河北省南宫市奋飞中学高中数学必修5：3.2+一元二次不等式的解法
一元二次不等式全部解法
一元二次不等式全部解法一元二次不等式是高中数学中的一种常见题型，解决不等式问题需要运用一定的方法和技巧。
本文将介绍一元二次不等式的全部解法，帮助读者深入理解和掌握这一知识点。
一、基本概念一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c为实数，且a≠0。
解一元二次不等式，即找出不等式的解集。
二、判别式法判别式法是解一元二次不等式的基本方法之一。
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0，可以先求出方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ=b^2-4ac，然后根据判别式的大小确定不等式的解集。
1. 当Δ > 0时，方程ax^2 + bx + c = 0有两个不相等的实根x1和x2。
此时，可以将一元二次不等式分解为两个一元一次不等式，即(ax-x1)(ax-x2) > 0或(ax-x1)(ax-x2) < 0。
根据一元一次不等式的性质，可以求得一元二次不等式的解集。
2. 当Δ = 0时，方程ax^2 + bx + c = 0有两个相等的实根x1=x2。
此时，可以将一元二次不等式分解为一个一元一次不等式(ax-x1)^2 > 0或(ax-x1)^2 < 0。
根据一元一次不等式的性质，可以求得一元二次不等式的解集。
3. 当Δ < 0时，方程ax^2 + bx + c = 0没有实根。
此时，一元二次不等式的解集为空集∅。
三、图像法图像法是解一元二次不等式的另一种常用方法。
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0，可以将其对应的二次函数y = ax^2 + bx + c的图像画出，然后根据图像确定不等式的解集。
1. 当a > 0时，二次函数的图像开口向上，形状为抛物线。
高中数学必修5教案3.2一元二次不等式及其解法(1)
河北武中·宏达教育集团教师课时教案备课人授课时间
课题§3. 1一元二次不等式及其解法（1）
课标要求理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，
教学目标
知识目标掌握图象法解一元二次不等式的方法
技能目标培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，
情感态度价值观
激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，
重点从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系
教学过程及方法
问题与情境及教师活动学生活动
【教学过程】
1.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：
教材P84互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模
型：250
x x
-< (1)
2.讲授新课
1）一元二次不等式的定义
象250
x x
-<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数
是2的不等式，称为一元二次不等式
2）探究一元二次不等式250
x x
-<的解集
怎样求不等式（1）的解集呢？
探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道：二次方程的有两个实数根：
12
0,5
x x
==
二次函数有两个零点：
12
0,5
x x
==
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零
点。
（2）观察图象，获得解集
学生回答
1
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
2
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
3。
高中数学必修5精品课件3.2一元二次不等式及其解法 PPT
问题 2 作出函数 y＝－x2＋4x－3 的图象，根据图象完成下 列问题： ①方程－x2＋4x－3＝0 的解集是________； ②不等式－x2＋4x－3>0 的解集是________； ③不等式－x2＋4x－3<0 的解集是________． 答案 y＝－x2＋4x－3 的图象．
Δ＝(－6)2－1＋
3 3.
∴不等式－3x2＋6x>2 的解集是{x|1－ 33<x<1＋ 33}．
小结 一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步， 化二次项的系数为正数；第二步，求解相应的一元二次方程 的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式 的解集．
探究点一 一元二次不等式的解集 问题 1 作出函数 y＝x2－x－6 的图象，根据图象完成下列
问题： ①方程 x2－x－6＝0 的解集是________； ②不等式 x2－x－6>0 的解集是________； ③不等式 x2－x－6<0 的解集是________．
答案 函数 y＝x2－x－6 的图象．
(1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0 (a>0)．
当 Δ＝b2－4ac>0 时，ax2＋bx＋c＝0 有两个不等的实数根
x1、x2，且 x1<x2，则 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1 _或__x_>_x_2_}；则 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为 {x|x1<x<x2} ．
高中数学必修5精品课件3.2一元二次不等式 及其解法
必修五一元二次不等式及其解法
；当
a＝1 时，原不等式的解集为∅；当 a>1 时，原不等式的解集为x1a<x<1
.
[规律方法] 解含参数的一元二次不等式的一般步骤
注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
[跟踪训练] 2．解关于 x 的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0).
[解] 原不等式移项得 ax2＋(a－2)x－2≥0， 化简为(x＋1)(ax－2)≥0. ∵a<0，∴(x＋1)x－2a≤0. 当－2<a<0 时，2a≤x≤－1； 当 a＝－2 时，x＝－1； 当 a<－2 时，－1≤x≤2a.
母题探究：1.(变结论)本例中的条件不变，求关于 x 的不等式 cx2－bx＋ a>0 的解集．
[解] 由根与系数的关系知ba＝－5，ac＝6 且 a<0.
