陕西2015年数学联赛初赛
2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛Word版无答案
2015年全国高中数学联赛陕西省预赛一试一、填空题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,请将答案填在答题卡的相应位置.1.已知集合,若集合,则集合中元素的个数是2.已知函数,则3.已知,则4.在三棱锥中,,则直线与所成的角的大小为5.如图,以双曲线上一点为圆心的圆与轴恰好相切于双曲线的一个焦点,且与轴交于两点,若为正三角形,则该双曲线的离心率是6.设为的外心,且满足,则7.在中,,则的最小值是8.某人抛掷一枚硬币,出现正面向上和反面向上的概率都是,构造数列,使,记,则且的概率是(用最间分数作答)9.若正整数满足,则的值为10.设单调递增数列的各项均为正整数,且,则二试二、本大题共6小题,共100分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.11(本小题满分15分)设等比数列的前项和为,且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)在与之间插入个实数,,使这个数依次组成公差为组成公差为的等差数列,设数列的前项和为,求证:12(本小题满分15分)设的三内角所对的边分别为,且满足(Ⅰ)求证:为直角三角形;(Ⅱ)若,求面积的最大值.13(本小题满分15分)如图,设为锐角的垂心,过点且垂直于的直线交于点,过点且垂直于的直线交于点,,过点且垂直于的直线交直线于点,求证:14(本小题满分15分)如图,,在直角坐标系中,圆与轴的正半轴交于点,以为圆心的圆与圆交于两点.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)设是圆上异于的任意一点,直线与轴分别交于点,求的最大值(其中分别表示的面积)15(本小题满分20分)已知函数.(Ⅰ)若对任意不等式恒成立,求实数的取值范围;(Ⅱ)证明:对任意,有.16(本小题满分20分)设表示不超过实数的最大整数,已知求和:。
2015全国初中数学联赛初二试题
（初二年级）
第二试（A）
（3月22日上午9﹕50——11﹕20）
考生注意：本试共三个大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分.
一、（本题满分20分）
求所有的两位数 ，使得 的末两位数字构成的数恰好为 .
二、（本题满分25分）
在四边形 中， ， ， ＝ ，求 .
2015年全国初中数学联合竞赛试题
（初二年级）
第一试（A）
（3月22日上午8﹕30——9﹕30）
考生注意：1.本试两个大题共10个小题，全卷满分70分.
2.用圆珠笔或钢笔作答.
3.解题书写不要超出装订线.
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每题均给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.
1．若 ，则 （）
A.3 B. 4 C. 5 D. 6
2．设实数 满足： ， ，则
（）
A.9 B. 6 C. 3 D. 0
3．锐角△ 中， 边的中垂线和 的角平分线相交于点 ．若 ， ，则 ＝（ ）
A．24°B．28°C．30°D．36°
4．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为（）
A．11 B．12 C．17 D．18
三、（本题满分25分）已知 为实数，对任何满足 的实数 ，都有 成立，则 的最大值为．
3．设 是小于100的正整数且使 是6的倍数，则符合条件的所有正整数 的和是．
4．将数字1，2，3，……，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为．
2015年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷
第3题图AB东第2题图1-2 -1M2015年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（3月13日下午3：00—5：00）班级：: 姓名： 成绩：考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、(21211-+--的值为（ ）A 、2-B 、2C 、22-D 、222、如图，观察图中的数轴，用字母a ，b ，c 依次表示点A 、B 、C 对应的数，则ab 1，a b -1，c1这三个数的大小关系为（ ）A 、ab c a b 111- B 、ab a b c 111- C 、cab a b 111 -D 、c a b ab 111 - 3、如图，一艘船以h km /32速度向正东方向航行。
在A 处时看见灯塔M 在北偏东︒60方向，半小时后到达B 处，看见灯塔M 在北偏东︒15方向，此时，灯塔M 与船的距离是（ ）ECM D第4题图AB 第5题图 GECFD第8题图 ABA 、km 28B 、km 216C 、km 8D 、km 164、如图，平行四边形ABCD 中，AB BC 2=，AB DE ⊥，M 是BC 的中点，︒=∠35DEM ，则B ∠的大小是（ ）A 、︒100B 、︒110C 、︒120D 、︒1255、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数434+-=x y 的图像分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，把直线AB 绕点O 逆时针旋转︒90，交y 轴于点A '，交直线AB 于点C ，则BC A '∆的面积为（ ）A 、2524B 、2512C 、256D 、253 6、满足2=++b a ab 的有序正整数对（a ，b ）共有（ ）A 、17对B 、18对C 、34对D 、36对 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7、已知2241622=---x x ，则_________41622=-+-x x ．8、如图所示，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连接AF 、CE ，设AF 、CE 的交于点G ，若矩形ABCD 的面积是1，则四边形AGCD 的面积是 ．9、已知0≠y ，且089222=+-y xy x ，则22223484y xy x y xy x ++--的值为 ．10、若关于x 的不等式()()n m x n m 352-- 的解集为1 x ，则关于x 的不等式()m x n m 25 -n 3-的解集是 ．三、（本大题满分20分）11、已知正数a ，b 满足b a b a +=-211，求3333b a a b +的值。
2015年全国初中数学联赛初二年级试题答案
）
A.9. 【答】A.
