2014年辽宁省葫芦岛市中考数学试卷

2014年辽宁省葫芦岛市中考数学试卷一．选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）1．（2分）在 2 ，2-， 0 ，12-四个数中， 最小的数是( ) A ． 2 B ．2- C ． 0 D ．12- 2．（2分）如图所示的几何体中，它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．3．（2分）下列计算正确的是( )A ．32a a a ÷=B ．31()02-=C ．347()a a =D ．311()28-=- 4．（2分）如图，桌面上有木条b 、c 固定，木条a 在桌面上绕点O 旋转(090)n n ︒<<后与b平行，则(n = )A ．20B ．30C ．70D ．805．（2分）计算：225515(-= )A ．40B ．1600C ．2400D ．28006．（2分）若||2a a a -=，则实数a 在数轴上的对应点一定在( )A ．原点左侧B ．原点或原点左侧C ．原点右侧D ．原点或原点右侧7．（2分）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是( )A ．PQ 为APB ∠的平分线B ．PA PB =C ．点A 、B 到PQ 的距离不相等D ．APQ BPQ ∠=∠8．（2分）某体育场计划修建一个容积一定的长方体游泳池，设容积为3()a m ，泳池的底面积2()S m 与其深度()x m 之间的函数关系式为(0)a S x x=>，该函数的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．9．（2分）如图，边长为a 的正六边形内有一边长为a 的正三角形，则(S S =阴影空白 )A ．3B ．4C ．5D ．610．（2分）如图，用两根等长的金属丝，各自首尾相接，分别围成正方形ABCD 和扇形111A D C ，使11A D AD =，11D C DC =，正方形面积为P ，扇形面积为Q ，那么P 和Q 的关系是()A ．P Q <B ．P Q =C ．P Q >D ．无法确定二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案写在题中的横线上）11．（3= ．12．（3分）已知a ，b 为两个连续整数，且a b <<，则a b += ．13．（3分）如图，AE ，BD 交于点C ，BA AE ⊥于点A ，ED BD ⊥于点D ，若4AC =，3AB =，2CD =，则CE = ．14．（3分）若2m n +=，1mn =，则22m n += ．15．（3分）如图，矩形ABCD 中，点M 是CD 的中点，点P 是AB 上的一动点，若1AD =，2AB =，则PA PB PM ++的最小值是 ．16．（3分）如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长是 ．三.解答题（本大题共9个小题，共82分，街答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）先化简，再求值：22111x x x x----，其中2005x =． 18．（8分）某演讲比赛中只有甲、乙、丙三位同学进行决赛，他们通过抽签决定演讲顺序，用列表法或画树状图法求：（1）第二个出场为甲的概率；（2）丙在乙前面出场的概率．19．（8分）有n 个方程：2280x x +-=；2222820x x +⨯-⨯=；22280x nx n ⋯+-=． 小静同学解第一个方程2280x x +-=的步骤为：“①228x x +=；②22181x x ++=+；③2(1)9x +=；④13x +=±；⑤13x =±；⑥14x =，22x =-．” （1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．（2）用配方法解第n 个方程22280x nx n +-=．（用含有n 的式子表示方程的根）20．（8分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D （不与点B 重合）在BC 上，点E 是AB 的中点，过点A 作//AF BC 交DE 延长线于点F ，连接AD ，BF ．（1）求证：AEF BED ∆≅∆．（2）若BD CD =，求证：四边形AFBD 是矩形．21．