∴c<0，bc＝－56，故不等式 cx2－bx＋a>0
即 x2－bcx＋ac<0，即 x2＋56x＋16<0.
解之得x－12<x<－31
.
2．(变条件)若将本例中的条件“关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为
[规律方法] 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别 式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实 根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
求方程
或 f(x)＝0 的解
f(x)
有两个不等的实数解 有两个相等的实数解
高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法（一）【知识梳理】1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx ＋c ＞0(≥0)或ax2＋bx ＋c ＜0(≤0)(其中a ≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2，(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根二次函数y ＝ax2＋bx ＋c (a>0)的图象ax2＋bx ＋c>0(a>0)的解集 错误!或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－b 2aRax2＋bx ＋c<0(a>0)的解集 {}x|x1<x<x2∅ ∅题型一、一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式： (1)2x2＋7x ＋3＞0； (2)x2－4x －5≤0； (3)－4x2＋18x －814≥0；(4)－12x2＋3x －5＞0；(5)－2x2＋3x －2＜0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y ＝2x2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x ＞－12，或x＜－3}．(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x ≤5}．(3)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝94.(4)原不等式可化为x2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.【类题通法】解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集． 【对点训练】 1．解下列不等式：(1)x2－5x －6>0；(2)－x2＋7x>6.(3)(2－x)(x ＋3)<0；(4)4(2x2－2x ＋1)>x(4－x)． 解：(1)方程x2－5x －6＝0的两根为x1＝－1， x2＝6.结合二次函数y ＝x2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}． (2)原不等式可化为x2－7x ＋6<0. 解方程x2－7x ＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.结合二次函数y ＝x2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为 {x|1<x<6}．(3)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0. 方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}． (4)由原不等式得8x2－8x ＋4>4x －x2. ∴原不等式等价于9x2－12x ＋4>0.解方程9x2－12x ＋4＝0，得x1＝x2＝23.结合二次函数y ＝9x2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x ≠23}.题型二、解含参数的一元二次不等式【例2】解关于x 的不等式x2＋(1－a)x －a ＜0.[解]方程x2＋(1－a)x －a ＝0的解为x1＝－1，x2＝a ，函数y ＝x2＋(1－a)x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x|a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x ＜a}． 【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【对点训练】2．解关于x 的不等式：ax2－(a －1)x －1＜0(a ∈R)． 解：原不等式可化为： (ax ＋1)(x －1)＜0， 当a ＝0时，x ＜1，当a ＞0时⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＜0 ∴－1a ＜x ＜1.当a ＝－1时，x ≠1，当－1＜a ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＞0， ∴x ＞－1a 或x ＜1.当a ＜－1时，－1a ＜1，∴x ＞1或x ＜－1a ，综上原不等式的解集是：当a ＝0时，{x|x ＜1}；当a ＞0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1a ＜x ＜1；当a ＝－1时，{x|x ≠1}； 当－1＜a ＜0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜1或x ＞－1a .当a ＜－1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜－1a 或x ＞1， 题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例3】已知关于x 的不等式x2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx2＋ax ＋1＞0的解集．[解]∵x2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2}， ∴1,2是x2＋ax ＋b ＝0的两根．由韦达定理有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式，得2x2－3x ＋1＞0.由2x2－3x ＋1＞0⇔(2x －1)(x －1)＞0⇔x ＜12或x ＞1.∴bx2＋ax ＋1＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)． 【类题通法】1．一元二次不等式ax2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．2．二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx ＋c ＞0的x 的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx ＋c ＜0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【对点训练】3．