等比数列
等比数列的概念与计算
等比数列的概念与计算等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
在等比数列中，我们可以通过已知的首项和公比来计算数列中的任意项，也可以根据数列中的某几项来求解首项和公比。
下面将详细介绍等比数列的概念与计算方法。
一、等比数列的概念等比数列可表示为：a，ar，ar^2，ar^3，...其中，a为首项，r为公比，n为项数。
首项：等比数列中的第一项，通常表示为a。
公比：等比数列中的相邻两项之比，通常表示为r。
在等比数列中，如果一个数列的任意两项之比等于一个常数r，则这个数列就是等比数列。
二、等比数列的计算1. 根据首项和公比计算数列已知等比数列的首项为a，公比为r，项数为n，我们可以通过以下公式来计算数列中的任意项：第n项 = a * r^(n-1)其中，r表示公比，n表示项数。
2. 根据数列中的某几项计算首项和公比已知等比数列中的任意两项的值为a和b（a≠0），两项的下标分别为m和n，我们可以通过以下公式计算首项和公比：首项 a = b * (r^(m-n))公比 r = (b/a)^(1/(m-n))其中，m和n表示两项的下标，a和b表示两项的值，r表示公比。
三、等比数列的应用举例1. 求解等比数列中的某一项的值已知等比数列的首项为2，公比为3，求解该数列中的第5项的值。
解：根据公式第n项 = a * r^(n-1)，我们可以计算出第5项的值：第5项 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162所以，等比数列中的第5项的值为162。
2. 求解等比数列中的首项和公比已知等比数列的第2项为4，第5项为128，求解该数列的首项和公比。
解：根据公式首项 a = b * (r^(m-n))，我们可以计算出首项和公比：首项 a = 4 * (128^(2-5)) = 4 * 128^(-3) = 4 * 1/(128^3) = 4/(128^3)公比 r = (128/4)^(1/(2-5)) = 32^(-1) = 1/32所以，等比数列的首项为4/(128^3)，公比为1/32。
等比数列是什么
等比数列是什么如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数（不为0），那么，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比。
如数列：2、4、8、16、······每一项与前一项的比值：4÷2=8÷4=16÷8=2，所以这个数列是等比数列，而它的公比就是2。
等比数列是什么 1q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)q=1时Sn=na1(a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比)这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。
注：q=1 时，{an}为常数列。
利用等比数列是什么 1可以快速的计算出该数列的和。
等比数列是什么 2（1）若m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq。
（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
（3）若“G是a、b的等比中项”则“G2=ab（G≠0）”。
（4）若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an×bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
（5）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。
（6）等比数列前n项之和在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。
注意：上述公式中An表示A的n次方。
（7）由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)×qn，它的指数函数y=ax有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
等比数列基本的5个公式
等比数列基本的5个公式
等比数列是指数列中，任意两个相邻项的比值相等的数列。
在等比数列中，通常会用到以下五个基本的公式来求解问题：
1.第n项公式：
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项的值可表示为：
aₙ=a₁×q^(n-1)
2.前n项和公式：
设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和的值可表示为：
Sₙ=a₁×(1-q^n)/(1-q)
3.公比与比值的关系：
公比q等于任意两个相邻项的比值：
q=aₙ/aₙ₊₁
4.通项公式的推导：
根据公比和比值的关系，可得到通项公式的推导过程：
aₙ₊₁=aₙ×q
将第n项公式代入可得：
aₙ₊₁=(a₁×q^(n-1))×q
化简得到通项公式：
aₙ₊₁=a₁×q^n
5.等比数列的性质之一：
当公比q在-1到1之间（不包括-1和1）时，等比数列的前n项和存在有限值。
这个有限值可以根据前n项和公式计算得到。
这些公式是解决等比数列问题的基础，在实际运用中常常会结合具体问题进行推导和运用。
需要注意的是，在使用这些公式时，要注意对问题进行分析和理解，确保正确使用公式求解。
等比数列
2.若 p+q=r+s(p、q、r、s∈N*), 则 apaq=aras . 特别地, 若 m+n=2p, 则 aman=ap2 . 3.等比中项 如果在两个数 a、b 中间插入一个数 G, 使 a、G、b 成等比 数列, 则 G 叫做 a 与 b 的等比中项.
