高考数学一轮复习 专题2.4 函数奇偶性与周期性(测)
高考数学学业水平测试一轮复习专题二函数的概念与基本初等函数Ⅰ第4讲函数的奇偶性与周期性课件
B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 解析：(1)A、C选项中的函数不是奇函数，D选项中 的函数在定义域内不是增函数． (2)因为函数f(x)与g(x)的定义域均为R， f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，所以为偶函数， g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，所以为奇函数． 答案：(1)B (2)D
则f(－2)＝( )
A．－10
B．10
C．－12
D．12
解析：依题意有f(2)＝22 017a＋bsin 2－1＝10，
所以22 017a＋bsin 2＝11.
所以f(－2)＝(－2)2 017a＋bsin(－2)－1
＝－(22 017a＋bsin 2)－1
＝－11－1
＝－12.
答案：C
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－
f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋
f(2 019)＝( )
A．2019
B．0
C．1
D．－1
解析：由f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)得，f(x)的周期为4.
又f(x)为奇函数，
则f(1)＝1，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝
么函数f(x)是奇函数
关于______ 对称
答案：f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常 数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_____，那么 就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 ________________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期． 答案：(1)f(x＋T)＝f(x) (2)存在一个最小
2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测课件：函数的奇偶性与周期性
题型3：函数的周期性
【例 3】(1)(2020·江西临川第一中学期末)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意的实数 x，f(x－2)＝f(x＋2)，
当 x∈(0，2)时，f(x)＝－x2，则 f123＝
()
A．－94
B．－14
C.14
2(1－x)，0≤x≤1，D．94
(2)(2020·开封模拟)已知函数 f(x)＝x－1，1<x≤2， 如果对任意的 n∈N*，定义 fn(x)＝
[例 2] (1)(2019·全国卷Ⅱ)设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝ex－1，则当 x<0 时，
f(x)＝
()
A．e－x－1
B．e－x＋1
C．－e－x－1
D．－e－x＋1
(2)已知函数 f(x)＝a－ex＋2 1(a∈R)是奇函数，则 a＝________．
(3)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上的奇函数，且 g(x)＝f(x－1)，
高三 数学 一轮总复习
【新高考·新课标】
第7讲
函数的奇偶性与周期性
一轮总复习
目录
题型1 函数奇偶性的判定 题型2 函数奇偶性的应用 题型3 函数的周期性 题型4 函数性质的综合应用
一轮总复习
题型1：函数奇偶性的判定
【例 1】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；
(2)f(x)＝(x＋1)
11＋－xx；
(3)f(x)＝－x2＋x2＋2x－2x＋1，1，x<x0>；0， (4)f(x)＝ 4x－2 x2．
一轮总复习
解：(1)由
1－x2≥0， x2－1≥0
2021版新高考数学一轮复习讲义：第二章第四讲 函数的奇偶性与周期性 (含解析)
第四讲函数的奇偶性与周期性ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数图象特征关于y 轴对称关于原点对称 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．重要结论1．奇(偶)函数定义的等价形式(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1(f (x )≠0)⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1(f (x )≠0)⇔f (x )为奇函数．2．对f (x )的定义域内任一自变量的值x ，最小正周期为T (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则T ＝|a －b |. 3．函数图象的对称关系(1)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称；(2)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则f (x )的图象关于点(a ＋b2，0)对称．4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )＝a x ＋a －x 为偶函数，函数f (x )＝a x －a －x 为奇函数； (2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＋a 2x －1a 2x ＋1为奇函数； (3)函数f (x )＝log ab －xb ＋x为奇函数； (4)函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)为奇函数．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论正确的为( BCD ) A ．若函数f (x )是奇函数，则必有f (0)＝0B ．若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称C ．若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b,0)中心对称D ．2π是函数f (x )＝sin x ，x ∈(－∞，0)的一个周期 题组二 走进教材2．(必修1P 35例5改编)函数f (x )＝x 2－1，f (x )＝x 3，f (x )＝x 2＋cos x ，f (x )＝1x ＋|x |中，偶函数的个数是2.3．(必修1P 45T6改编)若奇函数f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则它在[－b ，－a ]上是减函数；若偶函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则它在[－b ，－a ]上是减函数．4．(必修4P 46T10改编)已知函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 3(x 2＋3)，则f (2019)＝1.题组三 考题再现5．(2019·全国卷Ⅱ，5分)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝( D )A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1[解析] 解法一：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ． 解法二：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．6．(2018·全国卷Ⅱ，5分)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( C )A ．－50B ．0C ．2D ．50[解析] 解法一：∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0.∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )＝f (2－x )，f (－x )＝f (2＋x )，∴f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，∴f (4)＝f (0)＝0，f (2)＝f (1＋1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝－f (1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C ．解法二：由题意可设f (x )＝2sin(π2x )，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2，故选C ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 函数的奇偶性考向1 判断函数的奇偶性——自主练透例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝(1＋x )1－x1＋x； (2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0；(5)f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2；(6)已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，且f (0)≠0.[分析] 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f (－x )，再判断f (－x )与f (x )之间的关系．抽象函数常用赋值法判断．[解析] (1)由题意得1－x1＋x ≥0且x ≠－1，∴－1<x ≤1，∴f (x )的定义域不关于原点对称， ∴f (x )不存在奇偶性，为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0得x ＝±1，定义域关于坐标原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．(3)函数的定义域x ∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )， ∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数． (5)去掉绝对值符号，根据定义判断．由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩⎨⎧－1≤x ≤1，x ≠0.故f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x ＋2>0.从而有f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x，这时有f (－x )＝1－(－x )2－x＝－1－x 2x＝－f (x )，故f (x )为奇函数． (6)已知对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，不妨取x ＝0，y ＝0，则有2f (0)＝2[f (0)]2，因为f (0)≠0，所以f (0)＝1.取x ＝0，得f (y )＋f (－y )＝2f (0)f (y )＝2f (y )，所以f (y )＝f (－y )．又y ∈R ，所以函数f (x )是偶函数．名师点拨 ☞判断函数的奇偶性的方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f (－x )是否等于f (x )或－f (x )，据此得出结论．(2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y 轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)考向2 函数的性质的综合应用——多维探究 角度1 利用奇偶性求参数的值或取值范围例2 (1)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( B ) A ．－13B ．13C ．12D ．－12(2)已知f (x )＝a 2－32x ＋1是R 上的奇函数，则f (a )的值为( A )A ．76B ．13C ．25D ．23[解析] (1)依题意b ＝0，且2a ＋(a －1)＝0， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13.(2)因为f (x )＝a 2－32x ＋1是R 上的奇函数，所以f (0)＝a 2－32＝0，得a ＝3，所以f (x )＝32－32x ＋1.所以f (a )＝f (3)＝32－39＝76.故选A ．角度2 函数奇偶性与单调性结合例3 (1)若f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且x ∈[0,1)时f (x )为减函数，则不等式f (x )＋f (x －12)<0的解集为( C )A ．(14，＋∞)B ．(－1，14)。
高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性课件 新课标
②看f(x)与f(-x)的关系
2.性质： ①函数具有奇偶性首先须保证其定义域关于原点对 称. ②y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称, ③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性 相反， 奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性 相同 。 ④如果y=f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则必有 f(0)=0； 对于偶函数，有f(-x)=f(x)=f(|x|)
⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表 示为一个奇函数与一个偶函数之和 ：
1 1 f ( x) [ f ( x) f ( x)] [ f ( x) f ( x)] 2 2
⑥奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇 [注意：两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关 于原点对称]
⑦对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数 若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数 若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数
二、典型例题 题型一 判断函数的奇偶性
例1．判断下列函数的奇偶性 (1) ; f ( x) x 1 x 1
（A）当 0 p 1 时， f ( x) 在 1,2上是增函数，
f ( x) max
x p 是 f ( x) 在 1,2 上的一极小值点， （B）当1 p 2时， p f ( x ) f ( 2 ) 2 , f ( x) min f ( p ) 2 p max 且 f (2) f (1) 2 （C）当2 p 4 时，x p 是 f ( x) 在 1,2上的一个极小值点，
(2) f ( x) ( x 1)
高考数学一轮复习 2.4函数的奇偶性与周期性讲解与练习 理 新人教A版
