备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题37空间中线线角、线面角的求法答案解析

数学黄金答题模板

导数的简单运算一、基本导数公式①x x cos 'sin =）（；x x sin )'(cos -= ②）＞（01)'(ln x x x =，），且＞，＞（）（100ln 1'log ≠=a a x ax x α ③xxe e ='）（，），且＞（）（10ln '≠=a a a a a xx二、导数的四则运算法则①）（）（）（）（）（）（）（x f x f x f x f x f x f v u v u n n ''']'['''2121+⋯⋯++=+⋯⋯++⇒+=± ②为常数）（）（）（c cv cv v c cv u v vu uv '''''''=+=⇒+=③）（）（0'''2≠-=v v uv vu v u解三角函数的步骤步骤一、化简1.处理像x 2cos 或）（6sin 2π-x 这样的部分 (倍半，降升幂） 2.处理）（），（x x --ππsin 2sin这种形式的东西（诱导公式）3.特殊角意识4.和差公式步骤二、答题空间位置关系的证明方法（1）线面平行：α∥αα∥a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂，α∥ββ∥αa a ⇒⎭⎬⎫⊂，α∥αββαa a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥.（2）线线平行：b a b a a ∥βαβα∥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂ ，b a b a ∥αα⇒⎭⎬⎫⊥⊥，b a b a ∥γβγαβ∥α⇒⎪⎭⎪⎬⎫== ，b c c a b a ∥∥∥⇒⎭⎬⎫.（3）面面平行：β∥αβ∥β，∥αα，⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a O b a b a ，β∥αβα⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ， γ∥αβ∥γβ∥α⇒⎭⎬⎫.（4）线线垂直：b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα.（5）线面垂直：ααα，⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⊂⊂l b l a l O b a b a , ，βα，βαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⊥a l a a l ，βαβ∥α⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a ，αα∥⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a .（6）面面垂直：βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ，βααβ∥⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a .圆锥曲线的求解方法一、轨迹方程的求解第一步：建系设点，依据题意建立适当的坐标系，设出动点坐标，例如M （x,y ）第二步：明确点M 的变化因素，利用距离、斜率、中点等题目中的要求列出等量关系，注意联系所学过的曲线定义。