（9分）如图1，长为60km 的某段线路AB 上有甲、乙两车，分别从南站A 和北站B 同时出发相向而行，到达B 、A 后立刻返回到出发站停止，速度均为30/km h ，设甲车，乙车距南站A 的路程分别为y 甲，()y km 乙行驶时间为()t h ．（1）图2已画出y 甲与t 的函数图象，其中a = ，b = ，c = ．（2）分别写出02t 剟及24t <…时，y 乙与时间t 之间的函数关系式．（3）在图2中补画y 乙与t 之间的函数图象，并观察图象得出在整个行驶过程中两车相遇的次数．22．（10分）某体院要了解篮球专业学生投篮的命中率，对学生进行定点投篮测试，规定每人投篮20次，测试结束后随机抽查了一部分学生投中的次数，并分为五类，Ⅰ：投中11次；Ⅱ投中12次；Ⅲ：投中13次；Ⅳ：投中14次；Ⅴ：投中15次．根据调查结果绘制了下面尚不完整的统计图1、图2:回答下列问题：（1）本次抽查了 名学生，图2中的m = ．（2）补全条形统计图，并指出中位数在哪一类．（3）求最高的命中率及命中最高的人数所占的百分比．（4）若体院规定篮球专业学生定点投篮命中率不低于65%记作合格，估计该院篮球专业210名学生中约有多少人不合格．23．（9分）油井A 位于油库P 南偏东75︒方向，主输油管道12AP km =，一新建油井B 位于点P 的北偏东75︒方向，且位于点A 的北偏西15︒方向．（1）求PBA ∠= ；（2）求A ，B 间的距离；（3）要在AP 上选择一个支管道连接点C ，使从点B 到点C 处的支输油管道最短，求这时BC 的长．（结果保留根号）24．（11分）如图，22⨯网格（每个小正方形的边长为1)中，有A ，O ，B ，C ，D ，E ，F ，H ，G 九个格点．抛物线l 的解析式为212y x bx c =++． （1）若l 经过点(0,0)O 和(1,0)B ，则b = ，c = ；它还经过的另一格点的坐标为 ．（2）若l 经过点(1,1)H -和(0,1)G ，求它的解析式及顶点坐标；通过计算说明点(1,2)D 是否在l 上．（3）若l 经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样的抛物线的条数．25．（11分）图1和图2，半圆O 的直径2AB =，点P （不与点A ，B 重合）为半圆上一点，将图形延BP 折叠，分别得到点A ，O 的对称点A '，O '，设ABP α∠=．（1）当15α=︒时，过点A '作//AC AB '，如图1，判断A C '与半圆O 的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α= ︒时，BA '与半圆O 相切．当α= ︒时，点O '落在PB 上．（3）当线段BO'与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．2014年辽宁省葫芦岛市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）1．（2分）在 2 ，2-， 0 ，12-四个数中， 最小的数是( ) A ． 2 B ．2- C ． 0 D ．12- 【解答】解： 由正数大于零， 零大于负数， 得12022>>->-， 故选：B ．2．（2分）如图所示的几何体中，它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：从正面看左边一个正方形，右边一个正方形，故D 符合题意；故选：D ．3．（2分）下列计算正确的是( )A ．32a a a ÷=B ．31()02-=C ．347()a a =D ．311()28-=- 【解答】解：A 、底数不变指数相减，故A 正确；B 、负数的奇次幂是负数，故B 错误；C 、底数不变指数相乘，故C 错误；D 、负整数指数幂于正整数指数幂互为倒数，故D 错误；故选：A ．4．（2分）如图，桌面上有木条b 、c 固定，木条a 在桌面上绕点O 旋转(090)n n ︒<<后与b平行，则(n = )A ．20B ．30C ．70D ．80【解答】解：木条a 在桌面上绕点O 旋转30(090)n ︒<<后与b 平行，理由为：旋转30︒后，得到一对内错角都为70︒，利用内错角相等两直线平行得到//a b ．故选：B ．5．（2分）计算：225515(-= )A ．40B ．1600C ．2400D ．2800【解答】解：225515(5515)(5515)70402800-=+⨯-=⨯=．故选：D ．6．（2分）若||2a a a -=，则实数a 在数轴上的对应点一定在( )A ．原点左侧B ．原点或原点左侧C ．原点右侧D ．原点或原点右侧【解答】解：由||2a a a -=，得||a a =-， 故A 是非正数，故选：B ．