第13章 (DEMO)

和拍频数
已知的情况下，待测频率
可取两个值，即
。式中
前正、负号的选取应根据待测音叉系统质量改变时，拍频数变化的 情况来决定。 解：根据分析可知，待测频率的可能值为
因振动系统的固有频率
，即质量m增加时，频率 减小。 从题意知，当待测音叉质量增加时拍频减少，即
变小。 因此，在满足
与
均变小的情况下，式中只能取正号，故待测频率
12 = - 12×4 /×sinωl 2， sin2ωl2 = 0.1875
x = A co sωt 2 = ±A
13－11 若在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l 0 = 1.2cm而平衡，经推动后，该小球在竖直方向作振幅为A = 2cm的振动， 试证明此振动为谐振动；若选小球在正最大位移处开始计时，写出此振 动的数值表达式。
重物对木块的作用力
与FN大小相等，方向相反。 （2）当频率不变时，设振幅变为
。 根据分析中所述，将FN = 0及 代入分析中式（2），可得
（3）当振幅不变时，设频率变为 。 同样将FN =0及 代入分析中式（2），可得
13－7 一物体沿x轴做简谐运动，振幅为0.06m，周期为2.0s，当t = 0时位移为0.03m，且向x轴正方向运动。求：（1）t = 0.5s时，物体的位 移、速度和加速度；（2）物体从x =－ 0.03m 处向x轴负向运动开始， 到平衡位置，至少需要多少时间？ 解：（1）由题意知A = 0.06m、 由旋转矢量图可确定初相则
m1的空盘.现有一质量为m2的物体从盘上方高为处自由落到盘中，并和 盘粘在一起振动.问：
（1）此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同？ （2）此时的振幅为多大？
分析：原有空盘振动系统由于下落物体的加入，振子质量由m1变为m1 +m2，因此新系统的角频率（或周期）要改变。 由于 因此，确定初始速度 和初始位移 是求解振幅A的关键。 物体落到盘中，与盘作完全非弹性碰撞，由动量 守恒定律可确定盘与物体的共同初速度 ，这也是该振动系统的初始速度。 在确定初始时刻的位移 时，应注意新振动系统的平衡位置应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位 置。 因此，本题中初始位移 ，也就是空盘时的平衡位置相对新系统的平衡位置的位移。
v = vm c o s (2π/ Tt +φ)
以经平衡位置的时刻为t = 0
根据题意t = o时 v = v0 = 100 c m s-1 且 v＞0
∴vm = v0 φ= 0
小球的动能
Ek0 = 1 / 2 m v02
过1 / 3秒后，速度为 v = v0 c o s ( 2π/T. 1/ 3) = - V0 / 2
（1） 在x = 6 c m，= 24 c m / s状态下有 6 = 12 c o sωt ， 24 = 12ωsinωt，
解以上两式得 ω = 4 / , ∴T= 2π/ ω= π/ 2 = 2.72 s
（2） 设对应于= 12 c m / s的时刻为l 2，则由 = - Aωsinωt
得
解得上式得 相应的位移为
解：T字形尺的微小振动是复摆振动。 T字形尺绕轴O的转动惯量J。 由两部分组成，其中尺
对该轴的转动惯量为
习题13－8图
尺AB对轴O的转动惯量为J2，根据平行 轴定理可得 故有
图中T字形尺的质心C至点O的距离为 ，由质心定义可得 。 则T字形尺的振动周期为
13－9 如本题图所示，一劲度系数为k的轻弹簧，其下挂有一质量为
，振动方程为
当t = 0.5s时质点的位移、速度、加速度分别为 （2）质点从x = -0.03 m运动到平衡位置的过程中，旋转矢量从图中的 位置M转至位置N，矢量转过的角度(即相位差) 。该过程所需时间为
13－8 有一密度均匀的金属T字形细尺，如本题图所示，它由两根 金属米尺组成。若它可绕通过点O的垂直纸面的水平轴转动，求其微小 振动的周期。
13－19示波管的电子束受到两个互相垂直的电场的作用。电子在两 个方向上的位移分别为和。求在、和各种情况下，电子在荧光屏上的轨 迹方程。 解：这是两个振动方向互相垂直的同频率简谐运动的合成问题。 合振 动的轨迹方程为
动能
Ek = 1 / 2 m v2 = 1 / 2m 1/ 4v02
∴EK / E0 = 1/ 4 动能是原来的1/ 4倍
13－5 设地球是一个半径为R的均匀球体，密度 r = 5.5 ´ 103 kg×m －3。现假定沿直径凿一条隧道。若有一质量为m的质点在此隧道内做 无摩擦运动。（1）证明此质点的运动是简谐振动；（2）计算其周期。
解：设物体的运动方程为： m
F
O
x
习题13－3图
x = A c o s (ωt +φ) 恒外力所做的功即为弹簧振子的能 量：
F 0.05 = 0.5 J 当物体运动到左方最位置时，弹簧的 最大弹性势能为0.5J，即：
1 / 2 kA2 = 0.5 J ∴A = 0.204 m A即振幅
