对的边长分别为，其外接圆的半径，则的最小值为*** 。
15.(几何证明选讲选做题)如右图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于P，连结AD，BD。
已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长为*** ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）已知向量，，（1）若⊥, 且－＜＜．求；（2）求函数的单调增区间和函数图像的对称轴方程．17．（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4频数20 50 30（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望．18.（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面底面，且为等腰直角三角形，，为的中点．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求二面角的正切值．19．(本小题满分14分)已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。
广东二模 高三数学考试(理科)-含答案
广东二模 高三数学考试（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合2{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥，则A B =（ ）A ．(1,2]B ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(1,)+∞2．已知复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知72sin cos ,2sin cos 55αααα+=--=-，则cos2α=（ ） A ．725B ．725-C ．1625D ．1625-4．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．的是（ ）A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若,4,24ABC C a S π===△，则232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- （ ）AB ．C ．D ．6．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -⋅+=，则向量,a b 的夹角θ为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos 2y x x =-的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度8．已知抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ，抛物线22:(42)C y p x =+的焦点为2F ，点01(,)2P x 在1C 上，且134PF =，则直线12F F 的斜率为（ ） A ．12-B ．14-C ．13-D ．15-9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．6,AC BD == ）A ．29B ．13C ．49D ．2310．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（ ） ABCD．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，则12S S =（ ）A ．4B ．8C． D．12．已知函数()ln (0,1)x xf x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式21()()2f x f x a --≤恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[,)ee +∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2[,]ee e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x -的项的系数是 ．14．已知实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 则目标函数3z x y =-的最大值为 ．15．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-= ．16．在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，若四面体A BCD -的外接球的体积V =，则CD = ． CABDMN O三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（12分）某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C 类（参加课外（1）求出表中x ，y （2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和C 类人数差的绝对值，求X的数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．（12分）如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：//PQ 平面ABCD ；（2）若,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小．ABCDEF PQ20．（12分）已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．21．（12分）设函数()(1)1xxf x xe a e =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在零点，证明：2a >． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，若射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->． （1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．高三数学考试（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合2{|321},{|320}A x x B x x x =-<=-≥，则A B =（ ）A ．(1,2]B ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(1,)+∞1．答案：C解析：因为3{|1},02A x x B x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭≤≤，所以312AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭≤．2．已知复数z 满足(3)(1i)64i z +-=-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数所对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．答案：D 解析：因为64i32i 1iz -=-=+-，所以2i z =-． 3．已知72sin cos ,2sin cos 55αααα+=--=-，则cos2α=（ ）A ．725B ．725-C ．1625D ．1625-3．答案：A解析：因为7sin cos 522sin cos 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，所以3sin 5α=-，从而27cos 212sin 25αα=-=．4．如图1为某省2018年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．的是（ ）A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．答案：D解析：选项A ，B 显然正确；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误．5．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若,4,24ABC C a S π===△，则232sin 3sin sin a c bA C B+-=+- （ ）A B ．C ．D ．5．答案：B解析：11,4,sin 424222ABC C a S ab C b π====⨯⨯⨯=△，得b =，又根据余弦定理得：2222cos 10c a b ab C =+-=，即c =，所以2322sin 3sin sin sin a c b cR A C B C+-===+-6．已知平面向量,a b 满足2,1a b ==，且()()432a b a b -⋅+=，则向量,a b 的夹角θ为（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π 6．答案：D解析：因为()()224343112,2,1a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅===，所以1a b ⋅=-， 由cos 2cos 1a b a b θθ⋅=⋅==-，得1cos 2θ=-，所以23πθ=．7．为了得到2cos 2y x =-的图象，只需把函数2cos 2y x x =-的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度7．答案：D解析：因为2cos 22cos 22cos 236y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到函数2cos 2y x =-，只需将2cos 2y x x =-的图象向右平移6π个单位长度即可． 8．已知抛物线21:2(0)C x py y =>的焦点为1F ，抛物线22:(42)C y p x =+的焦点为2F ，点01(,)2P x 在1C 上，且134PF =，则直线12F F 的斜率为（ ） A ．12-B ．14-C ．13-D ．15-8．答案：B解析：因为134PF =，所以13224p +=，解得22121211.:,:4,(0,),(1,0)24p C x y C y x F F ===，所以直线12F F 的斜率为114014=--．9．如图，B 是AC 上一点，分别以,,AB BC AC 为直径作半圆．从B 作BD AC ⊥，与半圆相交于D ．6,AC BD == ）A ．29B ．13C ．49D ．239．答案：C解析：连接,AD CD ，可知ACD △是直角三角形，又BD AC ⊥，所以2BD AB BC =⋅，设(06)AB x x =<<，则有8(6)x x =-，得2x =，所以2,4AB BC ==，由此可得图中阴影部分的面积等于2223122222ππππ⎛⎫⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，故概率241992P ππ==⨯． 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱与最短的棱所在直线所成角的正切值为（ ） ABCD．10．答案：C解析：如图，可知最长的棱为长方体的体对角线AC =最短的棱为1BD =，异面直线AC 与BD 所成的角为ACE ∠，由三视图中的线段长度可得，1,AB BD CE CD AE =====tan ACE ∠=．ABCD E11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，则12S S =（ ） A ．4 B ．8C．D．11．答案：A 解析：由2ce a==，得2,c a b ==，故线段MN所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN上，可设()P m +，其中[,0]m a ∈-，由于12(,0),(,0)F c F c -，即12(2,0),(2,0)F a F a -，得12(2,33),(2,)PF a m m a PF a m =----=-，所以221246PF PF m ma a ⋅=+-223134()44m a a =+-．由于[,0]m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅取得最小值，此时4P y a =，当0m =时，12PFPF ⋅取得最大值，此时P y ，则214S S ==． 12．已知函数()ln (0,1)x xf x a e x a a a =+->≠，对任意12,[0,1]x x ∈，不等式21()()2f x f x a --≤恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．21,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[,)ee +∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2[,]ee e12．答案：B解析：因为()ln x x f x a e x a =+-，所以()ln ln (1)ln x x x xf x a a e a a a e '=+-=-+．当1a >时，对任意的[0,1]x ∈，10,ln 0x a a ->≥，恒有()0f x '>；当01a <<时，10,ln 0xa a -<≤，恒有()0f x '>，所以()f x 在[0,1]x ∈是单调递增的．那么对任意的12,[0,1]x x ∈，不等式21()()f x f x -2a -≤恒成立，只要max min ()()2f x f x a --≤，max ()(1)ln f x f a e a ==+-，min ()(0)112f x f ==+=，所以2ln 2a a e a -+--≥，即ln ,e a e a e ≥≥．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x -的项的系数是 ．13．答案：32 解析：44214422rr rr r rr T C xC x x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令422r -=-，得3r =，所以含2x -的项的系数为334232C ⋅= 14．已知实数,x y 满足12,3321,14,2y x y x y x ⎧-+⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩≥≤≤ 则目标函数3z x y =-的最大值为 ．14．答案：4-解析：作可行域如图所示，由图可知，当3z x y =- 过点(1,1)B -时，z 取得最大值4-．15．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且(0)0g =，当0x ≥时，()()f x g x -=222x x x b +++（b 为常数），则(1)(1)f g -+-= ．15．答案：4-解析：由()f x 为定义在R 上的奇函数可知(0)0f =，所以0(0)(0)20f g b -=+=，得1b =-，所以(1)(1)4f g -=，于是(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]4f g f g f g -+-=-+=--=-．16．在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，若四面体A BCD -的外接球的体积V =，则CD = ． 16．答案：解析：设CD 的中点为M ，AB 的中点为N ，则四面体A BCD -的外接球球心O 在线段MN 上，设四面体A BCD -的外接球半径为r，由3433V r π==，得r =2CD x =，在Rt OAN △中，1ON ==，在Rt ADN △中，DN =，在Rt DMN △中，MN ==1OM MN ON =-=，在Rt ODM △中，222OM OD DM =-，由221)2x =-，解得x =CD =CABDMN O三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 17．解析：（1）由11S =，得11a =．……………………………………………………………………1分 又对任意正整数n ，111n n n S n S S n +++=-+都成立，即11(1)(1)(1)n n n S n n n S n S ++++=+-+，所以1(1)(1)n n nS n S n n +-+=+，所以111n nS S n n+-=+，………………………………………………3分 即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差，1为首项的等差数列．……………………………………………………4分 所以nS n n=，即2n S n =，得121(2)n n n a S S n n -=-=-≥，………………………………………5分 又由11a =，所以21()n a n n N *=-∈．…………………………………………………………………6分解法2：由1111n n n n S n S S a n ++++=-=+，可得11(1)(1)n n S n n n a ++++=+， 当2n ≥时，(1)n n S n n na +-=，两式相减，得112(1)n n n a n n a na +++=+-，整理得12n n a a +-=， 在111n n S n a n +++=+中，令2n =，得2212Sa +=，即22122a a ++=，解得23a =，212a a ∴-=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n ∴=+-=-．（2）由（1）可得2122n n n n a n b -==，……………………………………………………………………7分 所以231135232122222n n nn n T ---=+++++， ①……………………………………………………8分则234111352321222222n n n n n T +--=+++++， ②……………………………………………………9分 -①②，得2341112222212222222n n n n T +-=+++++-，……………………………………………10分整理得1113221323222222n n n n n n T ++-+=--=-，…………………………………………………………11分所以2332n nn T +=-．……………………………………………………………………………………12分18．（12分）某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C 类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：（1）求出表中x ，y （2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X 为抽取的这3名女生中A 类人数和C 类人数差的绝对值，求X 的数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．解析：（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为12,n n ，则122012001220002080082000n n ⨯⎧==⎪⎪⎨⨯⎪==⎪⎩,……1分所以12534x =--=，………………………………………………………………………………2分8332y =--=．………………………………………………………………………………………3分（2）列联表如下：5分2K 的观测值220(4628)100.159 2.70612814663k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．……………………………………………7分（3）X 的可能取值为0，1，2，3，则311132333819(0)56C C C C P X C +===，……………………………………………………………………8分 3121122133322323383(1)7C C C C C C C C P X C +++===，………………………………………………………9分 21212333383(2)14C C C C P X C +===，………………………………………………………………………10分 33381(3)56C P X C ===，……………………………………………………………………………………11分所以193131510123567145656EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………………………………………12分 19．（12分）如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．（1）证明：//PQ 平面ABCD ；（2）若,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小．ABCDEF PQ19．（1）证明：因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ，又因为AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ，所以//BC 平面ADF ，……………………………………………………………………………………2分 又因为BC ⊂平面BCPQ ，平面BCPQ平面ADF PQ =，所以//BC PQ ，…………………………4分又因为PQ ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//PQ 平面ABCD ．…………………………6分 （2）解：,,CD BE CD CB BE CB B ⊥⊥=，CD ∴⊥平面BCE ，又因为CE ⊂平面BCE ，所以CD CE ⊥；因为,,BC CD BC FD CD FD D ⊥⊥=，所以BC ⊥平面CDFE ，所以BC CE ⊥，以C为坐标原点，,,CD CB CE 所在方向为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，设1EF CE ==，则(2,,0),(2,0,0),(1,0,1)A t D F ，所以(0,,0),(1,,1)AD t AF t =-=--…………7分设平面ADF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0n AD ty n AF x ty z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1x =，得(1,0,1)n =…9分易知平面BCE 的一个法向量为(1,0,0)m =，…………………………………………………………10分 设平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则2cos 2n m n mθ⋅==⋅，……………………………11分 所以4πθ=，故平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角为4π．20．（12分）已知F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．20．解：（1）因为点(2,3)P 在C 上，且PF x ⊥轴，所以2c =………………………………………1分由22224914a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，得221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，…………………………………………………………………………4分 故椭圆C 的方程为2211612x y +=．…………………………………………………………………………5分 （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的的方程为(2)y k x =-，令8x =，得M 的坐标为(8,6)k ．……………………………………………………………………6分由2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(43)1616(3)0k x k x k +-+-=．…………………………………………7分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221212221616(3),4343k k x x x x k k -+==++．①…………………………8分 设直线,,PA PM PB 的斜率分别为123,,k k k ， 从而121231233631,,22822y y k k k k k x x ---====----．……………………………………………………9分因为直线AB 的方程为(2)y k x =-，所以1122(2),(2)y k x y k x =-=-， 所以12121212121233113222122y y y y k k x x x x x x ⎛⎫--+=+=+-+ ⎪------⎝⎭1212124232()4x x k x x x x +-=-⨯-++． ②……………………………………………………………………10分把①代入②，得2212222216443232116(3)3244343k k k k k k k kk k -++=-⨯=---+++．………………………………11分 又312k k =-，所以1232k k k +=，故直线,,PA PM PB 的斜率成等差数列．…………………………12分21．（12分）设函数()(1)1xxf x xe a e =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在零点，证明：2a >．21．（1）解：函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，…………………………………………………………1分 因为()(1)1xxf x xe a e =+-+，所以()(1)xf x x a e '=+-．…………………………………………2分 所以当1x a >-时，()0f x '>，()f x 在(1,)a -+∞上是增函数；当1x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,1)a -∞-上是减函数．……………………………………4分 所以()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数．…………………………………5分 （2）证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，即1(1)11111x x x x x xe x e x x a x e e e +-+-+===+---有解．………………………………………………6分 令1()1x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+=--．…………………………………………7分 设函数()2,()10xxh x e x h x e '=--=->，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增．又2(1)30,(2)20h e h e =-<=->，所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点．………………………8分 故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点．设此零点为k ，则(1,2)k ∈．………………………………9分当(0,)x k ∈时，()0g x '<；当(,)x k ∈+∞时，()0g x '>．所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g k ．………………………………………………………………10分 又由()0g k '=，可得2ke k =+，所以1()1(2,3)1kk g k k k e +=+=+∈-，…………………………11分 因为()a g x =在(0,)+∞上有解，所以()2a g k >≥，即2a >．………………………………12分 解法2：（2）证明：由题意可得，当0x >时，()0f x =有解，由（1）可知()f x 在(1,)a -+∞上是增函数，在(,1)a -∞-上是减函数，且(0)1f =．①当10a -<，即1a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()(1)1f x f >=，不符合题意； ②当10a ->，即1a >时，()f x 在(0,1)a -上单调递减，在(1,)a -+∞上单调递增，所以当1x a =-时，()f x 取得最小值(1)f a -，由题意可知111(1)(1)(1)110≤a a a f a a e a e a e ----=-+-+=-+，设1()1(1)x g x x ex -=-+>，则1()10x g x e -'=-<，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，又(2)30g e =->，而()≤0g a ，所以2a >．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 55sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．M 是曲线1C 上的动点，将线段OM 绕O 点顺时针旋转90︒得到线段ON ，设点N 的轨迹为曲线2C ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，若射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（除极点外），且有定点(4,0)T ，求TAB △的面积．22．解：（1）由题设，得1C 的直角坐标方程为22(5)25x y +-=，即22100x y y +-=，…………2分 故1C 的极坐标方程为210sin 0ρρθ-=，即10sin ρθ=．………………………………………………3分 设点(,)(0)N ρθρ≠，则由已知得,2M πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，代入1C 的极坐标方程得10sin()2πρθ=+，即10cos (0)ρθρ=≠．……………………………………………………………………………………5分（2）将3πθ=代入12,C C的极坐标方程得,5,33A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………7分 又因为(4,0)T ，所以1sin 1523TOA S OA OT π=⋅=△，………………………………………………8分1sin 23TOB S OB OT π=⋅=△，……………………………………………………………………9分所以15TAB TOA TOB S S S =-=-△△△10分 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数()22(0)f x x m x m m =+-->． （1）当12m =时，求不等式1()2f x ≥的解集； （2）对于任意的实数x ，存在实数t ，使得不等式()34f x t t +-<+成立，求实数m 的取值范围．23．解：因为0m >，所以3,()223,3,x m x mf x x m x m x m m x m x m x m --⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+⎩≤≥．……………………1分（1）当12m =时，31,22111()3,,22231,22x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+⎪⎩≤≥ …………………………………………………………2分所以由1()2f x ≥，可得31,2212x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≥≤或113,221122x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩≥ 或312212x x ⎧-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≥ ，…………………………3分解得1132x <≤或112x ≤≤，………………………………………………………………………………4分 故原不等式的解集为113xx ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≤．………………………………………………………………………5分 （2）因为()34()43f x t t f x t t +-<+⇔+--≤，令()43g t t t =+--，则由题设可得max max ()()≤f x g t ．…………………………………………6分由3,()3,3,x m x m f x x m m x m x m x m --⎧⎪=--<<⎨⎪-+⎩≤≥，得max ()()2f x f m m ==．……………………………………7分因为43(4)(3)7t t t t +--+--=≤，所以7()7g t -≤≤．……………………………………8分 故max ()7g t =，从而27m <，即72m <，………………………………………………………………9分 又已知0m >，故实数m 的取值范围是70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．…………………………………………………………10分。
2021年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2021年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）2021年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|��1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（） A．M?N B．N?M C．M∩N={0} D．M∪N=N 2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A． B．1 C． D．2）的值是（）3．已知cos（A．B．��θ）=，则sin（C．�� D．��4．已知随机变量x服从正态分布N（3，?2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.165．不等式组b）的解集记为D，若（a，∈D，则z=2a��3b的最小值是（）A．��4 B．��1 C．1 6．使（x2+A．3B．4D．4）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（） C．5D．6）的图象的一个对称中心为（，0），则函7．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ��C．[kπ��，2kπ+，kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）]（k∈Z） D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（） A．π B．π C．π D．π，则下列命题9．已知命题p：?x∈N*，（）x≥（）x，命题q：?x∈N*，2x+21��x=2中为真命题的是（） A．p∧q B．C．p∧（�Vq） D．（�Vp）∧q （�Vp）∧（�Vq）10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）第1页（共21页）A．4+6π B．8+6π C．4+12π D．8+12π11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2��y2=λ（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|?|MN|的值为（） A．B．C．λD．无法确定12．设函数f（x）的定义域为R，f（��x）=f（x），f（x）=f（2��x），当x∈[0，1]时，f （x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|��f（x）在区间[��，]上的所有零点的和为（）A．7B．6C．3D．2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为______． 14．已知平面向量与的夹角为， =（1，），|��2|=2．则||=______．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为______．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2��cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为______．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=3，an+1=2Sn+3（n∈N）（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（2n��1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：2 3 4 5 6 7 学生序号i 1 数学成绩 60 65 70 75 85 87 90 xi 物理成绩 70 77 80 85 90 86 93 yi （i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；第2页（共21页）（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．76 83 812 526 19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=��1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．21．已知函数f（x）=e��x��ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=��1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（��x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F．（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．第3页（共21页）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极=．点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x��2|��a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f （x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．第4页（共21页）2021年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|��1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（） A．M?N B．N?M C．M∩N={0} D．M∪N=N 【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|x2＜2，x∈Z}={��1，0，1}，从而解得．【解答】解：N={x|x2＜2，x∈Z}={��1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A． B．1 C． D．2【考点】复数求模．【分析】先根据复数的运算法则化简，再根据计算复数的模即可．【解答】解：z=∴|z|=1，故选：B．3．已知cos（A．B．��θ）=，则sin（C．�� D．��）的值是（）===，【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知及诱导公式即可计算求值．【解答】解：cos（��θ）=sin[��（��θ）]=sin（）=，故选：A．4．已知随机变量x服从正态分布N（3，?2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据对称性，由P（x≤4）=0.84的概率可求出P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，即可求出P（2＜x＜4）．【解答】解：∵P（x≤4）=0.84，第5页（共21页）感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2020届广东省广州市高三二模数学(理)试题(解析版)
当0＜x＜m时， ＜0，f（x）单调递减；当x＞m时， ＞0，f（x）单调递增，
可得x＝m处f（x）取得极小值，且为最小值e2m﹣alnm，
由题意可得e2m﹣alnm a，即 alnm a，
化为m+2mlnm≤1，设g（m）＝m+2mlnm， ＝1+2（1+lnm），
所以面NEMF∥平面BCC1B1，而EF 面MN，
所以EF∥平面BCC1B1，
所以要使EF∥平面BCC1B1，则动点F的轨迹为线段FN．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查线线平行，线面平行，面面平行的转化，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.
