章末检测1：第三章 三角恒等变换

章末检测
一、选择题
1．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π
12)等于
( )
A ．－32
B ．－12 C.12 D.3
2 答案 D
解析 (cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π
12) ＝cos 2 π12－sin 2π12＝cos π6＝3
2.
2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6－x 的图像的一条对称轴方程
是
( )
A ．x ＝π
4 B ．x ＝π
2 C ．x ＝π D ．x ＝3π
2
答案 C
解析 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2x ＋π3)－(x －π6)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋x
＝cos x ，当x ＝π时，y ＝－1. 3．已知sin(α＋45°)＝5
5，则sin 2α等于
( )
A ．－45
B ．－35 C.35 D.45 答案 B
解析 sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·22＝5
5， ∴sin α＋cos α＝105. 两边平方，得
1＋sin 2α＝25，∴sin 2α＝－3
5.
4．y ＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是
( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，13π12
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，5π6 答案 B
解析 y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3－sin 2x ＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π
3－sin 2x ＝－12sin 2x －3
2cos 2x ＝－sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π3.
y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的递增区间是y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的递减区间，
π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π
2＋2k π，k ∈Z ， ∴π12＋k π≤x ≤7π
12＋k π，k ∈Z ， 令k ＝0，得x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π12，7π12.故选B.
5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是
( )
A.43
B.34
C.53
D.1
2 答案 A
解析 ∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4，3π4，
又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4，
所以22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4≤1，
所以1<sin θ＋cos θ≤ 2.
6．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于
( )
A ．－1
2 B.12 C ．－3
2 D.32
答案 B
解析 sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°
＝sin(90°＋73°)sin(270°－47°)＋sin(180°＋73°)sin(360°－47°) ＝cos 73°(－cos 47°)－sin 73°(－sin 47°) ＝－(cos 73°cos 47°－sin 73°sin 47°) ＝－cos(73°＋47°) ＝－cos 120°＝12.
7．函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图像可以由函数g (x )＝4sin x cos x 的图像________得到．
( )
A ．向右移动π
12个单位 B ．向左移动π
12个单位 C ．向右移动π
6个单位 D ．向左移动π
6个单位 答案 A
解析 ∵g (x )＝4sin x cos x ＝2sin 2x ，f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －π12，∴f (x )可以由g (x )向右移动π12个单位得到．
8．已知等腰三角形顶角的余弦值等于4
5，则这个三角形底角的正弦值为
( )
A.1010 B ．－10
10 C.31010 D ．－31010
答案 C
解析 设这个等腰三角形的顶角为2α，底角为β， 则2α＋2β＝π且cos 2α＝45，∴α＋β＝π
2. ∴sin β＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2－α＝cos α＝
1＋cos 2α2＝310
10. 9．在△ABC 中，已知tan A ＋B
2＝sin C ，则△ABC 的形状为
( )
A ．正三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
答案 C
解析 在△ABC 中，tan A ＋B 2＝sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2cos A ＋B
2，∴2cos 2A ＋B 2＝1，∴cos(A ＋B )＝0，从而A ＋B ＝π
2，△ABC 为直角三角形． 10．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为
( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6 答案 C
解析 ∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，
∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6＋C ＝1.
∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋C ＝12，
∴π6＋C ＝5π6或π6＋C ＝π6(舍去)，∴C ＝2π3. 二、填空题 11.
3tan 15°＋1
3－tan 15°的值是________．
答案 1
解析 ∵3－tan 15°3tan 15°＋1＝tan 60°－tan 15°
1＋tan 60°tan 15°
＝tan 45°＝1， ∴
3tan 15°＋1
3－tan 15°
＝1.
12．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________. 答案 k π－π
4，k ∈Z
解析 (tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒
tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝－1.
即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π
4，k ∈Z . 13．函数y ＝2sin x (sin x ＋cos x )的最大值为________． 答案
2＋1
解析 y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x －π
4)＋1， ∴y max ＝2＋1.
14．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法： ①y ＝f (x )的最大值为2；
②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；
③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π24，13π24上单调递减；
④将函数y ＝2cos 2x 的图像向左平移π
24个单位后，将与已知函数的图像重合．
其中正确说法的序号是________． 答案 ①②③
解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2－π3
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π12，
∴f (x )max ＝2，即①正确． T ＝2π|ω|＝2π
2＝π，即②正确．
f (x )的递减区间为2k π≤2x －π
12≤2k π＋π(k ∈Z )． 即k π＋π24≤x ≤k π＋13π
24(k ∈Z )， k ＝0时，π24≤x ≤13π
24，所以③正确．
将函数y ＝2cos 2x 向左平移π
24个单位得 y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确．
三、解答题
15．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝3
5，求sin 2x －2sin 2 x 1－tan x 的值．
解 sin 2x －2sin 2x
1－tan x
＝
cos x ·2sin x (cos x －sin x )
cos x －sin x
＝sin 2x
＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4＋1
＝－2×925＋1＝7
25.
16．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .
(1)求f (π
3)的值；
(2)求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π
3 ＝－1＋34－2＝－9
4.
(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－7
3，x ∈R . 因为cos x ∈[－1,1]，
所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－7
3.
17．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A <B <C ，sin B ＝4
5，cos(2A ＋C )＝ －4
5，求cos 2A 的值．
解 ∵A <B <C ，A ＋B ＋C ＝π， ∴0<B <π2，A ＋C >π
2，0<2A ＋C <π. ∵sin B ＝45，∴cos B ＝3
5. ∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝4
5， cos(A ＋C )＝－3
5. ∵cos(2A ＋C )＝－4
5， ∴sin(2A ＋C )＝3
5.
∴sin A ＝sin[(2A ＋C )－(A ＋C )] ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×4
5
＝7
25.
∴cos 2A ＝1－2sin 2
A ＝527
625.
18．(2013·天津(理))已知函数f (x )＝－2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2 x ＋1，x
∈R .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)∵sin x cos x ＝12sin 2x ，cos 2 x ＝1
2(1＋cos 2x )，
∴f (x )＝－2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2 x ＋1＝－sin 2x －cos 2x ＋3sin 2x
－(1＋cos 2x )＋1＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π4，
因此，f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π； (2)∵0≤x ≤π
2， ∴－π4≤2x －π4≤3π4，
∴当x ＝0时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4取得最小值－22；当x ＝3π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4取得最大值1
由此可得，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π8＝22；最小值为f (0)＝－2.。