G= ab . 4.若数列 {an} 是等比数列, m, p, n 成等差数列, 则 am, ap, an 成等比数列. 5.顺次 n 项和性质 若 {an} 是公比为 q 的等比数列, 则 k a , a , a 也成等 =1 k k=n+1 k k=2n+1 k 比数列, 且公比为 qn. an 6.若数列 {an}, {bn} 是等比数列, 则数列 {anbn}, { } 也是等 bn 比数列.
课后练习题
1.四个正数, 前三个数成等差数列, 其和为 48, 后三个数成 等比数列, 其最后一个数是 25, 求此四数. 解: 由已知可设前三个数为 a-d, a, a+d(d 为公差)且 a+d>0. ∵后三数成等比数列, 其最后一个数是 25,
∴a-d+a+a+d=48, 且 (a+d)2=25a.
+2 S (n=1, 2, 7.数列 {an} 的前 n 项和记为 Sn, 已知 a1=1, an+1= nn n S 3,…), 证明: (1)数列 { n } 是等比数列; (2) Sn+1=4an. n Sn n-1 (2)证法2: 由(1)知 n =2 . ∴Sn=n2n-1 . ∴Sn+1=(n+1)2n. ∵an=Sn-Sn-1=n2n-1-(n-1)2n-2=(n+1)2n-2 (n≥2). 而 a1=1 也适合上式,
等比数列概念及性质
an am q
变通公式
nm
( n, m N )
*
性质1：设an , am为等比数列an 中任意两项， 且公比为q，则an am q
证明
nm
.
设等比数列an 的首项为a1 , 公比为q， 则有an a1q , am a1q
n 1 m 1
an nm nm 从而 q , 即an am q . am
例题3：一个等比数列的第3项和第4 项分别是12和18，求它的第1项和第2 项。
1.在等比数列{an}中，已知
a 3 20, a 6 160
求an.
四. 应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗?
开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
例3.已知等比数列an 的首项为a1 , 公比为q，依次取出数列an 中所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？
变式1：如果依次取出a1 , a4 , a7 , a10 ,构成一个新数列， 该数列是否还是等比数列？
思考：你能得到更一般的结论吗？
① 1，-1，1，…，(-1)n+1 ；√
②1，2，4，6…；× ③a，a，a，…，a； ×
④已知a1=2，an=3an+1 ； √
⑤
m, 2m, 4m ,8m ,... ×
2
3
⑥2a，2a，2a，…，2a. √
2、求出下列等比数列中的未知项： 1 (1)2，a，8；(2)－4，b，c， . 2
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特 点？ 正负交替
第二课时
二、新课
等比数列的概念和计算
等比数列的概念和计算等比数列是数学中重要的概念之一，它在各种实际问题中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍等比数列的概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的概念等比数列是指一系列的数按比例递增或递减的数列。
它的特点是每个数都是前一个数与同一个非零常数的乘积。
设首项为a，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = ar^(n-1)其中，an表示第n个数，r表示公比。
二、等比数列的性质等比数列有许多有趣的性质，下面我们来介绍几个常见的性质：1. 公比的性质：对于等比数列，如果公比r>1，那么数列是递增的；如果0<r<1，数列是递减的。
当r=-1时，数列交替增减；当r=1时，数列是等差数列。
2. 等比数列的比与比与项的关系：等比数列中，任意两项的比等于它们的比的m次方，即an/am=a^(n-m)。
3. 等比数列的前n项和：等比数列的前n项和公式为Sn=a(1-r^n)/(1-r)，其中S表示前n项和。
这个公式可以通过数列的递推关系和等差数列的求和公式推导得出。
三、等比数列的计算方法计算等比数列的各项值是数列问题中的重要环节，下面我们将介绍两种常见的计算方法。
1. 递推法：通过已知项计算下一项。
首先确定首项a和公比r，然后根据递推关系an = an-1 * r计算每一项的值。
这种方法适用于已知首项和公比的情况。
2. 公式法：利用等比数列的通项公式，直接计算任意项的值。
首先确定首项a和公比r，然后根据通项公式计算特定项的值。
这种方法适用于已知首项和公比，但需要计算某一特定项的情况。
四、应用举例等比数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，金融领域中的复利计算就涉及到等比数列。