ω2 = k / m = 4 ( r a d / s )2 ω= 2 r a d / s
第十三章 振动
13－1 一质点按如下规律沿x轴作简谐振动：x = 0.1 cos (8πt +2π/3 ) (SI)，求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。
解：周期T = 2π/ ω= 0.25 s 振幅A = 0.1m 初相位φ= 2π/ 3 Vmay = ωA = 0.8πm / s ( = 2.5 m / s ) amay = ω2 A = 6.4π2m / s ( = 63 m / s 2) 13－2 一质量为0.02kg的质点作谐振动，其运动方程为：x = 0.60
解：设小球的质量为m，由弹簧的倔强系数k = m g / l 0 选平衡位置为原点，向下为正方向，小球在x处，根据牛顿定律得
m g k ( l 0 + x ) = m d2 x / d t2 将倔强系数k = m g / l 0代入整理后得
d2x/dt2+gx/l0=0 ∴此振动为谐振动
令
解得 x = A c Байду номын сангаас s (ωt + φ) A = 2×10 -2
13－17求5个同方向、同频率简谐振动的合成，合振动方程：。 解：采用矢量合成法，如图所示，有
13－18将频率为348 Hz的标准音叉振动和一个待测频率的音叉振动 合成，测得拍频为3.0Hz 。若在待测频率音叉的一端上加上一小块物 体，则拍频将减小，求待测频率的固有频率。
分析：这是利用拍现象来测定振动频率的一种方法。 在频率
习题13－9图
解：（l）空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为
可见
，即振动周期变大了。 （2）如图所示，取新系统的平衡位置为坐标原点O。 则 根据分析中所述，初始位移为空盘时的平衡位置相对粘 上物体后新系统平衡位置的位移，即
式中
为空盘静止时弹簧的伸长量，
为物体粘在盘上后，静止时弹簧的伸长量。 由动量守恒定律可得振 动系统的初始速度，即盘与物体相碰后的速度
持力FN作用，FN是一个变力。按牛顿定律，有
（l） 由于物体是随板一起作简谐运动，因而有
， 则式（l）可改写为
（2） (1）根据板运动的位置，确定此刻振动的相位 ，由式（2）可求板与物体之间的作用力。 （2）由式（2）可知支持力FN的值与振幅A、角频率 和相位
有关。 在振动过程中，当
时FN最小。而重物恰好跳离平板的条件为FN = 0，因此由式（2）可 分别求出重物跳离平板所需的频率或振幅。 解：（l）由分析可知，重物在最低点时，相位 ，物体受板的支持力为
cos( 5 t π/2) (SI)。 求：（1）质点的初速度；（2）质点在正向最大位 移一半处所受的力。
解：（1）
（2）
13－3 如本题图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数k = 24N/m，重物的质量m = 6kg，重物静止在平衡位置上，设以一水平恒力 F = 10 N向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了 0.05m，此时撤去力F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物 体的运动方程。
证：（1）简谐运动的动能和势能分别为
则在一个周期中，动能与势能对时间的平均值分别为
（2）因简谐运动势能
，则势能在一个周期中对位置的平均值为
则动能在一个周期中对位置的平均值为
13－15 一物体同时参与两个同方向的简谐振动：x1= 0.04 cos (2πt +π/2) (SI)；x2 = 0.03 cos (2πt +π) (SI)。求此物体的振动方程。
解：设合成运动（简谐振动）的振动方程为：
x = A c o s (ωt +φ)…… （1）
则
A
2
=
A
2 1
+A
2 2
+2
A
1A
2
cos(φ2
-
φ1)，φ2
－φ1
=
π－
1
/
2π
代入（1）式，得
又
13－16 有两个同方向同频率的简谐运动，其合振动的振幅为 0.20m，合振动的相位与第一个振动的相位差为π/6，第一个振动的振幅 为0.173m。求第二个振动的振幅及两振动的相位差。
式中
是物体由h高下落至盘时的速度。故系统振动的振幅为
本题也可用机械能守恒定律求振幅A。 13－10 一质量M的物体在光滑水平上作谐振动，振幅是12cm，在
距平衡位置6cm处速度是24cm / s，求（1） 周期T；（2）当速度是12cm / s时的位移。
解：设振动方程为x = A c o sωt，则 = Aωsinωt
(2) 周期 T = 2π/ ω = 6 s 从平衡位置运动到的最短时间为T / 8
∴6 / 8 = 0.75 s
13－14 试证明：（1）在一个周期中，简谐运动的动能和势能对 时间的平均值都等于kA2/4；（2）在一个周期中，简谐运动的动能和势 能对位置的平均值分别等于kA2/3和kA2/6。