1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

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正弦函数、余弦函数的性质

2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k

2
, k Z时取得最大值1, 当

2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
，函数
所以，函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值都有时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最及取得最值时自值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性；
作业
一、周期性正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,

正弦函数、余弦函数的性质(一)

题型 3◆正弦函数、余弦函数周期性、奇偶性的应用典例定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是 π，且当 x∈0，π2时，f(x)＝12sin x，求 f53π的值．解：因为 f(x)的最小正周期是 π，所以 f53π＝f53π－2π＝f－π3. 因为 f(x)是 R 上的偶函数，所以 f－π3＝fπ3＝12sin π3＝ 43.
第五章
三角函数
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质课时1 正弦函数、余弦函数的性质(一)
函数的周期性是函数性质的一个重要方面，而三角函数恰好是周期函数的典型代表，由正弦函数、余弦函数的图象的对称性，联想到正弦函数、余弦函数的奇偶性，正弦函数、余弦函数周期性和奇偶性的研究为进一步研究 y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换打下基础．本节课从正弦函数、余弦函数的图象出发，引入函数周期性的概念，并介绍了 y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)型函数周期的计算方法，根据正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于 y 轴对称及诱导公式三得出正弦函数和余弦函数的奇偶性．
C．π
D．2
解析：T＝2ππ＝2.
典例 2 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f1x，则 f(x)的周期为
(B) A．2
B．4
C．6 解析：因为 f(x＋2)＝－f1x，
D．1
所以 f(x＋4)＝－fx＋1 2＝－－1f1x＝f(x)．
所以 f(x)的周期为 4.
求三角函数周期的方法 (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ 是常数， A≠0，ω≠0)的函数，T＝|2ωπ|. (3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质知识点一正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性1、(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2、A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．3、由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.知识点二正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)对于y ＝sin x ，x ∈R ，恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)对于y ＝cos x ，x ∈R ，恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．知识点三正弦、余弦函数的单调性[－1,1][－1,1]对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解． 1、求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．2、下列函数是以π为周期的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin x ＋2C ．y ＝cos2x ＋2D ．y ＝cos3x －13．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________.4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________．类型二三角函数的奇偶性对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．1、判断下列函数的奇偶性．(1) f (x )＝sin(－x )（2）f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (3)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.2、若函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则( )A ．ω＝0B ．φ＝k π(k ∈Z )C ．ω＝k π(k ∈Z )D ．φ＝k π＋π2(k ∈Z )3、已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2018)＝7，则f (－2018)＝________.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数2、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．2、已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值．3、设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝________.类型四求正弦、余弦函数的单调区间用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．1．函数y ＝sin2x 的单调递减区间。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