7．函数 的图象大致是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：如图,
在正四棱锥P﹣ABCD中,由底面边长为2,侧棱长为 ,
可得△PAC为正三角形,取PC的中点G,得AG⊥PC,且AG .
设过AG与PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,连接EF,
则EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE＝GF,PE＝PF,
在△PAE与△PAF中,由PA＝PA,PE＝PF,∠APE＝∠APF,得AE＝AF.
则A∩B＝{x|0≤x≤1}＝[0，1].
故选：B.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，考查函数定义域的求法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．已知复数 ，若 是纯虚数，则b＝（）
A．﹣2B． C． D．1
【答案】A
【解析】根据复数的除法法则把 化成复数的一般形式，然后由实部为零，虚部不等于零计算即可．
2022年广西高考理科数学二模试卷及答案解析
2022年广西高考理科数学二模试卷一、选择题：本大题共I2小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{x ||x |＜2}，集合B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣1，0，1，2}2．（5分）若复数z 满足（1﹣i ）z ＝3+i （其中i 为虚数单位），则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．√53．（5分）已知a ＝（12）3，b ＝0.3﹣2，c ＝log 122，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c4．（5分）已知a →，b →均为单位向量，若|a →−2b →|=√3，则a →与b →的夹角是（ ） A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π35．（5分）若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝﹣1，a 4＝b 4＝8，a 2b 2=（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．46．（5分）已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆x 2+y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为（ ） A ．3√2B ．±3√2C ．±2D ．±√27．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期在8月C ．2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 8．（5分）（1﹣ax ）（1+x ）6的展开式中，x ³项的系数为﹣10，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．﹣2D ．−239．（5分）函数f(x)=12x 2−xsinx 的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A ．√2021B ．√2019C ．2√505D ．2√505−111．（5分）如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF ＝∠BCE ＝90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD ∥BC ，且AB ＝DE ＝2BC ＝2AF （如图1），将四边形ADEF 沿AD 折起，连结BE 、BF 、CE （如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（ ）①AC ∥平面BEF ；②B 、C 、E 、F 四点可能共面；③若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直． A ．0B ．1C ．2D ．312．（5分）已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2−y 2b2=1（b ＞0）的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP |，tan ∠PF 2F 1≥3，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．（1，√102] B ．[√102，+∞） C ．（1，√102） D ．（√102，2] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年中考数学第二次模拟考试+解析(广东广州卷)
2024年中考第二次模拟考试（广州卷）数学·全解全析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．若一个数与它的相反数在数轴上对应的点之间的距离为4，则这个数是（）A．-2B．0C．±2D．±4【答案】C【分析】根据相反数的性质，结合数轴确定出所求即可．【详解】解：若一个数与它的相反数在数轴上对应点之间的距离为4，则这个数是±2，故选：C．【点睛】此题考查了数轴，以及相反数，熟练掌握相反数的性质是解本题的关键．2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行解答即可．2【详解】解：根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体， 根据俯视图是两个矩形可判断出该几何体为．故选：D ．【点睛】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．3．如图，ABC 内接于⊙O ，30A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．75°D ．120°【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，直接利用圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵弧BC 对的圆心角是BOC ∠，对的圆周角是A ∠，∴12A BOC ∠=∠，∴223060BOC A ∠=∠=⨯︒=︒． 故选：B ．4．下列运算结果正确的是( ) A ．347a a a += B ．3332a a a ⋅= C ．339236a a a ⋅=D ．()362-a a =−【答案】D【分析】依次根据合并同类项，同底数幂的乘法（m n mna a a ⋅= ），单项式乘单项式，幂的乘方公式（()m n mna a =）对各选项判断即可．【详解】A ．3a 与4a 不是同类项不能合并，故该选项错误；B ．33336a a a a +⋅==，故该选项错误；C ．633236a a a ⋅=，故该选项错误；D ．()362-a a =−，故该选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查合并同类项、幂的相关计算和单项式乘单项式．解题的关键是掌握幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及单项式乘单项式的运算法则． 5．一个不等式组12322x x x x−⎧<⎪⎨⎪−≥⎩，那么它的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先求出每个不等式的解集，后把解集表示到数轴上即可． 【详解】解：12322 x x x x −⎧<⎪⎨⎪−≥⎩①②，解不等式①，得：1x >−， 解不等式②，得：2x ≥， ∴该不等式组的解集为2x ≥， 其解集在数轴上表示如下：故选：B ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，解集的数轴表示，熟练求得不等式组的解集是解题的关键．6．如果当0x >时，反比例函数(0)ky k x=≠的函数值随x 的增大而增大，那么一次函数123y kx k =−的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限4【答案】B【分析】本题考查了一次函数的图象性质：y kx b =+与y 轴交于()0,b ，当0b >时，()0,b 在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当0b <时，()0,b 在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．①0,0k b y kx b >>⇔=+的图象在一、二、三象限；②0,0k b y kx b ><⇔=+的图象在一、三、四象限；③0,0k b y kx b <>⇔=+的图象在一、二、四象限；④0,0k b y kx b <<⇔=+的图象在二、三、四象限．反比例函数的图象性质，反比例函数(0)ky k x =≠的图象是双曲线，当0k >，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当0k <，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．由反比例函数的性质可判断k 的符号，再根据一次函数的性质即可判断一次函数的图象经过的象限． 【详解】解：由题意得：0k <， 103k ∴<，20k −>，∴一次函数123y kx k=−的图象经过第一、二、四象限，故选：B ．7．某班进行演讲比赛，其中6人的成绩如下：9.4，9.0，9.6，9.6，9.3，9.5（单位：分），则下列说法不正确的是（ ） A ．这组数据的众数是9.6分 B ．这组数据的方差是13300C ．这组数据的平均数是9.4分D ．这组数据的中位数是9.5分【答案】D【分析】根据平均数、众数、中位数和方差的定义分别计算即可． 【详解】解：这组数据从大到小排列为9.6，9.6，9.5，9.4，9.3，9.0，9.6分出现次数最多，则这组数据的众数是9.6分，故A 选项正确，不符合题意；处于中间的两个数是9.5，9.4，则这组数据的中位数是9.45分，故D 选项错误，符合题意；这组数据的平均数为9.629.59.49.399.46⨯++++=，故C 选项正确，不符合题意； 方差为()()()()()22222129.69.49.59.49.49.49.39.49.09.46⎡⎤⨯⨯−+−+−+−+−⎣⎦ 13300=，故B 选项正确，不符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数和方差的定义． 8．如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC 为9m ，则这两棵树之间的坡面AB 的长为（ ）A ．18mB ．C ．D ．【答案】C【分析】AB 是Rt ABC △的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB 的长．【详解】解：如图，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，9AC =m ， ∴AB=2BC ，∴222AC BC AB +=，即22294BC BC +=，解得：BC =，∴AB =， 故选：C ．【点睛】本题考查了坡度坡角问题，直角三角形的性质，勾股定理．应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．9．课本习题：“A ，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30kg ，A 型机器人搬运900kg 所用时间与B 型机器人搬运600kg 所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？”下列四位同学列方程正确的是（ ） ①设A 型机器人每小时搬运x kg 化工原料，则： 甲列的方程为：90060030x x =+；乙列的方程为：90060030x x =− ②设A 型机器人搬运900kg 化工原料需要x 小时，则： 丙列的方程为：90060030x x +=；丁列的方程为：60090030x x+=6A ．甲、丙B ．甲、丁C ．乙、丙D ．乙、丁【答案】D【分析】分别从不同角度设未知数列出方程进行判断即可．【详解】解：设A 型机器人每小时搬运xkg 化工原料，则B 型机器人每小时搬运(x -30)kg 化工原料, 则90060030xx =− 故乙正确；设A 型机器人搬运900kg 化工原料需要x 小时，则60090030x x +=故丁正确． 故选：D ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是合理设元，找到等量关系列出方程．10．已知关于x 的方程()21210−−−=k x 有实数根，则k 的取值范围为（ ）A ．2k ≥B ．1k ≥−且12k ≠C ．12k −≤≤且12k ≠D ．12k −≤≤ 【答案】D【分析】根据已知分1-2k=0和1-2k≠0分别讨论求出k 的取值范围，再结合即可．【详解】解：∵关于x 的方程()21210−−−=k x 有实数根，若1-2k=0，则k=12，方程为10−=，此时方程有解，∴k=12；若1-2k≠0，则(()()24121k −⨯−⨯−−≥0，k+1≥0，分别解得：k≠12，k≤2，k≥-1，则k 的取值范围是：-1≤k≤2，且k≠12，综上：-1≤k≤2. 故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式的应用，能根据题意分1-2k=0和1-2k≠0分别讨论求出k 的取值范围，当1-2k≠0时还需要满足(()()24121k −⨯−⨯−−≥0，k+1≥0．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家A 级景区全部开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为 ． 【答案】62.2710⨯【分析】科学记数法的表现形式为10na ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正整数，当原数绝对值小于1时，n 是负整数． 【详解】解：2270000用科学记数法表示为 62.2710⨯，故答案为：62.2710⨯．【点睛】本题考查了科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表现形式为10na ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键是要正确确定a 的值以及n 的值．12．若二次函数2y x k =+的图像经过点()11,y −，()23,y ，则1y 2y （选填：﹥，﹤，=） 【答案】<【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称轴和开口方向，判断所给点到对称轴的距离大小即可求解．【详解】解：∵二次函数2y x k =+的对称轴为直线0x =，且图象开口向上， 又()011−−=，303−=，13<，∴1y 2y <故答案为：<13．明德华兴中学自2021年下学期恢复高中办学后，街舞社按四个年级分A 、B 、C 、D 四个学习小组，小明同学根据各小组的成员人数绘制了条形统计图（1），小华同学绘制了扇形统计图（2），其中m = ．8【答案】72【分析】用360°乘以D 组的人数和总人数得出D 组所占的百分比即可得出答案． 【详解】解：四个小组的总人数为：4+8+12+6=30（人），D 组的人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为：6360=7230⨯︒︒， ∴m=72， 故答案为：72．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解题的关键．14．若正方形的面积为36，则该正方形的对角线长为 ．【答案】【分析】根据正方形面积公式，求出边长，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为36， ∴6=，∴=，故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形四条边相等．15．如图,已知BD CD ，分别是ABC ∠和ACE ∠的平分线，连接AD ，46DAC ∠=︒,BDC ∠= ．【答案】44︒/44度【分析】过点D 作DF BA ⊥，交BA 的延长线于点F ，过点D 作DH AC ⊥于点H ，过点D 作DG BA ⊥，交BC 的延长线于点G ，根据角平分线的判定和性质可得DF DG DH ==，46DAC FAD ∠=∠=︒，从而得到88BAC ∠=︒，再由角平分线的性质和三角形外角的定义可得111222BDC ABC BAC ABC∠+∠=∠+∠，进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，过点D 作DF BA ⊥，交BA 的延长线于点F ，过点D 作DH AC ⊥于点H ，过点D 作DG BA ⊥，交BC 的延长线于点G ，BD CD ，分别是ABC ∠和ACE ∠的平分线，DF BA ⊥，DH AC ⊥，DG BA ⊥， DF DG DH ∴==，DH AC DF BA ⊥⊥，，DF DH =，AD ∴平分CAF ∠， 46DAC FAD ∴∠=∠=︒， 180DAC FAD BAC ∠+∠+∠=︒， 180464688BAC ∴∠=︒−︒−︒=︒，BD CD ，分别是ABC ∠和ACE ∠的平分线，12DCE ACE ∠=∠∴，12DBC ABC∠=∠，DCE BDC DBC ACE ABC BAC ∠=∠+∠∠=∠+∠，，()1122BDC DBC ACE BAC ABC ∴∠+∠=∠=∠+∠，111222BDC ABC BAC ABC∴∠+∠=∠+∠，11884422BDC BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒，故答案为：44︒．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的定义及性质，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形外角的定义及性质，添加适当的辅助线是解题的关键．1016．如图，在Rt △ABC 中∠BAC ＝90°，点D 和点E 分别是AB ，AC 的中点，点F 和点G 分别在BA 和CA 的延长线上，若BC ＝10，GF ＝6，EF ＝4，则GD 的长为 ．【答案】【分析】先利用三角形的中位线的性质求得线段152DE BC ==，然后在ADE ∆，AEF ∆，ADG ∆，AGF ∆中分别利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵点D 和点E 分别是AB ，AC 的中点，BC ＝10， ∴152DE BC ==，∵Rt △ABC 中∠BAC ＝90°，∴ADE ∆，AEF ∆，ADG ∆，AGF ∆都是直角三角形， ∵GF ＝6，EF ＝4，∴由勾股定理得，22236AF AG GF +== ①，22216AF AE EF +==②， 22225AD AE DE +==③，∴−+①②③，得2245AD AG +=，∵在Rt ADG ∆中，222AD AG GD +=，∴245GD =，解得GD =GD =−故答案为：【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质及勾股定理的应用，此处勾股定理的灵活运算是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分4分） 解方程：(21)2(21)x x x −=−． 【答案】12122x x ==，【分析】运用因式分解法求解即可．【详解】解：移项得：(21)2(21)0x x x −−−=， 因式分解得：()()2210x x −−=，∴20x −=或210x −=， 解得：12122x x ==，．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 18．（本小题满分4分）如图，点B 在线段AC 上，BD CE ∥，AB EC =，DB BC =．求证：AD EB =．【答案】见解析【分析】首先根据平行线的性质得到ABD C ∠=∠，然后证明出()SAS ABD ECB ≌，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】证明：∵BD CE ∥， ∴ABD C ∠=∠，∴在ABD △和ECB 中，AB CE ABD C DB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABD ECB ≌，∴AD EB =．【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定． 19．（本小题满分6分）12如图，ABC 在平面直角坐标系中，其中点()3,2A −−，点()4,1B −，点()1,3C −．(1)将ABC 向右平移4个单位得到111A B C △，在图中画出111A B C △，并写出点1A 的坐标； (2)求111A B C △的面积． 【答案】(1)见解析，()11,2A −(2)5.5【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点1A ，1B ，1C 并顺次连接即可得到111A B C △，根据点1A 在坐标系中的位置即可写出坐标；（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）如图所示，111A B C △为所求，()11,2A −（2）111A 1113532313251535 5.52222B C S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=−−−=△【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质学会用割补法求三角形的面积． 20．（本小题满分6分）已知三个整式24x x +，44x +，2x ．(1)从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解； (2)从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）先找出两个整式的和，再看看能否分解因式即可；（2）先找出两个整式分别作为分式的分子与分母，再看看能否约分即可 【详解】（1）解：()2244(2)x x x ++=+或()()22242422x x x x x x x ++=+=+；（2）解：()222444x x x x x x x x +++==或()222444x x x x x x x x ==+++．【点睛】本题考查了最简分式，因式分解，约分等知识点，能熟记完全平方公式和能正确约分是解此题的关键． 21．（本小题满分8分）小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选． (1)用树状图或列表法求出小明先挑选的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】(1)见解析，23；(2)不公平，见解析【分析】（1）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可； （2）求出小明、小亮获胜的概率即可．