2018年秋七年级数学(河北)人教版习题：小专题(九) 线段的计算

小专题(九) 线段的计算
在河北中考试卷中，每年都有考查数学思想方法的题，如2016T18考查了整体思想，在平时的学习中，应注意这些思想方法的积累． 类型1 中点问题(整体思想)
【例】 如图，点C 在线段AB 上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点．
(1)若AC ＝9 cm ，CB ＝6 cm ，则线段MN 的长为15
2cm ；
(2)若AC ＝a cm ，CB ＝b cm ，则线段MN 的长为a ＋b
2cm ；
(3)若AB ＝m cm ，求线段MN 的长度．
(4)若点C 为线段AB 上任意一点，且AB ＝n cm ，其他条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论．
解：(3)因为M 、N 分别是AC 、BC 的中点，
所以MC ＝12AC ，CN ＝1
2BC.
又因为MN ＝MC ＋CN ，
所以MN ＝12(AC ＋BC)＝12AB ＝m
2cm.
(4)猜想：MN ＝12AB ＝1
2
n cm.
结论：当C 为线段AB 上一点，且M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则存在MN ＝1
2AB.
【变式1】 若MN ＝k cm ，求线段AB 的长． 解：因为点M 是AC 的中点， 所以CM ＝1
2
AC.
因为点N 是BC 的中点， 所以CN ＝1
2
BC.
所以MN ＝CM ＋CN ＝(12AC ＋12BC)＝1
2
AB.
所以AB ＝2MN ＝2k cm.
【变式2】 若将例题中的“点C 在线段AB 上”改为“点C 在线段AB 的延长线上”，其他条件不变，(3)中结论还成立吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
解：MN ＝1
2
m 成立．
当点C 在线段AB 的延长线上时，如图．
因为M 、N 分别是AC 、BC 的中点， 所以MC ＝12AC ，CN ＝1
2
BC.
所以MN ＝12(AC －BC)＝12AB ＝m
2.
如图，只要点C 在线段AB 所在直线上，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，那么MN ＝1
2
AB.
图1
图2
图3
1．如图，C 是线段AB 上一点，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，若AB ＝8 cm ，AC ＝3.2 cm ，则线段MN 的长为2.4cm.
2．(唐山丰南区期末改编)如图，已知点C ，D 为线段AB 上顺次两点，M 、N 分别是AC 、BD 的中点．
(1)若AB ＝24，CD ＝10，求MN 的长；
(2)若AB ＝a ，CD ＝b ，请用含a 、b 的式子表示出MN 的长． 解：(1)因为AB ＝24，CD ＝10， 所以得出AC ＋DB ＝14.
因为M 、N 分别为AC ，BD 的中点， 所以CM ＝12AC ，DN ＝1
2BD.
所以MC ＋DN ＝1
2(AC ＋DB)＝7.
所以MN ＝MC ＋DN ＋CD ＝17.
(2)因为AB ＝a ，CD ＝b ，所以得出AC ＋DB ＝a －b ，所以MC ＋DN ＝12(AC ＋DB)＝1
2(a －
b)．
所以MN ＝MC ＋DN ＋CD ＝12(a －b)＋b ＝1
2
(a ＋b)．
类型2 直接计算
3．(石家庄赵县期末)如图所示：点C ，D 为线段AB 的三等分点，点E 为线段AC 的中点，若ED ＝9，求线段AB 的长度．
解：因为C ，D 为线段AB 的三等分点， 所以AC ＝CD ＝DB.
又因为点E 为AC 的中点，则AE ＝EC ＝1
2AC.
所以CD ＋EC ＝DB ＋AE.
所以DB ＋AE ＝EC ＋CD ＝ED ＝9. 则AB ＝2ED ＝18.
4．如图，点C 为线段AB 的中点，点D 在线段CB 上．
(1)图中共有6条线段；
(2)图中AD ＝AC ＋CD ，BC ＝AB －AC ，类似地，请你再写出两个有关线段的和与差的关系式；
(3)若AB ＝8，DB ＝1.5，求线段CD 的长．
解：(2)答案不唯一，如：①BC ＝CD ＋DB ；②AD ＝AB －DB. (3)因为C 为线段AB 的中点，AB ＝8，
所以CB ＝1
2
AB ＝4.
所以CD ＝CB －DB ＝2.5. 类型3 方程思想
5．如图，已知B ，C 两点把线段AD 分成2∶5∶3三部分，点M 为AD 的中点，BM ＝6 cm ，求CM 和AD 的长．
解：设AB ＝2x cm ，BC ＝5x cm ，CD ＝3x cm ， 所以AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝10x cm. 因为M 是AD 的中点， 所以AM ＝MD ＝1
2
AD ＝5x cm.