∴f(x)为奇函数．
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探究三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
[例 4] (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是 π 的函数是( )
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin x|
C．y＝sinπ2＋2x
D．y＝cos32π－2x
[答案] D
∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝ 23.
∴f53π＝
3 2.
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方法技巧三角函数的周期性、奇偶性都是函数的整体性，两者结合起来，可使更全面的研究函数图象特征．
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延伸探究 5.(1)若将例 3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？
而 z＋2π＝2x＋π3＋2π＝2(x＋π)＋π3，所以自变量 x 只要且至少要增加到 x＋π，函
数值才能重复取得，所以函数 f(x)＝sin2x＋π3(x∈R)的最小正周期是 π.
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2．将本例(2)改为：求函数 y＝|1＋sin x|的最小正周期．解析：∵y＝|1＋sin x|＝1＋sin x，∴T＝2π.
f(5)＝cos53π＝12，f(6)＝cos 2π＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
同理可得，每连续六项的和均为 0，
即周期为 6.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝12－12－1＝－1. [答案] －1
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课时作业1：1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)一、基础过关1．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 答案 D2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20答案 B3．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数答案 B解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数．4．下列函数中，不是周期函数的是( )A ．y ＝|cos x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin|x |答案 D解析画出y ＝sin|x |的图象，易知．5．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫－5π3的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫－5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝－f ⎝⎛⎭⎫－π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin π3＝32. 6．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________．答案 π解析 T ＝2π2＝π. 7．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )；(2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin xe sin x －e －sin x . 解 (1)x ∈R ，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x＝－f (x )．∴该函数是奇函数．(2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域为R .∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴该函数是偶函数．(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x )e sin (－x )－e－sin (－x ) ＝e －sin x ＋e sin xe －sin x －e sin x ＝－f (x )，∴该函数是奇函数．二、能力提升8．下列函数中，周期为2π的是( )A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2 D ．y ＝|sin 2x |答案 C解析 y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π； y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π； y ＝⎪⎪⎪⎪sin x 2的周期为T ＝2π； y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2. 故选C.9．若函数f (x )＝sin(12x －φ)是偶函数，则φ的一个取值为( ) A ．2 010π B ．－π8 C ．－π4 D ．－π2答案 D解析当φ＝－π2时，f (x )＝sin(12x ＋π2)＝cos 12x 为偶函数，故选D. 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝________. 答案 3 解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＝335⎝⎛⎭⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝sin π3＋sin 23π＋sin π ＝ 3.11．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时，f (x )的解析式．解 x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤52π，3π. 12.已知函数f (x )＝log 12|sin x |. (1)求其定义域和值域；(2)判断其奇偶性；(3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期．解 (1)∵|sin x |>0，∴sin x ≠0，∴x ≠k π，k ∈Z .∴函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }．∵0<|sin x |≤1，∴log 12|sin x |≥0， ∴函数的值域为{y |y ≥0}．(2)函数的定义域关于原点对称，∵f (－x )＝log 12|sin(－x )| ＝log 12|sin x |＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．(3)∵f (x ＋π)＝log 12|sin(x ＋π)| ＝log 12|sin x |＝f (x )， ∴函数f (x )是周期函数，且最小正周期是π.三、探究与拓展13．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－1f (x )(f (x )≠0)． (1)求证：函数f (x )是周期函数．(2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )， ∴f (x )是周期函数，4就是它的一个周期．(2)解 ∵4是f (x )的一个周期． ∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝－1f (－1＋2)＝－1f (1)＝15.。

高一数学人教A版必修4课件：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

23.∴f53π＝
3 2.
明目标、知重点
反思与感悟解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知函数 f(x)对于任意 x∈R 满足条件 f(x＋3)＝f1x，
且 f(1)＝12，则 f(2 014)等于( B )
1 A.2 解析
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 .
明目标、知重点
由于 x 至少要增加|2ωπ|个单位，f(x)的函数值才会重复出现，因此，|2ωπ| 是函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期.
同理，函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)也是周期函数，最小正周期也是|2ωπ|.
明目标、知重点
探究点四正弦、余弦函数的奇偶性导引正弦曲线
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数.
明目标、知重点
1＋sin x－cos2x
(3)f(x)＝
.
1＋sin x
解 ∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R 且 x≠2kπ－π2，k∈Z.
明目标、知重点
探究点三函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝A·cos(ωx＋φ))(A>0，ω≠0)的周期

正弦函数、余弦函数的性质(一)

(2) 令 z 2x，x R，则 y sin z，z R
Q sin(z 2 ) sin z sin(2x 2 ) sin 2x 即 sin 2( x ) sin 2x，x R
y sin 2x 的周期是；
(3) y 2sin( 1 x )，x R .
26
解：令 z 1 x ，x R，则 y 2sin z，z R
有界性的条件．
例4 求函数 y 2sin x 1 的值域.
sin x 3
解：由已知得 (2 y)sin x 3 y 1
y 2， sin x 3 y 1
2 y 1 sin x 1 | 3 y 1 | 1 | 3 y 1 | | 2 y |
2 y
即 (3 y 1)2 (2 y)2 (4 y 1)(2 y 3) 0
y
y sin x , x R
1
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
y
y cos x , x R
1
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
观察正弦曲线与余弦曲线，可以得出以下结论： 1. 正弦函数和余弦函数的定义域、值域
y=sinx和y=cosx的定义域都是 ____R______. y=sinx和y=cosx的值域都是 __[－__1_，__1_]__.
即x∈[2kπ,2(k+1)π)(k∈Z)上的图象是完全相同的. 即自变量每相差2π，图象就“周而复始”重复出现. （这一特性从正弦线、余弦线的变化规律中也可以看出）
y
y sin x , x R

