Stolz定理的推广及其在求极限中的应用

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数列极限中stolz定理的应用及推广

数列极限中stolz定理的应用及推广
数列极限中stolz定理是一个非常有用的定理，可以用来证明一些极限问题，尤其是对于那些比较复杂的数列，它的应用非常广泛。

在使用stolz定理时，我们通常需要将数列化为分数的形式，这样才能更好地进行推导计算。

一般来说，stolz定理适用于以下两种情况：
1. 原数列为无穷大/无穷小数列，且分母数列收敛于0。

2. 原数列为无穷大/无穷小数列，且分母数列单调递增/递减。

除了这些基本情况外，我们还可以通过一些较为复杂的推导来推广stolz定理的应用。

例如，我们可以将分母数列替换为另一个数列，只要这个数列的极限存在并不为0，那么stolz定理同样适用。

另外，我们还可以将stolz定理用于函数极限的证明，这时我们需要将函数化为数列的形式，然后再进行推导计算。

总之，stolz定理是一个非常重要的数学工具，在数列极限和函数极限的证明中都有着广泛的应用。

掌握这个定理对于理解和解决一些复杂的极限问题非常有帮助。

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Stolz定理在一类特定型函数极限计算中的应用与推广

增，且ｌｉｍＢ（）＝＋ ∞ ．由Ｓｔｏｌｚ定理有
Ｊ
￡ｌｃｏｓｌｄｔ
（＋／７，）２７＂ｉ一（＋／Ｚ丽）１２，／－ｉ－≤
（２＂１７（，３）、
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天津师范大学学报（自然科学版）
２０１３年１０月
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Ｊ
ｌｃ０ｓｌｄｔ
＝
１，２， …，易知对于固定的ｋ∈ Ｎ＋，｛Ｂ（）｝单调递
ｎ＿＋ ∞
— —］ — — — 了广一：一 ≤
２／（盯）．同理可得式（５）右端的极限也为２／（ｋ￣），证明当充分大时，存在自然数 ∈Ｎ，使得
再依据夹逼定理可得到式（５）中间部分的极限仍为
２／（ｋ＇ｒｒ）．用ｌｓｉｎＩ取代１ｃｏｓ１，由『
数列｛Ｂ单调递增，ｌｉｍＢ＝＋ｏｏ，由Ｓｔｏｌｚ定理可得
文献［１】考虑极限ｌｉｍｆｔｌｃｏｓｔ１ｄｔ／ｘｚ，简单计
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，（ｎ＋ｌ
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算可知此时Ｌ ’ Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则失效，下面利用Ｓｔｏｌｚ定理和夹逼定理进行处理．
函数形式进行推广，获得其几种一般形式的结果．
，