B.6.
C.3.
D.0.
∵ a b c 3， a b c 4 ，
2 2 2
∴
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 4 c 2 4 a 2 4 b2 (2 c) (2 a) (2 b) 2c 2a 2b 2c 2a 2b
第一试(A)
一、选择题： （本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 若 x2 y 2 2 z 2 xy 2 yz 2 x 2 0 ，则 x y z A.3. 【答】C.
2 2 2
（
）
B.4.
C.5.
2 2
D.6.
2
∵ x y 2 z xy 2 yz 2 x 2 0 ，∴ 2 x 2 y 4 z 2 xy 4 yz 4 x 4 0 ， ∴ ( x 2 xy y ) ( x 4 x 4) ( y 4 yz 4 z ) 0 ，
2 2 2 2 2
∴ ( x y) ( x 2) ( y 2 z) 0 ，∴ x y 2 ， z 1 ，∴ x y z 5.
2 2 2
2. 设实数 a, b, c 满足： a b c 3 ， a b c 4 ，则
2 2 2
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 （ 2c 2a 2b
∵ 2n 3n 2 是 6 的倍数，∴ m 1 是 3 的倍数，∴ m 3k 1 或 m 3k 2 ，其中 k 是非负整数.
2 2
∴ n 2(3k 1) 6k 2 或 n 2(3k 2) 6k 4 ，其中 k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数 n 的和是（2＋8＋14＋…＋86＋92＋98）＋（4＋10＋16＋…＋82＋88＋94） ＝1634. 4.将数字 1，2，3，……，34，35，36 填在 6×6 的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从 左到右是从小到大的顺序，则第三列所填 6 个数字的和的最小值为______. 【答】63. 设第三列所填 6 个数字按从小到大的顺序排列后依次为 A , B , C , D , E , F . 因为 A 所在行前面需要填两个比 A 小的数字， 所以 A 不小于 3； 因为 B 所在行前面需要填两个比 B 小 的数字，且 A 及 A 所在行前面两个数字都比 B 小，所以 B 不小于 6. 同理可知： C 不小于 9, D 不小于 12, E 不小于 15, F 不小于 18. 因此，第三列所填 6 个数字之和 A ＋ B ＋ C ＋ D ＋ E + F 3 6 9 12 15 18 63 . 如图即为使得第三列所填 6 个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）. 1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14 17 3 6 9 12 15 18 19 25 22 26 31 32 20 27 23 28 34 33 21 29 24 30 35 36 第 3 页（共 6 页）
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
(i ) 5 2 ，此时 1 且 5 ，无解；
22
2
4
(ii) 5 9 2 ，此时有 9 5 ；
件等价于：存在整数 k, l (k l) ，使得
2k 2l 2 ．
①
2
2
当 4 时，区间[, 2]的长度不小于 4 ，故必存在 k, l 满足①式．
当 0 4 时，注意到[, 2] (0, 8) ，故仅需考虑如下几种情况：
．
答案： 2015 1007i ．
解：由已知得，对一切正整数 n ，有
zn2 zn1 1n 1i zn 1 ni 1n 1i zn 2 i ， 于是 z2015 z1 10072 i 2015 1007i ．
4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) x 3y 6 3x y 6 0所对
应的平面区域的面积为
．
答案：24．
解：设 K1 (x, y) x 3y 6 0 ．先考虑 K1
在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ，故这些点对
应于图中的 OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的 区域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 (x, y) 3x y 6 0 ，则 K2 对
应的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知， K 所对应的平面区域是被
2015 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
C E
B
G
∴ GF 11， GE 10 ，∴ EF GE2 GF 2 221 .