线面角的求法总结

线面角的求法总结线面角是立体几何中的一个重要概念，指的是直线与平面之间的夹角。

在实际问题中，线面角的求法有多种方法，包括正投影法、平行线交线法、倾斜线投影法等。

下面将从这些不同的求法角度，总结线面角的求法方法。

一、正投影法正投影法是线面角的一种常用求法方法。

具体的求法步骤是：首先，以直线上的两点为基点，分别作两条垂直于平面的直线，将平面上的两个点投影到这两条垂直线上。

然后，连接两个投影点与基点，即可得到线面角。

简单来说，就是将线段的两个端点在平面上做垂线，再连接垂线与线段的两个端点所构成的三角形。

二、平行线交线法平行线交线法是另一种求解线面角的常用方法。

它适用于直线与平面的交点在平行线上的情况。

具体的求法步骤是：首先，找到平行于直线的两条线，并找出这两条线与交线的交点。

然后，以这两个交点为基点，分别作两条直线与交线相交，再连接交线两个端点与这两个交点，即可得到线面角。

简单来说，就是在平行线上找到与线段相交的两条线，将线段的两个端点与两个交点连线所构成的三角形。

三、倾斜线投影法倾斜线投影法是应用于倾斜线与平面的角的求法方法。

具体的求法步骤是：首先，判断倾斜线是否与平面相交，如果相交，则找到交点。

然后，以交点为基点，分别作两条垂直于平面的直线，并将交点投影到这两条垂直线上。

最后，连接两个投影点与交点，即可得到线面角。

简单来说，就是将倾斜线段的一个端点与交点连线，再以交点为顶点做一个角的投影。

四、线面角的特殊情况求解除了以上常用的求解线面角的方法外，还有一些特殊情况需要考虑。

例如，如果线段与平面平行，则线面角为无穷大；如果线段垂直于平面，则线面角为直角，即90度；如果线段在平面上，则线面角为0度。

这些特殊情况可以根据实际问题的需要灵活运用，以求解线面角。

总之，线面角的求法有多种方法，根据具体的问题和实际情况选择合适的方法进行求解。

正投影法、平行线交线法和倾斜线投影法是常用的求解方法，可以满足大多数情况下的求解需要。

高考数学高分答题模板

高考数学高分答题模板高考数学答题黄金模板1选择填空题易错点归纳：九大模块易混淆难经历考点分析，如概率和频率概念混淆、数列求和公式经历错误等，强化基础知识点经历，躲开因为知识点失误造成的客观性解题错误。

针对审题、解题思路不严谨如集合题型未考虑空集情形、函数问题未考虑定义域等主观性因素造成的失误进行专项训练。

答题方法：选择题十大速解方法：排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感受法、分析选项法;填空题四大速解方法：直截了当法、专门化法、数形结合法、等价转化法。