Stolz定理的若干应用

Stolz定理的假设干应用XXXX(XXXXXX大学 XXXXXX专业XXX级XX班)摘要极限思想是许多科学领域的重要思想之一．为了解决求极限的问题，本文介绍了计算极限的一种方法——Stolz定理，并对Stolz定理的结论进行了推广．本文先表达有关Stolz定理的一些结论，然后通过实例说明Stolz定理及其推广的有关结论在极限求解中的应用．Stolz定理可以说是数列的L’Hospital法那么，它对求数列的极限很有用．Stolz定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz定理可变得十分容易．Stolz定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz定理的数列情形、函数情形．关键词Stolz定理；数列；函数；极限Some applications of Stolz theoremsZHANG Ran(Grade 2004 Class (2)Information and Computing ScienceCollege of Mathematics and PhysicsUniversity of Science and Technology of Suzhou)AbstractThe limit thought is one of many scientific field important thoughts．In order to solve asks the limit the question，this article introduced the computation limit's one metho d——Stolz theorem，and has popularized the conclusion of Stolz theorem．This article first narrates related Stolz theorem some known conclusions，then in the limit solution through the example explained the application of the Stolz theorem and its popularized related conclusion．The Stolz theorem can be said to be sequence L'Hospital principle，it is very useful to asks the sequence the limit．The Stolz theorem can be popularized to the situation with the limit of function，some questions use the Stolz theorem to become very easy．The Stolz theorem is important theorem to prove the limit existence of the sequence and function．This article has given the Stolz theorem the situation of sequence and the situation of function．Keywords Stolz theorem; sequence; function; limit目录摘要关键词..........................................................................................Ⅰ Abstract Keywords ....................................................................................Ⅱ 1 引言 ................................................................................................ 1 2 序列形式的Stolz 定理 (1)2.1∞∞型Stolz 公式……………………………………………………………………… 1 2.2 0型Stolz 公式 (3)2.3 序列形式的Stolz 定理应用.................................................................. 4 3 函数形式的Stolz 定理 (10)3.1∞∞型Stolz 公式 ……………………………………………………………………10 3.2 0型Stolz 公式 (13)3.3 函数形式的Stolz 定理应用..................................................................14 结论 ................................................................................................... 18 致谢 ................................................................................................... 19 参考文献 (20)1 引言极限论是数学分析的根底，极限问题是数学分析中困难问题之一．中心问题有两个：一是证明极限存在，二是求极限的值．两问题有密切关系：假设求出了极限的值，自然极限的存在也被证明．反之，证明了存在性，常常也就为计算极限铺平了道路．讲述极限论，通常先讲序列极限，然后讲函数极限．两类极限，有平行的理论，类似的方法，彼此有着深刻的内在联系．极限思想是许多科学领域的重要思想之一．因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要．对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常局限，不仅计算量大，而且不一定能求出结果．为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法．本文介绍了计算极限的一种方法——Stolz 定理，并对Stolz 定理的结论进行了推广，讨论如何利用Stolz 定理计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想．本文先表达有关Stolz 定理的一些结论，然后通过实例说明Stolz 定理及其推广的有关结论在极限求解中的应用．Stolz 定理可以说是数列的L’Hospital 法那么，它对求数列的极限很有用．Stolz 定理可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz 定理可变得十分容易．Stolz 定理是证明数列和函数极限存在性的重要定理，文中给出了Stolz 定理的数列情形、函数情形．2 序列形式的Stolz 定理2.1 ∞∞型Stolz 公式定理2.1 (∞∞型Stolz 公式) 设{}n x 严格递增(即N ∈∀n 有1+<n n x x )，且 +∞=∞→n n x lim ．假设a x x y y n n n n n =----∞→11lim，那么a x ynn n =∞→lim (其中a 为有限数，∞+或∞-)．证 1°(a 为有限数的情况)因为{}n x 严格递增，所以N ∈∀n ，01>--n n x x ．记 a x x y y n n n n n ---=--11α．(1)按条件有0lim =∞→n n α，即0>∀ε，0>∃N ，当N n ≥时，有2εα<n ．由(1)得.)()()( ))(())(( ))(())(( ))((1111111211211N n n n n N N N N n n n N N N N n n n n n n n n n n n n x x a x x x x y x x a x x a y x x a x x a y x x a y y -+-++-+=-+++-++==-++-++=-++=-++-++-------ααααααα两边同时除以n x ，再同时减去a ，得.22 111εεαα+-<-+-<-++-+-≤--++n N N n Nn n N N nn n n N N N n NN n n x ax y x x x x ax y x x x x x x ax y a x y因为+∞=∞→n n x lim ，故N N >∃1，使得1N n >时有2ε<-n N N x ax y ．于是εεε=+<-22a x y n n ．所以a x y n n n =∞→lim ．2°(+∞=a 的情况) 因为+∞=----∞→11limn n n n n x x y y ，所以对1=M ，0>∃N ，当N n >时，111>----n n n n x x y y ，即N n >时，011>->---n n n n x x y y ． (2) 且有 0lim11=----∞→n n n n n y y x x ．所以当N n >时，{}n y 严格递增．(2)式中令k N N n ,,2,1 ++= ，然后相加，可得0>->-N k N k x x y y ．令∞→k ，知+∞→k y ，即+∞=∞→n n y lim ．于是 {}n y 严格递增，+∞=∞→n n y lim ，且0lim11=----∞→n n n n n y y x x ．由1°的结论得0lim lim 11=--=--∞→∞→n n n n n n n n y y x x y x ，故+∞=∞→nn n x ylim ．3°(-∞=a 的情况)只要令n n z y -=即可转化为2°中的情况．注 ∞=----∞→11limn n n n n x x y y ，一般推不出∞=∞→nn n x ylim ．例如{}{} , , ,3 ,2 ,1n x n =，{}{} ,6 ,0 ,4 ,0 ,2 ,0222=n y ．这时虽然∞=----∞→11limn n n n n x x y y ，但{} ,6 ,0 ,4 ,0 ,2 ,0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n x y 不趋向∞．注假设a a n n =∞→lim ，在Stolz 定理中设n x n =，n n a a a y +++= 21．因为a a x x y y n n nn nn n ==--+∞→+++∞→111lim lim，所以a n a a a n n =+++∞→ 21lim ．因而Stolz 定理是它的推广形式．2.2 0型Stolz 公式定理2.2 (0型Stolz 公式) 设∞→n 时0→n y ，n x 严格↘0(严格单调下降趋向零)．假设a x x y y n n n n n =----∞→11lim，那么a x ynn n =∞→lim (其中a 为有限数，∞+或∞-)．证 1°(a 为有限数的情况)因为∞→n 时0→n y ，n x 严格↘0(严格单调下降趋向零)．所以01>-+n n y y ，01>-+n n x x ．按条件a x x y y n n n n n =----∞→11lim，可知0>∀ε，0>∃N ,当N n >时，有εε+<--<-++a x x y y a n n n n 11．即 ))(())((111+++-+<-<--n n n n n n x x a y y x x a εε．可得 ))(())((p n n p n n p n n x x a y y x x a +++-+<-<--εε．令∞→p ，得 n n n x a y x a )()(εε+<<-，即ε<-a x y nn．所以a x y nnn =∞→lim． 2°(+∞=a 的情况) 因+∞=----∞→11limn n n n n x x y y ，所以对0>∀M ，0>∃N ，当N n >时，有M x x y y n n n n >--++11．推得)(p n n p n n x x M y y ++->-．令∞→p ，得n n Mx y ≥，即M x y nn≥ )(N n >．故+∞=∞→nnn x y lim． 3°(-∞=a 的情况)只要令n n z y -=即可转化为2°中+∞=a 的情况．注 Stolz 定理只是给出了极限存在的充分条件，并非必要．例如n x n n 1)1(4321--++-+-= ，2n y n =),3,2,1( =n ．虽然11lim--+∞→--n n n n n y y x x 不存在，但是却有0lim =∞→nn n y x ．另外，定理2.1其名为∞∞型，其实只要求分母n x ↗∞+(严格单调上升趋向无穷大)，至于分子n y 是否趋向无穷大，无关紧要．定理2.2是名副其实的型．因为定理要求分子、分母都以0为极限．因此，Stolz 定理为求某些待定型极限提供了一个有用的工具．2.3 序列形式的Stolz 定理应用Stolz 定理，对于求序列的极限十分有用．例1 应用Stolz 定理求极限：(1) 32222)12(531lim n n n +++++→∞ ；(2) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++++∞→34)12(531lim 32222n n n n ．解 (1) 由Stolz 定理，得34)1()12(lim )12(531lim 33232222=--+=+++++∞→∞→n n n n n n n ． (2) 因为232223222234])12(31[334)12(531n n n n n n -++++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++++ ，所以，由Stolz 定理，得.n n n n n n n n n n 4)1(33])1([4)12(3lim 34])12(31[3lim 2233223222=-----+=-++++=∞→∞→ 原式例2 设101<<x ，)1(1n n n x x x -=+),3,2,1( =n ．证明：1lim =∞→n n nx ．证设{}α== ,2,1|inf n x n ，那么0≥α．0>∀ε，+N ∈∃m ，使得εαα+<≤m x ．由于021<-=-+n n n x x x ，故{}n x 单调减．因此，当m n >时，有εαα+<<≤m n x x ，可知α=∞→n n x lim ．令∞→n ，对递推公式取极限，得0=α．即{}n x 是单调减的无穷小量，利用Stolz 定理1111lim 1limlim 1=-==+∞→∞→∞→nn n n n n n x x x n nx ．例3 设数列{}n a 收敛于a ，那么当)1,0(∈q 时，有qaa q a q qa a n n n n n -=++++--∞→1)(lim 0221 ．证由Stolz 定理，有.1111lim 1111)(lim 122100221 qa qq a q q a q a q a q a a q a q qa a n n n nn n n n n n n n n -=-=++++=++++-∞→--∞→ Stolz 定理，必要时可以重复使用．例4 设kn nk n C x ∑==0ln ，其中!)1()1(k k n n n C k n+--= ，求2lim nx n n ∞→．解由于{}2n 单调增且发散于∞+，由Stolz 定理{}.21)111ln(21lim 2)1ln()1ln()2ln()1(lim Stolz 12ln )1ln(lim1211lnlim12ln ln lim )1(lim lim1111012212 n n n n n n n kn n n k n n n CCn n x x n x n n n nk n nk n nk k nn k kn n nn n n n =++=+-+-++=+-+=++-+=+-=-+-=+∞→∞→=∞→=∞→=+=+∞→+∞→∞→∑∑∑∑定理再用有时问题经过处理之后，方能应用Stolz 定理．例5 设0)(lim 1=--∞→n n n A A n ．试证：极限nA A A nn +++∞→ 21lim存在时，nA A A A nn n n +++=∞→∞→ 21limlim ．证因n A A A n A A A A A n n n n ++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-= 2121，只须证明第一项趋于零．为了利用0)(lim 1=--∞→n n n A A n ，特令11A a =，122A A a -=，…，1--=n n n A A a ，…，那么知0lim =∞→n n na ，且11112211)()()(a a a A A A A A A A A n n n n n n n +++=+-++-+-=---- ．于是.01lim )1()1(lim )Stolz ( )1(2lim )()()(lim lim 32212112121 a n nn n a n na n a a n a a a a a a a a a n A A A A n n n n nn n n n n n n =⋅⋅-=---=-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-∞→∞→∞→∞→∞→定理应用所以nA A A A nn n n +++=∞→∞→ 21limlim ．例6 设∑==nk k n a A 1，当∞→n 时有极限；{}n p 为单调增的正数数列，且+∞→n p )(∞→n ．证明：0lim2211=+++∞→nnn n p a p a p a p ．证设a A n →)(∞→n ．