计算机应用基础-2-计算方法基础

1. 矩阵的基本分析 二 矩阵及其元素的赋值 变量=表达式（数）
a=[1 2 3; 4 5 6;7 8 9] x=[-1.3 sqrt(3) (1+2+3)/5*4] x(5)=abs(x(1)) a(4,3)=6.5
元素之间用逗号、空格分开。不同行以分 号隔开。语句结尾用回车或逗号，会显示 结果，如果不想显示结果，用分号。 元素用（）中的数字（下标）来注明，一 维用一个下标，二维用两个下标，逗号分 开。
方程组 X1+2X2+3X3=2 3X1- 5X2+4X3=0 7X1+8X2+9X3=2 可以表示为ax’=b
2 矩阵的运算
a=[1 2 3;4 5 6] b=[2 4 0; 1 3 5] d=[1 4 7; 8 5 2; 3 6 0] 运算：a*b d\a
a*b ??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. d\a ??? Error using ==> \ Matrix dimensions must agree.
3. 矩阵的性质
三 矩阵分析 det(A)： 矩阵的行列式 poly(A)： 矩阵特征多项式 rank(A)：矩阵的秩 inv(A)： 矩阵的逆 cond(A)：矩阵的条件数 trace(A)：矩阵的迹 pinv(A)： 矩阵的伪逆
4 矩阵的基本变换
一 矩阵的相似变换与正交矩阵
X=B-1AB
正交矩阵
e1:e2:e3 (3) zeros 函数 创建全零矩阵，调用格式为：
1. 矩阵的基本分析 A=zeros(m,n), 生成mXn全零矩阵。 (4) eye函数
创建单位矩阵，调用格式：
B=eye(m,n), 生成mXn单位矩阵。 (5) rand函数 创建均匀随机矩阵，调用格式： C=rand(m,n), 生成mXn随机矩阵。
2 矩阵的运算
三 矩阵结构形式的提取与变换
A=[8 1 6 0; 3 5 7 1; 4 9 2 2] 提取矩阵中某些特殊结构的元素， 组成新的矩阵，改变矩阵结构。 B1=fliplr(A) fliplr矩阵左右翻转 B2=flipud(A) flipud矩阵上下翻转 B3=reshape(A,2,6) reshape阶数重组（元素总数不变）
a=
1.0000 4.0000 7.0000 0
2.0000 5.0000 8.0000 0
3.0000 6.0000 9.0000 6.5000
如果赋值元素的下标超过原来矩阵的大 小，矩阵的行列会自动扩展。
全行赋值，用冒号。 提取交点元素； 抽取某行元素用空矩阵。
a(5,:)=[5,4,3] b=a([2,4],[1,3]) a([2,4,5], : )=[] a/7
pi*x
x=[-1 0 1]; y =[-2 -1 0]; x*y’ y‘*x
标量与矩阵相乘，不检查阶数，标量乘以矩阵的每一个元素。 X与y内阶数不同，将y转置 y’。读作x左乘y’。
ans = 2 ans = 2 1 0 0 -2
X右乘y’。
0 -1 0 0
2 矩阵的运算
eye(3)*a a*eye(3) a=1 2 4 5 7 8 3 6 9
3. 矩阵的性质
二 矩阵的秩
rank(A)=rc=rr
其中rc为行稚，rr为列秩 r=rank(A) r=rank(A, ) % 采用默认的精度求秩 % 给定精度求秩
3. 矩阵的性质
【例2-2】
16 5 求A= 9 4 2 11 7 14 3 13 10 8 6 12 的秩 15 1
>>A=[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1] r=rank(A) R=rank(A)=3
B4=rot90(A) B5=diag(A) B6=tril(A) B7=triu(A) B8=A(: )' rot90矩阵整体反时针旋转90度 diag提取或建立对角阵 tril取矩阵的左下三角部分 triu取矩阵的右上三角部分 将元素按列取出排成一列
3. 矩阵的性质
3.1 矩阵基本概念与性质 一 行列式
3. 矩阵的性质
V= 0.2928 1.0000 0.6948 0.8860 D= 5.2777 0 0 0 0 0 0 0.0303 + 0.1790i 0 0 0 0.0303 - 0.1790i 0 0 0 -0.0036 -0.2697 + 0.7303i -0.1637 - 0.3013i 0.9627 - 0.0175i -0.6795 - 0.2999i -0.2697 - 0.7303i -0.1637 + 0.3013i 0.9627 + 0.0175i -0.6795 + 0.2999i 1.0000 -0.6088 -0.2322 0.1323