7．（2分）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是( )A ．PQ 为APB ∠的平分线B ．PA PB =C ．点A 、B 到PQ 的距离不相等D ．APQ BPQ ∠=∠【解答】解：由图可知，PQ 是APB ∠的平分线，A ∴，B ，D 正确； PQ 是APB ∠的平分线，PA PB =，∴点A 、B 到PQ 的距离相等，故C 错误．故选：C ．8．（2分）某体育场计划修建一个容积一定的长方体游泳池，设容积为3()a m ，泳池的底面积2()S m 与其深度()x m 之间的函数关系式为(0)a S x x=>，该函数的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：由长方体泳池的体积公式知：a Sx =，故泳池的底面积2()S m 与其深度()x m 之间的函数关系式为(0)a S x x=>为反比例函数， 故选：C ．9．（2分）如图，边长为a 的正六边形内有一边长为a 的正三角形，则(S S =阴影空白 )A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：边长为a 的正六边形的面积是边长是a 的等边三角形的面积的6倍， ∴设S 空白x =，则S 阴影65x x x =-=，∴5S S =阴影空白．故选：C ．10．（2分）如图，用两根等长的金属丝，各自首尾相接，分别围成正方形ABCD 和扇形111A D C ，使11A D AD =，11D C DC =，正方形面积为P ，扇形面积为Q ，那么P 和Q 的关系是()A ．P Q <B ．P Q =C ．P Q >D ．无法确定【解答】解：正方形面积2P AB =，扇形面积211222Q lr AB AB AB ==⨯=，其中l 为扇形弧长，等于正方形2个边长，r 为扇形半径，等于正方形边长， 则P Q =． 故选：B ．二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案写在题中的横线上）11．（3= 2 ．【解答】2， 故答案为：2．12．（3分）已知a ，b 为两个连续整数，且a b <<，则a b += 7 ． 【解答】解：223134<<，34∴<，即3a =，b b =， 所以7a b +=． 故答案为：7．13．（3分）如图，AE ，BD 交于点C ，BA AE ⊥于点A ，ED BD ⊥于点D ，若4AC =，3AB =，2CD =，则CE =52．【解答】解：BA AE ⊥于点A ，ED BD ⊥， 90A D ∴∠=∠=︒，且ACB DCE ∠=∠， ABC DEC ∴∆∆∽，∴BC ACCE CD=， 在Rt ABC ∆中，4AC =，3AB =，可求得5BC =，∴542CE =， 解得52CE =． 故答案为：52． 14．（3分）若2m n +=，1mn =，则22m n += 2 ． 【解答】解：2m n +=，1mn =，∴原式2()2422m n mn =+-=-=，故答案为：215．（3分）如图，矩形ABCD 中，点M 是CD 的中点，点P 是AB 上的一动点，若1AD =，2AB =，则PA PB PM ++的最小值是 3 ．【解答】解：AP PB AB +=，PM ∴最小时，PA PB PM ++的值最小值，由垂线段最短可知PM CD ⊥时，PA PB PM ++的值最小值， 最小值为123+=． 故答案为：3．16．（3分）如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长是3π．【解答】解：如图，分别连接OA 、OB 、OD ；OA OB ==2AB =，OAB ∴∆是等腰直角三角形， 45OAB ∴∠=︒；同理可证：45OAD ∠=︒， 90DAB ∴∠=︒； 60CAB ∠=︒，906030DAC ∴∠=︒-︒=︒，∴当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为：3021803ππ⨯=． 故答案为：3π．三.解答题（本大题共9个小题，共82分，街答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）先化简，再求值：22111x x x x----，其中2005x =． 【解答】解：原式22111x x x x -=+-- 2211x x x -+=-2(1)1x x -=- 1x =-，当2005x =时，原式200512004=-=．18．