由于1--=k k k A A a ，所以.112321211122112211)()()()()( A p A p p A p p A p p A A p A A p A p a p a p a p n n n n n n n n nn +-++-+-=-++-+=+++---由Stolz 定理，得.0)(lim )()()(lim lim111112321212211 a p p A p p A p A p p A p p A p p p a p a p a p n n n n n n n n n n n n nnn n =+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++-+-=+++---∞→--∞→∞→ 例7 求2112132212122122122lim 21⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→--n n n n n ．解先取对数，再求极限．.122ln 2122ln 2122ln 21122ln 21122ln 21122ln 21ln 123221132221 x n n n n nn n n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=-++-+-=------ 应用Stolz 定理，得21ln 2121ln lim 22122ln 2lim ln lim 12112=-=--=-∞→----∞→∞→n n n n nn n n n n x ．故21lim ==∞→n n x 原式．例8 设数列{}n a ，{}n b 满足：n n n b a a +=+λ1，+N ∈n ，其中1<λ．证明：0lim 0lim =⇔=∞→∞→n n n n a b ．证 ""⇐显然成立．""⇒设0lim =∞→n n b ．假设0=λ，显然有0lim =∞→n n a ．假设0≠λ，那么10<<λ．+N ∈∀n ．, )( )(112211122111122231222112111⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++++==+++=+++=++=++=+=---------------+n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n b b b b a b b b b a b b b a b b b a b b a b b a b a a λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++≤+ 1 1 1 22111n n n n b b b a a λλλλ ．令nn n b b b a z λλλ1112211++++= ，nn y λ1=．由10<<λ知，{}n y 是严格增加的正无穷大的数列，应用Stolz 定理得.b b y y z z y z b b b a n n n n n n n nn n n n n n n n n n n 01lim 111lim lim lim 1 1 1 lim 1111112211=-=-=--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→+++∞→++∞→∞→∞→λλλλλλλλ 所以0lim 1=+∞→n n a ，即0lim =∞→n n a ．例9 设p 为自然数，求以下各极限：(1) 1321lim ++∞→++++p pp p n n n ；(2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++∞→121lim p n n n p p p n ；(3) 1)12(31lim ++∞→-+++p pp n nn ； (4) lim 2n n an ∞→)1(>a ．解 (1) 设∑==nk p n k x 1，1+=p n n y ．因为+Z ∈p ，所以{}n y 单调增，且+∞→n y )(∞→n ．又.)( 1111!2)1()1(1111!2)1()1(1)1()1(111111 n p nn p p p n n p n p p n p pn pn n nn n y y x x ppp p p p p p pn n n n ∞→+→++⋅++++++=+++++++++=-++=----++++ 于是，由Stolz 定理得11lim 21lim lim 111+=--=+++=+++∞→+∞→∞→p y y x x n n y x n n n n n p p p n nn n ． (2) 因为pp p p p p p n p n n p p n n n )1(]21)[1(1211+-++++=+-++++ ，现设1]21)[1(+-++++=p p p n n n p x ，p n n p y )1(+=．因为+Z ∈p ，所以{}n y 单调增，且+∞→n y )(∞→n ．又.)( 2111!2)1()1(1)1()1(!31!212)1(1!2)1()1()1()1(!31!212)1(]1!2)1()[1(]1!2)1()1[(]1!2)1()[1(]1!2)1()[1(])1)[(1(])1[()1)(1(11212121121211111 n n n p p p p n pn p p p p p n p p pn p p n p p p n p p n p p pn p n p p n p n p p pn p n p p pn n p n n p n n n p y y x x p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p n n n n ∞→→++⋅-++++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++⋅-++++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++-+++++++-++-++++-+++=-++-+-++=---------------++++ 故由Stolz 定理得：当p 为自然数时21lim 121lim 11=--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+++++∞→∞→n n n n n p p p n y y x x p n n n ． (3) 设p p n n x )12(31-+++= ，1+=p n n y ．那么{}n y 单调增，且+∞→n y )(∞→n ．又因为.)( 1211!2)1()1(11221)1(!2)1()1(1)2()2()2()1()12(1111111 n p nn p p p n n p n p n pp n p n p n p n n n n y y x x p ppp p p p p p p p pn n n n ∞→+→+++++++=++++++++++=-++=-----++++ 所以，由Stolz 定理12lim )12(31lim 111+=--=-+++++∞→+∞→p y y x x nn pn n n n n p p p n ． (4) 设2n x n =，n n a y =．那么由1>a 知，{}n y 单调增，且+∞→n y )(∞→n ．又因为n n n n n n a n a a a n y y x x 1211)1(1211+⋅-=-+=--++，所以n n nn n n n a n a y y x x 12lim 11lim 11+-=--∞→++∞→．注意n a n 12+仍为∞∞型)(∞→n ，且满足Stolz 定理条件 0)1(2lim )12(1)1(2lim 12lim1=-=-+-++=+∞→+∞→∞→a a a a n n a n n n nn n n n ．可知0lim 11=--++∞→n n n n n y y x x ．故0lim lim 112=--=++∞→∞→n n n n n n n y y x x a n ．3 函数形式的Stolz 定理为了求非导函数的待定式的极限，在Stloz 定理的根底上，给出了Stloz 定理的推广定理，并对定理进行了证明．3.1 ∞∞型Stolz 公式定理3.1 (∞∞型) 假设0>T 为常数， (ⅰ) )()(x g T x g >+)(a x ≥∀；(ⅱ) +∞→)(x g (当+∞→x 时)，且f ，g 在),[+∞a 内闭有界(即指：a b >∀，f ，g 在],[b a 上有界)；(ⅲ) l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim．那么l x g x f x =+∞→)()(lim(其中l 为有限数，∞+或∞-)．证 1°(l 为有限数的情况)按条件+∞→)(x g (当+∞→x 时)，及l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim知0>∀ε，0>∃A ，当A n ≥时有0)(>x g ，2)()()()(ε<--+-+l x g T x g x f T x f ． (1)记 l T n x g nT x g T n x f nT x f n --+-+-+-+=))1(()())1(()(α． (2)那么.)]()([)])1(()([ )]()2([)())]()1(()([ ))](2()3([ ))](()2([)())]()1(()([ ))]()2(())1(([))2(())]()1(()([))1(()(2321 T x g nT x g l T n x g nT x g T x g T x g T x f l T n x g nT x g l T x g T x g l T x g T x g T x f l T n x g nT x g l T n x g T n x g T n x f l T n x g nT x g T n x f nT x f n n n n n +-++-+-++++-+++=+-+-+++++-++++-+++==+-+-+++-+--++-+=+-+-++-+=+-αααααααα在除以)(nT x g +，减去l ，得{}.))1(()( )()2( )(1)()()()()(2T n x g nT x g T x g T x g nT x g nT x g nT x g l T x f l nT x g nT x f n -+-++++-+⨯++++⋅-+≤-++αα由(1)式知 2εα<k ),,2,1(n k =，因为)()(x g T x g >+)(a x ≥∀，.2)()()( )()()(2)()()( nT x g T x g l T x f nT x g T x g nT x g nT x g T x g l T x f εε+++⋅-+≤++-++++⋅-+≤上式右端按条件，)()(T x g l T x f +⋅-+在],[T A A +上有界，即0>∃M ，使得M T x g l T x f ≤+⋅-+)()(．于是2)(ε++≤nT x g M 上式右端．但+∞→)(x g (当+∞→x 时)，故0>∃N ，当N n >时有2)(ε<+nT x g M ．所以εεε=+≤-++22)()(l nT x g nT x f ．(3) 故NT A y +>∀，总N n >∃及],[T A A x +∈，使得nT x y +=．从而由(3)式知ε<-l y g y f )()(．即l y g y f x =+∞→)()(lim． 2°(l 为∞+的情况) 因+∞=+∞→)(lim x g n 及+∞=-+-++∞→)()()()(limx g T x g x f T x f x ，故0>∀M ，a A >∃，当A x >时，0)(>x g ，M x g T x g x f T x f 2)()()()(>-+-+．从而N ∈∀n ，有M T n x g nT x g T n x f nT x f 2))1(()())1(()(>---+---+．由此.)]()([2)()])1(()([2 )]()([2)()])1(()([2 )])2(())1(([2))2(()])1(()([2))1(()( x g nT x g M x f T n x g nT x g M x g T x g M x f T n x g nT x g M T n x g T n x g M T n x f T n x g nT x g M T n x f nT x f -++=-+-+++-++>>-+-++-+--++-+>-+-++-+>+两边同时除以)(nT x g +，得)()(2)(2)()(nT x g x Mg x f M nT x g nT x f +-+>++．注意到)(2)(x Mg x f -在],[T A A +上有界，而∞→+)(nT x g ，所以0>∃N ，N n >时，M nT x g x Mg x f ->+-)()(2)(．于是M M M nT x g nT x f =->++2)()(．因NT A y +>∀，N n >∃及],[T A A x +∈，使得nT x y +=．故M nT x g nT x f y g y f >++=)()()()(．即+∞=+∞→)()(limy g y f x ． 3°(l 为∞-的情况)可考虑)(x f -即可转化为2°中的情况．3.2 00型Stolz 公式定理3.2 (0型) 设T>0，且(ⅰ) )()(0x g T x g <+<)(a x ≥∀； (ⅱ) 0)(lim )(lim ==+∞→+∞→x g x f x x ；(ⅲ) l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim．那么l x g x f x =+∞→)()(lim(其中l 为有限数，∞+或∞-)．证 1°(l 为有限数的情况)因为)()(0x g T x g <+<)(a x ≥∀．所以0)()(>+-T x g x g ．按条件l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim，可知0>∀ε，a X ≥∃，当X x >时，有)]()()[()()()]()()[(T x g x g l T x f x f T x g x g l +-+<+-<+--εε．对N ∈∀n ，由此可得)]()()[()()()]()()[(nT x g x g l nT x f x f nT x g x g l +-+<+-<+--εε．因为0)(lim )(lim ==+∞→+∞→x g x f x x ，令∞→n ，得)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-．即ε<-l x g x f )()(．故l x g x f n =+∞→)()(lim． 2°(l 为∞+的情况)因+∞=-+-++∞→)()()()(limx g T x g x f T x f x ，所以0>∀M ，a X ≥∃，当X x >时，M x g T x g x f T x f >-+-+)()()()(．推得)]()([)()(nT x g x g M nT x f x f +->+-．令∞→n ，得)()(x Mg x f ≥，即M x g x f ≥)()(．故+∞=∞→)()(lim x g x f n ．3°(l 为∞-的情况)可考虑)(x f -即可转化为2°中的情况．3.3 函数形式的Stolz 定理应用有些问题应用上述定理可变得十分容易．如例1 (Cauchy 定理) 假设f 在),(+∞a 内有定义，且内闭有界(即),(],[+∞⊂∀a βα，f 在],[βα上有界)，那么(1) )]()1([lim )(limx f x f xx f x x -+=+∞→+∞→； (2) )()1(lim)]([lim 1x f x f x f x xx +=+∞→+∞→ )0)((>≥c x f ，当右边极限存在时成立．证 (1) 令x x g =)(，那么)()1(x g x g >+，),(+∞∈a x (取1=T )，且+∞=+∞→)(lim x g x ．又)(x f 和)(x g 在),(+∞a 上内闭有界，故当)()1()()1(lim )1()()1(lim)]()1([lim x g x g x f x f x x x f x f x f x f x x x -+-+=-+-+=-++∞→+∞→+∞→存在时，可知 )()(lim )(limx g x f xx f x x +∞→+∞→=存在，且有 )]()1([lim )(limx f x f xx f x x -+=+∞→+∞→． (2) 0)(>≥c x f ，令)(ln )(x f x F =，x x g =)(，那么)()1(x g x g >+，),(+∞∈a x (取1=T )，且+∞=+∞→)(lim x g x ．由于)(x f 在),(+∞a 上内闭有界，那么)(x F 在),(+∞a 上也内闭有界．又)(x g 在),(+∞a 上内闭有界，故当存在)()1(limx f x f x ++∞→，从而也存在)()1()()1(lim)1()(ln )1(ln lim )()1(lnlim x g x g x F x F x x x f x f x f x f x x x -+-+=-+-+=++∞→+∞→+∞→时，可知 )()1(lim)(ln lim)]([lim 1x g x F x x f x f x x xx +==+∞→+∞→+∞→存在，且有 )()1(lim)]([lim 1x f x f x f x xx +=+∞→+∞→．例2 设f 在),[+∞a 上有定义，内闭有界，l xx f x f nx =-++∞→)()1(lim (l =有限数，∞+或∞-)．那么1)(lim1+=++∞→n lx x f n x ．证.11121)1()1()()1(lim 121)1()1()()1(lim )1()()1(lim )(lim1111 n l xx n n n x x f x f x n n x n x f x f xx x f x f x x f nn x n n x n n x n x +=++⋅+++-+=++⋅+++-+=-+-+=+∞→-+∞→+++∞→++∞→(l 为∞+，∞-也成立)．例3 设函数)(x f 和)(x g 在区间),(+∞a 上满足 (1) +∞=+∞→)(lim x g n ；(2) )(x f 、)(x g 可导，且0)('≠x g ； (3) l x g x f n =+∞→)(')('lim．那么l x g x f x g x f n n ==+∞→+∞→)(')('lim )()(lim．