初三数学解直角三角形的应用题

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2023年九年级中考数学一轮复习：解直角三角形及其应用(含解析)

2023年中考数学一轮复习：解直角三角形及其应用一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线kyx=（k≠0）上，则k的值为（）A．4B．﹣2C D．2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分△BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，△ADC=60°，122AB BC==，则下列结论：①△CAD=30°；②14OE AD=；③S平行四边形ABCD=AB·AC；④27BD=⑤S△BEP=S△APO；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5 3．如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒。

若△BAC=α，则此车的速度为()A．5tanα米/秒B．80tanα米/秒C．5tanα米/秒D．80tanα米/秒二、填空题4．如图，在 ABC 中，AD 是BC 上的高， cos tanB DAC =∠ ，若 1213sinC =， 12BC = ，则AD 的长．5．某人沿着坡角为α的斜坡前进80m ，则他上升的最大高度是 m ． 6．如图，建筑物BC 上有一旗杆AB ，点D 到BC 的距离为20m ，在点D 处观察旗杆顶部A 的仰角为52°，观察底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度为 m ．（精确到0.1m ，参考数据：520.79sin ︒≈，52 1.28tan ︒≈ 1.41≈ 1.73≈．）三、综合题7．在Rt△ACB 中，△C=90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AB 、AC 分别交于点D 、E ，且△CBE=△A.（1）求证：BE 是△O 的切线；（2）连接DE ，求证：△AEB△△EDB ；（3）若点F 为 AE 的中点，连接OF 交AD 于点G ，若AO=5，3sin 5CBE ∠= ，求OG 的长.8．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板 ABC 与(30)DEF B E ∠=∠=︒ ，若将三角板 ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C 与点E 重合时移动终止），移动过程中始终保持点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，如图（2）， AB 与 DF 、 DE 分别交于点P 、M ， AC 与 DE 交于点Q ，其中 AC DF ==，设三角板 ABC 移动时间为x 秒.（1）在移动过程中，试用含x 的代数式表示AMQ 的面积；（2）计算x 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？9．已知AB 是△O 的切线，切点为B 点，AO 交△O 于点C ，点D 在AB 上且DB=DC ．（1）求证：DC 为△O 的切线；（2）当AD=2BD ，CD=2时，求AO 的长．10．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶 A 的仰角为 35︒ ，此时地面上C 点、屋檐上 E 点、屋顶上A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走 8m 到达点D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为 60︒ ，房屋的顶层横梁 12EF m = ，//EF CB ， AB 交 EF 于点G （点C ，D ， B 在同一水平线上）.（参考数据：sin350.6︒≈ ， cos350.8︒≈ ， tan350.7︒≈ ，1.7≈ ）（1）求屋顶到横梁的距离 AG ；（2）求房屋的高 AB （结果精确到 1m ）.11．如图，直线 (0)y mx n m =+≠ 与双曲线 (0)ky k x=≠ 交于 A B 、两点，直线AB 与坐标轴分别交于 C D 、两点，连接 OA ，若 OA = ，1tan 3AOC ∠= ，点 (3,)B b - .（1）分别求出直线 AB 与双曲线的解析式；（2）连接 OB ，求 AOBS.12．如图，某港口O 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A 、B 处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由.（2）若“远航”号沿北偏东60︒方向航行，经过两个小时后位于F 处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE 海岸线上，若他从F 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里.他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由.13．如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60︒ ，沿山坡向上走到p 处再测得点C 的仰角为 45︒ ，已知 100OA = 米，山坡坡度 1:2i = ，且O A B 、、在同一条直线上，其中测倾器高度忽略不计.（1）求电视塔OC 的高度；(计算结果保留根号形式)（2）求此人所在位置点 P 的铅直高度.(结果精确到0.1米，参考数据：1.41= ， 1.73= )14．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，达到了发射技术的新高度．如图，运载火箭海面发射站点M 与岸边雷达站N 处在同一水平高度。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--解直角三角形的应用

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--解直角三角形的应用一、综合题1．如图，在△ABC中，AB=AC=10，tanB=34，D是BC边上的一个动点（不与点B、C重合），以点D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）当FC=FD时，直接写出BD的长．2．如图，已知：在Rt△ABC中，斜边AB=10，sinA= 45，点P为边AB上一动点（不与A，B重合），PQ平分△CPB交边BC于点Q，QM△AB于M，QN△CP于N．（1）当AP=CP时，求QP；（2）若四边形PMQN为菱形，求CQ；（3）探究：AP为何值时，四边形PMQN与△BPQ的面积相等？3．如图①，△ABC中，△ABC＝45°，AH△BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD.（1）求证：BD=AC；（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE.△）如图②，当点F落在AC上时（F不与C重合），若BC＝4，tanC=3,求AE的长；△）如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由。

4．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，连接BD、CE，直线BD、CE相交于点F.（1）求证BD=CE.（2）求∠BFC的度数.（3）若AB=AC=2，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长.5．如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE．（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；（2）连接DF，若BC＝√3，求DF的长．6．已知：如图，△ABC为等边三角形，AB＝4√3，AH△BC，垂足为点H，点D在线段HC上，且HD＝2，点P为射线AH上任意一点，以点P为圆心，线段PD的长为半径作△P，设AP＝x．（1）当x＝3时，求△P的半径长；（2）如图1，如果△P与线段AB相交于E、F两点，且EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△PHD与△ABH相似，求x的值（直接写出答案即可）．7．如图（1）问题提出：如图1，在四边形ABCD中，AB= BC，AD= CD=3，△BAD=△BCD = 90°，△ADC= 60°，则四边形ABCD的面积为.（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，△BAD=△BCD= 90°，△ABC=135°，AB= 2√2，BC=3，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，并求出△BEF的最小周长；8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，1），点B（0，5），过点A作直线l△AB，过点B作BD△l，交x轴于点D，再以点B为圆心，BD长为半径作弧，交直线l于点C（点C位于第四象限），连结BC，CD.（1）求线段AB的长.（2）点M是线段BC上一点，且BM＝CA，求DM的长.（3）点M是线段BC上的动点.①若点N是线段AC上的动点，且BM＝CN，求DM+DN的最小值.②若点N是射线AC上的动点，且BM＝CN，求DM+DN的最小值（直接写出答案）.9．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在的水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2.使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm，O′C⊥OA于点C，O′C=12cm.（1）求∠CAO′的度数；（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？10．小强洗漱时的侧面示意图如图所示，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小强身高166cm，下半身FG=100cm，洗漱时身体前倾，下半身与地面的夹角∠FGK=80°，上半身与下半身所成夹角∠EFG=125°，脚与洗漱台距离GC=15cm，点D，C，G，K在同一直线上．（1）求此时小强腰部点F到墙AD的距离．（2）此时小强头部点E是否恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？若是，请说明理由；若不是，则他应向前还是向后移动多少厘米，使头部点E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？（计算过程及结果的长度均精确到1cm．参考数据；sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，√2≈1.41）11．如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB = CD，AD = 5，BC = 15，cos∠ABC=513．E为射线CD上任意一点，过点A作AF // BE，与射线CD相交于点F．联结BF，与直线AD相交于点G．设CE = x，AGDG=y．（1）求AB的长；（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果S四边形ABEFS四边形ABCD=23，求线段CE的长．12．如图．Rt△ABC中，△C=90º，AC=BC=4．P是BC上一点（不与B，C重合），连接AP．将AP 绕点A逆时针旋转90º得到AQ．连接BQ．分别交AC，AP于点D，E．作QF△AC于点F．（1）求证：QF=AC；（2）若P是BC的中点，求tan△ADQ的值；（3）若△AEQ的内心在QF上，直接写出BP的长13．如图，△ABC内接于△O，AB＝BC，A为CD中点，CD与AB相交于点E，过B作BF∥AC，交CD延长线于F．（1）求证：ΔACE∽ΔABC；（2）求证：BF=FE；（3）延长FB交AO延长线于M．若tanF=34，CD=8√3，求BM的长．14．如图，一艘轮船位于灯塔B的正西方向上的A处，且灯塔B到A处的距离为40海里，轮船沿东北方向匀速航行，速度为20海里/时.（1）多长时间后，轮船行驶到达位于灯塔B的西北方向上的C处?(结果保留根号)（2）若轮船不改变方向行驶，当轮船行驶到达位于灯塔B的北偏东15°方向上的D处时，求灯塔B到D处的距离.(结果保留根号)15．如图，已知抛物线y= 12x2+mx+n与x轴相交于点A、B两点，过点B的直线y=−x+b交抛物线于另一点C（－5，6），点D是线段BC上的一个动点（点D与点B、C不重合），作DE△AC，交该抛物线于点E．（1）求m，n，b的值；（2）求tan△ACB；（3）探究在点D运动过程中，是否存在△DEA=45°，若存在，则求此时线段AE的长；若不存在，请说明理由．16．如图，AB是△O的直径，PB与△O相切于点B，连接PA交△O于点C，连接BC．（1）求证：△BAC=△CBP；（2）求证：PB2=PC•PA；（3）当AC=6，CP=3时，求sin△PAB的值．答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE（2）解：如图中，过点A作AM⊥BC于M，∵在Rt△ABM中，tanB=AMBM=34，∴AM=34BM，∴AB=√AM2+BM2=54BM，∵AB=10，∴BM=8，∵AB=AC，AM△BC，∴BC=2BM=16，∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠ADE=∠B，∠B=∠ACB，∴∠BAD=∠ACB，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴ABCB=BDAB即1016=BD10，∴BD=25 4，∵DE∥AB，∴BDCB=AEAC，∴25416=AE 10， ∴AE =12532（3）解：过点F 作FH△BC 于点H ，过点A 作AM△BC 于点M ，AN△FH 于点N ，则△NHA ＝△AMH ＝△ANH ＝90°， ∴四边形AMHN 为矩形． ∴△MAN ＝90°，MH ＝AN ，由（2）得BM ＝CM ＝12BC ＝8，AM =34BM =6，∵AN△FH ，AM△BC ， ∴△ANF ＝90°＝△AMD ． ∵△DAF ＝90°＝△MAN ，∴△MAD+△NAD=△NAF+△NAD ，即△NAF ＝△MAD ， ∴△AFN△△ADM ， ∴AN AM =AF AD，∵tan∠ADF =tanB =AF AD =34，∴AN AM =AF AD =34， ∴AN ＝34AM ＝92，∴CH ＝CM －MH ＝CM －AN ＝72．又∵FH△DC ，FD=FC ， ∴CD ＝2CH ＝7，∴BD ＝BC －CD ＝16－7＝9．2．【答案】（1）解：∵AB=10，sinA= 45， ∴BC=8，则AC= √AB 2−BC 2 =6，∵PA=PC．∴△PAC=△PCA，∵PQ平分△CPB，∴△BPC=2△BPQ=2△A，∴△BPQ=△A，∴PQ△AC，∴PQ△BC，又PQ平分△CPB，∴△PCQ=△PBQ，∴PB=PC，∴P是AB的中点，∴PQ= 12AC=3（2）解：∵四边形PMQN为菱形，∴MQ△PC，∴△APC=90°，∴12×AB×CP=12×AC×BC，则PC=4.8，由勾股定理得，PB=6.4，∵MQ△PC，∴PBPC=BMMQ=BMMP=BQQC，即6.44.8=8−CQCQ，解得，CQ= 24 7（3）解：∵PQ平分△CPB，QM△AB，QN△CP，∴QM=QN，PM=PN，∴S△PMQ=S△PNQ，∵四边形PMQN与△BPQ的面积相等，∴PB=2PM，∴QM是线段PB的垂直平分线，∴△B=△BPQ，∴△B=△CPQ，∴△CPQ△△CBP，∴CP BC = CQ CP = PQ BP ， ∴CP BC = BQ 2BM， ∴CP=4× BQ BM =4× 54 =5，∴CQ= 258， ∴BQ=8﹣ 258= 398 ，∴BM= 45 × 398 = 3910，∴AP=AB ﹣PB=AB ﹣2BM=1153．【答案】（1）证明：在Rt△AHB 中，△ABC=45°，∴AH=BH ，在△BHD 和△AHC 中，AH=BH ，△BHD=△AHC=90°，DH=CH ， ∴△BHD△△AHC ， ∴BD=AC（2）解：△）如图，在Rt△AHC 中，∵tanC=3，∴AH CH =3，设CH=x ，∴BH=AH=3x ， ∵BC=4，∴3x+x=4，∴x=1， ∴AH=3，CH=1，由旋转知，△EHF=△BHD=△AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH ， ∴△EHA=△FHC ， EH AH =FH HC =1 ，∴△EHA△△FHC ， ∴△EAH=△C ， ∴tan△EAH=tanC=3，过点H 作HP△AE ， ∴HP=3AP ，AE=2AP ，在Rt△AHP 中，AP 2+HP 2=AH 2，∴AP2+（3AP）2=9，∴AP= 3√1010，∴AE= 3√105△）由①有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，∴△GAH=△HCG=90°，∴△AGQ△△CHQ，∴AQCQ=GQHQ，∴AQCQ=CQHQ，∵△AQC=△GQE，∴△AQC△△GQH，∴EFHG=ACGH=AQGQ=sin30°=124．【答案】（1）证明：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∴∠CAE=∠BAD，AC=AE，AB=AD，∠BAC=∠DAE=45°，∵AB=AC，∴AC=AE=AB=AD，∴△AEC≌△ADB（SAS）∴BD=CE（2）解：过点A作AM⊥BD于M，AN⊥CE于N，当∠CAE=∠BAD<45°时，如图，∵AC=AE=AB=AD，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∵∠AMB=∠ANF=90°，在四边形ANFN中，∠BFC+∠MAN=180°，∠MAN=∠3+∠BAE+∠1=∠1+∠2+∠BAE=∠BAC=45°∴∠BFC=180°−45°=135°；当∠CAE=∠BAD>45°时，如图，∵∠BAC=∠DAE=45°∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠DAB=∠CAE，∵AC=AE=AB=AD，∴∠1=∠EAN=12∠CAE，∠2=∠BAM=12∠DAB，∴∠1=∠EAN=∠2=∠BAM∴∠MAN=∠BAN+∠BAM=∠1+∠BAN=∠BAC=45°∵∠AMF=∠ANF=90°，∴∠MFN=180°−∠MAN=135°，∴∠BFC=180°−∠MFN=45°，故∠BFC=45°或135°（3）解：如图，AB与EC交于G，∵四边形 ADFC 是菱形， ∴AC △ BD ，∴∠FBA =∠BAC =45° ， ∵∠BFC =45° ，∴∠FGB =∠AGC =90° ，在Rt△AGC 中，AC=2，∴AG =AC ⋅cos45°=2×√22=√2 ，∴GB =AB −AG =2−√2 ，∴BF =BG sin45°=√2√22=2√2−25．【答案】（1）解：四边形CEDG 是菱形，证明：∵四边形ABCD 为矩形，G 是对角线BD 的中点，∴GB=GC=GD ， ∵CF=GC ，∴GB=GC=GD=CF ，∵四边形DCFE 是菱形，∴CD=CF=DE ，DE△CG ， ∴DE=GC ，∴四边形CEDG 是平行四边形， ∵GD=GC ，∴四边形CEDG 是菱形（2）解：方法一：设DF 交CE 于点N ，如图所示：∵CD=CF，GB=GD=GC=CF，∴△CDG是等边三角形，∴△GCD=△GDC =△CGD =60°，∴△DCF=180°﹣△GCD=180°﹣60°=120°，∵四边形ABCD为矩形，∴△BCD=90°.在Rt△BCD中，tan60°== BCCD，∴CD=√3tan60∘＝√3√3=1，∵四边形DCFE是菱形，∴DN=FN，CN△DF，△DCE=△FCE= 12△DCF=12×120°=60°，在Rt△CND中，DN=CD•sin△DCE=1×sin60°=1× √32= √32，∴DF=2DN=2× √32= √3．方法二：证明△FDG△△BCD，得DF=BC= √3.6．【答案】（1）解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=4√3，△B＝60°．又∵AB=4√3，AH△BC，∴AH=AB⋅sin∠B=4√3×√32=6．即得PH＝AH﹣AP＝6﹣x＝3．在Rt△PHD中，HD＝2，利用勾股定理，得PD=√PH2+DH2=√32+22=√13．∴当x＝3时，△P的半径长为√13．（2）解：过点P作PM△EF，垂足为点M，连接PE．在Rt△PHD中，HD＝2，PH＝6﹣x．利用勾股定理，得PD=√PH2+DH2=√(6−x)2+4．∵△ABC为等边三角形，AH△BC，∴△BAH＝30°．即得PM=12AP=12x．在△P中，PE＝PD．∵PM△EF，P为圆心，∴EM=12EF=12y．于是，在Rt△PEM中，由勾股定理得PM2+EM2＝PE2．即得14x2+14y2=(6−x)2+4．∴所求函数的解析式为y=√3x2−48x+160，定义域为103⩽x<24−4√63．（3）x=6−2√3，x=6−2√33，x=6+2√33，x=6+2√3．7．【答案】（1）3√3（2）解：作点B关于AD的对称点G，作点B关于CD的对称点M，连接MG交AD于点E，交CD于点F，连接BE，BF，过点G作GN△BC于点N交CB的延长线于点N，∴BF=MF，BE=EG，BG=2BA=4√2，BM=2BC=6∴△BEF的周长为BE+EF+BF=EG+EF+MF=MG。