2突破解答题三角函数：考点题型归纳：通常考察正弦、余弦公式、三角形差不多性质、三种差不多三角函数之间的转化与角度的化简。

通常题型：Q1：带入求值，化简等;Q2：利用正弦、余弦公式转化，依照角度取值范畴确定正负号，求某角某边等。

答题方法：七大解题思想：如巧用数形结合、化归转化等方法解题。

概率统计：考点题型归纳：通常考察排列、组合运用分布列排列、期望运算等知识点。

通常题型：Q1：求某条件的概率;Q2：利用Q1所求的概率，求分布列以及期望。

答题方法：如互斥时刻和对立事件的巧妙运用等数列：考点题型归纳：通常考察通项公式和求和公式的运用。

通常题型：Q1：求某一项，求通项公式，求数列和通式;Q2：证明，求新数列第N项和，绝对值比较等。

答题方法：如通项公式三大解法：和作差，积作商，找规律叠加化简等;求和公式三大解法：直截了当公式，错位相减，分组求和等。

立体几何：通常题型：Q1：证明线面，线线，面面垂直等;Q2：求距离，求二面角等。

答题方法：如直截了当逻辑法：面面，线面，线面垂直平行等性质的运用;空间向量法：线面垂直，平行时用向量如何表达，公式;等面积、体积法：找到最方便运算的图形。

解析几何：考点题型归纳：椭圆，双曲线，抛物线方程的长短轴性质，离心率等，直线与圆锥曲线联立，求解某点，证明某直线与圆锥曲线的关系等。

通常题型：Q1：求圆锥曲线方程式;Q2：证明某点在某线某面上，求位置关系，求直线方程等。

求线面角的方法总结

求线面角的方法总结一、概述线面角是指一条直线与一个平面的夹角，常见于几何学、物理学等领域。

在实际应用中，求解线面角是非常重要的，因为它可以帮助我们计算出很多物理量，如反射角、折射角等。

本文将详细介绍如何求解线面角的方法。

二、基本概念1. 直线：在平面上无限延伸的一条连续的点。

2. 平面：在空间中无限延伸的一个连续的点集。

3. 线面角：由直线与平面之间所夹成的角度称为线面角。

三、求解方法1. 通过余弦定理求解余弦定理是指三边已知时，可以通过余弦函数来计算出任意一个角度大小。

因此，在已知直线和平面之间距离以及直线与平面夹角大小时，可以通过余弦定理来求解线面角。

具体步骤如下：（1）确定直线和平面之间距离d以及直线与平面夹角θ；（2）根据余弦定理公式cosθ = a²+b²-c²/2ab来计算出θ。

2. 通过正弦定理求解正弦定理是指在已知一个角度和它对应的两条边的长度时，可以通过正弦函数来计算出另外两个角度的大小。

因此，在已知直线和平面之间距离以及直线与平面夹角大小时，可以通过正弦定理来求解线面角。

具体步骤如下：（1）确定直线和平面之间距离d以及直线与平面夹角θ；（2）根据正弦定理公式sinα/a = sinβ/b = sinθ/d来计算出θ。

3. 通过向量求解在三维空间中，我们可以用向量来表示一条直线或者一个平面。

因此，在已知直线和平面的向量表达式时，可以通过向量的点积公式来求解它们之间的夹角。

具体步骤如下：（1）确定直线和平面的向量表达式L和N；（2）根据向量的点积公式cosθ = L·N/|L||N|来计算出θ。

四、注意事项1. 在使用余弦定理或正弦定理求解时，需要注意单位一致性问题。

通常情况下，我们需要将所有长度单位转换为相同的单位进行计算。

2. 在使用向量求解时，需要注意向量之间的坐标系一致性问题。

如果两个向量不在同一个坐标系中，则需要将它们转换到同一个坐标系中进行计算。

空间中线线角线面角面面角成法原理和求法思路

DBAC α空间中的夹角屏南一中家有 QQ52331550空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的围是]2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。

简称为“作，证，求” 2、线面夹角直线与平面所成的角的围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：（若线面平行，线在面，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。

在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠））2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明：PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。

线线角-线面角的向量求法--

线线角-线面角的向量求法--
在几何中，线段与面的角度是指两个线段在空间上的夹角，一条线段穿过一个平面，产生了一个线面角。

它的计算是利用空间线段的垂直向量来求解的，它与传统的线线角的求法有所不同。

线面角的求法主要有以下三种：
（1）直接求解线段的垂直向量。

利用空间线段的垂直向量，可以比较容易地求出线面角，其具体步骤是：（1）确定两个空间线段，并计算出每条线段的斜率；（2）由斜率计算出线段的垂直向量；（3）通过两个垂直向量的夹角来求出线面角的余弦值，然后将余弦值转化为角度值，即，线面角的值。

（2）转换为线线角的求法。

首先，由空间线段可以构造出一个平面；然后，可以将两个空间线段在这个平面上展开，其中一条线段是斜45°展开，另一条线段则与它垂直，这样，就可以计算出展开后的两条线段间的夹角，这个夹角就是原来空间中的线面角。

（3）空间坐标描述求解法。

空间线段可以根据它的端点坐标来描述，给定每条线段的端点坐标，可以用端点坐标计算出空间线段的方向向量，由此可以计算出这两条线段的夹角，即空间中的线面角。

空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路教学资料

空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路DBA C α空间中的夹角福建屏南一中李家有 QQ52331550空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。

简称为“作，证，求” 2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。

在右图的解释为BAD CAD ∠>∠））2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明：PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。

空间中线线角、线面角、面面角成法原理与求法思路知识分享

D B A C α空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。

简称为“作，证，求”2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。

在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠））2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明：Q PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理）AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。

高中数学必备的判断空间线面位置关系公式大全及解题方法整理

高中数学必备的判断空间线面位置关系公式大全及解题方法整理Hello，我是洪老师！今天给大家带来的是是数学解题模板大全更新判断空间线面位置关系的解题方法，立体几何中判断空间线面位置关系是近几年一直活跃在高考的试题中，更是历年高考的热点问题，每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。

该资料，归纳在63套全高中解题方法大全里，编号是：063！如需完整的word版63套全高中解题方法大全，请关注后，点我头像，然后最底下有个【洪粉必备】的菜单，里面有详细介绍！先我们来梳理下数学有关空间点线面之间的位置关系相关公式，同学们在学习点线面之间的位置关系时可以作为更好的公式参考，方便记忆和掌握。

公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面推论三：两平行直线确定一个平面公理四：和同一条直线平行的直线平行异面直线定义：不平行也不相交的两条直线判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等线线平行→线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