4. 已知 O 为坐标原点，位于第一象限的点 A 在反比例函数 y 1 (x 0) 的图象上，位于第二象限的 x
点 B 在反比例函数 y 4 (x 0) 的图象上，且 OA OB ，则 tan ABO 的值为 x
5. 已知实数 x, y 满足关系式 xy x y 1，则 2 2 .
B. 6 4 2 .
C.1.
D. 6 4 2 .
【答】B.
设 x y t ， 则 由 题 设 条 件 可 知 xy x y 1 t 1 ， 所 以 x, y 是 关 于 m 的 一 元 二 次 方 程
则 5n2 3n 5 125m2 15m 5 120m2 15m 5(m2 1) .
∵ 5n2 3n 5 是 15 的倍数，∴ m2 1是 3 的倍数，∴ m 3k 1或 m 3k 2 ，其中 k 是非负整数.
∴ n 5(3k 1) 15k 5或 n 5(3k 2) 15k 10 ，其中 k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数 n 的和是（5＋20＋35＋50＋65＋80＋95）＋（10＋25＋40＋55＋70＋85）
A. 8. 【答】C.
B. 12.
C. 16.
D.24.
依题意，有 n m2 bm c (m 8)2 b(m 8) c ，于是可得 b 8 2m ．
∵抛物线 y x2 bx c 与 x 轴只有一个公共点，∴ b2 4c 0 ，∴ c 1 b2 (4 m)2 . 4
6. 设 n 是小于 100 的正整数且使 5n2 3n 5 是 15 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和是（ ）
A.285. 【答】D.
2015年全国高中数学联赛一试真题及解答(A卷)
3. 已知复数数列 {zn } 满足 z1 1, zn1 zn 1 n i (n 1, 2, ) ，其中 i 为虚数单位， zn 表示 zn 的共轭复数，则 z2015 的值为 答案： 2015 1007i ． 解：由已知得，对一切正整数 n ，有 ．
zn2 zn1 1 n 1i zn 1 n i 1 n 1i zn 2 i ，
于是 z2015 z1 1007 2 i 2015 1007i ． 4. 在矩形 ABCD 中， AB 2, AD 1 ，边 DC 上（包含点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延 长线上（包含点 B ）的动点 Q 满足 DP BQ ，则向量 PA 与向量 PQ 的数量积 PA PQ 的 最小值为 ．
解： 由条件可知， 且其中没有两个为相反数， ai a j (1 ≤ i < j ≤ 4 ) 是 6 个互不相同的数， 由 此 知 ， a1 , a2 , a3 , a4 的 绝 对 值 互 不 相 等 ， 不 妨 设 a1 a2 a3 a4 ， 则
ai a j (1 ≤ i < j ≤ 4 ) 中最小的与次小的两个数分别是 a1 a2 及 a1 a3 ，最大与次大的两个
…………………12 分
1 33 2 1 ，即 y 3 时， z 的最小值为 ，符合要求） ． 2 （此时相应的 x 值为 y 4 4 2 3 3 5 …………………16 分 由于 c log 2 z ，故 c 的最小值为 log 2 2 log 2 3 ． 4 3
1. 设 a, b 为不相等的实数，若二次函数 f ( x) x 2 ax b 满足 f (a ) f (b) ，则 f (2) 的值为 答案：4． 解：由已知条件及二次函数图像的轴对称性，可得 ．
2015年全国初中数学联赛试题及参考答案第一试（有答案）