已知方程ax2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a 、b 的值；(2)解不等式ax2＋bx －1＞0.解：(1)∵方程ax2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a .解得a ＝－2，b ＝3.(2)由(1)知，ax2＋bx －1＞0可变为－2x2＋3x －1＞0， 即2x2－3x ＋1＜0，解得12＜x ＜1.∴不等式ax2＋bx －1＞0的解集为{x|12＜x ＜1}．【练习反馈】1．不等式x(2－x)＞0的解集为( ) A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ＜0}D ．{x|0＜x ＜2}解析：选D 原不等式化为x(x －2)＜0，故0＜x ＜2. 2．已知集合M ＝{x|x2－3x －28≤0}，N ＝{x|x2－x －6＞0}， 则M ∩N 为( )A ．{x|－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}B ．{x|－4＜x ≤－2或3≤x ＜7}C ．{x|x ≤－2或x ＞3}D ．{x|x ＜－2或x ≥3}解析：选A ∵M ＝{x|x2－3x －28≤0} ＝{x|－4≤x ≤7}，N ＝{x|x2－x －6＞0}＝{x|x ＜－2或x ＞3}， ∴M ∩N ＝{x|－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}．3．二次函数y ＝x2－4x ＋3在y ＜0时x 的取值范围是________． 解析：由y ＜0得x2－4x ＋3＜0， ∴1＜x ＜3 答案：(1,3)4．若不等式ax2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ＜2，则实数a ＝________，实数b ＝________.解析：由题意可知－12，2是方程ax2＋bx ＋2＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3. 答案：－23 5．解下列不等式： (1)x(7－x)≥12； (2)x2＞2(x －1)．解：(1)原不等式可化为x2－7x ＋12≤0，因为方程x2－7x ＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4， 所以原不等式的解集为{x|3≤x ≤4}． (2)原不等式可以化为x2－2x ＋2＞0，因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x2－2x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.。
高中数学必修5精品课件3.2一元二次不等式及其解法-PPT
探究 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，当 Δ＝b2－4ac>0 时， 有两个不等的实数根，记作 x1，x2，且 x1<x2.则当 a>0 时， 不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是_{_x_|x_<_x_1_或__x_>_x_2_}；不等式 ax2 ＋bx＋c<0 的解集是_{_x|_x_1<_x_<_x_2_}；当 a<0 时，不等式 ax2 ＋bx＋c>0 的解集是_{_x_|x_1<__x<__x2_}_；不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集是{_x_|_x<_x_1_或___x_>_x2_}_．
跟踪训练 2 已知 x2＋px＋q<0 的解集为x|－12<x<13，求不 等式 qx2＋px＋1>0 的解集．
解 ∵x2＋px＋q<0 的解集为x|－12<x<13，
∴－21，31是方程 x2＋px＋q＝0 的两实数根，
13－12＝－p 由根与系数的关系得13×－12＝q
，∴pq＝＝16－16
，
探究点二 三个“二次”之间的关系
问题 下表是二次函数图象、一元二次方程、一元二次不等
式解集之间的联系，请补充完整.
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝
ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两不等实数根
x1,2＝－b±
b2－4ac 2a
(x1<x2)
高中数学必修五第三章第二节第1课时 一元二次不等式及其解法
第三章 不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0 是一元二次不等式．( ) (2)不等式 x2－2x＋3>0 的解集为 R.( ) (3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2(x1<x2)，则一 元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为{x|x1<x<x2}．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×
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第三章 不等式
1．一元二次不等式 只含有 一个 未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式， 称为一元二次不等式．
栏目 导引
第三章 不等式
■名师点拨 一元二次不等式概念中的关键词
(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)． (2)二次，即未知数的最高次数必须为 2，且其系数不能为 0.
栏目 导引
第三章 不等式
1．不等式－2x2＋x＋3<0 的解集是( )
A．{x|x<－1}
B．xx>32
C.x－1<x<32
D．xx<－1或x>32
栏目 导引
第三章 不等式
解析：选 D.不等式－2x2＋x＋3<0 可化为 2x2－x－3>0，因为 Δ ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程 2x2－x－3＝0 的两根 为 x1＝－1，x2＝32，又二次函数 y＝2x2－x－3 的图象开口向上， 所以不等式－2x2＋x＋3<0 的解集是xx<－1或x>32，故选 D.
第三章 不等式
3.2 一元二次不等式及其解法
第 1 课时 一元二次不等式及其解法
第三章 不等式
考点 一元二次不等 式的解法 三个“二次” 之间的关系
河北省南宫市奋飞中学高中数学5：3.2一元二次不等式的解法
课题名称
一元二次不等式及其解法
年级学科
十二年级数学
教材版本
人教A版
一、教学内容分析
1．本节课内容在整个教材中的地位和作用．
必修五第三章不等式第二节一元二次不等式及其解法共有三个课时,本节课是第一课时，教学内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性．一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用．许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法．因此,一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性,体现出很大的工具作用.
