线性代数 基础和常考知识点

线性代数基础知识点

(),n

T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，

0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i

A p p p p n

B AB E AB E

⎧⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵

存在阶矩阵使得 或 ○

注：全体n 维实向量构成的集合n

R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆

0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪

⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎩特征向量

○

注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+<⎧⎪

+=⇔+=⎨⎪⎩

有非零解=-

⎫

⎪

≅⎪−−−

→⎬⎪⎪⎭

:;具有

向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅： ①称为n

¡

的标准基，n

¡

中的自然基，单位坐标向量87p 教材；

②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；

⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.

12121211

12121222()

1212()n n n

n n j j j n j j nj j j j n n nn

a a a a a a D a a a a a a τ=

=

-∑

L

L L L L M M M L

1

√ 行列式的计算：

①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则

=

=()mn A O

A A O A B

O B

O B

B

O A A

A B B O B O

*

=

=*

*=-1（拉普拉斯展开式）

③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

④关于副对角线：

(1)2

1121

21

1211

1

()n n n

n

n n n n n n n a O

a a a a a a a O

a O

---*

==-K N

N 1 （即：所有

取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和）

⑤范德蒙德行列式：()1

22

22

12111112

n i j n

j i n

n n n n

x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L

111

由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫

⎪

⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

L L

M M M L 称为m n ⨯矩阵.记作：()

ij m n

A a ⨯=或m n A ⨯

()

1121112

222*

12n T

n ij

n n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪

== ⎪

⎪⎝⎭

L L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:

① 1

A A A *

-= ○注： 1

a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

1

L L 主换位副变号 ②1()()A E E A -−−−−→M

M 初等行变换

③1

2

31111

2

13a a a a a a -⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

3

2

1

1

1

112

13a a a a a a -⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

√ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()

m n

mn

A A =

√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，

则

m s

AB C ⨯=⇔

()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫

⎪

⎪

⋅⋅⋅= ⎪

⎪⎝⎭

L L

L M M M L ⇔

i i

A c β= ，

(,,)i s =L 1,2⇔

i

β为

i

Ax c =的解

⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L ⇔12,,,s c c c L 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表

示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，T A 为系数矩阵.

即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L ⇔111122121

211222

222

11222n n m m mn m

a a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L √ 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量； 用对角矩阵Λ○

右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○

列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

√ 分块矩阵的转置矩阵：T

T

T T

T A B A C C D B

D ⎛⎫

⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

分块矩阵的逆矩阵：1

11A A B B ---⎛⎫⎛⎫

=

⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭ 1

11A B B

A

---⎛

⎫

⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

1111A C A A CB O B O

B ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O

C B B CA

B ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪

-⎝⎭⎝⎭ 分块对角阵相乘：11

112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==

⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭⇒1111

2222A B AB A B ⎛⎫=

⎪⎝⎭,1122n

n n A A A ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

分块对角阵的伴随矩阵：