２０１６年全国初中数学联赛试题及参考答案（第一试）第一试（Ａ）一、选择题（本题满分４２分，每小题７分）１．用［ｘ］表示不超过ｘ的最大整数，把ｘ－［ｘ］称为ｘ的小数部分，已知ｔ＝１２－槡３，ａ是ｔ的小数部分，ｂ是－ｔ的小数部分，则１２ｂ－１ａ＝（ ）．（Ａ）１２ （Ｂ）槡３２ （Ｃ）１ （Ｄ）槡３［答］（Ａ）．∵ ｔ＝１２－槡３＝２＋槡３而３＜２＋槡３＜４，∴ ａ＝ｔ－３＝槡３－１又∵ －ｔ＝－２－槡３，而－４＜－２－槡３＜－３，∴ ｂ＝－ｔ－（－４）＝２－槡３．∴ １２ｂ－１ａ＝１２（２－槡３）－１槡３－１＝２＋槡３２－槡３＋１２＝１２．２．三种图书的单价分别为１０元、１５元和２０元，某学校计划恰好用５００元购买上述图书３０本，那么不同的购书方案共有（ ）．（Ａ）９种 （Ｂ）１０种（Ｃ）１１种 （Ｄ）１２种［答］（Ｃ）．设购买三种图书的数量分别为ａ，ｂ，ｃ，则ａ＋ｂ＋ｃ＝３０，１０ａ＋１５ｂ＋２０ｃ＝５００，易得ｂ＝２０－２ａ，ｃ＝１０＋ａ，于是ａ有１１种可能的取值（分别为０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０）．对于每一个ａ值，对应地可求出唯一的ｂ和ｃ，所以，不同的购书方案共有１１种．３．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”。
如：２＝１３－（－１）３，２６＝３３－１３，２和２６均为“和谐数”．那么，不超过２０１６的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）．（Ａ）６８５８ （Ｂ）６８６０（Ｃ）９２６０ （Ｄ）９２６２．［答］（Ｂ）．注意到（２ｋ＋１）３－（２ｋ－１）３＝２（１２ｋ２＋１），由２（１２ｋ２＋１）≤２０１６得｜ｋ｜＜１０．取ｋ＝０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，即得所有的不超过２０１６的“和谐数”，它们的和为［１３－（－１）３］＋（３３－１３）＋（５３－６３）＋…＋（１９３－１７３）＝１９３＋１＝６８６０．４．已知⊙Ｏ的半径ＯＤ垂直于弦ＡＢ，交ＡＢ于点Ｃ，连接ＡＯ并延长交⊙Ｏ于点Ｅ，若ＡＢ＝８，ＣＤ＝２，则△ＢＣＥ的面积为（ ）．（Ａ）１２ （Ｂ）１５ （Ｃ）１６ （Ｄ）１８［答］（Ａ）．设ＯＣ＝ｘ，则ＯＡ＝ＯＤ＝ｘ＋２，在Ｒｔ△ＯＡＣ中，由勾股定理得ＯＣ２＋ＡＣ２＝ＯＡ２，即ｘ２＋４２＝（ｘ＋２）２，解得ｘ＝３．又ＯＣ为△ＡＢＥ的中位线，所以ＢＥ＝２ＯＣ＝６．所以直角△ＢＣＥ的面积为１２ＣＢ·ＢＥ＝１２．５．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ＝槡５，ＣＤ＝１，对角线的交点为Ｍ，则ＤＭ＝（ ）．（Ａ）槡３２ （Ｂ）槡５３（Ｃ）槡２２ （Ｄ）１２［答］（Ｄ）．作ＡＨ⊥ＢＤ于点Ｈ，易知△ＡＭＨ∽△ＣＭＤ，所以ＡＨＣＤ＝ＡＭＣＭ，又ＣＤ＝１，所以ＡＨ＝ＡＭＣＭ①设ＡＭ＝ｘ，则ＣＭ槡＝５－ｘ．在Ｒｔ△ＡＢＭ中，可得ＡＨ＝ＡＢ·ＡＭＢＭ＝槡５ｘ５＋ｘ槡２．所以，由①式得槡５ｘ５＋ｘ槡２＝ｘ槡５－ｘ，解得ｘ＝槡５２（另一解ｘ槡＝２ ５舍去）．所以ＣＭ＝槡５２，ＤＭ＝ＣＭ２－ＣＤ槡２＝１２．６．设实数ｘ，ｙ，ｚ满足ｘ＋ｙ＋ｚ＝１，则Ｍ＝ｘｙ＋２ｙｚ＋３ｘｚ的最大值为（ ）．（Ａ）１２ （Ｂ）２３ （Ｃ）３４ （Ｄ）１［答］（Ｃ）．Ｍ＝ｘｙ＋２ｙｚ＋３ｘｚ＝ｘｙ＋（２ｙ＋３ｘ）（１－ｘ－ｙ）＝－３ｘ２－４ｘｙ－２ｙ２＋３ｘ＋２ｙ＝－２［ｙ２＋２（ｘ－１２）ｙ＋（ｘ－１２）２］－３ｘ２＋３ｘ＋２（ｘ－１２）２＝－２（ｙ＋ｘ－１２）２－ｘ２＋ｘ＋１２＝－２（ｙ＋ｘ－１２）２－（ｘ－１２）２＋３４≤３４，所以Ｍ＝ｘｙ＋２ｙｚ＋３ｘｚ的最大值为３４．二、填空题（本题满分２８分，每小题７分）１．