【内供】2019届高三好教育云平台9月内部特供卷 文科数学(一)学生版
【内供】2019届高三好教育云平台9月内部特供卷 理科数学(一)学生版
2019届高三好教育云平台9月份内部特供卷高三理科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{20}P x x x =|-≥，}{12Q x x =|<≤，则()R C P Q =（ ） A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]2．已知()21i =1i z-+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+D ．1i --3．如表是我国某城市在2017年1月份至10月份个月最低温与最高温（C ︒）的数据一览表．月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温 599 1117 24 27 30 31 21 最低温12- 3- 12-71719232510已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的是（ ） A ．最低温与最高位为正相关B ．每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D ．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A ．7B ．8C ．15D ．165．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()210f x x x=+>，则()1f -=（ ） A ．2-B ．0C ．1D ．26．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113 D ．538．已知()2sin13,2sin77=︒︒a ，1-=a b ，a 与-a b 的夹角为3π，则⋅=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．28y x =B ．28x y =C ．24y x =D ．24x y =10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ） A ．2B ．4C ．25+D ．425+此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号好教育云平台 内部特供卷 第3页（共8页） 好教育云平台 内部特供卷 第4页（共8页）11．已知椭圆C：22221(0)x y a b a b+=>>，点M ，N ，F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率是（ ） A ．512- B ．312- C ．212- D ．3212．已知ABC △是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt ACD △与Rt BCD △）组成的三角形，如左下图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒．现将Rt ACD △沿斜边AC 进行翻折成1D AC △（1D 不在平面ABC 上）．若M ，N 分别为BC 和1BD 的中点，则在ACD △翻折过程中，下列命题不正确的是（ ）A ．在线段BD 上存在一定点E ，使得EN 的长度是定值B ．点N 在某个球面上运动C ．对于任意位置，二面角1D AC B --始终大于二面角1D BC A -- D ．存在某个位置，使得直线1AD 与DM 所成角为60︒二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设x ，y 满足约束条件1400x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则3z x y =-的取值范围为__________．14．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．15．在数列{}n a 中，113a =，()113,3n n n n a a a ++=∈N +，且13nnb a =+．记12n n P b b b =⨯⨯⨯，12n n S b b b =+++，则13n n n P S ++=__________．16．如图，在ABC △中，3sin23ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，433BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin A B Ca b c+=． （1）证明：sin sin sin A B C =；（2）若22265b c a bc +-=，求tan B ．18．（12分）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（1）证明MN ∥平面PAB ;（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．19．（12分）某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．（1）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；（2）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；（3）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？20．（12分）已知中心在原点O，左、右焦点分别为1F，2F，焦距为A，B是椭圆上两点．（1）若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OA OB⊥，求此圆的方程；（2）动点P满足：3OP OA OB=+，直线OA与OB的斜率的乘积为13-，求动点P的轨迹方程．好教育云平台 内部特供卷 第7页（共8页） 好教育云平台 内部特供卷 第8页（共8页）21．（12分）设函数()3f x x ax b =--，R x ∈，其中,R a b ∈．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=； （3）设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于14．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】以直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为x ty at=⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为()4sin 12ρρθ-=，定点()6,0A ，点P 是曲线1C 上的动点，Q 为AP 的中点．（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）直线l 与曲线2C 相交于B ，C 两点，若23BC ≥，求实数a 的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()2f x x a x =++-．（1）当3a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[]0,2，求a 的取值范围．好教育云平台 内部特供卷答案 第1页（共6页） 好教育云平台 内部特供卷答案 第2页（共6页）2019届高三好教育云平台9月份内部特供卷高三理科数学（一）答 案一、选择题． 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】A 12．【答案】D 二、填空题． 13．【答案】[]2,4- 14．【答案】1415．【答案】3 16．【答案】32 三、解答题．17．【答案】（1）见解析；（2）4． 【解析】（1）根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===>，则sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入cos cos sin A B Ca b c+=中，有cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k C +=， 变形可得sin sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B =+=+（）．在ABC △中，由A B C ++=π， 有sinsin sin A B C C +=π-=（）（），所以sin sin sin A B C =． （2）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223cos 25b c a A bc +-==． 所以241cos sin 5A A =-=．由（1），sin sin sin cos cos sin AB A B A B =+，所以443sin cos sin 555B B B =+，故sin 4co tan s B B B ==． 18．【答案】（1）见解析；（2）85． 【解析】（1）由已知得223AM AD ==． 取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN BC ∥，122TN BC ==．又AD BC ∥，故=TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥． 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ．（2）取BC 的中点E ，连结AE ．由AB AC =得AE BC ⊥，从而AE AD ⊥，且222252BC AE AB BE AB ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．由题意知，()0,0,4P ，()0,2,0M ，()5,2,0C，5,1,2N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,4PM =-，5,1,2PN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，5,1,2AN ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 设(),,x y z =n 为平面PMN 的一个法向量，则00PM PN ⋅=⋅⎪⎨⎪=⎧⎩n n ，即240 520y z x y z ⎧⎪⎨=+-=⎪- 可取()0,2,1=n ，于是85cos ,AN AN AN⋅〈〉==n n n ．19．【答案】（1）25；（2）见解析；（3）400元． 【解析】（1）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有110C 种，摸到红球的结果共有14C 种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是14110C 42C 105==．……2分（2）设X 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则()3 0.4X B -，，所以()30.4 1.2E X np ==⨯=．由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2100120⨯=元．由于顾客参加三次抽奖获得现金奖好教育云平台 内部特供卷答案 第3页（共6页） 好教育云平台 内部特供卷答案 第4页（共6页）励的均值120元小于直接返现的150元， 所以商场经理希望顾客参加抽奖．……………7分 （3）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y ．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则()10 0.4Y B -，． 于是，恰好k 次中奖的概率为()1010C 0.40.6k k kP Y k -==⨯⨯，0 1 10k =，，…，． 从而()()()21113P Y k k P Y k k=⨯-==-， 1 2 10k =，，…，， 当 4.4k <时，()()1P Y k P Y k =-<=； 当 4.4k >时，()()1P Y k P Y k =->=，则()4P Y =最大．所以，最有可能获得的现金奖励为4100400⨯=元．于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．………………12分20．【答案】（1）2234x y +=；（2）()2233033x y x +=≠．【解析】（1）设椭圆方程为()222210x ya b a b +=>>，由已知2226222c a c b a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，得312a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆方程为2213x y +=．①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆方程得()()222136310k x kmx m +++-=．∴122613kmx x k -+=+，()21223113m x x k-⋅=+． ∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，即()()()()221212121212121x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++()()22222316101313m kmkkm m k k --⎛⎫=+⋅++= ⎪++⎝⎭，即224330m k --=． ∵AB 与以原点为圆心的圆相切，∴圆半径21m r k =+则222314m r k ==+，∴圆的方程为2234x y +=． ②当直线AB 的斜率存在时，易知AB 方程为3x =满足上述方程．综上，所求圆的方程为2234x y +=． （2）设(),P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由3OP OA OB =+得121233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩ 又直线OA ，OB 的斜率积为13-，∴121213y y x x =-，即121230x x y y +=． ∵A ，B 在椭圆上，∴221113x y +=，222213xy +=联立得121212122211222233303333x x x y y y x x y y x y x y ⎧=+⎪=+⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎩消去1x ，1y ，2x ，2y ，得22330x y +=．当OA 斜率不存在时，即10x =，得11y =±，20y =，23x =±33x =±，同理OB 斜率不存在时，33x =±P 点的轨迹方程为(2233033x y x +=≠．21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）解：由()3f x x ax b =--，可得()23f x x a ='-，下面分两种情况讨论： ①当0a ≤时，有()230f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞． ②当0a >时，令()0f x '=，解得3a x 3ax = 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x3,3a ⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭33a- 33,33a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭33a3,3a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()f x ' +-+()f x单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以()f x 的单调递减区间为33a a ⎛ ⎝⎭，单调递增区间为3,a ⎛-∞ ⎝⎭，3a ⎫+∞⎪⎪⎝⎭． （2）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >且00x ≠．由题意，得()20030f x x a '=-=，即203a x =，进而()3000023a f x x ax b x b =--=--，又()()3000000082282233a a f x x axb x ax b x b f x -=-+-=-+-=--=，且002x x -≠，由题意及（1）知，存在唯一实数1x 满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此102x x =-，所以10+2=0x x ．