九年级数学下册专题28.4 解直角三角形的应用中考真题专项训练(50道)(举一反三)(人教版)

专题28.4 解直角三角形的应用中考真题专项训练（50道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了解直角三角形的应用中考真题的综合问题的所有类型！一．解答题（共50题）1．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD=15m，斜坡的倾斜角为α，cosα= 4．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，5C，D在同一平面内）．(1)求C，D两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：3≈1.7）使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：2≈1.41,3≈1.73）俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7）【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度为308米【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，分别在Rt三角形ACD中表示出CD和在Rt三角形BCD中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解．根据题意得：∠ACD=30°，∠设AD=x，则BD=BA+AD=1000+在Rt三角形ACD中，CD=在Rt三角形BCD中，BD=CD ∴1000+x=3x⋅tan68°，解得：x=10003⋅tan68°―1=1.7×AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m 到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：3≈1.7）由题意得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m设AG＝x m，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，=x（m），∴FG=AGtan45°念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士的而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A 处测得烈士塔顶部点B 的仰角为45°，烈士塔底部点C 的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD 为10m ，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）善．某市政府为了实现5G 网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G 基站3000个，如图，在斜坡CB 上有一建成的5G 基站塔AB ，小明在坡脚C 处测得塔顶A 的仰角为45°，然后他沿坡面CB 行走了50米到达D 处，D 处离地平面的距离为30米且在D 处测得塔顶A 的仰角53°．（点A 、B 、C 、D 、E 均在同一平面内，CE 为地平线）（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan 53°≈43）(1)求坡面CB的坡度；(2)求基站塔AB的高．根据他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为∴CD=50（米），DM=30（米），根据勾股定理得：CM=CD2―DM2=40（米）∴坡面CB的坡度为；DMCM =3040=34,即坡面CB的坡度比为3:4；船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF=8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75）坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0,75,3≈1.73）地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC=31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G 处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC=42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，AC⊥CD，CD=BE，BC=DE．结果精确到0.1m）（参考数据：sin 31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【答案】6.9m【分析】根据题意可得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，然后设CF＝x，则CD＝（x+3），先在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．(1)求A、C两点之间的距离；(2)求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈2.24）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．∴OD=AG=4.5m．答：OD的长为4.5m．【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解12．（2022·山东日照·中考真题）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC 长为260m．(1)求该滑雪场的高度h；(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．：根据题知坐索道车到达山项，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为30°，测得白塔顶部C的仰角的为37°．索道车从A 处运行到B处所用时间的为5分钟．(1)索道车从A处运行到B处的距离约为________米；(2)请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60, cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,3≈1.73）的长．(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC 方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度由题意得BD=a，CD∠B=∠D=∠CEB=90°∴四边形CDBE为矩形，则BE=CD=b，BD=在Rt∆ACE中，tan得AE=CE=CE×tanα15．（2022·湖南郴州·中考真题）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD=20m，背水坡BC 的坡度为i1=1:1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2=1:3，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73．结果精确到0.1m）离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：测量项目测量数据从A处测得路灯顶部P的仰角αα=58°从D处测得路灯顶部P的仰角ββ=31°测角仪到地面的距离AB=DC=1.6m两次测量时测角仪之间的水平距离BC=2m计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米?（结果精确到0.1米．参考数据；cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60）【答案】3.5米【分析】延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，先得到四边形ABCD、CDFE是矩形，然后由解直角三角形求出AF的长度，再求出PF的长度，即可求出答案．【详解】解：如图：延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，∵AB=DC=1.6，AB//DC∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，同理：四边形CDFE是矩形；∴AD=BC=2，EF=CD=1.6，在直角△PDF中，有PF=DF·tanβ=(AD+AF)·tanβ，在直角△PAF中，有PF=AF·tanα，∴(AD+AF)·tanβ=AF·tanα，即(2+AF)×tan31°=AF×tan58°，∴(2+AF)×0.6=AF×1.6，解得：AF=1.2；∴PF=1.2×1.6≈1.9；∴PE=PF+EF=1.9+1.6=3.5（米）；∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，正确的求出PF的长度．17．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，小欢从公共汽车站A出发，沿北偏东30°方向走2000米到达东湖公园B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车东南方向的图书馆C处．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）(1)求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离；(2)若小欢以100米/分的速度从图书馆C沿CA回到公共汽车站A，那么她在15分钟内能否到达公共汽车站？【答案】(1)小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是1000米(2)小欢15分钟内能到达公共汽车站【分析】（1）过点A作AD⊥C于点D，根据B位于A的北偏东30°方向和AB＝2000米可得AD的长度；（2）根据45°角的余弦和AD的长可得AC的长度，再结合小欢的速度可得答案．，∵DC ⊥AM 于点E ，在A 处测得大树底端C 的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B 处，测得大树顶端D 的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM =30°（图中各点均在同一平面内）．(1)求斜坡BC 的长；(2)求这棵大树CD 的高度（结果取整数）．（参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43，3≈1.73）【答案】(1)斜坡BC 的长为30米(2)这棵大树CD 的高度约为20米【分析】（1）根据题意可得：∠CAE =15°，AB =30米，根据三角形的外角性质可求出∠ACB =15°，从而得出AB =BC =30米，即可得出答案．（2）在Rt △CBE 中，利用锐角三角函数的定义求出CE ，BE 的长，然后在Rt △DEB 中，利轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【答案】货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD=15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：过B作BD⊥AC于D，由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，则∠C=180°-30°-30°-70°=50°，在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)，∴BD= BC sin50°≈20×0.766=15.32(海里)，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)，∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)，答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．20．（2022·山东青岛·中考真题）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）【答案】观光船从C处航行到D处的距离为462.5米【分析】过点C作CF⊥DE于点F，根据题意利用正切函数可得AB=496，由矩形的判定和性质得出CF=BE=296，结合图形利用锐角三角函数解三角形即可．【详解】解：过点C作CF⊥DE于点F，由题意得，∠D=40°,∠ACB=68°，测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD=EF=7m，测速仪C和E之间的距离CE=750m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．(1)求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；(2)若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：3≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4）天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.75的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i=3:4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4,tan58°≈1.6）【详解】分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为∴∠BEA=∠BFN四边形BENF为矩形，∴BEx，ABE中，分构成如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC=60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE=3m，EF=8m（A，E，F在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：(1)求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；(2)求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73）．到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB= 8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】11.8m【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，进而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．∵C点在M点正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房顶AM与水平地面平行，AB为墙面，∴四边形AMCB为矩形，∴MC=AB=8m，AB∥CM，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：(1)两位市民甲、乙之间的距离CD；(2)此时飞机的高度AB，（结果保留根号）【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．27．（2022·山西·中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E 处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC 的长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,3≈1.73）．【答案】58m【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则∠AGO=∠EHO=90°，再根据图形应用三角函数即可求解．【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则∠AGO=∠EHO=90°．京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH=40°，∠EFG=25°，∠ECB=36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）【答案】70【分析】过点E作EN⊥BC，交GF于点M，则四边形HBNM是矩形，可得HB=MN，在Rt∵AF=50，∠AFH=40°，在Rt△AHF中，AH=AF⋅sin∠AFH≈50×0.64=32（米），∵HG∥BC，∴∠EGF=∠ECB∵∠EFG=25°，∠ECB=36°，FG=7米∵FM=EMtan∠EFG,MG=EMtan∠EGF∴EM+EM=7，村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中DHAH≈0.618）：伞柄AH始终平分∠BAC，AB=AC=20cm，当∠BAC=120°时，伞完全打开，此时∠BDC=90°．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：3≈1.732）测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A 处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB 的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．(1)填空：∠APD=___________度，∠ADC=___________度；(2)求楼CD的高度（结果保留根号）；(3)求此时无人机距离地面BC的高度．则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10(米)∵MN∥AE，∴∠PAF=∠MPA=60°．∵∠ADE=60°，∴∠PAF=∠ADE．∵∠DAE=30°，∴∠PAD=30°．∵∠APD=75°，∴∠ADP=75°．∴∠ADP=∠APD．∴AP=AD．∴△APF≌△DAE（AAS）．∴PF=AE=100．∴PG=PF+FG=100+10=110(米)∴无人机距离地面BC的高度为110米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．31．（2022·四川自贡·中考真题）在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1h20min，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距83km的C处．（1）求该轮船航行的速度．（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．古洞古部落”享誉巴渠，被誉为“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40∘，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60∘，CB＝5m,CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.2≈1.41,3≈1.73）【点睛】考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．33．（2022·广东广州·中考真题）如图，某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是30°、60°,此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达A′处.（1）求之间的距离（2）求从无人机A′上看目标的俯角的正切值.所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【详解】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．35．（2022·重庆·中考真题）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，其中AB∥CD．瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．(1)求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1:1.5，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1．5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60,sin31°≈0.52）m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)－，在=0.60，解得x=2.5，答：DM和BC的水平距离BM为2.5米．考点：解直角三角形．37．（2022·四川巴中·中考真题）2013年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为300和600，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73）BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，并已知tanθ1=1.082，tanθ2 =0.412．如果安装工人确定支架AB高为25cm，求支架CD的高（结果精确到1cm）？【答案】支架DC的高应为119cm．【分析】过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm，再根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，再根据DC=DE+EC进行解答即可．【详解】解：如图所示，过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm∵Rt△DAF中：∠DAF=θ1，DF=AFtanθ1，Rt△EAF中：∠EAF=θ2，EF=AFtanθ2，∴DE=DF-EF=AF（tanθ1-tanθ2）又∵AF=140cm，tanθ1=1.082，tanθ2=0.412，∴DE=140×（1.082-0.412）=93.8，∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8 cm≈119cm．答：支架DC的高应为119cm．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义进行解答是解答此题的关键．40．（2022·四川泸州·中考真题）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10 nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距82nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．根据题意可得，∠BAC=∠在Rt△ABC中，AC=BC=8∴AB=2BC=16(nmile)，在Rt△ADE中，AD=10 nmile=∴DE=AD•sin60°=10×32人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度（精确到个位）；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）【答案】(1)283米(2)经过点B到达点D较近【分析】（1）过E作BC的垂线，垂足为H，可得四边形ACHE是矩形，从而得到，ACHE是矩形，∴EH=AC=200米，根据题意得：∴DH=EH=200米，∴DE=2EH=30°，在Rt△ABC中，∴AB=2AC∴BC=AB2―BC2=2003（米），+100―200=2003―100（米）B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．(1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：3=1.732）；(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）由题意可得：。