线面平行→线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

线面平行→面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

面面平行→线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

线线垂直→线面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

线面垂直→线线平行如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

线面垂直→面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

线线角,线面角,面面角的公式

线线角,线面角,面面角的公式
线线角：
1、定义：线线角是由两条相交的直线上所标注的交汇夹角。

2、公式：计算线线角的公式是以弧度为单位的夹角的函数，公式为：
ϴ=arctan[(y2-y1)/(x2-x1)]。

3、特殊情况下：当两条直线平行时，线线角是否存在？此时两条直线不相交，因此没有线线角存在；当两条直线重合时，此时也可以设定一个夹角为0度的直角，这样线线角的值也是零。

线面角：
1、定义：线面角是指一条直线与一个平面相交时，定义的一个夹角。

2、公式：计算线面角的公式为θ=arccos[n∙l/|n||l|]，其中n是平面的法向量，l是直线上的位置向量。

3、特殊情况下：当线与平面垂直时，线面角的值为90度，即θ=π/2；当线与平面平行时，线面角的值为零，即θ=0。

面面角：
1、定义：面面角是两个平面在不同方向上接触的交点夹角。

2、公式：计算面面角的公式为θ=arccos[n1∙n2/|n1||n2|]，其中n1、n2是平面的法向量。

3、特殊情况下：当两平面垂直时，面面角的值为90度，即θ=π/2；当两平面平行时，面面角的值为零，即θ=0。

高中数学黄金解题模板专题空间中线线角线面角的求法(解析版)