（3）证明：设()g x 在区间[]1,1-上的最大值为M ，{}max ,x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三好教育云平台 内部特供卷答案 第5页（共6页） 好教育云平台 内部特供卷答案 第6页（共6页）种情况讨论：（1）当3a ≥时，11≤-<，由（1）知，()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f ⎡⎤-⎣⎦，因此()(){}{}{}max |1|,|1|max 1,1max 1,1M f f a b a b a b a b =-=---+-=-+-- 1+010a bb a bb -≥⎧=⎨--<⎩所以12M a b =-+≥． （2）当334a ≤<时，11≤-<<< 由（1）和（2）知()1f f f ⎛-≥= ⎝⎭⎝⎭，()1f f f ⎛≤= ⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为,f f ⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此max ,max M f f b b ⎧⎫⎛⎧⎫⎪⎪== ⎨⎬⎨⎬ ⎩⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭231max ,944b b b ⎫==≥⨯=⎬⎭．（3）当304a <<时，11-<<<，由（1）和（2）知， ()1f f f ⎛-<= ⎝⎭⎝⎭，()1f f f ⎛>= ⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f ⎡⎤-⎣⎦，因此，()(){}{}{}1max |1|,|1|max 1,1max 1,114M f f a b a b a b a b a b =-=-+---=-+--=-+>． 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于14． 22．【答案】（1）()()22314x y -+-=；（2）30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）由题意知，曲线1C 的直角坐标方程为22412x y y +-=．设点(),P x y ''，(),Q x y ． 由中点坐标公式得262x x y y'=-⎧⎨'=⎩，代入22412x y y +-=中，得点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程为()()22314x y -+-=． （2）直线l 的普通方程为y ax =≤304a ≤≤， 即实数a 的取值范围是30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．23．【答案】（1）][(),43,-∞-+∞；（2）[]2,0-． 【解析】（1）当3a =时，()213532 212x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩，当3x ≤-时，由()7f x ≥得217x --≥， 解得4x ≤-；当32x -<<时，()7f x ≥无解；当2x ≥时，由()7f x ≥得217x +≥，解得3x ≥，所以()7f x ≥的解集为][(),43,-∞-+∞．（2）()4f x x ≤-等价于42x a x x +≤---当[]0,2x ∈时，42x a x x +≤---等价于22a x a --≤≤-，由条件得20a --≤且22a -≥，即20a -≤≤．故满足条件的a 的取值范围为[]2,0-．。
2019届高三年级上学期9月模拟考试卷(一)文科数学(含答案)
2019届高三年级年上学期9月模拟考试卷（一）数学（文）试卷（考试时间：120分钟 总分：150分）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II 卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+-=021A x x x，{}13B >=x x 则（ ）A ．{}2B A ->=⋃x x B ．{}2B A -≥=⋃x xC ．{}002-B A ><<=⋃x x x 或D ．{}10B A ≤<=⋃x x2．“x>1”是“0)2(log 21<+x ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 3．函数x e x f x 3)(+=的零点个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．设0.6 1.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是 A ．a b c ＜＜ B ． a c b ＜＜ C ．b a c ＜＜ D ．b c a ＜＜5．函数y ＝x cos ln (-2π＜x ＜)2π的图象是（ ）6．已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且当0x <时, ()2xf x =,则4(log 9)f 的值为 （ ）A ．-3 B. 13- C. 13D. 37．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递减区间是（ ） A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞8．已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且4)(-=a f ，则=-)14(a f （ ）A ．74-B ．54-C ．34-D ．14- 9.已知f （x ）是R 上的偶函数，将f （x ）的图象向右平移一个单位，得到一个奇函数的图象，若=+⋅⋅⋅+++-=)2018()3()2()1(,1)2(f f f f f 则( )A ．1B ．0C ．—1D ．—1005.510．设函数x x x f )41(log )(4-=，xx x g ⎪⎭⎫⎝⎛-=41log )(41的零点分别为21x x 、，则( )A. 121=x xB. 0＜21x x ＜1C.1＜21x x ＜2D. 21x x 2≥11.知函数f(x)＝9x －m ·3x ＋m ＋1对x ∈(0，＋∞)的图像恒在x 轴上方，则m 的取值范围是( ) A ．2－22<m<2＋2 2 B ．m<2 C ．m<2＋2 2 D ．m ≥2＋2 212.若函数)(x f 满足：在定义域D 内存在实数0x ，使得)1()()1(00f x f x f +=+成立，则称函数)(x f 为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①xx f 1)(=；②x x f 2)(=；③)2lg()(2+=x x f ；④x x f πcos )(=．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）． A ． ①③ B ． ②④ C ． ①② D ． ③④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13已知函数x ax x f 2)(3-=的图象过点)4,1(-，则=a _______14.已知函数x x x f 3)(3+=对任意的0)()2(],2,2[<+--∈x f mx f m 恒成立，则∈x ___________.15．已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则__________16．设函数))((R x x f ∈满足x x f x f sin )()(+=+π当π<≤x 0时，0)(=x f 则=)623(πf ________ . 三、解答题：本大题共6小题，共70分。
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故本题正确选项 C．
4．【答案】A
【解析】 f 1 1 0 ，可排除 C、D，
1 ln 2
又由
y
x
1
ln x
1
0
，则方程无解，即函数没有零点，排除
B，故选
A．
5．【答案】A
【解析】由题 1 sin 2
3 cos 2
3 3 cos 2
1 sin 2
，则 tan 3 ， 2
拥有驾驶证 没有驾驶证
合计
得分优秀
得分不优秀
25
合计
100
（1）补全上面 2 2 的列联表，并判断能否有超过 99% 的把握认为“安全意识优秀与是否
拥有驾驶证”有关？
（2）若规定参加调查的 100 人中分数在 70 以上（含 70）的为“安全意识优良”，从参加
调查的 100 人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出 5 人，再从 5 人中随机
6．已知函数 f x x2 ，则（
x 1
A． f x 在 0,1 单调递增
C． 4 3
D． 3 2
）
B． f x 的最小值为 4
C． y f x 的图象关于直线 x 1对称 D． y f x 的图象关于点 1, 2 对称
7．已知圆 x2 y2 2x 2y a 0 截直线 x y 4 0 所得弦的长度小于 6，则实数 a 的
2．【答案】A
【解析】
z
2i 1 2i
2 i1 2i 1 2i1 2i
5i 5
i
， z
对应的点坐标为 0, 1
，
【内供】2019届高三好教育云平台10月内部特供卷 文科数学(二)教师版
2019届高三好教育云平台10月份内部特供卷高三文科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2A =，{}1,2,3B =，{}2,3,4C =，则()A B C =I U （ ） A ．{}1,2,3 B ．{}1,2,4 C ．{}2,3,4 D ．{}1,2,3,4【答案】D2．复数()32i i z =-的共轭复数z =（ ） A ．23i + B ．23i -+ C ．23i - D ．23i --【答案】C3．如下所示，茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为（ ）乙组甲组95 y 840129x 27 4A ．3，6B ．3，7C ．2，6D ．2，7【答案】B4．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =（ ） A ．11- B ．8-C ．5D ．11【答案】A5．设23a =，3log 4b =，23log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】B6．已知“2x >”是“()2x a a >∈R ”的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．(),4-∞B ．()4,+∞C ．(0,4]D ．(,4]-∞【答案】D7．一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D8．设变量x ，y 满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1-【答案】A 9．已知直线6x π=是函数()()sin 2f x x ϕ=+的图像的一个对称轴，其中()0,2ϕ∈π，且()2f f π⎛⎫<π ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦ZB ．(),36k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦ZC ．(),2k k k π⎡⎤ππ+∈⎢⎥⎣⎦ZD ．(),2k k k π⎡⎤π-π∈⎢⎥⎣⎦Z【答案】B10．点A ，B ，C ，D ，E是半径为5的球面上五点，A ，B ，C ，D 四点组成边长为此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号方形，则四棱锥E ABCD -体积最大值为（ ） A ．2563B ．256C ．643D ．64【答案】A 11．若()e exxf x -=+，则()2e 11ef x +-<的解集为（ ）A ．()0,1B ．()1,0-C ．()0,2D ．()1,2-【答案】C12．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点()1,0M -的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，使0AF BF ⋅=uu u r uu u r，则直线AB 的斜率k =（ ）ABCD【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知直线y x =与圆2240x y x +-=相交于两点A 、B ，则AB = ．【答案】14．若直线()1y kx k =+∈R 与曲线()32,y x bx c b c =++∈R 相切于点()1,2M ，则22b c +=__________．【答案】5 15．已知的前n 项和2n S n =，数列111n a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前5项和5T = ．【答案】52416．如图所示，在ABC △中，AD DB =，F 在线段CD ，设AB =u u u r a ，AC =u u u rb ，AF x y =+uuu r a b ，则14x y+的最小值为__________．【答案】6+三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，角A 、B 、C成等差数列，b = （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值；（2）求a c +的最大值． 【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由角A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+，又A B C ++=π，得3B π=． 又由正弦定理，3sin 4sin C A =，得34c a =，即34a c =，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =． （2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，∴a A，c C =，)()sin sin sin sin a c A C A A B +=+=++⎤⎦sin sin 36A A A π⎤π⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦， 由203A π<<，知当62A ππ+=，即3A π=时，()max a c += 18．（12分）编号分别为1A ，2A ，L ，16A 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：（2）从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人．①用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2人得分之和大于50的概率． 【答案】（1）4，6，6；（2）①见解析；②13．【解析】（1）4，6，6；（2）①解：得分在区间[)20,30内的运动员编号为3A ，4A ，5A ，10A ，11A ，13A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{}34A A ，{}35A A ，{}310A A ，{}311A A ，{}313A A ，{}45A A ，{}410A A ，{}411A A ，{}413A A ，{}510A A ，{}511A A ，{}513A A ，{}1011A A ，{}1013A A ，{}1113A A ，共15种．②解：“从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有：{}45A A ，{}410A A ，{}411A A ，{}510A A ，{}1011A A ，共5种． ∴()51153P B ==． 19．（12分）如图，在四面体D ABC -中，已知5AD BC AC ===，6AB DC ==，4tan 3DAB ∠=，M 为线段AB 上的动点(不包含端点) ．BADC M（1）证明：AB CD ⊥；（2）若2AM MB =，求三棱锥B DMC -的体积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：作取AB 中点O ，连DO ，CO ．由AC BC =，O 为中点，故OC AB ⊥． 由5AD =，3AO =，4sin 5DAB ∠=知4OD =，故OD AB ⊥， ∴AB ⊥平面DOC ，CD 在平面DOC 内，∴AB CD ⊥．（2）∵2AM MB =，∴2D AMC D BMC V V --=，∴13D BMC D ABC V V --=，∵D ABC A DOC B DOC V V V ---=+，由（1）知AB ⊥平面DOC ，∴13D ABC A DOC B DOC DOC V V V AB S ---∆=+=⨯，∴DOC △为等腰三角形，DOC S =△∵11633D ABC A DOC B DOC DOC V V V AB S ---∆=+=⨯=⨯⨯，∴13D BMC D ABC V V --==20．（12分）已知椭圆()222:90C x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ．（1）证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求l的斜率；若不能，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）四边形OAPB 能为平行四边形，当l的斜率为44形OAPB 为平行四边形．【解析】（1）设直线()0,0y kx b k b =+≠≠，()11,A x y ，()22,B x y ，(),M M M x y ，将y kx b =+代入2229x y m +=，得()2222920k x kbx b m +++-=，故12229M x x kb x k +==-+，299M Mby kx b k =+=+，于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-， 即9OM k k ⋅=-，所是命题得证． （2）四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >且3k ≠．