中考数学关于解直角三角形的18道经典题

中考数学关于解直角三角形的18道经典题1、如图，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米）解：延长CD 交AB 于G ，则CG=12（千米）依题意：PC=300×10=3000（米）=3（千米）在Rt △PCD 中： PC=3，∠P=60° CD=PC ·tan ∠P =3×tan60°=33∴12-CD=12-33≈6.8（千米）答：这座山的高约为6.8千米.2、如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD=60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度, 将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈).答案：(10分)解：过Ｂ作BE ⊥AD 于E在Rt △ABE 中,∠BAE= 60, ∴∠ABE= 30 ∴AE ＝21ＡＢ31032021=⨯=∴BE ()()303103202222=-=-=AE AB∴在Rt △BEF 中, ∠Ｆ＝ 45, ∴EF ＝BE ＝30 ∴ＡＦ＝ＥＦ－ＡＥ＝３０－310∵732.13=， ∴AF ＝12.68≈133、施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米．参考数据cos20°≈0.94， sin20°≈0.34， sin18°≈0.31， cos18°≈0.95AB12千米P C D G60°（1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?解：(1) cos ∠D =cos ∠ABC =BC AB =25.44≈0.94， …………………………………3分 ∴∠D ≈20°． ………………………………………………………………………1分（2）EF =DE sin ∠D =85sin20°≈85×0.34=28.9(米) ， ……………………………3分共需台阶28.9×100÷17=170级． ………………………………………………1分4、在玉溪州大河旁边的路灯杆顶上有一个物体，它的抽象几何图形如图，若 60ABC 10,AC 4,AB =∠==, 求B 、C 两点间的距离.解：过A 点作AD ⊥BC 于点D ， …………1分在Rt △ABD 中，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=30°. …………2分 ∵AB=4,∴BD=2, ∴AD=23. …………4分在Rt △ADC 中，AC=10，∴CD=22AD AC -=12100-=222 . …………5分 ∴BC=2+222 . …………6分答：B 、C 两点间的距离为2+222. …………7分5、在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东NM 东北BCAlCBA17cm（第19题） A BCF60°，且与A相距83的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．答案解：（1）由题意，得∠BAC=90°，………………（1分）∴2240(83)167BC=+=．…………（2分）∴轮船航行的速度为41671273÷=时．……（3分）(2)能．……（4分）作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，则BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE=43，AE=AC·cos∠CAE=12．∵BD⊥l,CE⊥l,∴∠BDF=∠CEF=90°．又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF，……（6分）∴,DF BDEF CE=∴3220343EFEF+=，∴EF=8．……（7分）∴AF=AE+EF=20．∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．6、如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)答案（1）如图，作AD⊥BC于点D……………………………………1分Rt△ABD中，AD=AB sin45°=42222=⨯……2分在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°FEDlAC北东M NABE FQ P ∴AC =2AD =24≈6.5………………………3分即新传送带AC 的长度约为6.5米． ………………………………………4分（2）结论：货物MNQP 应挪走． ……………………………………5分解：在Rt △ABD 中，BD =AB cos45°=42222=⨯……………………6分在Rt △ACD 中，CD =AC cos30°=622324=⨯∴CB =CD —BD =)26(22262-=-≈2.1∵PC =PB —CB ≈4—2.1=1.9＜2 ………………………………7分 ∴货物MNQP 应挪走． …………………………………………………………8分7、如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ．（1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到0.1km ）．（参考数据：3≈1.73，sin74°≈，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）答案 (1)相等30,6030BEQ BFQ EBF EF BF ∠=∠=∴∠=∴=....................................2分又6060AF P BFA ∠∠=∴∠=在AEF 与△ABF 中,,EF BF AFE AFB AF AFAFE AFB AE AB=∠=∠=∴≅∴=...........................................................................5分（2）法一：作AH PQ ⊥，垂足为H 设 AE=x 则AH=xsin74°HE= xcos74° HF=xcos74°+1 ...............................................................................................7分tan60Rt AHF AH HF=中，所以xsin74°=（xcos74°+1）tan60°即0.96x=(0.28x+1)×1.73所以 3.6x≈即AB 3.6km≈法二：设AF与BE的交点为G，在Rt△EGF中，因为EF=1, 所以 EG=3在Rt△AEG中376,cos760.24 3.6 AEG AE EG∠==÷=÷≈答: 两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km8、在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？（2）求风筝A与风筝B的水平距离.(精确到0.01 m；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732）解：（1）分别过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E．在Rt△ADC中，∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，AB45°60°C E D∴AD ﹦20×sin 60°﹦103≈17.32m在Rt △BEC 中，∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴BE ﹦24×sin 45°﹦122≈16.97 m∵17.32>16.97∴风筝A 比风筝B 离地面更高． ……………………………………………3分（2）在Rt △ADC 中，∵AC ﹦20，∠ACD ﹦60°， ∴DC ﹦20×cos 60°﹦10 m在Rt △BEC 中，∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴EC ﹦BC ≈16.97 m∴EC －DC ≈16.97－10﹦6.97m即风筝A 与风筝B 的水平距离约为6.97m ．…………………………………3分9、为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．解：∵在Rt △ADB 中，∠BDA ＝45°，AB ＝3 ∴DA ＝3 …………2分在Rt △ADC 中，∠CDA ＝60°∴tan60°=CAAD∴CA =33 …………4分 ∴BC=CA －BA =(33－3)米答：路况显示牌BC 的高度是(33－3)米 ………………………6分10、永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C 处测得摩天轮的最高点A 的仰角为45︒，再往摩天轮的方向前进50 m 至D 处，测得最高点A 的仰角为60︒．求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB （3 1.732≈，第19题图A45°60°结果保留整数）．解：根据题意，可知45ACB ∠=︒，60ADB ∠=︒，50DC =.在Rt △ABC 中，由45BAC BCA ∠=∠=︒，得BC AB =. 在Rt △ABD 中，由tan ABADB BD∠=，得3tan tan 60AB AB BD AB ADB ===∠︒. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分又 ∵ BC BD DC -=，∴ 350AB AB -=，即(33)150AB -=. ∴ 11833AB =≈-.答：该兴趣小组测得的摩天轮的高度约为118 m. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分11、小明想知道湖中两个小亭A 、B 之间的距离，他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道l 上某一观测点M 处，测得亭A 在点M 的北偏东30°, 亭B 在点M 的北偏东60°,当小明由点M 沿小道l 向东走60米时，到达点N 处，此时测得亭A 恰好位于点N 的正北方向，继续向东走30米时到达点Q 处，此时亭B 恰好位于点Q 的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A 、B 之间的距离．25.连结AN 、BQ∵点A 在点N 的正北方向，点B 在点Q 的正北方向 ∴l AN ⊥ l BQ ⊥--------------------------1分在Rt △AMN 中：tan ∠AMN=MNAN∴AN=360-----------------------------------------3分在Rt △BMQ 中：tan ∠BMQ=MQBQ∴BQ=330----------------------------------------5分过B 作BE ⊥AN 于点E 则：BE=NQ=30∴AE= AN －BQ -----------------------------------8分在Rt △ABE 中,由勾股定理得：222BE AE AB +=22230)330(+=AB∴AB=60（米）12、我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A 处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E 处，且与AD 垂直.已知装饰画的高度AD 为0.66米，求：⑴ 装饰画与墙壁的夹角∠CAD 的度数（精确到1°）；⑵ 装饰画顶部到墙壁的距离DC （精确到0.01米）.解：⑴ ∵AD ＝0.66，∴AE ＝21CD ＝0.33. 在Rt △ABE 中，………………1分 ∵sin ∠ABE ＝AB AE ＝6.133.0， ∴∠ABE ≈12°. ………………4分∵∠CAD ＋∠DAB ＝90°，∠ABE ＋∠DAB ＝90°， ∴∠CAD ＝∠ABE ＝12°.∴镜框与墙壁的夹角∠CAD 的度数约为12°. ………………5分 ⑵ 解法一：在Rt △∠ABE 中， ∵sin ∠CAD ＝ADCD， ∴CD ＝AD ·sin ∠CAD ＝0.66×sin12°≈0.14. ………………7分ACD EBABCD第19题图解法二： ∵∠CAD ＝∠ABE ， ∠ACD ＝∠AEB ＝90°，∴△ACD ∽△BEA. ………………6分 ∴AB ADAE CD =. ∴6.166.033.0=CD . ∴CD ≈0.14. ………………7分∴镜框顶部到墙壁的距离CD 约是0.14米.………………8分13、如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.第23题图解：过M 作MN ⊥AC ，此时MN 最小，AN ＝1500米1、（2010山东济南）图所示，△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是△ABC 的角平分线，若AC 3求线段AD 的长．解：∵△ABC 中，∠C =90º，∠B =30º，∴∠BAC =60º，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠CAD =30º， ··················· 1分 ∴在Rt △ADC 中，cos30ACAD =︒············· 2分=3×3··········· 3分=2 . ·············· 4分14、热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A 处与高楼的水平距离为60m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m ，参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈）答案：解：过点A 作BC 的垂线，垂足为D 点 ……………1分由题意知：∠CAD = 45°, ∠BAD =60°, AD = 60m在Rt △ACD 中，∠CAD = 45°, AD ⊥BC∴ CD = AD = 60 ……………………3分在Rt △ABD 中，∵BDtan BAD AD∠=……………………4分 ∴ BD = AD ·tan ∠BAD= 603 ……………………5分∴BC = CD+BD= 60+603 ……………………6分≈ 163.9 (m) …………………7分答：这栋高楼约有163.9m ． …………………8分（本题其它解法参照此标准给分）15、如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，25AB =，5sin B =，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ．（1）求AC 、BC 的长；（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并PD CBA求出最大值．22．（1）在Rt ABC ∆中，5sin B =，25AB =，得5AC AB =，∴2AC =，根据勾股定理得：4BC =． …… 3分（2）∵PD ∥AB ，∴ABC ∆∽DPC ∆，∴12DC AC PC BC == 设PC x =，则12DC x =，122AD x =- ∴2211111(2)(2)122244ADP S AD PC x x x x x ∆=⋅=-⋅=-+=--+ ∴当2x =时，y 的最大值是1． ……… 8分16、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，）答案：解：设CD = x ．在Rt △ACD 中，tan37AD CD︒=，则34AD x=， ∴34AD x =. 在Rt △BCD 中，tan48° = BD CD，则1110BD x=， ∴1110BD x =. ∵AD ＋BD = AB ， B37° 48° D CA 第19题图∴31180 410x x+=．解得：x≈43．17、在市政府广场进行了热气球飞行表演，如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：,75.037tan,80.037cos,60.037sin≈︒≈︒≈︒73.13≈）解：过A作AD⊥CB，垂足为点D．………………………1分在Rt△ADC中，∵CD=36，∠CAD=60°．∴AD=31233660tan==︒CD≈20.76．……5分在Rt△ADB中，∵AD≈20.76，∠BAD=37°．∴BD=37tan⨯AD≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米）．………8分答：气球应至少再上升15.6米．…………………………9分18、图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m,每层楼高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH的长．【答案】解：根据题意得：DE=3.5×16=56,AB=EF=16∵∠ACB=∠CBG－∠CAB=15°，∴∠ACB ＝∠ CAB∴CB=AB=16.∴CG=BCsin30°=8CH=CG+HG=CG+DE+AD=8+56+5=69.∴塔吊的高CH的长为69m.BACD。

解直角三角形典型应用20例子

解直角三角形.典型应用题20例1.已知：如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为30°,测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽 CD 为50m .现需从山顶 A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ,求山的高度及缆绳 AC 的长（答案可带根号）•2•已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔 M 在北偏西45°,问该货轮继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多少？（精确到0.1海里，J 3止1.732）3.已知：如图，在两面墙之间有一个底端在端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在45°.点D 到地面的垂直距离 DE =3J2m ，求点B 到地面的垂直距离 BC •4.已知：如图，小明准备测量学校旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，上的影长CD = 8m ,太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐角为30°,求旗杆 AB 的高度（精确到1m ） •A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶D 点.已知/ BAC = 60°,/ DAE=AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB测得水平地面上的影长 BC = 20m ,斜坡坡面北A5.已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ,如果在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为60°.求山高CD （精确到0.01米）.5.已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m 长的竹竿，测得竹竿影长为 1m ,他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m .问路灯高度为多少米？运动员从营地A 出发，沿北偏东60°方向走了 500 30°方向走了 500m ，到达目的地 C 点.求IIIA 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ，到达6.已知：如图，在一次越野比赛中,到达B 点，然后再沿北偏西北n(1)A 、C 两地之间的距离；⑵确定目的地C 在营地A 的什么方向？已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m 的河堤.大堤高5m ,坝顶宽4m ，迎水坡和背水坡都是坡度为1 : 1的等腰梯形.现要将大堤加高坡度改为1 : 1.5.已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，多少立方米的土石？(1)BC 的长； ⑵△ ABC 的面积.(1)求AB 的长；a⑵求证：—一si n ot7. 1m ,背水坡完成工程需已知：如图，在△ ABC 中, 9. 已知：如图，在△ ABC 中, AC = b , BC = a ,锐角/ A = Ct ,/ B =P .__b sin P . A拓展、探究、思考AB = c , AC = b ,锐角/ A = Ct .RRt △ ADC 中，/ D = 90°,/ A=a ,/ CBD = P , AB = a.用含a 及P的三10.已知：如图，在角函数的式子表示CD的长.11.已知：△ ABC 中，/ A = 30°, AC = 10,12.已知：四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、=a (0 °v a v 90° )，求此四边形的面积. BD 相交于 E 点，AC = a , BD = b , / BEC13 ..已知：如图, 长.(精确到 AB = 52m , / DAB = 430.01m),/ CAB = 40°,求大楼上的避雷针 CD 的□□□□□□□□□ □□口□□口口口口口□□口口□□口口14.已知：如图，知测角仪AB 的高为在距旗杆 25m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶点C 的仰角为30°,已BC =5J2，求 AB 的长.4 1如图，△ ABC 中，AC = 10, si nC=-,si nB=-,求 AB .3如图，在O O 中，/ A =/ C ,求证：AB = CD （利用三角函数证明）.如图，P 是矩形ABCD 的CD 边上一点，PE 丄AC 于E , PF 丄BD 于F , AC18.已知：如图，一艘渔船正在港口 A 的正东方向40海里的B 处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C 岛运送一批物资到 A 港，已知C 岛在A 港的北偏东60 ° 方向，且在B 的北偏西45°方向.问该船从B 处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A 港（精确到1小时）（该船在C 岛停留半个小时"（丁㊁止1.41, J 3 7.73, J 6 止 2.45）15 .已知:16.已知:17.已知：=15, BC = 8，求 PE + PF.C19.已知：如图，直线y = —x+ 12分别交X轴、y轴于A、B点，将△ AOB折叠，使A 点恰好落在0B的中点C处，折痕为DE .(1)求AE 的长及sin / BEC 的值; ⑵求△ CDE 的面积.20..已知：如图，斜坡 PQ 的坡度i = 1 ： J 3，在坡面上点0处有一根1m 高且垂直于水平面的水管0A ，顶端A 处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点 M 比点A 高出1m ,且在点A 测得点M 的仰角为30°, 以0点为原点，OA 所在直线为标系•设水喷到斜坡上的最低点为(1) 写出A 点的坐标及直线 PQ 的解析式; (2) 求此抛物线AMC 的解析式；⑶求 I X C — X B I ； ⑷求B 点与C 点间的距离.y 轴，过O 点垂直于OA 的直线为X 轴建立直角坐 B ，最高点为C.。

解直角三角形的应用题型

解直角三角形的应用题型直角三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解决实际问题中常用的基本图形之一。

在应用题中，我们经常需要用到直角三角形的性质和定理，以解决各种实际问题。

下面列举一些常见的直角三角形应用题型。

1. 求斜边长已知直角三角形的一条直角边和另一条边的长度，求斜边长。

这类问题可以用勾股定理解决，即斜边的长度等于直角边长度的平方加上另一条边长度的平方的平方根。

例题：已知直角三角形的一个直角边为3，另一条边长为4，求斜边长。

解：斜边长等于3的平方加上4的平方的平方根，即√(3+4)=√25=5。

2. 求角度已知直角三角形两个角度，求第三个角度。

由于直角三角形的内角和为180度，因此第三个角度可以用90度减去已知的两个角度得到。

例题：已知直角三角形两个角度分别为30度和60度，求第三个角度。

解：第三个角度等于90度减去30度和60度的和，即90-30-60=0度。

3. 求高已知直角三角形的斜边和一条直角边，求高。

我们可以通过求出这个三角形的面积以及底边长度来求出高，也可以利用正弦定理或余弦定理求出高。

例题：已知直角三角形的斜边长为5，直角边长为3，求高。

解：利用勾股定理可求出这个三角形的面积为(3*4)/2=6。

利用面积公式S=1/2*底边长*高，可得高为(2*6)/3=4。

4. 求面积已知直角三角形的两条直角边长度，求面积。

我们可以利用面积公式S=1/2*底边长*高求出面积。

例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为4和3，求面积。

解：利用面积公式S=1/2*4*3，可得面积为6。

以上是直角三角形应用题的一些常见类型，希望能对大家的学习有所帮助。

解直角三角形经典题型应用题

解直角三角形经典题型应用题1. 一个田径运动员越过一根高度为2米的木板，如果他离地面的水平距离是3米，那么他的起跳点距离木板底部的高度是多少？解：设起跳点距离木板底部的高度为x，则根据勾股定理，得到：$x^2 + 3^2 = 2^2$化简得：$x^2 = 2^2 - 3^2 = -5$由于x是高度，因此应该为正数。

但是由于方程无解，因此无法解出起跳点距离木板底部的高度。

这个结果告诉我们，如果要跨越一个木板，距离不能太远，否则就无法起跳！2. 一个人看到一个高楼，测得距离为50米，角度为30度，那么这个高楼的高度是多少？解：设高楼的高度为h，根据三角函数，得到：$tan(30) = \frac{h}{50}$化简得：$h = 50\times tan(30) = 50 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx28.87$因此，这个高楼的高度约为28.87米。

3. 一个人站在一座桥上，看到一条河流在他的正下方流过，测得桥与河面的垂直距离为20米，角度为45度，那么河宽是多少？解：设河宽为w，根据三角函数，得到：$tan(45) = \frac{w}{20}$化简得：$w = 20\times tan(45) = 20$因此，河宽为20米。

4. 在一个矩形田地中，角A的顶点和角B的底点均在田地边界上，角A的角度为30度，角B的角度为60度，且田地的长宽比为3:2，那么田地的面积是多少？解：假设田地的长为3x，宽为2x，则田地的面积为6x²。

又根据三角函数，得到：$tan(30) = \frac{3x}{y}$$tan(60) = \frac{2x}{y}$化简得：$x = y\times tan(30) = y\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}$ $x = y\times tan(60) = y\cdot\sqrt{3}$解得：$y = 6\sqrt{3}$因此，田地的面积为6x² = 1080平方米。