【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一空间中线线角的求法方法一平移法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步首先将两异面直线平移到同一平面中；第二步然后运用余弦定理等知识进行求解；第三步得出结论.例1 在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（）C 1D 1B 1A 1N MD CB AA ．30°B ．60°C ．90°D ．45° 【答案】B.考点：异面直线所成角. 点评：异面直线所成角的【变式演练1】如图，四边形ABCD 是矩形，沿直线BD 将ABD ∆翻折成'A BD ∆，异面直线CD 与'A D 所成的角为α, 则（）A ．'A CA α<∠B ．'A CA α>∠ C.'A CD α<∠ D ．'A CD α>∠【答案】B 【解析】试题分析：将DC 平移到AB ,则由异面直线所成角的定义可知AB A /∠就是异面直线所成角,则CA A AB A //∠>∠,即'A CA α>∠,故应选B. 考点：异面直线所成角的定义及运用.【变式演练2】在正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1BC 与1CD 所成角的余弦值为 A ．21-B ．22C ．23D ．21【答案】D考点：异面直线所成角【变式演练3】设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，90BCA ∠=︒，2BC CA ==，若该棱柱的所有顶点都在体积为323π的球面上，则直线1B C 与直线1AC 所成角的余弦值为（） A ．23- B ．23C ．5D ．53【答案】B 【解析】考点：三棱柱外接球、异面直线所成角．【方法点睛】构造长方体或正方体确定球心：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.方法二空间向量法使用情景：空间中线线角的求法解题模板：第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标；第三步再利用cos a ba bθ→→→→⋅=即可得出结论.例2、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，13AC BC AA ===，AC BC ⊥，点M 在线段AB 上.（1）若M 是AB 中点，证明：1//AC 平面1B CM ；（2）当2BM =11C A 与平面1B MC 所成角的正弦值【答案】（1）详见解析（2）63【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题利用三角形中位线性质得线线平行（2）求线面角，一般利用空间向量进行计算，先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出面的法向量，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余的关系求解.（II ）1,AC BC CC ABC ⊥⊥Q 平面,故如图建立空间直角坐标系1(033),(300),(030),(000)B A B C ，，，，，，，，,32BA =13BM BA u u u u r u u u r =1(1,1,0),(0,3,0)(1,1,0)(1,2,0)3BM BA CM CB BM u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r==-=+=+-=，令平面1B MC 的法向量为(,,)n x y z =r ，由10n CB n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u u r ，得020y z x y +=⎧⎨+=⎩ 设1z =所以(2,1,1)n r=-,11(3,0,0)C A CA ==u u u u r u u u r ，设直线11C A 与平面1B MC 所成角为q1111||66sin 3||||3411C A n C A n u u u u r r u u u u u r r q ×===++故当2BM =时，直线11C A 与平面1B MC 所成角的正弦值为63. 考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.例3、如图，正方形AMDE 的边长为2，B C 、分别为线段AM MD 、的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD PC 、分别交于点G H 、．（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小．【答案】（1）详见解析（2）6π【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几条件，如本题利用正方形性质得//AB DE ，从而有//AB 平面PDE ．而线线平行的证明，一般利用线面平行性质定理，即从两平面交线出发给予证明（2）利用空间向量解决线面角，一般先建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求大小.则00n AB n AF ⎧=⎨=⎩u u u v g u u u v g ，即00x y z =⎧⎨+=⎩，令1z =，则1y =-，所以()0,1,1n =-．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则1sin cos ,2n BC n BC n BCα===u u u vu u u v g u u u v ，因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为6π．考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【变式演练4】已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为______． 3考点：异面直线及其所成的角【变式演练5】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB =,16AA =.若E ，F 分别是棱1BB ，1CC 上的点，且1BE B E =，1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（）A ．3 B 2 C 3 D 2 【答案】D 【解析】考点：线面角.类型二空间中线面角的求法方法一垂线法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角；第三步得出结论.例3如图，四边形ABCD 是矩形，1,2AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .GFEDCBA（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅱ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；15【解析】试题分析：（Ⅰ）要证AF 与平面BEG 垂直，只要证AF 与平面内两条相交直线垂直，由已知GF 垂直于底面ABCD ，有GF 垂直AF ，另外可以在矩形BACD 中证明BE 垂直于AC （可用相似三角形证明角相等）；（Ⅱ）求直线EG 与平面所成角的正弦，可用体积法求出E 到平面ABG 的距离d ，则d EG 就是所求正弦值，而求棱锥E ABG -的体积可通过13G ABE ABE V S GF -∆=⋅来求得．证法2：（坐标法）证明1-=⋅BE AC K K ，得BE AC ⊥，往下同证法1．证法3：（向量法）以AB AD ,为基底， ∵AB AD BE AB AD AC -=+=1,，0=⋅ ∴)1()(AD -⋅+=⋅2221AB AD -=01221=-⨯= ∴BE AC ⊥，往下同证法1．考点：线面垂直的判定，直线与平面所成的角．【点评】解决直线与平面所成的角的关键是找到直线上的点到平面的射影点，构造出线面角. 【变式演练6】已知三棱柱111ABC A B C 的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC V 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（）A ．13B 2C 3D ．23【答案】B考点:直线与平面所成的角．【变式演练7】在四面体ABCD 中，AB AD ⊥，1AB AD BC CD ====，且ABD BCD ⊥平面平面，M 为AB 中点，则CM 与平面ABD 所成角的正弦值为（）A ．22B ．33C ．32D ．63【答案】D考点：1．平面与平面垂直；2．直线与平面所成的角．方法二空间向量法使用情景：空间中线面角的求法解题模板：第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步再利用a b sin a b θ→→→→⋅=即可得出结论. 例4 正四棱柱1111CD C D AB -A B 中，12AA =AB ，则CD 与平面1DC B 所成角的正弦值等于（）A ．23B ．33C ．23D ．13【答案】A考点：直线与平面所成的角.点评：空间向量法解直线与平面所成的角的关键是正确的写出各点的空间直角坐标和平面的法向量的坐标形式.【变式演练8】已知四棱锥P ABCD -中，底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，1PA BC ==，2AB =，M 为PC 上一点，且BP ⊥平面ADM .（1）求PM 的长度；（2）求MD 与平面ABP 所成角的余弦值.【答案】（1）56（2）35cos =θ 【解析】试题分析：（1）利用空间向量求线段长度，首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量的模求线段长度（2）求线面角，也可利用空间向量，即首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出面的法向量，根据向量数量积求直线与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求线面角的正弦值，再根据诱导公式求余弦值。