第四节函数的奇偶性与周期性[备考方向要明了]考什么怎么考1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 1.高考对函数奇偶性的考查有两个方面：一是函数奇偶性概念的应用，一般为求参数或求值，如2012年上海T9等，属于容易题；二是综合考查函数的性质(单调性、奇偶性等)，如2012年陕西T2，福建T7等．2.高考对函数周期性的考查，题型主要以选择题或填空的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调性、奇偶性相结合命题，如2012年山东T8等.[归纳·知识整合]1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数 一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称[探究] 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？ 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．2．若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，是否有f (0)＝0？如果是偶函数呢？ 提示：如果f (x )是奇函数时，f (0)＝－f (0)，则f (0)＝0；如果f (x )是偶函数时，f (0)不一定为0，如f (x )＝x 2＋1.3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如f (x )＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．2．周期性 (1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．4.若T 为y ＝f (x )的一个周期，那么nT (n ∈Z )是函数f (x )的周期吗？提示：不一定．由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当n ∈Z 且n ≠0时，nT 是f (x )的一个周期．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)下列函数是奇函数的有( ) ①f (x )＝2x 4＋3x 2； ②f (x )＝x 3－2x ；③f (x )＝x 2＋1x；④f (x )＝x 3＋1.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称，然后由奇函数的定义逐个判断可知，②③为奇函数．2．(2013·郑州模拟)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数解析：选A ∵函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．令F (x )＝f (x )＋|g (x )|，F (－x )＝f (－x )＋|g (－x )|＝f (x )＋|－g (x )|＝f (x )＋|g (x )|＝F (x )． 故F (x )为偶函数．即f (x )＋|g (x )|是偶函数．3．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )A ．－12B ．－14C.14D.12解析：选A ∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.4．(2012·重庆高考)若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 解析：f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a 为二次函数，其图象的对称轴为x ＝－a －42，因为偶函数的图象关于y 轴对称，所以－a －42＝0，解得a ＝4.答案：45．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．解析：∵当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ， ∴当x ∈(0,1)时，f (x )<0， 当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0. 又∵函数f (x )为奇函数，∴当x ∈(－1,0)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－1)时，f (x )<0.∴满足f (x )>0的x 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)判断函数的奇偶性[例1] 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝ 3－x 2＋ x 2－3； (2)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3；(3)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x. [自主解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.∴函数f (x )的定义域为{－3，3}． 又∵对任意的x ∈{－3，3}， －x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0. ∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3，∴－2≤x ≤2且x ≠0.∴函数f (x )的定义域关于原点对称． 又∵x ＋3>0，∴f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x .又f (－x )＝4－－x2－x，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＋x≥0，1＋x ≠0，得－1<x ≤1.∵f (x )的定义域(－1,1]不关于原点对称． ∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．若将本例(1)改为“f (x )＝ 3－2x ＋2x －3”，试判断其奇偶性．解：∵函数f (x )＝ 3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．———————————————————判断函数奇偶性的方法(1)首先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数．(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断： ①定义判断：f (－x )＝f (x )⇔f (x )为偶函数，f (－x )＝－f (x )⇔f (x )为奇函数．②等价形式判断：f (－x )－f (x )＝0⇔f (x )为偶函数，f (－x )＋f (x )＝0⇔f (x )为奇函数．或等价于f －x f x ＝1，则f (x )为偶函数；f －xf x＝－1，则f (x )为奇函数．(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行．(4)对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判定．1．判断下列函数的奇偶性(1)f (x )＝lg 1－x1＋x ；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x x >0，x 2－x x <0；(3)f (x )＝lg 1－x2|x 2－2|－2 .解：(1)由1－x1＋x >0⇒－1<x <1，定义域关于原点对称．又f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )，故原函数是奇函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时， －x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x 2－2|－2≠0，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴f (x )＝lg 1－x 2－x 2－2－2＝－lg 1－x 2x 2. ∵f (－x )＝－lg[1－－x2]－x 2＝－lg 1－x2x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数.函数奇偶性的应用[例2] (1)(2012·上海高考)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.(2)(2012·新课标全国卷)设函数f (x )＝x ＋12＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.[自主解答] (1)令H (x )＝f (x )＋x 2，则H (1)＋H (－1)＝f (－1)＋1＋f (1)＋1＝0，则f (－1)＝－3，故g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.(2)将函数化简，利用函数的奇偶性求解．f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1， 设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，因此g (x )是奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0， 则M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. [答案] (1)－1 (2)2———————————————————与函数奇偶性有关的问题及解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．3已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值,常常利用待定系数法：利用f x±f－x＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解.4应用奇偶性画图象和判断单调性,利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.2．(1)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )A．－3 B．－1C．1 D．3(2)已知函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)<f(1)，则( )A．f(－1)<f(－3) B．f(0)>f(－1)C．f(－1)<f(1) D．f(－3)>f(－5)解析：(1)选A 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b ＝－1.所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.(2)选A 函数f (x )在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f (3)<f (1)，故此函数在区间[0,5]上是减函数．由已知条件及奇函数性质，知函数f (x )在区间[－5,5]上是减函数． 选项A 中，－3<－1，故f (－3)>f (－1)． 选项B 中，0>－1，故f (0)<f (－1)．同理选项C 中f (－1)>f (1)，选项D 中f (－3)<f (－5).函数的周期性及其应用[例3] (1)(2012·山东高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )A ．335B ．338C ．1 678D ．2 012(2)(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．[自主解答] (1)由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.(2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.[答案] (1)B (2)－10———————————————————函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．3．(1)(2013·济宁模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x ∈[0,1)时，f (x )＝2x－1，则f ⎝⎛⎭⎫log 126的值为( )A ．－52B ．－5C ．－12D ．－6(2)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数解析：(1)选C ∵－3<log 126<－2，∴－1<log 126＋2<0，即－1<log 1232<0.∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (log 126)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1232＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 1232＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＝－⎝⎛⎭⎫223log 2－1＝－12. (2)选D 由f (x )在[－1,0]上是减函数，又f (x )是R 上的偶函数，所以f (x )在[0,1]上是增函数．由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x )， 故2是函数f (x )的一个周期．结合以上性质，模拟画出f (x )部分图象的变化趋势，如下图．由图象可以观察出，f (x )在[1,2]上为减函数，在[2,3]上为增函数．2个特点——奇、偶函数的定义域及关系式的特点(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．5个性质——函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．(5)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，奇×偶＝奇．3种方法——函数奇偶性的判断方法判断函数的奇偶性一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．3条结论——关于函数周期性常用的结论(1)若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期(a≠0)；(2)若满足f(x＋a)＝1f x ，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝1f x＋a＝f(x)，所以2a是函数的一个周期(a≠0)；(3)若函数满足f(x＋a)＝－1f x，同理可得2a是函数的一个周期(a≠0).创新交汇——与奇偶性、周期性有关的交汇问题1．函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．2．根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f (－x )与f (x )的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f (x ＋T )与f (x )的关系，它们都与f (x )有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到．函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题．[典例] (2012·辽宁高考)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 由题意知函数f (x )是偶函数，且周期是2.作出g (x )，f (x )的函数图象，如图．由图可知函数y ＝g (x )，y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32图象有6个交点，故h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点有6个．[答案] B [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)命题方式创新：本题是以数学符号语言交代了函数f (x )的奇偶性及周期性，考查了自然语言与符号语言转化的能力．(2)考查内容创新：本题考查幂函数、三角函数及函数的交汇零点，且将数形结合思想融会其中，较好地考查了探究能力和逻辑推理能力．(3)解题方法创新：本题也可以通过巧妙转化，将x 3＝x cos πx 转化为我们熟悉的二次函数与周期函数间的关系，即x >0时，x 2＝|cos πx |而使问题得以简单解决．2．解决本题的关键有以下几点 (1)正确识别函数f (x )的性质；(2)注意到x ＝0是函数h (x )的一个零点，此处极易被忽视； (3)正确画出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题． [变式训练]1．(2013·衡阳六校联考)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 011)＋f (2 012)＝( )A ．1＋log 23B ．－1＋log 23C ．－1D ．1解析：选C ∵f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴f (－2 011)＝f (2 011)．