（8分）某演讲比赛中只有甲、乙、丙三位同学进行决赛，他们通过抽签决定演讲顺序，用列表法或画树状图法求： （1）第二个出场为甲的概率； （2）丙在乙前面出场的概率． 【解答】解：（1）画树状图得：可得所有等可能的情况有6种，分别为甲，乙，丙；甲，丙，乙；乙，甲，丙；乙，丙，甲；丙，甲，乙；丙，乙，甲， 则P （第二个出场是甲）2163==； （2）丙在乙前面出场的情况有3种， 则P （丙在乙前面出场）3162==． 19．（8分）有n 个方程：2280x x +-=；2222820x x +⨯-⨯=；22280x nx n ⋯+-=． 小静同学解第一个方程2280x x +-=的步骤为：“①228x x +=；②22181x x ++=+；③2(1)9x +=；④13x +=±；⑤13x =±；⑥14x =，22x =-．” （1）小静的解法是从步骤 ⑤ 开始出现错误的．（2）用配方法解第n 个方程22280x nx n +-=．（用含有n 的式子表示方程的根） 【解答】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的， 故答案为：⑤；（2）22280x nx n +-=，2228x nx n +=，222228x nx n n n ++=+，22()9x n n +=，3x n n +=±，12x n = 24x n =-．20．（8分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D （不与点B 重合）在BC 上，点E 是AB 的中点，过点A 作//AF BC 交DE 延长线于点F ，连接AD ，BF ． （1）求证：AEF BED ∆≅∆．（2）若BD CD =，求证：四边形AFBD 是矩形．【解答】证明：（1）//AF BC ，AFE EDB ∴∠=∠， E 为AB 的中点， EA EB ∴=，在AEF ∆和BED ∆中， AFE EDB EA EBBED AEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AEF BED ASA ∴∆≅∆；（2）AEF BED ∆≅∆，AF BD ∴=，//AF BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，AB AC =，BD CD =，AD BD ∴⊥，∴四边形AFBD 是矩形．21．（9分）如图1，长为60km 的某段线路AB 上有甲、乙两车，分别从南站A 和北站B 同时出发相向而行，到达B 、A 后立刻返回到出发站停止，速度均为30/km h ，设甲车，乙车距南站A 的路程分别为y 甲，()y km 乙行驶时间为()t h ．（1）图2已画出y 甲与t 的函数图象，其中a = 60 ，b = ，c = ． （2）分别写出02t 剟及24t <…时，y 乙与时间t 之间的函数关系式．（3）在图2中补画y 乙与t 之间的函数图象，并观察图象得出在整个行驶过程中两车相遇的次数．【解答】解：（1）由题意，得60a =，2b =，4c =． 故答案为：60，2，4；（2）当02t 剟时，设y 乙与时间t 之间的函数关系式为y kx b =+乙，由题意，得 6002bk b =⎧⎨=+⎩， 解得：3060k b =-⎧⎨=⎩3060y t ∴=-+乙当24t <…时，设y 乙与时间t 之间的函数关系式为11y k x b =+乙，由题意，得111102604k b k b +=+⎧⎨=⎩， 解得：113060k b =⎧⎨=-⎩，3060y t ∴=-乙．（3）列表为：描点并连线为：如图，由于两个图象有两个交点，所以在整个行驶过程中两车相遇次数为2．22．（10分）某体院要了解篮球专业学生投篮的命中率，对学生进行定点投篮测试，规定每人投篮20次，测试结束后随机抽查了一部分学生投中的次数，并分为五类，Ⅰ：投中11次；Ⅱ投中12次；Ⅲ：投中13次；Ⅳ：投中14次；Ⅴ：投中15次．根据调查结果绘制了下面尚不完整的统计图1、图2:回答下列问题：（1）本次抽查了30名学生，图2中的m=．（2）补全条形统计图，并指出中位数在哪一类．（3）求最高的命中率及命中最高的人数所占的百分比．（4）若体院规定篮球专业学生定点投篮命中率不低于65%记作合格，估计该院篮球专业210名学生中约有多少人不合格．【解答】解：（1）本次抽查的学生数是：96830360÷=（名)，图2中的936010830m=⨯=；故答案为：30，108；（2）第Ⅱ类的人数是：3029865----=，补图如下：因为共有30名学生，则中位数是地15，16个数的平均数，所以中位数在第Ⅲ类；（3）根据题意得：最高命中率为15100%75% 20⨯=，命中率最高的人数所占的百分比为6100%20% 30⨯=；（4）111265% 2020<<，∴投中次数为11次、12次的学生记作不合格，∴估计210名学生中不合格的人数为252104930+⨯=（人)．