14【详解】（1）解：根据题意可列表或树状图如下：从表可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种， ∴P （和为奇数）23=；（2）解：不公平．∵小明先挑选的概率是P （和为奇数）23=，小亮先挑选的概率是P （和为偶数）13=，2133≠， ∴不公平．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 22．（本小题满分10分）金百超市经销某品牌童装，单价为每件50元时，每天销量为60件，当单价每件从50元降了20元时，一天销量为100件．设降x 元时，一天的销量为y 件．已知y 是x 的一次函数．(1)求y 与x 之间的关系式；(2)若某天销售童装80件，则该天童装的单价是多少? 【答案】(1)y 与x 之间的关系式为y=2x+60 (2)该天童装的单价是每件40元【分析】(1)根据题意先设出y 与x 的函数关系式y=kx+b ，再根据题目中的数据，即可求出该函数的解析式；(2)将y= 80代入(1) 中函数关系式，求出相应的x 的值即可． 【详解】（1）因为y 是x 的一次函数．所以，设y 与x 的函数关系式为y=kx+b ，由题意知，当x=0时， y=60 ；当x=20时， y= 100，所以，6020100b k b =⎧⎨+=⎩，解之得：602b k =⎧⎨=⎩ 所以y 与x 之间的关系式为y=2x+60 ； （2）当y=80时，由80=2x+60， 解得x=10， 所以50- 10= 40(元)，所以该天童装的单价是每件40元．【点睛】本题考查一次函数的应用， 解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式．23．（本小题满分10分）已知抛物线224y ax ax a =++−的顶点为点P ，与x 轴分别交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C(1)直接写出点P 的坐标为 ；(2)如图，若A 、B 两点在原点的两侧，且3OA OB =，四边形MNEF 为正方形，其中顶点E 、F 在x 轴上，M 、N 位于抛物线上，求点E 的坐标； (3)若线段2AB =，点Q 为反比例函数ky x=与抛物线224y ax ax a =++−在第一象限内的交点，设Q 的横坐标为m ，当13m <<时，求k 的取值范围． 【答案】(1)()1,4P −−；(2))2,0E；(3)12180k <<．16【分析】（1）利用配方把解析式配成顶点式即可；（2）根据正方形的性质则可以得出EF EN =，再由抛物线点的特征列出一元二次方程，求解即可得出点E 坐标；（3）利用二次函数和反比例函数的增减性即可求解． 【详解】（1）∵()222414y ax ax a a x =++−=+−，∴顶点()1,4P −−，故答案为：()1,4−−，（2）设()1,0A x ，()2,0B x ，∵抛物线对称轴为直线=1x −， ∴122x x +=−， 又∵3OA OB =， ∴123x x −=， ∴13x =−，21x =， ∴()30A −,，()10B ,，将()10B ,代入224y ax ax a =++−，解得1a =，∴抛物线解析式为：223y x x =+−， 设(),0(0)E m m >，则()2,0F m −−，∴()21EF m =+，()223EN m m =−+−，根据题意，得：()()22123m m m +=−+−，解得：12m =，22m =(舍去)， ∴点)2,0E，（3）∵线段2AB =，抛物线对称轴为直线1x =， ∴()2,0A −，()0,0B ，∴02040a a a ⨯+⨯+−=，解得4a =，∴抛物线解析式为：248y x x =+，当13m <<时，对于抛物线248y x x =+，y 随x 的增大而增大， 对于反比例函数ky x =，y 随x 的增大而减小，∴1x =时，双曲线在抛物线上方， 即：241811k>⨯+⨯，解得：12k >，∴当3x =时，双曲线在抛物线下方， 即：43833k<⨯+⨯，解得：180k <，∴k 的取值范围：12180k <<．【点睛】此题考查了二次函数的图象及其性质、反比例函数的性质，熟练运用二次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 24．（本小题满分12分） 问题发现：(1)如图1，在ABC 中，AB BC =，90ABC D ∠=︒．为BC 的中点，以CD 为直角边，在BC 下方作等腰直角CDE ，其中90CDE ∠=︒．以BD 为直角边，在BC 上方作等腰直角BDG ，其中90BDG ∠=︒，AE 与BG 交于点F ．求证：AF EF =． 类比探究：(2)如图2，若将CDE 绕点C 顺时针旋转90︒，则()1中的结论是否仍然成立？请说明理由； 拓展延伸：(3)如图3，在()2的条件下，再将等腰直角CDE 沿直线BC 向右平移k 个单位长度，得到'''CDE，若AB a =，试求'AFFE 的值．（用含k ，a 的式子表示）【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析18(3)'AF aFE k a =+【分析】（1）利用AAS 证明ABF △≌EGF △，可得结论；（2）连接EG ，BE ，首先利用SAS 证明DEG △≌DCB △，得GE BC =，DBC DGE ∠∠=，再利用AAS 证明ABF △≌EGF △，得AF EF =；（3）连接'EG ，由()2同理得''BCD ≌''GED ，再说明ABF △∽'EGF ，得''AF AB aFE GE k a ==+．【详解】（1）证明：由题意可得：点E 、D 、G 三点共线，且EG BC AB ==，AB EG ，BAE AEG ∴∠=∠，AFB EFG ∠∠=，ABF ∴≌()EGF AAS ， AF EF ∴=．（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图2，连接EG ，BE ，由题意得，BD GD =，DE DC =，90BDG CDE ∠∠==︒，点E 为AC 的中点，BDG BDE CDE BDE ∠∠∠∠∴−=−， GDE BDC ∠∠∴=， DEG ∴≌()DCB SAS ， GE BC ∴=，DBC DGE ∠∠=，AB BC EG ∴==，又4545ABF DBC DGE EGF ∠∠∠∠=︒−=︒−=，AFB EFG ∠=∠， ABF ∴≅()AAS EGF ，AF EF ∴=．（3）解：由题意得，BC AB a ==，'CC k =， 则'BC k a =+，如图3，连接'EG， 由()2同理得BC D ''≅GE D ''，''GE BC ∴=，D BC D GE ∠''=∠''，又45''45'''ABF DBC DGE EGF ∠∠∠∠=︒−=︒−=，'AFB EFG∠∠=， ABF ∴∽'EGF ，''AF AB aFE GE k a ∴==+．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转和平移的性质等知识点，熟练掌握旋转相似的基本模型是解题的关键． 25．（本小题满分12分）问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且BAE CDE ∠=∠．求证：AB CD =．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而AB 与CD 所在的两个三角形不全等．因此，要证AB CD =，必须添加适当的辅助线构造全等三角形．以下是两位同学添加辅助线的方法．第一种辅助线做法：如图②，延长DE 到点F ，使DE EF =，连接BF ；第二种辅助线做法：如图③，作CG DE ⊥于点G ，BF DE ⊥交DE 延长线于点F .20(1)请你任意选择其中一种对原题进行证明：方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题．(2)方法运用：如图④，AD 是ABC 的中线，BE 与AD 交于点F 且AE EF =．求证：BF AC =．【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）第一种辅助线做法：延长DE 到点F ，使DE EF =，连接BF ．只要证明△BEF ≌△CED ，即可解决问题．第二种辅助线做法：作CG DE ⊥于点G ，BF DE ⊥交DE 延长线于点F ，先证明△BEF ≌△CEG ，再证明△ABF ≌△DCG 即可．（2）延长AD 到点Aˊ，使得DAˊ=AD ，连接BAˊ，只要证得△BDAˊ≌△CDA 即可． 【详解】（1）第一种辅助线做法：证明：如图1，延长DE 到点F ，使得DE=EF ，连接BF ， ∵E 是BC 的中点 ∴BE=CE在△BEF与△CED中，BE CEBEF CEDDE FE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEF≌△CED（SAS）∴BF=CD ，∠F=∠CDE又∵∠BAE=∠CDE∴∠BAE=∠F∴BF=AB∴AB=CD第二种辅助线做法：证明：如图2，作CG⊥DE于点G，BF⊥DE交DE延长线于点E；则∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵E是BC的中点，∴BE=CE在△BEF与△CEG中，F CGEBEF CEG BE CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEF≌△CEG （AAS）∴BF=CG，在△ABF与△DCG中，BAE CDEF CGDBF CG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF≌△DCG（AAS），∴AB=CD ．（2）如图3，延长AD到点Aˊ，使得DAˊ=AD，连接BAˊ，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．在△BDAˊ与△CDA中，BD CDBDA CDADA DA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ˊˊ，∴△BDAˊ≌△CDA （SAS）∴BAˊ=AC，∠Aˊ=∠CAD，又∵AE=EF，∴∠CAD=∠EFA=∠BFAˊ，∠Aˊ=∠BFAˊ∴BF=BAˊ∴BF=AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中线等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．22。
2020-2021学年广东省高考数学二模试卷(理科)及答案解析
广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数f（x）=+lg（6﹣3x）的定义域为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．[﹣1，2）D．[﹣1，2]2．己知复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|z|为（）A．B．C．6 D．33．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知sinα﹣cosα=，则cos（﹣2α）=（）A．﹣ B．C．D．5．己知0＜a＜b＜l＜c，则（）A．a b＞a a B．c a＞c b C．log a c＞log b c D．log b c＞log b a6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞍铜方升，其三视图如图所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）（）A．14 B．12+C．12+πD．38+2π7．设计如图的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数（用j表示），则判断框中应填入的条件是（）A．i＜58？B．i≤58？C．j＜59？D．j≤59？8．某撤信群中四人同时抢3个红包，每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（）A．B．C．D．9．己知实数x，y满足不等式组，若z=x﹣2y的最小值为﹣3，则a的值为（）A．1 B．C．2 D．10．函数f（x）=x2﹣（）x的大致图象是（）A．B．C．D．11．已知一长方体的体对角线的长为l0，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（）A．64 B．128 C．192 D．38412．已知函数f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内有零点，则ω的取值范围是（）A．（，）∪（，+∞）B．（0，]∪[，1）C．（，）∪（，）D．（，）∪（，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上.13．已知向量=（x﹣1，2），=（2，x﹣1）满足=﹣||•||，则x= ．14．已知直线3x﹣4y﹣6=0与圆x2+y2﹣2y+m=0（m∈R）相切，则m的值为．15．在△ABC中，已知与的夹角为150°，||=2，则||的取值范围是．16．己知双曲线﹣=1（b＞0）的离心率为，F1，F2时双曲线的两个焦点，A 为左顶点、B（0，b），点P在线段AB上，则•的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=+n+1．（I）求证：数列{+1}是等比教列．（II）求数列{a n}的前n项和为S n．18．（12分）己知图1中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，O、Q分别为线段AB，CD的中点，OQ与EF的交点为P，OP=1，PQ=2，现将梯形ABCD沿EF 折起，使得OQ=，连结AD，BC，得一几何体如图2示．（I）证明：平面ABCD⊥平面ABFE；（II）若图1中．∠A=45°，CD=2，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值．19．（12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n（n∈N*）关者奖励2n﹣1件小奖品（奖品都一样）．如图是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．（Ⅰ）估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值；（II）估计小明在3次游戏中至少过两关的平均次数；（Ⅲ）估计小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率．20．（12分）己知椭圆+=1（a＞b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）共焦点F2，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|=．（I）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II）过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A，B两点，设线段AB的中点为C（x0，y0），求x0的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=（x﹣a）2（a∈R），g（x）=lnx，（I）试求曲线F（x））=f（x）+g（x）在点（1，F（1））处的切线l与曲线F（x）的公共点个数；（II）若函数G（x）=f（x）．g（x）有两个极值点，求实数a的取值范围．（附：当a＜0，x趋近于0时，2lnx﹣趋向于+∞）三、请考生在第（12）、（23）題中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=tanα•x（0≤a＜π，α），抛物线C：（t为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（Ⅰ）求直线l1和抛物线C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l1和抛物线C相交于点A（异于原点O），过原点作与l1垂直的直线l2，l2和抛物线C相交于点B（异于原点O），求△OAB的面积的最小值．五、[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．己知函数f（x）=|2|x|﹣1|．（I）求不等式f（x）≤1的解集A；（Ⅱ）当m，n∈A时，证明：|m+n|≤mn+1．参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案
试卷类型：A广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）20xx.4 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i 2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数图1俯视图侧视图正视图 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16 B ．13CD7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253 表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则A E A F ⋅的值 为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值D CB A a 图3重量/克0.0320.02452515O 为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦， 当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12A E EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值. 图2 17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.FE D CBA18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 图4 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .(1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个 定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值； （2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+.广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分 ∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得BC =……………10分 由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin 33AB AC BC⋅===. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分 ∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =，M OH FED C B A ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………3分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1E O F H == .……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EOBD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分 在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ， 则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH ==. ……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,ABBC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,n AE⋅=n AE nAE3=. ……………11分∴cos θ==，sin tan cos θθθ== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分 当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分 解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意,得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440xkx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分 令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分 ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分 得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=. ……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2x f x x =-. 当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分 令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<.故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分 (ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >， 从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分 111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n--=+. ……………14分。
广东广州届高三年级第二次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
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）年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
理科数学
）.4一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．1．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是
A ． B. C ． D.