证由条件(2)可知，0)('>x g ，),(+∞∈a x ．以下验证)(x f 和)(x g 在),(+∞a 上满足定理3.1(∞∞型)的条件(取1=T )． 1) 由条件(2)，利用Lagrange 中值定理知，),(+∞∈∀a x ，有0)(')()1(>=-+εg x g x g ，),()1,(+∞⊂+∈a x x ε，即)()1(x g x g >+，),(+∞∈a x 成立．而由条件(1)，已成立+∞=+∞→)(lim x g n ．2) 由条件(2)知，)(x f 和)(x g 在),(+∞a 上连续，从而内闭有界． 3) 由条件(2)和(3)，利用Cauchy 中值定理知，),(+∞∈∀a x ，有)(')(')()1()()1(ξξg f x g x g x f x f =-+-+，),()1,(+∞⊂+∈a x x ξ成立．从而有l g f x g x g x f x f n n ==-+-++∞→+∞→)(')('lim )()1()()1(limξξ．由定理3.1(∞∞型)，得证在上述条件下成立 l x g x f x g x g x f x f x g x f n n n ==-+-+=+∞→+∞→+∞→)(')('lim )()1()()1(lim )()(lim．结论Stolz 定理与L’Hospital 法那么是数学分析中处理“∞∞〞型和“00〞型极限的两个重要工具，它们分别适用于变量为“离散的〞和“连续的〞情形．Stolz 定理实质上是数列{}n y 与正无穷大数列{}n x 的各自相邻两项增长率之比的极限，来求得nn x y 的极限．这与求函数极限时，)(')('x g x f 的极限来求)()(x g x f 的极限(∞∞型)的情形(L’Hospita l 法那么)有相似之处．Stolz 定理常用于分子或分母是某一和式的极限求法，应用该定理时，要注意验证定理各条件．在同一题目中，只要定理条件满足，Stolz 定理可连续使用．对于可导函数来说“∞∞〞型和“00〞型可以互相转化，L’Hospita l 法那么是求待定式极限的一个有力工具，但是对非导函数而言，求待定式极限的值比拟复杂．Stolz 定理可以说是数列的L’Hospital 法那么，它对求数列的极限很有用．Stolz 定理还可以推广到函数极限的情况，有些问题使用Stolz 定理可变得十分容易，此定理为推广求非导函数的待定式的极限提供一种非常有效的方法．因此，Stolz 定理是求解证明数列和函数极限存在性的重要定理．讨论Stolz 定理在求解数列和函数极限问题中的应用是一件很有意义的工作，我们应掌握并灵活运用Stolz 定理．致谢在本次毕业论文的撰写过程中xxx老师给予了我极大的帮助和支持．在此，我谨对xxx老师的细心指导和帮助表示由衷的感谢!参考文献1 江泽坚，吴智泉，周光亚．数学分析．北京：人民教育出版社，19782 常庚哲，史济怀．数学分析教程．南京：江苏教育出版社，19983 华东师范大学数学系．数学分析．北京：高等教育出版社，19864 孙本旺，汪浩．数学分析中的典型例题和解题方法．长沙：湖南科学技术出版社，19815 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法．北京：高等教育出版社，20026 刘泽庆．数学分析的典型方法与例题选讲．大连：大连海事大学出版社，19977 李惜雯．数学分析例题分析及难点注释(上册)．西安：西安交通大学出版社，20048 赵显曾，黄安才．数学分析中的方法与题解．西安：陕西师范大学出版社，20059 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏．数学分析学习指导书(上册)．北京：高等教育出版社，200410 李成章，黄玉民．数学分析上册(第二版)．北京：科学出版社，200411 李克典，马云苓．数学分析选讲．夏门：夏门大学出版社，2006附录A 外文参考文献〔译文〕函数的极限4.1 定义令X 和Y 是度量空间，假设X E ⊂，f 将E 映入Y 内．且p 是E 的极限点．但凡我们写当p x →是q x f →)(，或q x f px =→)(lim (1) 的时候，就是存在一个点Y q ∈具有以下的性质：对于每个0>ε，存在着0>δ，使得 ε<)),((q x f d Y (2) 对于满足δ<<),(0p x d X (3) 的一切E x ∈成立．记号X d 和Y d 分别表示X 和Y 中的距离．如果X 和(或)Y 换成实直线，复平面或某一欧氏空间k R ，那么，距离X d 和Y d 自然该换成绝对值或相应的范数．应当注意X p ∈，但是上面的定义中，并不一定要求p 是E 的点．此外，即使E p ∈，也完全可能)(lim )(x f p f px →≠．我们还可以将这个定义用序列的极限改述为：4.2 定理令X ，Y ，E ，f 和p 是定义4.1说的那些，那么q x f px =→)(lim (4) 当且仅当q p f n x =∞→)(lim (5) 对于E 中合于p p n ≠，p p n x =∞→lim (6)的每个序列{}n p 成立．证假定(4)成立，取E 中满足(6)的{}n p ．给定了0>ε，那么就有0>δ，使得当E x ∈且δ<<),(0p x d X 时，ε<)),((q x f d Y ．同样又有N 使得当N n >时，δ<<),(0p p d n X ．这样，对于N n >，我们有ε<)),((q p f d n Y ．这就证明了(5)成立．反过来，假定(4)不成立．这时便有某个0>ε，使得对于每个0>δ，都有点E x ∈(依赖于δ)，对这个x 来说，ε≥)),((q p f d n Y 但δ<<),(0p x d X ．取n n 1=δ，) ,3 ,2 ,1( =n 我们就在E 中找到一个满足(6)，但使(5)式不成立的序列．推论如果f 在p 有极限，那么这极限是唯一的．这可以由定理3.2(b)及定理4.2推出来．4.3 定义设有定义在E 上的两个复数f 和g ，我们用g f +表示一个函数，它给E 的每个点x 配置的数是)()(x g x f +．我们用类似的方法定义两个函数的差g f -，积fg 及商g f ，约定商只定义在E 的那些使0)(≠x g 的点x 上．如果f 给E 的每点x 配置同一个数c ，那么f 就叫做一个常数函数，或简单地叫做一个常数，并记作c f =．设f 和g 都是实函数，如果对于每一个E x ∈来说)()(x g x f ≥，那么有时为了简便，就记作g f ≥．类似地，如果f 和g 把E 映入k R 内，便用)(g )(f ))(g f (x x x +=+，)(g )(f ))(g f (x x x ⋅=⋅来定义g f +及fg ；再假设λ是实数，便定义)(f ))(f (x x λλ=．4.4 定理假设X E ⊂，X 是度量空间，p 是E 的极限点，f 与g 是E 上的复函数，而且A x f p x =→)(lim ，B x g px =→)(lim ．那么(a) B A x g f px +=+→))((lim ，(b) AB x fg px =→))((lim ， (c) B A x g f px =→))((lim ，假定0≠B ．证依照定义4.3，这些论断可以从序列的类似性质(定理3.3)直接推出来．评注如果如果f 与g 将E 映入k R 内，那么(a)仍然成立，而(b)就要变为(b')B A ))(g f (lim ⋅=⋅→x px ． (参看定理3.4．)为了使我们能在广义实数系中作运算，我们用领域的说法把定义4.1重述一遍，借以扩大它的范围．对于任一实数x ，我们已经定义了x 的领域就是任一开区间),(δδ+-x x ．4.5 定义对于任一实数c ，合于c x >的实数x 的集叫做∞+的一个领域，记作),(+∞c ．类似地，集),(c -∞是∞-的一个领域．4.6 定义设f 是定义在E 上的实函数，A 与x 在广义实数系中．如果对于A 的每个领域U 存在着x 的一个领域V ，使得E V 不空，并且对一切E V t ∈，x t ≠，有U t f ∈)(．我们说当x t →时 A x f →)(稍一考虑即可看出，当A 和x 是实数时，这与定义4.1是一致的．同定理4.4类似的定理仍然成立．它的证明并没有什么新的东西．为了完备起见，我们把它表达出来．4.7 定理设f 与g 定义在E 上，假定当x t →时A t f →)(，B t g →)(；那么(a) ')(A t f →那么有A A ='，(b) B A t g f +→+))((，(c) AB x fg →))((，(d) B A t g f →))((只要(b)，(c)，(d)的右端有定义．注意∞-∞，∞⋅0，∞∞，0A 是没有定义的．附录B 外文参考文献〔原文〕Limits oF Functions4.1 Definition Let X and Y be metric spaces ；suppose X E ⊂，f maps E into Y ，and p is limit point of E ．We write q x f →)( as p x →，orq x f px =→)(lim (1) if there is a point Y q ∈ with the following property ：For every 0>ε there exists a 0>δ such thatε<)),((q x f d Y (2) for all points E x ∈ for whichδ<<),(0p x d X ． (3) The symbols X d and Y d refer to the distances in X and Y ，respectively ．If X and/or Y are replaced by the real line ，the complex plane ，or by some euclidean space k R ，the distances X d ，Y d are of course replaced by absolute values ，or by norms of differences ．It should be noted that X p ∈，but that p need not be a point of E in the above definition ．Moreover ，even if E p ∈，we may very well have )(lim )(x f p f px →≠． We can recast this definition in terms of limits of sequences ：4.2 Theorem Let X ，Y ，E ，f ，and p be as in Definition 4.1．Thenq x f px =→)(lim (4) if and only ifq p f n x =∞→)(lim (5) for every sequence {}n p in E such thatp p n ≠，p p n x =∞→lim ． (6) Proof Suppose (4) holds ．Choose {}n p in E satisfying (6)．Let 0>ε be given ． Then there exists 0>δ such that ε<)),((q x f d Y if E x ∈ and δ<<),(0p x d X ．Also ，there exists N such that N n > implies δ<<),(0p p d n X ．Thus ，for N n >，we have ε<)),((q p f d n Y ，whice show that (5) holds ．Conversely ，suppose (4) is false ．Then there exists some 0>ε such that for every 0>δ there exists a point E x ∈(depending on δ)，for which ε≥)),((q p f d n Y but δ<<),(0p x d X ．Taking n n 1=δ，) ,3 ,2 ,1( =n ，we thus find a sequence in E satisfying (6) for which (5) is false ．Corollary if f has a limit at p ，this limit is unique ．This follows from Theorems 3.2(b) and 4.2．4.3 Definition Suppose we have two complex functions ，f and g ，both defined on E ．By g f + we mean the the function which assigns to each point x of E the number )()(x g x f +．Similary we define the difference g f -，the product fg ，and the quotient g f of the two functions ，with the understanding that the quotient is defined only at those points x of E at which 0)(≠x g ．If f assigns to each point x of E the same number c ，then f is said to be a constant function ，or simply a constant ，and we write c f =．If f and g are real function ，and if )()(x g x f ≥ for every E x ∈，we shall sometimes write g f ≥，for brevity ．Similarly ，if f and g map E into k R ，we define g f + and fg by)(g )(f ))(g f (x x x +=+，)(g )(f ))(g f (x x x ⋅=⋅；And if λ is a real number ，)(f ))(f (x x λλ=．4.4 Theorem Suppose X E ⊂，a metric space ，p is a limit point of E ，f andg are complex functions on E ，andA x f p x =→)(lim ，B x g px =→)(lim ． Then(a) B A x g f px +=+→))((lim ， (b) AB x fg px =→))((lim ， (c) B A x g f px =→))((lim ，if 0≠B ． Proof In view of Theorem 4.3，these assertions follow immediately from the analogous properties of sequences (Theorem 3.3)．Remark If f and g map E into k R ，then (a) remains true ，and (b) becomes (b')B A ))(g f (lim ⋅=⋅→x px ． (Compare Theorem 3.4．)To enable us operate in the extended real number system ，we shall now enlarge the scope of Definition 4.1，by reformulating it in terms of neighborhoods ．For any real number x ，we have already defined a neighborhood of x to be any segment ),(δδ+-x x ．4.5 Definition For any real c ，the set of real numbers x such that c x > is called a neighborhood of ∞+ and is written ),(+∞c ．Similarly ，the set ),(c -∞ is a neighborhood of ∞-．4.6 Definition Let f be a real function defined on R E ⊂．We say thatA x f →)( as x t →，where A and x are in the extended real number system ，if for every neighborhood U of A there is neighborhood V of x such that E V is not empty ，and such that U t f ∈)( for all E V t ∈，x t ≠．A moment’s consideration will show that this coincides with Definition 4.1 when A and x are real ．苏州科技学院毕业论文4 The analogue of Theorem 4.4 is still true ，and the proof offers nothing new ．We state it ，for the sake of completeness ．4.7 Theorem Let f and g be defined on R E ⊂．SupposeA t f →)(，B t g →)( as x t →．Then(a) ')(A t f → implies A A ='，(b) B A t g f +→+))((，(c) AB x fg →))((， (d) B A t g f →))((，provided the right members of (b)，(c)，and (d) are defined ．Note that ∞-∞，∞⋅0，∞∞，0A are not defined ．。