第三层面是德育目标，通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想．
第四层面是情感目标,在教师的启发引导下,学生自主探究,交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。
三、学习者特征分析
学生在初中已经学习了一元一次不等式（组)和二次函数，对不等式的性质有了初步了。可以引导学生从图象的角度出发，并启发学生二次函数的图象是一条抛物线,其开口方向由二次项系数决定，为突出重点做准备。
A．10
B．10
C．10
D．10
情感态度价值观
情感内化与外化
激发学生发现自然现象，提出问题自己寻找解决途径热爱大自然的思想感情。
10
七、教学板书
一元二次不等式及其解法
1.探究一元二次不等式 的解．
2. 一元二次不等式 的解法
例1
例2
八、教学反思
一元二次不等式及其解法的复习重点是1：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2：一元二次不等式及其解法。由于是复习课,根据我们学生的实际情况，我是这样安排复习的：一、我先给学生展示高考考纲及考情，再检测学生对一元二次不等式的概念及“三个二次”之间关系的理解，引导学生梳理相关知识点。这一环节反映出学生基础知识掌握的比较熟悉.（五六分钟）二、为了检测学生对本节知识的应用情况,我要求学生完成，有三位学生主动板演，让其他学生批改，在引导学生一元二次元二次不等式的方法步骤，以次调动学生的学习积极性，也体现了先学后讲的课堂模式。这一环节只有一位没有完整的写出解题过程，后来有地四个同学补充完成。总体来说学生完成的还可以(大约12多分钟)。三、为了让学生明确本节知识在高考中的考察形式及出题难度，我选了两个热点题，启发引导学生对问题的分析及其解答.从学生分析问题的思维过程反映出一部分学生能较熟练地运用知识，而剩下的学生对基础知识的理解不到位对知识逆用不熟悉，思考问题的角度单一，思维方法不灵活.另外运算能力还有待提高.还有由于时间关系,没能检查学生完成资料课时作业的对应联系。（大约15分钟）
高一数学必修5课件：3.2 一元二次不等式及其解法1
无实根
R
第二页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
问题探究
a＜0时, ax 2 bx c 0(或＜0)
的解法 ? 转化为a>0
第三页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
问题探究
不等式 (x＋2)(x－3)＜0 和(x－2)(x ＋3)＞0的解集分别是什么？
若a＜b，则不等式(x－a)(x－b)＜0和 (x－a)(x－b)＞0的解集分别是什么？
3、《自主作业本》上其余作业同学们可 自主选择完成。
第十页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
第八页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
xa 3.简单分式不等式 x b
0 (或
0)
可转化为一元二次不等式求解.
第九页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
作业： 1、认真完成《自主作业本》第6、16次
作业；P64-P68检测试题一、二；《学
海导航》试卷单元测试卷（一）；
2、做完后对照答案仔细校对；
的图象
0
0
一元二次方程
ax2 bx c 0
(a 0的) 根
有两相异实根
x1, x2 (x1 x2 )
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x x1或x x2
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x1 x x2
有两相等实根
b x1 x2 2a
x
x
b
2a
第四页，编辑于星期日：二十二点 十九分。
典例讲评
例1 求下列不等式的解集.
(1) 4x2 4x 1 0
x
x
1
2
(2) x 2 2x 3 0
第五页，编辑于星期日：二十二点3x 2 2x 2
高二数学必修五第三章知识点：一元二次不等式及其解法
高二数学必修五第三章知识点：一元二次不等式及其
解法
一元二次不等式，是指含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式。
以下是查字典数学网为大家整理的高二数学必修五第三章知识点，希望可以处置您所遇到的相关效果，加油，查字典数学网不时陪伴您。
★ 知识梳理★
一.解不等式的有关实际
(1)假定两个不等式的解集相反，那么称它们是同解不等式;
(2)一个不等式变形为另一个不等式时，假定两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形;
(3)解不等式时应停止同解变形;
(4)解不等式的结果，原那么上要用集合表示。
二.一元二次不等式的解集
三.解一元二次不等式的基本步骤：
(1)整理系数，使最高次项的系数为正数;
(2)尝试用十字相乘法分解因式;
(3)计算
(4)结合二次函数的图象特征写出解集。
四.高次不等式解法：
尽能够停止因式分解，分解成一次因式后，再应用数轴标根法求解
(留意每个因式的最高次项的系数要求为正数)
五.分式不等式的解法：
分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的方式，再应用数轴标根法求解;
★ 重难点突破★
1.重点：从实践情境中笼统出一元二次不等式模型;熟练掌握一元二次不等式的解法。
2.难点：了解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
求解复杂的分式不等式和高次不等式以及复杂的含参数的不等式
3.重难点：掌握一元二次不等式的解法,应用不等式的性质解复杂的复杂的分式不等式和高次不等式以及复杂的含参数的不等式, 会解复杂的指数不等式和对数不等式.