假设你存入一笔本金，每年的利率固定为r，那么n年后的本金总额可以表示为Sn=a(1-r^n)/(1-r)。
通过等比数列的计算，可以帮助我们了解到本金随时间的变化情况。
另外，等比数列还可以应用于计算机科学中的数据结构和算法设计中。
等比数列公式_公式总结
等比数列公式_公式总结如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1×q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)②当q=1时，Sn=n×a1（q=1）记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结在数学学习中，等比数列是一种非常重要的数列形式。
它具有独特的特点和应用，是数学领域中必须深入了解和掌握的知识点之一。
本文将对等比数列的定义、通项公式、首项、公比、求和公式等知识点进行总结和讨论。
一、等比数列的定义等比数列，指的是数列中的每一项与其前一项的比相等的数列。
其中，比值称为公比，用字母q表示。
如果等比数列的首项为a1，公比为q，则数列的通项可以表示为：an = a1 * q^(n-1)其中，n表示数列的第n项。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中an表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的首项，q表示等比数列的公比。
通过等比数列的通项公式，可以方便地计算数列中任意一项的数值。
例如，当等比数列的首项a1为2，公比q为3时，可以得到该数列的通项公式为：an = 2 * 3^(n-1)。
通过代入不同的n值，可以求得等比数列的不同项的数值。
三、等比数列的首项和公比等比数列的首项指的是数列中的第一项，用字母a1表示。
根据等比数列的定义，可知第二项a2 = a1 * q，第三项a3 = a2 * q = a1 * q^2，以此类推，第n项可以表示为an = a1 * q^(n-1)。
公比q则是指每一项与前一项的比值，用数值表示。
例如，当等比数列的首项为1，公比为2时，数列中的一些项可以表示为：a1 = 1，a2 = 1 * 2 = 2，a3 = 1 * 2^2 = 4，a4 = 1 * 2^3 = 8，以此类推。
首项和公比是等比数列中两个重要的参数，可以通过它们来确定数列的性质和变化规律。
四、等比数列的求和公式等比数列的求和公式是通过对数列中的每一项进行求和，得到数列的总和。
由于等比数列是无穷数列，求和公式对于计算有限项的总和非常有用。
等比数列的求和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示等比数列的前n项的和。
等比数列的三个公式
等比数列的三个公式等比数列是指一个数列中任意两个相邻的项之间的比值都相等的数列。
首先，我们来定义等比数列的一般项表示法和通项公式。
一、一般项表示法：对于等比数列a₁,a₂,a₃,...,aₙ，其中a₁是首项，r是公比，则第n项被表示为aₙ=a₁*r^(n-1)，其中n≥1二、通项公式：通项公式指的是通过首项和公比来直接计算出等比数列的任意一项的公式。
1.第n项的通项公式：已知等比数列a₁,a₂,a₃,...,aₙ，其中a₁是首项，r是公比。
则第n项的通项公式可以表示为：aₙ=a₁*r^(n-1)，其中n≥12.前n项和的通项公式：已知等比数列a₁,a₂,a₃,...,aₙ，其中a₁是首项，r是公比。
则前n项和的通项公式可以表示为：Sn=a₁*(1-r^n)/(1-r)，其中n≥1接下来，我们来推导这两个通项公式。
首先，我们假设等比数列的首项为a₁，公比为r。
那么等比数列的第二项a₂可以表示为a₂=a₁*r第三项a₃可以表示为a₃=a₁*r^2，依此类推，第n项aₙ可以表示为aₙ=a₁*r^(n-1)。
要计算前n项和Sn，我们将每一项与公比相除可得：Sn=a₁*(1+r+r^2+...+r^(n-1))接下来，我们用Sn乘以公比r：r*Sn=a₁*(r+r^2+...+r^n)将以上两式相减可得：Sn-r*Sn=a₁*(1-r^n)对于左边的Sn-r*Sn，我们可以因式分解：Sn(1-r)=a₁*(1-r^n)最后，我们将两边整理得到前n项和的通项公式：Sn=a₁*(1-r^n)/(1-r)这就是等比数列的常见公式：一般项表示法和通项公式。
利用这两个公式，我们可以方便地计算等比数列中的任意一项或前n项的和。
总结起来，等比数列的三个公式分别是：1.一般项表示法：aₙ=a₁*r^(n-1)，其中n≥12.第n项的通项公式：aₙ=a₁*r^(n-1)，其中n≥13.前n项和的通项公式：Sn=a₁*(1-r^n)/(1-r)，其中n≥1。
等比数列及其性质
等比数列及其性质等比数列是数学中经常出现的一种数列，它具有一些独特的性质和规律。
在本文中，我将介绍等比数列的概念、常见性质以及它在数学问题中的应用。