2．己知集合A= ，则
A.x|x<2或x≥6}
B.x|x≤2或x≥6
C.x|x<2或x≥10}
D.x|x≤2或x≥10
3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号
的轿车少8辆，则n=
A. 96
B. 72
C. 48
D. 36
4．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是
A. 21
B. 22
C. 23
D. 24
5．己知点A与点B(1，2)关于直线x+y+3=0对称，则点A的坐标为
A.(3,4)
B. (4,5)
C. (-4,-3)
D. (-5,-4) 6．从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设
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广东省广州市届高三下学期第二次模拟考试数学理试题word版含答案
理科数学第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每题 5 分, 共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知会合 Ax x 11 ， Bx 11 ，则 A ∩B（）xA ． x 1 x 2B ． x 0 x 2C ． x 0 x 1 D． x 0x 12．若复数 z 知足 3 4iz i 2i ，则复数 z 所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D．第四象限3．履行以下图的程序框图，则输出的S 值为（）A ．4B ．3C ．2D． 34．从 1， 2， 3， 4，5 这 5 个数字中任取 3 个数字构成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ）A ．1B．2C ．1D．355255．函数 fxln x 1 x 的大概图象是（）A ．B ． C．D．6．已知 cos22，则 sin（）43A ．7B．1C ．1 D．7 99997．已知点 A 4,4 在抛物线 y 2 2 px （ p 0 ）上，该抛物线的焦点为 F ，过点 A 作该抛物线准线的垂线，垂足为 E ，则 EAF 的均分线所在的直线方程为（）A ． 2x y 12 0B ． x 2 y 12 0C ． 2x y 4 0D． x 2 y 4 08．在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 中， M 是棱 A 1 D 1 的中点，过 C 1 ， B ， M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A ．3 5B． 3 5C ．9D．928289．已知 k R ，点 P a,b 是直线 xy2k 与圆 x 2y 2 k 2 2k 3 的公共点， 则 ab 的最大值为（ ）A ． 15B． 9C ． 1D．5310．已知函数 fx 2sinx（0 ）的图象在区间 0,1 上恰有 3 个最高点， 则4的取值范围为（）A ．19, 27B ．9, 13C ．17, 254 42 244D．4 ,611．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．8B． 16C ．32D． 1633312．定义在 R 上的奇函数 y f x 为减函数，若 m ， n 知足f m 22mf 2n n 20，则当 1n 3 时， m的取值范围为（）2 nA ．2,1B． 1,3C ．1,3D． 1,1323 23第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．已知点 O 0，0 ， A 1,3 ，B 2，4uuur uur uuur， OP 2OA mAB ，若点 P 在 y 轴上，则实数 m．14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，此中下卷“物不知数”中有以下问题：“今有物，不知其数 . 三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二. 问：物几何？”其意思为：“现有一堆物件，不知它的数量 .3个 3 个数，剩 2 个； 5 个 5 个数，剩 3 个； 7 个 7 个数，剩 2 个 . 问这堆物件共有多少个？”试计算这堆物件起码有个．549 a 8 x 8 y a 7 x 7 y 2 L a 1xy 8 a 0 y 9 ，则15．设 x 2 yx 3ya 9 xa0 a8．16．在平面四边形ABCD 中，连结对角线BD ，已知 CD9，BD16 ， BDC90 ，4AC 的最大值为．sin A，则对角线5三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设等比数列a n的前n项和S n，已知a1a2a38 ，S2 n 3 a1a3a5L a2n 1（ n N *） .（Ⅰ）求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设 b n nS n，求数列b的前 n 项和 T n.n18．如图，ABCD是边长为a的菱形，BAD60 ，EB平面 ABCD ， FD平面ABCD ，EB2FD3a .（Ⅰ）求证：EF AC ；（Ⅱ）求直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值.19．某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实行，且每种方案中第一个月与第二个月的销售互相独立. 依据过去促销的统计数据，若实行方案1，估计第一个月的销量是促销前的倍和倍的概率分别是和，第二个月的销量是第一个月的倍和倍的概率都是；若实行方案2，估计第一个月的销量是促销前的倍和倍的概率分别是和，第二个月的销量是第一个月的倍和倍的概率分别是和. 令i i 1,2 表示实行方案i 的第二个月的销量是促销前销量的倍数.（Ⅰ）求 1 ，2的散布列；（Ⅱ）不论实行哪一种方案，i 与第二个月的收益之间的关系以下表，试比较哪一种方案第二个月的收益更大.20．已知双曲线x2y 21的焦点是椭圆C：x2y21（a b 0 ）的极点，且椭圆5a2b2与双曲线的离心率互为倒数.（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设动点 M ， N 在椭圆 C 上，且43m ，MN，记直线 MN 在 y 轴上的截距为3求 m 的最大值.21．已知函数f xxb 在点e, f e处的切线方程为 yax 2e .axln x（Ⅰ）务实数 b 的值；（Ⅱ）若存在 x e,e2，知足 f x 1e ，务实数a的取值范围. 4请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22．选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的一般方程为 x y 2 0 ，曲线C的参数方程为x 2 3 cos , （为参数），设直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点.y2sin（Ⅰ）求线段AB 的长；（Ⅱ）已知点P 在曲线 C 上运动，当 V PAB 的面积最大时，求点P 的坐标及 V PAB 的最大面积 .23．选修 4-5 ：不等式选讲（Ⅰ）已知 a b c 1，证明：2b2216；a 11 c 13（Ⅱ）若对随意实数x ，不等式x a2x 12恒成立，务实数a 的取值范围.2017 年广州市一般高中毕业班综合测试（二）理科数学试题答案及评分参照一、选择题1-5:ABABA6-10:CDCBC11、12：BD二、填空题13．214．2315．259016．27 3三、解答题17．解：（Ⅰ）由于数列a n是等比数列，因此a1a3a22.由于a1a2 a38，因此 a238 ，解得 a2 2 .由于S2n 3 a1a3a5L a2n 1，因此 S23a1，即 a1a23a1.由于 a2 2 ，因此 a1 1 .由于等比数列a n的公比为 q a22 ，a1因此数列a的通项公式为 a n2n1.n（Ⅱ）由于等比数列 a n的首项为 a11，公比 q 2 ，因此S n a11q n12n2n1. 1q12由于 b n nS n，因此b n n 2n1n2n n .因此 T n b1b2b3L b n 1b n12222 3 23L n 2n 1 2 3 L n .设 P n 1 2 2 22 3 23L n 2n.则 2P n 1 22 2 23 3 24L n 2n 1.因此 P n n 2n 1 2 222324L 2n n 1 2n 1 2 .由于 1 2 3L n n n1，2因此 T n n 1 2n 12n n 1.2因此数列b n的前n项和 T n n 1 2n 12n n 1.218．解：（Ⅰ）证明：连结BD ，由于 ABCD 是菱形，因此AC BD .由于 FD平面 ABCD ， AC平面 ABCD ，因此 AC FD .由于 BD∩FD D ，因此 AC平面 BDF .由于 EB平面 ABCD ， FD平面 ABCD ，因此 EB ∥ FD .因此 B，D，F，E四点共面.由于 EF平面 BDFE ，因此 EF AC .uuur uuur（Ⅱ）如图，以 D 为坐标原点，分别以DC ， DF 的方向为y轴， z 轴的正方向，成立空间直角坐标系D xyz .能够求得 A 3a,1a,0 ， B3a,1a,0 ， F 0,0,3a ，C 0,a,0，22222E 3a,1a, 3a .2 2uuur uuur3a,1a,3a .因此 AB0, a,0 ，AF222rx, y, z设平面 ABF 的法向量为 n，r uuur0,ay0,n AB则r uuur即3ax1ay3az0n AF0,222不如取 x 1，则平面 ABF 的一个法向量为rn 1,0,1 .uur3a,1a, 3a由于 CE，22r uurr uur n CE3 6 .因此 cos n, CE r uurn CE8因此直线 CE 与平面 ABF 所成角的正弦值为3 6. 819．解：（Ⅰ）依题意， 1 的全部取值为，，，，由于P 1 1.680.60.50.30 ， P1 1.920.6 0.5 0.30 ，P 1 2.10.40.50.20， P 1 2.40.40.5 0.20.因此 1 的散布列为依题意， 2 的全部取值为，，，，由于 P2 1.680.7 0.6 0.42， P2 1.80.30.6 0.18 ，P2 2.24 0.70.4 0.28 ， P2 2.40.30.40.12.因此 2 的散布列为（Ⅱ）令 Q i表示方案i所带来的收益，则因此 EQ115 0.30200.5025 0.2019.5 ，EQ2150.42200.46250.1218.5.由于 EQ1EQ2，因此实行方案 1，第二个月的收益更大 .20．解：（Ⅰ）双曲线x2y2 1 的焦点坐标为6,0 ，离心率为30 .55由于双曲线x2y21的焦点是椭圆C：x2y2 1 （a b0 ）的极点，且椭圆与双5a2b2曲线的离心率互为倒数，因此 a6，且a2b230 b 1，解得a6故椭圆 C 的方程为x2y21. 6（Ⅱ）由于MN 432 ，因此直线MN的斜率存在. 3由于直线 MN 在 y 轴上的截距为m ，因此可设直线MN 的方程为y kx m.代入椭圆方程x2y21得16k 2x212kmx 6 m210 .6由于22416k 2m2124 16k 2m20 ，12km因此m21+6 k2.设 M x1 , y1， N x2 , y2，依据根与系数的关系得x1x212km， x1x26 m21.116k26k 2则MN 1 k 2 x1x2 1 k 2x12x24x1x212km 224 m211k 2.16k 216k 2224 m21由于 MN 4 3，即1k 212km 4 3.16k 2316k23整理得 m218k 439 k27 .9 1k 2令 k21t 1，则 k 2t 1.因此 m218t 275t5017518t50752305.9t9t93等号成立的条件是t5，此时 k 22， m25知足 m216k2，切合题意.333故 m 的最大值为15. 321．解：（Ⅰ）函数f x的定义域为 0,1 ∪ 1,.由于 f xxax b ，因此 f xln x1a . ln x ln 2x因此函数 f x在点 e, f e处的切线方程为y e ae b ax e，即y ax e b .已知函数 f x在点 e, f e处的切线方程为y ax2e，比较求得 b e .因此实数 b 的值为e.（Ⅱ）由 f x1 e ，即x ax e1 e .4ln x4因此问题转变为a11在 e,e2上有解 .11ln x 4 x令h x x e,e2，ln x 4 x则 h x11ln2x4xln x2x ln x 2 x. 4x2x ln 2 x 4 x2 ln 2 x 4 x2 ln 2 x令 p x ln x2x ，因此当 x2时，有 p x111x0 . e,ex x x因此函数 p x在区间e,e2上单一递减 .因此 p x p e ln e 2 e 0 .因此 h x0，即 h x在区间e,e2上单一递减 .因此 h x h e2 =1212 1 1 2.ln e4e24e因此实数 a 的取值范围为112,.24e22．解：（Ⅰ）曲线C的一般方程为x2y 2 1 .124将直线 x y20代入 x2y21中消去y得， x23x0 .124解得 x0或 x 3 .因此点 A 0,2， B3,1，因此 AB321223 2 . 0（Ⅱ）在曲线 C 上求一点 P ，使 V PAB 的面积最大，则点P 到直线 l 的距离最大.设过点 P 且与直线 l 平行的直线方程y x b .将 y x b代入 x2y21整理得，4x26bx 3 b240 .124令244 3 b240 ，解得 b 4 . 6b将 b 4 代入方程 4x26bx3 b240 ，解得 x3.易知当点 P 的坐标为3,1 时， V PAB 的面积最大.且点 P3,1到直线 l 的距离为 d312123 2 .121V PAB 的最大面积为S AB d9 .223．解：（Ⅰ）证明：由于 a b c 1 ，因此 a 1222a2b2c2 2 a b c 3 a2b2c2 5 .b 1c 1因此要证明a2 b 12 c 12161，13即证明 a2b2c2.3由于 a2b2c2a22 ab bc cab c22 a2b2c2，a b c因此 3 a2b2c22 a b c .由于 a b c1，因此 a2b2c21.163因此 a12b2c2.113（Ⅱ）设 f x x a2x 1 ，则“对随意实数 x ，不等式 x a2x 12 恒成立”等价于“f x min 2 ”.3x a1, x a,当 a1时， f xx 1 a, a x1 , 223x a1, x1 .2此时f xf11 a ，min22要使 xa2x 12 恒成立，一定1a 2，解得 a3 .22当 a1时， x 1 2不行能恒成立 .2 233x a 1, x1,2当 a1 时， fxx a 1,1x a,2 23x a 1, x a.此时f xf1a1 ，min22要使 xa2x 12 恒成立，一定 a1 52 2，解得 a.2综上可知，实数 a 的取范为,3∪5,.22。
2024年广东省广州市白云区初三二模数学试题含答案解析
2024年广东省广州市白云区中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数中，是无理数的是（）A 2B ．0C ．2-D ．14【答案】A【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数是无理数，进行判断即可．【详解】解：A 、2是无理数，符合题意；B 、0是有理数，不是无理数，不符合题意；C 、2-是有理数，不是无理数，不符合题意；D 、14是有理数，不是无理数，不符合题意；故选A ．21x-x 应满足的条件是（）A ．1x ≥B ．1x >-C ．1x <D ．1x ≤-【答案】C【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据分式的分母不为0，被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：10x ->，∴1x <；故选C ．3．下列几何体中，其侧面展开图是扇形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查几何体的展开图，根据圆锥的侧面展开图是扇形，即可得出结果．【详解】解：在圆柱体，圆锥，三棱锥，长方体中，只有圆锥的侧面展开图是扇形；故选：B ．4．下列运算正确的是（）A ．321--=-B ．()3131x x -=-C ．()224ab ab -=D ．()()22a b a b a b+-=-【答案】D【分析】根据有理数的减法运算，单项式乘以多项式，积的乘方，平方差公式对各选项进行判断作答即可．【详解】A 中3251--=-≠-，故不符合要求；B 中()313331x x x =--≠-，故不符合要求；C 中()22244ab a b ab -=≠，故不符合要求；D 中()()22a b a b a b +-=-，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的减法运算，单项式乘以多项式，积的乘方，平方差公式等知识．熟练掌握有理数的减法运算，单项式乘以多项式，积的乘方，平方差公式是解题的关键．5．已知关于x 的方程．20x x a -+=的一个根为2，则另一个根是（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．2【答案】C6．长方形ABCD 的三个顶点的坐标是()1,1A 、()3,1B 、()3,5C ，那么D 点坐标是（）A ．()1,3B ．()1,5C ．()5,3D ．()5,1【答案】B【分析】根据长方形的性质求出点D 的横坐标和纵坐标即可．本题考查了平面直角坐标系中的坐标、长方形的性质．【详解】解：∵长方形ABCD 的三个顶点的坐标是()1,1A 、()3,1B 、()3,5C ，∴点D 的横坐标与点A 的横坐标相同，点D 的纵坐标与点C 的纵坐标相同，∴点D 的横坐标为1，纵坐标为5，∴点D 的坐标为()1,5，故选B ．7．某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．168．甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时追上甲；若相向而行，2小时两人相遇.设甲、乙两人每小时分别走x 、y 千米，则可列出方程组（）A ．101050{2250x y x y -=+=B ．101050{2250x y x y +=+=C ．101050{2250y x x y -=+=D ．101050{2250x y x y -=-=【答案】C【详解】设甲、乙两人每小时分别走x 千米、y 千米，根据题意得：101050{2250y x x y -=+=故选C9．如图，AB 是O 的弦，CD 是O 的直径，CD AB ⊥于点E ．在下列结论中，不一定成立的是（）A ．AE BE =B ．90CBD ∠=︒C ．2COBD ∠=∠D ．COB C∠=∠【答案】D【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．【详解】解：CD 是O 的直径，CD AB ⊥，AE BE ∴=，90CBD ∠=︒，2COB D ∠=∠，CBO C ∠=∠，故A、B、C不符合题意，D符合题意；故选：D．10．定义新运算：()()a aba bb aa⎧≥⎪⎪⊗=⎨⎪<⎪⎩例如1113,2132⊗=-⊗=-，则2y x=⊗的大致图象是（）A ．B．C．D．二、填空题11．因式分解：23a-2a=．【答案】2a(a+1)(a-1)【分析】先提取公因式2a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可得到答案．【详解】解：322a a-()221a a=-()()211a a a =-+故答案为：()()211a a a -+．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先应该提公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时切记因式分解一定要彻底.12．甲、乙两人在100米短跑训练中，记录了5次测试的成绩：两人的平均成绩相等，甲的方差是0.14，乙的方差是0.06，这5次短跑测试的成绩较稳定的是．(填“甲”或“乙”)【答案】乙【分析】本题考查利用方差判断稳定性，根据方差越小，成绩越稳定，即可得出结果．【详解】解：∵两人的平均成绩相等，甲的方差是0.14，乙的方差是0.06，0.060.14<，∴这5次短跑测试的成绩较稳定的是乙；故答案为：乙．13．命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题可以写成：，所写出的命题是命题(填“真”或“假”)．【答案】两个面积相等的三角形是全等三角形假【分析】本题考查了逆命题，命题的真假，全等三角形的判定．正确的写逆命题并判断命题的真假是解题的关键．根据题意写出逆命题，然后判断命题的真假即可．【详解】解：由题意知，“两个全等三角形的面积相等”的逆命题为两个面积相等的三角形是全等三角形，该命题为假命题，故答案为：两个面积相等的三角形是全等三角形，假．14．已知一次函数()2y k x b =++（k ，b 是常数）的图象上有两点()11,A x y ，()22,B x y ，若当12x x <时，12y y >，则k 的取值范围是．【答案】2k <-【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据当12x x <时，12y y >，得到20k +<，求解即可．【详解】解：∵12x x <时，12y y >，∴20k +<，∴2k <-；故答案为：2k <-．15．如图，在等腰ABC 中，AB AC =，延长边AB 到点D ，延长边CA 到点E ，连接DE ，若AD BC CE DE ===，则BAC ∠=．【答案】100︒/100度【分析】过点D 作DF BC ∥，CF BD ∥，易得四边形DBCF 为平行四边形，进而得到,DF BC BD CF ==，证明DAE ECF ≌，推出DEF 为等边三角形，设BAC α∠=，根据等边对等角，表示出,ADE ADF ∠∠，根据60ADE ADF ∠+∠=︒，列出方程进行求解即可．【详解】解：过点D 作DF BC ∥，CF BD ∥，连接EF ，则：四边形DBCF 为平行四边形，∴,DF BC BD CF ==，∵AD BC CE DE ===，AB AC =，∴AD AB CE AC -=-，DE DF =，∴AE BD =，∴AE CF =，∵CF AD ∥，∴ECF EAD ∠=∠，∴DAE ECF ≌，∴DE EF =，∵DE DF =，∴DE EF DF ==，∴DEF 为等边三角形，16．两块三角板(ABD△中，90BAD AB AD∠=︒=，，BCD△中，90BCD∠=︒，30CBD∠=︒)按如图方式放置，下列结论正确的是(填写所有正确结论的序号)．①75AOB∠=︒；②AB=；③BC CD+=；④:3:2BOC AODS S=．