当x ≥0时，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的函数．注意到2 011＝4×502＋3,2 012＝4×503，∴f (2 011)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1，f (2 012)＝f (0)＝log 21＝0.∴f (－2 011)＋f (2 012)＝－1.2．(2013·朝阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )A ．0B ．0或－12C ．－14或－12D ．0或－14解析：选D ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝2.又0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，可画出函数y ＝f (x )在一个周期内的图象如图．显然a ＝0时，y ＝x 与y ＝x 2在[0,2]内恰有两个不同的公共点．另当直线y ＝x ＋a 与y ＝x 2(0≤x ≤1)相切时也恰有两个不同公共点，由题意知y ′＝(x 2)′＝2x ＝1，∴x ＝12.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，又A 点在y ＝x ＋a 上，∴a ＝－14， 综上可知a ＝0或－14.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知当x ≥0时此函数为增函数，又该函数为奇函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A 由题意，f (x )是以4为周期的奇函数， 则f (4)＝f (4＋0)＝f (0)＝0，f (8)＝f (4＋4)＝f (4)＝0. 3．设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式f x ＋f －xx>0的解集为( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)解析：选B ∵f (x )为偶函数，∴f x ＋f －x x ＝2f xx>0，∴xf (x )>0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，fx >0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，fx <0.又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴x ∈(0,2)或x ∈(－∞，－2)．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x－1，x <0，则该函数是( ) A ．偶函数，且单调递增 B ．偶函数，且单调递减 C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 当x >0时，－x <0，f (－x )＋f (x )＝(2－x－1)＋(1－2－x)＝0；当x <0时，－x >0，f (－x )＋f (x )＝(1－2x)＋(2x－1)＝0，易知f (0)＝0.因此，对任意x ∈R ，均有f －x ＋f (x )＝0，即函数f (x )是奇函数．当x >0时，函数f (x )是增函数，因此函数f (x )单调递增．5．(2013·广州模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )以8为周期，f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)<f (80)<f (11)．6．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C f (x )的图象如图．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )<0得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.答案：138．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．解析：∵y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)， ∴f (x )＝x 2＋(1－a )x －a,1－a ＝0. ∴a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)．f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1.答案：－19．(2013·徐州模拟)设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1a ＋1，则a 的取值范围是________． 解析：∵f (x )是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)<1.∴f (－1)>－1.又∵f (x )的周期为3，∴f (－1)＝f (2)＝2a －1a ＋1>－1.即3aa ＋1>0，解得a >0或a <－1.答案：(－∞，－1)∪(0，＋∞)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f (x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0的解集．解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0. 又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若f (x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0＝f (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>0，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<1，即0<x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0. f (x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0＝f (－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<－1.∴x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<－1，解得x ∈∅.∴原不等式的解集是x 12<x <1＋174或1－174<x <0.11．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )．故f (x )为偶函数；当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． 故函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)设2≤x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]， 要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须f (x 1)－f (x 2)<0恒成立， ∵x 1－x 2<0，∴x 1x 2(x 1＋x 2)－a >0， 即x 1x 2(x 1＋x 2)>a 恒成立．又∵x 1＋x 2>4，x 1x 2>4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16. ∴a 的取值范围是(－∞，16]．12．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调增(或减)区间． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则－1≤x ≤0时f (x )＝x ，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，设f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.(3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z )， 单调递减区间为[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z )．1．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x的定义域均为R ，则 A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 C ．f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数解析：选D ∵f (x )＝3x ＋3－x ，g (x )＝3x －3－x， ∴f (－x )＝3－x＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x＝－g (x )． ∴f (x )为偶函数，g (x )为奇函数．2．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )等于( ) A ．e x－e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x) D.12(e x －e －x ) 解析：选D ∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )． ∴f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x. 又∵f (x )＋g (x )＝e x， ∴g (x )＝e x －e－x2.3．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)，∴当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根， 即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根， 即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x ＜6时，f (x )＝0有两个根， 即x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6也是f (x )＝0的根．故函数f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴交点的个数为7. 4．定义在(－1,1)上的函数f (x )．(ⅰ)对任意x ，y ∈(－1,1)都有：f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ；(ⅱ)当x ∈(－1,0)时，f (x )>0，回答下列问题． (1)判断f (x )在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数f (x )在(0,1)上的单调性，并说明理由；(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝12，试求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫119的值． 解：(1)令x ＝y ＝0⇒f (0)＝0，令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝0⇒f (－x )＝－f (x )⇒f (x )在(－1,1)上是奇函数． (2)设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2，而x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1⇒x 1－x 21－x 1x 2<0，又x 1－x 21－x 1x 2－(－1)＝1＋x 11－x 11－x 1x 2>0，故－1<x 1－x 21－x 1x 2<0.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2>0，即当0<x 1<x 2<1时，f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0,1)上单调递减．(3)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－151－12×5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13. 同理，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫119＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫119 ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝2×12＝1.。
高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性与周期性课件
奇函
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有__f_(_－__x_)＝__－__f_(_x_) ____,那么函数f(x)是
关于_原__点__
数
对称
奇函数
2.函数的周期性 (1)周期的定义 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取 定义域内的每一个值时，都有_f_(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)__，则称函数f(x) 为周期函数，非零常数T称为函数f(x)的周期． (2)最小正周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小 的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的__最__小__正__周__期___．
f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，
所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0
＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2
【思路分析】 可从定义域入手，在定义域关于原点对称情
况下，考查f(－x)与f(x)的关系．
【解】 (1)函数的定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，
且 f(x)＝lg(x2·x12)＝0(x≠0)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)此函数的定义域为{x|x>0}，由于定义域关于原点不对称， 故 f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (3)当 x<0 时，－x>0， 则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)； 当 x>0 时，－x<0， 则 f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)． 综上，对 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有 f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数．
高考数学一轮复习 函数的奇偶性与周期性
解法二(图象法)：作出函数 f(x)的图象，由图象关于原点对
称的特征知函数 f(x)为奇函数．
(3)由4|x－＋x32|≥－03，≠0 得－2≤x≤2 且 x≠0.
所以 f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．
(4)(2018·武昌联考)若函数 f(x)＝1k＋－k2·2xx在定义 域上为奇函数，则实数 k＝________.
解：因为 f(－x)＝1k＋－k2·2－－xx＝k2·2x＋x－k1，所以 f(－x)＋f(x)＝（k－2x）（（2x＋1＋k）k·2＋x）（（k·22xx＋－k1））（1＋k·2x） ＝（（1k＋2－k1·2）x）（（222xx＋＋1k））. 由 f(－x)＋f(x)＝0 对定义域中的 x 均成立可得 k2＝1， 所以 k＝±1.故填±1.
所以 f(x)＝（x＋43－）x2－3＝
4－x2 x.