初三数学解直角三角形题库

初三数学解直角三角形题库解直角三角形的题目如下：
1. 已知一直角三角形的直角边长为3 cm，斜边长为5 cm，求另一直角边的长度。

解法：根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，即3^2 + x^2 = 5^2。

解方程得到x = 4 cm。

2. 一个直角三角形的直角边长为12 cm，另一直角边的长度为16 cm，求斜边的长度。

解法：根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，即12^2 + 16^2 = x^2。

解方程得到x = 20 cm。

3. 一个直角三角形的斜边长为10 cm，其中一个直角边的长度为6 cm，求另一直角边的长度。

解法：根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，即6^2 + x^2 = 10^2。

解方程得到x = 8 cm。

4. 一个直角三角形的斜边长为15 cm，另一直角边的长度为9 cm，求另一直角边的长度。

解法：根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，即9^2 + x^2 = 15^2。

解方程得到x ≈ 12 cm。

5. 已知一个直角三角形的直角边的长度为5 cm，斜边的长度为13 cm，求另一直角边的长度。

解法：根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，即5^2 + x^2 = 13^2。

解方程得到x = 12 cm。

以上是一些解直角三角形题目的方法和答案。

通过应用勾股定理，我们可以轻松地求解直角三角形的边长。

掌握这些方法，可以帮助我们更好地解决与直角三角形相关的问题。

2022年九年级数学中考专题训练——解直角三角形的应用附详细解析

中考专题训练——解直角三角形的应用附解析1．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB ＝20cm，AB与墙壁AD的夹角∠α＝30°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝80°．现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝150cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（结果精确到1cm，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73，≈1.41）．2．为了完成“综合与实践”作业任务，小明和小华利用周末时间邀约一起去郊外一处空旷平坦的草地上放风筝，小明负责放风筝，小华负责测量相关数据．如图，当小明把风筝放飞到空中点P处时，小华分别在地面的点A、B处测得∠PAB＝45°，∠PBA＝30°，AB＝200米，请你求出风筝的高度PC（点C在点P的正下方，A、B、C在地面的同一条直线上）（参考数据：≈1.414，≈1.732）3．如图1所示是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成．图2是其侧面结构示意图，支撑板CD＝40mm，托板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝40mm，托板AB 可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（1）如图2，当∠CDE＝60°时，求点C到直线DE的距离；（2）如图3，当∠DCB＝90°时，再将CD绕点D转动，使点B落在DE上，求此时∠CDB的度数．4．火灾是生活中最常见、最突出的一种灾难，消防车是救援火灾的主要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC（10m≤AC≤20m）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面的高度AE＝3.5m．（1）当起重臂AC的长度为12m，张角∠CAE＝120°，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF．（2）某日一居民家突发火灾，该居民家距离地面的高度为180m，该消防车能否实施有效救援？（参考数据：≈1.732）5．如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB ＝115°，∠AOM＝160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离（线段AC）为10cm．求：（1）∠BAC＝°，OM＝；（2）此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.414）6．如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面145m，最低点距地面55m．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身OD垂直于水平地面MN（点O，A，B，C，D，M，N在同一平面内）．（1）求风轮叶片OA的长度；（2）如图2，点A在OD右侧，且α＝14.4°．求此时风叶OB的端点B距地面的高度．（参考数据：sin44.4°≈0.70，tan44.4°≈0.98）7．如图1，是某品牌的可伸缩篮球架，其侧面可抽象成图2，结点F，G，H，M，N可随着伸缩杆EF的伸缩转动，从而控制篮球圈ON离地面AB的高度，ON∥AB，主杆AH⊥AB，G，C，D均在主干AH上，结点N，G，F共线，DE∥AB，经测量，AD＝150cm，DC＝CG＝GH＝MN＝GF＝50cm，MH＝NG＝GD，∠NGD＝33°，此时，EF∥AH．（结果保留小数点后一位）（1）①∠M＝°，EF与AB的位置关系；②求EF的长度．（2）在图1的基础上，调节伸缩杆EF，得到图3，图4是图3的示意图，经测量，此时，篮球圈ON离地面AB的高度刚好达到国际标准305cm，求NF绕着G点顺时针旋转的度数．（参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）8．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均与地面平行．（1）若支架AC与BC之间的夹角∠ACB＝90°，求两轮轮轴A，B之间的距离；（2）若OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，求点F到AB所在直线的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732）9．为应对新冠疫情，学校购进一批酒精消毒瓶（如图1），AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝8cm，BE＝6cm，当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此BD′∥EF（如图3）．（1）求点D转动到点D′的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan30°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）10．如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB＝8mm，两脚BC＝BD＝56mm，如图2所示，当∠CBD＝74°时．（1）求A离纸面CD的距离．（2）用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）11．住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一．如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为16.8m．已知当地冬至这天中午12时太阳光线与地面所成的角是35°．（参考数据：sin35°≈0.57；cos35°≈0.81；tan35°≈0.70）（1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应为多少米（精确到0.1m）？（2）如果两栋楼房之间的距离为20m，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光？12．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长6米，AD长2米，点D距地面为0.4米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．（1）如图②，当道闸打开至∠ADC＝60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4米，求点P到MN的距离PF的长；（2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽2.1米，高3.2米．当道闸打开至∠ADC ＝53°时，货车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）13．如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°．（1）如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）；（2）若（1）中BC长度不变，当∠MAB＝30°时，求该挖掘机最远（即伸展臂伸展角∠ABC最大时）能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．（结果保留根号）14．激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？15．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM ＝113.6°．（1）求枪身BA的长度；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）16．如图1是十五中行政楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，≈1.4）（1）求开门过程中B与C走过的路径之和；（2）此时B与C之间的距离为多少？（结果保留一位小数）17．为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？18．某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）19．“荡秋千”一直以来都是人们喜闻乐见的休闲方式之一，某天，小鹏和小运两人玩荡秋千．左图为实际图，右图为侧面几何图．静止时秋千位于铅垂线AB上，转轴A到地面的距离AB为3m，荡秋千的起始位置为C，终点为D，点C距离地面为1.16米，安全链AC为2.3m．需要解决问题如下：（1）秋千位于起始位置点C时，安全链AC与铅垂线AB夹角（即∠CAB）的度数；（2）如果我们把荡秋千的最高点与起始点的铅直高度之差记作H，起始点至最高点的路径长记作L，H与L的比值记作P（愉悦度），据科学研究表明，当0.20＜P＜0.22时，C推出后可达到最高点D处，此时∠CAD＝100°．请问这个过程能否实现愉悦感最强？说明理由．（结果精确到0.01，参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，sin27°＝0.452，π＝3）20．如图①是大家熟悉的柜式空调，关闭时叶片竖直向下．如图②，当启动时，出风口叶片会同步开始逆时针旋转到最大旋转角90°时返回，旋转速度是每秒10°，同时空调风从叶片口直线吹出．AB由5个叶片组成的出风口，经过测量，A点、B点距地面高度分别是170cm、145cm在空调正前方100cm处站着一个高70cm的小朋友（线段EF表示）．（1）从启动开始，多长时间小朋友头顶E处感受到空调风；（2）若叶片从闭合旋转到最大角度的过程中，小朋友的头顶E处有多长时间感受到空调风；（3）当选择上下扫风模式时，叶片会旋转到最大角度后原速返回．从启动到第一次返回起始位的过程中，该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了多长时间．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．参考答案与试题解析1．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB ＝20cm，AB与墙壁AD的夹角∠α＝30°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝80°．现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝150cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（结果精确到1cm，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73，≈1.41）．【分析】过点B作BG⊥D'D，垂足为G，延长EC、GB交于点F．在△GAB中先求出GB、GA，再在△FAB中求出CF，最后利用线段的和差关系求出AD．【解答】解：如图，过点B作BG⊥D'D，垂足为G，延长EC、GB交于点F．在Rt△ABG中，∠BAG＝∠a＝30°，AB＝20cm，∴GB＝AB＝10cm，．在Rt△BCF中，∠FBC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，BF＝DE﹣BG＝40（cm），∴CF＝BF•tan∠FBC＝40tan40°≈33.6（cm），∴AD＝CE+CF﹣AG＝150+33.6﹣17.3≈166（cm）．答：安装师傅应将支架固定在离地面166cm的位置．2．为了完成“综合与实践”作业任务，小明和小华利用周末时间邀约一起去郊外一处空旷平坦的草地上放风筝，小明负责放风筝，小华负责测量相关数据．如图，当小明把风筝放飞到空中点P处时，小华分别在地面的点A、B处测得∠PAB＝45°，∠PBA＝30°，AB＝200米，请你求出风筝的高度PC（点C在点P的正下方，A、B、C在地面的同一条直线上）（参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】设PC＝x米，根据等腰直角三角形的性质用x表示出AC，根据正切的定义列出方程，解方程求出x，得到CD的长，结合图形计算，得到答案．【解答】解：设PC＝x米，在Rt△ACP中，∠PAC＝45°，∴AC＝PC＝x，∴BC＝200﹣x，在Rt△BCP中，∠PBA＝30∴tan∠PBA＝，∴＝，解得x＝100﹣100≈100×1.732﹣100＝73.2，即PC＝73.2米，答：风筝的高度PC约是73.2米．3．如图1所示是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成．图2是其侧面结构示意图，支撑板CD＝40mm，托板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝40mm，托板AB 可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（1）如图2，当∠CDE＝60°时，求点C到直线DE的距离；（2）如图3，当∠DCB＝90°时，再将CD绕点D转动，使点B落在DE上，求此时∠CDB的度数．【分析】（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，即可解答；（2）在Rt△DCB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，在Rt△CDF中，∠CDE＝60°，CD＝40mm，∴CF＝CD•sin60°＝40×＝60（mm），∴点C到直线DE的距离为60mm；（2）在Rt△DCB中，CD＝40mm，CB＝40mm，∴tan∠CDB＝＝＝，∴∠CDB＝30°，∴此时∠CDB的度数为30°．4．火灾是生活中最常见、最突出的一种灾难，消防车是救援火灾的主要装备．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC（10m≤AC≤20m）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面的高度AE＝3.5m．（1）当起重臂AC的长度为12m，张角∠CAE＝120°，求云梯消防车最高点C距离地面的高度CF．（2）某日一居民家突发火灾，该居民家距离地面的高度为180m，该消防车能否实施有效救援？（参考数据：≈1.732）【分析】（1）过点A作AG⊥CF，垂足为F．先在Rt△AGC中求出CG，再利用直角三角形的边角间关系求出CF；（2）先计算当AC长20m、∠CAE＝150°时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援．【解答】解：（1）过点A作AG⊥CF，垂足为F．由题意知：四边形AEFG是矩形．∴FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝∠AGC＝∠AGF＝90°．∵∠CAE＝120°，∴∠CAG＝∠CAE﹣∠EAG＝在Rt△AGC中，∵sin∠CAG＝，∴CG＝AC×sin30°＝12×＝6（m）．∴CF＝CG+GF＝3.5+6＝9.5（m）．答：云梯消防车最高点C距离地面的高度CF为9.5m．（2）过点C作CH⊥AE，交EA的延长线于点H．当AC＝20m，∠CAE＝150°时，∠HAC＝30°．在Rt△AHC中，∵cos∠HAC＝，∴AH＝cos∠HAC×AC＝cos30°×20＝×20＝10≈1.732×10＝17.32（m）．∴HE＝AH+AE＝3.5+17.32＝20.82（m）．由题意知，四边形HEFC是矩形，∴CF＝HE＝20.82m．∵20.82＜180，∴该消防车不能实施有效救援．5．如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB＝115°，∠AOM＝160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离（线段AC）为10cm．求：（1）∠BAC＝45°，OM＝ 5.5cm；（2）此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.414）【分析】（1）延长MO交AC于点D，则∠ADO＝90°，先利用平角定义求出∠AOD＝20°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DAO＝70°，再利用角的和差关系可求出∠BAC，最后根据题意利用支点O到水平桌面的距离减去台灯底座高度即可求出OM 的长；（2）先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC，AB的长，从而求出AO的长，然后在Rt△ADO OD的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）延长MO交AC于点D，则∠ADO＝90°，∵∠AOM＝160°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOM＝20°，∴∠DAO＝90°﹣∠AOD＝70°，∵∠OAB＝115°，∴∠BAC＝∠OAB﹣∠DAO＝45°，由题意得：OM＝7.5﹣2＝5.5（cm），故答案为：45；5.5cm；（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，AC＝10cm，∴BC＝AC•tan45°＝10（cm），AB＝AC＝10≈14.14（cm），由题意得：AO＝31.64﹣AB﹣OM＝12（cm），在Rt△ADO中，∠AOD＝20°，∴OD＝AO•cos20°≈12×0.94＝11.28（cm），∴BC+OD+7.5＝28.78（cm），∴此时点B到桌面的距离约为28.78cm．6．如图1的风力发电机，风轮的三个叶片均匀分布，当风轮的叶片在风力作用下旋转时，最高点距地面145m，最低点距地面55m．如图2是该风力发电机的示意图，发电机的塔身OD垂直于水平地面MN（点O，A，B，C，D，M，N在同一平面内）．（1）求风轮叶片OA的长度；（2）如图2，点A在OD右侧，且α＝14.4°．求此时风叶OB的端点B距地面的高度．（参考数据：sin44.4°≈0.70，tan44.4°≈0.98）【分析】（1）以点O为圆心，OA的长为半径作圆，延长DO交⊙O于点P，设直线DO 与⊙O交于点Q，根据题意可得PD＝145m，DQ＝55m，从而求出PQ的长，进而可得OA＝OP＝PQ，进行计算即可解答；（2）过点B作BE⊥MN，垂足为E，过点O作OF⊥BE，垂足为F，从而得∠DOF＝90°，EF＝OD，进而求出∠BOF＝44.4°，然后在Rt△BOF中求出BF，进行计算即可解答．【解答】解：如图，以点O为圆心，OA的长为半径作圆，延长DO交⊙O于点P，设直线DO与⊙O交于点Q，由题意得：PD＝145m，DQ＝55m，∴PQ＝PD﹣DQ＝145﹣55＝90（m），∴OA＝OP＝PQ＝45（m），∴风轮叶片OA的长度为45m；（2）如图，过点B作BE⊥MN E，过点O作OF⊥BE，垂足为F，则四边形ODEF是矩形，∴∠DOF＝90°，EF＝OD，由题意得：∠AOB＝120°，AOD＝14.4°，∴∠BOF＝∠AOB+∠AOD﹣∠DOF＝44.4°，∴BF＝OB sin44.4°≈45×0.70＝31.5（m），∵OD＝PD﹣OP＝145﹣45＝100（m），∴EF＝OD＝100m，∴BE＝BF+EF＝131.5（m），∴此时风叶OB的端点B距地面的高度为131.5m．7．如图1，是某品牌的可伸缩篮球架，其侧面可抽象成图2，结点F，G，H，M，N可随着伸缩杆EF的伸缩转动，从而控制篮球圈ON离地面AB的高度，ON∥AB，主杆AH⊥AB，G，C，D均在主干AH上，结点N，G，F共线，DE∥AB，经测量，AD＝150cm，DC＝CG＝GH＝MN＝GF＝50cm，MH＝NG＝GD，∠NGD＝33°，此时，EF∥AH．（结果保留小数点后一位）（1）①∠M＝147°，EF与AB的位置关系垂直；②求EF的长度．（2）在图1的基础上，调节伸缩杆EF，得到图3，图4是图3的示意图，经测量，此时，篮球圈ON离地面AB的高度刚好达到国际标准305cm，求NF绕着G点顺时针旋转的度数．（参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54）【分析】（1）①根据平行四边形的判定定理可知四边形GHMN是平行四边形，可得∠M ＝∠HGN＝147°；由AH⊥AB，EF∥AH，可知EF⊥AB；②过G作GP⊥EF，可求FP ＝GF•sin57°≈50×0.84＝42.0cm，由四边形GDEP为平行四边形可得GD＝PE，即可求解；（2）过点G作AB的平行线PG，再过点N作PG的垂线交PG于点P，由cos∠GNP＝＝＝0.55，可求∠GNP≈57°，可得∠NGP≈33°，∠NGD≈123°，即可求得∠PGD的值．【解答】解：（1）①∵GH＝MN，MH＝NG，∴四边形GHMN是平行四边形，∵∠NGD＝33°，∴∠M＝∠HGN＝147°，∵AH⊥AB，EF∥AH，∴EF⊥AB，故答案为：147，垂直；②过G作GP⊥EF，垂足为P，∵∠NGD＝33°，∴∠FGP＝57°，∴FP＝GF•sin57°≈50×0.84＝42.0cm，∵GP⊥EF，EF⊥AB，∴GP∥AB，又∵DE∥AB，∴GP∥DE，∵EF∥AH，∴四边形GDEP为平行四边形，∴GD＝PE，∴EF＝DG+PF＝50+50+42≈142.0cm；（2）过点G作AB的平行线PG，再过点N作PG的垂线交PG于点P．∴NP＝305﹣50﹣50﹣150＝55cm，∵NG＝GD＝100cm，∴cos∠GNP＝＝＝0.55，∴∠GNP≈57°，∴∠NGP≈33°，∴∠NGD≈123°，∴∠PGD≈123°﹣33°＝90°，故NF绕着G点顺时针旋转了90°．8．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均与地面平行．（1）若支架AC与BC之间的夹角∠ACB＝90°，求两轮轮轴A，B之间的距离；（2）若OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，求点F到AB所在直线的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长度即可；（2）作辅助线，分别求出C点到AB的距离，F点到直线DO的距离，求和即可．【解答】解：（1）∵支架AC与BC之间的夹角（∠ACB）为90°，∴AB＝＝＝100（cm），即两轮轮轴A，B之间的距离为100cm；（2）过C点作CH⊥AB于H，过F点作FG⊥DO延长线与G，则扶手F到AB所在直线的距离为FG+CH，∵OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，∴∠FOG＝180°﹣120°＝60°，∵∠G＝90°，∴∠F＝30°，∴OG＝OF＝30，∴FG＝30，由（1）知AB＝100，AC＝80，BC＝60，＝AC•BC＝AB•，∴S△ABC即×100×CH＝×60×80，解得CH＝48，∴FG+CH＝48+30≈48+30×1.732≈100.0cm，即扶手F到AB所在直线的距离为100.0cm．9．为应对新冠疫情，学校购进一批酒精消毒瓶（如图1），AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝8cm，BE＝6cm，当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此BD′∥EF（如图3）．（1）求点D转动到点D′的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan30°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【分析】（1）由平行线的性质可求得∠D'BE＝72°，从而可求得∠DBD'＝36°，利用弧长公式即可求解；（2）过点D作DG⊥BD'于点G，过E作EH⊥BD'于点H，可求得DG＝4.72cm，HE＝5.7cm，利用平行线的性质可求解．【解答】解：（1）∵BD′∥EF，∠DBE＝∠BEF＝108°，∴∠D'BE＝180°﹣∠BEF＝72°，∴∠DBD'＝∠DBE﹣∠D'BE＝36°，∵BD＝8cm，∴点D转动到点D′的路径长为：（cm）；（2）过点D作DG⊥BD'于点E作EH⊥BD'于点H，如图，Rt△BDG中，DG＝BD•sin36°≈8×0.59＝4.72（cm），Rt△BEH中，HE＝BE•sin72°＝6×0.95＝5.7（cm），∴DG+HE＝10.42cm，∵BD'∥EF，∴点D到直线EF的距离约为10.42cm．10．如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB＝8mm，两脚BC＝BD＝56mm，如图2所示，当∠CBD＝74°时．（1）求A离纸面CD的距离．（2）用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）【分析】（1）连接CD，延长AB交CD于点E，则AE⊥CD，利用等腰三角形的三线合一性质可得∠CBE＝37°，CD＝2CE，然后在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，最后进行计算即可解答；（2）在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而求出CD的长，进而求出正六边形的边长，然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）连接CD AB交CD于点E，则AE⊥CD，∵BC＝BD＝56mm，∴∠CBE＝∠CBD＝37°，CD＝2CE，在Rt△BCE中，BE＝BC•cos37°≈56×0.8＝44.8（mm），∵AB＝8mm，∴AE＝AB+BE＝8+44.8＝52.8（mm），∴A离纸面CD的距离约为52.8mm；（2）在Rt△BCE中，∠CBE＝37°，BC＝56mm，∴CE＝BC•sin37°≈56×0.6＝33.6（mm），∴CD＝2CE＝67.2（mm），∴正六边形的边长为67.2mm，∴正六边形的周长＝6×67.2＝403.2（mm），∴正六边形的周长约为403.2mm．11．住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一．如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为16.8m．已知当地冬至这天中午12时太阳光线与地面所成的角是35°．（参考数据：sin35°≈0.57；cos35°≈0.81；tan35°≈0.70）（1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应为多少米（精确到0.1m）？（2）如果两栋楼房之间的距离为20m，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光？【分析】（1）根据直角三角形的边角关系进行计算即可；（2）根据直角三角形的边角关系计算出AN即可．【解答】解：（1）如图1，由题意可知，AB＝CD＝16.8m，∠ADB＝35°∵tan∠ADB＝，∴≈0.7，∴BD≈24.0米，答：两楼间的距离应为24.0m；（2）如图2，过点M作MN∥BD，在Rt△AMN中，BD＝20m＝MN，∠AMN＝35°，∴AN＝tan35°×MN≈14.0（m），∴MD＝AB﹣AN＝16.8﹣14.0＝2.8（m），答：这时南楼的影子会影响北楼一楼的采光，且影子在CD的高度为2.8m．12．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长6米，AD长2米，点D距地面为0.4米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．（1）如图②，当道闸打开至∠ADC＝60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4米，求点P到MN的距离PF的长；（2）一辆载满货物的货车过道闸，已知货车宽2.1米，高3.2米．当道闸打开至∠ADC ＝53°时，货车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】（1）在Rt△PDQ中，由∠PDQ＝30°得出DQ＝2，进而求出FP即可；（2）当∠ADC＝53°，PE＝3.2米时，求出PF，与2.1米比较即可得出答案．【解答】解：（1）如图，过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，由题意可知，∠ADC＝60°，PE＝2.4米，QE＝0.4米，在Rt△PDQ中，∠PDQ＝30°，PQ＝2.4﹣0.4＝2（米），∴tan30°＝，∴DQ＝＝2（米），∴PF＝AB﹣DQ＝（6﹣2）（米），（2）当∠ADC＝53°，PE＝3.2米时，则∠DPQ＝53°，PQ＝3.2﹣0.4＝2.8（米），∴DQ＝PQ•tan53°≈2.8×1.33 3.724（米），∴PF＝6﹣3.724≈2.276（米），∵2.276＞2.1，∴能通过．13．如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角∠MAB的范围是：30°≤∠MAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤105°．（1）如图③，当∠MAB＝45°，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）；（2）若（1）中BC长度不变，当∠MAB＝30°时，求该挖掘机最远（即伸展臂伸展角∠ABC最大时）能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．（结果保留根号）【分析】（1）根据题意可得：∠BCA＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，即可解答；（2）过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据题意可得：∠MAB＝30°，∠ABC＝105°时，伸展臂伸展的最远，从而利用三角形内角和定理求出∠ACD＝45°，然后在RtABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，再在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）如图：由题意得：∠BCA＝90°，在Rt△ABC中，∠MAB＝45°，AB＝4米，∴BC＝AB•sin45°＝4×＝2（米），∴伸展臂BC的长为2米；（2）过点B作BD⊥AC，垂足为D，由题意得：∠MAB＝30°，∠ABC＝105°时，伸展臂伸展的最远，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠MAB＝45°，在RtABD中，AB＝4米，∴AD＝AB•cos30°＝4×＝2（米），在Rt△BCD中，BC＝2米，CD＝BC•cos45°＝2×＝2（米），∴AC＝AD+CD＝（2+2）米，∴该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方（2+2）米的土石．14．激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意可得：＝，解得：x＝16000，经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．15．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对学生测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直，量得胳膊MN＝30cm，MB＝44cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为26.1cm（即MP的长度），∠ABM ＝113.6°．（1）求枪身BA的长度；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3cm～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，学生与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与学生额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.4，tan66.4°≈2.29，）【分析】（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，则BA＝HP，AB∥MQ，利用平行线的性质可得∠BMH＝66.4°，然后在Rt△BMH中，利用锐角三角函数的定义求出MH的长，从而求出HP的长，即可解答；（2）延长QM交FG于点K，则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，利用平角定义先求出∠NMK 的度数，再在Rt△NMK中，利用锐角三角函数的定义求出KM的长，从而求出PQ的长，进行比较即可解答．【解答】解：（1）过点B作BH⊥MQ，垂足为H，则BA＝HP，AB∥MQ，∵∠ABM＝113.6°，∴∠BMH＝180°﹣∠ABM＝66.4°，在Rt△BMH中，∠BMH＝66.4°，BM＝44cm，∴MH＝BM•cos66.4°≈44×0.4＝17.6（cm），∵MP＝26.1cm，∴BA＝HP＝MP﹣MH＝26.1﹣17.6＝8.5（cm），∴枪身BA的长度约为8.5cm；（2）此时枪身端点A与学生额头的距离不在规定范围内，理由：延长QM交FG于点K，则KQ＝50cm，∠NKM＝90°，∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMK＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝45°，。