一、等比数列的定义及表示方法等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等。
这个比值称为等比数列的公比，常用字母q表示。
用数学符号表示，一个等比数列可以写成：a，aq，aq^2，aq^3，...，其中a是首项，q是公比。
二、等比数列的性质1. 通项公式等比数列的通项公式表示了数列中任意一项与首项之间的关系，在求解等比数列问题时非常有用。
设等比数列的首项为a，公比为q，第n项为an，那么等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1)。
2. 前n项和等比数列的前n项和是指数列中前n项的和。
求解等比数列的前n 项和可以通过以下公式得到：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)，其中Sn表示前n项和。
3. 公比的范围公比q的范围决定了等比数列的性质。
当-1 < q < 1时，等比数列的绝对值趋于0，这样的数列被称为收敛的。
当q大于1或小于-1时，等比数列的绝对值呈指数增长或指数衰减，这样的数列被称为发散的。
4. 等比数列的倍数关系在等比数列中，任意一项与其前一项的比值都等于公比q。
这意味着，一个等比数列中的任意一项都是它前一项乘以公比得到的。
这种倍数关系在数学问题中经常被应用到。
三、等比数列的应用等比数列的概念和性质在数学问题中有广泛的应用，下面以几个例子来说明：1. 货币利率问题假设我们有一笔存款，年利率为r，每年我们都将本金和利息再次存入银行，形成一个复利等比数列。
我们可以利用等比数列的公式和性质来计算多年后的本利和。
2. 音乐音调问题音乐中的音调通常是以等比数列的形式排列的，每个音调的频率与前一个音调的频率之比就是公比。
通过分析等比数列的性质，我们可以得出音调之间的倍数关系，帮助我们理解音乐的构成和演奏。
等比数列的定义和通项公式
等比数列的定义和通项公式一、等比数列的定义和通项公式1.等比序列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示$（q≠0）$，即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q(n\geqslant2)$。
（1）等比序列中的任何项都不是0，公共比率为$Q≠ 0 $.（2）若一个数列为常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，0，$\cdots$。
2.等比序列的通项公式（1）通项公式如果比例序列${a_n}$的第一项是$a_1$，公共比率是$q$，那么这个比例序列的一般项公式是$a_n=a_1q^{n-1}（a_1，q≠0)$。
在记忆公式时，要注意$q$的指数比项数$n$小1这一特点。
注：通过$a_n=a_1q^{n-1}$，$a_m=a_1q^{m-1}$，您可以启动$\frac{a_n}{a_m}=q^{n-m}$，即$a_n=a_mq^{n-m}$所以有：①在已知等比数列${a_n}$中任一项$a_m$及公比$q$的前提下，可以使用$a_n=a_mq^{n-m}$求得等比数列中的任意项$a_n$。
② $a在已知的比例序列${a_n}${M$和$a_n$中，可以使用$\frac{a_n}{a_M}=q^{n-M}$来找到公共比率。
（2）等比数列中项的正负对于比例序列${a_n}$，如果$Q<0$，则${a_n}$中正负项之间的间隔，如序列1、-2、4、-8、16、$\cdots$；如果$Q>0$，则序列${a_n}$中的所有项都具有相同的编号。
总之，等比序列的奇数项必须有相同的符号，偶数项也必须有相同的符号。
3、等比中项如果插入一个数字$g（g≠ 0）$在$a$和$B$之间，因此$a$，$g$，$B$处于等比序列中，$g$被称为$a$和$B$等比的中间。
第三讲： 等比数列
等比数列
知识归纳
1．等比数列的定义 ． 一般地，如果一个数列从第2项起 每一项与它的前 项起， 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一 项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列． 项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列． 2．等比数列的通项公式 ． － an＝a1·qn－1(n∈N*)． ∈ ． 推导方法：累乘法： 推导方法：累乘法： 3．等比数列的前 项和 ．等比数列的前n项和 当q＝1时，Sn＝na1， ＝ 时 当q≠1时． 时 推导方法：乘公比、错位相减法． 推导方法：乘公比、错位相减法．