高中数学立体几何线面角公式

高中数学立体几何线面角公式【原创版】目录1.高中数学立体几何的概述2.线面角的概念和求解方法3.线面角公式及其应用4.立体几何问题的解题技巧和常用公式5.总结正文【高中数学立体几何的概述】高中数学立体几何是欧氏空间几何的一个分支，它是我们在平面几何基础上向三维空间延伸的学习内容。

立体几何主要包括空间向量在立体几何中的应用、立体测绘、线面角、面面角、异面直线所成角等知识点。

这些知识点与我们生活中的空间关系密切相关，因此学习立体几何有助于培养我们的空间想象能力和思维能力。

【线面角的概念和求解方法】线面角是指一条直线与一个平面之间的夹角。

求解线面角的方法通常有两种：一种是通过作图法，过线上的一点做面的垂线，交点记作 A，线与面的另一个交点为 B，线上的那点（就是刚过线上一点的那个点）记作C，CAB 就是线面角；另一种是通过向量法，利用线向量与面法向量的点积求解线面角的余弦值，从而得到线面角的大小。

【线面角公式及其应用】线面角的余弦值公式为：cos<a,b> = (A·B) / (|A|·|B|)，其中 A、B 为向量，|A|、|B|为向量的模。

线面角的正弦值公式为：sin<a,b> = |A·B| / (|A|·|B|)。

在求解立体几何问题时，我们可以利用这些公式计算线面角的余弦值和正弦值，从而更好地理解和解决相关问题。

【立体几何问题的解题技巧和常用公式】在解决立体几何问题时，我们需要注意以下几点：1.建立正确的空间几何图形，以便于理解和解决问题；2.利用空间向量进行坐标运算，如加法、减法、数乘等；3.利用线面角、面面角、异面直线所成角等概念，以及相关公式求解问题；4.注意问题的对称性和特殊情况，以便于简化问题和快速求解。

【总结】高中数学立体几何是学习空间几何知识的重要组成部分，掌握线面角、面面角等概念及其公式，可以帮助我们更好地理解和解决立体几何问题。

高中数学立体几何线面角公式

高中数学立体几何线面角公式
一、高中立体几何线面角的概念
在高中立体几何中，线面角是指一条直线与一个平面所成的最小角。

这个概念帮助我们更好地理解空间中线与面的关系，以及如何计算它们之间的角度。

二、线面角公式及其推导
1.线面角公式
线面角公式如下：
α= β + γ
其中，α表示线面角，β 表示直线与平面内的直线所成的角度，γ 表示平面内的直线与平面所成的角度。