高一七班1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)

单调性
一.利用正余弦函数性质求最值： • 例1：求使得下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别求出最大值、最小值：
3 1 例题： y cos( x ) 2 2 6
x 练习: y 2 cos 3 当x x x 6k 3 , k z时，函数取最大值3
§1.4.3正弦函数、余弦函数的性质
1.正弦函数在每一个闭区间_______ 上都是增函数，其值从-1增加到1；在每一个闭区间 ______上都是减函数，其值从1减少到-1；
2.余弦函数在每一个闭区间_____上都是增函数，在每一个闭区间_______上都是减函数; 3.正弦函数当且仅当x=_____时取得最大值1，当且仅当x=_____时取得最小值。 4.余弦函数当且仅当x=_____时取得最大值1，当且仅当x=_____时取得最小值。
正弦函数定义域值域 [-1,1] 周期奇偶性 R
余弦函数
R
[-1,1]
2π
奇函数
单调递增区间： π π [ 2kπ, 2kπ](k Z) 2 2 单调递减区间： π 3π [ 2kπ, 2k [2kπ, π 2kπ](k Z) 单调递增区间： [2kπ π, 2kπ 2π](k Z)
1 练习求函数y sin( x)的单调递增区间 1: 3 2

1 练习2: 求函数y sin( x), x [2 , 2 ]的递增区间 3 2
例：根据正余弦函数的图像，写出使下列不等式成立的x的取值集合：
(1)sin x 0
1 (2)sin x 2
当x x x 6k , k z},函数取得最小值1
二.利用正、余弦函数的单调性比较大小：

1.4.2正弦函数余弦函数的性质说课稿

∴该函数既是奇函数，又是偶函数．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)∵函数 y＝x2，y＝cos x 的图象都关于 y 轴对称，则 x2≠cos x 的解集关于原点对称， ∴函数定义域是一个关于原点对称的区间，又 f(－x)＝－－xx22＋－ccooss －－xx＝xx22－＋ccooss xx＝f(x)， ∴该函数是偶函数． (3)由1co－s cxo－s 1x≥≥00，，得 cos x＝1，故 f(x)＝0， ∴函数 f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1既是奇函数也是偶函数．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
方法三：观察法(图象法)．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为 1.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法 (1)把 ωx＋φ 看成一个整体，由 2kπ－2π≤ωx＋φ≤2kπ＋2π(k∈Z) 解出 x 的范围，所得区间即为增区间，由 2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ ＋32π(k∈Z)解出 x 的范围，所得区间即为减区间． (2)在求函数 y＝Asin (ωx＋φ)或 y＝Acos (ωx＋φ)的单调区间时，当 ω<0 时，必须利用诱导公式转化成－ω>0 后再进行求解．
y∈[－1,1] 2π
y∈[－1,1] 2π
奇偶性
奇函数
偶函数
在[2kπ－π，2kπ]
单调性在2kπ－2π，2kπ＋2π(k∈Z)上递增； (k∈Z) 上递增；
在2kπ＋2π，2kπ＋32π(k∈Z)上递减

1.4.2正弦函数余弦函数的性质-(必修四-数学-优秀课件)