作业 32 等比数列{ 满足: 11, 1.等比数列{an}满足:a1+a6=11, a3·a4= ，且公 9 ∈(0 比q∈(0,1). （1）求数列{an}的通项公式； 求数列{ 的通项公式； 的值. （2）若该数列前n项和Sn=21，求n的值. 若该数列前n项和S 21， 数列{ 是以3 2.数列{an}中，a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3为公比的等比数 列，记bn=a2n-1+a2n (n∈N*). （1）求a3,a4,a5,a6的值； 的值； )=1 3. 设 函 数 f(x) 满 足 f(0)=1, 且 对 任 意 x,y∈R ， 都 有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2. xy+ )=f （1）求f(x)的解析式； 的解析式； 若数列{ 满足: ),且 （ 2 ） 若数列 {an} 满足 :an+1=3f(an)-1 (n∈N*), 且 a1=1, 求数列 的通项公式； 求数列{ 的前n项和S {an}的通项公式；（3）求数列{an}的前n项和Sn. 是等比数列. （2）求证：{bn}是等比数列. 求证：
等比数列
第3节 等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q ≠0)表示定义的符号表示:a n ＋1a n ＝q(q 是常数且q ≠0，n ∈N *)，或an a n －1＝q(n ≥2，q 为常数且q ≠0)．注：①在等比数列中：;0,0≠≠q a n②常数列不都是等比数列。
除了各项均为0的常数列，其余的常数列都是公比为1的等比数列 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项公式a n ＝a 1q n －1＝m a n mq-.3．等比中项如果三个数a 、G 、b 组成等比数列，则G 叫做a 和b 的等比中项，那么G a ＝bG，即G 2＝ab.即G =质疑探究：b 2＝ac 是a ，b ，c 成等比数列的什么条件？ 提示：因为b 2＝ac 得不出a ，b ，c 成等比数列(如a ＝0，b ＝0，c ＝1)，而a ，b ，c 成等比数列，则必有b 2＝ac. 必要而不充分条件，4．等比数列{a n }的前n 项和公式(1)公式的推导：推导等比数列{a n }的前n 项和公式的方法是错位相减法．=n S n a a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n n n n qa a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---nn n n n n q a qa q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111nn q a a S q 11)1(-=-∴∴当1≠q 时，qq a S nn --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1 (q ＝1)a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).当1≠q 时，qq a S nn --=1)1(1=nnBqA qqa qa +=---1111)0(=+B A质疑探究：如何求na a a a 32++的和？提示：分类讨论，按a ＝0，a ＝1，a ≠0且a ≠1分别求解．等比数列的判方法① 定义法a n ＋1a n＝q(q 是常数且q ≠0，n ∈N *) ② 等比中项)2(112≥⋅=+-n a a a n n n ③ 通项公式)0,(≠≠=p o q pq a n n ④ 前n 项和n n Bq A S += 等比数列{n a }具有以下常用性质：(1)在等比数列{n a }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r(m ，n ，p ，q ，r ∈N*)，则m a ·n a ＝p a ·q a ＝2r a ， 特例：;23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a(2)数列m a ，m k a +，2m k a +，3m k a +，…仍是等比数列． （3）{}{}{}{}{}仍是等比是等比数列，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n n n n n n n qb pa b pa qb a b a ,,,p ,(4)数列m S ，2m m S S -，32m m S S -，…仍是等比数列(此时{n a }的公比q ≠－1)． （5）依次m 项的积仍成等比即 ,,,3221222121m m m m m m m a a a a a a a a a ++++成等比数列，公比为m q 典例剖析题型1.等比数列的判定与证明【例1】已知1a =2，点(a n ,a n+1)在函数f(x)=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列； 解析：由22111lg(1)2,1(1),2lg(1)n n n n n n n a a a a a a a ++++=+∴+=+∴=+，即{}lg(1)n a +是以2为公比等比数列。