最后，希望小编整理的高二数学必修五第三章知识点对您有所协助，祝同窗们学习提高。
高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法“三步法”解一元二次不等式素材 新人教A版必修5
3.2一元二次不等式及其解法“三步法”解一元二次不等式利用一元二次不等式、二次函数、一元二次方程之间的关系，三步可求出一元二次不等式的解集，且简便快捷。
第一步求出一元二次不等式对应的一元二次方程的根;第二步作出一元二次不等式对应的二次函数图象;第三步根据图象写出不等式的解集。
例1 解不等式。
解析：方程的解为。
函数的图象如图1。
因不等式的解为抛物线在x轴下方对应点的横坐标，所以可得不等式的解集为。
点评：作相关二次函数的图象时，可不必作出y轴，因为求解一元二次不等式，只需找出抛物线在x轴上（或下）方对应点的横坐标，与y轴的位置并无关系。
例2 解不等式。
解析：显然方程无解。
函数的图象如图2。
因不等式的解为抛物线在x轴上方对应点的横坐标，所以不等式的解集为。
点评：对于二次项系数为负的不等式可转化为正系数的情况研究，作二次函数图象时必须弄清楚抛物线的开口方向及抛物线与x轴的交点坐标。
例3 解关于x的不等式。
解析：原不等式等价于。
方程的根为x=a或，抛物线开口向上。
当a=0或a=1时，，如图3，原不等式的解集为。
当时，，如图4，原不等式的解集为。
当a>1或a<0时，，如图5，原不等式的解集为。
点评：熟练后只需在大脑中想象出二次函数图象，不必真正画出来。
例4 解关于x的不等式。
解析：原不等式变形为当a=0时，原不等式的解为x<1当a<0时，方程的两根为1、，抛物线开口向下，原不等式的解为。
当a>0时，，抛物线开口向上，原不等式的解为。
点评：解含参数的一元二次不等式问题需要讨论，运用“三步法”解一元二次不等式，分类标准的确定变得轻松自然，容易理解。
例 5 已知不等式的解集是，求不等式的解集。
解析：不等式的解集为，由函数性质知a<0.2、为方程的两个根。
则，可得不等式变为，由a<0，得，所以其解集为。
点评：若能发现方程与方程的根互为倒数，a<0，c>0，想象图象，求解更快捷。
必修五专题讲义一元二次不等式及其解法(供参考)
知识网络1.一元二次不等式的解法：（1）一元二次不等式：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式.一样形式：)0(0022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或.（2）解法：一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）：不等式的转化为)0()())()((321<>-⋯---或n a x a x a x a x 的形式.然后在数轴上依次标出各根，“奇穿偶回”，轴上面大于零，轴下面小于零，依照图象写出解集.2.一元二次不等式的应用 （一）恒成立问题（1）判别式法：一样地，对二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=. ①0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ②0)(<x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔0a（2）分离参数法①a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔； ②a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔. （3）数形结合①)()(x g x f >恒成立⇔函数)(x f 的图象恒在)(x g 图象上方； ②)()(x g x f <恒成立⇔函数)(x f 的图象恒在)(x g 图象下方.例题讲解【例1】解关于x 的不等式)1(12)1(≠>--a x x a .变式1：（1）解关于x 的不等式223()0()x a a x a a R -++>∈；（2）已知集合222{|320},{|430}A x x x B x x ax a =++<=-+<，假设A B ≠⊂，求实数a 的取值范围.变式2：（1）1a <-，求关于x 的不等式1()()0a x a x a--<的解；（2）不等式组222304(1)0x x x x a ⎧--≤⎪⎨+-+≤⎪⎩的解集不是空集，求实数a 的取值范围.变式3：（08海南宁夏理）已知1230a a a >>>，求使得()211i a x -<()1,2,3i =都成立的x 取值范围.变式4：（09年天津文）假设关于x 的不等式22)12(ax x <-的解集中整数恰好有3个，实数a 的取值范围.变式5：（09年天津理）a b +<<10,假设关于x 的不等式22()()x b ax ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围.【例2】已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为1{|2}2x x x <->-或，求关于x 的不等式变式1：已知21{|0}(,2)3x ax bx c ++>=-，求关于x 的不等式20cx bx a ++<的解集.变式2：已知二次函数分二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为(1,3). （1）假设方程()60f x a +=有两个相等的实根，求()f x 的解析式； （2）假设()()g x xf x =无极值，求实数a 的取值范围.【例3】解不等式13252-≤---x x x.变式1：解以下不等式（1）(1)(1)(2)0x x x +--> （2）2(1)(2)(3)0x x x +-+> （3）22(1)(1)(2)0x x x x -++>变式2：（2020年全国Ⅱ理）解不等式2601x x x -->-.变式3：（2007年全国Ⅱ理）解不等式2104x x ->-.变式4：解不等式 （1）（2020年上海理）042>+-x x （2）（2007年湖南理）201x x -≤+变式5：（2020年北京文）解不等式121>+-x x .变式6：（2020年山东文）解不等式()2521x x +≥-.【例4】（2020年江西理）解不等式22||x x x x-->.变式1：（2020年山东理）不等式|3|4x b -<解中整数有且仅有1,2,3，求b 的范围.变式2：（1）不等式|4||3|x x a -+->对一切实数x 恒成立，求a 的范围. （2）不等式|4||3|x x a -+-<的解集在R 上不是空集，求a 的取值范围.变式3：（1）不等式|4||3|x x a --->对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围. （2）不等式|4||3|x x a ---<对一切实数x 恒成立，求a 的取值范围.【例5】已知])1(lg[22a x a x y +-+=的概念域为R ,求实数a 的取值范围.【例6】设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围.【例7】设a x x g x x x f -+=--=134)(,4)(2，假设恒有)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围.【例8】已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围.【例9】已知二次函数c bx ax x f ++=2)(和一次函数bx x g -=)(，其中,,a b c 知足a b c >>，0a b c ++=(,,)a b c R ∈.（1）求证：两函数的图象交于不同的两点,A B ； （2）求线段AB 在x 轴上的射影11B A 的长的取值范围.变式1.已知0,0a a >≠，解不等式2log (43)log (21)log 2a a a x x x +--->变式2.设函数()222()log 1,012a x x f x a t tx-+=><+，解不等式()0f x >变式3.已知函数()x f 知足()()12log 1a a f x x x a -=--，其中0a >且1a ≠. ①关于函数()x f ，当()1,1x ∈-时，()()2110f m f m -+-<，求m 的取值范围； ②当(),2x ∈-∞时，()4f x -的值恒为负数，求a 的取值范围.巩固提高1.不等式0322>-+-x x 的解集为（ ） A.(1,3)B.(1,3)-C.(3,1)-D.Φ2.把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是（ ）cm A.233B.4C.23D.323.已知方程01sin 4sin 2=-+-a x x 有解，那么实数a 的取值范围是（ ）4.当[1,2]x ∈-时，不等式122--≥x x a 恒成立，那么实数a 的取值范围是（ ） A.2≥a B.1≥aC.0≥aD.2-≥a5.不等式01442>+-x x 的解集是（ ） A.)21,21( B.RC.