由（1）得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ．由22299y x k x y m⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2222981P k m x k =+，即P x =． 将点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入直线l 的方程得()33m k b -=，因此()()2339M mk k x k -=+，四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =()()23239mk k k -=⨯+．解得14k =-24k =+∵0i k >，3i k ≠，1i =，2，∴当l的斜率为44+OAPB 为平行四边形． 21．（12分）已知函数()ln 1xf x x =-． （1）确定函数()f x 在定义域上的单调性；（2）若()e xf x k ≤在()1,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；（2）1ek ≥． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞U ，()()211ln '1x x f x x --=-，令()11ln g x x x =--，则有()21'x g x x-=， 令()21'0xg x x -==，解得1x =， ∴在()0,1上，()'0g x >，()g x 单调递增，在()1,+∞上，()'0g x <，()g x 单调递减． 又()10g =，∴()0g x ≤在定义域上恒成立，即()'0f x <在定义域上恒成立， ∴()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．（2）由()e xf x k ≤在()1,+∞上恒成立得：ln e 1x xk x ≤-在()1,+∞上恒成立． 整理得：()ln 1e 0xx k x --≤在()1,+∞上恒成立．令()()ln 1e xh x x k x =--，易知，当0k ≤时，()0h x ≤在()1,+∞上恒成立不可能，∴0k >， 又()1'e x h x kx x=-，()'11e h k =-， （i ）当1ek ≥时，()'11e 0h k =-≤， 又()1'e x h x kx x=-在()1,+∞上单调递减， ∴()'0h x ≤在()1,+∞上恒成立，则()h x 在()1,+∞上单调递减， 又()10h =，∴()0h x ≤在()1,+∞上恒成立．（ii ）当10e k <<时，()'11e 0h k =->，11'e 0k h k k ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，又()1'e x h x kx x=-在()1,+∞上单调递减， ∴存在()01,x ∈+∞，使得()0'0h x =，∴在()01,x 上()'0h x >，在()0,x +∞上()'0h x <，∴()h x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减， 又()10h =，∴()'0h x >在()01,x 上恒成立， ∴()0h x ≤在()1,+∞上恒成立不可能．综上所述，1ek ≥． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】平面直角坐标系中，直线l的参数方程为11x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;（2）已知与直线l 平行的直线l '过点()20M ,，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求MA MB ⋅． 【答案】（1）)11y x =-+，22y x =；（2）163． 【解析】（1）把直线l的参数方程化为普通方程为)11y x =-+． 由22cos 1cos θρθ=-，可得()221cos 2cos ρθρθ-=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =． （2）直线l 的倾斜角为3π，∴直线l '的倾斜角也为3π， 又直线l '过点()20M ,， ∴直线l '的参数方程为122x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'⎪⎩(t '为参数)， 将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=， 设点A ，B 对应的参数分别为1t '，2t '． 由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-，1243t t ''+=．∴163MA MB ⋅=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()1f x x x =+-． （1）解不等式()3f x ≥；（2）若()()2f x f y +≤，求x y +的取值范围． 【答案】（1）(][),12,-∞-+∞U ；（2）[]0,2．【解析】（1）当0x ≤时，原不等式化为13x x -+-≥，解得1x ≤-， 结合0x ≤，得1x ≤-．当01x <<时，原不等式化为13x x +-≥，无解．当1x ≥时，原不等式化为13x x +-≥，解得2x ≥，结合1x ≥，得2x ≥． 综上，原不等式的解集为(][),12,-∞-+∞U ； （2）()()2f x f y +≤，即112x x y y +-++-≤， 又()111x x x x +-≥--=，()111y y y y +-≥--=， ∴112x x y y +-++-≥．∴112x x y y +-++-=，且111x x y y +-=+-=， ∴01x ≤≤，01y ≤≤，∴02x y ≤+≤．【广西桂林市第十八中学2019届高三上学期第二次月考数学（文）试题用稿】。
2019届高三文科数学好教育云平台9月特供卷(一)(解析版)
2019届高三文科数学好教育云平台9月特供卷（一）（解析版）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合2{20}P x x x =|-≥，}{12Q x x =|<≤，则()R C P Q =（ ） A ．[0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．[1,2]【答案】C【解析】由题意得，()R C 0,2P =，∴()()R C 1,2P Q =，故选C ． 2．已知()21i =1i z-+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】D【解析】由()21i 1iz-=+，得()()()()21i 2i 1i 2i1i 1i1i 1i 1i z ----====--+++-，故选D ． 3．（ ）A ．最低温与最高位为正相关B ．每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D ．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 【答案】B将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大，A 正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前8个月不是逐月增加，B 错； 由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在11月，C 正确；由表格可知1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大，D 正确， 故选B ．4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．16【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，14a ，22a ，3a 成等差数列，则1324+4a a a =即211144a a q a q +=，解得2q =，11a =，则44121512S -==-；故选C ． 5．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()210f x x x=+>，则()1f -=（ ） A ．2- B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】因为()f x 是奇函数，所以()()()11112f f -=-=-+=-，故选A ． 6．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】C【解析】执行第1次，0.01t =，1S =，0n =，10.52m ==，0.5S S m =-=，0.252mm ==，1n =，0S =．5001t =＞．，是，循环， 执行第2次，""025S S m =-=．，01252mm ==．，2n =，025001S t ==．＞．，是，循环，执行第3次，""0125S S m =-=．，006252mm ==．，3n =，0125001S t =>=．．，是，循环， 执行第4次，00625S S m =-=．，0031252mm ==．，4n =，00625001S t =>=．．，是，循环，执行第5次，""003125S S m =-=．，00156252mm ==．，5n =，003125001S t =>=．．，是，循环，执行第6次，0015625S S m =-=．，000781252mm ==．，6n =，0015625001S t =>=．．，是，循环，执行第7次，00078125S S m =-=．，0003906252mm ==．，7n =，00078125001S t =>=．．，否，输出7n =，故选C ．7．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113 D ．53【答案】D【解析】2()332f x ax x '=-+，所以1(1)3103k f a a '==-=⇒=，所以2()32012f x x x x x '=-+=⇒==或，因此，()f x 在区间()1,2上单调减， ()f x 在区间()2,3上单调增，所以最小值是135(2)84221=323f =⨯-⨯+⨯+，选D ．8．已知()2sin13,2sin77=︒︒a ，1-=a b ，a 与-a b 的夹角为3π，则⋅=a b （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】因为()2sin13,2sin77=︒︒a ，1-=a b ，向量a 与-a b 的夹角为3π，则2==a ，所以()241cos 321212⋅--⋅-⋅==-π==⨯⨯a a b a a b a b a a b ，所以3⋅=a b ，故选B ． 9．平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．28y x =B ．28x y =C ．24y x =D ．24x y =【答案】A【解析】设圆心为C ，动点P 到直线的距离为d ，根据题意得：1PC d -=，可得1PC d =+，即：动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线2x =-的距离相等，根据抛物线的定义，动点P 的轨迹为以()2,0为焦点，以2x =-为准线的抛物线，设方程为22y px =，则22p=，4p =，所以抛物线方程为：28y x =，故选A ． 10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ）A ．2B ．4C ．2D ．4+【答案】C【解析】由三视图可得原几何体，如图所示，该几何体的高2PO =，底面ABC 为边长为2的等腰直角三角形，所以该几何体中，直角三角形是底面ABC 和侧面PBC ，事实上，因为PO ⊥底面ABC ，所以平面PAC ⊥底面ABC ，而BC AC ⊥，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，PC ，11222222PBC ABC S S =⨯=⨯⨯=△△，所以该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为2，故选C ．11．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意，过点()2,0-且斜率为23的直线方程为()223y x =+， 与抛物线方程联立()222 34y x y x =+=⎧⎪⎨⎪⎩，消元整理得：2680y y -+=，解得()1,2M ，()4,4N ，又()1,0F ，所以()0,2FM =，()3,4FN =，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=，故选D ． 12．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是AB 中点，点F 是11B C 中点，若正方体1111ABCD A B C D -的内切球与直线EF 交于点G ，H ，且3GH =，若点Q 是棱1BB 上一个动点，则1AQ D Q +的最小值为（ ） A ．6 B．C．D．【答案】C【解析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，内切球球心为O ，由题意可得内切球半径2ar =，OE OF ==，EF ==，取EF 中点P ，则OP =，所以4c o s 2OP POG a OG ∠===，所以2GOH π∠=，2a OG =a = 把平面11DD B B 与平面11AA B B 展成一个平面，则A ，Q ，1D 共线时1AQ D Q +最小， 最小值为：1D A=C ．第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设x ，y 满足约束条件1400x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则3z x y =-的取值范围为__________．【答案】[]2,4-【解析】由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，当目标函数3z x y =-过点53,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，取得最小值，此时最小值为min 533222z =-⨯=-；当目标函数3z x y =-过点()4,0B 时，取得最大值，此时最小值为max 4z =，所以3z x y =-的取值范围为[]2,4-．14．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．【答案】14【解析】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228⨯⨯=（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2184=． 15．在数列{}n a 中，113a =，()113,3n n n n a a a ++=∈N +，且13n n b a =+．记12n n P b b b =⨯⨯⨯，12n n S b b b =+++，则13n n n P S ++=__________．【答案】3【解析】因为113(3)n n n a a a +=+，13n n b a =+，所以13n n n a b a +=，12n n P b b b =⨯⨯⨯31212341133333n n n n a a a a a a a a a a ++=⋅⋅=.又113111(3)3n n n n n n nb a a a a a a +==-=-++， 所以111n n n b a a +=-，1212231111111113n n n n n S b b b a a a a a a a ++=+++=-+-++-=-, 所以111111133333n n n n n n n P S a a ++++++=+-=，所以答案为3．16．已知平面直角坐标内定点()1,0A -，()1,0B ，()4,0M ，()0,4N 和动点()11,P x y ，()22,Q x y ，若1A P B P ⋅=，1122OQ t OMt ON ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中O 为坐标原点，则QP 的最小值是__________．【解析】∵动点()1,0A -，()1,0B ，()11,P x y ，∴1AP BP ⋅=，∴()()11`111,1,1x y x y +⋅-=，∴22112x y +=∴P 的轨迹是个半径为、圆心在原点的圆，∵1122OQ t OM t ON ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴Q ，M ，N 三点共线∵4,0M （），0,4N （），∴Q 的轨迹方程为直线MN ：40x y +-=，∴PQ 的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c o s c o s s i n A B Ca b c+=． （1）证明：sin sin sin A B C =；（2）若22265b c a bc +-=，求tan B ．