等比数列 公式
等比数列公式
摘要：
1.等比数列的定义与性质
2.等比数列的通项公式
3.等比数列的前n 项和公式
4.等比数列的应用示例
正文：
等比数列是指一个数列，其中每一项与它前面的项的比都相等。
这个常量比被称为等比数列的公比。
等比数列的性质包括：如果m，n 是等比数列{a_n}中的项，那么m+n，m-n，mn 也是等比数列；若m，n 是等比数列{a_n}中的项，那么mn=a_m+n。
等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)，其中a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。
等比数列的前n 项和公式为：S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)，其中S_n 是前n 项和，a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。
等比数列在实际问题中有广泛的应用，例如在金融领域，等比数列可以用来计算复利；在生物学中，等比数列可以用来描述种群的增长等。
例如，假设有一个等比数列{a_n}，首项a_1=1，公比q=2，项数
n=10，我们可以使用等比数列的通项公式计算第5 项的值：a_5=1*2^(5-1)=16。
等比数列概念
等比数列基础知识:1、定义:一个数列{}n a 如果从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列叫等比数列,这个常数叫公比.用字母q 表示,0q ≠2、等比数列的通项公式:3、等比数列的前n 项和公式:4、等比数列的性质:①角标和相同的两项积相同,反之不成立. ②抽出角标成等差的项组成的子数列成等比数列.新公比. ③若数列{}n a 是等比数列,则{}n a λ、1{}na 、{}n a 是等比数列.④等比中项.⑤23243,,,n n n n n n n S S S S S S S ---……，当这些项不为０时成等比数列; ５、等比数列的判定方法：⑴定义法:1n na q a +=⑵等比中项：212n n n a a a ++= ６、等比数列的设法． 例题分析：例1、在等比数列{a n }中，已知 (1)q a a a ,,8,18142求==(2)n n S a q a 求,21,21,81=== (3)q a S a ,,214,211133求==(4)331,,26,2a q S a 求==例2、在等比数列{a n }中1.______,60,30874321=+=+=+a a a a a a 则2._____,6,22019181784=+++==a a a a S S 则3. >0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则46a a += ．4. 1894445460,16,______n a a a a a a >==则例3、设等比数列｛a n ｝的公比为q ，前n 项和S n >0.（1）求q 的取值范围。
（2）设b n =a n+2-32a n+1，记｛b n ｝的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小。
例4、数列{a n }的前n 项和为n S ,且142n n S a +=+,11a =,⑴设12n n n b a a +=-,求证：｛b n ｝为等比数列;⑵设2nn na c =求证：数列{}n c 为等差数列.练习：在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．。
等比数列的性质
等比数列的性质什么是等比数列？在数学中，等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个固定的非零数。
这个固定的非零数称为等比数列的公比，通常用字母q表示。
等比数列可以通过以下递推公式来表示：\$a(n) = a(1) \\times q^{(n-1)}\\$其中，\$a(n)\\$ 表示第n项，\$a(1)\\$表示首项，q表示公比，n表示项数。
等比数列的性质等比数列具有以下几个性质：1. 公比的求解要确定一个等比数列，首先需要知道首项\$a(1)\\$以及公比q。
计算公比的方法如下：\$q = \\frac{a(2)}{a(1)} = \\frac{a(3)}{a(2)} =\\frac{a(4)}{a(3)} = ...\\$通过计算数列中连续两项的比值，可以得到公比。
2. 通项公式等比数列的通项公式可以通过递推公式进行推导。
将递推公式\$a(n) = a(1) \\times q^{(n-1)}\\$进行一系列变换，得到等比数列的通项公式：\$a(n) = a(1) \\times q^{(n-1)}\\$3. 求和公式等比数列的前n项和可以通过以下公式计算：\$S(n) = \\frac{a(1) \\times (q^n - 1)}{q - 1}\\$其中，\$S(n)\\$表示前n项的和。