又∵90BAD ∠=︒，BCD ∠∴EA EB EC ED ===，∴A B C D 、、、四点共圆，∵90BAD AB AD ∠=︒=，∴45ABD ADB ∠=∠=︒∵ CDCD =，∴30CAD CBD ∠=∠=∴AOB CAD ADB ∠=∠+∠由题意知，cos 45AB BD =∴22AB CD =，即AB 如图，作DM AC ⊥于设DM a =，则tan AM =三、解答题17．解不等式组()13293x x ⎧-->⎨+≥⎩并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】32x -≤<-，图见解析【分析】本题考查解不等式组，并在数轴上表示出解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可．【详解】解：()13293x x ⎧-->⎨+≥⎩①②由①，得：<2x -；由②，得：3x ≥-，∴不等式组的解集为：32x -≤<-，数轴表示解集如图：18．如图，点D 在AB 上．点E 在AC 上，,AD AE ADC AEB =∠=∠．求证：AB AC =．【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明ADC AEB △≌△，即可得出结论．【详解】证明：在ADC △和AEB △中：A A AD AEADC AEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ADC AEB △≌△，∴AB AC =．19．已知()()211T a a a =++-(1)化简T ；(2)若a 满足613a +=，求T 的值．20．人工智能火遍全球，某校数学兴趣小组为了调查九年级学生对人工智能的了解程度，设计了一张含10个问题的调查问卷，在该校九年级中随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生答对题数的情况如下表：答对题数5678910人数33α622占总人数比例15%15%20%b10%10%根据以上信息，解答下列问题：(1)表格中的=a_____，b=_____；(2)被抽取的九年级学生答对问题数量众数是_____，中位数是____；(3)若答对7题及以上视为比较了解人工智能，该校九年级有600名学生，估计该校九年级比较了解人工智能的学生总人数．21．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去～月份每辆车的销售年降低2万元，销售数量与去年相同，销售总额比去年少20%，今年15价格是多少万元【答案】今年1～5月份每辆车的销售价格是8万元～月份每辆车的销售价格是x万元，根据销售量相同列出方程，求解并检【分析】设今年15验即可.22．如图，一次函数47y x =与反比例函数y x=的图象相交于点()4C n ，，正方形ABCD 的顶点A ，B 分别落在y 轴和x 轴上．(1)求k ，n 的值；(2)求ABO ∠的正切值．∵正方形ABCD ，∴AB BC =，90ABC ∠=︒，∵90OAB ABO ∠+∠=︒=∠∴OAB EBC ∠=∠，又∵90AOB BEC ∠=︒=∠，23．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，点O 在边BC 上，O 经过点B 并且与AC 相切于点D ，连接BD OD 、．(1)尺规作图：过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)所作的图形中，①求证：BD 平分ABC ∠；②若四边形ABED 的周长与面积均为18，求BD 的长．（2）①∵O 经过点B ∴OD CD ⊥，∴90ODC A ∠=︒=∠，∴OD AB ∥，24．已知抛物线()21y x mx m =+-+，(1)当4m =-时，求抛物线与x 轴交点的坐标；(2)抛物线的顶点为A ．①若当0x <时，都有y 随x 的增大而减小．求此时顶点A 的纵坐标的取值范围；②抛物线与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点C ，直线AB 与x 轴交于点D ，抛物线在①的条件下，求AOD △的面积1S 与BCD △的面积2S 满足的数量关系．25．如图，在菱形ABCD 中，6,60AB ABC =∠=︒，(1)连接BD ，求BD 的值；(2)点E 以每秒2个单位长度的速度从B 点出发向点C 运动，同时点Q度的速度从D 点出发向点B 运动，当其中一点达到终点，另外一点随之停止运动．①连接EQ ，BEQ 能否为等腰三角形？如果能，求点E ，Q 的运动时间；如果不能，请说明理由；②连接,AE AQ ，当30EAQ ∠=︒时，求AE AQ +的值．∵在菱形ABCD 中，6,AB =∵1302CBD ABC ∠=∠=︒，∴3cos302BH BE ︒==，∴3BH BE =，即：33∵菱形ABCD ，60ABC ∠=∴AD BC ∥，60ADC ∠=︒，∴120,60DAB BAF ∠=︒∠=︒∴30ABF ADQ ∠=︒=∠，。
2023年广东省高考数学二模试卷【答案版】
2023年广东省高考数学二模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2﹣3≤0}，B ＝{1，2}，则A ∪B ＝（ ） A ．{0，1，2} B ．{﹣2，﹣1，0，1，2}C ．{﹣2，﹣1，1，2}D ．{﹣1，0，1，2}2．已知复数z =√3cosθ+isinθ（θ∈R ，i 为虚数单位），则|z |的最大值为（ ） A ．2 B ．√2C ．3D ．√33．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率是e =2√33，则该双曲线两渐近线夹角是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．已知某摩天轮的半径为60m ，其中心到地面的距离为70m ，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m 时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（ ） A ．5分钟B ．10分钟C ．15分钟D ．20分钟5．现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为√32的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（ ） A ．278π B ．338π C ．458π D ．558π6．已知△ABC 是单位圆O 的内接三角形，若A =π4，则AB →⋅OC →的最大值为（ ）A ．12B ．√22C ．1D ．√2 7．已知(1−x)2023=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2023x 2023，则1a 1+1a 2+⋯+1a 2023=（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．202310128．已知a =ln22，b =ln3e ，c =√22，则（参考数据：ln 2≈0.7）（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞a D ．c ＞a ＞b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线m 与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（ ）A ．平面α内存在直线l 与直线m 平行B ．平面α内存在直线l 与直线m 垂直C ．存在平面γ与直线m 和平面α都平行D ．存在过直线m 的平面β与平面α垂直 10．已知f （x ）＝cos x +tan x ，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）是周期函数 B ．f （x ）有对称轴C ．f （x ）有对称中心D ．f （x ）在(0，π2)上单调递增11．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（ ） A ．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分 B ．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分 C ．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分D ．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于2412．在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD 四边所在直线与x 轴的交点分别为（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），则正方形ABCD 四边所在直线中过点（0，0）的直线的斜率可以是（ ） A ．2B ．32C ．34D ．14三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2+a 3＝12，a 4＝16，则{a n }的公比q ＝ ．14．已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°，除面ABCD 外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，Ⅰ，则由点E ，F ，G ，H ，Ⅰ构成的四棱锥的体积为 ． 15．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．若直线MN 在y 轴上的截距为3，且MN →=4F 1N →，则椭圆C 的标准方程为 ．16．已知f （x ）＝x 3﹣x ，若过点P （m ，n ）恰能作两条直线与曲线y ＝f （x ）相切，且这两条切线关于直线x ＝m 对称，则m 的一个可能值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且满足a 1＝1，a 1，a 2，a 4成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n ={2a n ，n 为奇数1a n a n+2，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3bcos A+B2=csinB ． （1）求C ；（2）若a +b =√3c ，求sin A ．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝2，PD ⊥CD ．（1）证明：AB ⊥PB ；（2）若平面P AB ⊥平面PCD ，且PA =√102，求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值．20．（12分）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为γ（α+β+γ＝1，α＞0，β＞0，γ≥0），且每局比赛结果相互独立．（1）若α=25，β=25，γ=15，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； （2）当γ＝0时，（i ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X 的分布列及期望E （X ）的最大值； （ii ）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程． 21．（12分）已知f （x ）＝x 2﹣ae x ，存在x 1＜x 2＜x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝0． （1）求实数a 的取值范围；（2）试探究x 1+x 2+x 3与3的大小关系，并证明你的结论．22．（12分）已知A ，B 是抛物线E ：y ＝x 2上不同的两点，点P 在x 轴下方，P A 与抛物线E 交于点C ，PB 与抛物线E 交于点D ，且满足|PA||PC|=|PB||PD|=λ，其中λ是常数，且λ≠1．（1）设AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：MN 垂直于x 轴；（2）若点P 为半圆x 2+y 2＝1（y ＜0）上的动点，且λ＝2，求四边形ABDC 面积的最大值．2023年广东省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2﹣3≤0}，B ＝{1，2}，则A ∪B ＝（ ） A ．{0，1，2} B ．{﹣2，﹣1，0，1，2}C ．{﹣2，﹣1，1，2}D ．{﹣1，0，1，2}解：由题，A ＝{x ∈Z |x 2﹣3≤0}＝{﹣1，0，1}，B ＝{1，2}，则A ∪B ＝{﹣1，0，1，2}． 故选：D ．2．已知复数z =√3cosθ+isinθ（θ∈R ，i 为虚数单位），则|z |的最大值为（ ） A ．2B ．√2C ．3D ．√3解：由题意得|z|=√(√3cosθ)2+sin 2θ=√3cos 2θ+(1−cos 2θ)=√2cos 2θ+1≤√3， 当cos θ＝±1时，等号成立，故|z|max =√3． 故选：D ． 3．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率是e =2√33，则该双曲线两渐近线夹角是（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：∵e =c a =2√33，∴c =2√33 a ，故在一、三象限内的渐近线的斜率为 b a =√c 2−a 2a =√33，故此渐近线的倾斜角等于30°，故该双曲线两渐近线夹角是2×30°＝60°，即π3，故选：C ．4．已知某摩天轮的半径为60m ，其中心到地面的距离为70m ，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m 时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（ ） A ．5分钟B ．10分钟C ．15分钟D ．20分钟解：设游客到地面的距离为ym ，y 关于转动时间t （单位：分钟）的函数关系式为y ＝A sin （ωt +φ）+b （A ＞0，ω＞0），则A ＝60，﹣A +b ＝10，可得b ＝70，函数y ＝A sin （ωt +φ）+b 的最小正周期为T ＝30，则ω=2πT =π15，当t ＝0时，游客位于最低点，可取φ=−π2， 所以，y =60sin(πt15−π2)+70=−60cos πt15+70， 由y ＞100，即−60cosπt 15+70＞100，可得cos πt 15＜−12， 所以，2kπ+2π3＜πt15＜2kπ+4π3(n ∈N)，解得30k +10＜t ＜30k +20（k ∈N ）， 因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有10分钟． 故选：B ．5．现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为√32的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（ ） A ．278π B ．338π C ．458π D ．558π解：作轴截面图如下：△ABC 为圆锥的轴截面，点O 为与侧面相切球的球心，点E ，F 为切点，由已知，可得AB ＝BC ＝AC ＝4，OE =OF =√32，∠ACB ＝60°，OE ⊥AC ，在△OEC 中，OE =√32，∠OEC ＝90°，∠OCE ＝30°， 所以OC =√3，CE =32，又AC ＝4， 所以AE =52，所以圆台的母线长为52，因为CE ＝CF ，∠ECF ＝60°，所以△ECF 为等边三角形，所以EF =32， 所以圆台的侧面积S =π(34+2)52=55π8． 故选：D ．6．已知△ABC 是单位圆O 的内接三角形，若A =π4，则AB →⋅OC →的最大值为（ ）A ．12B ．√22C ．1D ．√2解：由圆O 是△ABC 的外接圆，且A =π4，故OB ⊥OC ，所以AB →=OB →−OA →，则AB →⋅OC →=OB →⋅OC →−OA →⋅OC →，所以AB →⋅OC →=−OA →⋅OC →=−cos〈OA →，OC →〉，故OA →，OC →反向共线时AB →⋅OC →最大， 所以(AB →⋅OC →)max =1． 故选：C ．7．已知(1−x)2023=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2023x 2023，则1a 1+1a 2+⋯+1a 2023=（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．20231012解：（1﹣x ）2023的展开式通项为T k+1=C 2023k ⋅(−x)k =C 2023k⋅(−1)k x k (k =0，1，2，⋯，2023)， 所以，a k =C 2023k ⋅(−1)k (k =0，1，2，⋯，2023)，所以，a k +a 2023−k =C 2023k ⋅(−1)k +C 20232023−k ⋅(−1)2023−k =(−1)k [C 2023k ⋅+C 20232023−k ⋅(−1)2023−2k ]=0，所以，1a k+1a 2023−k =0(k =0，1，2，⋯，2023)，且a 0＝1，所以，1a 1+1a 2+⋯+1a 2023=(1a 0+1a 1+1a 2+⋯+1a 2023)−1a 0=(1a 0+1a 2023)+(1a 1+1a 2022)+⋯+(1a 1011+1a 1012)−1a 0=−1．故选：A ．8．已知a =ln22，b =ln3e ，c =√22，则（参考数据：ln 2≈0.7）（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b解：因为a =ln22=2ln24=ln44，c =lne √2√2，考虑构造函数f(x)=lnxx ，则f ′(x)=1−lnxx 2， 当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（0，e ）上单调递增， 当x ＞e 时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（e ，+∞）上单调递减， 因为ln 2≈0.7，所以e 0.7≈2，即e √2＞(e 0.7)2≈4，所以3＜4＜e √2， 所以ln33＞ln44√2√2，即ln33＞ln22＞√2√2，又ln33＜ln3e，所以ln3e＞ln22√2√2，故b ＞a ＞c ．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线m 与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（ ） A ．平面α内存在直线l 与直线m 平行B ．平面α内存在直线l 与直线m 垂直C ．存在平面γ与直线m 和平面α都平行D ．存在过直线m 的平面β与平面α垂直 解：对于A 选项，若直线m 与α相交，且平面α内存在直线l 与直线m 平行， 由于m ⊄α，则m ∥α，这与直线m 与α相交矛盾，假设不成立，A 错； 对于B 选项，若m ⊂α，则在平面α内必存在l 与直线m 垂直， 若直线m 与α相交，设m ∩α＝A ，如下图所示：若m ⊥α，且l ⊂α，则m ⊥l ，若m 与α斜交，过直线m 上一点P （异于点A ）作PB ⊥α，垂足点为B ， 过点A 作直线l ，使得l ⊥AB ，因为PB ⊥α，l ⊂α，则l ⊥PB ， 又因为l ⊥AB ，PB ∩AB ＝B ，PB 、AB ⊂平面P AB ，所以l ⊥平面P AB ， 因为m ⊂平面P AB ，所以l ⊥m ，综上所述，平面α内存在直线l 与直线m 垂直，B 正确；对于C 选项，因为直线m 与平面α有公共点，所以m ⊂α或m 与α相交，故C 错误； 对于D 选项，若m ⊥α，则过直线m 的任意一个平面都与平面α垂直， 若m 与α不垂直，设直线m 与平面的一个公共点为点A ，则过点A 有且只有一条直线l 与平面α垂直，记直线l 、m 所确定的平面为γ，则α⊥β，D 正确． 故选：BD ．10．已知f （x ）＝cos x +tan x ，则下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）有对称轴C ．f （x ）有对称中心D ．f （x ）在(0，π2)上单调递增解：因为f （x ）＝cos x +tan x ，所以f （x +2π）＝cos （x +2π）+tan （x +2π）＝cos x +tan x ＝f （x ）， 所以函数f （x ）为周期函数，A 正确；因为f(π2+x)=cos(π2+x)+tan(π2+x)=−sinx −cosxsinx ， f(π2−x)=cos(π2−x)+tan(π2−x)=sinx +cosxsinx ， 所以f(π2+x)=−f(π2−x)，所以函数f(π2+x)为奇函数，故函数f(π2+x)的图象关于原点对称， 所以(π2，0)为函数f （x ）的中心对称，C 正确；当x ∈(0，π2)时，f ′(x)=−sinx +cos 2x+sin 2x cos 2x =−sinx +1cos 2x，因为0＜cos x ＜1，0＜sin x ＜1，所以f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在(0，π2)上单调递增，D 正确； 由f ′(x)=−sinx +1cos 2x可得， 当−π2＜x ＜π2时，由0＜cos x ≤1，﹣1＜sin x ＜1，可得f ′（x ）＞0， 函数f （x ）在(−π2，π2)上单调递增， 当π2＜x ＜3π2，由﹣1≤cos x ＜0，﹣1＜sin x ＜1，可得f ′（x ）＞0，函数f （x ）在(π2，3π2)上单调递增， 又f （0）＝1，f （π）＝﹣1， 作出函数f （x ）在(−π2，π2)∪(π2，3π2)的大致图象可得：结合函数f （x ）是一个周期为2π的函数可得函数f （x ）没有对称轴，B 错误． 故选：ACD ．11．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（ ） A ．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分 B ．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分 C ．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分D ．