所以 f(x)＝－f(－x)，所以 f(x)是奇函数．
(4)由9x2－－x92≥ ≥00， 得 x＝±3.
所以 f(x)的定义域为{－3，3}，关于原点对称．
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.
所以 f(x)＝±f(－x)． 所以 f(x)既是奇函数，又是偶函数．
(2)若函数 f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，
则 f(x)在[－b，－a]上为． 6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)
奇 ± 奇 ＝ ________________ ， 偶 ± 偶 ＝ ________________，奇×奇＝________________，偶×偶 ＝________________，奇×偶＝________________.
高考数学一轮复习讲义 第二章 2.4 函数的奇偶性与周期性课件
一轮复习讲义
函数的奇偶性与周期性
要点梳理
忆一忆知识要点
1．奇、偶函数的概念 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A.如果对于任意的 x∈A， 都有 f(－x)＝f(x) ，那么称函数 y＝f(x)是偶函数． 如果对于任意的 x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数 y ＝f(x)是奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称．
函数奇偶性的判断
例 1 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ 9－x2＋ x2－9；(2)f(x)＝(x＋1) (3)f(x)＝|x＋4－3|－x23.
11－＋xx；
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点 对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或其等价形式 f(－x)±f(x) ＝0 是否成立．
故原函数是奇函数．
(2)由22＋－xx≥0 且 2－x≠0⇒－2≤x<2，
定义域关于原点不对称，故原函数是非奇非偶函数．
(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又当 x>0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x<0 时，－x>0， 故 f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当 x<0 时，f(x)＝x2－x，则当 x>0 时，－x<0， 故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数． (4)由1|x－2－x22>|－0，2≠0 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对 称，∴f(x)＝－l(gx(21－－2x)2－) 2＝－lg(1x－2 x2). ∵f(－x)＝－lg[1(－－(x－)2x)2]＝－lg(1x－2 x2)＝f(x)，
高考数学一轮复习函数的奇偶性与周期性
答案 （2）－e－x＋1
目录
｜解题技法｜
函数奇偶性的应用类型及解题奇偶性求
出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f
（x）的解析式；
（2）应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性
质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.
在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）
也是函数的周期.
目录
1.定义在R上的奇函数f（x），满足f（x＋4）＝－f（x），且当x∈[0，2]时，f
）
A.b＜a＜c
B.c＜b＜a
C.b＜c＜a
D.a＜b＜c
解析：A 由结论3知，函数f（x）关于直线x＝1对称，当1＜x1＜x2时，[f（x1）
－f（x2）]（x1－x2）＞0，则f（x2）＞f（x1），∴函数f（x）为（1，＋∞）上的
增函数，∴a＝f
1
−
2
＝f
3
1−
2
＝f 1 +
3
2
＝f
5
2
5
，∵3＞ ＞2＞1，因此，b＜a＜
x＋2·
－x，所以f（x）＝3x＋3－x.
ቊ
两式相加得，2f（x）＝2·
3
3
()−() = 2·3− ,
答案：3x＋3－x
目录
函数的周期性
【例3】 （1）（2021·全国甲卷）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1＋
x）＝f（－x）.若f
1
−
3
1
5
＝ ，则f
高考数学第一轮复习：函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性（第一轮复习）导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理1．函数奇偶性的定义如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有______________，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有____________，则称f (x )为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝____； f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )＝f (|x |)⇔f (x )－f (－x )＝____.(2)f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于____轴对称；f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关________于 对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．3．函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x ＋T )＝________，则称f (x )为________函数，其中T 称作f (x )的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f (x )的________________．．)T2－x (f ＝)T 2＋x (f 常常写作)x (f ＝)T ＋x (f ① ：性质)2( ②如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )．③若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )为一个周______是以)x (f 则，)≠0a 是常数且a (错误!＝－)a ＋x (f 或错误!＝)a ＋x (f 或期的周期函数．自我检测的值是m 则，为偶函数)12＋m 7－2m (＋x )2－m (＋2x )1－m (＝)x (f 已知函数．1 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．(2011·茂名月考)如果奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是( )A ．增函数且最小值是－5B ．增函数且最大值是－5C ．减函数且最大值是－5D ．减函数且最小值是－5) ( 的图象1x－x ＝y 函数．3A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称4．(2009·江西改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，的值为)011 2(f ＋)012 2－(f 则，)1＋x (2log ＝)x (f ，时)2,0[∈x 且当，)x (f ＝)2＋x (f 都有 ( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 ________.＝a 则，为奇函数错误!＝)x (f 设函数)开封模拟2011·(．5探究点一 函数奇偶性的判定例1判断下列函数的奇偶性．；)12＋12x －1(x ＝)x (f )2(；1－x 1＋x )1＋x (＝)x (f )1(⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x ， x<0，－x2＋x ，x>0.＝)x (f )4(；)x2＋1＋x (2log ＝)x (f )3(变式迁移1 判断下列函数的奇偶性．；3x －2x ＝)x (f )1( ；1－x2＋x2－1＝)x (f )2(.4－x2|x ＋3|－3＝)x (f )3(探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用例2函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈．的解集<0)]12－x (x [f 求不等式，0＝)1(f 若，时是增函数)∞，＋0(，2,2]－[∈m 对任意的，x ＋3x ＝)x (f 已知函数)承德模拟2011·( 2变式迁移f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________．探究点三 函数性质的综合应用例3 (2009·山东)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区________.＝4x ＋3x ＋2x ＋1x 则，4x ，3x ，2x ，1x 上有四个不同的根8,8]－[间 变式迁移3 定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则f (x )( )A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数转化与化归思想的应用例(12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，．)2x (f ＋)1x (f ＝)2x ·1x (f 有，D ∈2x ，1x 且满足对于任意(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 【答题模板】，)2x (f ＋)1x (f ＝)2x ·1x (f ，有D ∈2x ，1x 对于任意∵)1( 解 ]分0.[2＝)1(f ∴，)1(f 2＝)1(f ，得1＝2x ＝1x 令∴ ，)1－(f ＋)1－(f ＝)1(f ，有1＝－2x ＝1x 令)2( ]分0.[4＝)1(f 12＝)1－(f ∴ ，)x (f ＋)1－(f ＝)x －(f 有x ＝2x ，1＝－1x 令 ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．[6分](3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3，[7分] ∵f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3， 即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)[8分]∵f (x )为偶函数，∴f (|(3x ＋1)(2x －6|)≤f (64)．[10分]又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )的定义域为D.∴0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.[11分]<3.x <13或－13－<x ≤73或－≤5x 3<解上式，得 ]分[12．