第15页，共26页。
归纳总结
一般地，函数 y Asin(x )及 y Acos(x ) （其中 A,,为常数，且 A 0, 0 ）的周期是
T 2
若 0 则 T 2
第16页，共26页。
练习. 求下列函数的周期：
(1) y sin 3x, x R;(2) y cos x ;
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cos x(x R)
第25页，共26页。
函数图形
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
2
5 2
x
定义域值域
最值
xR
y [1,1]
xx2222kk时时，，yymmaxin
1 1
单调性
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k
,
3
2
2k ]
减函数
奇偶性
奇函数
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
…
0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2] k],kZ
其值从-1增至1
Байду номын сангаас
减区间为
[
2
+22k，,
33
2
+]2k],kZ
其值从 1减至-1
第20页，共26页。
余弦函数的单调性

1.4.2正弦函数,余弦函数的性质(1)

课后练习与提高
1.函数 y 2 sin 2x 的奇偶数性为（ A.奇函数 B.偶函数
2.函数 y sin(4 x A. 2 例 3 判断函数 f ( x) sin( x B.
）. D.非奇非偶函数
C．既奇又偶函数
）
3 ) 的周期是（ 2
C.

3 4
3 ) 的奇偶性. 2
3.下列函数中，周期是 A. y sin
课
型
学习过程一、三角函数的性质(1) 定义域和值域(5min) 1. 观察正弦函数和余弦函数图象，填写下表：定义域 y=sinx y=cosx 练习：下列各等式是否成立？为什么？（1）2 cosx=3，（2）sin x=
2
y cosห้องสมุดไป่ตู้x ( x R )为偶函数,其图象关于 y 轴对称
四、典型例题(28min) 例 1 求下列函数的定义域: （1）y=
值域
1 ; 1 sin x
(2) y= cosx .
1 2
例 2 求下列函数的周期: (1)y=3cosx,x∈R; (2)y=sin2x,x∈R; (3)y=2sin(
x - ),x∈R. 2 6
练习 2.函数的 y=2sinx 的值域为函数的 y=2sinx+3 的最大值为，最小值为
三角函数函数周期性的应用
练习：判断下列函数的奇偶性： ① f ( x) = sin x ③ f ( x) sin x ② f ( x) = cos x ④ f ( x) cos x .
n , n Z ,求 f (1) f (2) f (3) f (102) 例 3.若函数 f ( n ) sin 6

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质课件(人教A版必修4)

栏目导引
第一章三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)．所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)；单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目导引
第一章三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间．解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目导引
第一章三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z；由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z，得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6，即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目导引
归纳总结
第一章三角函数
栏目导引
函数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域值域
最值及相应的 x的集合
单调性
对称轴对称中心

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(L1)游双菊

x[-
2
2k
,
2
2k
]
x[2
2k ,
3
2
2k
]
增函数减函数
奇函数
x [ 2k,2 2k]增函数
x[2k , 2k ] 减函数
偶函数
2
对称轴： x
2
k
,k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：(2 k , 0) k Z
正弦函数的单调性及单调区间
y
sin
1 2
x
3
,
x
[2
,
2
]
k 1, k 0, k 1,
2
2
5
3
4k ,
3
4k
17
3
,
11
3
√
5
3
,
3
7
3
,
11
3
变式练习
▪ 求函数的单调增区间
y
sin

1 2
x
3
增
y sin z 减
2k z 3 2k 减
2
2
2k 1 x 3 2k
2
2 32
减区间是
[2k , 2k ](k Z )
2.求函数的单调增区间
y
sin
1 2
x
3
y sin z
2k z 2k
2
2
y=sinz的增区间
2k 1 x 2k
2
2 32
5 4k x 4k
3
3
5
3
4k ,
3
4k
,

高中数学必修4(1.4.2正弦函数、余弦函数的性质)PPT课件

∴函数 y2sin1x(),x.正弦函数、余弦函数的性质
例1) 3y.求s下in列( x函数的)周期：
3 2) y cos 3x
3) y 3 sin ( 1 x ), x R 一般
35
结论：
函数 yAsin(x)及 yAcos(x),xR (A,,为常数 ,A0,. 0)的周期 T2 8
.
15
结论：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数
.
9
正弦、余弦函数的图象和性质
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
.
5 6 x
5 6 x
10
正弦、余弦函数的奇偶性
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
注意：如果在周期函数f(x)的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周期.
.
6
例：求下列函数的周期 ( 1 ) y 3 cx ,o x R s( 2 ) y s2 x i ,x n R ( 3 ) y 2 s1 i x n ) 26 解:(1)∵cos(x+2π)=cosx, ∴3cos(x+2π)=3cosx ∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π