stolz定理求极限

Stolz定理：求解极限的强大工具一、定理定义Stolz定理是一个在数学中用于求解极限的重要定理。

它是以德国数学家Otto Stolz的名字命名的。

该定理允许我们通过比较两个函数的比值来求解某一函数的极限。

二、定理条件Stolz定理的条件如下：函数f(x)在[a, b]上单调不减；存在一个常数c，使得当x趋于a时，f(x)的极限为c；存在一个常数d，使得当x趋于b时，f(x)的极限为d。

三、定理应用Stolz定理的应用广泛，主要用于求解数列和函数的极限。

通过使用该定理，我们可以简化极限的计算过程，并为我们提供更直观、更易操作的求解方法。

四、定理证明假设f(x)在[a, b]上单调不减，且当x趋于a时，f(x)的极限为c，当x趋于b时，f(x)的极限为d。

设$\lim{x \to a}f(x)=c$和$\lim{x \to b}f(x)=d$。

根据单调函数的性质，我们知道$f(x)$在[a, b]上的值域是$[c, d]$。

设$\varepsilon > 0$，取$\delta = \frac{d - c}{\varepsilon}$。

根据定义，当$|x - a| < \delta$时，有$|f(x) - c| < \varepsilon$；同样地，当$|x - b| < \delta$时，有$|f(x) - d| < \varepsilon$。

现在考虑函数$g(x) = \frac{f(x) - c}{b - x}$。

当$x \in (a, b)$时，有$g(x) = \frac{f(x) - c}{b - x} < \frac{d - c}{b - a}$。

当$x \in (a, b-\delta)$时，有$g(x) = \frac{f(x) - c}{b - x} > \frac{d - c}{b - a} - \frac{\varepsilon}{b - a} = \frac{d - c - \varepsilon}{b - a}$。

stolzen定理

stolzen定理引言：stolzen定理是由著名数学家约翰·斯托尔岑于19世纪末提出的重要定理。

这个定理在当时引起了巨大的轰动，并在数学领域产生了深远的影响。

本文将介绍stolzen定理的定义、相关性质以及它在数学研究和实际应用中的重要性。

一、stolzen定理的定义：stolzen定理是一个关于函数极限的定理。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且对于任意[a,b]上的x_1和x_2(其中x_1<x_2)，有f(x_1)=f(x_2)，那么对于任意[a,b]上的c和d(其中c<d)，必存在ξ∈(c,d)，使得f'(ξ)=0。

简单来说，如果一个函数在某个区间内连续且对函数值相同的两个点取极限，那么在该区间内必然存在一个点，该点的导数等于零。

二、stolzen定理的证明：stolzen定理的证明较为复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧和定理。

这里只给出一个简单的证明思路。

首先，我们可以通过Rolle定理来证明stolzen定理。

Rolle定理是一个关于洛必达法则的推广定理，它要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且函数在a和b处取极值。

通过Rolle定理，我们可以得到在(a,b)上存在一个点ξ使得f'(ξ)=0。

其次，我们可以运用数学分析中的零点定理来证明stolzen定理。

零点定理指出：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，则必在(a,b)内至少存在一个ξ使得f(ξ)=0。

通过零点定理，我们可以推导出存在点ξ满足f'(ξ)=0。

综上所述，stolzen定理可以通过Rolle定理和零点定理进行证明。

三、stolzen定理的相关性质：1. stolzen定理可以用来证明一些关于函数导数的性质，例如函数的极值、驻点等。

2. stolzen定理可以应用于微分方程的研究，可以帮助研究者寻找方程的特解。

3. stolzen定理在实际应用中具有广泛的意义，例如金融领域的复利计算、物理学领域的运动学问题等。

stolz定理的应用和推广

stolz定理的应用和推广
Stolz定理是一个重要的数学定理，它提供了一种方法来求解某些类型的积分。

它是由德国数学家Otto Stolz在1887年提出的，它的原理是：如果一个函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，那么它的积分可以表示为：
∫a b f(x)dx=f(b)-f(a)
Stolz定理的应用和推广非常广泛，它可以用来解决许多复杂的积分问题。

例如，它可以用来计算曲线的面积，计算曲线的极限，计算曲线的斜率，计算曲线的曲率等等。

此外，Stolz定理还可以用来求解某些复杂的微分方程，例如拉普拉斯方程，泊松方程等。

Stolz定理的推广也很有用，它可以用来求解更复杂的积分问题，例如多元积分，多元函数的积分，多元函数的极限等等。

此外，Stolz定理还可以用来求解某些复杂的微分方程，例如KdV 方程，Kuramoto-Sivashinsky方程等。

总之，Stolz定理是一个重要的数学定理，它的应用和推广非常广泛，可以用来解决许多复杂的积分问题和微分方程。

它的应用和推广可以帮助我们更好地理解数学，并且可以帮助我们解决实际问题。

stolz定理的证明和推广

stolz定理的证明和推广Stolz定理是数学中的一个重要定理，它描述了数学空间的某种结构特征。

在20世纪90年代，德国数学家Friedrich Stolz发现了这个定理，被称为Stolz定理。

它在后来的时间里，在很多领域中得到了广泛的应用，包括几何学，微分几何，变换理论，数学物理，概率论等等，受到了学者们的深入研究和讨论。

本文将详细地介绍Stolz定理的证明和推广，并对定理的应用进行分析。

一、Stolz定理的证明Stolz定理关于数学空间的某种结构特征的描述是这样的：定理：设$M$为一个自发的，完备的度量空间，$K$为$M$中的各种可渐变的无穷曲线，则$K$的单个空间$X$的标准性质（一般情况下均是抛物线，下同）在$M$中具有一致性。