≤5}x 3<或<3x <13或－13－<x ≤73－|x {的取值范围为x ∴ 【突破思维障碍】在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f (g (x ))≤f (a )的形式，但思维障碍在于f (x )在(0，＋∞)上是增函数，g (x )是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f ”，若能结合(2)中f (x )是偶函数的结论，则有f (g (x ))＝f (|g (x )|)，又若能注意到f (x )的定义域为{x |x ≠0}，这才能有|g (x )|>0，从而得出0<|g (x )|≤a ，解之得x 的范围．【易错点剖析】在(3)中，由f (|(3x ＋1)·(2x －6)|)≤f (64)脱掉“f ”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x |x ≠0}，易出现0≤|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，导致结果错误．1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－．)≠0)x (f (±1＝错误!⇔0＝)x (f ±)x －(f ⇔)x (f ±＝)x 3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f (x )，若有f (x ＋a )＝－f (x )或a2的一个周期为)x (f ，则)≠0a 为常数且a (错误!＝－)a ＋x (f 或错误!＝)a ＋x (f(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·吉林模拟)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么aA．－13 B.13C.12D．－122．(2010·银川一中高三年级第四次月考)已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)为偶函数，且f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，若f(－3)＝0，则错误!<0的解集为 ()A．(－3,0)∪(0,3)B．(－∞，－3)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3,0)∪(3，＋∞)3．(2011·鞍山月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－错误!，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)等于()A．4.5 B．－4.5C．0.5 D．－0.54．(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b 为常数)，则f(－1)等于() A．3 B．1 C．－1 D．－35．设函数f(x)满足：①y＝f(x＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f(－1)与f(2)大小关系是 () A．f(－1)>f(2) B．f(－1)<f(2)C．f(－1)＝f(2) D．无法确定6．(2010·辽宁部分重点中学5月联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x>0，a ， x ＝0，x ＋b ，x<0是奇函数，则a ＋b ＝________.7．(2011·咸阳月考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且f (1)>1，f (2)＝2m －3m ＋1，则m 的取值范围是________．8．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 010)的值为________．三、解答题(共38分) 9．(12分)(2011·汕头模拟)已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x )在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的表达式．10．(12分)设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3) (1)证明f (x )是偶函数；(2)画出这个函数的图象； (3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数；(4)求函数的值域．11．(14分)(2011·舟山调研)已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．答案自主梳理1．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)2．(1)00(2)y原点(3)相反3．(1)f(x)周期最小正周期(2)③2a自我检测1．B[因为f(x)为偶函数，所以奇次项系数为0，即m－2＝0，m＝2.] 2．A[奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．] 3．A[由f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．] 4．C[f(－2 012)＋f(2 011)＝f(2 012)＋f(2 011)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log2(1＋1)＝1.] 5．－1解析∵f(－1)＝0，∴f(1)＝2(a＋1)＝0，∴a＝－1.代入检验f(x)＝是奇函数，故a＝－1.课堂活动区例1解题导引判断函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)为偶函数．(3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．解(1)定义域要求≥0且x≠－1，∴－1<x≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x)＝－x＝－x ＝＝＝f(x)．∴f(x)是偶函数．(3)函数定义域为R.∵f(－x)＝log2(－x＋x2＋1)＝log21x＋x2＋1＝－log2(x＋x2＋1)＝－f(x)，∴f (x )是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )．∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．变式迁移1 解 (1)由于f (－1)＝2，f (1)＝0，f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，从而函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x2≥0|x ＋3|≠3得，f (x )定义域为[－2,0)∪(0,2]．∴定义域关于原点对称，又f (x )＝4－x2x ，f (－x )＝－4－x2x ∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数．例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上单调递增， 且由f (1)＝0得f (－1)＝0.若f [x (x －12)]<0＝f (1)，则错误!即0<x (x －错误!)<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.若f [x (x －12)]<0＝f (－1)，则错误!由x (x －12)<－1，解得x ∈∅. ∴原不等式的解集是 {x |12<x <1＋174或1－174<x <0}．变式迁移2 (－2，23)解析 易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0，等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，此时应用mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，此时，只需错误!即可，解得x ∈(－2，错误!)．例3 解题导引 解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．－8解析 因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8.变式迁移3B[∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x＋1)＝f(1－x)．∴x＝1为函数f(x)的一条对称轴．又f(x＋2)＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，∴2是函数f(x)的一个周期．根据已知条件画出函数简图的一部分，如右图：由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．]课后练习区，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝0∴，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－2ab ＝0依题意得[B ．1].13＝b ＋a ∴2．D的解集为<0错误!的图象大致为右图，故)x (f 由已知条件，可得函数[ (－3,0)∪(3，＋∞)．]，错误!＝－)2＋x (f 由[ D ．3 是)x (f 因为．)2.5(f ＝)6.5(f ，得4的周期是)x (f ，那么)x (f ＝错误!＝－)4＋x (f 得偶函数，则f (2.5)＝f (－2.5)＝f (1.5)．而1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，∴f (1.5)＝－0.5.由上知：f (6.5)＝－0.5.]，0＝1＋b ＝b ＋2×0＋02＝)0(f 有定义，所以0＝x 在)x (f 因为奇函数[ D ．4b ＝－1.，3＝)1(f ，1－x 2＋x2＝)x (f ∴ 从而f (－1)＝－f (1)＝－3.]5．A [由y ＝f (x ＋1)是偶函数，得到y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)．又f (x )在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f (3)>f (2)，即f (－1)>f (2)．]6．1解析 ∵f (x )是奇函数，且x ∈R ，∴f (0)＝0，即a ＝0.又f (－1)＝－f (1)，∴b －1＝－(1－1)＝0，即b ＝1，因此a ＋b ＝1.23<m 1<．－7 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)．∵f (x )为奇函数，且f (1)>1，1.－<2m －3m ＋1∴，1－<)1(f ＝－)1－(f ∴ .23<m 1<解得：－ 8．2解析 由g (x )＝f (x －1)，得g (－x )＝f (－x －1)， 又g (x )为R 上的奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，∴f (－x －1)＝－f (x －1)， 即f (x －1)＝－f (－x －1)，用x ＋1替换x ，得f (x )＝－f (－x －2)． 又f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )＝－f (x ＋2)．∴f (x )＝f (x ＋4)，即f (x )的周期为4.∴f (2 010)＝f (4×502＋2)＝f (2)＝2.，3＋2)5－x (a ＝)x (f 时，设≤6x 3≤由题意，当 解．9 1.＝－a ∴3.＋2)5－6(a ＝2∴，2＝)6(f ∵ ＋2)5－x (＝－)x (f ∴3(3≤x ≤6)．…………………………………………………………(3分)1.＝－3＋2)5－3(＝－)3(f ∴ 又∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0.∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．13＝－)x (f ∴x (0≤x ≤3)．