4. 性质推导通过对等比数列的性质进行推导，还可以得到以下几个性质：•等比数列中，相邻两项的比值是常数，即公比q；•等比数列中，任意一项与它前面的任意项之间的比值是常数，也是公比q；•等比数列中，任意一项与它后面的任意项之间的比值是常数，也是公比q；•等比数列中，任意一项与它间隔n项的项之间的比值是常数，也是公比q；•等比数列中，两个等比数列的乘积仍然是等比数列，且公比为两个等比数列的公比的乘积。
5. 应用举例等比数列的性质在实际生活和工作中有很多应用，例如：•财务投资领域中的利息计算和复利计算；•自然科学领域中的指数增长和指数衰减模型；•计算机科学领域中的算法分析和复杂度计算。
等比数列符号
等比数列符号
一、定义
等比数列是指数列中，每一项与它的前一项之比相等的数列。
这种数列的特点是：从第二项开始，后一项的值等于其前一项的值乘以一个常数，这个常数称为公比，符号为q。
二、等比数列的性质
1、等比数列的通项公式
等比数列的通项公式是a_n=a_1*q^(n-1)，其中a_1为等比数列的第一项，q为公比，n为项数，a_n为等比数列中的第n项。
2、公比q
等比数列中，公比q是由等比数列的第一项和第二项之比确定的。
任意一个等比数列的公比q可以由下式确定：q=a_2/a_1。
3、等比数列的求和
等比数列的求和公式为 Sn=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中a_1为等比数列的第一项，q为公比，n 为项数，Sn为等比数列的前n项和。
三、等比数列的应用
1、金融学中的应用
等比数列在金融学中有广泛的应用，比如计算投资的期望收益，计算贷款的还款额，计算利率的复利等等。
2、物理学中的应用
等比数列在物理学中也有着重要的应用，比如，在振动问题中，如果振动频率是等比数列，则振动的模式就是等比数列；在计算机科学中，等比数列也有应用。
3、数学中的应用
等比数列也在数学中有着重要的应用，比如计算几何级数的和，计算极限，解决方程等等。
四、总结
等比数列是一种满足特定条件的数列，它的特点是：从第二项开始，后一项的值等于其前一项的值乘以一个常数，这个常数称为公比，符号为q。
等比数列有着广泛的应用，比如
金融学，物理学，数学等。
等比数列知识点总结及题型归纳
等比数列知识点总结及题型归纳一、等比数列的定义和性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
当这个比值大于1时，称为增长等比数列；当比值在0和1之间时，称为衰减等比数列。
1. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a₁，公比为r，则等比数列的第n项为：an = a₁ * r^(n-1)。
2. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a₁，公比为r，前n项和为Sn，则有：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)。
3. 等比数列的性质（1）两项间的比值永远相等，即 an / a(n-1) = r。
（2）等比数列从第二项开始，每一项都是前一项与公比的乘积。
（3）等比数列的前n项和与公比无关，只与首项和项数有关。
二、等比数列的题型归纳1. 求等比数列的第n项已知等比数列的首项a₁和公比r，求等比数列的第n项an。
解法：根据通项公式an = a₁ * r^(n-1)进行计算。
2. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，求等比数列的前n 项和Sn。
解法：根据前n项和公式Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)计算。
3. 求等比数列的首项或公比已知等比数列的前两项a₁和a₂，或其中一个项an和其前一项a(n-1)，求等比数列的首项a₁或公比r。
解法：通过已知项之间的比值an / a(n-1) = r，或者利用前n项和公式解方程进行计算。
4. 求等比数列的项数已知等比数列的首项a₁、公比r和第n项an，求等比数列的项数n。
解法：利用通项公式an = a₁ * r^(n-1)解方程求解n的值。
5. 求等比数列的部分项已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，求等比数列的部分项（例如第m项）am。
解法：利用通项公式an = a₁ * r^(n-1)计算am的值。
6. 求等比数列中的缺项已知等比数列的部分连续项，求等比数列中的缺项。
解法：通过项与项之间的比值an / a(n-1) = r进行推导，找出缺项并进行计算。
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①证明数列2, d, 8.仍是等比数列．
②求未知项d.
