2019年高考数学一轮复习 第二单元 函数的概念及其性质 高考达标检测(五)函数的单调性、奇偶性及周期性 理

2019年高考数学一轮复习 第二单元 函数的概念及其性质 高考达标检测

（五）函数的单调性、奇偶性及周期性 理

一、选择题

1．(xx·北京高考)已知函数f (x )＝3x

－⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x ，则f (x )( )

A ．是奇函数，且在R 上是增函数

B ．是偶函数，且在R 上是增函数

C ．是奇函数，且在R 上是减函数

D ．是偶函数，且在R 上是减函数

解析：选A 因为f (x )＝3x

－⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x ，且定义域为R ，

所以f (－x )＝3－x

－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x －3x ＝－[ 3x －

⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函

数．

又y ＝3x

在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，

所以f (x )＝3x

－⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x 在R 上是增函数．

2．(xx·辽宁阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln (1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数

解析：选B 因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，

所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，则(m －1)ln3＝0，即m ＝1， 则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2

)，

因为x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2

是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数，故选B. 3．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1

y

>0

B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭

⎪⎫12y

<0 D ．ln x ＋ln y >0

解析：选C A 项，考查的是反比例函数y ＝1

x

在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所

以1x －1

y

<0，所以A 错误；B 项，考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y ＝

sin x 在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C 项，考查的是指

数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭

⎪⎫12y

<0，所

以C 正确；D 项，考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，

xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误．

4．(xx·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3

－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －12，则f (6)＝( )

A ．－2

B ．－1

C ．0

D ．2

解析：选D 由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >1

2时，f (x ＋1)＝f (x )，

所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3

－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.

5．(xx·湖南联考)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，

若a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝

⎛⎭⎪⎫tan 5π7，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．b

B ．c

C ．b

D ．a

解析：选B ∵π2<5π7<3π4，∴tan 5π7<－1

7<0，

又sin 2π7>0，∴tan 5π7

7

.

∵函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴函数f (x )是R 上的增函数，∴c

6．若函数f (x )＝x 2

＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )

A.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22] D ．[－4，－3]

解析：选B 由函数f (x )为R 上的偶函数知，只需考虑f (x )在(0，＋∞)上的单调性，由题意可知f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，则只需函数y ＝x 2

＋ax ＋2的对称轴x ＝－a

2

∈[2,3]即可，故a ∈[－6，－4]，选B.

7．设函数f (x )＝ln (1＋|x |)－1

1＋x

2，

则使f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝

⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，＋∞ 解析：选A 由题意知，f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数， 当x ≥0时，易得函数f (x )＝ln(1＋x )－1

1＋x 2是增函数，

所以不等式f (x )>f (2x －1)等价于|2x －1|<|x |，解得1

3

则x 的取值范围是⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，1. 8．(xx·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当 x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x

＋15

，则f (log 220)＝( )

A ．1 B.4

5

C ．－1

D ．－45

解析：选C 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数， 因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4. 所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝

⎛⎭⎪⎫2log 245＋15

＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫45＋15＝－1，故选C.

二、填空题

9．(xx·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2

|a －1|

)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．

解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，