…………………………………………………………………(6分)当－3≤x ≤0时，－x ∈[0,3]，.x 13＝)x －(13＝－)x －(f ∴.x 13＝－)x (f ∴，)x (f ＝－)x －(f 又 －(x 13＝－)x (f ∴3≤x ≤3)．………………………………………………………………(9分)当－6≤x ≤－3时，3≤－x ≤6，3.＋2)5＋x (＝－3＋2)5－x －(＝－)x －(f ∴ 3.－2)5＋x (＝)x (f ∴，)x (f ＝－)x －(f 又 错误!＝)x (f ∴ 1－|x －2|－2)x －(＝)x －(f )1( 解．10 ，)x (f ＝1－|x 2|－2x ＝ 即f (－x )＝f (x )．∴f (x )是偶函数．………………………………………………………(2分)，2－2)1－x (＝1－x 2－2x ＝)x (f 时，≥0x 当)2( ，2－2)1＋x (＝1－x 2＋2x ＝)x (f 时，<0x 当 错误!＝)x (f 即 根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．……………………………………(6分)(3)由(2)中函数图象可知，函数f (x )的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f (x )在区间[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．……………(8分)；2＝)3(f ，最大值为2的最小值为－2－2)1－x (＝)x (f 时，函数≥0x 当)4(；2＝)3－(f ，最大值为2的最小值为－2－2)1＋x (＝)x (f 时，函数<0x 当 故函数f (x )的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(12分)，)∞，＋0(∪)0，∞－(∈x 对任意2x ＝)x (f 时，0＝a 当)1( 解．11 ，)x (f ＝2x ＝2)x －(＝)x －(f 有 ∴f (x )为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)，)R ∈a ，常数≠0x (a x＋2x ＝)x (f 时，≠0a 当 若x ＝±1时，则f (－1)＋f (1)＝2≠0；∴f (－1)≠－f (1)，又f (－1)≠f (1)∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分)综上所述，当a ＝0时，f (x )为偶函数；当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分)，2x <1x 2≤设)2( a x2－2x －a x1＋21x ＝)2x (f －)1x (f －)2x ＋1x (2x 1x [x1－x2x1x2＝a ]，………………………………………………………………(10分) ．恒成立<0)2x (f －)1x (f 上为增函数，必须使)∞，＋2[∈x 在)x (f 要使 恒成)2x ＋1x (2x 1x <a ，即>42x 1x ，<02x －1x ∵立．………………………………………(12分)，>16)2x ＋1x (2x 1x ∴，>42x ＋1x ∵又 ∴a 的取值范围为(－∞，16]．…………………………………………………………(14分)。
高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性与周期性课时闯关
【优化方案】2014届高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性与周期性课时闯关 理（含解析）人教版一、选择题1．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：选D.由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．2．(2011·高考广东卷)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数解析：选A.由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )，由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )，故|g (x )|为偶函数，∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．3．(2011·高考湖北卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154C.174D ．a 2 解析：选B.∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，①得－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，②①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ，∴f (2)＝22－2－2＝154. 4．(2013·宁波模拟)已知y ＝f (x )是偶函数，而y ＝f (x ＋1)是奇函数，且对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，则a ＝f (9819)，b ＝f (10117)，c ＝f (10615)的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <aC ．a <c <bD ．a <b <c解析：选A.由已知得f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)．从而得f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝0.∴f (9819)＝－f (1619)，f (10117)＝－f (117)，f (10615)＝f (1415)． ∵0≤x ≤1时都有f ′(x )≥0，∴f (x )在[0,1]上递增， 且在[0,1)上都有f (x )<0.∴f (1415)<0，f (117)<f (1619)<0.∴f (10615)<f (9819)<f (10117)，即c <a <b .5．已知定义域为R 的函数y ＝f (x )，则下列命题：①若f (x －1)＝f (1－x )恒成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称；②若f (x ＋1)＋f (1－x )＝0恒成立，则函数y ＝f (x )的图象关于(1,0)点对称； ③函数y ＝f (x －1)的图象与函数y ＝f (1－x )的图象关于y 轴对称；④函数y ＝－f (x －1)的图象与函数y ＝f (1－x )的图象关于原点对称；⑤若f (1＋x )＋f (x －1)＝0恒成立，则函数y ＝f (x )以4为周期．其中真命题有( )A ．①④B ．②③C ．②⑤D ．③⑤解析：选C.由f (x －1)＝f (1－x )知y ＝f (x )图象关于x ＝0对称，故①错；由f (1＋x )＋f (1－x )＝0知y ＝f (x )图象关于(1,0)点对称，②正确；函数y ＝f (x －1)的图象与函数y ＝f (1－x )图象关于x ＝1对称，故③错；函数y ＝－f (x －1)的图象与函数y ＝f (1－x )的图象关于(1,0)点对称，故④错；若f (1＋x )＋f (x －1)＝0，则f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，函数y ＝f (x )以4为周期，⑤正确．综上，②⑤正确，故选C.二、填空题6．(2011·高考浙江卷)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析：∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，∴a ＝0.答案：07．(2012·高考课标全国卷)设函数f (x )＝x ＋12＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：f (x )＝x 2＋2x ＋1＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，考察函数g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，显然函数g (x )为奇函数，所以g (x )的最大值与最小值的和为0，所以函数f (x )的最大值与最小值的和为2.答案：28．若f (x )是R 上的奇函数，则函数y ＝f (x －12)＋1的图象必过点________． 解析：y ＝f (x －12)＋1由y ＝f (x )向右平移12个单位再向上平移1个单位．(0,0)→(12，1)．答案：(12，1) 三、解答题9．设a >0，f (x )＝e x a ＋a ex 是R 上的偶函数，求实数a 的值并求f (x )的值域．解：∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )在R 上恒成立． 即e －x a ＋a e －x ＝e x a ＋a e x ， 即(a 2－1)e 2x ＋1－a 2＝0，对任意的x 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a >0，解得a ＝1. ∴f (x )＝e x ＋1e x . 当x ∈R 时，e x >0，∴f (x )＝e x ＋1e x ≥2e x ·1ex ＝2. 当且仅当x ＝0时，取“＝”．∴f (x )的值域为[2，＋∞)．10．已知奇函数f (x )在定义域[－2,2]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m的取值范围．解：∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2， 解得－1≤m ≤ 3，①又f (x )为奇函数，在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，∴1－m >m 2－1，即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.11．(探究选做)是否存在实数a ，使得函数f (x )＝log 2(x ＋x 2＋2)－a 为奇函数，同时使函数g (x )＝x ·(1a x －1＋a )为偶函数？证明你的结论． 解：假设存在a 满足题目要求，则⎩⎪⎨⎪⎧ f －x ＝－f x g －x ＝g x ，令x ＝0，由f (0)＝0得a ＝12， 此时g (x )＝x ·(12－x －1＋12)， ∴g (－x )＝－x ·(12x －1＋12)＝x ·(11－2x －12) ＝x ·1＋2x 21－2x . 而g (x )＝x (12－x －1＋12)＝x ·1＋2x 21－2x ， ∴g (－x )＝g (x )，∴a ＝12时，g (x )为偶函数． 因此，存在a ＝12满足题目条件．。
高考数学理一轮复习 2-4函数的奇偶性与周期性 精品课件
[分析]
证明函数是周期函数，只需满足定义f(T＋x)＝
f(x)(T≠0)即可．本题有两个条件，一是函数为奇函数，则f(－ x)＝－f(x)，二是函数关于x＝1对称，则f(2－x)＝f(x)，结合这 两个条件证明．
[解] (1)∵函数f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)， 令x＝0，则f(0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，∴f(0)＝0. (2)函数f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)① 又f(x)关于直线x＝1对称．
备选例题1判断函数f(x)＝ 性．
2 x ＋x 2 － x ＋x
(x＜0) (x＞0)
的奇偶
解：当x＜0时，－x＞0，则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0， f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x
＝－(－x2＋x)＝－f(x)．
综上可知，对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.