已知△ＡＢＣ的顶点Ａ、Ｃ在反比例函数ｙ＝槡３ｘ（ｘ＞０）的图像上，∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＡＢＣ＝３０°，ＡＢ⊥ｘ轴，点Ｂ在点Ａ的上方，且ＡＢ＝６，则点Ｃ的坐标为．［答］（槡３２，２）．作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，易求得ＣＤ３ ＝槡３２，ＡＤ＝３２．设Ｃ（ｍ，槡３ｍ），Ａ（ｎ，槡３ｎ），结合题意可知ｎ＞ｍ＞０，Ｄ（ｎ，槡３ｍ），所以ＣＤ＝ｎ－ｍ，ＡＤ＝槡３ｍ－槡３ｎ，故ｎ－ｍ３ ＝槡３２，槡３ｍ－槡３ｎ＝３２，联立解得ｍ＝槡３２，ｎ槡＝２ ３．所以，点Ｃ的坐标为（槡３２，２）．２．在四边形ＡＢＣＤ中，ＢＣ∥ＡＤ，ＣＡ平分∠ＢＣＤ，Ｏ为对角线的交点，ＣＤ＝ＡＯ，ＢＣ＝ＯＤ，则∠ＡＢＣ＝．［答］１２６°．因为ＢＣ∥ＡＤ，ＣＡ平分∠ＢＣＤ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ，所以ＤＡ＝ＤＣ，又ＣＤ＝ＡＯ，所以ＡＤ＝ＡＯ，所以∠ＡＤＯ＝∠ＡＯＤ．记∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＝α，∠ＡＤＯ＝∠ＡＯＤ＝β．又ＢＣ∥ＡＤ，所以△ＡＤＯ∽△ＣＢＯ，结合ＡＤ＝ＡＯ可得ＯＣ＝ＢＣ，且∠ＣＢＯ＝∠ＣＯＢ＝β．又ＢＣ＝ＯＤ，所以ＯＣ＝ＯＤ，所以∠ＯＤＣ＝∠ＯＣＤ＝α．结合图形可得：β＝２α且α＋２β＝１８０°，解得α＝３６°，β＝７２°．所以∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ＝７２°，所以ＢＤ＝ＣＤ＝ＡＤ，所以∠ＤＡＢ＝∠ＤＢＡ＝５４°，于是可得∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＣ＝１２６°． ３．有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的３倍，这个六位数是．［答］１６７３３４．设两个三位数分别为和ｙ，由题设知１０００ｘ＋ｙ＝３ｘｙ①由①式得ｙ＝３ｘｙ－１０００ｘ＝（３ｙ－１０００）ｘ，故ｙ是ｘ的整数倍，不妨设ｙ＝ｔｘ（ｔ为正整数），代入①式得１０００＋ｔ＝３ｔｘ，所以ｘ＝１０００＋ｔ３ｔ．因为是三位数，所以ｘ＝１０００＋ｔ３ｔ≥１００，从而可得ｔ≤１０００２９９，又ｔ为正整数，故ｔ的可能的取值只能是１，２，３．验证可知：只有ｔ＝２符合题意，所以ｔ＝２，ｘ＝１６７，ｙ＝３３４，所求的六位数为１６７３３４．４．将５个１、５个２、５个３、５个４、５个５共２５个数填入一个５行５列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过２．考虑每列中各数之和，设这５个和的最小值为Ｍ，则Ｍ的最大值为．［答］１０．依据５个１分布的列数的不同情形分别求Ｍ的最大值，若５个１分布在同一列，则Ｍ＝５；若５个１分布在两列中，则由题设知这两列中出现的最大数至多为３，故２ Ｍ≤５×１＋５×３＝２０，所以Ｍ≤１０；若５个１分布在三列中，则由题设知这三列中出现的最大数至多为３，故３ Ｍ≤５×１＋５×２＋５×３＝３０，所以Ｍ≤１０；若５个１分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于３，与题设矛盾．１ １ １ ４ ５１ １ ２ ４ ５２ ２ ２ ４ ５３ ３ ３ ４ ５３ ３ ３ ４ ５ 综上所述，Ｍ≤１０；另一方面，右边给出的例子说明Ｍ可以取到１０．故Ｍ的最大值为１０．第一试（Ｂ）一、选择题（本题满分４２分，每小题７分）１．题目和解答与（Ａ）卷第１题相同．２．