【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】（1）根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===>，则s i n a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入c o s c o s s i n A B C a b c+=中，有cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k C +=，变形可得sin sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B =+=+（）．在ABC △中，由A B C ++=π，有s i n s i n s i A B C C +=π-=（）（），所以sin sin sin A B C =． （2）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223cos 25b c a A bc +-==．所以4sin 5A =．由（1），s i n s i n s i n c o s c o s s i n AB A B A B =+，所以443sin cos sin 555B B B =+，故sin 4co tan s B B B ==． 18．（12分）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．【答案】（1）见解析；（2）1．【解析】（1）由已知可得，90BAC ∠=︒，BA AC ⊥．又BA AD ⊥，且AC AD A =，所以AB ⊥平面ACD ．又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由已知可得，3DC CM AB ===，DA =又23BP DQ DA ==，所以BP =作QE AC ⊥，垂足为E ，则13QE DC ∥．由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，1QE =．因此，三棱锥Q ABP -的体积为111131332Q ABP ABP V QE S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=△．19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．） 【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）()347.45m ． 【解析】（1）如下图（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为 0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 ()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=．20．（12分）已知中心在原点O ，左、右焦点分别为1F ，2FA ，B 是椭圆上两点．（1）若直线AB 与以原点为圆心的圆相切，且OA OB ⊥，求此圆的方程；（2）动点P 满足：3OP OA OB =+，直线OA 与OB 的斜率的乘积为13-，求动点P 的轨迹方程．【答案】（1）2234x y +=；（2）(22330x y x +=≠． 【解析】（1）设椭圆方程为()222210x ya b a b +=>>，由已知2222c a c b a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，得1a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆方程为2213x y +=．①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 代入椭圆方程得()()222136310kx kmx m +++-=．∴122613km x x k -+=+，()21223113m x x k-⋅=+． ∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，即()()()()221212121212121x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++()()22222316101313m km kkm m kk --⎛⎫=+⋅++= ⎪++⎝⎭，即224330m k --=． ∵AB与以原点为圆心的圆相切，∴圆半径r =则222314m r k ==+，∴圆的方程为2234x y +=． ②当直线AB 的斜率存在时，易知AB方程为x =满足上述方程． 综上，所求圆的方程为2234x y +=． （2）设(),P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由3OP OA OB =+得121233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩ 又直线OA ，OB 的斜率积为13-，∴121213y y x x =-，即121230x x y y +=．∵A ，B 在椭圆上，∴221113x y +=，222213xy +=联立得121212122211222233303333x x x y y y x x y y x y x y ⎧=+⎪=+⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎩消去1x ，1y ，2x ，2y ，得22330x y +=．当OA 斜率不存在时，即10x =，得11y =±，20y =，2x =x =±OB 斜率不存在时，x =±∴P 点的轨迹方程为(22330x y x +=≠． 21．（12分）已知函数()21e xax x f x +-=． （1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程；（2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥．【答案】（1）210x y --=；（2）见解析．【解析】（1）()()2212e x ax a xf x +-'-+=，()02f '=．因此曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程是210x y --=．（2）当1a ≥时，()()21e 1e e x x f x x x +-+≥+-+．令()211e x g x x x +≥+-+，则()121e x g x x+≥++'． 当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增； 所以()()10g x g ≥-=．因此()e 0f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】以直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为x t y at =⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为()4sin 12ρρθ-=，定点()6,0A ，点P 是曲线1C 上的动点，Q 为AP 的中点．（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）直线l 与曲线2C 相交于B ，C 两点，若BC ≥a 的取值范围．【答案】（1）()()22314x y -+-=；（2）30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）由题意知，曲线1C 的直角坐标方程为22412x y y +-=．设点(),P x y ''，(),Q x y ．由中点坐标公式得262x x y y'=-⎧⎨'=⎩，代入22412x y y +-=中，得点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程为()()22314x y -+-=．（2）直线l 的普通方程为y ax =≤304a ≤≤， 即实数a 的取值范围是30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()2f x x a x =++-．（1）当3a =时，求不等式()7f x ≥的解集； （2）若()4f x x ≤-的解集包含[]0,2，求a 的取值范围．【答案】（1）][(),43,-∞-+∞；（2）[]2,0-． 【解析】（1）当3a =时，()213532 212x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩，当3x ≤-时，由()7f x ≥得217x --≥， 解得4x ≤-；当32x -<<时，()7f x ≥无解；当2x ≥时，由()7f x ≥得217x +≥，解得3x ≥，所以()7f x ≥的解集为][(),43,-∞-+∞． （2）()4f x x ≤-等价于42x a x x +≤---当[]0,2x ∈时，42x a x x +≤---等价于22a x a --≤≤-，由条件得20a --≤且22a -≥，即20a -≤≤． 故满足条件的a 的取值范围为[]2,0-．【湖南省2019届高三毕业班调研联考文数试题用稿】。
【内供】2019届高三好教育云平台9月内部特供卷 理科数学(三)学生版
B． 3,0 D． , 3
0,3
0,3
）
姓名
D．若命题 p ：“ x R ，使得 x2 x 1 0 ”，则 p ：“ x R ，均有 x2 x 1 0 ” 4．当 a 1 时，函数 y loga x 和 y 1 a x 的图象只能是（ ）
2．二次函数 f ( x) 4 x 2 mx 5 ，对称轴 x 2 ，则 f (1) 值为（ A． 7 B．17 ） C．1
10．如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图像的交点，那么称这个点为"好点"．
1 1 , ， P4 2, 2 中，"好点"有（ 下列四个点 P 3 1 1,1 ， P 2 1, 2 ， P 2 2
2
18． （12 分） 设函数 f x ax （1）求 y f x 的解析式；
3 1 x2 2 ． b 为常数） （a， ， 且方程 f x x 有两个实根为 x1 1 ， xb 2
的定义域是
．
（2）证明：曲线 y f x 的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心．
此
12．已知 a 为常数，函数 f x x ln x ax 有两个极值点 x1 , x2 x1 x2 ，则（ A． f x1 0 ， f x2
1 2
B． f x1 0 ， f x2 D． f x1 0 ， f x2
卷
C．若 p q 为假命题，则 p 、 q 均为假命题．
f x g x f x g x 0 且 g 3 0 ，则不等式 f x g x 0 的解集是（
2019届高三文科数学高三好教育云平台9月特供卷(二)(解析版)
2019届高三文科数学高三好教育云平台9月特供卷（二）（解析版）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()f x = ）A ．()3,2-B ．()(),32,-∞-+∞C ．[]3,2-D ．(][),32,-∞-+∞【答案】A【解析】解不等式260x x -->得()()230x x -+<，()3,2x ∈-．故选A ．2．已知复数21iz =-，给出下列四个结论：①2z =；②22i z =；③z 的共轭复数1i z =-+；④z 的虚部为i ．其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】由已知1i z =+，则z =22i z =，1i z =-，z 的虚部为1．所以仅结论②正确， 故选B ．3．已知命题:p 若a b >，则22a b >；命题:q 若24x =，则2x =．下列说法正确的是（ ） A ．“p q ∨”为真命题 B ．“p q ∧”为真命题 C ．“p ⌝”为真命题 D ．“q ⌝”为假命题 【答案】A【解析】由条件可知命题p 为真命题，q 为假命题，所以“p q ∨”为真命题，故选A ． 4．如图，已知AB =a ，AC =b ，4BC BD =，3CA CE =，则DE =（ ）A ．3143-b aB ．53124-a b C ．3143-a bD ．53124-b a 【答案】D【解析】()3131534343124DE DC CE BC CA AC AB AC =+=+=--=-b a ．故选D ．5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 【答案】A【解析】设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且222c a b =+，a b c +>． 新的三角形的三边长为a x +、b x +、c x +，知c x +为最大边，其对应角最大．而()()()()222220a x b x c x x a b c x +++++--=>+，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A ．6．与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） A ．230x y -+= B ．230x y --= C ．210x y -+= D ．210x y --= 【答案】D【解析】设()00,P x y 为切点，则切点的斜率为0022y x x x ==='，∴01x =．由此得到切点()1,1．故切线方程为()121y x -=-，即210x y --=，故选D ．7．如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为（ ）A ．25 B ．110 C ．910 D ．15 【答案】D【解析】记其中被污损的数字为x ．依题意得甲的5次综合测评的平均成绩为90，乙的5次综合测评的平均成绩为()14425x +，令()1442905x +≥，由此解得8x ≥，即x 的可能取值为8和9，由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为21105=，故选D ．8．将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】A【解析】将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位，所得函数变为23sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()2222232k x k k ππππ-≤-≤π+∈Z ，解得()71212k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，令0k =，71212x ππ≤≤． 故函数在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选A ．9．设()()122e ,2log31,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为（ ） A ．()()1,23,+∞B．)∞C ．()()1,210,+∞D ．()1,2【答案】C【解析】令()12e 22x x -><，解得12x <<．令()()2log31>22x x -≥，解得x为)∞，不等式()2f x >的解集为()()1,210,+∞，故选C ．10．执行如图所示的程序框图，若输入a ，b ，c 分别为1，2，0.3，则输出的结果为（ ）A ．1.125B ．1.25C ．1.3125D ．1.375 【答案】D【解析】模拟程序的运行，可得1a =，2b =，0.3c =，执行循环体，32m =，不满足条件()0f m =，满足条件()()0f a f m <， 1.5b =，不满足条件a b c -<， 1.25m =，不满足条件()0f m =， 不满足条件()()0f a f m <， 1.25a =，满足条件a b c -<， 退出循环，输出2a b+的值为1.375．故选D ． 11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()()3881201811a a --=+，()()3201120111201811a a -+-=-，则下列结论正确的是（ ）A ．20182018S =，20118a a <B ．20182018S =，20118a a >C ．20182018S =-，20118a a ≤D ．20182018S =-，20118a a ≥【答案】A【解析】设()32018f x x x =+，则由()()f x f x -=-知函数()f x 是奇函数．由()2320180f x x =+'>知函数()32018f x x x =+在R 上单调递增．因为()()3881201811a a --=+，()()3201120111201811a a -+-=-，所以()811f a -=，()201111f a -=-，得()8201111a a =---，即820112a a +=，且20118a a <，所以在等差数列{}n a 中，1201882011201820182018201822a a a a S ++=⋅=⋅=．故选A ． 12．设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x -<'， 则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（ ） A ．()(),10,1-∞- B ．()()1,01,-+∞C ．()(),11,0-∞--D ．()()0,11,+∞【答案】B【解析】设()()()0f x g x x x =≠，则()()()2''x f x f x g x x ⋅-=．