的最小正周期．
(2)若f(x)的周期为T，则f(ωx)(ω＞0)的周期为 (3)周期函数的图象特征是函数图象重复出现，因此若函 数f(x)是周期函数，研究其值域、最值、单调性等问题时，通 常在一个周期长的区间上考虑，再推广到整个 定义域 上．
重点 辨析
判断函数的奇偶性： ①定义域关于原点对称，是函数具有奇偶 性的必要不充分条件；
[分析]
先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判
断f(－x)与f(x)之间的关系．
[解] (1)此函数的定义域为R. ∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数． (2)此函数的定义域为{x|x＞0}，由于定义域关于原点不 对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (3)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称， 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
2018年高考数学一轮复习专题2.4函数奇偶性与周期性(讲)
第04节 函数奇偶性与周期性【考纲解读】【知识清单】1.函数的奇偶性对点练习【2017陕西西安铁中月考】下列函数为奇函数的是( ) A.y ＝x B.y ＝e xC.y ＝cos xD.y ＝e x－e －x【答案】D【解析】A ，B 中显然为非奇非偶函数；C 中cos y x =为偶函数. D 中函数定义域为R ，又()()()x x x xf x e e e e f x －－－＝－＝－－＝－，∴x xy e e －＝－为奇函数. 2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 对点练习 设()fx 是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 【答案】1【考点深度剖析】函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数以及函数的单调性结合考查，往往以选择题或填空题的形式出现.其中函数的周期性，浙江卷常通过三角函数加以考查．【重点难点突破】考点1 函数奇偶性的判断【1-1】【2017浙江杭州质检】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x ＋sin 2x B.y ＝x 2－cos x C.y ＝2x＋12xD.y ＝x 2＋sin x【答案】D【解析】对于A ，定义域为R ，()()() ) 2(2f x x sin x x sin x f x －＝－＋－＝－＋＝－，为奇函数；对于B ，定义域为R ，()22()()()f x x cos x x cosx f x －＝－－－＝－＝，为偶函数；对于C ，定义域为R ，()2(12)122x x x x f x f x -－－＝＋＝＋＝，为偶函数；2y x sinx ＝＋既不是偶函数也不是奇函数，故选D.【1-2】已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－13B.13C.12D.－12【答案】B【解析】依题意0b ＝，且(2)1a a ＝－－，∴13a ＝，则13a b +＝. 【领悟技法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有相等关系或者相反关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式()0()f x f x ＋－＝ (奇函数)或()0()f x f x -－＝ (偶函数)是否成立.【触类旁通】【变式一】已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 为( )A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 【答案】B【变式二】【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 考点2 函数奇偶性的性质及应用【2-1】【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】【2-2】【2017广东梅州模拟】若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有( )A ．()()()230f f g <<B ．()()()032g f f <<C ．()()()203f g f <<D ．()()()023g f f << 【答案】D【解析】由题意，得()()()()xxf xg x ef xg x e-⎧-=⎪⎨--=⎪⎩解得()()22x xx xe ef x e eg x --⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 故(0)1g =-，()f x 为R 上的增函数，()()023f f <<，故()()()023g f f <<． 【2-3】【2017浙江台州中学月考】偶函数()y f x =在区间[0,4]上单调递减，则有（ ） A.(1)()()3f f f ππ->>-B.()(1)()3f f f ππ>->-C.()(1)()3f f f ππ->->D.(1)()()3f f f ππ->->【答案】A.【解析】由题意得，014(1)(1)()()()33f f f f f πππππ<<<<⇒-=>>=-，故选A.【领悟技法】1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()()0f x f x ±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 【触类旁通】【变式一】【2017贵州遵义四中模拟】已知函数()()2,0{ ,0x x f x g x x >=<是偶函数，则()2f -=（ ）【答案】C【变式二】若函数f (x )=ln(x x 为偶函数，则a = 【答案】1【解析】由题知ln(y x =+是奇函数，所以ln(ln(x x +- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 考点3 函数周期性及综合应用【3-1】设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99________f =． 【答案】1006【解析】∵()()22012f x f x ⋅+=，∴()()242012f x f x +⋅+=，∴()()4f x f x =+，∴()f x 是一个周期为4的周期函数，∴()99(4251)(1)f f f =⨯-=-．∵(1)(12)2012f f --+=，∴()99f ＝2012(1)f ＝1006． 【3-2】已知()f x 是R 上的奇函数，对x R ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，若(1)2f -=-，则(2013)f 等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．2013【答案】A【3-3】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则()105.5f ＝______. 【答案】2.5【解析】()[(2)]42f x f x ＋＝＋＋＝－()()12f x f x =＋.故函数的周期为4.∴()()105.5427 2.()(5 2.5 2.5)f f f f ⨯＝－＝－＝.∵2 2.53≤≤，由题意，得()2.5 2.5f ＝.∴()105.5 2.5f ＝. 【领悟技法】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想． 【触类旁通】【变式一】【2017湖南统一考试】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=，()()2log 27f x x =+，则()2017f =（ ） A. -2 B. 2log 3 C. 3 D. 2log 5- 【答案】D【变式二】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为( ) A.－1 B.1C.0D.2【答案】C【解析】由题意，得(()1)g x f x －＝－－，又∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，∴()()g x g x －＝－，()()f x f x －＝，∴()11()f x f x －＝－＋，即1((10))f x f x －＋＋＝. ∴()()2 017 2 019 2 0()()181 2 01810f f f f ＋＝－＋＋＝.【易错试题常警惕】易错典例1：若函数f (x )＝k －2x 1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.易错分析：解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)＝0得k ＝1.正确解析：∵221()122x x x x k k f x k k---⋅--==+⋅+，∴(2)(2)(21)(12)()()(12)(2)x x x x x x k k k k f x f x k k -++⋅-+⋅-+=+⋅+22(1)(21)(12)(2)x x xk k k -+=+⋅+，由()()0f x f x -+=可得21k =，∴1k =±． 温馨提醒：已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．易错典例2：定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T ，T]上的根的个数记为n ，则n 可能为 ( )A ．0B ．1C ．3D ．5易错分析：没有经过严密的逻辑分析，直接根据()()()00f T f T f ＝－＝＝，就想当然地认为方程的根的个数就只有3个．温馨提醒：对于抽象函数要善于找具体的“函数模型”，联想其性质去推证欲证的函数性质，但不能用具体函数代替去解决问题；解决“抽象函数”问题一般采用赋值法，本题可联系y=sinx的图象和性质类比解题．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
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函数的奇偶性与周期性 【选题明细表】 知识点、方法题号函数奇偶性的判断1函数奇偶性的应用2、7、9函数周期性及应用2、6、11函数性质的综合应用3、4、5、8、10一、选择题 1.(2013北京西城区期末)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( B ) (A)y=- (B)y=e|x| (C)y=-x2+3(D)y=cos x 解析:y=-是奇函数,选项A错误;y=e|x|是偶函数且在(0,+∞)上单调递增,选项B正确;y=-x2+3是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,选项C错误;y=cos x是偶函数且在(0,+∞)上有时递增,有时递减,选项D错误.故选B. 2.(2013孝感统考)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f等于( A ) (A)-(B)-(C)(D) 解析:由题意得f=-f=-f=-f=-2××=-.故选A. 3.(2013湘潭模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[0,1)上单调递增,记a=f(),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为( A ) (A)a>b=c(B)b>a=c (C)b>c>a(D)a>c>b 解析:依题意得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)是以2为周期的函数,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1);又f(3)=-f(2)=0,f(1)=-f(0)=0,又f(x)在[0,1)上是增函数,于是有f()>f(0)=f(2)=f(3),即a>b=c.故选A. 4.(2013长春调研)设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0,那么m2+n2的取值范围是( A ) (A)(9,49)(B)(13,49) (C)(9,25)(D)(3,7) 解析:依题意得f(-x)=-f(x),因此由f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0得f(m2-6m+21)<-f(n2-8n)=f(-n2+8n). 又f(x)是定义在R上的增函数,于是有m2-6m+21<-n2+8n,即(m-3)2+(n-4)2<4.在坐标平面mOn内该不等式表示的是以点(3,4)为圆心、2为半径的圆内的点,m2+n2可视为该平面区域内的点(m,n)与原点间的距离的平方,结合图形可知m2+n2的取值范围是(9,49),选A.5.(2013安徽省皖北高三大联考)已知周期为2的偶函数f(x)在区间[0,1]上是增函数,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是( B ) (A)f(-6.5)<f(0)<f(-1) (B)f(0)<f(-6.5)<f(-1) (C)f(-1)<f(-6.5)<f(0) (D)f(-1)<f(0)<f(-6.5) 解析:由条件得f(-6.5)=f(6.5)=f(6+0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1),又f(x)在区间[0,1]上是增函数,所以f(0)<f(0.5)<f(1),故f(0)<f(-6.5)<f(-1).故选B.6.