2.推导
根据空间几何中的知识，我们知道：
β+ γ = 180°
因此，
α= 180° - γ
这样，我们就得到了线面角的计算公式。

三、线面角公式的应用
线面角公式在解决立体几何问题时非常有用，例如：
1.判断直线与平面是否垂直：若线面角为90°，则直线与平面垂直。

2.计算线面角的大小：根据线面角公式，求得线面角α的值。

3.求解空间几何中的角度和：利用线面角公式，可以计算出空间中多个角度之和。

四、总结与练习
线面角公式是高中立体几何中的重要知识点，理解和掌握这个公式，能够帮助我们更好地解决实际问题。

通过下面的练习，巩固所学知识：
1.已知直线l与平面α所成角为30°，直线l与平面β所成角为45°，求直线l与平面α、β的夹角。

2.一平面与直线l垂直，直线l与另一平面β成60°，求平面α与β之间的夹角。

线面角二面角线线角的公式

线面角二面角线线角的公式线面角、二面角和线线角是在几何学中常见的概念，它们有各自的计算公式。

下面将分别介绍这三个角的定义和计算方法。

1.线面角：线面角是由一条线与一个平面相交所形成的角。

设平面上有一条直线L，平面上有一点A和直线上的一点B，在平面上从点A引一条垂线，与直线L相交，就形成了一个线面角。

线面角的度量是直线L的角度与平面的夹角。

线面角的计算公式如下：线面角=直线L与平面的夹角2.二面角：二面角是由两个平面相交所形成的角。

设有一个平面P1和一个不与P1平行的平面P2，两个平面相交于一条直线L。

通过P1和P2的交线L 可以确定两个交点A和B。

二面角的计算公式如下：二面角=（直线L在P1中所成的角）+（直线L在P2中所成的角）值得注意的是，二面角没有固定的度量单位，它的度量取决于直线L 在两个平面上的角度度量单位。

3.线线角：线线角是由两条直线相交所形成的角。

设有两条直线L1和L2，它们相交于一点O。

通过O可以确定L1上的一点A和L2上的一点B。

线线角的计算公式如下：线线角=∠AOB其中，∠AOB表示点A、O和B所形成的角。

总结：线面角、二面角和线线角是几何学中常见的角度概念。

线面角由一条直线与一个平面相交所形成，计算公式为线面角=直线L与平面的夹角。

二面角由两个平面相交所形成，计算公式为二面角=（直线L在P1中所成的角）+（直线L在P2中所成的角）。

线线角由两条直线相交所形成，计算公式为线线角=∠AOB。

这些角度概念在几何学的应用中起着重要的作用。

空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路

D B A C 空间中得夹角福建屏南一中李家有 QQ5２33１55０空间中各种角包括:异面直线所成得角、直线与平面所成得角以及二面角。

1、异面直线所成得角(1)异面直线所成得角得范围就是。

求两条异面直线所成得角得大小一般方法就是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下:①利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊得位置,顶点选择在特殊得位置上;②证明作出得角即为所求得角;③利用解三角形来求角。

简称为“作,证,求” ２、线面夹角直线与平面所成得角得范围就是。

求直线与平面所成得角用得就是射影转化法。

具体步骤如下:(若线面平行,线在面内,线面垂直,则不用此法,因为角度不用问您也知道)①找过斜线上一点与平面垂直得直线;②连结垂足与斜足,得出斜线在平面得射影,确定出所求得角; ③把该角置于三角形中计算、也就是简称为“作,证,求”注:斜线与平面所成得角,就是它与平面内任何一条直线所成得一切角中得最小角,即若θ为线面角,为斜线与平面内任何一条直线所成得角,则有;(这个证明,需要用到正弦函数得单调性,请跳过。

在右图得解释为 ) )２、1确定点得射影位置有以下几种方法:①斜线上任意一点在平面上得射影必在斜线在平面得射影上;②如果一个角所在得平面外一点到角得两边距离相等,那么这一点在平面上得射影在这个角得平分线上;已知:如图,在一个平面内,(就就是点Ｐ到角两边得距离相等)过Ｐ作(说明点O 为P 点在面内得射影)求证:(,所以AO 为得角平分线,所以点O 会在得角平分线上)证明:P Ａ＝PA,ＰＮ＝ＰＭ, (斜边直角边定理) ①所以,点P 在面得射影为得角平分线上。

③如果一条直线与一个角得两边得夹角相等,那么这一条直线在平面上得射影在这个角得平分线上;已知:如图,在一个平面内(斜线AP 与得两边所成角相等)求证:(说明点O 在角ＭＡC 得角平分线上。

)证明:在A Ｂ上取点M,在AC 上取点N,使(这步就是关键,为我们自已所作得辅助线点,线),所以,点P在面得射影为得角平分线上。

空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路

DBA C α空间中的夹角福建屏南一中李家有 QQ52331550空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。

简称为“作，证，求” 2、线面夹角直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道）①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求”注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。

在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠））2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；已知：如图，BAC ∠在一个平面α内，,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影）求证：OAN OAM ∠∠＝（OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上）证明：PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠︒＝＝PNA PMA ∴∆≅∆（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。

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