ΦD.),21()21,(+∞-∞6.假设不等式|2|6ax +<|ax+2|<6的解集为(1,2)-，那么实数a 等于（ ） A.8B.2C.4-D.8-7.已知函数()f x 是R 上的增函数，(0,1),(3,1)A B -是图像上的两点，那么|(1)|1f x +<的解集是（ ） A.(1,4)B.(1,2)-C.),4[]1,(+∞-∞D.),2[]1,(+∞--∞8.不等式212>++x x 的解集是（ ） A.),1()0,1(+∞- B.)1,0(]1,( --∞ C.)1,0()0,1( - D.),1(]1,(+∞--∞9.假设关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为R ，那么实数a 的取值范围是 ；假设关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，那么实数a 的取值范围是 .10.关于40≤≤m ，不等式342-+>+m x mx x 恒成立，那么x 的取值范围是 .11.设1log )2()(log 222+--+=t x t x p ，假设t 在区间[2,2]-上变更时，p 恒为正值，x 的取值范围是 .12.设不等式0222≤++-a ax x 的解集为M ,若是]4,1[⊆M ，实数a 的取值范围是 . 13.不等式02>++c bx ax 的解集为{|23}x x <<,那么不等式02>+-c bx ax 的解集为 . 14.已知函数)0(21)(>+-=x xa x f . （1）判定)(x f 在),0(+∞上的单调性，并证明； （2）解关于x 的不等式0)(>x f .（3）假设02)(≥+x x f 在),0(+∞上恒成立，求a 的取值范围.15.已知不等式03log 7)(log 25.025.0≤++x x 的解集为M .求当x M ∈时，函数)4)(log 2(log )(22x x x f =的最大值和最小值.。
必修五3.2一元二次不等式及其解法(二)
实用文档 必修五3.2一元二次不等式及其解法(二)一、选择题1、已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为( )A ．18B ．19 C.509 D ．不存在2、对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是() A ．1<x <3 B ．x <1或x >3 C ．1<x <2 D ．x <1或x >23、设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．74、不等式x ＋5(x －1)2≥2的解是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3]D ．[－12，1)∪(1,3]实用文档5、不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}6、不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是() A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1}7、不等式x －2x ＋3>0的解集是( )A ．(－3,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)二、填空题实用文档8、如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________．9、若全集I ＝R ，f (x )、g (x )均为x 的二次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0，g (x )<0的解集可用P 、Q 表示为________．10、若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________．11、若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________.三、解答题12、已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围；(2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．实用文档13、关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．14、某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？以下是答案一、选择题1、 A解析 由已知方程有两实数根得，Δ≥0，即(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0.解得－4≤k ≤－43， 又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2＋19， ∴当k ＝－4时，x 21＋x 22有最大值，最大值为18.实用文档2、B解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝x 2－3x ＋2>0g (－1)＝x 2－5x ＋6>0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <1或x >2x <2或x >3⇔x <1或x >3.3、C解析 解不等式(x －1)2<3x ＋7，然后求交集．由(x －1)2<3x ＋7，得－1<x <6，∴集合A 为{x |－1<x <6}，∴A ∩Z 的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素．4、D解析 x ＋5(x －1)2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋5≥2(x －1)2x －1≠0实用文档⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈[－12，1)∪(1,3]．5、A解析 原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．6、C解析 当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．7、C解析 解不等式x －2x ＋3>0得，x >2或x <－3.二、填空题8、0≤a ≤4实用文档解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4.9、P ∩∁I Q解析 ∵g (x )≥0的解集为Q ，所以g (x )<0的解集为∁I Q ，因此⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0，g (x )<0的解集为P ∩∁I Q .10、a ≥1解析 ∵Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1.11、4解析 x －ax ＋1>0⇔(x ＋1)(x －a )>0⇔(x ＋1)(x －4)>0∴a ＝4.实用文档三、解答题12、解 (1)不等式化为(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又∵|p |≤2，∴－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1.故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1，∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x . 由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，实用文档∴p >(1－x )max .而2≤x ≤4，∴(1－x )max ＝－1，于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1.13、解 由x 2－x －2>0，可得x <－1或x >2.∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}， 方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 与－52， ①若－k <－52，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}； ②若－52<－k ，则应有－2<－k ≤3， ∴－3≤k <2.综上，所求的k 的取值范围为－3≤k <2.14、解 由题意可列不等式如下：⎝⎛⎭⎪⎫20－52t ·24 000·t %≥9 000⇔3≤t ≤5.所以t%应控制在3%到5%范围内．实用文档。
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（2）已知不等式 的解集为 ，求 的
值.