当0x >时，()()'0x f x f x ⋅-<，∴()0g x '<，∴()g x 在()0,+∞上为减函数， 且()()()1110g f f --===．∵()f x 为奇函数，∴()g x 为偶函数，∴()g x 的图象的示意图如下图所示．当0x >时，由()0f x <，得()0g x <，由图知1x >， 当0x <时，由()0f x <，得()0g x >，由图知10x -<<，∴使得()0f x <成立的x 的取值范围是()()1,01,-+∞．故答案选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知α为锐角，3,sin 4α⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，1cos ,3α⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，且∥a b ，则α为__________．【答案】15︒或75︒【解析】因为∥a b ，31cos sin 043αα⨯-⨯=，1sin 22α=，故α为15︒或75︒．14．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A 、B 满足2OA OB OA OB ==⋅=，由点集{},1,,P OP OA OB λμλμλμ=++≤∈R 所表示的区域的面积是__________． 【答案】43S =【解析】由2OA OB OA OB ==⋅=知，,3OA OB π〈〉=． 设()2,0OA =，()1,3OB =，(),OP x y =，则23x y λμμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3123x μλ⎧=⎪⎪⎨⎛⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，由1λμ+≤，得3223x y y -+≤． 作出可行域，如图阴影部分所示．则所求面积1242S =⨯⨯．15．在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0A 为圆心且与直线()210mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________． 【答案】()2212x y +=-【解析】直线210mx y m ---=恒过定点()2,1P -，当AP 与直线210mx y m ---=垂直，即点()2,1P -为切点时，圆的半径最大，∴半径最大的圆的半径r =．故所求圆的标准方程为()2212x y +=-．16．在平面几何里，已知直角SAB △的两边SA ，SB 互相垂直，且SA a =，SB b =，则AB边上的高h =S ABC -的三条侧棱SA ，SB ，SC 两两相互垂直，且SA a =，SB b =，SC c =，则点S 到面ABC 的距离h '=__________．【答案】'h =【解析】把结论类比到空间：三棱锥S ABC -的三条侧棱SA ，SB ，SC 两两相互垂直， SH ⊥平面ABC ，且SA a =，SB b =，SC c =，则点S 到平面ABC 的距离2'h =三、解答题（本大题共6大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()0a b m +>．（1）当3m =时，若6B π=，求()sin A C -的值； （2）当2m =时，若2c =，求ABC △面积最大值．【答案】（1）12；（2）1．【解析】（1）∵a b +=，∴sin sin A B C +，∴11sin cos 262A A A A ⎫π⎛⎫+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，4分化简得11sin 22A A +=，∴1sin 32A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴536A ππ+=，即2A π=，∴3C π=，∴()1sin sin 62A C π-==．6分（2）∵2c =，∴a b +=b a =，∴11sin 22ABC S ab C ab =≤△，8分∴()2111222ABC S ab a a a ≤==-△，10分∴当a 212a -+取最大值1，此时a b ==2c =满足2C π=，∴ABC △面积最大值为1．12分 18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面PCD ，AD BC ∥，12AB BC AD ==，E 、F 分别为线段AD 、PC 的中点．（1）求证：AP ∥平面BEF ；（2）设30PDA ∠=︒，60BAD ∠=︒，求直线BF 与平面PAC 所成的角的大小． 【答案】（1）见解析；（2）45︒． 【解析】（1）证明：设AC BE O =，连接OF 、EC ．∵E 为AD 的中点，12AB BC AD ==，AD BC ∥， ∴AE BC ∥，AE AB BC ==，∴四边形ABCE 为菱形．2分 ∴O 为AC 的中点．3分又F 为PC 的中点，在PAC △中，可得AP OF ∥．4分 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ．5分 ∴AP ∥平面BEF ．6分（2）由题意知ED BC ∥，ED BC =．∴四边形BCDE 为平行四边形，∴BE CD ∥． 又AP ⊥平面PCD ，∴AP CD ⊥，∴AP BE ⊥． ∵四边形ABCE 为菱形，∴BE AC ⊥．又AP AC A =，AP 、AC ⊂平面PAC ，∴BE ⊥平面PAC ． ∴直线BF 与平面PAC 所成的角为BFO ∠．8分不妨设2AP =，∵30PDA ∠=︒，∴122AE AD ==，又∵四边形ABCE 为菱形，60BAD ∠=︒，∴1OB =，∵Rt BOF △中，112OF AP ==，1OB =，∴45BFO ∠=︒．11分故直线BF 与平面PAC 所成的角的大小为45︒．12分 19．（12分）已知数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且12a a ≠，当n ∈N ＋时，恒有n n S pna = (p 为常数)．（1）求常数p 的值；（2）当22a =时，求数列{}n a 的通项公式； （3）在（2）的条件下，设()142n n n b a a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：74n T <．【答案】（1）12p =；（2）22n a n =-；（3）见解析． 【解析】（1）当1n =时，11a S =，∴11a pa =1p =或10a =， 当1p =时，n n S na =则有222S a =，1222a a a +=，12a a =与已知矛盾，∴1p ≠，只有10a =．2分当2n =时，由222S pa =，1222a a pa +=，∵10a =又12a a ≠，∴20a ≠，∴12p =．4分 （2）∵22a =，12n n S na =，当2n ≥时，11122n n n n n n n a S S a a ---=-=-，6分()()121n n n a n a --=-，112n n a a n n -=--，∴211n a an =-，22n a n =-．8分当1n =时，12120a =⨯-=也适合，∴22n a n =-．9分（3）()()2141111211n n n b a a n n n n n +==<=-+--．10分 当1n =，2时，显然成立，当3n ≥时有∴111117171423144n T n n n ⎛⎫⎛⎫<++-++-=-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．12分20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设点1F 、2F 与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 、B 、P 为椭圆C 上三点，满足3455OP OA OB =+，记线段AB 中点Q 的轨迹为E ，若直线:1ly x =+与轨迹E 交于M 、N 两点，求MN ． 【答案】（1）22=184x y+；（2）MN =．【解析】（1）由已知得24c =，2b =，故2c =，a =．∴椭圆C 的标准方程为22=184x y +．4分 （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，∵3455OP OA OB =+，∴12123434,5555OP x x y y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴点P 坐标为12123434,5555x x y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭．5分∵点P 在椭圆C 上，∴221212134134=1855455x x y y ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴222211221212916241258425842584x y x y x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即121291624=125252584x x y y ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，即1212084x x y y +=．6分令线段AB 的中点坐标为(),Q x y ，则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，7分∵A 、B 在椭圆C 上，∴22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，8分 22221212284x x y y +++=，∴()()221212121222284x x x x y y y y +-+-+=．∵1212084x x y y+=，∴()()2222284x y +=，即Q 点的轨迹E 的方程为22142x y +=．9分 联立221421x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得23420x x -=+． 设()33,M x y 、()44,N x y ，则3443x x +=-，3423x x ⋅=-．10分故34MN x =-==12分第（2）问也可以用椭圆的参数方程解决，且可参考上述解答酌情给分． 21．（12分）已知函数()e e x x f x -=+，()32g x x ax +=，a 为实常数． （1）求()g x 的单调区间；（2）当1a =-时，证明：()00,1x ∃∈，使得()y f x =和()y g x =的图象在0x x =处的切线互相平行． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）()232g x ax =+'，1分当0a ≥时，()0g x '>，故()g x 的单调增区间为(),-∞+∞．3分 当0a <时，令()0g x '≥得x ≤()g x的单调增区间为⎡⎢⎣， ()g x的单调减区间为,⎡-∞⎢⎣⎤+∞⎥⎦．5分（2）当1a =-时，()e e x x f x -=-'，()223g x x ='-， ()00,1x ∈，使得()y f x =和()y g x =的图象在0x x =处的切线互相平行．即()00,1x ∈使得()()00f x g x =''，且()()00f x g x ≠，6分 令()()()2e e 23x x h x f x g x x -=-=--''+，()020h =-<，()11e 230eh =--+>，∴()00,1x ∈使得()()00f x g x =''．7分∵当x ⎛∈ ⎝⎭时()0g x '>，当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭时()0g x '<，∴所以()g x 在区间()0,1的最大值为g ⎝⎭，2g <⎝⎭．9分而()e e 2x x f x -=+≥，10分∴()0,1x ∈时()()f x g x >恒成立，∴()()00f x g x ≠．从而当1a =-时，()00,1x ∃∈，使得()y f x =和()y g x =的图象在0x x =处的切线互相平行． 12分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4－4：极坐标与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线M的参数方程为2sin cos 2sin 2x y ααααα⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩ (α为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴位极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程sin 4ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (t 为参数)．（1）求曲线M 和N 的直角坐标方程；（2）若曲线N 和曲线M 有公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）M ：21y x =-，[]2,2x ∈-，N ：x y t +=；（2）5,54⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）由sin 2sin 3x αααπ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭得[]2,2x ∈-，又∵)222sin 2cos cos 1x ααααα=+=++，所以曲线M 的普通方程为21y x =-，[]2,2x ∈-．由sin 4ρθπ⎛⎫+=⎪⎝⎭sin cos θθ+=， 即sin cos t ρθρθ+=，所以曲线N 的直角坐标方程为x y t +=．4分（2）若曲线M 、N 有公共点，则当曲线N 过点()2,3时满足要求，此时5t =，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立21x y t y x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩得210x x t --=+，()1410t ∆=++=，54t =-． 综上所述，t 的取值范围是5,54⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．10分23．（10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()32f x x =+． （1）解不等式()41f x x <--；（2）已知()1,0m n m n +=>，若()()110x a f x a m n--≤+>恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）51,42⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1003a <≤．【解析】（1）不等式()41f x x <--即为32<41x x +--． 当23x <-时，即3214x x ---+<，5243x -<<-；当213x -≤≤时，即3214x x +-+<，2132x -≤<；当1x >时，即3214x x ++-<无解．综上所述，原不等式的解集为51,42⎛⎫- ⎪⎝⎭．5分（2）()1111114m nm n m n m n n m⎛⎫+=++=+++≥ ⎪⎝⎭，令()()222,323242,322,x a x g x x a f x x a x x a x a x a x a ⎧++<-⎪⎪⎪=--=--+=--+-≤≤⎨⎪⎪--->⎪⎩，所以当23x =-时，()max 23g x a =+，要使不等式恒成立，只需()max 243g x a =+≤，1003a <≤．10分【炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷（一）文数试题用稿】。
2019届高三好教育3月内部特供卷 文科数学(一)学生版后附详解