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24解：对于A ，设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5， 则x 1≤x 2≤x 3≤x 4≤x 5，x 3＝26，且24至少出现2次， 故x 1＝x 2＝24，故A 正确；对于B ，设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为y 1，y 2，y 3，y 4，y 5， 则y 1≤y 2≤y 3≤y 4≤y 5，y 3＝29，取y 1＝20，y 2＝23，y 4＝29，y 5＝29，可得其满足条件，但有2场得分低于24，故B 错误； 对于C ，设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为z 1，z 2，z 3，z 4，z 5， 由已知15[(z 1−26)2+(z 2−26)2+(z 3−26)2+(z 4−26)2+(z 5−26)2]=9.6，所以(z 1−26)2+(z 2−26)2+(z 3−26)2+(z 4−26)2+(z 5−26)2=48， 若z 4≥32，则z 5≥32，所以(z 1−26)2+(z 2−26)2+(z 3−26)2+(z 4−26)2+(z 5−26)2＞72，矛盾， 所以z 5＝32，(z 1−26)2+(z 2−26)2+(z 3−26)2+(z 4−26)2=12， 因为z 1，z 2，z 3，z 4，z 5的平均数为26，所以z 1+z 2+z 3+z 4＝98，取z 1＝23，z 2＝25，z 3＝25，z 4＝25，满足要求，但有一场得分低于2（4分），故C 错误； 对于D ，因为5×60%＝3，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为z 3+z 42，若z 3+z 42≤24，则z 1+z 22≤24，故z 1+z 2+z 3+z 4＜98，矛盾，所以z 3+z 42＞24，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，故D 正确．故选：AD ．12．在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD 四边所在直线与x 轴的交点分别为（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），则正方形ABCD 四边所在直线中过点（0，0）的直线的斜率可以是（ ） A ．2B ．32C ．34D ．14解：因为选项斜率均为正值，不妨假设AB 所在的直线过点（0，0）， 设直线AB 的倾斜角为α∈(0，π2)，斜率为k ，①若CD 所在的直线过点（1，0），如图，可得BC ＝sin α，CD ＝2cos α， 因为BC ＝CD ，即sin α＝2cos α，则k ＝tan α＝2；②若CD 所在的直线过点（2，0），如图，可得BC ＝2sin α，CD ＝3cos α， 因为BC ＝CD ，即2sin α＝3cos α，则k =tanα=32；③若CD 所在的直线过点（4，0），如图，可得BC ＝4sin α，CD ＝cos α， 因为BC ＝CD ，即4sin α＝cos α，则k =tanα=14；综上所述：k 的可能值为2，32，14． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2+a 3＝12，a 4＝16，则{a n }的公比q ＝ 2 ． 解：由题意可得{a 2+a 3=a 2(1+q)=12a 4=a 2q 2=16，则a 2≠0，上述两个等式作商可得q 21+q=43，即3q 2﹣4q ﹣4＝0，因为q ＞1，解得q ＝2． 故答案为：2．14．已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°，除面ABCD 外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，Ⅰ，则由点E ，F ，G ，H ，Ⅰ构成的四棱锥的体积为 √33． 解：连接AC ，BD ，由题意可得AC ⊥BD ，AC =2√3，BD =2，分别过E ，F ，G ，H 作底面ABCD 的垂线，垂足分别为E 1，F 1，G 1，H 1， 可得E 1，F 1，G 1，H 1分别为AB ，BC ，CD ，AD 的中点， 连接E 1F 1，F 1G 1，G 1H 1，H 1E 1，可得E 1F 1⊥F 1G 1，E 1F 1=G 1H 1=12AC =√3，F 1G 1=H 1E 1=12BD =1， 由题意可得：EFGH ﹣E 1F 1G 1H 1为四棱柱， 则S EFGH =S E 1F 1G 1H 1=E 1F 1⋅F 1G 1=√3，四棱锥的高为直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高的一半，即为1， 所以四棱锥的体积V I−EFGH =13×1×√3=√33． 故答案为：√33．15．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．若直线MN 在y 轴上的截距为3，且MN →=4F 1N →，则椭圆C 的标准方程为x 281+y 254=1 ．解：由对称性不妨令点M 在第一象限，令直线MN 交y 轴于点A ，过N 作NB ⊥x 轴于B ，令F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），因为MF 2⊥x 轴，则OA ∥MF 2，而O 为F 1F 2的中点，又A 为MF 1中点，而|OA |＝3， 于是|MF 2|＝2|OA |＝6，由MN →=4F 1N →知，|NF 1||MF 1|=13，显然NB ∥MF 2，因此|NB|=13|MF 2|=2，|BF 1|=13|F 1F 2|=2c3，于是N(−5c3，−2)，又M （c ，6），则{25c 29a 2+4b 2=1c 2a 2+36b 2=1，解得b 2＝54，a 2＝3c 2， 而a 2＝b 2+c 2，则c 2＝27，a 2＝81， 所以椭圆C 的标准方程为x 281+y 254=1．故答案为：x 281+y 254=1．16．已知f （x ）＝x 3﹣x ，若过点P （m ，n ）恰能作两条直线与曲线y ＝f （x ）相切，且这两条切线关于直线x ＝m 对称，则m 的一个可能值为2√69（或−2√69或2√3015或−2√3015） ．解：设切点坐标为（t ，t 3﹣t ），因为f （x ）＝x 3﹣x ，则f '（x ）＝3x 2﹣1，切线斜率为f '（t ）＝3t 2﹣1， 所以，曲线y ＝f （x ）在x ＝t 处的切线方程为y ﹣（t 3﹣t ）＝（3t 2﹣1）（x ﹣t ）， 将点P 的坐标代入切线方程可得2t 3﹣3mt 2+m +n ＝0，设过点P 且与曲线y ＝f （x ）相切的切线的切点的横坐标分别为x 1、x 2，且x 1≠x 2，因为这两条切线关于直线x ＝m 对称，则f ′(x 1)+f′(x 2)=3x 12−1+3x 22−1=0， 所以x 12+x 22=23，易知x 1、x 2关于t 的方程2t 3﹣3mt 2+m +n ＝0的两个根，设该方程的第三个根为x 3， 则2t 3﹣3mt 2+m +n ＝2（t ﹣x 1）（t ﹣x 2）（t ﹣x 3），则2t 3−3mt 2+m +n =2t 3−2(x 1+x 2+x 3)t 2+2(x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3)t −2x 1x 2x 3，所以{ x 1+x 2+x 3=3m2x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3=0x 1x 2x 3=−m+n2x 12+x 22=23， 因为过点P （m ，n ）恰能作两条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则关于t 的方程2t 3﹣3mt 2+m +n ＝0只有两个不等的实根，不妨设x 3＝x 1， 则{ 2x 1+x 2=3m22x 1x 2+x 12=0x 12x 2=−m+n 2x 12+x 22=23， 若x 1＝0，则{x 2=3m 2x 22=23，可得9m 24=23，解得m =±2√69；若2x 2+x 1＝0，则x 1＝﹣2x 2，所以，2x 1+x 2=−3x 2=3m 2，可得x 2=−m2，x 1＝m ， 所以x 12+x 22=5m 24=23，解得m =±2√3015．综上所述，m =±2√69或±2√3015． 故答案为：2√69（或−2√69或2√3015或−2√3015）． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且满足a 1＝1，a 1，a 2，a 4成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n ={2a n ，n 为奇数1a n an+2，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．解：（1）∵a 1，a 2，a 4成等比数列，∴a 22=a 1a 4，即（1+d ）2＝1×（1+3d ），解得d ＝0或d ＝1，∵d ＞0，∴d ＝1， ∴a n ＝1+1×（n ﹣1）＝n ．（2）由（1）得b n ={2n ，n 为奇数，1n(n+2)，n 为偶数，∴b n ={2n ，n 为奇数，12(1n−1n+2)，n 为偶数， ∴T 2n ＝b 1+b 2+b 3+…+b 2n ﹣1+b 2n ＝（b 1+b 3+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）＝（21+23+...+22n ﹣1）+12[（12−14）+（14−16）+...+（12n −12n+2）]=21−22n−1⋅221−22+12(12−12n+2)=22n+13−14n+4−512， ∴数列{b n }的前2n 项的和T 2n =22n+13−14n+4−512．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3bcos A+B2=csinB ． （1）求C ；（2）若a +b =√3c ，求sin A ． 解：（1）由正弦定理b sinB=csinC，得√3sinBcos A+B2=sinCsinB ，因为B ∈（0，π），则sin B ≠0，所以√3cosA+B2=sinC ， 因为A +B +C ＝π，所以cos(A+B2)=cos(π2−C2)=sin C2， 所以√3sin C2=2sin C2cos C2，因为C ∈（0，π），则C2∈(0，π2)，可得sin C2≠0，所以cos C 2=√32， 则C2=π6，所以C =π3；（2）因为a +b =√3c ，由正弦定理asinA=b sinB=csinC，得sin A +sin B =√3sinC =32，因为A +B =π−π3=2π3， 所以sinA +sinB =sinA +sin(2π3−A)， =sinA +√32cosA +12sinA =32sinA +√32cosA =√3sin(A +π6)=32，即sin(A +π6)=√32，因为A ∈（0，π），则A +π6∈(π6，7π6)， 所以A +π6=π3或2π3，所以A =π6或π2，故sinA =12或1．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝2，PD ⊥CD ．（1）证明：AB ⊥PB ；（2）若平面P AB⊥平面PCD，且PA=√102，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．证明：（1）如图1，连接BD，因为四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝2，所以CD＝1，∠BCD＝60°，AB∥CD，所以BD2=BC2+CD2−2BC⋅CDcos∠BCD=1+4−2×1×2×12=3，所以BD=√3，所以BC2＝BD2+CD2，所以CD⊥BD，又因为CD⊥PD，BD∩PD＝D，BD，PD⊂平面PBD，所以CD⊥平面PBD，因为PB⊂平面PBD，所以CD⊥PB，因为AB∥CD，所以AB⊥PB；解：（2）如图2，设平面P AB和平面PCD的交线为直线l，因为CD∥AB，CD⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，所以CD∥平面P AB，因为CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面P AB＝l，所以CD∥l，因为CD⊥平面PBD，所以l⊥平面PBD，因为PB，PD⊂平面PBD，所以∠BPD是平面P AB与平面PCD的二面角，因为平面P AB⊥平面PCD，所以∠BPD＝90°，即BP⊥DP在Rt△ABP中，因为PA=√102，AB＝1，所以PB=√62，在Rt△BPD中，因为BD=√3，则PD=√62，所以△BPD为等腰直角三角形，由（1）得CD⊥平面PBD，如图3，以点D为坐标原点，DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(√3，−1，0)，B(√3，0，0)，C （0，1，0），P(√32，0，√32)，所以AC →=(−√3，2，0)，BC →=(−√3，1，0)，BP →=(−√32，0，√32)， 设平面PBC 的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{n →⋅BC →=−√3x +y =0n →⋅BP →=−√32x +√32z =0， 取x ＝1，则y =√3，z =1，得n →=(1，√3，1)， 记直线AC 与平面PBC 所成角为θ， 则sinθ=|cos〈n →，AC →〉|=|n →⋅AC→|n →|⋅|AC →||=−√3+2√3+01+3+1×3+4=√10535，所以直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值为√10535．20．（12分）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为γ（α+β+γ＝1，α＞0，β＞0，γ≥0），且每局比赛结果相互独立．（1）若α=25，β=25，γ=15，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； （2）当γ＝0时，（i ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X 的分布列及期望E （X ）的最大值； （ii ）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程． 解：（1）用事件A ，B ，C 分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”或“平局”， 则P(A)=α=25，P(B)=β=25，P(C)=γ=15， 记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N ，则事件N 包括事件ABAA ，BAAA ，ACCA ，CACA ，CCAA 共5种，所以P （N ）＝P （ABAA ）+P （BAAA ）+P （ACCA ）+P （CACA ）+P （CCAA ） ＝2P （B ）P （A ）P （A ）P （A ）+3P （C ）P （C ）P （A ）P （A ）=2×(25)4+3×(15)2×(25)2=44625； （2）（i ）因为γ＝0，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即α+β＝1， 由题意得X 的所有可能取值为2，4，5，则 P （X ＝2）＝α2+β2，P （X ＝4）＝（αβ+βα）α2+（αβ+βα）β2＝2αβ（α2+β2）， P （X ＝5）＝（αβ+βα）•（αβ+βα）•1＝4α2β2． 所以X 的分布列为：所以X 的期望E （X ）＝2（α2+β2）+8αβ（α2+β2）+20α2β2 ＝2（1﹣2αβ）+8αβ（1﹣2αβ）+20α2β2＝4α2β2+4αβ+2，因为α+β=1≥2√αβ，所以αβ≤14，当且仅当α=β=12时，等号成立， 所以αβ∈(0，14]，所以E(X)=4α2β2+4αβ+2=(2αβ+1)2+1≤(2×14+1)2+1=134， 故E （X ）的最大值为134；（ii ）记“甲学员赢得比赛”为事件M ，则P(M)=α21−2αβ=α2α2+β2． 由（1）得前两局比赛结果可能有AA ，BB ，AB ，BA ，其中事件AA 表示“甲学员赢得比赛”， 事件BB 表示“乙学员赢得比赛”，事件AB ，BA 表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同， 所以 P （M ）＝P （AA ）•1+P （BB ）•0+P （AB ）•P （M ）+P （BA ）•P （M ） ＝P （A ）P （A ）+P （A ）P （B ）P （M ）+P （B ）P （A ）P （M ） ＝α2+αβP （M ）+βαP （M ） ＝α2+2αβP （M ）所以（1﹣2αβ）P （M ）＝α2，即P(M)=α21−2αβ， 因为α+β＝1，所以P(M)=α2(α+β)2−2αβ=α2α2+2αβ+β2−2αβ=α2α2+β2．21．（12分）已知f （x ）＝x 2﹣ae x ，存在x 1＜x 2＜x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝0． （1）求实数a 的取值范围；（2）试探究x 1+x 2+x 3与3的大小关系，并证明你的结论．解：（1）由题意得f （x ）＝x 2﹣ae x 有三个零点， 所以方程x 2﹣ae x＝0有三个根，即方程x 2e x=a 有三个根，所以函数y ＝a 与函数y =x 2e x的图象有三个公共点， 设g(x)=x 2e x ，则g ′(x)=2x−x 2e x ，令g ′（x ）＞0，解得0＜x ＜2；令g ′（x ）＜0，解得x ＜0或x ＞2，所以g （x ）在（0，2）上单调递增，在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递减， 因为当x →﹣∞时，g （x ）→+∞，当x →+∞时，g （x ）→0， 且g （0）＝0，g(2)=4e 2， 所以g （0）＜a ＜g （2），所以0＜a ＜4e 2，即实数a 的取值范围为（0，4e 2）． （2）x 1+x 2+x 3＞3，证明如下：因为x 1＜x 2＜x 3，由（1）得x 1＜0＜x 2＜2＜x 3，由a =x 22e x 2=x 32e x 3，得2lnx 2﹣x 2＝2lnx 3﹣x 3，设h （x ）＝2lnx ﹣x ，则h （x 2）＝h （x 3）， 求导得ℎ′(x)=2x−1， 令h ′（x ）＞0，解得0＜x ＜2，令h '（x ）＜0，解得x ＞2， 所以h （x ）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减， 设m （x ）＝h （4﹣x ）﹣h （x ），0＜x ＜2，则m （x ）＝2ln （4﹣x ）﹣4+x ﹣2lnx +x ＝2ln （4﹣x ）﹣2lnx +2x ﹣4，0＜x ＜2，求导得m ′(x)=2x−4−2x +2=2(x−2)2x(x−4)＜0恒成立，所以m （x ）在（0，2）上单调递减，所以m （x ）＞m （2）＝0，即h （4﹣x ）＞h （x ）， 因为0＜x 2＜2，所以h （4﹣x 2）＞h （x 2）＝h （x 3）， 又因为x 3＞2，4﹣x 2＞2，h （x ）在（2，+∞）上单调递减， 所以4﹣x 2＜x 3，即x 2+x 3＞4， 设g(x 0)=4e 2且x 0＜0，则g(x 1)=a ＜4e2=g(x 0)， 因为g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x 1＞x 0， 因为e 3＞4，所以1e−1＞4e 2，所以g(−1)=1e −1＞4e 2=g(x 0)，因为g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x 0＞﹣1， 所以x 1＞x 0＞﹣1， 所以x 1+x 2+x 3＞4﹣1＝3．22．（12分）已知A ，B 是抛物线E ：y ＝x 2上不同的两点，点P 在x 轴下方，P A 与抛物线E 交于点C ，PB 与抛物线E 交于点D ，且满足|PA||PC|=|PB||PD|=λ，其中λ是常数，且λ≠1．（1）设AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：MN 垂直于x 轴；（2）若点P 为半圆x 2+y 2＝1（y ＜0）上的动点，且λ＝2，求四边形ABDC 面积的最大值． （1）证明：因为|PA||PC|=|PB||PD|=λ，且P ，A ，C 共线，P ，B ，D 共线，所以AB ∥CD ，所以直线AB 和直线CD 的斜率相等，即k AB ＝k CD ，设A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，C(x 3，x 32)，D(x 4，x 42)，则点M 的横坐标x M =x 1+x 22，点N 的横坐标x N =x 3+x42， 由k AB ＝k CD ，得x 22−x 12x 2−x 1=x 42−x 32x 4−x 3，因式分解得(x 2−x 1)(x 2+x 1)x 2−x 1=(x 4−x 3)(x 4+x 3)x 4−x 3，约分得x 2+x 1＝x 4+x 3，所以x 1+x 22=x 3+x 42，即x M ＝x N ，所以MN 垂直于x 轴．（2）解：设P （x 0，y 0），则x 02+y 02=1，且﹣1≤y 0＜0，当λ＝2时，C 为P A 中点，则x 3=x 0+x 12，y 3=y 0+x 122，因为C 在抛物线上，所以y 0+x 122=(x 0+x 12)2，整理得x 12−2x 0x 1+2y 0−x 02=0，当λ＝2时，D 为PB 中点，同理得x 22−2x 0x 2+2y 0−x 02=0， 所以x 1，x 2是方程x 2−2x 0x +2y 0−x 02=0的两个根， 因为Δ=4x 02−4(2y 0−x 02)=8(x 02−y 0)＞0， 由韦达定理得x 1+x 2＝2x 0，x 1x 2=2y 0−x 02，所以x 0=x 1+x 22=x M ，所以PM 也垂直于x 轴， 所以|PM|=x 12+x 222−y 0=4x 02−4y 0+2x 022−y 0=3(x 02−y 0)， 因为|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4x 02−8y 0+4x 02=2√2⋅√x 02−y 0，所以S 四边形ABDC =34S △PAB =34×12⋅|PM|⋅|x 1−x 2|=38⋅(3x 02−y 0)×2√2⋅√x 02−y 0=9√24(√x 02−y 0)3=9√24(√−y 02−y 0+1)3，﹣1≤y 0＜0，当y 0=−12时，−y 02−y 0+1取得最大值54，所以S 四边形ABDC ≤9√24×(√54)3=45√1032， 所以四边形ABDC 面积的最大值为45√1032．。
2023年广东省广州市中考二模数学试题(解析版)