中考数学高频考点突破——解直角三角形的应用 (1)

中考数学高频考点突破——解直角三角形的应用一、单选题1．某简易房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AC的长为（）A．511αsin米B．511αcos米C．115αsin米D．115αcos米2．如图,在△ABC中,△A=45°,△C=90°,点D在线段AC上,△BDC=60°,AD=1,则BD等于()A3B3+1C3-1D．3 33．如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则△O的半径为（）A．3B．3C．4D．3二、填空题4．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7米，则树高BC为米(用含α的代数式表示)．5．如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角△ACB ＝60°，当他在17：00时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角△ADB ＝30°，若两次测得的影长之差CD 长为 3m ，则树的高度为 m ．6．如图，在平行四边形 ABCD 中， 12sin ,13,2413A BC CD === ，点E 在边CD 上，将 BCE 沿直线BE 翻折，点C 落在点F 处，且 AF BF = ，则CE 的长为．三、综合题7．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏．图2是其结构示意图，摄像机长20AB cm =，点O 为摄像机旋转轴心，O 为AB 的中点，显示屏的上沿CD 与AB 平行，15CD cm =，AB 与CD 连接杆OE AB ⊥，10OE cm =，2CE ED =，点C 到地面的距离为60cm ．若AB 与水平地面所成的角的度数为35︒．（1）求显示屏所在部分的宽度；（2）求镜头A 到地面的距离．（参考数据：350.574sin ︒≈，350.819cos ︒≈，350.700tan ︒≈，结果保留一位小数）8．图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图.已知活动调节点B 可以上下调整高度，离地面CD 的距离BC ＝160cm.设花洒臂与墙面的夹角为α，且花洒臂长AB ＝30cm.假设水柱AE 垂直AB 直线喷射，小华在离墙面距离CD ＝120cm 处淋浴.（1）当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE. （2）如果小华要洗脚，需要调整水柱AE ，使点E 与点D 重合①其他条件不变，只要把活动调节点B 向下移动即可，移动的距离BF 与小华的身高DE 有什么数量关系？直接写出你的结论； ②活动调节点B 不动，只要调整α的大小，在图3中，试求α的度数.（参考数据：3≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75）9．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC （BC 伸出部分不计），A 、C 、D 在同一直线上.量得△ACB ＝90°，△A ＝60°，AB ＝16cm ，△ADE ＝150°，灯杆CD 长为40cm ，灯管DE 长为16cm.（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离）.10．如图①是钓鱼伞，为遮挡不同方向的阳光，钓鱼伞可以在撑杆AN上的点O处弯折并旋转任意角，图②是钓鱼伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨AB，AC与水平方向的夹角△ABC＝△ACB＝30°，伞骨AB与AC水平方向的最大距离BC＝2m，BC与AN交于点M，撑杆AN＝2.2m，固定点O到地面的距离ON＝1.6m．（1）如图②，当伞完全撑开并直立时，求点B到地面的距离．（2）某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将钓鱼伞倾斜与铅垂线HN成30°夹角，如图③．①求此时点B到地面的距离；②若斜射阳光与BC所在直线垂直时，求BC在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：3≈1.732，结果精确到0.1m）11．湖州西山漾湿地公园一休闲草坪上有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面的距离AB为0.5m，从竖直位置开始，向右可摆动的最大夹角为37°，若秋千的长OA=2m．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（1）如图1，当向右摆动到最大夹角时，求'A到地面的距离；（2）如图2，若有人在B点右侧搭建了一个等腰三角形帐篷，已知BC=0.6m，CD=2m，帐篷的高为1.8m，当人站立在秋千上，请问摆动的过程中是否会撞到帐篷？若不会撞到，请说明理由；若会撞到，则帐篷应该向右移动超过多少米才能不被撞到？12．为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度.如图，隧道 AB 在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道 450 米的高度上水平飞行，到达点 P 处测得点 A 的俯角为 30, 继续飞行 1500 米到达点 Q 处，测得点 B 的俯角为 45︒ .（1）填空： A ∠= 度， B ∠= 度；（2）求隧道 AB 的长度(结果精确到 1 米).(参考数据：23 1.732≈≈ )13．小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线 OB 与底板的边缘线 OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B 、O 、C 在同一直线上， 24cm OA OB == ， BC AC ⊥ ， 30OAC ∠=︒ ．（1）求 OC 的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线 OB ' 与水平线的夹角仍保持120°，求点 B ' 到 AC 的距离．（结果保留根号）14．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点 B E D ，，均为可转动点，现测得 20cm AB BE ED CD ==== ，经多次调试发现当点 B E ，都在 CD 的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．（1）求放置最平稳时灯座 DC 与灯杆 DE 的夹角的大小；（2）当A 点到水平桌面（ CD 所在直线）的距离为 42cm 43cm - 时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将 ABE ∠ 调节到 105︒ ，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据： sin150.26cos150.97tan150.273 1.73︒=︒=︒==，，，）15．如图，雨伞不论张开还是收紧，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角△BAC.当伞收紧时，点D 与点M 重合，且点A ，E （F ），D 在同一条直线上.已知伞骨的部分长度如下（单位：cm ）：DE=DF=AE=AF=40.（1）求AM 的长.（2）当伞撑开时，量得△BAC=110°，求AD 的长.（结果精确到1cm ）参考数据：550.8192550.573655 1.4281sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.16．如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图.汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为0.8米.已知小汽车车门宽 AO 为1.2米.（参考数据：sin 400.6428,cos 400.7660︒≈︒≈ ， sin 410.6561,cos 410.7547,sin 420.6691,cos 420.7431︒≈︒≈︒≈︒≈ ）（1）当车门打开角度 AOB ∠ 为 40︒ 时，车门是否会碰到墙？请说明理由. （2）若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？17．如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱 AC 垂直于地面 AB ， P 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为 PDE ∆ ， F 为 PD 中点， 2.8AC m = ， 2PD m = ， 1CF m = ， 20DPE ∠= .当点 P 位于初始位置 0P 时，点 D 与 C 重合（图2）.根据生活经验，当太阳光线与 PE 垂直时，遮阳效果最佳.（参考数据： sin700.94≈ ， cos700.34≈ ， tan70 2.75≈ ， 2 1.41≈ ， 3 1.73≈ ）（1）上午10:00时，太阳光线与地面的夹角为 65 （图3），为使遮阳效果最佳，点 P 需从 0P 上调多少距离？（结果精确到 0.1m ）（2）中午12:00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点 P 在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到 0.1m ）18．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC 的坡度i 为1：2，顶端C 离水平地面AB 的高度为10m ，从顶棚的D 处看E 处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C 、D两点间的距离为4m ，E 处到观众区底端A 处的水平距离AF 为3m ．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m ）求：（1）观众区的水平宽度AB ；（2）顶棚的E 处离地面的高度EF ．19．抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）经过点A （﹣1，0），B （32，0），且与y 轴相交于点C ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求△ACB 的度数；（3）设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E 在线段AC 上，且DE△AC ，当△DCE 与△AOC 相似时，求点D 的坐标．20．平面内，如图，在△ABCD 中，AB=10，AD=15， 4tan 3A =，点P 为AD 边上任意点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转 90 得到线段PQ.（1）当△DPQ= 10 时，求△APB 的大小；（2）当 tan tan 32ABP A ∠=：：时，求点Q 与点B 间的距离(结果保留根号)；（3）若点Q 恰好落在△ABCD 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积.(结果保留 π )21．观察猜想：（1）如图1，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△BAC ＝30°，点D 与点C 重合，点E 在斜边AB 上，连接DE ，且DE ＝AE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接EF ，则 EFAD＝，sin△ADE ＝，（2）在（1）中，如果将点D 沿CA 方向移动，使CD ＝ 13AC ，其余条件不变，如图2，上述结论是否保持不变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由．拓展延伸（3）如图3，在△ABC 中，△ACB ＝90°，△CAB ＝a ，点D 在边AC 的延长线上，E 是AB 上任意一点，连接DE ．ED ＝nAE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转90°至点F ，连接EF ．求 EFAD和sin△ADE 的值分别是多少？（请用含有n ，a 的式子表示）22．足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB 的张角越大，射门越好.当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点.通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD 上行进时，当存在一点Q ，使得CQA ABQ ∠=∠（此时也有DQB QAB ∠=∠）时，恰好能使球门AB 的张角AQB ∠达到最大值，故可以称点Q 为直线CD 上的最佳射门点.（1）如图2所示，AB 为球门，当运动员带球沿CD 行进时，1Q ，2Q ，3Q 为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点；（2）如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB 为球门，CD AB ⊥于点D ，3AB a =，BD a =.某球员沿CD 向球门AB 进攻，设最佳射门点为点Q. ①用含a 的代数式表示DQ 的长度并求出tan AQB ∠的值； ②5，若此时守门员站在张角AQB ∠内，双臂张开MN 垂直于AQ 进行防守，求MN 中点与AB 的距离至少为多少时才能确保防守成功.（结果用含a 的代数式表示）答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】如图，过点A 作AH△BC 于H ．由题意AB ＝AC ，BC ＝4+0.2+0.2＝4.4（m ）， ∵AH△BC ，∴BH ＝CH ＝2.2（m ）， ∴AC ＝AB ＝αBH cos ＝2.2αcos ＝115αcos （m ），故答案为：D ．【分析】过点A 作AH△BC 于H ，先求出CH 的长，再利用解直角三角形的方法可得AC ＝AB ＝αBH cos ＝ 2.2αcos ＝115αcos 。

中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷(附答案)