Stolz定理的证明是由Friedrich Stolz发现的，证明步骤如下：首先，引入函数$f(x)$，它在曲线$K$上有连续性，它是一种可渐变的函数，其曲线表示为$y=f(x)$。

其次，证明$K$的单个空间$X$的抛物线$y=f(x)$的标准性质在$M$中具有一致性。

在这里，需要用到这样一个定理：定理：若对函数$f(x)$，在$K$上存在一个$gamma$，当x增加时，$f(x)$以$gamma$作为极限，则$f(x)$是$K$上的一条抛物线；再者，证明$X$空间中抛物线$y=f(x)$分布在$M$空间中具有一致性。

这是指给定一个抛物线$y=f(x)$，则可以找到抛物线$y=g(x)$，使得$g(x)$在$M$空间中和$f(x)$在$X$空间中具有一致性。

最后，当$M$空间中的抛物线$y=g(x)$的函数存在的时候，证明抛物线$y=f(x)$的标准性质在$M$空间中具有一致性。

根据上述证明，Stolz定理得到了证明。

二、Stolz定理的推广Stolz定理最初只针对一个自发的，完备的度量空间$M$和一个可渐变的无穷曲线$K$，但是后来，学者们对它进行了推广，使其适用于更多的度量空间和曲线等。

Stolz定理的推广及应用

编号：201231110123本科毕业论文题目：Stolz定理的推广及应用院系：数学科学系姓名：潘佳佳学号：0831110123专业：数学与应用数学年级：2008级指导教师：沈林职称：讲师完成日期：2012年5月摘要Stolz定理是处理数列中不定式极限的有效方法,被称为数列中的L'Hospital法则.并且Stolz定理可以推广到函数的不定式极限,由此推广,可使Stolz定理和L'Hospital 法则更加紧密的联系在一起.文章主要研究了Stolz定理的推广及其应用.首先,给出了Stolz定理,并且得到了推广的Stolz定理及其理论证明和一些常用结论;其次,运用推广定理证明了Stolz定理和L'Hospital法则,并通过一些具体的例子展现了推广定理在求解某些特殊形式的不定式极限时的优越性.关键词:Stolz定理;不定式;极限;L'Hospital法则AbstractThe problem of indetermined limit can be well solved by the Stolz theorem which is often called the series of the L 'Hospital criteria. The Stolz theorem can be also extended to the limit of function so that the Stolz theorem and the L 'Hospital criteria can be closely related. The generalized forms of Stolz theorem and its applications are mainly studied. Firstly, the Stolz theorem, it's popularized forms and methods which can be used to proof popularized Stolz theorems are given; Then, the Stolz theorem and the L 'Hospital criteria are proved by the popularized Stolz theorems. Some examples are taken to illustrate the use of the popularized Stolz theorem.Key words: Stolz theorem; indeterminate; limit; L'Hospital criteria摘要 (I)Abstract (I)1 引言 (1)2 Stolz定理及其推广 (2)2.1 Stolz定理 (2)2.2 推广的Stolz定理 (5)3 推广的Stolz定理的应用 (12)3.1 证明Stolz定理 (12)3.2 证明L'Hospital法则 (12)3.3 应用举例 (13)结束语 (16)参考文献 (17)致谢 (18)极限是研究函数、导数、积分、级数的基本工具,是数学分析的灵魂.极限问题是学习和教学中的困难问题之一,其中心问题有两个:一是证明极限的存在性,二是求极限的值.这两个问题有密切的关系,若求出了极限的值,自然极限的存在性也被证明了.反之,证明了极限的存在性,常常也就为计算极限铺平了道路.虽然求极限的方法有很多种,但是对某一形式的极限,有的方法用起来比较繁琐,有的方法用起来则比较简便,因此,灵活地选择求解方法对于简便而快速的求解极限问题十分重要.不定式极限是极限问题当中的重要内容,处理函数极限中的不定式时,作用显赫的当属L'Hospital法则,而Stolz定理是处理数列极限中不定式的重要工具,常常被称为数列中的L'Hospital法则,对于离散形式的不定式极限问题的求解具有极大的优越性,并且Stolz定理能够推广到函数极限的情况,从而进一步扩大了其应用的范围.由于Stolz定理的重要性及其应用的广泛性,大量的科研工作者对Stolz定理产生了浓厚的的兴趣.比如,文献[1]研究了Stolz定理及其推广定理的证明;文献[2]介绍了如何利用Stolz定理求解一些特殊的极限问题;文献[3]给出了Stolz定理的推广形式在不同极限问题上的应用.但是在一般的教材当中Stolz定理并没有给出,从而使许多经典极限的求解问题变得相当的困难.本文主要介绍推广的Stolz定理及其应用,并从推广定理出发推导出了几个常用的结论,通过一些具体的例子说明Stolz定理及其推广的有关结论在求特殊形式的极限时的优越性,以期对极限理论的学习和研究有所帮助.2 Stolz 定理及其推广为了更好的研究Stolz 定理的推广定理,下面先给出Stolz 定理及其有关结论. 2.1 Stolz 定理Stolz 定理是求数列极限中∞∞型不定式和0型不定式的有效方法,可以说是数列中的L'Hospital 法则,下面给出该定理及其证明.定理2.1[4] ∞∞型的Stolz 定理设数列{}n x 严格递增且+∞=∞→n n x lim ，若l x x y y n n n n n =----∞→11l i m，则有l x ynn n =∞→lim （其中l 为有限数,∞-∞+或）.定理2.2 0型的Stolz 定理设数列{}n x 严格递减且0lim =∞→n n x ,当∞→n 时,0→n y ,若l x x y y n n n n n =----∞→11lim,则l x y n nn =∞→lim（其中l 为有限数,∞-∞+或）. 附注1）定理2.1中并没有要求+∞=∞→n n y lim ,{}n y 可以是任意一个数列,从而使该定理的应用范围更加广泛.2）Stolz 定理中的l 可以是有限实数或∞-∞+或,但不能是∞,即若∞=----∞→11limn n n n n x x y y ,不一定有∞=∞→nnn x y lim. 例如若n x n y n n n =-=,)1(,虽然∞=--=--∞→--∞→1)12()1(lim lim 11n x x y y n n n n n n n , 但∞≠-=∞→∞→n n n nn x y )1(lim lim. 3）Stolz 定理的逆定理不成立.例如设n )1(-=n a ,令n n a a a x ++=21,n y n =,则当n 为偶数时0=nny x ;当n 为奇数时ny x n n 1-=, 所以,2,1,0lim==∞→n y x nnn , 然而极限n n n n n n n n n a y y x x )1(lim lim lim11-==--∞→∞→--∞→不存在.下面给出Stolz 定理的几个推论.推论2.1 若将定理2.1中的条件“{}n x 严格递增趋向于∞+”换为“{}n x 严格递减趋向于∞-”,则定理的结论依然成立.证明若{}n x 严格递减且-∞=∞→n n x lim ,则{}n x -严格递增且+∞=-∞→)(lim n n x ,按照定理2.1,则有nn n n n n x yx y --=∞→∞→lim lim）（11)(lim--∞→-----=n n n n n x x y y11lim--∞→--=n n n n n x x y y .从而可得定理2.1对于这种情况也是成立的.推论2.2[5] 设{}n y 是实数列,若l y y n n n =--∞→)(lim 1（l 为有限数、∞-∞+或）,则l ny nn =∞→lim. 推论2.3[6] 设实数列{}n y ,如果)( 02∞→→--n y y n n ,则0lim1=+-∞→ny y n n n .推论2.4 设数列{}n y 收敛于l （有限或无限）,算术平均数列ny y y x nn +++= 21,则l x n n =∞→lim .证明令n a y y y b n n n =++=,21 ,由定理2.1知, ）（1,lim lim limlim 1111=-=-==--==--∞→--∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n a a y b b l y a a bb a b x , 所以l x n n =∞→lim .推论2.5 已知{}{}n n x y 和是两个实数列,若nnn x y ∞→lim为有限、∞+或∞-,当∞→n 时, n x x x <<21且+∞→n x ,又0>n x ,则nn n n n n x yx x x y y y ∞→∞→=++++lim lim2121 .证明取n n n n x x x b y y y a ++=++=2121,,则11,---=-=n n n n n n b b x a a y ,所以,由定理2.1有112121limlim lim--∞→∞→∞→--==++++n n n n n nn n nn n b b a a b a x x x y y ynnn x y ∞→=lim. 在数列中,有许多不定式极限,若用传统的“N -ε”语言来证明,显得很繁琐,而应用Stolz 定理来证明却很简单.下面将通过例子来说明Stolz 定理在处理数列中不定式极限时的优越性.例2.1 假设函数列 ,3,2),sin(sin sin ,sin sin 11===-n x x x x n n ,若0sin >x ,证明1sin 3lim=∞→x nn n . 证明取定x ,显然当+∞→x 时,{}x n sin 单调递减趋于零.由Stolz 定理有x xxnx n n n n n n n n 22122sin 1sin 11limsin 1limsin lim -==+∞→∞→∞→xx n n n 22sin 1)(sin sin 11lim-=∞→)sin (t x n =令2201sin 11limt t t -=→展开）处作在（将Taylor t t 0sin = 3=, 所以13sin lim sin 3lim2==∞→∞→xn x nn n n n .在Stolz 定理的基础上,可以将其进行推广,其应用的范围也会进一步扩大.下面主要讨论推广的Stolz 定理及其一些常用结论. 2.2 推广的Stolz 定理Stolz 定理可以推广到函数极限的情形.定理2.3 （∞∞型）若0>T 为常数,且1）)()(时当∞→+∞→x x g ,且f ,g 在[)+∞,a 上内闭有界; 2）)()(x g T x g >+,任意a x ≥; 3）l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim,则l x g x f x =+∞→)()(lim,其中l 为有限数或∞+或∞-. 证明（1）l 为有限数要证明l x g x f x =+∞→)()(lim,即要证明任意0>ε,存在0>δ,当δ>x 时,有ε<-l x g x f )()(. （2-1）按已知条件)( )(时当∞→+∞→n x g 及l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim,知任意0>ε,存在0>A ,当A x >时,有2)()()()(0,)g(ε<--+-+>l x g T x g x f T x f x ,（2-2）我们若能证明对任意0>ε,存在0>N ,当N n >时,对任意[]T A A x +∈,,恒有 ε<-++l nT x g nT x f )()(，（2-3）则（2-1）式获证.事实上,对于任意的NT A y +>,总存在[]T A A x N n +∈>,及,使得nT x y +=.从而由（2-3）式知,对任意的NT A y +>有ε<-l y g y f )()(, 这表明（2-1）式成立.我们只需从（2-2）式推证（2-3）式即可. 记l T n x g nT x g T n x nT x f a n --+-+-+-+≡))1(()())1(()(,（2-4）则[])( ) )1(()())1(()(l a T n x g nT x g T n x f nT x f n +-+-++-+=+ [])( ))2(())1(())2((1l a T n x g T n x g T n x f n +-+--++-+=- +))]()1(()([l a T n x g nT x g n +-+-+ =[])()()2()(2l a T x g T x g T x f ++-+++= [])()2()3(3l a T x g T x g ++-++ ))]()1(()([l a T n x g nT x g n +-+-+++ [])()2()(2T x g T x g a T x f +-+++=[][])()())1(()(T x g nT x g l T n x g nT x g a n +-++-+-+++ , 从而有)()lg()()()(nT x g T x T x f l nT x g nT x f ++-+≤-++ {} ))1(()( )()2( )(12T n x g nT x g a T x g T x g a nT x g n -+-++++-+++,由（2-2）式,知),,2,1(2n k a k =<ε,上式右端)()()(2)()lg()(nT x g T x g nT x g nT x g T x T x f ++-++++-+≤ε 2)()lg()(ε+++-+≤nT x g T x T x f ,而)lg()(T x T x f +-+在[]T A A +,上有界,即存在0>M 使得M T x T x f ≤+-+)lg()(, 则上式右端2)(ε++≤nT x g M ,但)()(时当∞→+∞→n x g ,故存在0>N ,当N n >时,有2)(ε<+nT x g M ,所以εεε=+<-++22)()(l nT x g nT x f .（2）+∞=l 的情况因为+∞=-+-++∞=+∞→+∞→)()()()(lim,)(lim x g T x g x f T x f x g x x ,故对任意0>M ,存在a A >,当时A x >M x g T x g x f T x f x g 2)()()()(,0)(>-+-+>,从而对任意N n ∈,有M T n x g nT x g T n x f nT x f 2))1(()())1(()(>-+-+-+-+,由此有[]))1(()(2))1(()(T n x g nT x g M T n x f nT x f -+-++-+>+ []))1(()(2))2((T n x g nT x g M T n x f -+-++-+>[]))2(())1((2T n x g T n x g M -+--++>[] +-++>)()(2)(x g T x g M x f[]))1(()(2T n x g nT x g M -+-++[])()(2)(x g nT x g M x f -++=,则)()(2)(2)()(nT x g x Mg x f M nT x g nT x f +-+>++. 注意到[]T A A x Mg x f +-,)(2)(在上有界,而且+∞→+)(nT x g ,所以存在0>N , 当时N n ≥,M nT x g x Mg x f ->+-)()(2)(.于是M M M nT x g nT x f =->++2)()(.对任意NT A y +>,当存在N n >及[]T A A x +∈,时,有nT x y +=,故有M nT x g nT x f y g y f >++=)()()()( 即+∞=+∞→)()(limx g x f x . （3）-∞=l 时,可考虑)(x f -,即可化为（2-2）的情况.定理2.4 （0型）设0>T 为常数,且1）0)(lim )(lim ==+∞→+∞→x g x f x x ;2）a x x g T x g ≥∀<+<),()(0; 3）l x g T x g x f T x f x =-+-++∞→)()()()(lim,则l x g x f x =+∞→)()(lim,其中l 为有限数或∞+或∞-. 证明不妨设l 为有限数.由3）及极限定义容易推知,对任意给定的0>ε,必有正数a A >,使对一切[]T A A x +∈,及一切自然数P 都有[])()()(PT x g x g l +--ε)()(PT x f x f +-<[])()()(PT x g x g l +-+<ε, （2-5）对于任意固定的A x >,我们在（2-5）式中令+∞→P ,由于 0)(lim )(lim =+=++∞→+∞→PT x f PT x g P P ,故得)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-,于是)(,)()(A x l x g x f l >+<<-εε 即ε<-l x g x f )()(, 所以l x g x f x =+∞→)()(lim. ∞-+∞=或l 的情况类似.附注同Stolz 定理一样,此定理条件中强调极限)(T)()()(limx g x g x f T x f x -+-++∞→为有限数或∞-∞+或,但不能是∞.这是由于若换为[]∞=-++∞→)()1(lim x f x f x 时,未必有∞=+∞→xx f x )(lim. 例如设)2,1,0( 2212 ,0122 ,2)( =⎩⎨⎧+<≤++<≤=n n x n n x n n x f ,定义在[)∞+，0上,)(x f 满足定理的条件,且[]∞=-++∞→)()1(lim x f x f x ,但∞≠+∞→xx f x )(lim.事实上,x x f x )(lim +∞→不存在,因为0)(lim =+∞→x x f x ,而1)(lim =+∞→xx f x .下面将定理2.3、定理2.4再推广一步,从而可以得到更一般的结论. 差分也有一些与微分相类似的性质,记),,2,1()),(()(),()()(),()(110=∧∧=∧-+=∧=∧-n x f x f x f h x f x f x f x f n n则不难证明))(()1()(0h i n x f C x f in ni i n-+-=∧∑=. 定理2.5 设函数)(x f 、)(x g ,[)+∞∈,a x 满足1）存在某个0>h ,使得)(x f i ∧、)(x g i ∧在任意有限区间上有界;并且+∞=∧+∞→)(lim x g n x )0)(lim )(lim (=∧=∧+∞→+∞→x g x f i x i x ,)11,0(-=n i ;2）)2,1(),0)((,0)(n i x g x g i i =<∧>∧;3）l x g x f nn x =∧∧+∞→)()(lim , 则l x g x f x =+∞→)()(lim. 证明因)(x f i ∧、)(x g i ∧,)11,0(-=n i 分别满足定理2.3、定理2.4的条件,反复应用定理中的结论可得l x g x f x g x f x g x f n n x x x =∧∧==∧∧=+∞→+∞→+∞→)()(lim )()(lim )()(lim .特别,当1=n 时,即是定理2.3或定理2.4,无疑这是Stolz 定理的又一推广. 应用定理2.5可以得到下面的推论.推论2.6 如果)(x f 在[)+∞,a 内任一有限区间上有界,并且存在某0>h ,使得[])()(lim x f h x f x -++∞→存在,则hx f h x f x x f x x )()(lim )(lim-+=+∞→+∞→. 推论2.7 如果0)(lim =+∞→x f x ,且[]l h x f x f h x x x =+-++∞→)()()(lim ,则hlx xf x =+∞→)(lim . 推论2.8 如果0)(>x f ,1)(lim =+∞→x f x ,且l h x f x f hh x x x =+++∞→)())()((lim ,则l x f x x =+∞→)(lim .对于数列,也可以讨论与定理2.5类似的问题.推论2.9 对于数列{}n x ,{}n y ,如果存在某正整数m ,使得n m n x x >+,+∞=∞→n n x lim(或n m n x x <+,0lim =∞→n n x ,0lim =∞→n n y ),l x x y y nm n nm n n =--++∞→lim,则l x x yy x y nm n n m n n n n n =--=++∞→∞→lim lim. 这也是Stolz 定理的一种推广形式.3 推广的Stolz 定理的应用3.1 证明Stolz 定理证明 l x x y y nn nn n =--++∞→11lim,当l 为有限数时（其余情况类似）,作[]1,,)(+∈=n n x x x g n , []1,,)(+∈=n n x y x f n .取1=T ,则显然有 1）)()1(x g x g >+;2）+∞=+∞→)(lim x g x ,且)(x g 、)(x f 在[)+∞,a 的任意闭子区间有界;3）l x x y y x g x g x f x f nn n n n x =--=-+-+++∞→+∞→11lim )()1()()1(lim,于是由定理2.3可得l x g x g x f x f x g x f x x =-+-+=+∞→+∞→)()1()()1(lim )()(lim, 从而l x g x f x y x n n n ==+∞→∞→)()(lim lim. 3.2 证明L'Hospital 法则定理3.1 （∞∞型L'Hospital 法则）若[)+∞==+∞∈≠+∞→+∞→)(lim )(lim ,,,0)('x f x g a x x g x x ,l x g x f x =+∞→)(')('lim,则l x g x f x =+∞→)()(lim .证明只需验证)(x f 及)(x g 在[)+∞,a 上满足推广定理2.3的条件即可.取1=T ,由于[)+∞∈≠,,0)('a x x g ,由达布定理[7],知)('x g 在[)+∞,a 内不变号,又因为+∞=+∞→)(lim x g x ,从而[)∞+∈>，a x x g ,0)('.下面验证条件 1）由Lagrange 定理[8]知,对任意[)+∞∈,a x ,存在)1,0(∈θ,使得),(')()1(θ+=-+x g x g x g [)+∞∈,a x ,因为0)('>+θx g ,所以0)()1(>-+x g x g即)()1(x g x g >+.2）由于)(x f 可导,故)(x f 在[)+∞,a 的任意闭子区间上有界,+∞=+∞→)(lim x g x ,这由已知条件直接给出;3）由柯西中值定理[9],任意[)+∞∈,a x ,存在)1,0(∈θ,使)(')(')()1()()1(θθ++=-+-+x g x f x g x g x f x f , 令+∞→x ,由法则假设知l x g x f x =+++∞→)()('limθθ,于是l x g x g x f x f x =-+-++∞→)()1()()1(lim.由1）、2）、3）可知满足定理2.3的一切条件,故有l x g x f x g x g x f x f x g x f x x x =++=-+-+=+∞→+∞→+∞→)()('lim )()1()()1(lim )()(limθθ. 定理3.2 （00型L'Hospital 法则）设[)0)(lim ,,,0)('=+∞∈≠+∞→x g a x x g x ,0)(lim =+∞→x f x ,且l x g x f x =+∞→)(')('lim,则l x g x f x =+∞→)()(lim .证明方法同∞∞型L'Hospital 法则的证明. 3.3 应用举例有时利用推广的Stolz 定理可以使有些问题的证明变得十分容易,如下例例3.1 假设f 在[)+∞,a 上有定义且内闭有界,)(∞-∞+或为有限数，l ,如果 l x x f x f n x =-++∞→)()1(lim,则1)(lim 1+=++∞→n lx x f n x . 证明由推广的Stolz 定理可得12)1()1()()1(lim )1()()1(lim )(lim1111+++++-+=-+-+=-+∞→+++∞→++∞→ n n x n n x n x x n n x n x f x f x x x f x f x x f ).,( 1112)1()1()()1(lim 时也成立为-∞∞++=+++++-+=+∞→l n lx x n n n x x f x f nnx例3.2 若f 在[)+∞,a 内有定义且内闭有界[][)[]),,,,(上有界在即任意b a f a b a +∞⊂ 则有 1）[])()1(lim )(limx f x f xx f x x -+=+∞→+∞→; 2）[]当右边极限存在时成立,)0)(()()1(lim)(lim 1>≥+=+∞→+∞→c x f x f x f x f x xx . 证明 1）令[)+∞∈∀=,,)(a x x x g 有,1)1(+=+x x g 且)()1(x g x g >+.因为+∞==+∞→+∞→x x g x x lim )(lim ,g f ,在[)+∞,a 上有定义内闭有界且 [])()1(lim )1()()1(limx f x f xx x f x f x x -+=-+-++∞→+∞→, 所以由推广的Stolz 定理可得[])()1(lim )(limx f x f xx f x x -+=+∞→+∞→. 2）令x x g =)(,[]))(()(ln )(c x f x f x F ≥=.因为[][][][]{})(ln )1(ln lim )1()(ln )1(ln lim )()1()()1(limx f x f x x x f x f x g x g x F x F x x x -+=-+-+=-+-++∞←+∞→+∞→ )()1(limln )()1(lnlim x f x f x f x f x x +=+=+∞←+∞→而[][])()1(limln )(ln lim )(ln lim )()(lim 1x f x f x f x x f x g x F x x x x x +===+∞→+∞→+∞→+∞→, 所以由推广的Stolz 定理得[])()1(lim)(lim 1x f x f x f x xx +=+∞→+∞→.结束语Stolz 定理是求数列极限的一种方法,是L'Hospital 法则的离散形式,通过对Stolz 定理的推广形式的引入,给出了L'Hospital 法则的证明,从而架起了Stolz 定理与L'Hospital 法则联系的桥梁,借此可以更好地研究Stolz 定理和L'Hospital 法则的精髓.通过对Stolz 推广形式的研究,加深了对∞∞型和0型极限的认识,从而使一些复杂的问题迎刃而解.但由于知识的储备还不充足,所以在某些问题当中还存在着不足,不过以后会继续研究,不断提高自己的科研能力.参考文献[1]王少英,刘文菡.Stolz定理的证明和推广[J].新乡学院学报,2009,26(4):11-12.[2] 张丽娅.Stolz定理的巧用[J].天水师范学院学报,2008,28(2):4-5.[3] 黄涛,申方.Stolz定理的相关问题及应用探讨[J].天中学刊,2008,23(5):12-15.[4] 张云艳.Stolz公式的推广及其应用[J].洛阳师范学院学报,2004,12(5):21-23.[5] 郭田芬,杨庆玺.Stolz定理的推广及应用[J].焦作师范高等专科学校学报,2008,24(1):66-67.[6] 王红丽.Stolz定理的应用和推广[J].唐山师范学院学报,2007,41(2):89-92.[7] T.M菲赫金哥尔茨.微积分教程[M].叶彦谦,译.北京:人民教育出版社,1964.[8] 华东师大数学系.数学分析（上）[M].北京:高等教育出版社,1999:119-133.[9] 欧阳光中,姚允龙.数学分析:上册[M].上海:复旦大学出版社,1991.[10]刘绛玉.几个Stolz定理的推广定理[J].石家庄职业技术学院学报,2009,21(6):77-78.[11]李俊杰.Stolz定理的推广[J].数学通报,1981,24(3):22-26.[12]贾立鹏,董立华,张景晓.Stolz定理及其推广[J].德州学院学报,2002,18(4):10-12.[13]G.克来鲍尔.数学分析[M].庄亚栋,译.上海:上海科学出版社,1981.致谢毕业论文在此就告一段落,大学四年也就要结束了.在此我要感谢我的导师——沈林老师,他给予了我大力的支持、耐心的帮助和悉心的教导.他认真的审阅了我的论文,并对我的论文作了严格的修改.他那深厚的学术造诣、开阔的视野、活跃的思维都给我留下深刻的印象,使我受益匪浅.在此向我敬爱的导师表示最真诚的感谢和深深的敬意！同时我还要感谢在校期间对我教育培养的所有老师,谢谢他们细心指导我的学习.我要向诸位老师深深的鞠上一躬.还有那些和我共同努力的兄弟姐妹,我们相互帮助一起走过大学的风风雨雨、朝朝暮暮.谢谢你们陪我度过美好的大学生活.最后我还要感谢我的父母,多年来他们坚定的支持是我学习的永恒动力！在以后的工作中我会以各位老师为榜样,用老师教给我的知识奉献社会.以最好的成绩向老师和领导汇报.18。