题目和解答与（Ａ）卷第２题相同．３．已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋１（ａ≠０）的图像的顶点在第二象限，且过点（１，０）．当ａ－ｂ为整数时，ａｂ＝（ ）．（Ａ）０ （Ｂ）１４ （Ｃ）－３４ （Ｄ）－２［答］（Ｂ）．由于二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋１（ａ≠０）的图象的顶点在第二象限，且过点（１，０）和（０，１），故ａ＜０，－ｂ２ａ＜０，ａ＋ｂ＋１＝０，所以ｂ＜０且ｂ＝－ａ－１，于是可得－１＜ａ＜０．当ａ－ｂ＝２ａ＋１为整数时，因为－１＜２ａ＋１＜１，所以２ａ＋１＝０，ａ＝－１２，ｂ＝－１２，所以ａｂ＝１４．４．题目和解答与（Ａ）卷第４题相同．５．题目和解答与（Ａ）卷第５题相同．６．题目和解答与（Ａ）卷第６题相同．二、填空题（本题满分２８分，每小题７分）１．已知△ＡＢＣ的最大边ＢＣ上的高线ＡＤ和中线ＡＭ恰好把∠ＢＡＣ三等分，ＡＤ＝槡３，则ＡＭ＝．［答］２．显然∠ＡＢＣ≠∠ＡＣＢ．若∠ＡＢＣ∠ＡＣＢ，则由已知条件易知△ＡＤＭ≌△ＡＤＢ，所以ＢＤ＝ＤＭ＝１２ＣＭ．又因为ＡＭ平分∠ＤＡＣ，所以，由角平分线定理可得ＡＤＡＣ＝ＤＭＣＭ＝１２，即ｃｏｓ∠ＤＡＣ＝１２，所以∠ＤＡＣ＝６０°，进而可得∠ＢＡＣ＝９０°，∠ＡＣＤ＝３０°．在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＡＤ槡＝３，∠ＡＣＤ＝３０°，可求得ＣＤ＝３，所以ＤＭ＝１．在Ｒｔ△ＡＤＭ中，由勾股定理得ＡＭ＝ＡＤ２＋ＤＭ槡２＝２．若∠ＡＢＣ＜∠ＡＣＢ，同理可求得ＡＭ＝２．２．题目和解答与（Ａ）卷第１题相同．３．若质数ｐ，ｑ满足：３ｑ－ｐ－４＝０，ｐ＋ｑ＜１１１．则ｐｑ的最大值为．［答］１００７．由３ｑ－ｐ－４＝０得ｐ＝３ｑ－４，所以ｐｑ＝ｑ（３ｑ－４），显然ｑ（３ｑ－４）的值随着质数ｑ的增大而增大，当且仅当ｑ取得最大值时ｐｑ取得最大值．又因为ｐ＋ｑ＜１１１即ｐ＋ｑ＝４ｑ－４＜１１１，所以ｑ＜２９．因为ｑ为质数，所以ｑ的可能的取值为２３，１９，１７，１３，１１，７，５，３，２．当ｑ＝２３时，ｐ＝３ｑ－４＝６５，不是质数；当ｑ＝１９时，ｐ＝３ｑ－４＝５３，是质数．所以，ｑ的最大值为１９，ｐｑ的最大值为５３×１９＝１００７．４．题目和解答与（Ａ）卷第３题相同．。
2015 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
AB AC ， EF BC ，则 C B ____________.
【答】 60 .
E
作 EM BC 于点 M ， FN BC 于点 N ， FP EM 于点 P .
∵ E 、 F 分别为△ ABD 、△ ACD 的外心，∴ M 、 N 分别为 BD 、CD 的中
点.又 EF BC ，∴ PF MN 1 BC 1 EF ，∴ PEF 30 .
6. 设 n 是小于 100 的正整数且使 5n2 3n 5 是 15 的倍数，则符合条件的所有正整数 n 的和是（ ）
A.285. 【答】D.
B.350.
C.540.
D.635.
∵ 5n2 3n 5 是 15 的倍数，∴ 5 | (5n2 3n 5) ，∴ 5 | 3n ，∴ 5 | n ，设 n 5m （ m 是正整数），
∴符合条件的所有正整数 n 的和是（2＋8＋14＋…＋86＋92＋98）＋（4＋10＋16＋…＋82＋88＋94）
＝1634. 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1．题目和解答与（A）卷第 1 题相同. 2. 三边长均为整数且周长为 24 的三角形的个数为________. 【答】12.