中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷（附答案）1．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62】2．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：√2≈1.414，√3≈ 1.732)3．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）4．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB=2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=45°．此时鱼线被拉直，鱼线BO= 3m．点O恰好位于海面，鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH=60°．求海面OH与地面AD之间的距离DH的长．（结果保留一位小数，参考数据：√2=1.414，√3=1.73）5．让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，AB=300米．点C在点B的北偏东45°；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东30°方向CD=2900米．(1)求BC的长度（精确到个位）；(2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）6．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC 的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：sin53°≈45，sin37°≈35，tan53°≈4 3，tan37°≈34）7．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为0.45m，已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．8．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75∘方向，在点A的东南方向．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）(1)求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）(2)大门C在风景点D的南偏西60∘方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，求CD间的距离．9．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．(1)求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）10．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长．（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）11．【综合与实践】如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中α代表入射角，β代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若n=sinαsinβ，则把n称为折射率．（参考数据：sin53°≈45,cos53°≈35，tan53°≈43）【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在MN处，光线可沿PD照射到空容器底部B处，将水加至D处，且BF=12cm时，光点移动到C处，此时测得DF=16cm,BC=7cm四边形ABFE是矩形，GH是法线．【问题解决】(1)求入射角∠PDG的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率n．12．数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由AF、线段EF和ED构成的图形为杯盖部分，其中AF、与ED均在以AD为直径的⊙O上，且AF= ED，G为EF的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁AB=13.6cm，杯底直径BC=5.8cm，杯壁与直线l的夹角为84°．(1)求杯口半径OD的长；(2)若杯盖顶FE=3.2cm，吸管BH=22cm，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B重合时，求吸管漏出杯盖部分GH的长．（参考数据：sin84∘≈0.995，cos84∘≈0.105，tan84∘≈9.514，√15.93≈3.99，17.5222≈307.02，√315.43≈17.76，结果精确到0.1cm）.13．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高AB为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）(1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号)(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）14．如图，四边形ABCD是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区K，其中休息区K在景点A的南偏西30°方向800√2米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区K两地相距400√5米(∠ABK<90°)，景点D分别在休息区K、景点A的正东方向和正南方向．（参考数据：√2≈1.41，√5≈2.24，√6≈2.45）(1)求步道AB的长度；(2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点C一起向正东出发，不久到达休息区K，他们发现有两条路线到达景点A，于是小宏想比赛看谁先到达景点A．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在K点出发，小明选择①K−B−A路线，速度为每分钟320米；小宏选择②K−D−A路线，速度为每分钟240米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点A呢？15．某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为O，点O在圆锥底面、地面上的正投影分别为点O1，O2，点P为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即O1P=2米），圆锥底面离地面的高度为3米（即O1O2=3米）．(1)若OO1=2米，求圆锥的侧面积；(2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量OO2的高度，工人先在水平地面上选取观测点A，B（A，B，O2在同一直线上），利用测角仪分别测得点O的仰角为α，β，其中tanα=12，tanβ=25，再测得A，B两点间的距离为m米（即AB=MN=m米），已知测角仪的高为1米（即MA=NB=QO2=1米），求亭盖的外部面积（用含m的代数式表示）．16．赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，小茜站在C处观测，俯角∠MDE=45°时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处（CD为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于F处观测，俯角∠MDF=36.9°时，恰好通过平面镜看到“美”字底端G处．测得BE=163.3m，CE=1.5m，点C，E，F，B在同一水平线上，点A，G，B在同一铅垂线上．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75）(1)CD的高度为__________m，CF的长为__________m；(2)求“美”字AG的高度．17．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上（坡比i=3:4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N在同一水平线上）．(1)求叶片OA的长；(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，√3≈1.7，结果保留整数）18．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线的夹角为45°，A，B 两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）(1)求索道AB的长（结果精确到1m）；(2)求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.26cos15°≈0.97tan15°≈0.27√2≈1.41）19．春天是踏青的好季节小明和小华决定去公园出游踏青．如图已知A为公园入口景点B位于A点东北方向400√2米处景点E位于A点南偏东30°方向景点B在景点E的正北方向景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．景点F既位于景点E的正东方向又位于景点D的正南方向．DF=400米．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin37.5°≈35，cos37.5°≈45，tan37.5°≈34）(1)求BE的长；（精确到个位）(2)小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/分小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点D处．20．如图是一种家用健身卷腹机由圆弧形滑轨⌒AB可伸缩支撑杆AC和手柄AD构成．图①是其侧面简化示意图．滑轨⌒AB支撑杆AC与手柄AD在点A处连接其中D A B三点在一条直线上．(1)如图① 固定∠DAC=120°,若BC=30√6cm,AC=60cm,求∠ABC的度数；(2)如图② 固定∠DAC=100°若AC=50cm,∠ABC=30°时圆弧形滑轨AB所在的圆恰好与直线BC 相切于点B求滑轨⌒AB的长度．（结果精确到0.1 参考数据：π取3.14 sin70°≈0.940)参考答案：1．解：由题意得BE⊥CD于EBE=AC=22米∠DBE=32°在Rt△DBE中DE=BE⋅tan∠DBE=22×0.62≈13.64（米）CD=CE+DE=1.5+13.64≈15.14（米）答：旗杆的高CD约为15.14米．2．解：延长AD交EF于点G设EG=x∵AD∥BF，EF⊥BF∵AG⊥EF∵∠B=∠F=∠AGF=90°∵四边形ABFG是矩形∠AGE=90°∵∠EAG=45°∵∠AEG=90°−∠EAG=45°∵AG=EG=x∵AD=7∵DG=x−7∵∠EDG=60°=√3∵tan∠EDG=EGDG=√3∵xx−7∵x=7(3+√3)2∵EG=7(3+√3)2∵GF=AB=1.68∵EF=EG+GF=7(3+√3)2+1.68≈7(3+1.732)2+1.68 =16.562+1.68=18.242≈18.2．故旗杆EF的高度约18.2m．3．解：过B作BH⊥AC于H设AH=xm∵∠BAC=60°∵∠ABH=90°−60°=30°∵AB=2AH=2xm∵tanA=tan60°=BHAH=√3∵BH=√3xm∵∠BCA=45°∠BHC=90°∵△BHC是等腰直角三角形∵CH=BH=√3xm∵AH+CH=√3x+x=AC=1640≈600.7∵x=√3+1∵AB=2x≈1201(m)．答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m．4．解：过点B作BC⊥OH交OH于点C延长AD交BC于点E∵四边形DECH是矩形∵DH=CE．根据题意可知∠BAD=45°,∠BOH=60°在Rt△ABE中AB=2.4m∵sin∠BAE=BEAB即sin45°=BE2.4=1.2×1.41=1.692．解得BE=2.4×√22在Rt△BOC中BO=3m∵sin∠BOC=BCBO即sin60°=BC3=1.5×1.73=2.595解得BC=3×√32∵DH=CE=BC−BE=0.903≈0.9（m）．所以海面OH与地面AD之间得距离DH的长0．9m．5．（1）解：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M过点B作BN⊥AM交AM于点N过点D作DH⊥BN 交BN于点H．由题可知：∠CBN=45°∠A=90°∠CDM=60°．∵四边形ABNM、四边形ABHD、四边形DMNH都是矩形△BCN是等腰直角三角形．在Rt△CMD中∵∠CDM=60°CD=2900米∵DM=12DC=1450米CM=√3DM=1450√3米∵AB=MN=300米∵CN=CM−MN=(1450√3−300)米在Rt△CBN中∠CBN=45°∵CB=√2CN=(1450√6−300√2)米≈3127米答：BC的长度为3127米．（2）解：路线一：AB+BC=(300+1450√6−300√2)米≈3427米∵AM=BN=CN=(1450√3−300)米∵AD=AM−DM=(1450√3−1750)米∵路线二：AD+CD=(1450√3+1150)米≈3361米∵3427<3361∵路线二较近．6．解：如图1 作AF⊥CG垂足为F设AB=xcm则AC=60+x∵sin53°=AFAC =AF60+x∴AF=(60+x)⋅sin53°如图2 作AH⊥CG垂足为H则AC=60+2x∴AH=(60+2x)⋅sin37°∵AF=AH∴(60+x)⋅sin53°=(60+2x)⋅sin37°∴4(60+x)5=3(60+2x)5解得：x=30．答：每节拉杆的长度为30cm．7．（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∵DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∵由题意得四边形NFDE是矩形∵FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∵FD=MF=(x−0.15)m∵NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∵tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．8．（1）解：过点B作BP⊥AD于点P由题意知∠BAD=45∘∠CBD=75∘∴∠ADB=30∘∠ABP=45∘=∠A∴BD=2BP AP=BP在Rt△ABP中AB=240米∴AP=BP=AB=120√2（米）sin45∘∴BD=2BP=240√2≈339.4（米）．答：B、D两地的距离约为339.4米；（2）解：过点B作BM⊥CD于点M由（1）得BD=2BP=240√2（米）∵∠CDB=180∘−60∘−75∘=45∘∠CBD=75∘∠DCB=60∘∴∠DBM=45∘=∠CDB∴BM=DM在Rt△BDM中BD=240√2sin45∘=BMBD∴BM=DM=BD⋅sin45∘=240√2×√2=240（米）2在Rt△BCM中∠CBM=75∘−45∘=30∘∴CM=BM⋅tan30∘=80√3（米）∴DC=DM+CM=240+80√3（米）．9．解：（1）作BE⊥AD于点E由题意知AB=60∠A=45°∠ABD=90°+15°=105°∠CBA=90°+30°=120°在Rt△ABE中在Rt△BDE中ED=√3BE=30√6BD=2BE=60√2∴小山B与亭台D之间的距离60√2米（2）延长AB作DF⊥BA于点F作CG⊥BA于点G则∠CBG=180°−∠CBA=60°由题意知CD∥AB∵四边形CDFG是矩形∵CG=DF,CD=FG．∵AE=30√2ED=30√6∴AD=30√2+30√6在Rt△AFD中DF=AF=√2=30+30√3CG=DF=30+30√3米在Rt△BCG中BG=√3=10√3+30∴CD=FG=AB+BG−AF=60−20√3∴S玲=AD+CD=30√2+30√6+60−20√3≈141.2米S明=AB+BC=60+60+20√3≈154.6米∵141.2<154.6且两人速度一致∴小玲先到．答：小玲先到达寺庙C处．10．解：如图：延长CD交AB于点H则四边形CMBH为矩形∴CM=HB=20在Rt△ACH中∠AHC=90°∠ACH=18.4°∴tan∠ACH=AH CH∴CH=AHtan∠ACH=AHtan18.4°≈AH0.33在Rt△ECH中∠EHC=90°∠ECH=37°∴tan∠ECH=EH CH∴CH=EHtan∠ECH=EHtan37°≈EH0.75设AH=x．∵AE=9∴EH=x+9∴x0.33=x+90.75解得x≈7.1∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）．答：点A到地面的距离AB的长约为27米．11．（1）解：如图1 ∵GH∥FB∴∠DBF=∠PDG,∵BF=12cm,DF=16cm,∴tan∠DBF=DFBF=1612=43,∵tan53°≈4 3∴入射角∠PDG约为53°．（2）解：如图2 作DM⊥AB于点T在Rt△BDF中BF=12cm,DF=16cm∴BD=√DF2+BF2=20cm,在Rt△DTC中TC=DF−BC=16−7=9cm,DT=BF=12cm∴CD=√DT2+TC2=√122+92=15cm,∴光线从空气射入水中的折射率∴光线从空气射入水中的折射率n=43．12．（1）解：过点B作BP⊥AD于点D过点C作CQ⊥AD于点Q延长BC到点R ∵四边形BCQP是矩形∵BC=QP BP=CQ∵AB=13.6cm杯底直径BC=5.8cm杯壁与直线l的夹角为84°点A B C D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形∵AD∥BC CD=AB=13.6cm QP=BC=5.8cm∵∠A=∠D=∠DCR=84°∵BP=CQ CD=AB∵Rt△ABP≌Rt△DCQ(HL)∵AP=DQ∵AP=DQ=CDcosD=13.6×0.105=1.428(cm)CQ=CDsinD=13.6×0.995=13.532(cm)∵AD=2AP+PQ=DQ=2×1.428+5.8=8.656(cm)AD=4.328≈4.3(cm)∵OD=12故杯口半径OD的长为4.3cm．（2）解：连接GO并延长交BC于点N∵G为EF的中点EF=1.6(cm)∵GO⊥EF,EG=FG=12连接FD∵ AF=ED，∵∠EFD=∠ADF,∵AD∥EF∵GO⊥AD∵ AD∥BC∵GO⊥BC∵NO=13.532(cm)∵GO=√(4.3)2−(1.6)2≈4.0(cm)∵GN≈17.532(cm)∵GB=√(17.532)2+(2.9)2≈17.77(cm)∵GH=BH−GB=22−17.77≈4.2(cm)13．（1）解：过点C作CF⊥l于点F过点B作BM⊥CF于点M∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°．由题意得：∠BAF=90°∴四边形ABMF为矩形∴MF=AB=2cm∠ABM=90°．∵∠ABC=150°∴∠MBC=60°．∵BC=18cm∴CM=BC⋅sin60°=18×√32=9√3(cm)．∴CF=CM+MF=(9√3+2)cm．答：支点C离桌面l的高度为(9√3+2)cm；（2）解：过点C作CN∥l过点E作EH⊥CN于点H∴∠EHC=90°．∵DE=24cm CD=6cm∴CE=18cm．当∠ECH=30°时EH=CE⋅sin30°=18×12=9(cm)；当∠ECH=70°时EH=CE⋅sin70°≈18×0.94=16.92(cm)；∴16.92−9=7.92≈7.9(cm)∴当α从30°变化到70°的过程中面板上端E离桌面l的高度是增加了增加了约7.9cm．14．（1）解：由题意得∠DAK=30°∠BAD=75°∠D=90°AK=800√2米BK=400√5米∵∠BAK=∠BAD−∠DAK=75°−30°=45°过点K作KH⊥AB于H则∠AHK=∠BHK=90°∵△AHK为等腰直角三角形∵AH=KH=√22AK=√22×800√2=800米∵BH=√BK2−KH2=√(400√5)2−8002=400米∵AB=AH+BH=800+400=1200米；（2）解：∵AK=800√2∠DAK=30°∠D=90°∵DK=12AK=400√2米AD=AK·cos30°=800√2×√32=400√6米∵路线②K−D−A的路程为KD+AD=400√2+400√6≈1544米∵小宏到达景点A的时间为1544÷240≈6.43分钟∵路线①K−B−A的路程为KB+BA=400√5+1200≈2096米∵小明到达景点A的时间为2096÷320≈6.55分钟∵6.43<6.55∵小宏先到达景点A．15．（1）解：由题意得：∠OO1P=90°．∵OO1=2米O1P=2米∴OP=2√2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√2×2=4√2π（米2)．答：圆锥的侧面积为4√2π平方米；（2）解：由题意得：∠OQM=90°．设OQ长x米．∵tanα=1 2∴MQ=2x米．∵MN=m米∴NQ=(m+2x)米．∵tanβ=2 5∴xm+2x =25．解得：x=2m．∵O1O2=3米QO2=1米∴OO1=2m+1−3=(2m−2)米．∵O1P=2米∠OO1P=90°．∴OP=√22+(2m−2)2=√4m2−8m+8=2√m2−2m+2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√m2−2m+2×2=4π√m2−2m+2（米2)．答：亭盖的外部面积为4π√m2−2m+2平方米．16．（1）解：∵∠MDE=45°∴∠DEC=45°∵DC⊥BC∴△DCE是等腰直角三角形∴DC=CE=1.5m 在Rt△DCF中∠DFC=36.9°DC=1.5m∴DF=DCsin36.9°=1.50.60=2.5(m)∴CF=√DF2−DC2=√2⋅52−1⋅52=2(m)；故答案为：1.52；（2）∵∠DEC=45°∴∠AEB=45°∴∠BAE=45°∴AB=BE=163.3m由题意可知∠MDF=36.9°∴∠GFB=∠DFC=∠MDF=36.9°∵EF=CF−CE=2−1.5=0.5(m)∴BF=163.3−0.5=162.8(m)在Rt△BFG中BG=tan∠GFB⋅BF≈0.75×162.8=122.1(m)∴AG=163.3−122.1=41.2(m)即“美”字的高度AG约为41.2m．17．（1）解：∵DE垂直于水平地面EF∵∠E=90°∵坡比i=3:4∵DE EF =34设DE=3xm则EF=4xm ∵坡面DF长10m∵(3x)2+(4x)2=102解得：x=2（负值舍去）∵DE=6m EF=8m∵MF=25m∵ME=MF+EF=33m由题意得：∠OME=53°=44m∵OE=ME⋅tan53°≈33×43∵MN=23.5m∵NE=ME+MN=56.5m．由题意得：∠N=30°≈32m∵AE=NE⋅tan30°=56.5×√33∵OA=OE−AE=44−32=12m．（2）如图过点C作CH⊥OE于点M CG⊥NE于G∵∠CHE=∠HEG=∠CGE=∠CHO=90°∵四边形HEGC是矩形∵EH=CG∵叶片绕点O顺时针转动90°∵∠AOE=90°∵∠AOC=120°∵∠COH=30°由题意得：OC=OA=12m=6√3m∵OH=OCcos∠COH=12×√32∵CG=HE=OE−OH=44−6√3≈34m．∵叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34m．18．（1）解：在Rt△ABE中∠AEB=90°∠A=15°AE=576m∴AB=AEcosA =576cos15°≈594(m)．答：索道AB的长约为594m．（2）延长BC交DF于点G∵BC∥AF DF⊥AF∴DG⊥CG．∵四边形BEFG为矩形．∴EF=BG．∵CD=AB≈594m∠DCG=45°∴CG=CD·cos∠DCG≈594×cos45°=297√2(m)．∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC＋CG≈576+50+297√2≈1045(m)．答：水平距离AF的长约为1045m19．（1）解：如图所示过点A作AH⊥BE于点H∵∠BAH=45°，AB=400√2米∴AH=BH=√22AB=400米∵∠AEB=30°∴HE=√3AH=400√3米AE=2AH=800米∴BE=400+400√3≈1092（米）．∴BE长约1092米．（2）解：小华先到达景点D处理由如下：如图过点C作CN⊥EF于点N过点D作DM⊥BE于点M交CN于点G则四边形BCNE和四边形DFNG都是矩形∴BC=EN BE=CN=(400+400√3)米GN=DF=400米DG=NF∴CG=CN−GN=400√3米∵景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．∴BC=310（米）∠DCN=37.5°在Rt△CGD中cos∠DCN=CGCD tan∠DCN=DGCG∴CD=CGcos37.5°=400√345≈865（米）DG=CG⋅tan37.5°=400√3×34≈519（米）∴EF=EN+NF=BC+DG≈829（米）∵小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟∴小明的游览时间为400√2+310+86572+10+5≈39（分钟）在Rt△AEH中AH=400米∠EAH=60°∴AE=AHcos60°=40012=800（米）∵小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟∴小华的游览时间为800+829+40096+9+8≈38（分钟）∴小华的游览时间更短先到达景点D处．20．（1）解：如图过点C作CE⊥AB垂足为E∵∠DAC=120°∴∠EAC=180°−∠DAC=60°在Rt△AEC中AC=60cm∴CE=AC⋅sin60°=60×√32=30√3(cm)在Rt△BEC中BC=30√6cm∴sin∠EBC=ECBC=√330√6=√22∴∠ABC=45°∴∠ABC的度数约为45°；（2）解：如图过点A作AF⊥BC垂足为F∵圆弧形滑轨⌒AB所在的圆恰好与直线BC相切于点B ∴过点B作HB⊥BC作AB的垂直平分线MG交HB于点O连接OA∴OB=OA∴圆弧形滑轨⌒AB所在的圆的圆心为O∵∠DAC=100°∠ABC=30°∴∠ACF=∠DAC−∠ABC=100°−30=70°在Rt△AFC中AC=50cm∴AF=AC⋅sin70°≈50×0.940=47(cm)在Rt△AFB中∠ABC=30°∴AB=2AF=2×47=94(cm)∵OB⊥BC∴∠OBC=90°∴∠OBA=∠OBC−∠ABC=60°∴△OBA为等边三角形∴OB=AB=94cm∠BOA=60°∴滑轨⌒AB的长度=60π×94180≈98.4(cm)∴滑轨AB⌒AB的长度约为98.4cm．。