Stolz施笃兹定理及其推论资料

Stolz施笃兹定理及其推论资料
Stolz施笃兹定理是数学分析中非常重要且常用的一种极限求解方法，它的应用范围
比较广，尤其是在求复杂极限时常常被使用。

下面我们将从定理的定义、证明以及推论方
面进行介绍。

1. 定义
Stolz施笃兹定理本质上是一种比值极限，它是指对于一个数列 a(n) 和 b(n)，若最终 a(n) 和 b(n) 均趋近于无穷大或无穷小，则极限 lim a(n)/b(n) 存在并等于若干项之差的极限，即：
若 lim a(n)/b(n) 没有意义（无穷大或无穷小），则上式不成立。

2. 证明
Stolz施笃兹定理的证明并不难，下面我们只需简要证明一下。

对于数列 a(n) 和 b(n)，假设：
因此，我们可以根据夹逼原理得到：
这是一个比值极限，因此可以通过利用L'Hospital法则进行求解：
也就是：
3. 推论
Stolz施笃兹定理在数学证明中具有广泛的应用，也是众多极限问题求解的有效方法。

下面我们以推论的形式展开。

（1）若lim n→∞a(n) = ∞ 或lim n→∞ a(n) = 0，且lim n→∞ b(n) = ∞，
则有：
lim n→∞a(n)/b(n) = lim n→∞(a(n) - a(n-1))/(b(n) - b(n-1))
上述的推论都可以直接利用 Stolz施笃兹定理进行推导，有了这些推论，不仅能更好地理解Stolz施笃兹定理，而且在实际应用被使用时也更加灵活和高效。

数列极限中stolz定理的应用及推广

数列极限中stolz定理的应用及推广数列极限中stolz定理是一种常用的方法，它可以用来证明某些数列的极限存在，同时还可以推广到更广泛的数学领域中。

本文将介绍stolz定理在数列极限中的应用及其推广。

首先，我们来看stolz定理在数列极限中的应用。

stolz定理指出，若${a_n}$和${b_n}$是两个单调不降的正数数列，且$lim_{ntoinfty}b_n=infty$，则有：$$lim_{ntoinfty}frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=lim_{ntoinft y}frac{a_n}{b_n}$$其中，$a_{n-1}$和$b_{n-1}$可以看做是$a_n$和$b_n$的“前一个数”。

通过stolz定理，我们可以证明某些数列的极限存在。

例如，考虑以下数列：$$frac{1}{1^2}+frac{1}{2^2}+frac{1}{3^2}+cdots+frac{1}{n^2} $$我们可以将其改写为：$$a_n=frac{1}{1^2}+frac{1}{2^2}+frac{1}{3^2}+cdots+frac{1}{ n^2}$$$$b_n=n^2$$显然，${a_n}$和${b_n}$都是单调不降的正数数列，且$lim_{ntoinfty}b_n=infty$。

因此，根据stolz定理，有：$$lim_{ntoinfty}frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=lim_{ntoinft y}frac{a_n}{b_n}$$化简可得：$$lim_{ntoinfty}frac{1}{n^2}=lim_{ntoinfty}frac{a_n}{n^2}-f rac{a_{n-1}}{(n-1)^2}$$由于$lim_{ntoinfty}frac{a_n}{n^2}=0$，因此可得：$$lim_{ntoinfty}frac{1}{n^2}=0$$即$frac{1}{1^2}+frac{1}{2^2}+frac{1}{3^2}+cdots$的极限存在且等于$0$。

Stolz定理在求极限中的应用

Stolz定理在求极限中的应用作者：冯文娴付艳芳来源：《价值工程》2013年第26期摘要：本文阐述了Stolz定理及其推广，给出了Stolz定理及其推广在求数列和函数不定式极限中的应用。

Abstract： This paper intends to probe into the Stolz theorem and its generalization. Based on this， how to calculate limits of Sequences and Functions by using these theorems is further explained.关键词：极限；Stolz定理；应用Key words： limits；Stolz Theorem；application中图分类号：O717 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）26-0279-020 引言随着我们对极限知识进一步理解，在解题中选取的方法不同，会收到不同的效果。

在求解极限问题时，有很多方法和技巧，比如：①迫敛法则；②单调有界原理；③重要极限；④Cauchy收敛准则等等。

这些都是我们熟知的方法。

本文另外介绍一种典型的求数列和函数不定式的极限方法。

1 Stolz定理及其应用1.1 Stolz定理定理1[3] （■Stolz公式）设数列{an}，{bn}，其中{bn}严格单调递增，且■b■=+∞，如果■■=a+∞-∞，则■■=a+∞-∞.定理2[3] （■Stolz公式）设数列{an}，{bn}严格单调递减，且■a■=■b■=0，如果■■=a，则■■=a.利用上述两个定理，可以得到如下推论。

推论1 设■x■=a，则1）■■=a；2）■■=a（xi>0）.推论2 设x■>0，若■■=a，则■■=a.证明：令x■=1，作新序列x■■=■，x■■=■，…，x■■=■，…，则■=■.由条件■x■■=a，故由推论1中2）得■■=a.1.2 Stolz定理的应用下面利用Stolz定理给出了一种求离散的待定型■的极限方法，参见文献[1][2]。

Stolz定理在求极限中的应用

０引言随着我们对极限知识进一步理解，在解题中选取的方
解：由Ｓｔｏｌｚ定理推论２１ｉｍ弋／＝１得：
ｌｉｍ
— ｎ＿＋ ∞
法不同，会收到不同的效果。在求解极限问题时，有很多方
巫业
ｎ
＝ｌｉｍ
ｎ＿＋ ∞ ｎ—Ｉｎ— ｌＪ
一
Ｉ
Ｉ
ｉｉ）著ａ为
证明
＝
推论２设Ｘｎ＞Ｏ，￣ｇ：ｌｉｍ＝ａ，￥１ＪｌｉｍＶ — ａ．
ｎ — ∞ Ｘｎ — ∞ ’ 一
证明：令ｂｎ＝ｘ１＋２＋ …＋ｎｘｎ，ｙ＝ｎ（ｎ＋１）．
关键词：极限；Ｓｔｏｌｚ定理；应用
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｉｍｉｔｓ；ＳｔｏｌｚＴｈｅｏｒｅｍ；ａｐｐｌｉｃａｉｔｏｎ
中图分类号：０７１７
文献标识码：Ａ
文章编号：１００６ — ４３１１（２０１３）２６ — ０２７９ — ０２
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｉｓｐａｐｅｒｉｎｔｅｎｄｓｔｏｐｒｏｂｅｉｎｔｏｔｈｅＳｔｏｌｚｔｈｅｏｒｅｍａｎｄｉｔｓｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｉｓ，ｈｏｗｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｌｉｍｉｔｓｏｆＳｅｑｕｅｎｃｅｓａｎｄＦｕｎｃｉｔｏｎｓｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｓｅｔｈｅｏｒｅｍｓｉｓｆｕｒｔｈｅｒｅｘｐｌａｉｎｅｄ．