2023年中考适应性训练数学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列四个数中，属于有理数的是（ ） A. 111B. C. πD.【答案】A【解析】【分析】整数和分数统称为有理数，根据定义解答． 【详解】解：111π、都属于无理数， 故选：A ．【点睛】此题考查了有理数的定义，熟记定义并正确区分有理数与无理数是解题的关键． 2. 单项式24xy 的次数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】【分析】根据单项式次数定义，即单项式所含字母的指数和为单项式的次数，据此即可解答．【详解】解：单项式24xy 的次数为：123+=，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式次数的定义，熟练掌握和运用单项式次数的定义是解决本题的关键． 3. 若正数a 的两个平方根是32m −与32m −，则m 为（ ）A. 0B. 1C. 1−D. 1或1− 【答案】C【解析】【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可求解．【详解】解：∵正数a 的两个平方根是32m −与32m −，∴32320m m −+−=，解得：1m =−，故选C ．【点睛】本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题的关键． 的4. 下列运算正确的是（ ）． A. 22−=− B. ()22346a b a b =C. ()2211a a −=−D. 3+【答案】B【解析】 【分析】根据绝对值的定义，积的乘方的计算法则，完全平方公式，实数的计算分别解答． 【详解】解：22−=，故选项A 错误； ()22346a b a b =，故选项B 正确； ()22121a a a −=−+，故选项C 错误；33+=+，故选项D 错误；故选：B ．【点睛】此题考查了绝对值的定义，积的乘方的计算法则，完全平方公式，实数的计算，正确掌握各知识点是解题的关键．5. 在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）A. 中位数是8B. 众数是9C. 平均数是8D. 方差是0 【答案】B【解析】【分析】根据中位数、众数、平均数及方差的计算方法分别求解即可得到答案．【详解】解：A 、按照从小到大的顺序排列为7，7，8，8，9，9，9，10，由中位数的求解方法得到这组数据的中位数为898.582+=≠，该选项错误，不符合题意； B 、这组数据中众数为9，该选项正确，符合题意；C 、这组数据平均数为()17788999108.37588×+++++++=≠，该选项错误，不符合题意； D 、这组数据的平均数为8.375，则方差为()()()()22221278.375288.375398.375108.37508 ××−+×−+×−+−≠，该选项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查统计综合，熟练掌握中位数、众数、平均数及方差的计算方法是解决问题的关键．6. 下列命题是真命题的是（ ）A. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的的判定定理判断即可．【详解】解：A 选项有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以此项错误；B 选项有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此项错误；C 选项对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以此项错误；D 选项对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以此项正确；故选D ．【点睛】本题主要考查平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定定理是解决本题的关键．7. 已知a ，b 满足方程组51234a b a b += −=则a +b 的值为（ ） A. ﹣4B. 4C. ﹣2D. 2【答案】B【解析】 【详解】解：512{34a b a b +=−=①②， ①+②：4a +4b =16则a +b =4．故选：B ．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法、代入消元法是解题的关键．8. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=°，6AC =，8BC =，则ABC 的内切圆的半径r 是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 无法判断【答案】A【解析】 【分析】根据等积法求内切圆半径，进行求解即可．【详解】解：∵90C ∠=°，6AC =，8BC =，∴10AB =，如图：设ABC 的内切圆与各边的切点分别为点,,D E F ，连接,,OD OE OF ，则：,,,OD OE OF r OD BC OE AC OF AB ===⊥⊥⊥，∵ABC AOB AOC BOC S S S S =++ ， ∴11112222AC BC AB r AC r BC r ⋅=⋅+⋅+⋅，即：()686810r ×=++，∴2r =；故选A ．【点睛】本题考查求三角形内切圆的半径．熟练掌握等积法求内切圆的半径，是解题的关键．9. 如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋（b －1）x ＋c 的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2+bx+c 图象相交于P 、Q 两点，得出方程ax 2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax 2+（b-1）x+c 与x 轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax 2+（b-1）x+c 的对称轴x=-12b a−＞0，即可进行判断． 【详解】点P 在抛物线上，设点P （x ，ax 2+bx+c ），又因点P 在直线y=x 上， ∴x=ax 2+bx+c ，∴ax 2+（b-1）x+c=0；由图象可知一次函数y=x 与二次函数y=ax 2+bx+c 交于第一象限的P 、Q 两点，∴方程ax 2+（b-1）x+c=0有两个正实数根．∴函数y=ax 2+（b-1）x+c 与x 轴有两个交点，又∵-2b a＞0，a ＞0 ∴-12b a −=-2b a +12a ＞0 ∴函数y=ax 2+（b-1）x+c 的对称轴x=-12b a−＞0， ∴A 符合条件，故选A ．10. 如图,AB 为O 直径,点C 为圆上一点,将劣弧ACˆ沿弦AC 翻折交AB 于点D,连接CD,若点D 与圆心O 不重合,∠BAC=20°,则∠DCA 的度数是()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】C【解析】【分析】连接BC ，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB ，根据直角三角形两锐角互余求出∠B ，再根据翻折及圆内接四边形的性质得到 ADC 所对的圆周角，然后根据三角形内角和，计算即可得解．【详解】如图，连接BC ，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°－∠BAC=90°－20°=70°，根据翻折的性质， AC 所对的圆周角为∠B,ADC 所对的圆周角为∠ADC ， ∴∠ADC+∠B=180°，∴∠ADC=180°－∠B=110°，∴∠DCA=180°－∠BAC －∠ADC=180°－20°－110°=50°.故选C.构造出直角三角形是解答此题的关键.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11. 点()3,4关于原点对称的点的坐标是______．【答案】()3,4−−【解析】【分析】根据点的对称性，关于原点对称的两个点的各个坐标互为相反数即可得到答案．【详解】解：点()3,4关于原点对称的点的坐标是()3,4−−，故答案为：()3,4−−．【点睛】本题考查点的对称，熟记点的对称的坐标特征是解决问题的关键．12. 因式分解：2312m −=__________． 【答案】3(2)(2)m m +−【解析】【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可．【详解】解：原式=3(x 2−4)=3(x +2)(x −2)；故答案为：3(x +2)(x −2)．【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 13. ABC 中，70BAC ∠=°，12∠=∠，则ADC ∠=______．【答案】110°##110度【解析】【分析】根据三角形内角和定理以及图形中的各角之间的关系进行计算即可．【详解】解：如图，1370BAC ∠+∠=∠=° ，23180ADC ∠+∠+∠=°，12∠=∠， 13180ADC ∴∠+∠+∠=°，即18070110ADC ∠=°−°=°，故答案为：110°．【点睛】本题考查三角形内角和，掌握三角形内角和是180°是正确解答的前提．14. 计算：20222023122 ×−=______． 【答案】2【解析】 【分析】根据积的乘方运算的逆运算及乘方运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：20222023122 ×− =202220221222 ××在20221222 =××2=， 故答案为：2．【点睛】本题考查有理数运算，涉及积的乘方运算的逆运算及乘方运算法则，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．15. 一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根，点()11A x y ，、()22B x y ，是反比例函数my x=上的两个点，若120x x <<，则1y ______2y （填“<”或“>”或“=”）．【答案】>【解析】【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则Δ0=求出m 的取值，再由反比例函数的性质得出结论．【详解】解： 一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根，∴2340m ∆=−=， ∴94m =， ∴反比例函数m y x=经过一、三象限， 又 120x x <<， ∴12y y >，故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m 值，再由反比例函数的性质求解．16. 如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ==，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE =，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为B'，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B 上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．【答案】 ①. 1 ②.【解析】 【分析】第一步：设EF 与AA’交于点O ，连接AF ，易证明△AOE △ADC ，利用对应边成比例可得到OA =2OE ，由勾股定理可求出OE ，从而求得OA 及OC ；由AD ∥BC ，易得△AOE ∽△COF ，由对应边成比例可得AE 、FC 的关系式，设BF =x ，则FC =8-x ，由关系式可求得x 的值； 第二步：连接NE ，NF ，根据折叠的性质，得到NF =NE ，设B’N =m ，分别在Rt △NB F ′和Rt △EA N ′中，利用勾股定理及NF =NE 建立方程，可求得m ，最后得出结果．【详解】如图所示，连接AF ，设EF 与AA’交于点O ，由折叠的性质得到AA’⊥EF ，3A E AE ′==∵四边形ABCD 是矩形∴∠ADC =90°，CD =AB =4 ，AD ∥BC∵∠AOE =∠ADC ，∠OAE =∠DAC∴△AOE △ADC ，∴12OE CD OA AD == ， ∴OA =2OE ，在直角△AOE 中，由勾股定理得：2249OE OE += ，∴OE ，∴OA ，在Rt △ADC 中，由勾股定理得到：AC ，∴OC = 令BF =x ，则FC =8-x ，∵AD ∥BC ，∴△AOE ∽△COF ， ∴37OAAE OC FC == ， 即7AE =3FC∴3(8-x )=7×3解得：1x =,∴BF 的长为1．连接NE ，NF ，如图，根据折叠性质得：BF =B’F =1，MN ⊥EF ，NF =NE ， 设B’N =m ，则22222213(4)NF m NE m =+==+- ，解得：m =3，则NF ，∵EF∴MF ，∴MN =，故答案为：1【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算，()02cos452023π°+−−【答案】1−【解析】【分析】先化简各式，再进行加减运算．【详解】解：原式21=+−1=+−1=【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，掌握零指数幂和二次根式的性质，是解题的关键．18. 如图，已知1120∠=°，260∠=°，若3122∠=°，求4∠的度数．【答案】458∠=°【解析】【分析】根据平行线的性质与判定可进行求解．【详解】解：∵1120∠=°，260∠=°，∴12180∠+∠=°，∴AC BD ∥，∴3BDC ∠=∠，∵3122∠=°，∴122BDC ∠=°，∴418058BDC ∠=°−∠=°．【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．19. 已知T 229633a a a a a −=+++（）（）． （1）化简T ；（2）若正方形ABCD 的边长为a ，且它的面积为9，求T 的值．【答案】（1）1a ；（2）13． 【解析】【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；（2）由正方形的面积求出边长a 的值，代入计算即可求出T 的值．【详解】（1）T 22222a 96a 3a 31a a 3a a 3a a 3a−++=+==+++（）（）（）（）（）； （2）由正方形的面积为9，得到a ＝3，则T 13=． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20. 为传承中华优秀传统文化，深入挖掘中华经典诗词中所蕴含的民族正气、爱国情怀、道德品质和艺术魅力，引领诗词教育发展，我校举办诗词大赛，第一轮为经典诵读参赛者从《短歌行》《将进酒》《观沧海》《木兰辞》（分别用A 、B 、C 表示）中随机抽取一首进行朗诵：第二轮为诗词讲解，参赛者从《蒹葭》《沁园春·雪》《念奴娇·赤壁怀古》（分别用E 、F 、G 表示）中随机抽取一首进行讲解，小明和晓慧都参加了诗词大赛．（1）小明第一轮抽到《将进酒》的概率是______．（2）利用树状图或列表法，求晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》的概率．【答案】（1）14（2）112【解析】【分析】（1）利用概率公式进行求解即可；（2）列出表格进行求解即可．【小问1详解】解：第一轮随机抽取一首诗词共有4种等可能的结果，其中抽到《将进酒》的结果有1种，∴14P =； 故答案为：14． 【小问2详解】列表如下：E F G A (),A E(),A F (),A G B (),B E (),B F(),B G C (),C E(),C F (),C GD (),DE (),DF (),G D共有12种等可能的结果，其中晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》只有1种结果； ∴112P =． 【点睛】本题考查列表法求概率．正确列出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键．21. 电灭蚊器的电阻随温度x ℃变化的大致图像如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加1k 5Ω．（1）当1030x ≤≤时，求y 与x 之间的关系式；（2）电灭蚊器在使用过程中，温度x 在什么范围内时，电阻不超过5k Ω?【答案】（1）当1030x ≤≤时，y 与x 的关系式为：60y x=． （2）温度x 取值范围是1245x ≤≤时，电阻不超过5k Ω．的【解析】【分析】（1）设y 与x 之间的关系式为m y x=，把点()10,42n −和点()30,n 代入求得m 的值即可解答； （2）当30x >时，设y 与x 的关系式为y kx b =+，然后求得解析，然后分别求出5y =时，两函数的函数值即可求解解答．【小问1详解】解：当1030x ≤≤时，设y 与x 之间关系式为m y x=， 根据题意得：该函数图像过点()10,42n −和点()30,n ， ∴421030m n m n −= =， 解得：260n m = = ， ∴当1030x ≤≤时，y 与x 的关系式为：60y x =． 【小问2详解】 解：∵60y x=， ∴当30x =时，6023y ==， 根据题意得：该函数图像过点()30,2，∵温度每上升1℃，电阻增加1k 5Ω．当30x >时，设y 与x 的关系式为y kx b =+， ∴该函数图像过点131,25， ∴30213125k b k b += += ，解得：154k b = =− ， ∴当30x >时，y 与x 的关系式为：451y x =−； 对于60y x =，当5y =时，12x =；的对于451y x =−，当5y =时，45x =． 答：温度x 取值范围是1245x ≤≤时，电阻不超过5k Ω．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，求出两函数解析式是解题的关键． 22. 便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，下面是此活动的设计方案．意图说明：C 为AB 的中点… …请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题：（1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是__________．A ．三角形具有稳定性B ．两点确定一条直线C ．两点之间线段最短（2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得30cm,12,45CD C AC C AD =∠=′°∠=′°，请计算此时水桶下降的高度CC ′．（参考数据：sin120.2,cos12 1.0,tan120.2°≈°≈°≈）【答案】（1）A （2）7.5cm【解析】【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可；（2）设cm CC x ′=，先AC D ′是等腰直角三角形，再在Rt AC C ′ 中利用锐角三角函数的关系即可求解． 【小问1详解】综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性．故选A ．【小问2详解】设cm CC x ′=，∵45C AD ′°∠=，90DC A ′°∠=， ∴45C AD C DA ′′°∠=∠=，∴30AC C D x ′′==+，在Rt AC C ′ 中，12C AC ∠=′°， ∵tan CC C AC AC ′′∠=′，tan120.2°≈， ∴0.230x x=+， ∴7.5cm x =．即7.5cm CC ′=．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解答本题的关键．23. 如图，已知ABC 中，90ACB ∠=°；以BC 为直径作O ，与边AC 相切于点C ，交AB 边于点D ，E 为AC 中点，连接DE ．（1）求证，DE 是O 的切线；（2）尺规作图，点P 是线段BC 上一动点，当DP EP +最小时，请在图中西出点P 的位置（不写作法，保留作图痕迹），（3）在（2）的条件下，若8CD =，3tan 4ECD ∠=，求出CP 的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）4019CP = 【解析】【分析】（1）连接OD ，根据题中条件证明90CDO EDC ∠+∠=°即可证明；（2）过D 作BC 垂线，交O 于'D ，则'D 与D 关于BC 对称，连接'ED 交BC 于P ，此时''DP EP D P EP D E +=+=最小，则点P 即为所求作；（3）在Rt BCD 中，利用锐角三角函数求出BD ，然后在Rt BMD △中，利用三角函数设3DM k =，4BM k =，根据BD 的长即可求出k ，证明'ECP D MP ∼即可求出．【小问1详解】证明：连接OD ，如图所示，∵BC 为O 的直径，∴90CDB ∠=°，90B BCD ∠+∠=°，∴90CDO BDO ∠+∠=°，90CDA ∠=°， ∵E 为AC 中点，∴CE DE =，∴ECD EDC ∠=∠，∵90ACB ∠=°， ∴90ECD BCD ∠+∠=°,∵90B BCD ∠+∠=°，∴ECD B ∠=∠，∵ECD EDC ∠=∠，∴B EDC ∠=∠，∵OD OB =，∴ODB B ∠=∠，∴EDC ODB ∠=∠，∵90CDO BDO ∠+∠=°，∴90CDO EDC ∠+∠=°，∴DE 是O 的切线；【小问2详解】解：解：过D 作BC 垂线，交O 于'D ，则'D 与D 关于BC 对称，连接'ED 交BC 于P ，此时''DP EP D P EP D E +=+=最小，则点P 即为所求作；【小问3详解】解：设'DD 与BC 的交点M ，连接OD ，如图所示，∵90ACB CDB ∠=∠=°，∴90ECD B BCD ∠=∠=°−∠，在Rt BCD 中，8CD =，3tan 4ECD ∠=，∴332tan BD CD B =÷∠=，则403BC =， 在Rt ACB △中，tan 10AC BC B =×∠=，∵E 为AC 中点， 则152CE AC ==， 在Rt BMD △中，3tan 4DM B BM ∠==，设3DM k =，4BM k =，则5BD k ， ∴3215k =， ∴323233155DM k ==×=，32128441515BM k ==×=，∴245CM BC BM =−=， ∵90ACB ∠=°，'DD BC ⊥， ∴'MD EC ，∴'ECP D MP ∼， ∴'CP CE MP MD =，即5243255CP CP =−， ∴4019CP =； 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形 的性质、最短路径问题、垂径定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数及勾股定理等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握切线的判定与性质，会利用相似三角形的性质和锐角三角函数解决问题是解答的关键．24. 平面直角坐标系中，抛物线2211:221C y x mx m =−+−，与y 轴交于点A ．（1）2m =时，过点A 作直线l 垂直于y 轴，与抛物线1C 的另一个交点记为点B ．