（设计意图：以作业的巩固性和发展性为出发点，我设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的反馈，选做题是对本节课知识的延伸，整体的设计意图是反馈教学，巩固提高．）
五、教学策略选择与信息技术融合的设计
教师活动
预设学生活动
设计意图
认识植树节的图标，然后提出问题：今年的植树节我校高一年级的同学去植树时遇到一个这样的问题，我们准备的树苗恰好能够栽满面积为40平方米的空地，而要绿化的空地准备的树苗有剩余？
（六）归纳小结，强化思想
设计意图：梳理本节课的知识点，总结一元二次不等式解法的步骤：“一化，二判，三求根，四画图，五写解集”的口诀来帮助学生记忆和归纳，让学生掌握严谨的做题方法，知晓本节课的重难点．
（七）布置作业，拓展延伸
必做题：课本第80页习题A组 1，2.
选做题：（1）若关于 的一元二次方程 有两个不相
2.教学重点、难点确定．
本节课是在复习了一元二次方程和二次函数之后，利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解法．只要学生能够理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系，并利用其关系解不等式即可．因此，我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法，关键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系．
第三层面是德育目标，通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想．
第四层面是情感目标，在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。
三、学习者特征分析
学生在初中已经学习了一元一次不等式（组）和二次函数，对不等式的性质有了初步了。可以引导学生从图象的角度出发，并启发学生二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数决定，为突出重点做准备。
10
2．探究
1．探究一元二次不等式 的解．
2探究一元二次不等式 的解法．
20
3．运用
1．求不等式 的解集
2．解不等式 ．
20
过程与方法
问题探究
A．能够积极提出不懂的问题；
B．能够就不懂的问题积极思考；
C．围绕问题，将自己的意见和想法向老师或同学表达；
D．围绕问题，能够积极与同学合作解决问题，形成小组意见。
建立数学模型：分析：设绿化带长为 m.
则依题意有 .
整理得 .
（设计意图：体现应用问题数学化，具体问题一般化．）
明确问题：如何求出满足不等式 的 的取值？
对于 是个什么问题？如何解决？
（意图：1．让学生明确讨论的问题是一元二次不等式；
2．让学生自己说出一元二次不等式的定义及它的形式．）
（三）合作交流，探究新知
四、教学过程
（一）联系旧知，构建新知
设置一系列的问题唤起学生对旧知识的回忆．
问题1：一元二次方程的解法有哪些呢？
（意图：让学生回顾一元二次方程的解法，为解一元二次不等式做准备．）
问题2：同学们还记得二次函数吗？二次函数的形式是怎样的？你记得二次函数的性质吗？
（意图：引导学生从图象的角度出发，并启发学生二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数决定，为突出重点做准备）
目的:强调对于实际问题还应考虑实际情况（即长度必须大于零）．另外，再次巩固学生对三个“二次”的理解．
（五）练习检测，巩固收获
（1）求下列一元二次不等式的解集：
（2）函数 的定义域是( )
A． B．
C． D．
（设计意图：为了巩固和加深一元二次不等式的解法，让学生学以致用，接下来及时组织学生进行课堂练习．然后就学生在解题中出现的问题共同纠正．）
（四）数学运用，深化认知．
例1．求不等式 的解集．
变式为：求不等式 的解集．
例2．解不等式 ．
（设计意图：先让学生来解答例题，若教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予热情表扬．）
回答开篇的数学问题，什么情况下准备的树苗会有剩余？
补充：矩形空地长为多少时，树苗正好将空地植满呢？什么时候会不够用？
1．探究一元二次不等式 的解．
容易知道：一元二次方程 的有两个实数根： ．
二次函数 与 轴有两个交点： ．
思考1：观察图象一元二次方程的根与二次函数之间有什么关系？
思考2：观察图象，当 为何值时， ；
当 为何值时， ；
当 为何值时， ．
（设计意图:①体现学生的主体性；②有利于加强对图象的认识，从而加强数形结合的数学思想；③有利于加强学生理解一元二次不等式的解相关的三个因素；④为归纳解一元二次不等式做好准备．根据前面探讨的问题引导学生归纳一元二次不等式的解．）
A．10
B．10
C．10
D．10
情感态度价值观
情感内化与外化
激发学生发现自然现象，提出问题自己寻找解决途径热爱大自然的思想感情。