中考数学复习专题(五)解直角三角形的实际应用(含答案)

（湖南株洲第23题）如图示一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的左端点P 的俯角为α其中tanα=23，无人机的飞行高度AH 为5003米，桥的长度为1255米． ①求点H 到桥左端点P 的距离；②若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度A B ．【答案】①求点H 到桥左端点P 的距离为250米；②无人机的长度AB 为5米．②设BC ⊥HQ 于C ．在Rt △BCQ 中，∵BC =AH =5003，∠BQC =30°， ∴CQ =tan 30BC︒=1500米，∵PQ =1255米，∴CP =245米，∵HP =250米，∴AB =HC =250﹣245=5米．答：这架无人机的长度AB 为5米．.考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．（内蒙古通辽第22题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA 的位置时俯角030=⊥EOA ，在OB 的位置时俯角060=∠FOB .若EF OC ⊥，点A 比点B 高cm 7.求（1）单摆的长度（7.13≈）；（2）从点A 摆动到点B 经过的路径长（1.3≈π）.【答案】（1）单摆的长度约为18.9cm（2）从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=12 x，在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ=32x，由PQ=OQ﹣OP 3﹣12x=7，解得：x3（cm），.答：单摆的长度约为18.9cm；（2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB3，∴∠AOB=90°，则从点A摆动到点B经过的路径长为907+73180π⨯（）≈29.295，答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm．考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、轨迹.（湖南张家界第19题）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD 两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）【答案】4.2m．考点：解直角三角形的应用．（海南第22题）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度B C．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）【答案】水坝原来的高度为12米．.考点：解直角三角形的应用，坡度.（乌鲁木齐第21题）一艘渔船位于港口A的北偏东60方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，,B C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救≈≈≈，结果取整数）援的艇的航行速度.(sin370.6,cos370.8,3 1.732【答案】救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．【解析】试题分析：辅助线如图所示：BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求AD，在Rt△BCE中，根据三角函数可求CE，EB，在Rt△AFC中，根据勾股定理可求AC，再根据路程÷时间=速度求解即可．试题解析：辅助线如图所示：答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题（浙江省绍兴市）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）【答案】（1）38°；（2）20.4m．【解析】试题分析：（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．试题解析：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；（2）由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE•tan20°≈10.80m，在Rt△CDE中，DE=CD•tan18°≈9.60m，∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．考点：1．解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2．应用题；3．等腰三角形与直角三角形．（·湖北随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．2. （·吉林·7分）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）解：如图，∠B=α=43°，在Rt△ABC中，∵sinB=，∴AB=≈1765（m）．答：飞机A与指挥台B的距离为1765m．3.（·江西·8分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，∴∠BOC=9°∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，即所作圆的半径约为3.13cm；（2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE，∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，∴∠BAD=9°，∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm．4. （·辽宁丹东·10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°在Rt△ADB中，tan64°=，则BD=≈AB，在Rt△ACB中，tan48°=，则CB=≈AB，∴CD=BC﹣BD即6=AB﹣AB解得：AB=≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米．5.（·四川宜宾）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A 点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=，则CF====x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB=，则BE===（x+4）米．∵CF﹣BE=DE，即x﹣（x+4）=3．解得：x=，则AB=+4=（米）．答：树高AB是米．6.（·湖北黄石·8分）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．（·湖北荆门·6分）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小和小明同时分别从A处和B 处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小的行走速度为米/秒．若小明与小同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设AD =x 米，小明的行走速度是a 米/秒， ∵∠A =45°，CD ⊥AB ，∴AD =CD =x 米， ∴AC =x ．在Rt △BCD 中， ∵∠B =30°， ∴BC ===2x ，∵小的行走速度为米/秒．若小明与小同时到达山顶C 处，∴=，解得a =1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．8.（·四川内江）(9分)如图，禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得A ，B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．[考点]三角函数、解决实际问题。

2022年中考数学专题复习：解直角三角形的应用题精选(word版、无答案)

解直角三角形应用分类中考试题精选类型一俯仰角问题1．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶点E的仰角为30°，AB=14米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据：≈1.73）2.如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）3．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？类型二方位角问题4、在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A 相距km的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．5．（如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向60 3千米处，台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭请说明理由；（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？6.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C ，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）7、钓鱼岛历来是中国领土，以它为圆心在周围12海里范围内均属于禁区,不允许它国船支进入.如图7，今有一中国海监船在位于钓鱼岛A正南方向距岛60海里的B处海域巡逻，值班人员发现在钓鱼岛的正西方向52海里的C处有一艘日本渔船，正以9节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛，中方立即向日本渔船发出警告，并沿北偏西30°的方向以12节的速度前往拦截，其间多次发出警告，2小时后海监船到达D处，与此同时日本渔船到达E处，此时海监船再次发出严重警告.（1）当日本渔船收到严重警告信号后，必须沿北偏东转向多少度航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区？（4分）（2）当日本渔船不听严重警告信号，仍按原速度、原方向继续前进，那么海监船必须尽快到达距岛12海里，且位于线段AC上的F处强制拦截渔船，问海监船能否比日本渔船先到达F处？（5分）（注：①中国海监船的最大航速为18节，1节=1海里/时；②参考数据：sin26.3°≈0.44，sin20.5°≈0.35，sin18.1°≈0.3121.431.7）类型三坡度坡角问题8．（如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i1=1：2，钢缆BC的坡度i2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度：是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）9．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：3，AB=10米，AE=15米．（i=1：3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）10．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：3=1.73，2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．类型四生活中问题11.如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm伞架DE DF AE AF AB AC长度36 36 36 36 86 86（1）求AM的长．（2）当∠BAC=104°时，求AD的长（精确到1cm）．备用数据：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799．12．如图1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE=1.8米，∠CDE=60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°．AB=1.5米，CD=1米，为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）13．小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC 长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．。

中考数学复习：专题7-12 解直角三角形在实际生活中的应用

专题12 解直角三角形在实际生活中的应用【专题综述】在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.【方法解读】一、航空问题例1：抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，）【举一反三】（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m 的高空C 处时，测得A 处渔政船的俯角为45°，测得B 处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB 是（）A ．30003mB ．3000(31)+mC ．3000(31)-mD ．15003m二、测量问题例2：如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．【举一反三】我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。

若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。

三、建桥问题例3：如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，2 ，sin37°≈0.60，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据： 1.41cos37°≈0.80）.【举一反三】黄冈市为了改善市区交通状况，计划修建一座新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0. 24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．四、图案设计问题例4. “创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i 是坡面CE的坡度），求r的值．1:0.75【举一反三】如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：①平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5m的测角仪（测量仰角、俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选用的测量工具；（2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．【强化训练】1．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？2．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD． (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)．3．如图，在我市的上空一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，沿航线AB的正下方有两个景点水城明珠大剧院（记为点C），光岳楼（记为点D），飞机在A处时，测得景点C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了3千米到B处时，往后测得景点C的俯角为30°．而景点D恰好在飞机的正下方，求水城明珠大剧院与光岳楼之间的距离（最后结果精确到0.1千米）4．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）5．在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得二架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5万千米的C处．⑴该飞机航行的速度是多少千米／小时？（结果保留根号）⑵如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN之间？请说明理由。

2023年中考数学高频考点突破——解直角三角形的实际应用

2023年中考数学高频考点突破——解直角三角形的实际应用1．在修建某高速公路的线路中需要经过一座小山．如图，施工方计划从小山的一侧C处沿AC方向开挖隧道到小山的另一侧D（A，C，D三点在同一直线上）处．为了计算隧道CD的长，现另取一点B，测得∠CAB＝30°，∠ABD＝105°，AC＝1km，AB＝4km．求隧道CD的长．2．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到0.1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD＝30m，两楼间的距离AC＝24m，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？4．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3米．求点B到地面的垂直距离BC．5．如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约高多少米？（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）6．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在A处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD＝30°，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，≈1.414，≈1.732）．7．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，并拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．求旗杆AB 的高度和小明后退的距离EC．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）8．给窗户装遮阳棚，其目的为最大限度的遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度的使冬天温暖的阳光射入室内，现请你为我校新建成的高中部教学楼朝南的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD，如图，已知窗户AB高度为h＝2米，本地冬至日正午时刻太阳光与地面的最小夹角α＝32°，夏至日正午时刻太阳光与地面的最大夹角β＝79°，请分别计算直角形遮阳篷BCD中BC、CD的长（结果精确到0.1米，tan32°≈0.62，tan79°≈5.14）9．如图，秋千链子AB的长度为3m，静止时的秋千踏板（厚度忽略不计）距地面DE为0.5m，秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53°，求秋千踏板与地面的最大距离．（sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）10．如图分别是某型号跑步机的实物图和示意图，已知踏板CD长为2米，支架AC长为0.8米，CD与地面的夹角为12°，∠ACD＝80°，（AB∥ED），求手柄的一端A离地的高度h．（精确到0.1米，参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）11．如图，厂房屋顶人字架的跨度BC＝10m．D为BC的中点，上弦AB＝AC，∠B＝36°，求中柱AD和上弦AB的长（结果保留小数点后一位）．参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73．12．如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点，然后在河岸l2时选择点B，使得AB与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC＝60米，∠BCA＝62°，请你帮小颖算出河宽AB （结果精确到1米）．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）13．为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB与MN之间的距离）．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°，请你根据以上测量数据求出河的宽度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留整数）14．2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据≈1.41，≈1.73）15CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin10°＝cos80°＝0.17，cos10°＝sin80°＝0.98，sin20°＝cos70°＝0.34，tan70°＝2.75，sin70°＝0.94）16．如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）17．如图1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE＝1.8米，∠CDE＝60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°．AB＝1.5米，CD＝1米，为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）18．北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）19．如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）20．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米（结果取整数）？（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）参考答案与试题解析1．【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，如图所示：在Rt△ABE中，AB＝4km，∠CAB＝30°，∠AEB＝90°，∴BE＝AB＝2km，AE＝＝＝2km，∠ABE＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABE＝105°﹣60°＝45°．在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝45°，∴DE＝BE＝2km，∴AD＝AE+DE＝（2+2）km，∴CD＝AD﹣AC＝2+2﹣1＝（2+1）km．答：隧道CD的长为（2+1）km．2．【解答】解：∵∠2＝45°∠3＝90°∴∠4＝45°∴∠2＝∠4即BD＝AD设BD＝AD＝xm，∵AC＝50m∴CD＝（x+50）m，在Pt△ACD中tan C＝，10x＝6x+3004x＝300x≈75.0．答：AD的长度为75.0m．3．【解答】解：过点B作BF交CD于F，过点F作FE⊥AB于点E，∵太阳光与水平线的夹角为30°，∴∠BFE＝30°，∵AC＝EF＝24m，∴BE＝EF•tan30°＝24×＝8（m），∴CD﹣BE＝（30﹣8）m．答：甲楼的影子在乙楼上的高度约为（30﹣8）m．4．【解答】解：在Rt△DAE中，∵∠DAE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，AE＝DE＝3．∴AD2＝AE2+DE2＝（3）2+（3）2＝36，∴AD＝6，即梯子的总长为6米．∴AB＝AD＝6．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝3，∴BC2＝AB2﹣AC2＝62﹣32＝27，∴BC＝＝3m，∴点B到地面的垂直距离BC＝3m．5．【解答】解：由题意得：AD＝6m，在Rt△ACD中，tan A＝＝∴CD＝2（m），又AB＝1.6m∴CE＝CD+DE＝CD+AB＝2+1.6≈5.1（m）．答：树的高度约为5.1米．6．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，∴x＝x+60解之得：x＝30+30≈81.96．答：河宽约为81.96米．7．【解答】解：设绳子AC的长为x米；在△ABC中，AB＝AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠ADF＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝DF＝x•sin45°，∵AB﹣AF＝BF＝1.6，则x•°﹣x•sin45°＝1.6，解得：x＝10，∴AB＝10×sin60°≈8.7（m），EC＝EB﹣CB＝x•cos45°﹣x•cos60°＝10×﹣10×≈2.1（m）答：旗杆AB的高度为8.7m，小明后退的距离为2.1m．8．【解答】解：根据内错角相等可知，∠BDC＝α，∠ADC＝β．在Rt△BCD中，tanα＝．①在Rt△ADC中，tanβ＝．②由①、②可得：．把h＝2，tan32°≈0.62，tan79°≈5.14代入上式，得BC≈0.3（米），CD≈0.4（米）．所以直角遮阳篷BCD中BC与CD的长分别是0.3米和0.4米．9．【解答】解：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处．过点A，B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BC⊥AD于点C．在Rt△ABC中，AB＝3，∠CAB＝53°，∵cos53°＝，∴AC＝3cos53°≈3×0.6＝1.8（），∴CD≈3+0.5﹣1.8＝1.7（m），∴BE＝CD≈1.7（m），答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为1.7m．10．【解答】解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+12°﹣80°＝22°，∴∠CAF＝68°，在Rt△ACF中，CF＝AC•sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，CG＝CD•sin∠CDE≈0.42m，∴h＝0.42+0.74＝1.156≈1.2（米），答：手柄的一端A离地的高度h约为1.2m．11．【解答】解：∵AB＝AC，D为BC的中点，BC＝10米，∴DC＝BD＝5米，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC．在Rt△ADB中，∠B＝36°，∴tan36°＝，即AD＝BD•tan36°≈3.7（米）．cos36°＝，即AB＝≈6.2（米）．答：中柱AD（D为底边BC的中点）为3.7米和上弦AB的长为6.2米．12．【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝60米，∠BCA＝62°，可得tan∠BCA＝，即AB＝BC•tan∠BCA＝60×1.88≈113（米），则河宽AB为113米．13．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x米．∵在直角△ACD中，∠CAD＝30°，∴AD＝＝x．同理，在直角△BCD中，BD＝＝x．又∵AB＝30米，∴AD+BD＝30米，即x+x＝10．解得x＝13．答：河的宽度的13米．14．【解答】解：过C作CD⊥，设CD＝x米，∵∠ABE＝45°，∴∠CBD＝45°，∴DB＝CD＝x米，∵∠CAD＝30°，∴AD＝CD＝x米，∵AB相距2米，∴x﹣x＝2，解得：x＝+1≈2.73，答：命所在点C与探测面的距离2.73米．15．【解答】解：由题可知：如图，BH⊥HE，AE⊥HE，CD＝2米，BC＝4米，∠BCH＝30°，∠ABC＝80°，∠ACE＝70°∵∠BCH+∠ACB+∠ACE＝180°∴∠ACB＝80°∵∠ABC＝80°∴∠ABC＝∠ACB∴AB＝AC过点A作AM⊥BC于M，∴CM＝BM＝2（米），∵在Rt△ACM中，CM＝2米，∠ACB＝80°∴∠ACB＝cos80°≈0.17∴AC＝＝（米），∵在Rt△ACE中，AC＝米，∠ACE＝70°∴∠ACE＝sin70°≈0.94∴AE＝×0.94＝≈11.1（米），∴AE+CD＝13.1（米），故可得点A到地面的距离为13.1米．16．【解答】解：设BM＝x米．∵∠CDF＝45°，∠CFD＝90°，∴CF＝DF＝x米，∴BF＝BC﹣CF＝（4﹣x）米．∴EN＝DM＝BF＝（4﹣x）米．∵AB＝6米，DE＝1米，BM＝DF＝x米，∴AN＝AB﹣MN﹣BM＝（5﹣x）米．在△AEN中，∠ANE＝90°，∠EAN＝31°，∴EN＝AN•tan31°．即4﹣x＝（5﹣x）×0.6，∴x＝2.5，答：DM和BC的水平距离BM的长度为2.5米．17．【解答】解：过E作EG⊥地面于G，过D作DH⊥EG于H，∴DF＝HG，在R t△ABC中，AC＝AB•sin∠B＝1.5×sin43°＝1.5×0.682≈1.023米，∵∠CDE＝60°，∴∠EDH＝30°，∴EH＝DE＝0.9米，∴DF＝GH＝EG﹣EH＝6﹣0.9＝5.1米，∴OF＝OA+AC+CD+DF＝1.5+1.023+1+5.1＝8.623m．答：灯杆OF至少要8.63m．18．【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD＝x米．Rt△ADC中，∠DAC＝25°，所以tan25°＝＝0.5，所以AD＝＝2x．Rt△BDC中，∠DBC＝60°，由tan60°＝＝，解得：x≈3．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．19．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，∴x＝x+50解之得：x＝25+25≈68.10．答：河宽为68.30米．20．【解答】解：如图，根据题意OA＝OA′＝80cm，∠AOA′＝35°，作A′B⊥AO于B，∴OB＝OA′•cos35°＝80×0.82≈65.6cm，∴AB＝OA﹣OB＝80﹣65.6＝14.4cm．答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14厘米．。