所以BM ＝AM －AB ＝5x －2x ＝3x cm. 因为BM ＝6 cm ，
所以3x ＝6.解得x ＝2.
故CM ＝MD －CD ＝5x －3x ＝2x ＝2×2＝4(cm)， AD ＝10x ＝10×2＝20(cm)．
6．如图，已知线段AB 和CD 的公共部分BD ＝13AB ＝1
4CD ，线段AB ，CD 的中点E ，F 之间的距
离是10 cm ，求AB ，CD 的长．
解：设BD ＝x cm ，则AB ＝3x cm ，CD ＝4x cm ，AC ＝6x cm. 因为点E ，F 分别为AB ，CD 的中点， 所以AE ＝12AB ＝1.5x cm ，CF ＝1
2
CD ＝2x cm.
所以EF ＝AC －AE －CF ＝6x －1.5x －2x ＝2.5x(cm)．
因为EF ＝10 cm ，
所以2.5x ＝10.解得x ＝4. 所以AB ＝12 cm ，CD ＝16 cm. 类型4 分类思想
7．已知线段AB ＝60 cm ，在直线AB 上画线段BC ，使BC ＝20 cm ，点D 是AC 的中点，求CD 的长度．
解：当点C 在线段AB 上时，如图1，
图1
CD ＝12AC ＝12(AB －BC)＝1
2×(60－20)
＝1
2
×40＝20(cm)； 当点C 在线段AB 的延长线上时，如图2，
图2
CD ＝12AC ＝12(AB ＋BC)＝1
2×(60＋20)
＝1
2
×80＝40(cm)． 所以CD 的长度为20 cm 或40 cm.
8．课间休息时小明拿两根木棒玩，小明说：“较短木棒AB 长40 cm ，较长木棒CD 长60 cm ，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木棒的中点分别是点E 和点F ，则点E 和点F 间的距离是多少？你说对了我就给你玩．”聪明的你请帮小华求出此时两根木棒的中点E 和F 间的距离是多少？
解：如图1，当AB 在CD 的左侧且点B 和点C 重合时，
图1
因为点E 是AB 的中点， 所以BE ＝12AB ＝1
2×40＝20(cm)．
因为点F 是CD 的中点， 所以CF ＝12CD ＝1
2
×60＝30(cm)．
所以EF ＝BE ＋CF ＝20＋30＝50(cm)．
如图2，当AB 在CD 上且点B 和点C 重合时，
图2
因为点E 是AB 的中点， 所以BE ＝12AB ＝1
2×40＝20(cm)．
因为点F 是CD 的中点， 所以CF ＝12CD ＝1
2
×60＝30(cm)．
所以EF ＝CF －BE ＝30－20＝10(cm)．
所以此时两根木棒的中点E 和F 间的距离是50 cm 或10 cm. 类型5 动态问题
9．(唐山丰南区期末)如图，P 是线段AB 上任一点，AB ＝12 cm ，C ，D 两点分别从P ，B 同时向A 点运动，且C 点的运动速度为2 cm/s ，D 点的运动速度为3 cm/s ，运动的时间为t s.
(1)若AP＝8 cm.
①运动1 s后，求CD的长；
②当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；
(2)如果t＝2 s时，CD＝1 cm，试探索AP的值．
解：(1)①由题意可知：CP＝2×1＝2(cm)，DB＝3×1＝3(cm)，因为AP＝8 cm，AB＝12 cm，
所以PB＝AB－AP＝4 cm.
所以CD＝CP＋PB－DB＝2＋4－3＝3(cm)．
②因为AP＝8，AB＝12，
所以BP＝4，AC＝8－2t.
所以DP＝4－3t.
所以CD＝DP＋CP＝2t＋4－3t＝4－t.
所以AC＝2CD.
(2)当t＝2时，CP＝2×2＝4(cm)，DB＝3×2＝6(cm)，
当点D在C的右边时，如图所示：
由于CD＝1 cm，
所以CB＝CD＋DB＝7 cm，
所以AC＝AB－CB＝5 cm，
所以AP＝AC＋CP＝9 cm，
当点D在C的左边时，如图所示：
所以AD＝AB－DB＝6 cm，
所以AP＝AD＋CD＋CP＝11 cm，
综上所述，AP＝9 cm或11 cm.。