10
七、教学板书
一元二次不等式及其解法
1.探究一元二次不等式 的解．
2.一元二次不等式 的解法
例1
例2
八、教学反思
一元二次不等式及其解法的复习重点是1：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2：一元二次不等式及其解法。由于是复习课，根据我们学生的实际情况，我是这样安排复习的：一、我先给学生展示高考考纲及考情，再检测学生对一元二次不等式的概念及“三个二次”之间关系的理解，引导学生梳理相关知识点。这一环节反映出学生基础知识掌握的比较熟悉。（五六分钟）二、为了检测学生对本节知识的应用情况，我要求学生完成，有三位学生主动板演，让其他学生批改，在引导学生一元二次元二次不等式的方法步骤，以次调动学生的学习积极性，也体现了先学后讲的课堂模式。这一环节只有一位没有完整的写出解题过程，后来有地四个同学补充完成。总体来说学生完成的还可以（大约12多分钟）。三、为了让学生明确本节知识在高考中的考察形式及出题难度，我选了两个热点题，启发引导学生对问题的分析及其解答。从学生分析问题的思维过程反映出一部分学生能较熟练地运用知识，而剩下的学生对基础知识的理解不到位对知识逆用不熟悉，思考问题的角度单一，思维方法不灵活。另外运算能力还有待提高。还有由于时间关系，没能检查学生完成资料课时作业的对应联系。（大约15分钟）
教学设计方案
课题名称
一元二次不等式及其解法
年级学科
十二年级数学
教材版本
人教A版
一、教学内容分析
1．本节课内容在整个教材中的地位和作用．
必修五第三章不等式第二节一元二次不等式及其解法共有三个课时，本节课是第一课时，教学内容的地位体现在它的基础性,作用体现在它的工具性．一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用．许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法．因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用.
（2）函数 的定义域是( )
A． B．
C． D．
为了巩固和加深一元二次不等式的解法，让学生学以致用，接下来及时组织学生进行课堂练习．然后就学生在解题中出现的问题共同纠正．）
六、教学评价
一级指标
二级指标
评价具体内容
评价方式
知
识
与
技
能
1．回顾旧知识
1：一元二次方程的解法有哪些呢？
2；二次函数的形式是怎样的？
2．探究一元二次不等式 的解法．
组织讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑：
抛物线 与 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程 =0的根的情况，而一元二次方程根的情况是由判别式 三种取值情况( ， ， ）来确定．
（设计意图：这里我将运用多媒体图标的形式来展现出其解法思路，学生有一个完整的逻辑思维，让学生在探究中建立知识间的联系，体会数形结合，强调突出本节的难点．）
①开篇引入数学实际问题，贴近生活，直奔主题，构造悬念，激活学生的思维兴趣；②让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．）
探究一元二次不等式 的解．
容易知道：一元二次方程 的有两个实数根： ．
二次函数 与 轴有两个交点： ．
思考1：观察图象一元二次方程的根与二次函数之间有什么关系？
思考2：观察图象，当 为何值时， ；
（二）创设情景，提出问题
首先认识植树节的图标，然后提出问题：今年的植树节我校高一年级的同学去植树时遇到一个这样的问题，我们准备的树苗恰好能够栽满面积为40平方米的空地，而要绿化的空地是一个长比宽多6米的矩形，那么，矩形绿化带长为多少时，准备的树苗有剩余？
（设计意图：①开篇引入数学实际问题，贴近生活，直奔主题，构造悬念，激活学生的思维兴趣；②让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．）
当 为何值时， ；
当 为何值时， ．
①体现学生的主体性；②有利于加强对图象的认识，从而加强数形结合的数学思想；③有利于加强学生理解一元二次不等式的解相关的三个因素；④为归纳解一元二次不等式做好准备．根据前面探讨的问题引导学生归纳一元二次不等式的解．
练习检测，巩固收获
（1）求下列一元二次不等式的解集：
二、教学目标
根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了四个层面的教学目标．
第一层面是面向全体学生的知识目标：熟练掌握一元二次不等式的解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系．
第二层面是能力目标，培养学生运用数形结合与分类讨论等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力．