(2013山东济南二模)设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(107.5)等于(B ) (A)10(B)(C)-10(D)- 解析:由于f(x+3)=-, 所以f(x+6)=f(x),即函数f(x)的周期等于6, 又因为函数f(x)是偶函数, 于是f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=f(3+2.5)=-=-=-=, 故选B. 二、填空题 7.(2013宣城市一模)已知f(x)=asin x+bx+c(a,b,c∈R),若f(0)=-2,f=1,则f=.? 解析:由题设f(0)=c=-2, f=a+b-2=1 所以f=-a-b-2=-5. 答案:-5 8.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(3)-f(4)=.? 解析:由于函数f(x)的周期为5,所以f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1),又f(x)为R上的奇函数,所以f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1. 答案:-1 9.已知函数f(x)为奇函数,函数f(x+1)为偶函数,f(1)=1,则f(3)=.? 解析:法一 根据条件可得f(3)=f(2+1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1)=-1. 法二 使用特例法,寻求函数模型,令f(x)=sin x,则f(x+1)=sin(x+)=cos x,满足以上条件,所以f(3)=sin=-1. 答案:-1 三、解答题 10.(2013乐山市第一次调研考试)已知函数f(x)=-log2是奇函数. (1)求m的值; (2)请讨论它的单调性,并给予证明. 解:(1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-x) +f(x)=0, 即--log2 +-log2=0, 即log2=0, 则=1, 解得m=1,其中m=-1(舍), 经验证当m=1时,f(x)=-log2 (x∈(-1,0)∪(0,1))是奇函数. (2)任取x1,x2∈(0,1),且设x10, log2(-1)-log2(-1)>0, 得f(x1)-f(x2)>0,即f(x)在(0,1)内单调递减; 由于f(x)是奇函数,其图象关于原点对称, 所以函数f(x)在(-1,0)内单调递减. 11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称. (1)求证:f(x)是周期为4的周期函数; (2)若f(x)=(0<x≤1),求x∈[-5,-4]时,函数f(x)的解析式. (1)证明:由函数f(x)的图象关于直线x=1对称,有f(x+1)=f(1-x). 即有f(-x)=f(x+2). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数, 故有f(-x)=-f(x). 故f(x+2)=-f(x). 从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即f(x)是周期为4的周期函数. (2)解:由函数f(x)是定义在R上的奇函数,有f(0)=0. x∈[-1,0)时,-x∈(0,1], f(x)=-f(-x)=-. 故x∈[-1,0]时,f(x)=-. x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=-. 从而,x∈[-5,-4]时, 函数f(x)=-.。
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第04节 函数奇偶性与周期性班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【2017肇庆三模】在函数y xcosx ＝2x y e x ＝＋，y ＝y xsinx ＝中，偶函数的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】y xcosx ＝为奇函数，2x y e x ＝＋为非奇非偶函数，y ＝y xsinx ＝为偶函数.2.【2017赣中南五校联考】已知()y f x ＝是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且()36f ＝，则a 的值为( ) A.5 B.1C.－1D.－3【答案】A3.已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( )A.x 1>x 2B.x 1＋x 2＝0C.x 1<x 2D.x 21<x 22【答案】D【解析】∵1()()()xx f x x e f x e-=--=.∴()f x 在R 上为偶函数， 11()()x xx x f x e x e e e'=-++，∴0x >时，()0f x '>，∴()f x 在[0，＋∞)上为增函数， 由()()12f x f x <，得()()12fx f x <，∴|x 1|<|x 2|，∴2212xx <.4.【2017陕西西安一模】奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A.2B.1C.－1D.－2【答案】A【解析】∵()1f x ＋为偶函数， ∴()1()1f x f x －＋＝＋，则f (－x )＝f (x ＋2)，又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0. 从而()()()()42f x f x f x y f x ＋＝－＋＝，＝的周期为4. ∴()()()()4501022f f f f ＋＝＋＝＋＝.5.【2017·沈阳模拟】函数f(x)满足f(x ＋1)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为( ) A.12 B.14 C ．－14 D ．－12【答案】A6.【2017山东济宁模拟】设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时， ()2xf x m =+（m为常数），则()1f -=（ ） A. 3 B. 1 C. 1- D. 3- 【答案】C【解析】由题意得，当()()000020121xx f m m f x =⇒=⇒+=⇒=-⇒=- ，因此()()()111211f f -=-=--=-，故选C.7．定义在R 上的偶函数满足，且当时，， 则等于（ ）A. 3B.C. -2D. 2 【答案】D【解析】用x+1代换x,得f(x+2)=f(x),f(x)为周期函数,T=2 log 28=3 f （3）=f （1）=f （-1）=2,本题选择D 选项.8．【2017东北三校二模】已知偶函数()f x 的定义域为R ，若()1f x -为奇函数，且()23f =，则()()56f f +的值为（ ） A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】D9.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，()()()20,2f g x f x ==+，则不等式()0xg x ≤的解集是（ ）A ．(][),22,-∞-+∞B ．[][)4,20,--+∞C ．(][),42,-∞--+∞D ．(][),40,-∞-+∞【答案】C【解析】由于)2()(+=x f x g 是)(x f 向左平移2个单位得到,结合函数的图象可知当4-≤x 或2-≥x ，纵横坐标的积不大于0, 即应选C.10.【2017四川宜宾二诊】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时， ()21x f x =-，则A. ()()11672f f f ⎛⎫<-<⎪⎝⎭ B. ()()11672f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭C. ()()11762f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D. ()()11762f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭【答案】B【解析】 由题意得，因为()()2f x f x +=-，则()()4f x f x +=， 所以函数()f x 表示以4为周期的周期函数， 又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()642200f f f f =+==-=， ()()()78111f f f -=-+==，1133114122222f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==--== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()()11672f f f ⎛⎫<<-⎪⎝⎭，故选B.11.函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()(2)f x f x =+ D ．(3)f x +是奇函数 【答案】D 【解析】(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，所以函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数．12.【2017宁夏银川二模】若函数在区间上的值域为，则等于A. B. C. D. 【答案】D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13.【2017东北四市联考】已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，()3f x x x ＝－，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________.【答案】7【解析】因为当02x ≤<时，()3f x x x ＝－.又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0， 则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴()()()3510f f f ＝＝＝，故函数()y f x ＝的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个.14.【2017安徽合肥质检】若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.【答案】516【解析】由于函数()f x 是周期为4的奇函数， 所以4137()()()624694f f f f ⎛⎫+=-+-=⎪⎝⎭37()()46f f --=35sin 16616π-+=. 15.已知为偶函数，则．【答案】1216.若对任意x ∈R ，函数f (x )满足()2 017 2 018()f x f x ＋＝－＋，且f (2 018)＝－2 017，则f (－1)＝________. 【答案】2017【解析】由()2 017 2 018()f x f x ＋＝－＋，得 2 017 2 0171()()f x f x ＋＝－＋＋，令2 017x t ＋＝，即()()1f t f t ＋＝－，所以()2()f t f t ＋＝，即函数()f x 的周期是2.令x ＝0，得()()2 017 2 018f f ＝－＝2 017，即()2 017f ＝2 017，又()2 017f ＝f (1)＝f (－1)，所以f (－1)＝2 017.三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2；（2）(1,3]．.故实数a 的取值范围是(1,3]．18．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x . (1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式. 【答案】（1）偶函数；（2）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈（0，1），－x ＋2，x ∈[1，2]..【解析】 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )， ∴f (－x )＝f (2＋x ).又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x ). 又f (x )的定义域为R ， ∴f (x )是偶函数.(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]， 则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈（0，1），－x ＋2，x ∈[1，2].19．已知定义在R 的函数()e e xxf x -=-，其中e 是自然对数的底数．（Ⅰ）判断()f x 奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）若关于x 的不等式2(2)(cos 4sin )0f m f x x -++<在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）()f x 是R 上的奇函数；（Ⅱ）2-<m .∴2-<m 20．已知函数是奇函数.（1）求实数的值； （2）判断函数在区间上的单调性并说明理由； （3）当时，函数的值域为，求实数的值.【答案】（1）.；（2）当时在上是减函数，当时在上是增函数； (3).【解析】（1）由已知条件得对定义域中的均成立，所以,即即对定义域中的均成立，得，当时显然不成立，所以.（2）由（1）知，其定义域为设，当时，，所以；(i) ,所以在上为增函数，要使值域为，则（无解）.(ii) ，则，所以在上为减函数，要使值域为，则所以。