判断下列数列是等差数列还是等比数列？
(1) 22, 2 , 1 , 2-1, 2-2.
(2) 3 , 34, 37, 310.
学后反思：
一辆汽车的售价约15万元,年折旧率约为10%,计算该车5年后的价值。得到数列15 ,15×0.9 ,15×0.92,15×0.93,…，15×0.95。
复利存款问题，月利率5%，计算10000元存入银行1年后的本利和。得到数列10000×1.05,10000×1.052,…,10000×1.0512.
能力目标：通过对等比数列概念的归纳，培养学生严密的思维习惯；通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维能力并进一步培养学生善于思考，解决问题的能力。
情感目标：培养学生勇于探索、善于猜想的学习态度，实事求是的科学态度，调动学生的积极情感，主动参与学习，感受数学文化。
知晓定义的基础上，带领学生看书p29页，书上前面出现的关于等比数列的实例。让学生了解等比数列在实际生活中的应用很广泛，要认真学好。
学生探究三个数列的共同点，引出等比数列的定义。
【新课讲授】
由学生根据共同点及等差数列定义,自己归纳等比数列的定义，再由老师分析定义中的关键词句,并启发学生自己发现等比数列各项的限制条件：等比数列各项均不为零，公比不为零。
等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用d表示.数学表达式：an+1-an=d
(1) 1, 4, 16, 32．
(2) 0, 2, 4, 6, 8.
(3) 1,－10,100,－1000,10000．
(4) 81, 27, 9, 3, 1.
(5)a, a, a, a, a.
例题二求出下列等比数列中的未知项:
(1) 2, a, 8;
(2) -4, b, c, ½;
反馈·巩固·提高
等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用q表示. 数学表达式：
教学目标：
知识目标：正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列,了解等比数列在生活中的应用。
3.学习等比数列可以对照等差数列类比做研究.
【作业】
见学案
【板书设计】
【教学反思】
重点
等比数列定义的归纳及运用。
难点
正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列是否为等比数列
课堂导学
阅读课本完成下列内容：
1．等差数列的定义：
2．等比数列定义：
应用举例
例题一
判断下列明理由．
在学生对等比数列的定义有了初步了解的基础上，讲解例一。给出具体的数列，会利用定义判断是否为等比数列。对（1）（5）两小题着重分析.
【例题讲解】
见学案例题1、2
【课堂小结】
由学生通过一堂课的学习，做个简单的归纳小结。
1理解.等比数列的定义,判断或证明数列是否为等比数列要用定义判断
2.等比数列公比q≠0,任意一项都不为零.
金沙县中等职业学校综合部数学学科导学案
教师寄语：不为失败找借口，只为成功找法方。
周次
课题
等比数列的概念
主备人：饶丽使用人：李盺饶丽
13春招班
教学过程：
【导入】
复习回顾：等差数列的定义。创设问题情境，三个实例激发学生学习兴趣。
利用游标卡尺测量一张纸的厚度.得数列a,2a,4a,8a,16a,32a.(a>0)