左、右乘结果不同，只有单位矩阵例外。 单位矩阵乘以矩阵A，左、右乘结果仍等于该矩阵。
ans = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ans = 1 4 5 8 3 6 9
二 矩阵的除法及线性方程组的解
V=A-1 inv(a)*a n×n阶方阵A和同阶的方阵V相乘，得出n阶单位矩阵I。 I为eye(n)。 V是A的逆阵。V存在条件：A的行列式不等于0， det(A)≠0 V=A-1 MATLAB内部函数inv，得出A的逆阵V。
Q*Q=I, 且QQ*=I
Q=orth(A)
4 矩阵的基本变换
【例2-6】
A= 16 5 9 4 2 11 7 14 3 13 10 8 6 12 15 1
3. 矩阵的性质
3.2 逆矩阵与广义逆矩阵 一 矩阵的逆矩阵
AC=CA=I 其中A为nXn非奇异方阵，则 C=A-1
C=inv(A)
矩阵的伪逆 B=pinv(A)
3. 矩阵的性质
下列奇异矩阵 【例2-3】 16 5 9 4 2 11 7 14 3 13 10 8 6 12 15 1
A=
求逆
>>A=[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1] format long; B=inv(A)
1. 矩阵的基本分析
f1 = 1 1 1 1 1 1
f2 =
全1矩阵
0 0
1 0 1 1 1 1 0
0 0
0 1 1 1 1 0 1
0 0
全0矩阵
8 1 6 魔方矩阵 3 5 7 4 9 2 线性分割函数 f5 = 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 大矩阵可由小矩阵组成 fb2 =1.0000 1.0000 8.0000 1.0000 6.0000 1.0000 1.0000 3.0000 5.0000 7.0000 1.0000 1.0000 4.0000 9.0000 2.0000 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 f3 =
3. 矩阵的性质
3.3 矩阵的特征值问题 一、 一般矩阵的特征值与特征向量
Ax=x
d= eig(A) [V, D]= eig(A) %只求特征值 % 求特征值和特征向量
3. 矩阵的性质
【例2-4】求下列矩阵的特征值和特征向量
16 5 9 4 2 11 7 14 3 13 10 8 6 12 15 1
AV=I V=inv(a)
V = 1.0e+016 * -0.4504 0.9007 -0.4504 0.9007 -1.8014 0.9007 -0.4504 0.9007 -0.4504
D*X=B inv(D)*D*X=inv(D)*B inv(D)*D=I I*X=X X=inv(D)*B=D\B X*D=B X=B*inv(D)=B/D
第二章 Matlab计算方法基础
1. 矩阵基本分析
2. 矩阵的运算 3. 矩阵的性质 4. 矩阵的分解 5. 符号运算
1. 矩阵的基本分析 一 矩阵的创建
(1) 直接赋值：在命令窗口以命令行的方式直 接输入。以[ ]为开始和结束的标志，行与行之 间用（；），元素之间用（，）或空格。 (2) 冒号表达式
1. 矩阵的基本分析 三 基本赋值矩阵
f1=ones(3,2) f2=zeros(2,3) f3=magic(3) f4=eye(2) f5=linspace(0,1,5) fb1=[f1,f3;f4,f2] fb2=[fb1;f5]
全1矩阵 全0矩阵 魔方矩阵：元素由1到nn的自然数组成，每行、每 列及两对角线上的元素之和均等于(n3+n)/2。 单位矩阵是n×n阶的方阵。对角线上元素为1。 线性分割函数 大矩阵可由小矩阵组成，其行列数必须正确，恰 好填满全部元素。
D与B行数相等 两端同时左乘以inv(D) 逆阵 单位阵 D\B为D左除B
X=D\B，左除时阶数检查条件：两矩阵的行数必须相等。 未知矩阵在左. D的逆阵右乘以B，记作 /D 右除。 右除时阶数检查条件：两矩阵的列数必须相等。
2 矩阵的运算 a=[1 2 3; 3 -5 4; 7 8 9] x=[x1,x2,x3] b=[2;0;2] ax'=b x=a\b a左除b
3. 矩阵的性质
【例2-5】
A=
5 7 6 5 7 6 10 8 8 10 7 9 5 7 9 10 2 5 -3 5 6 -1 -2 -1 2 3 -4 1 10 -2 -3 8
B=
求特征值和特征向量
>> A=[5 7 6 5; 7 10 8 7; 6 8 10 9; 5 7 9 10]; B=[2 6 -1 -3; 5 -1 2 3; -3 -4 1 10; 5 -2 -3 8]; [V,D]=eig(A,B)