2019届高三好教育3月份内部特供卷 文科数学（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知全集{}1,3,5,7U =，集合{}1,3A =，{}3,5B =，则如图所示阴影区域表示的集合为（ ）A ．{}3B ．{}7C ．{}3,7D ．{}1,3,5 2．在复平面内，复数11i z =-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．设函数()241,0log ,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） 此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号A ．1-B ．1C ．12-D ． 4．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+>，则p ⌝（ ）A ．x ∃∈R ，210x x -+≤B ．x ∀∈R ，210x x -+≤C ．x ∃∈R ，210x x -+>D ．x ∀∈R ，210x x -+≥5．在等比数列{}n a 中，32a =，58a =，则4a =（ ）A ．4B ．5C ．4±D ．5±6．已知m ，n 是空间中的两条不同的直线，α，β是空间中的两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m n ∥，m α∥，则n α∥B ．若αβ∥，m α∥，则m β∥C ．若m n ⊥，n α⊂，则m α⊥D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥7．曲线C 的方程为221169x y -=，则曲线C 的离心率为（ ）A ．54B ．45 C ． D ．8．某英语初学者在拼写单词“steak ”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a ”、“e ”、“k ”三个字母组成并且“k ”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．129．函数()21e x x f x -=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．10．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A 、B 距离之比是常数()λλ0,λ1>≠的点M 的轨迹是圆若两定点A 、B 的距离为3，动点M 满足2MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，矩形的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P 在球面上，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（ ）A ．8B ．83C ．16D ．16312．已知函数()ln 2f x a x x =-，若不等式()12e x f x ax +>-在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数a 的 取值范围是（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．0a ≤D ．02a ≤≤第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量()3,1=a ，(),1x =-b ，且a 与b 垂直，则x 的值为______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，35S a =，2019m a =，则m =______．15．抛物线26y x =上一点()11,M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为______．16．设函数()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是______写出所有正确命题的序号①函数()y f x =的递减区间为()3π7ππ,π88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；②函数()y f x =的图象可由sin 2y x =的图象向左平移π8得到；③函数()y f x =的图象的一条对称轴方程为π8x =；④若7ππ,242x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()y f x =的取值范围是⎤⎥⎣⎦．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222b c a bc +=+．（1）求角A 的大小；（2）若sin 2sin cos A B C =，试判断ABC △的形状并给出证明．18．（12分）某篮球运动员的投篮命中率为50%，他想提高自己的投篮水平，制定了一个夏季训练计划为了了解训练效果，执行训练前，他统计了10场比赛的得分，计算出得分的中位数为15分，平均得分为15分，得分的方差为46.3．执行训练后也统计了10场比赛的得分，成绩茎叶图如图所示：（1）请计算该篮球运动员执行训练后统计的10场比赛得分的中位数、平均得分与方差；（2）如果仅从执行训练前后统计的各10场比赛得分数据分析，你认为训练计划对该运动员的投篮水平的提高是否有帮助？为什么？19．（12分）将正方形BCED沿对角线CD折叠，使平面ECD⊥平面BCD，若直线BC=．AB⊥平面BCD，AB=，2（1）求证：直线AB∥平面ECD；-的体积．（2）求三棱锥E ACD20．（12分）椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F 过焦点2F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）点()()0000,P x y y ≠为椭圆C 上一动点，连接1PF ，2PF ，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点(),0M m ，求实数m 的取值范围．21．（12分）已知函数()()21ln f x x m x=-+，其中m ∈R ． （1）当2m =时，求函数()f x 图象在点()1,0处的切线方程； （2）试讨论函数()f x 的单调性．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3214x t y t =-⎧⎨=--⎩（t 为参数，t ∈R ），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）动点P ，Q 分别在曲线1C ，2C 上运动，求两点P ，Q 之间的最短距离．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设0a b >>，且2ab =，记22a b a b +-的最小值为M ．（1）求M 的值，并写出此时a ，b 的值；（2）解不等式：332x x M ++->．2019届高三好教育3月份内部特供卷文科数学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】∵全集{}1,3,5,7U =，集合{}1,3A =，{}3,5B =，∴{}1,3,5A B =， ∴如图所示阴影区域表示的集合为(){}7U A B =ð．故选B ．2．【答案】A 【解析】∵()()11i 11i 1i 1i 1i 22z +===+--+， ∴复数11i z =-对应的点的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，位于第一象限．故选A ．3．【答案】A【解析】∵函数()241,0log ,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，∴211log 122f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选A ．4．【答案】A【解析】命题“x ∀∈R ，210x x -+>”是全称命题，否定时将量词对任意的x ∈R 变为x ∃∈R ，再将不等号>变为≤即可．即已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+>，则p ⌝为x ∃∈R ，210x x -+≤．故选A ．5．【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵32a =，58a =，∴253a a q =⋅，282q =，可得2q =±，都符合题意，∴434a a q =⋅=±，故选C ．6．【答案】D【解析】对于选项A ，符合已知条件的直线n 还可以在平面α内，∴选项A 错误； 对于选项B ，符合已知条件的直线m 还可以在平面β内，∴选项B 错误；对于选项C ，符合已知条件的直线m 还可以在平面α内，与平面α斜交，或者与平面α平行， ∴选项C 错误；对于选项D ，根据面面垂直的判定定理可知其正确性，∴选项D 正确，故选D ． 7．【答案】A【解析】∵曲线C 的方程为221169x y -=，∴216a =，29b =，则22225c a b =+=，∴4a =，5c =，∴双曲线的离心率54c e a ==，故选A ．8．【答案】B【解析】满足题意的字母组合有四种，分别是eka ，ake ，eak ，aek ，拼写正确的组合只有一种eak ，∴概率为14p =．故选B ．9．【答案】A 【解析】由于()()f x f x -≠，∴函数不是偶函数，排除C ，D 选项．当2x =时，()231213ef =≈<，排除B 选项，故选A ． 10．【答案】D【解析】以A 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则()3,0B ，设(),M x y 2=，化简整理得，228120x y x +-+=， 即()2244x y -+=，则圆的面积为4π．故选D ．11．【答案】D【解析】∵球O 的表面积是16π，∴24π16πS R ==，解得2R =．如图，四棱锥P ABCD -底面为矩形且矩形的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，设矩形的长宽为x ，y ，则()22222x y R xy+=≥，当且仅当x y =时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时228ABCD S R ==正方形，点P 在球面上，当PO ⊥底面ABCD 时，PO R =，即max h R =，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为163．故选D ．12．【答案】A 【解析】()e 2e x xf ax =-，∴()12e xf x ax +>-在()0,+∞上恒成立，等价于()()1e xf x f +>在()0,+∞上恒成立，∴当0x >时，11e xx <+<恒成立， 若不等式()()1e x f x f +>在()1,x ∈+∞上恒成立，只需函数()f x 在()1,+∞上递减，即当1x >时，()0f x '≤恒成立，∵函数()ln 2f x a x x=-，∴()20a f x x -'=≤，即2ax ≤，可得()21a x x ≤>恒成立，∵22x >，∴2a ≤，故选A ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】13【解析】∵⊥a b ；∴310x ⋅=-=a b ；∴13x =．故答案为13．14．【答案】1010【解析】根据题意，设等差数列{}n a 公差为d ，则()32133S a a d ==+，又由11a =，35S a =，则()3114d d+=+，2d =，则()11212019m a a m d m =+-=-=，解可得1010m =；故答案为1010．15．【答案】【解析】由题意知，焦点坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为32x =-， 由()11,M x y 到焦点距离等于到准线距离，得13922x +=，则13x =，∴2118y =，可得OM =16．【答案】【解析】令()ππ3π2π22π242k x k k +≤-≤+∈Z ，解得()3π7πππ88k x k k +≤≤+∈Z ，∴函数()y f x =的递减区间为()3π7ππ,π88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，故①正确；由于ππsin 2sin 248x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴函数()y f x =的图象是由sin 2y x =的图象向右平移π8得到的，故②错误； 令()ππ2π42x k k -=+∈Z ，解得()π3π28k x k =+∈Z ，∴函数()y f x =的图象的对称轴方程为()π3π28k x k =+∈Z ，故③错误；由于7ππ,242x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ3π2,434x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当π3π244x -=时，()min f x =，当ππ242x -=时，()max 1f x =，()y f x =的取值范围是⎤⎥⎣⎦，故④正确， 故答案为①④．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π3；（2）见解析．【解析】（1）根据题意，由222b c a bc +=+可知222122b c a bc +-=， 根据余弦定理可知1cos 2A =， 又角A 为ABC △的内角，∴π3A =．（2）ABC △为等边三角形． 由三角形内角和公式得()πA B C =-+，故()sin sin A B C =+，根据已知条件，可得()sin 2sin cos B C B C+=，整理得sin cos cos sin 0B C B C -=，∴()sin 0B C -=，又()π,πB C -∈-，∴B C =，又由（1）知π3A =，∴ABC △为等边三角形．18．【答案】（1）中位数：14.5分，平均分：15分，方差：20.6；（2）见解析．【解析】（1）训练后得分的中位数为：141514.52+=（分）； 平均得分为：8912141415161821231510+++++++++=（分）；方差为：()()()()()()()()()()22222222228159151215141514151515161518152115231510-+-+-+-+-+-+-+-+-+-20.6=．（2）尽管中位数训练后比训练前稍小，但平均得分一样，训练后方差20.6小于训练前方差46.3，说明训练后得分稳定性提高了，这是投篮水平提高的表现． 故此训练计划对该篮球运动员的投篮水平的提高有帮助19．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）取CD 中点为M ，连结EM ，BM ．∵CE ED =，∴EM CD ⊥，又∵平面ECD ⊥平面BCD ，平面ECD 平面BCD CD =，EM ⊂平面ECD ， ∴EM ⊥平面BCD ，∵AB ⊥平面BCD ，∴AB EM ∥，又EM ⊂平面ECD ，AB ⊄平面ECD ，∴直线AB ∥平面ECD ． （2）∵原四边形BCED 为正方形，M 为CD 中点，∴BM CD ⊥，又有平面ECD ⊥平面BCD ，平面ECD 平面BCD CD =，BM ⊂平面ECD ， ∴BM ⊥平面ECD ，由于ECD 为等腰直角三角形，∴2ECD S =△，又BM =11233B ECD ECD V BM S -=⋅⋅==△， 由（1）可知，点A 到平面ECD 的距离等于点B 到平面ECD 的距离，∴E ACD A ECD B ECD V V V ---===20．【答案】（1）2214x y +=；（2）3322⎛⎫- ⎪⎝⎭,．【解析】（1）由于222c a b =-，将x c =代入椭圆方程22221x y a b +=，得2b y a =±， 由题意知221b a =，即22a b =，又c e a ==，∴2a =，1b =，故椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设()00,P x y ，当002x ≤<时，当0x 2PF 的斜率不存在，易知12P ⎫⎪⎭或12P ⎫-⎪⎭．若12P ⎫⎪⎭，则直线1PF 的方程为0x -=．m，∵m m =．若12P ⎫-⎪⎭，同理可得m =．当0x ≠设直线1PF ，2PF 的方程分别为(1y k x =，(2y k x =，=，∴((221221111m k m k +=+， ∵220014x y +=，且1k =，2k =，∴(((())2222000222200444444m x x m xx +++-+===-+--，即=．∵m 002x ≤<且0x ≠=．整理得034x m =，故302m ≤<且m ≠ 综合可得302m ≤<．当020x -<<时，同理可得32m -<<． 综上所述，m 的取值范围是3322⎛⎫- ⎪⎝⎭,．21．【答案】（1）220x y --=；（2）见解析．【解析】（1）当2m =时，()()212ln f x x x=-+，其导数()()221f x x x '=-+，∴()12f '=，即切线斜率为2，又切点为()1,0，∴切线的方程为220x y --=．（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()22221m x x mf x x x x -+'=-+=， 令()222g x x x m =-+，0x >，其对称轴为12x =，1122g m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0g m =，①当102g ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即12m ≥时，()0g x ≥，即()0f x '≥， 此时，()f x 在()0,+∞上单调递增；②当102g ⎛⎫< ⎪⎝⎭且()00g >，即102m <<时，令()0g x =，则1x =2x =，()f x '在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上为正，此时，()f x 在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，()f x '在⎝⎭上为负，()f x 在⎝⎭上单调递减；当()00g ≤，即0m ≤时，令()0g x =，则0x ，()f x '在⎛ ⎝⎭上为负，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，()f x '在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上为正，()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）()2214x y ++=；（22．【解析】（1）由22cos 30ρρθ+-=，可得22230x y x ++-=，化为()2214x y ++=．（2）由已知得曲线1C 的普通方程：270x y --=，点Q 为曲线2C 上动点，令点()12cos ,2sin Q θθ-+，θ∈R ．设点Q 到曲线1C 的距离为d ，∴2d =≥，其中1tan 2ϕ=，即两点P ，Q 2-．23．【答案】（1）答案见解析；（2）51,,42⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】（1）∵0a b >>，∴0a b ->，4a b >-，根据均值不等式有()222444a b a b a b a b a b a b -++==-+≥---，当且仅当22a b ab -=⎧⎨=⎩，即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，∴M 的值为4． （2）当1x ≤-时，原不等式等价于()()3324x x -++->，解得54x <-；当12x -<<时，原不等式等价于()()3324x x ++->，解得122x -<<；当2x ≥时，原不等式等价于()()3324x x ++->，解得2x ≥；综上所述原不等式解集为51,,42⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。