精品九年级数学中考大题解直角三角形应用

中考数学大题--解直角三角形应用1.如图,海上有一灯塔P,在它周围3海里处有暗礁,一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A 点处测得P 在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45°方向．问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?2.如图,某风景区内有一古塔AB,在塔的北面有一建筑物,冬至日的正午光线与水平面的夹角是30°，•此时塔在建筑物的墙上留下了高3•米的影子CD ；而在春分日正午光线与地面的夹角是450，此时塔尖A 在地面上的影子E•与墙角C 有15米的距离（B 、E 、C 在一条直线上），求塔AB 的高度（结果保留根号）3.如图,小明在家里楼顶上的点A 处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为600，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为450,两栋楼之间的距离为30m ，求电梯楼的高BC 为多少米（精确到0.1）.（参考数据：414.12≈732.13≈）4.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为600.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：3，AB=10米，AE=15米．(i=1：3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)(1)求点B距水平面AE的高度BH；(2)求广告牌CD的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)5.如图,为了测量山顶铁塔AE的高,小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为450,在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)6.如图,在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站,A在B的正东方向,AB=2(单位：km)．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号)7.如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角为600，铁塔底部B的仰角为450．已知塔高AB=20m，观察点E到地面的距离EF=35m，求小山BD的高（精确到0.1m，3≈1.732）．8.如图,某超市在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板与地面平行,请你根据图中数据计算回答:小敏身高1.78米,她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米,他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51）9.某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，下图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中,AB⊥BD,∠BAD=18o，C在BD上,BC=0.5m.根据规定:地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为CD的长就是所限制的高度,而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果.（结果精确到0.1m）参考数据：Sin180=0.31,Cos180=0.95,tan180=0.325新10.一中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时,测量朝西教学楼前的旗杆AB 的高度.如图所示，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆AB 的顶端A 的影子落在教学楼前的坪地C 处，测得影长CE=2m ，DE=4m ，BD=20m ，DE 与地面的夹角为α=300．在同一时刻，测得一根长为1m 的直立竹竿的影长恰为4m ．•根据这些数据求旗杆AB 的高度．（可能用到的数据：2≈1.414,3≈1.732，结果保留两个有效数字）11.如图，甲、乙两只捕捞船同时从A 港出海捕鱼.甲船以每小时215千米的速度沿西偏北30°方向前进,乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。

九年级数学解直角三角形及其应用

1、在Rt△ABC中，∠C=90° AC=1， AB=2，则BC= ， ∠A= ，∠B= 。
2、如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为30°则 B 高BC= 米。 3、某防洪堤坝的横断面是梯形，背水坡的坡长为40米，坡角为45°，则坝高为米。
A C
4、如图，一艘轮船向下东方向航行，上午9时测得它在灯塔P的南偏西30°方向，距离灯塔120海里的M处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N处，则这艘船在这段时间内航行的平均北速度是每小时海里。 P 东
A
C
D
12、如图，平面镜PQ前有直线 MN∥PQ， MN与PQ的距离为1米，在MN上一点A处观察物体B及B在镜内的虚像C，测得∠BAN=45 °， B A M N ∠CAN=60°，请你 Q 根据上述条件求出 P 物体B到平面镜PQ C 的距离。
； /lidaxiao/ 李大霄是壹起吃各饭。众人现在都住在园子里，淑清的身体还没有完全好利索，惜月又怀着身孕，寿宴自然也就摆在咯园子。其它的事情都好办，只是天仙妹妹还在王府里，是不是也应该来参加爷的寿宴？壹想到冰凝，雅思琦的肠子都要悔青咯。当初她极力撺掇爷搬来园子，本来是为咯防止爷对天仙妹妹动咯心思，将来再壹发不可收拾，成为第二各李淑清，那她雅思琦可真是前后夹击、腹背受敌，嫡福晋的地位岌岌可危。淑清的前车之鉴，雅思琦壹辈子都不会忘记。但是这壹次，事实证明她又壹次大错特错咯！爷对天仙妹妹根本就没有任何兴趣，却是让惜月这各猴精猴精的丫头得咯手！偷鸡不成蚀把米，搬起石头砸自己的脚，福晋懊恼得恨不能痛骂自己壹顿。既然天仙妹妹的警报早已经解除，而且她来参加爷的寿宴本也是理所应当的事情，因此，趁着向爷汇报寿宴安排的诸项事宜，雅思琦随口向他提咯起来：“爷，假如没有啥啊别的事情，那妾身就让苏培盛给府里传各话儿，让冰凝妹妹也来参加爷的寿宴，这样可好？”“冰凝？” 王爷的脑子壹时半会儿没有转过弯来，冰凝是谁？过咯好久他才回过神儿来，就是那各年氏？原来他在王府里，还有壹各女眷呢。时隔才两各多月，他已经早早地将她忘在咯脑后。今日猛然听福晋提起来，短时间内他还真是没有想好准备怎么办。说句真心话，他实在是不想见到她。但是她已经被冷落咯两各多月，对她的惩罚也已经相当严重，而且这是他从来都没有过的最严厉的处罚，因此，犹豫咯半天，他只好无奈地开口说道：“行吧，给府里传各话，让她过来。只是，这园子里，还要让福晋多费心，给她安排壹各住处。”“住处倒是不难，园子这么大，还能没有咯住处？只是要委屈冰凝妹妹暂住客房，因为园子里壹直没有准备她的院子„„”雅思琦的说话声音越来越小，最后几各字几乎完全被淹没在喉咙里。雅思琦之所以心虚不已，那是因为没给天仙妹妹准备院子是她这各嫡福晋的失职。可是，爷不发话，谁敢擅做主张？将哪各院子作为冰凝的院子也不是她说咯就能算数的事情！求菩萨保佑，爷可千万不要迁怒于自己。福晋暗暗地祈祷着。“噢，这倒无碍，不过就是临时过来住壹晚，假如她嫌你安排的客房不满意，当天晚上回府里就可以咯，福晋大可不必内疚。”有咯王爷如此旗帜鲜明的态度，雅思琦总算是吃咯壹颗定心丸！客房可以，当天回王府也可以，爷现在怎么这么好说话咯？百思不解的雅思琦只剩下咯后悔不迭和“哑巴吃黄连有苦说不出”。第壹卷第171章好感虽然王爷给雅思琦派送咯定心丸，但是他的这各回答再次验证咯天仙妹妹对于爷而言，完全就是壹各可有可无的人！明摆着爷对天仙妹妹简直就是彻

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解直角三角形应用题考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2 CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC考点二、直角三角形的判定（3~5分）1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

考点三、锐角三角函数的概念（3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即cbcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值4、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系1cos sin 22=+A A5、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形（3~5） 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系：ba B ab Bc a B c b B a b A b a A c b A c a A ========cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin初三数学解直角三角形的应用知识精讲【同步教育信息】一. 本周教学内容：解直角三角形的应用［学习目标］1. 了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用。

2. 掌握仰角、俯角、坡度等概念，并会解有关问题。

3. 会用直角三角形的有关知识解决某些简单实际问题。

二. 重点、难点： 1. 仰角、俯角在进行测量时，视线与水平线所成角中，规定：视线在水平线上方的叫做仰角。

视线在水平线下方的叫做俯角。

2. 坡度坡面的铅直高度h 和水平宽度L 的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i 表示，即i hL=。

如果把坡面与水平面的夹角记作α（叫做坡角），那么i hL==tan α。

3. 直角三角形在实际问题中的应用在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的作用。

具体来说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形的边，角之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。

［教学难点］运用解直角三角形的知识，结合实际问题示意图，正确选择边角关系，解决实际问题。

【典型例题】例1. “曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠A=30°，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花圃的面积。

解：分两种情况计算（1）如图1，过C 作CD ⊥AB 于D ，则图1CD AD AC ===2030203，·°cos DB CB CD =-=2215，故S AB CD ABC △·×==+=+121220315202003150()()（米2）（2）如图2，过C 作CD ⊥AB 且交AB 的延长线于D ，图2由（1）可得CD=20，AD DB ==20315，，所以 S AB CD ABC △·==+122003150()（米2）点拨：通过作高，把解某些斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题。

例2. 某片绿地的形状如图3所示，其中∠A=60°，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=200m ，CD=100m ，求AD 、BC 的长。

（精确到1m ，31732≈.）图3解：延长AD ，交BC 的延长线于点E ，可构成两个直角三角形，在Rt △ABE 中，∠A=60°，AB=200m ∴·BE AB A ==tan 2003(m) AE AB m ===cos ()6020012400°在Rt △CDE 中，∠CED=30°，CD=100m ∴·∠DE CD CED m ==cot ()1003 CE CD CEDm ===sin ∠10012200∴AD AE DE m =-=-4001003227≈() BC BE CE m =-=-2003200146≈()点拨：其他四边形，如平行四边形，梯形等，常通过作高实现多边形向直角三角形转化。

例3. 如图4所示，某电视塔AB 和楼CD 的水平距离为100米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高。

图4（精确到0.1m ，参考数据：214142317320==..，）解：在Rt △ADB 中，∵∠ADB=60°，DB=100m ，∴AB DB ADB m ====tan tan .()∠×°10060100317320 在△ACE 中，∠ACE=45° ∴AE=CE=100∴CD EB AB AE m ==-=-=173********..()答：电视塔高是173.2m ，楼高是73.2m 。

点拨：搞清仰角、俯角等概念，同时要找合适的直角三角形。

例4. 如图5，在比水面高2m 的A 地，观测河对岸有一直立树BC 的顶部B 的仰角为 30°，它在水中的倒影B'C 顶部B'的俯角是45°，求树高BC （结果保留根号）图5解：设树高BC=x(m)，过A 作AE ⊥BC 于E ，在Rt △ABE 中，BE x BAE BAE AEBE=-==230，∠°，∠cot ∴AE BE BAE x x ==-=-·∠·cot ()()2332∵∠B'AE=45°，AE ⊥BC ∴B E AE x '()==-32又∵B E B C EC BC AD x ''=+=+=+2∴x m =+()()423 答：树高BC 为()423+m点拨：树与树的倒影长度相等，即BC=B'C ，是此题的隐含条件。

例5. 为防水患，在漓江上游修筑防洪堤，其横截面为一梯形，如图6，堤的上底宽AD 和堤高DF 都是6米，其中∠B=∠CDF 。

图6（1）求证：△ABE ∽△CDF ；（2）如果tanB=2，求堤的下底BC 的长。

（1）证明：∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∠B=∠CDF∴△ABE ∽△CDF（2）解：在Rt △ABE 中，tan B AEBE==2， ∴BE AE==23 在Rt △CDF 中，tan tan ∠CDF CFDFB ===2 ∴CF=2DF=12∴BC BE EF CF m =++=++=361221()答：堤的下底BC 的长是21m 。

点拨：与堤坝有关的问题，首先要搞清坡度（坡比），坡角等概念，同时还要将四边形问题转化为解直角三角形。

例6. 如图7，水库的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡CD 坡度i'=1：1，斜坡AB 坡度i =13：，求斜坡AB 的长及坡角α和坝底宽AD （精确到0.1m ）。

图7 解：过B ，C 两点分别作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，则B E CF ==23m ，在Rt △ABE 中，tan α===i 1333∴°，∴α===30246AB BE m () ∵i BE AE AE ===132313，即， ∴AE m =233() 在Rt △CFD 中，i CF FD '==11∴FD=CF=23（m ）∴AD AE EF FD =++=++=+23362329233≈×≈29231732688+..()m 答：斜坡AB 长4m ，坡角α为30°，坝底宽AD 约为68.8m 。

点拨：求出近似值要符合题目要求。

例7. 如图8，某轮船沿正北方向航行，在A 点处测得灯塔C 在北偏西30°，船以每小时20海里的速度航行2小时到达B 点后，测得灯塔C 在北偏西75°，问当此船到达灯塔C 的正东方时，船距灯塔C 有多远（结果保留两位有效数字）图8解：在△ABC 中，AB=20×2=40（海里），∠A=30° ∠°°°，BCA =-=753045过B 作BE ⊥AC 于E则AE AB ===cos304032203°×（海里） BE AB ===sin30401220°×（海里） ∴AC AE CE BE =+=+=+=+203203202031()（海里）过C 作CD ⊥AB 于D ，则CD CA ==+sin ().3010312732°≈（海里）答：船到达灯塔正东时，它距灯塔海里。