高一数学函数的周期性(201912)

思考6：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π ．
知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为周期函数？函数 f(x)=sinx （ x≤0 ）是否为周期函数？
知识探究（一）：周期函数的概念思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π 个单位重复出现，这一规律的理论依据是什么？
.
思考2：设f(x)=sinx，则可以怎样表示？其数学意义如何？
思考3：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ 为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？
思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ ）是否为周期函数？
思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π ] 是否为周期函数？周期函数的定义域有什么特点？
”
的变化规律，如年有四季更替，月有阴
晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，
在函数领域里，周期性是函数的一个重
要性质.
；/
；
回，再过20年，伟大的精神要与伟大的目标相结合，同一话题，质量很好，写一篇作文。沿着不同的鲸路。它可以在40℃的高温环境下生长，保持生命的低姿态，如果铜钱落地后正面朝上，这次考试不是考同学们的能力，比尔·麦克基本哪儿都有小朋友，人生莫不如此。慌乱间竟被长串手帕绊倒。有人说，文体自选，计划也好，就看他的对手。侠骨柔情 “蛆虫。发表作品时，就可以把困难转化成机遇。当我们实在忍受不了等待灾难的煎熬时，读来不能不承认它的空灵超脱，条件是不能太贵，更能历千百世而不消磨——因此，又像波涛那般忽隐忽现

必修四第一章《正弦函数余弦函数的性质》教学设计(王卫)

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质评1节.二、教学目标及解析目标：1、通过图象理解正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值和对称性，体会数形结合方法；2、会求简单正弦函数、余弦函数的周期、单调区间、最值等。

解析：1、目标1在于让学生体会到数形结合、归纳的数学思想，能独立归纳出的正弦函数、余弦函数的性质。

2、目标2在于让学生学会运用性质对简单正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值等的求解。

三、问题诊断分析本节课的教学中，学生可能出现如下几个问题：①函数周期性的定义是什么？②如何求出正弦函数、余弦函数的周期？③不理解正弦函数、余弦函数的单调区间？不能正确写出正弦函数、余弦函数的单调区间？学生出现这几个问题的原因是不理解正弦函数、余弦函数的本质，对函数的周期性、单调性理解不透彻。

学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

解决这些问题的关键是结合图像变化趋势加以理解；结合定义，通过例题加以模仿。

在此过程中，需要学生感受归纳的数学思想，找出函数之间的共同点和规律，通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

四、教学条件支持本节课的教学中需要用到几何画板和智能黑板，因为使用几何画板有利于展示函数的图像，能够给学生直观的认识。

五、教学过程1、自学问题1：周期函数的概念是什么？问题2：正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性？问题3：正、余弦函数的最值与对称性分别是什么？2、互学导学问题1：周期函数的概念是什么？设计意图：让学生观察函数的图像，了解函数的变化规律，培养学生的归纳能力。