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x y 1 x y 4 y x 13．设 ， 满足约束条件 ，则 z x 3 y 的取值范围为__________． x 0 y 0
14．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个 食堂用餐的概率为__________． 15．在数列 {an } 中， a1
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35 m3 的频率为
0.2 0.1 1 0.1 2.6 0.1 2 0.05 0.48 ，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35 m3 的概率的估计值为 0.48 ． （3）该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为
01 0，．
． ，． 0 2 01
2，． 0 3 0． 3，． 0 4 0．
4，． 0 5 0．
20． （12 分）已知中心在原点 O ，左、右焦点分别为 F1 ，F2 的椭圆的离心率为
6 ，焦距为 2 2 ， A ， 3
B 是椭圆上两点．
（1）若直线 AB 与以原点为圆心的圆相切，且 OA OB ，求此圆的方程；
23． （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 f x x a x 2 ． （1）当 a 3 时，求不等式 f x 7 的解集； （2）若 f x x 4 的解集包含 0, 2 ，求 a 的取值范围．
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11．设抛物线 C ： y 2 4 x 的焦点为 F ，过点 2,0 且斜率为 则 FM FN （ A．5 ） B．6 C．7
2 的直线与 C 交于 M ， N 两点， 3
D．8
12． 已知在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， 点 E 是 AB 中点， 点 F 是 B1C1 中点， 若正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的内切球与直线 EF 交于点 G ， H ，且 GH 3 ，若点 Q 是棱 BB1 上一个动点，则 AQ D1Q 的最小 值为（ A．6 ） B． 3 10 C． 6 2 2 D． 6 1 2
高三9月内部特供卷 文科数学(一)学生版
********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星2018届高三9月份内部特供卷高三文科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是( ) A ．21y x =+B ．lg y x =C ．y x =D ．cos y x x =2．设集合{}24A x x x =≤，集合{}1,2,3,4B =--，则A B =( ) A ．{}1,2- B ．{}2,4C ．{}3,1--D ．{}1,2,3,4--3．复数11iz =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．已知直线1:(2)+1=0l ax a y ++，2:-+2=0l ax y ．若12l l ∥，则实数a 的值是( ) A ．0或3- B ．2或1- C ．0 D ．-35．已知3cos 4α=，(,0)2απ∈-，则sin 2α的值为( ) A ．38B ．38-C ．378D ．378-6．小明在“欧洲七日游”的游玩中对某著名建筑物的景观记忆犹新，现绘制该建筑物的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则小明绘制的建筑物的体积为( ) A ．168+πB ．648+πC ．8643π+D ．8163π+7．已知实数x ，y 满足不等式组310.30.0.x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≥则22x y +的最小值是( )A ．322 B ．92C ．5D ．98．在如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6απ=，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是( ) A ．312-B ．32C ．434- D ．349．《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为( )A ．12B ．815C ．1631D ．162910．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是( ) A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离11．已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，3()f x x =-１；当x -１≤≤１时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-．则(6)f =( ) A ．2- B ．1- C ．0 D ．212．已知在三棱锥P ABC -中，433P ABC V -=，4APC π∠=，3BPC π∠=，PA AC ⊥，PB BC ⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ABC -外接球的体积为( )A ．34π B ．238πC ．3312πD ．332π此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号APCB********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．抛物线22y x =-的焦点坐标是 ． 14．如图所示的程序框图中，输出的S 为 ．15．已知函数2log ,0,()4,x x x f x x >⎧=⎨⎩ ≤0,若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取值范围是 ．16．在等比数列{}n a 中，若14824,9a a =-=-，则公比q = ；当n = 时，{}n a 的前n 项积最大．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(12分)ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos B =sin C =，ac =，求sin A 和c 的值．18．某中学在高二年级开设大学选修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核．（1）求抽取的5人中男、女同学的人数；（2）考核前，评估小组打算从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）考核分答辩和笔试两项．5位同学的笔试成绩分别为115，122，105，111，109；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115，121，119．这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小．（只需写出结论）19．在三棱锥P ABC -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=︒，M 为AB 的中点，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且AF =2FP ． （1）求证：AC ⊥平面PBC ； （2）求证：CM ∥平面BEF ；（3）若PB =BC =CA =2，求三棱锥E -ABC 的体积．20．椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率12e =． (1)求椭圆E 的方程；(2)求12F AF ∠的角平分线所在直线的方程．21．已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b ∈R ．（1）若()f x 在x =1处与直线12y =-相切，求a ，b 的值；（2）在（1）的条件下，求()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；（3）若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(,]x e e ∈都成立，求a 的取值范围．22．在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为,sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为sin()4ρθπ+=．（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； （2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求PQ 的最小值．ABCMEFP********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星灿若寒星2018届高三9月份内部特供卷高三文科数学（一）答 案一．选择题1．C 2．B 3．D 4．A5．D6．C7．B8．A 9．D10．B 11．D 12．D二．填空题13．1(,0)2-14．111215．(0,1]16．13（2分）；4（3分）三．解答题17．在ABC △中，由cos B =sin B = ……2分因为A B C ++=π，因为sin C =．所以sin sin C B <，所以C B <，可得C 为锐角， ……4分所以cos C = ……6分因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=+=． ……8分 由sin sin a cA C=， ……9分可得sin sin c Aa C ===． ……10分又ac =，所以1c =． ……12分 18．（1）抽取的5人中男同学的人数为530350⨯=， ……2分 女同学的人数为520250⨯=． ……4分 （2）记3名男同学为123,,A A A ，2名女同学为12,B B ．从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有12,A A ，13,A A ，11,A B ，12,A B ，23,A A ，21,A B ，22,A B ，31,A B ，32,A B ，12,B B ，共10个． ……6分用C 表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则C 中的结果有6个，它们是11,A B ，12,A B ，21,A B ，22,A B ，31,A B ，32,A B ． ……8分 所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率63()105P C ==． ……10分 （3）2212s s =． ……12分19．（1）因为PB ⊥底面ABC ，且AC ⊂底面ABC ， 所以AC PB ⊥．由90BCA ∠=︒，可得AC CB ⊥． 又PB CB B =，所以AC ⊥平面PBC ． ……4分 （2）取AF 的中点G ，连接CG ，GM ．因为AF =2FP ，G 为AF 中点，所以F 为PG 中点． 在PCG △中，E ，F 分别为PC ，PG 中点． 所以EF CG ∥，又CG ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以CG ∥平面BEF ． 同理可证 GM ∥平面BEF ． 又CG GM G =， 所以平面CMG ∥平面BEF ． 又CM ⊂平面CMG ，所以CM ∥平面BEF ． ……8分 （3）取BC 中点D ，连接ED ．在PBC △中，E ，D 分别为中点，所以ED PB ∥．因为PB ⊥底面ABC ，所以ED ⊥底面ABC ．由2PB BC CA ===，可得11122213323ABC V S ED ==⨯⨯⨯⨯=△． ……12分20．（1）设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由12e =，得22221,32c b a c c a ==-= ……2分 B********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********所以2222143x y c c+=，将(2,3)A 代入，有22131c c+=， 解得2c = ……3分所以椭圆E 的方程为2211612x y += ……4分（2）由（1）知F 1(-2,0)，F 2(2,0)，所以直线AF 1的方程为3(2)4y x =+即3460x y -+= ……5分 直线AF 2的方程为2x =．由椭圆E 的图形知，12F AF ∠的角平分线所在直线的斜率为正数． ……6分 设P (x ,y )为12F AF ∠的角平分线所在直线上任一点，则有34625x y x -+=- ……8分若346510x y x -+=-，得280x y +-= 其斜率为负，不合题意，舍去． 于是346510x y x -+=-+,即210x y --=．所以12F AF ∠的角平分线所在直线的方程为210x y --= ……12分 21．（1）()2af x bx x'=-． ……1分 由函数()f x 在1x =处与直线12y =-相切，得(1)0,1(1),2f f '=⎧⎪⎨=-⎪⎩ ……2分即20,1.2a b b -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1,1.2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ……3分（2）由（1）得21()ln 2f x x x =-，定义域为(0,)+∞．此时211()x f x x x x-'=-=． ……4分令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，得1x >． ……5分所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减， ……6分所以()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1(1)2f =-． ……7分（3）若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(,]x e e ∈都成立， 即2ln a x bx x -≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(,]x e e ∈都成立， 即2ln a x x bx -≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(,]x e e ∈都成立， 即ln 0a x x -≥对2(,]x e e ∈恒成立．即ln xa x≥对2(,]x e e ∈恒成立， ……9分 即a 大于或等于ln xx在区间2(,]e e 的最大值．令()ln x h x x =，则2ln 1()(ln )x h x x -'=， ……10分 当2(,]x e e ∈时，()0h x '>，所以()h x 单调递增，所以()ln x h x x =在2(,]e e 上的最大值为22()2e h e =，所以22e a ≥．所以a 的取值范围为2[,)2e +∞． ……12分22．（1）1,:sin ,x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）的普通方程是：2213x y +=， …2分∵sin()4ρθπ+=，sin cos ρθρθ+= ……4分 ∴C 2的直角坐标方程：4x y +=． ……5分********灿若寒星竭诚为您提供优质文档*********灿若寒星灿若寒星（2）设4x y +=的平行线为1:0l x y c ++=，当1:0l x y c ++=且0c <和C 1相切时，PQ 距离最小， ……6分联立直线和椭圆方程22()103x x c ++-=， ……7分整理得2242103x cx c ++-=，需要满足2416033c ∆=-+=，求得c =2(舍去)，c =-2，∴当直线为1:20l x y +-=时，满足题意，此时PQ = ……10分 方法2：设点,sin )P αα,点P 到C 2的距离为d …6分d …8分 当sin()13απ+=时 …9分PQ距离最小为PQ = …10分。
【内供】2020届高三好教育云平台9月内部特供卷 文科数学(一)学生版
