线性代数知识点_48678

线性代数（经管类）考点逐个击破

第一章 行列式

（一）行列式的定义

行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.

1．二阶行列式

由4个数)2,1,(=j i a ij 得到下列式子：

11122122

a a a a 称为一个二阶行列式，其运算规

则为

2112221122

211211a a a a a a a a -=

2．三阶行列式

由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到下列式子：33

323123222113

1211a a a a a a a a a

称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.

3．余子式及代数余子式

设有三阶行列式 33

323123222113

12113a a a a a a a a a D =

对任何一个元素ij a ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ij a 的余子式，记成ij M

例如 33

32232211a a a a M =

，33

32131221a a a a M =

，23

22131231a a a a M =

再记 ij j

i ij M A +-=)1( ，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.

例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 那么 ，三阶行列式3D 定义为

我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常简写成

∑∑=+=-==3

1

11131

113)1(i i i i i i i M a A a D

4．n 阶行列式

一阶行列式 11111a a D ==

n 阶行列式 1121211111212222111211n n nn

n n n n

n A a A a A a a a a a a a a a a D +++==

ΛΛΛ

ΛΛΛΛ

其中(,1,2,,)ij A i j n =L 为元素ij a 的代数余子式.

5．特殊行列式

上三角行列式

11

1212221122000n

n

nn nn a a a a a a a a a =L L L L L L L L 下三角行列式

11

221122120

nn n n nn a a a a a a a a a =L

L

L L L L L L

21 对角行列式

11

2211220

0nn nn

a a a a a a =L L L L L L L L

（二）行列式的性质

性质1 行列式和它的转置行列式相等，即T

D D =

性质2 用数k 乘行列式D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD ，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.

性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.

推论1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.

推论2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.

31

312121111133

323123222113

12113A a A a A a a a a a a a a a a D ++==

性质4 行列式可以按行（列）拆开.

性质5 把行列式D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D. 定理1（行列式展开定理）

n 阶行列式n

ij a D =等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的

乘积的和，即),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i ΛΛ=+++= 或),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j ΛΛ=+++=

前一式称为D 按第i 行的展开式，后一式称为D 按第j 列的展开式.

本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值. 定理 2 n 阶行列式n

ij a D =的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代

数余子式的乘积之和等于零.即)(02211k i A a A a A a kn in k i k i ≠=+++Λ 或)(02211s j A a A a A a ns nj s j s j ≠=+++Λ

（三）行列式的计算

行列式的计算主要采用以下两种基本方法：

（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时

要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k 时，必须在新的行列式前面乘上k.

（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它

的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：

例1 计算行列式 5

2072325121314124-=

D

解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是112=a ，利用这个

元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.