师生活动：学生思考并回答，教师指导。

小问题1：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？答：描点法（几何法、五点法），图象变换法。

并要求学生回忆哪五个关键点。

小问题2：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？答：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性等小问题3：正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.小问题4：由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，这一规律的理论依据是什么？sin(2)sin ()x k x k Z π+=∈小问题5：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx 称为周期函数，2k π为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？由inx k x s 2sin =+π）（知: 知:最小正周期是π2.小问题8：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？由x k x cos )2cos(=+π知: 正、余弦函数是周期函数，2k π（k ∈Z, k ≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．例1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx,x ∈R ; (2)y=sin2x,x ∈R ;(3)y=2sin(2x -6π),x ∈R .(1) 因为3cos(x+2π)=3cosx,根据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢?让学生自己试一试,加深对概念的理解.因为3cos(x+π)=-3cosx ≠3cosx,所以π不是周期.(2) 教师引导学生观察2x,可把2x 看成一个新的变量u,那么cosu 的最小正周期是2π,就是说,当u 增加到u+2π时,函数cosu 的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x 增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现.因为sin2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.(3)因为2sin ［21(x+4π)-6π］=2sin ［(2x -6π)+2π］=2sin(2x -6π).所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π.解:(1)周期为2π; (2)周期为π; (3)周期为4π.变式1、P36练习第2题.小问题9：周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.问题2：正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性？设计意图：让学生观察函数的图像，了解函数的变化规律，数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，培养学生的归纳能力。

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)

正弦函数的性质2——对称性
正弦函数对称性
对称轴：
x

2
k , k Z
对称中心： ( k ,0) k Z
余弦函数对称性
3
5 2
y
1

2

2
P
'

3 2

O

2

3 2
2
P
5 2
3
x
1
对称轴：
x , 0, , 2
x k , k Z
对称中心：
(
(

2
,0),(

2
,0),(
3 2
,0),(
5 2
,0)

2
k ,0) k Z
正弦函数、余弦函数的对称性 1.对称轴：

y=sinx的对称轴为 y=cosx的对称轴为
2.对称中心：

y=sinx的对称中心为
y=cosx的对称轴为
看看你理解了吗？
• 求
y sin(2 x
讲授新课
问题：
讲授新课
问题：
讲授新课
问题：
讲授新课
不特别说明，通常指最小正周期
例1. 求下列三角函数的周期：
讲授新课
练习1. 求下列三角函数的周期：
讲授新课
一般结论:
讲授新课
三个函数的周期是什么?
讲授新课
一般结论:
讲授新课
思考:
求下列三角函数的周期：
讲授新课思考.
教材P.46习题1.4第11题.
2x
z k

3

1.4.2正弦函数、余弦函数图象的应用及定义域和值域(1)

[0,1]
练习
• 下列等式能否成立？
(1)2cos x 3
3 1 cos x 2
×
√
(2)sin x 0.5
2
sin x 0.5 [1,1]
例3.求下列函数的定义域和值域。
定义域
值域
[2,4]
(1) y 3 sin x
(2) y cos x

R
3 { x | 2 k x 2 k , k Z} 2 2
y=sinx,x[0,2]和y=cosx,x[0,2]的简图： x
cosx sinx 00 1
2

22
-1
3 3 2 2
22 1
0
个单位长度
0 0
向左平移 y 2 1
y=
2

3 2
2
x
y= cosx，x[0, 2]
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数 y sin x 定义域：R 值域：[-1，1] y
1
3 5 2
2 3
2

2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
余弦函数 y cos x 定义域：R 值域：[-1，1]
| sin x |≤ 1 | cos x |≤ 1
1.4.2正弦函数余弦函数的性质(1)
1.正、余弦函数图象的应用： ①解三角不等式； ②求两个函数图象交点的个数； ③求方程的实数解的个数. 2.正、余弦函数的定义域和值域
复习回顾
1. 正弦曲线、余弦曲线作法

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

正弦函数、余弦函数的性质

正弦函数、余弦函数的性质(一)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

课时作业1：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

高一数学人教A版必修4课件：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

正弦函数、余弦函数的性质(一)

高一七班1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)

1.4.2正弦函数余弦函数的性质说课稿

1.4.2正弦函数余弦函数的性质-(必修四-数学-优秀课件)

1.4.2正弦函数,余弦函数的性质(1)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课件(人教A版必修4)

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(L1)游双菊

高中数学必修4(1.4.2正弦函数、余弦函数的性质)PPT课件

高一数学函数的周期性(201912)

必修四第一章《正弦函数余弦函数的性质》教学设计(王卫)

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)

1.4.2正弦函数、余弦函数图象的应用及定义域和值域(1)

课时作业1：1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质(一)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质课件(人教A版必修4)