23．（9分）油井A 位于油库P 南偏东75︒方向，主输油管道12AP km =，一新建油井B 位于点P 的北偏东75︒方向，且位于点A 的北偏西15︒方向． （1）求PBA ∠= 90︒ ； （2）求A ，B 间的距离；（3）要在AP 上选择一个支管道连接点C ，使从点B 到点C 处的支输油管道最短，求这时BC 的长．（结果保留根号）【解答】解：如图：（1）15230BPA ∠=︒⨯=︒， 751560BAP ∠=︒-︒=︒， 180306090PBA ∴∠=︒-︒-︒=︒；（2）1sin301262AB AP km =︒=⨯=； （3）过B 作BC AP ⊥，sin 606BC AB =︒==．24．（11分）如图，22⨯网格（每个小正方形的边长为1)中，有A ，O ，B ，C ，D ，E ，F ，H ，G 九个格点．抛物线l 的解析式为212y x bx c =++．（1）若l 经过点(0,0)O 和(1,0)B ，则b = 12- ，c = ；它还经过的另一格点的坐标为 ．（2）若l 经过点(1,1)H -和(0,1)G ，求它的解析式及顶点坐标；通过计算说明点(1,2)D 是否在l 上．（3）若l 经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样的抛物线的条数．【解答】解：（1）根据题意得：0102c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得：120b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故函数的解析式是：21122y x x =-， 点中(1,1)H -满足函数解析式，则另一个格点的坐标是(1,1)-． 故答案是：12-，0，(1,1)-；（2）根据题意得：1121b c c ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩解得：121b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则函数的解析式是：211122y x x =++， 22111171()22228y x x x =++=++，则顶点坐标为1(2-，7)8，点(1,2)D 在抛物线l 上；（3）因为题目中的0.5a =，在这个条件下，抛物线的开口方向和开口大小是确定的．应该是4条，分别过HOB 三点，AOC 三点，HGD 三点，还有FGC 三点， 综上所述，满足这样的抛物线有4条．25．（11分）图1和图2，半圆O 的直径2AB =，点P （不与点A ，B 重合）为半圆上一点，将图形延BP 折叠，分别得到点A ，O 的对称点A '，O '，设ABP α∠=．（1）当15α=︒时，过点A '作//AC AB '，如图1，判断A C '与半圆O 的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α= 45 ︒时，BA '与半圆O 相切．当α= ︒时，点O '落在PB 上．（3）当线段BO '与半圆O 只有一个公共点B 时，求α的取值范围．【解答】解：（1）相切，理由如下：如图1，过O 作OD 过O 作OD AC ⊥'于点D ，交A B '于点E ，15α=︒，//AC AB '，30ABA CA B ∴∠'=∠'=︒，12DE A E ∴='，12OE BE =， 11()22DO DE OE A E BE AB OA ∴=+='+==， A C ∴'与半圆O 相切；（2）当BA '与半圆O 相切时，则OB BA ⊥'， 290OBA α∴∠'==︒，45α∴=︒，当O '在PB 上时，如图2，连接AO '，则可知12BO AB '=， 30O AB ∴∠'=︒，60ABO ∴∠'=︒，30α∴=︒， 故答案为：45；30；（3）点P ，A 不重合，0α∴>， 由（2）可知当α增大到30︒时，点O '在半圆上， ∴当030α︒<<︒时点O '在半圆内，线段BO '与半圆只有一个公共点B ； 当α增大到45︒时BA '与半圆相切，即线段BO '与半圆只有一个公共点B ． 当α继续增大时，点P 逐渐靠近点B ，但是点P ，B 不重合， 90α∴<︒，∴当4590α︒<︒…线段BO '与半圆只有一个公共点B ． 综上所述030α︒<<︒或4590α︒<︒…．。