求AB 的长； （2）拋物线2C 的开口方向和开口大小均与抛物线1C 相同，顶点在21y x =−上，2C 的顶点横坐标为n ，且2C 解析式记为2y ．①2C 与直线l 交于点C 、D 两点，若CD AB >，求n 的范围；②若m n ≠，当抛物线1C 与抛物线2C 的交点始终在定直线x k =（k 为常数）上时，求此时12y y +的最小值（用含k 的代数式表示）． 【答案】（1）4 （2）①22n −<<，②222k − 【解析】【分析】（1）当2m =时，抛物线22211:22147C y x mx m x x =−+−=−+，由题意知7y =，过点()0,7A 作直线l 垂直于y 轴，即直线:7l y =与抛物线1C 的另一个交点记为点B ，得到2477x x −+=，即()40x x −=，解得0x =或4x =，即可求出4AB =； （2）①由（1）知过点()0,7A 作直线l 垂直于y 轴，即直线:7l y =，再由题意可得2C 解析式()2221y x n n =−+−，根据与直线l 交于点C 、D两点，得到CD =，从而由CD AB >列出不等式4>，求解即可得到答案；②根据题意，联立()2212222211y x mx m y x n n =−+− =−+− ①②，求出抛物线1C 与抛物线2C 的交点横坐标为x m n =+，从而由()()2221222121x m y x m y x n n −+− +=+−+−，根据二次函数最值求法，将其化为顶点式，得到当2k x =时，12y y +有最小值，为()222222k m n −++−；进而由m n k +=变形为n m k =−，将()222222k m n −++−化为224222k k m −+− ，即可知当2k m =时，12y y +有最小值()222222k m n −++−的最小值为222k −，进而求出答案．【小问1详解】解：当2m =时，抛物线22211:22147C y x mx m x x =−+−=−+，抛物线1C 与y 轴交于点A ，∴当0x =时，7y =，即()0,7A ，过点()0,7A 作直线l 垂直于y 轴，即直线:7l y =与抛物线1C 的另一个交点记为点B ，∴当7y =时，2477x x −+=，即()40x x −=，解得0x =或4x =，()4,7B ∴，即4AB =；【小问2详解】解： 拋物线2C 的开口方向和开口大小均与抛物线1C 相同，∴两个抛物线表达式中a 相同为1a =，顶点在21y x =−上，2C 的顶点横坐标为n ，2C ∴的顶点坐标为()2,1n n −，即2C 解析式()2221y x n n =−+−，① 2C 与直线l 交于点C 、D 两点，∴当27y =时，()2217x n n −+−=，解得x n =+或x n =，当280n −≥，即n −≤≤时才能满足题意，CD ∴=CD AB >，4∴>，解得22n −<<，综上所述，若CD AB >，n 的范围22n −<<；② 2211:221C y x mx m =−+−，()2222:1C y x n n =−+−， 联立方程得()2212222211y x mx m y x n n =−+− =−+− ①②，当抛物线1C 与抛物线2C 的有交点时，得①−②得()()()22m n x m n m n −=−+，由m n ≠可知x m n =+，∴抛物线1C 与抛物线2C 的交点横坐标为x m n =+，抛物线1C 与抛物线2C 的交点始终在定直线x k =（k 为常数）上，m n k ∴+=，∴()()2221222121x m y x m y x n n −+− +=+−+−()2222222x kx m n =−++−()222222222k k x m n −−++− ， 20> ，∴当2k x =时，12y y +有最小值，为()222222k m n −++−， m n k +=，即n m k =−， ∴()222222k m n −++− ()222222k m m k =−++−− ()223422m km k =−+− 224222k k m =−+− 40> ，∴当2k m =时，12y y +有最小值()222222k m n −++−的最小值为222k −， 即12y y +的最小值为222k −． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数最值、二次函数交点问题等，综合性较强，熟练掌握二次函数的图像与性质，根据题意灵活运用恒等变形是解决问题的关键．25. 如图1，在钝角ABC 中，30ABC ∠=°，4AC =，点D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且BA =BC =，将BDE 绕点B 逆时针方向旋转α度()0180α°≤≤°．（1）求DE 的长；（2）如图2，当0180α°<<°时，连接AD CE 、．求证：BDA BEC ∽；（3）如图3，在旋转BDE CE AD 、交于点G ．①AGC ∠=______； ②将BDE 从图1位置绕点B 逆时针方向旋转180°，求点G 的运动路程．【答案】（1）（2）证明见解析 （3）①30°，②4π【解析】【分析】（1）根据题意，由相似三角形的判定可知BDE BAC ∽△△，从而利用相似比即可得到DE 的长；（2）根据旋转性质得到DBA EBC α∠=∠=，由题中条件得到BABC BD BE=，由相似三角形的判定可知BDA BEC ∽；（3）①如图所示，利用相似三角形的性质证明即可；②由“定弦定角”模型可知点G 的运动轨迹是以O 为圆心，4为半径O 上的弧，再由旋转过程知道运动路程是 GB长的两倍，求出圆心角，利用弧长公式计算即可得到答案．【小问1详解】解： BA =BC =，BA BC BD BE∴=， 在BDE △和BAC 中，B B ∠=∠，则由两个三角形相似的判定定理得到BDE BAC ∽△△，DE BD AC BA ∴==， 4AC =，4DE ∴； 【小问2详解】证明： 将BDE 绕点B 逆时针方向旋转α度，DBA EBC α∴∠=∠=，BA =，BC =，BA BC BD BE∴=， ∴BDA BEC ∽；【小问3详解】解：①设AB 交CG 于点O ，如图所示：由（2）知BDA BEC ∽，DAB ECB ∴∠=∠，180DAB AOG G ∠+∠+∠=° ，180ECB COB ABC ∠+∠+∠=°，AOG COB ∠=∠，30G ABC ∴∠=∠=°，故答案为：30°；②由30AGC ∠=°，这个角所对的弦为4AC =，根据“定弦定角”模型可知，点G 的轨迹是以AC 为边向左侧作等边ACO △，连接OA ，OC ，以O 为圆心，4为半径作O 上弧，且轨迹是从B 往上方运动，由①知30G ABC ∠=∠=°，则A C B G 、、、四点共圆，以B 为圆心，BD 为半径作B ，如图所示：∴当AG 与B 相切时，即BD AG ⊥时，直线CE AD 、交点G 位于轨迹的最高点，90ADB ∴∠=°，BA = ，在Rt BDA中，sin DB DAB AB ∠=，即45DAB ∠=°， 290GOB DAB ∴∠=∠=°， ∴ GB 的长90π42π180⋅⋅==， 当AG 与B 相切时，G 位于轨迹的最高点；当BDE 继续旋转时，G 会从轨迹的最高点运动到B 点，∴点G 的运动路程是 GB的长的两倍为4π． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，难度较大，属于中考压轴题．的第26页/共26页。
广东省广州市部分学校2025届高三第二次教学质量联合测评数学试题(含答案)
广东省广州市部分学校2025届高三第二次教学质量联合测评数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M ={x|0≤x <4}，则N ={x|13≤x ≤5}，则M ∩N 等于( )A. {x|0<x ≤13}B. {x|13≤x <4}C. {x|4≤x <5}D. {x|0<x ≤5}2.已知复数z 满足(1+2i )z =3−4i ，则|z |=( )A.3B.5C. 3D. 53.已知向量a =(2,x )，b =(x,2)，若a ⊥(b−a )，则x =( )A. 2B. 0C. 1D. −24.北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有ab,(a =b +1)个小球，第二层有(a +1)(b +1)个小球，第三层有(a +2)(b +2)个小球.....依此类推，最底层有cd 个小球，共有n 层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 45.将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有( )A. 20种B. 40种C. 80种D. 160种6.如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P 到江面的距离为100m ，且AB = 2CD =550m ，则顶端P到桥面的距离为( )A. 50mB. 502mC. 55mD. 552m7.将函数g(x)=cos (ωx +π12)(ω∈N ∗)的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的2倍，得到函数f(x)的图象，若f(x)在(0,π2)上只有一个极大值点，则ω的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 58.设a =e 0.1−1，b =111，c =ln1.1，则( )A. b <c <aB. c <b <aC. a <b <cD. a <c <b二、多选题：本题共3小题，共18分。
广东省广州高三综合测试(二)数学(理科)试题(解析版)有答案
广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
(1)已知集合}{11M x x =-<<，{22,N x x =<x ∈Z}，则(A) M N ⊆ (B) N M ⊆ (C){}0M N = (D) MN N =答案：C解析：解一元二次不等式：2x ＜2，得：x <<，又x Z ∈，所以，N ＝{}1,0,1-，所以，{}0MN =。
(2)已知复数z =1i +，其中i 为虚数单位， 则z =(A) 12(B) 1(C) (D) 2答案：B 解析：因为z1i +＝112222i i i -==--，所以，||z = 1(3)已知cos1123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是(A) 13(B)3(C) 13-(D) 3-答案：A 解析：5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin ()212ππθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝cos 1123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭(4)已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ， 且()40.84P X ≤=， 则()24P X <<=(A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.32 (D) 0.16 答案：B解析：由于随机变量X 服从正态分布()23,N σ，又()40.84P X ≤=，所以，(4)(2)0.16P X P X ≥=≤=，()24P X <<=1－0.32＝0.68 (5)不等式组0,2,22x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥-⎩的解集记为D ， 若(),a b D ∈， 则23z a b =-的最小值是(A) 4- (B) 1- (C) 1 (D) 4 答案：A解析：画出不等式组表示的平面区域，如图三角形ABC 为所示，当23z a b =-过A(－2，0)时取得最上值为－4(6)使231(2nx n x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N *)展开式中含有常数项的n 的最小值是(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 答案：C 解析：2251311()()22kn kk k n k k nn k T C x C x x --+==，令25n k -＝0，得52n k =，所以n 的最小值是5 (7)已知函数()()(sin 20f x x ϕϕ=+<<)2π的图象的一个对称中心为3,08π⎛⎫⎪⎝⎭， 则函数()f x 的单调递减区间是(A)32,2(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) (B)52,2(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z )(C)3,(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) (D)5,(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z )答案：D 解析：3sin(2)8πϕ⨯+=0，得：4πϕ=，所以，()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得()f x 的单调递减区间是5,(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) (8)已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=， 则球O 的表面积为(A) 169π(B) 163π(C) 649π(D) 643π答案：D解析：由余弦定理，得：BCABC 外接圆半径为r ，2r=，得r ＝2，又22144R R =+，所以，2R ＝163， 表面积为：24R π＝643π(9)已知命题p ：x ∀∈N *，1123xx ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题q ：x ∃∈N *，122x x -+=则下列命题中为真命题的是(A) p q ∧ (B)()p q ⌝∧ (C) ()p q ∧⌝ (D)()()p q ⌝∧⌝答案：C解析：因为n y x =(n 为正整数)是增函数，又1123>所以，x ∀∈N *， 1123x x⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，p 正确；122x x -+≥=，当且仅当122x x-=，即1*x N =∉，所以，q 假命题， 所以()p q ∧⌝为真命题。
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A
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ì ï-3 y + 3 z = 0, ï î3 3 x - 2 y = 0.
在△ ABA1 中， AM = AN = 1 ， AB = AA1 = 3 ， 所以
AM AN = ， AB AA1
所以 MN P BA1 ．…………………………………………………………………………………………4分 所以 MN P DE1 ． 所以 M ， N ， E1 ， D 四点共面．………………………………………………………………………6分
取 y = 3 3 ，则 x = 2 ， z = 3 3 ． 所以 n = 2,3 3,3 3 是平面 MNE1 D 的一个法向量．………………………………………………12分 设直线 BC 与平面 MNE1 D 所成的角为 q ，
(
)
=
2
æ 3 3ö 3 2´ç ÷+ 3 3´ +3 3´0 2 è 2 ø
F
(
)
ed u. c
B D1 C1 B1 D C
ht t
r uuu r æ 3 3 3 ö uuuu 则 BC = ç ， DE1 = ( 0, -3,3) ， , , 0 ÷ B ç 2 2 ÷ A M è ø x uuuu r DM = 3 3, -2, 0 ．……………………………………………………………………………………10分
教
第（1） （2）问均用向量法：
州
（1）证明：以点 E 为坐标原点， EA ， ED ， EE1 所在的直线 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图的空间直角坐标系，
gu
an gz
F1 A1
故直线 BC 与平面 MNE1 D 所成角的正弦值为
174 ．………………………………………………14分 116
8 15
1 ………………………………………10 分 15
tr .
第 3 组人数为 5 ¸ 0.5 = 10 ，所以 n = 10 ¸ 0.1 = 100 ．…………………………………………………2 分
ed u. c
n/
解得 R = 14 ． 所以△ ABC 外接圆半径的大小为 14 ． …………………………………………………………………12 分
p: /
所以 sin A = 1 - cos A =
2
由（1）知 b = 5k ， c = 3k ， 数学（理科）试题 A 第 1 页 共 15 页
/w ww .
所以可设 a = 7 k ， b = 5k ， c = 3k ( k > 0 ) ，…………………………………………………………2 分
广
3 ．………………………………………………………………………6 分 2
研
N
F
A
M
教
所以
AM AN = ， AB AA1
所以 MN P DE1 ．
gu
所以 M ， N ， E1 ， D 四点共面．………………………………………………………………………6分
州
an gz
所以 MN P BA1 ．…………………………………………………………………………………………4分
分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图的空间直角坐标系，
0
2 5
所以 EX = 0 ´
2 8 1 2 + 1´ + 2 ´ = ． ………………………………………………………………12 分 5 15 15 3
数学（理科）试题 A 第 2 页 共 15 页
an gz
1 2
第 4 组人数为 100 ´ 0.25 = 25 ，所以 a = 25 ´ 0.4 = 10 ．……………………………………………4 分
p: /
uuuu r uuuu r 所以 DE1 = ( 0, -3,3) ， MN = ( 0, -1,1) ． ………………3分
ht t
所以 DE1 P MN ．…………………………………………5分
x
A
M
B
所以 M ， N ， E1 ， D 四点共面．………………………………………………………………………6分
数学（理科）试题 A
第 4 页 共 15 页
n/
y
（2）解：由（1）知 BC = ç ç
uuu r
r uuuu r æ 3 3 3 ö uuuu ， DE1 = ( 0, -3,3) ， DM = 3 3, -2, 0 ．………………10分 , ,0÷ ÷ è 2 2 ø
(
)
（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分） 设 n = ( x, y, z ) 是平面 MNE1 D 的法向量，
2015 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据 试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
/w ww .
æ3 3 9 ö 则 B 3 3,3, 0 ， C ç ç 2 , 2 ,0÷ ÷ ， D ( 0,3, 0 ) ， è ø
(
)
tr .
z
E1 E F N
2 + 3 3
( ) + (3 3 )
2
2
æ 3 3 ö æ 3 ö2 2 ´ ç÷ +ç ÷ +0 2 2 è ø è ø
2
=
174 ． 116
（2）因为第 3，4 组答对全卷的人的比为 5 :10 = 1: 2 ，
所以第 3，4 组应依次抽取 2 人，4 人.…………………………………………………………………5 分
广
P ( X = 1) = P ( X = 2) =
1 C1 8 2C4 = ，………………………………………………………………………………8 分 2 C6 15 0 C2 1 2C4 = ，………………………………………………………………………………9 分 2 C6 15
研
17． （本小题满分12分） 解： （1）根据频率直方分布图，得 ( 0.010 + 0.025 + c + 0.035 ) ´ 10 = 1 ，
解得 c = 0.03 ．……………………………………………………………………………………………1 分
教
第 1 组人数为 100 ´ 0.35 = 35 ，所以 b = 28 ¸ 35 = 0.8 ．……………………………………………3 分
18． （本小题满分14分） 本题的底面凸六边形可以是正六边形，也可以是非正六边形（两种） ，但如图所示的三组对边互相平 行，考生按任何一种情形解答正确均给满分．以下给出三种情形的解答： 情形1：底面 ABCDEF 为正六边形． 第（1）问用几何法，第（2）问用向量法： （1）证明：连接 A1 B ， B1 D1 ， BD ， A1 E1 ， 在四边形 A1 B1 D1 E1 中， A1 E1 P B1 D1 且 A1 E1 =B1 D1 ， 在四边形 BB1 D1 D 中， BD P B1 D1 且 BD =B1 D1 ， 所以 A1 E1 P BD 且 A1 E1 =BD ， 所以四边形 A1 BDE1 是平行四边形． 所以 A1 B P E1 D ．………………………………2分 在△ ABA1 中， AM = AN = 1 ， AB = AA1 = 3 ， F1 A1 E1 D1 C1 B1
/w ww .
故直线 BC 与平面 MNE1 D 所成角的正弦值为
174 ．………………………………………………14分 116
广
p: /
在四边形 A1 B1 D1 E1 中， A1 E1 P B1 D1 且 A1 E1 =B1 D1 ， 在四边形 BB1 D1 D 中， BD P B1 D1 且 BD =B1 D1 ， F1 A1
(
)
设 n = ( x, y, z ) 是平面 MNE1 D 的法向量， 数学（理科）试题 A 第 3 页 共 15 页
n/
C
E
D
y
uuuu r ì n g DE ï 1 = 0, 则 í uuuu r ï îng DM = 0.
即í
ì ï-3 y + 3 z = 0, ï î3 3 x - 2 y = 0.
ed u. c
D1 C1 B1 D C
uuu r ng BC 则 sin q = uuu r n g BC
研
) ( )
广
E1 ( 0, 0,3) ， M 3 3,1, 0 ， N 3 3, 0,1 ，……………2分
(
uuuu r uuuu r 因为 DE1 = 3MN ，且 MN 与 DE1 不重合，
即
1 3 ´ 5k ´ 3k ´ = 45 3 ， 2 2
解得 k = 2 3 ．…………………………………………………………………………………………10 分
由正弦定理
a 7k 14 3 = 2 R ，即 2 R = = ，…………………………………………………11 分 sin A sin A 3 2
研
8 C
题号 答案
1 C
2 D
3 A
4
5
6 B
7 C