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】 20 1， 21 2 ， 22 4 ， A B 1, 2, 4 ，本题正确结果 C．
2．【答案】A
【解析】
z
2i 1 2i
2 i1 2i 1 2i1 2i
20．（12 分）已知 O 为坐标原点，过点 M 1, 0 的直线 l 与抛物线 C ： y2 2 px( p 0) 交
于 A ， B 两点，且 OAOB 3 ． （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 M 作直线 l l 交抛物线 C 于 P ，Q 两点，记△OAB ，△OPQ 的面积分别为 S1 ，
5i 5
i
，
z
对应的点坐标为
0,
1
，
本题正确选项 A． 3．【答案】C
【解析】根据含全称量词命题的否定可得该命题的否定为 x 0, ， ex 1 sin x ，
故本题正确选项 C．
4．【答案】A
【解析】 f 1 1 0 ，可排除 C、D，
1 ln 2
又由
y
x
1
ln x
1
0
，则方程无解，即函数没有零点，排除
3cos
π 6
，则
tan
2
（
）
A． 4 3
B． 3 2
6．已知函数 f x x2 ，则（
x 1
A． f x 在 0,1 单调递增
C． 4 3
D． 3 2
）
B． f x 的最小值为 4
C． y f x 的图象关于直线 x 1对称 D． y f x 的图象关于点 1, 2 对称
内供2019届高三特供卷 文科数学一.pdf
f a f b f 0 （ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，则“ a 2b cos C ”是“ △ABC
是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知椭圆
C
:
x2 a2
等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设
DF 2AF 2 ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角 形的概率是（ ）
A． 4 13
B． 2 13 13
C． 9 26
D． 3 13 26
10．在平行四边形
ABCD
uuur 中，AB
uuur BD
0
，2
uuur AB
2
,
4 e2
C．
4 e2
,
2 e
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
D．
4 e3
,
2 e2
13．已知等比数列 an ， a10 ， a30 是方程 x2 11x 16 0 的两实根，则 a20
等于
．
14 ． 阅 读 如 下 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 则 程 序 运 行 后 输 出 的 结 果
结论；若不是，
请说明理由．
22．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 f x x 1 x 3 ． （1）解不等式 f x x 1 ；
（2）设函数 f x 的最小值为 c ，实数 a ， b 满足 a 0 ， b 0 ， a b c ，
求证： a2 b2 1 ． a 1 b1
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好教育云平台 内部特供卷 第1页（共8页） 好教育云平台 内部特供卷 第2页（共8页）2019届高三好教育云平台9月份内部特供卷高三文科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{20}P x x x =|-≥，}{12Q x x =|<≤，则()R C P Q =（ ） A ．[0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．[1,2]2．已知()21i =1i z-+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．如表是我国某城市在2017年1月份至10月份个月最低温与最高温（C ︒）的数据一览表．已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的是（ ） A ．最低温与最高位为正相关B ．每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D ．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A ．7B ．8C ．15D ．165．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()210f x x x=+>，则()1f -=（ ） A ．2-B ．0C ．1D ．26．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113 D ．538．已知()2sin13,2sin77=︒︒a ，1-=a b ，a 与-a b 的夹角为3π，则⋅=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．28y x =B ．28x y =C ．24y x =D ．24x y =10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ） A ．2B ．4C ．2+D ．4+此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号好教育云平台 内部特供卷 第3页（共8页） 好教育云平台 内部特供卷 第4页（共8页）11．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点， 则FM FN ⋅=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．812．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是AB 中点，点F 是11B C 中点，若正方体1111ABCD A B C D -的内切球与直线EF 交于点G ，H ，且3GH =，若点Q 是棱1BB 上一个动点，则1AQ D Q +的最小值为（ ） A ．6B．C．D． 第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设x ，y 满足约束条件1400x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则3z x y =-的取值范围为__________．14．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．15．在数列{}n a 中，113a =，()113,3n n n n a a a ++=∈N +，且13n nb a =+．记12n n P b b b =⨯⨯⨯，12n n S b b b =+++，则13n n n P S ++=__________．16．已知平面直角坐标内定点()1,0A -，()1,0B ，()4,0M ，()0,4N 和动点()11,P x y ，()22,Q x y ，若1AP BP ⋅=，1122OQ t OM t ON ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中O 为坐标原点，则QP 的最小值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin A B Ca b c+=． （1）证明：sin sin sin A B C =；（2）若22265b c a bc +-=，求tan B ．18．（12分）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．好教育云平台 内部特供卷 第5页（共8页） 好教育云平台 内部特供卷 第6页（共8页）19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图： （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）20．（12分）已知中心在原点O ，左、右焦点分别为1F ，2F 焦距为A ，B 是椭圆上两点．（1）若直线AB 与以原点为圆心的圆相切，且OA OB ⊥，求此圆的方程；（2）动点P 满足：3OP OA OB =+，直线OA 与OB 的斜率的乘积为13-，求动点P 的轨迹方程．好教育云平台 内部特供卷 第7页（共8页） 好教育云平台 内部特供卷 第8页（共8页）21．（12分）已知函数()21e xax x f x +-=．（1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】以直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为x t y at=⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为()4sin 12ρρθ-=，定点()6,0A ，点P 是曲线1C 上的动点，Q 为AP 的中点．（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）直线l 与曲线2C 相交于B ，C两点，若BC ≥a 的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()2f x x a x =++-．（1）当3a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[]0,2，求a 的取值范围．好教育云平台 内部特供卷答案 第1页（共4页） 好教育云平台 内部特供卷答案 第2页（共4页）2019届高三好教育云平台9月份内部特供卷高三文科数学（一）答 案一、选择题． 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】D 12．【答案】C 二、填空题． 13．【答案】[]2,4- 14．【答案】1415．【答案】3 16．三、解答题．17．【答案】（1）见解析；（2）4． 【解析】（1）根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===>，则sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入cos cos sin A B C a b c+=中，有cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k C +=， 变形可得sin sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B =+=+（）．在ABC △中，由A B C ++=π， 有sinsin sin A B C C +=π-=（）（），所以sin sin sin A B C =． （2）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223cos 25b c a A bc +-==．所以4sin 5A ．由（1），sin sin sin cos cos sin AB A B A B =+，所以443sin cos sin 555B B B =+，故sin 4co tan s B B B ==． 18．【答案】（1）见解析；（2）1．【解析】（1）由已知可得，90BAC ∠=︒，BA AC ⊥．又BA AD ⊥，且AC AD A =，所以AB ⊥平面ACD ．又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ． （2）由已知可得，3DC CM AB ===，DA =又23BP DQ DA ==，所以BP =作QE AC ⊥，垂足为E ，则13QE DC ∥．由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，1QE =．因此，三棱锥Q ABP -的体积为111131332Q ABP ABP V QE S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=△．19．【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）()347.45m ． 【解析】（1）如下图（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为 0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=．好教育云平台 内部特供卷答案 第3页（共4页） 好教育云平台 内部特供卷答案 第4页（共4页）20．【答案】（1）2234x y +=；（2）(22330x y x +=≠．【解析】（1）设椭圆方程为()222210x ya b a b +=>>，由已知2222c a c b a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，得1a b c ⎧=⎪=⎨⎪⎩，∴椭圆方程为2213x y +=．①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆方程得()()222136310k x kmx m +++-=．∴122613km x x k -+=+，()21223113m x x k-⋅=+． ∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，即()()()()221212121212121x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++()()22222316101313m km kkm m k k --⎛⎫=+⋅++= ⎪++⎝⎭，即224330m k --=． ∵AB与以原点为圆心的圆相切，∴圆半径r =则222314m r k ==+，∴圆的方程为2234x y +=． ②当直线AB 的斜率存在时，易知AB方程为x =2234x y +=． （2）设(),P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由3OP OA OB =+得121233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩ 又直线OA ，OB 的斜率积为13-，∴121213y y x x =-，即121230x x y y +=．∵A ，B 在椭圆上，∴221113x y +=，222213xy +=联立得121212122211222233303333x x x y y y x x y y x y x y ⎧=+⎪=+⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎩消去1x ，1y ，2x ，2y ， 得22330x y +=．当OA 斜率不存在时，即10x =，得11y =±，20y =，2x =x =±同理OB斜率不存在时，x =±P点的轨迹方程为(22330x y x +=≠．21．【答案】（1）210x y --=；（2）见解析．【解析】（1）()()2212exax a x f x +-'-+=，()02f '=．因此曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程是210x y --=．（2）当1a ≥时，()()21e 1e e x xf x x x +-+≥+-+．令()211e xg x x x +≥+-+，则()121e x g x x +≥++'．当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增； 所以()()10g x g ≥-=．因此()e 0f x +≥．22．【答案】（1）()()22314x y -+-=；（2）30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）由题意知，曲线1C 的直角坐标方程为22412x y y +-=．设点(),P x y ''，(),Q x y ． 由中点坐标公式得262x x y y'=-⎧⎨'=⎩，代入22412x y y +-=中，得点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程为()()22314x y -+-=． （2）直线l 的普通方程为y ax =()22231231a a -≤-+304a ≤≤， 即实数a 的取值范围是30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．23．【答案】（1）][(),43,-∞-+∞；（2）[]2,0-． 【解析】（1）当3a =时，()213532 212x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩，当3x ≤-时，由()7f x ≥得217x --≥， 解得4x ≤-；当32x -<<时，()7f x ≥无解；当2x ≥时，由()7f x ≥得217x +≥，解得3x ≥， 所以()7f x ≥的解集为][(),43,-∞-+∞．（2）()4f x x ≤-等价于42x a x x +≤---当[]0,2x ∈时，42x a x x +≤---等价于22a x a --≤≤-，由条件得20a --≤且22a -≥，即20a -≤≤．故满足条件的a 的取值范围为[]2,0-．。