C E
B
G
∴ GF 11， GE 10 ，∴ EF GE2 GF 2 221 .
4. 已知 O 为坐标原点，位于第一象限的点 A 在反比例函数 y 1 (x 0) 的图象上，位于第二象限的 x
点 B 在反比例函数 y 4 (x 0) 的图象上，且 OA OB ，则 tan ABO 的值为 x
同理可知： C 不小于 9, D 不小于 12, E 不小于 15, F 不小于 18.
因此，第三列所填 6 个数字之和 A ＋ B ＋ C ＋ D ＋ E + F 3 6 9 12 15 18 63.
2015全国高中数学联赛
王宝
静海一中
2
王程程
天津市实验中学
2
王铎澄
南开中学
2
王飞宇
汉沽一中
2
王涵斌
大港一中
2
王昊天
宝坻一中
2
王昊文
宝坻一中
2
王昊宇
天津一中
2
王浩然
2
裴兆辰
南开中学
2
彭安頔
杨柳青一中
2
彭启洲
天津第一零二中学
2
彭希
新华中学
2
彭晓菡
耀华中学
2
彭正达
南开中学
2
戚宝玥
天津市实验中学
2
齐长悦
天津市实验中学
2
齐涛
静海一中
2
曲鹏桥
开发区第一中学
2
全婧琳
天津一中
2
任晋辉
耀华中学
2
任云飞
南开中学
2
申佳军
大港一中
2
石浤澔
耀华中学
2
石岩
蓟县一中
2
史书毓
杨村一中
2
宋知遇
静海一中
1
赵川喆
天津一中
1
郑宸
天津一中
1
邹尚宏
天津市实验中学
1
安金旭
南开中学
2Hale Waihona Puke 安睿龙天津市实验中学
2
安泰然
南开中学
2
白洋
耀华中学
2
蔡俊禹
耀华中学
2
蔡明睿
天津市实验中学
2
蔡翔宇
塘沽一中
2
曹体睿
南开中学
2
2015全国高中数学联赛一试试题及答案(A卷)
由b a 9 下面计算 A0 ：对任一四位数 abc0 A0 ，b 可取 0, 1, , 9 ，对其中每个 b ，
杭
及 b c 9 知， a 和 c 分别有 9 b 种取法，从而
州
9
N ( P ) N (Q) A B A0 A1 B A0 ．
A0 (9 b) 2 k 2
奥 林
于是 a2
1 a1a2 , 8 a a 1, 1 3 a2 a4 3, a3 a4 24,
教
ai a j (1 ≤ i < j ≤ 4 ) 中最小的与次小的两个数分别是 a1 a2 及 a1 a3 ，最大与次大的两个
2 当 2y
3
10. （本题满分 20 分）设 a1 , a2 , a3 , a4 是 4 个有理数，使得
ai a j
求 a1 a2 a3 a4 的值.
3 1 1 i j 4 24, 2, , , 1, 3 ， 2 8
(i )
9 5 13 综合 (i ) 、 (ii) 、 (iii) ，并注意到 4 亦满足条件，可知 , , ． 4 2 4
数；若 a b, b c, c d ，则称 abcd 为 Q 类数．用 N ( P ) 与 N (Q) 分别表示 P 类数与 Q 类 数的个数，则 N ( P ) N (Q) 的值为 答案：285． ．
…………………8 分
z
1 3 1 1 33 y4 y 1 2 y 2 1 1 3 2 y2 2． 2 y y 4 2y 4 y y 4
2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛_刘康宁
＝ １
＾
ｊ
ｔ
２
３
故
＇
〇 ８ ＝ ８ ａ
！
＋
＝ ３ ａ ２
１
９４
．
４
第
＝
ｔ
，
一
二
试
丄
？
当 且 仅当
．
ａｎ
号 成立
ａｎ 时 上 式 等 夺 ｜ ｜ ２ ２ ２ ２５ ＋ 因为 〇 ＋ ２
、 （ １ ＝
）
？ ＋
１
（
以１
）
，
所以
，
Ｃ
的 对边 分别 为
ａ、６
、ｃ
，
且满足
２８
中 等 数 学
ｓ ｉｎ Ａ ＋ ｓ ｉｎ
（
１
）
证明
？ ，
：
二 式 ／ 彡 ｙｇ ｉ Ｃ 为直 角 三 角 形 Ａ ＾ｆ
、
ｉ ＝ （ ｃ ｏ ｓ Ａ ＋ ｆ
ｃ ｏｓ ｆ ｉ
） ｓｉ
，
ｎ Ｃ
．
①
｜
３
、 （ １ ）
由 对称 性
．
，
不 妨设 点
４
．
Ｂ
Ｕ
。
，
ｙ。
）
，
＋ ｒ ＝２ ＋ ＋ ＋ ３ ＾ ３ ３ ３
…
Ｃ
ｎ
ｎ
Ｕ
－
。
，
ｙ。
）
则 ４
＋
ｄ
－
＝
ｍ ｒ
＝
（
ｃ
２
－
（
2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
PA
PQ
(t
)
(2
t)
(1)
(t
1)
t
2
t
1
t
1 2
2
3 4
3 4
．
当 t 1 时， PA PQ 3 ．
2
min 4
5. 在正方体中随机取 3 条棱，它们两两异面的概率为
．
答案： 2 ． 55
化简并整理得，
(m k)(x1 x2 2) 0 ．
假如 m k ，则直线 l 的方程为 y kx k ，即 l 经过点 F1 (1, 0) ，不符合条件．
2
2
f (2) 4 2a b 4 ．
2. 若实数 满足 cos tan ，则 1 cos4 的值为
．
sin
答案：2．
解：由条件知， cos2 sin ，反复利用此结论，并注意到 cos2 sin2 1 ，得
1 cos4 cos2 sin2 sin2
不同的方向．可先取定 AB 方向的棱，这有 4 种取法．不妨设取的棱就是 AB ，则 AD 方向
只能取棱 EH 或棱 FG ，共 2 种可能．当 AD 方向取棱是 EH 或 FG 时， AE 方向取棱分别
只能是 CG 或 DH ． 由上可知，3 条棱两两异面的取法数为 42 8 ，故所求概率为 8 2 ． 220 55
对任一四位数 abcd A1 ，将其对应到四位数 dcba ，注意到 a b, b c, c d 1，故 dcba B ．反之，每个 dcba B 唯一对应于 A1 中的元素 abcd ．这建立了 A1 与 B 之间的一一 对应，因此有
2015全国高中数学联赛
点 F1 的直线 l 与椭圆交于两个不同的点 A、B，焦点 F2 到直线 l 的距离为 d ．如果直线
AF1、l、BF1 的斜率依次成等差数列，求 d 的取值范围.
加试 1.设 a1 , a2 , , an ( n 2) 为实数. 证明：可以选取 1 , 2 , , n 1,1，使得
1 i n
2
n 明：存在 x Ai ，使得 x 属于 A1 , A2 , , An 中的至少 个集合. k i 1
n
A
上一点， 3.如图，△ ABC 内接于 ⊙ O ，P 为弧 BC 点K 在线段 AP 上， 使得 BK 平分 ABC. 过 K、 P、 C 三点 的圆 Γ 与边 AC 交于点 D，联结 BD ，与圆 Γ 交于点 E ， 联 结 PE 并 延 长 ， 与 边 AB 交 于 点 F . 证 明 ： ABC 2FCB. 4.求所有具有下述性质的正整数 k ：对任意正整数 n ，都有 2
n n n ai i ai (n 1) ai2 . i 1 i 1 i 1
2.设 S A1 , A2 , , An ( n 2) ，其中， A1 , A2 , , An 为 n 个互不相同的有限集合，满足对任 意 Ai A j S ，均有 Ai A j S . 若 k min Ai 2 ( X 表示有限集合 X 的元素个数.)，证
.
3.已知复数数列 z n 满足 z1 1， z n 1 z n 1 n i( n 1,2, ) ，其中 i 为虚数单位， z n 表 示 z n 的共轭复数，则 z 2015 的值为 .
4.在矩形 ABCD 中， AB 2 ， AD 1，边 DC 上的动点 P 与 CB 延长线上的动点 Q 满足
2015年全国高中数学联赛试卷解析
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++,于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足条件BQ DP =，则PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34．解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l)（其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =u u u r u u u r 得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---u u u r u u u r,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥u u u r u u u r ．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=u u u r u u u r ．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤．有36x y +≤,故先考虑1K 在第一象限中的部分，此时这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O 为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ．答案：9513[,)[,)424w ∈+∞U ．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式．当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况： (i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞U ． 8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑． 因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。