Stolz定理及其推广的应用

Stolz 定理及其推广的应用摘要：讨论Stolz 定理及其推广的相关结论，并用于解决数列与函数求极限的问题,通过例子阐明了这些定理在解题中的作用.关键词：Stolz 定理;'L Hosptial 法则;数列;函数;极限Stolz 定理与'L Hosptial 法则是数学分析，高等数学中处理“∞∞”型及“00”型不定式极限的两个重要工具，它们分别适用于数列和函数的情形，但在一般教科书上，通常不介绍Stolz 定理，从而使一些问题的求解变得困难.本文在介绍Stolz 定理及Stolz 定理的推广Stolz 定理的基础上，通过实例说明了其在极限求解中的广泛应用，加深对“∞∞”型及“00”型极限的认识，从而使一些复杂的问题迎刃而解.首先，在此不加证明的给出Stolz 定理关于“∞∞”型和“00”型极限的形式以及Stolz 定理的推广定理关于“∞∞”型和“00”型极限的形式.一、 Stolz 定理及其推广定理1（∞∞型Stolz 定理）[1]：设有数列{}n x ，{}n y ，其中{}n x 严格增，且lim n n x →+∞=+∞（注意，不必lim n n y →+∞=+∞），如果11limn n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，±∞），则： 11limlim n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-.[注] 11limn n n n n y y x x -→+∞--=∞-，一般推不出lim n n nyx →+∞=∞.反例：n x n =，()211nn y n ⎡⎤=+-⎣⎦，此时11lim nn n n n y y x x -→+∞--=∞-，但lim n n ny x →+∞≠∞. 定理2（型Stolz 定理）[1]：设{}n x 严格减，且lim 0n n x →+∞=，lim 0n n y →+∞=，若11limn n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，±∞）则：11limlim n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-定理3（∞∞定Stolz 定理的推广定理）[2]：设T 为正常数，若函数()g x ，()f x ，[,)x a ∈+∞满足：(1)、()()g x T g x +>，x a ∀≥(2)、()()g x x →+∞→+∞，且()f x ，()g x 在[,)a +∞内闭有界（即b a ∀>，()f x ，()g x 在[],a b 有界）. (3)、()()()()lim x f x T f x l g x T g x →+∞+-=+-则：()()limx f x l g x →+∞=（其中l 为有限数或±∞）. 定理4（00型Stolz 定理的推广定理）[2]：设T 为正常数，若函数()g x ，()f x ，[,)x a ∈+∞满足：(1)、()()g x T g x +>，x a ∀≥ (2)、()()lim lim 0x x f x g x →+∞→+∞==(3)、()()()()lim x f x T f x l g x T g x →+∞+-=+-则：()()lim x f x l g x →+∞=（其中l 为有限数或±∞）. 在此，利用这四条定理，不但可以令一些求数列极限的过程简化，还可以求解一些用普通方法不易求解的极限，下面，仅举几例用于说明如何应用Stolz 定理及其推广定理来求解极限和其优点.二、 Stolz 定理及其推广定理的应用例1：设lim n n a a →+∞=（实数，±∞），则12limnn a a a a n→+∞+++= .分析:这里分别用N ε-，A N -法和Stolz 定理加以证明，以便更好的比较两种方法. 证法1：当a R ∈时，0ε∀>，因lim n n a a →+∞=，故1N ∃∈N ，当1n N >时，2n a a ε-<,固定1N ，当11112max ,N a a N a n N N ε⎧⎫+++⎪⎪>>⎨⎬⎪⎪⎩⎭时，有:11n na a a a a a a n n -++-++-= 1111N N n a a a a a a a a n n+-++--++-≤+111112N a a N an N N n ε++--≤+22εεε≤+=. 所以12limnn a a a a n →+∞+++= .当a =+∞时，0A ∀>，由于lim n n a →+∞=+∞，故1N ∃∈N ，当1n N >时，22n a A >+，固定1N ，因11lim12n n N n →+∞-=>，11lim 01N n a a n→+∞++=>- 则1N ∃∈N ，1N N >，当n N >时，111112N a a n N n n++->>- 11111N N nn a a a a a a n n n++++++⇒=+11(22)2212n N A nA A->-+++>-+=所以:12limnn a a a n →+∞+++=+∞ .当a =-∞时，0A ∀>,由于lim n n a →+∞=-∞，故1N ∃∈N ，当1n N >时，22n a A <--，固定1N ，因11lim12n n N n →+∞-=>，11lim 01N n a a n→+∞++=< 则1N ∃∈N ，1N N >，当n N >时，112n N n ->，111N a a n++< 11111N N nn a a a a a a n n n++++++⇒=+11(22)2212n N A nA A-<+--+<-=-所以:12limnn a a a n →+∞+++=-∞ .证法2：令12n n y a a a =+++ ，n x n =，则由Stolz 定理得：()()()1212112limlim 1lim1lim n n nn n nn n n a a a a a a a a a n n n a a a -→+∞→+∞→+∞→+∞+++-++++++=--===以上两种方法的证明过程中，很清楚的显示出Stolz 定理的简洁明了，接下来再看一例题，更好的运用Stolz 定理.例2：设级数1n n a ∞=∑收敛，又{}n P 为严格增的函数数列，且lim n n P →+∞=+∞，证明11lim0n nn n Pa P a P →+∞++= .证明：设令12n n S a a a =+++ ，1n N ∈，由1n n a ∞=∑收敛，记lim n n S S →+∞=.于是：11a S =，1n n n a S S -=-，2,3,n =且()()1122111122limlim n n n n nn n n nPS P S S P S S Pa P a P a P P -→+∞→+∞+-++-++= ()()()11222311lim n n n n n n S P P S P P S P P S P --→+∞-+-++-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()11lim n n n n n n n S P P S P P +→+∞+-⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦ （Stolz 定理） ()lim 0n n n S S →+∞=-+=数学分析中讲到的'L Hosptial 法则是求函数极限的有效方法，这里所说的Stolz 定理是求数列极限的有效方法，但对于Stolz 定理的推广定理也可以用于求不定式的函数极限，以下面这几个例题为例说明.例3:设()f x 在[,)a +∞内任一区间上有界，并且存在某0h >，使得()()limn x f x h f x l x →+∞+-=（其中l 为有限数或±∞），则()()lim 1n x f x l x n h→+∞=+. 证明：令()1n g x x +=，则()f x ，()g x 在[,)a +∞满足定理3的条件，则由定理3可得：()()()()()()()()()()()()()11121121limlimlim1112lim11121n n n x x x nn n n n x n f x f x h f x x x h x f x h f x n n n hx h x h f x h f x x n n h h n h x xl n h +++→+∞→+∞→+∞-++→+∞+-=+-+-=+++++⋅+-=+++++⋅=+ 例4:()lim 0x f x →+∞=，且()()()lim x x x h f x f x h a →+∞+-+=⎡⎤⎣⎦，则()lim x axf x h→+∞=. 证明：令()1g x x=，()()lim lim 0x x f x g x →+∞→+∞==，则()f x ，()g x 满足定理4的条件，则由定理4得：()()()()()()()()()()()()()lim lim1limlim lim11lim x x x x x x f x xf x x f x g x f x h f x g x h g x f x h f x x h x x x h f x f x h h a h→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞==+-=+-+-=-++-+⎡⎤⎣⎦==例5:设()f x ，()g x 在区间(),a +∞上满足: ①()lim x g x →+∞=+∞，②()f x ，()g x 可导且()0g x '≠， ③()()lim x f x l g x →+∞'=，则:()()()()lim lim x x f x f x l g x g x →+∞→+∞'==（'L Hosptial 法则）证明：由条件②和达布定理可得()g x '在[,)a +∞内不改变符号，又()lim x g x →+∞=+∞所以:()0g x '>，[,)x a ∈+∞以下验证()f x 和()g x 在(),a +∞上满足定理3的条件（取1T =） 1’由条件②，由拉格朗日中值定理得：(),x a ∀∈+∞成立()()()10g x g x g ε'+-=>，()(),1,x x a ε∈+⊂+∞，即()()1g x g x +>，(),x a ∈+∞由条件①，已成立()lim x g x →+∞=+∞.2’由条件②得：()f x 和()g x 在(),a +∞上连续，从而内闭有界. 3’由条件②和条件③，利用Cauchy 中值定理知：(),x a ∀∈+∞，成立()()()()()()11f x f x f g x g x g εε'+-='+-，()(),1,x x a ε∈+⊂+∞ 所以:()()()()()()1limlim 1x f x f x f l g x g x g εεε→+∞→+∞'+-=='+-. 由定理3，得证在上述条件下成立：()()()()()()()()1lim lim lim 1x x x f x f x f x f x l g x g x g x g x →+∞→+∞→+∞'+-==='+- [注]此例题为∞∞型'L Hosptial 法则的一个推广. 此外，有时利用Stolz 定理的推广定理可以使有些问题的证明变得十分容易，如下例：例6:（Cauchy 定理）若f 在(),a +∞内有定义，且内闭有界（即[](),,a αβ∀⊂+∞，f 在[],αβ上有界），则：①()()()lim lim 1x x f x f x f x x→+∞→+∞=+-⎡⎤⎣⎦ ②()()()11lim lim xx x f x f x f x →+∞→+∞+=⎡⎤⎣⎦，（()0f x c ≥>）当右边极限存在时成立. 证明：①令()g x x =，(),x a ∀∈+∞，有()11g x x +=+且()()1g x g x +> 因为()lim lim x x g x x →+∞→+∞==+∞，又()f x ，()g x 在(),a +∞上有定义且内闭有界所以:()()()()()1limlim 11x x f x f x f x f x x x→+∞→+∞+-=+-⎡⎤⎣⎦+- 则由定理3知：()()()limlim 1x x f x f x f x x→+∞→+∞=+-⎡⎤⎣⎦ ②令()g x x =，()()ln F x f x =⎡⎤⎣⎦，（()0f x c >>）因为()()()()()()()ln 1ln 1lim lim11x x f x f x F x F x g x g x x x→+∞→+∞+-⎡⎤⎡⎤+-⎣⎦⎣⎦=+-+- 又 ()(){}()()()()11lim ln 1ln lim ln ln limx x x f x f x f x f x f x f x →+∞→+∞→+∞+++-==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 而 ()()()()()()1ln 1lim lim lim ln ln lim x x x x x f x F x f x f x g x x f x →+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+⎣⎦===⎡⎤⎣⎦ 所以由定理3知：()()()11lim lim xx x f x f x f x →+∞→+∞+=⎡⎤⎣⎦ 由此可以看出，Stolz 定理及其推广定理的掌握对求解数列极限及其函数极限很有必要，能使很多复杂的问题简洁化，对解决极限问题非常有效.参考文献：[1].徐森林，薛春华.数学分析（第一册）[M ]. 北京:清华大学出版社,2005. [2].李俊杰.Stolz 定理的推广[J ].数学通报 1981,(3),22~26.[3].廖小勇，陈文略.Stolz 定理及其推广的应用[J ].黄冈师范学院学报 ,2003.[4].华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2001.[5].张传芳,杨春玲.利用Stolz定理的推广定义求极限[J].高等数学研究,2005.。

Stolz公式讲解

Stolz公式讲解介绍其中的Stolz公式（也被称为Stolz定理或施笃兹定理）的相关内容：1.基本概念：•Stolz公式是一种求数列极限的方法。

•具体而言，设有数列An和Bn，若Bn>0且递增，当n→+∞时Bn→+∞，则有：若lim(n→+∞)（(A(n+1）-An)/(B(n+1）-Bn)）=L（L可以是0，有限数，+∞或-∞），则lim(n→+∞)（An/Bn）=L。

2.应用场景：•Stolz公式常用于在数列极限中处理一些用常规方法难以解答的问题。

例如，当需要求解形如lim(An/Bn)的极限，且An和Bn满足Stolz公式的条件时，就可以使用该方法。

•Stolz公式与Cauchy命题（平均值定理）有紧密的联系，有时可以互相转化应用。

3.使用方法：•首先，确认数列An和Bn满足Stolz公式的条件，即Bn>0且递增，当n→+∞时Bn→+∞。

•然后，计算lim(n→+∞)（(A(n+1）-An)/(B(n+1）-Bn)）的值，记为L。

•根据Stolz公式，lim(n→+∞)（An/Bn）=L。

4.注意事项：•在使用Stolz公式前，务必确认数列An和Bn满足其条件。

如果不满足，则不能使用该方法求极限。

•Stolz公式是一种充分条件，而非必要条件。

即使不满足Stolz公式的条件，lim(An/Bn)的极限也可能存在，但此时不能用Stolz公式求解。

•在实际应用中，有时需要对An或Bn进行适当的变形或处理，以满足Stolz 公式的条件。

总之，Stolz公式是求解数列极限的一种有效方法，但使用时需要注意其适用条件和限制。

通过掌握其基本概念、应用场景、使用方法和注意事项，可以更好地理解和应用该公式。

运用Stolz定理求解数列极限

运用Stolz定理求解数列极限
stolz公式是lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=L。

Stolz定理是一种求数列极限的方法。

设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n→+∞时Bn→+∞（以下lim均表示lim(n→+∞））则有：若lim(A(n+1）-An)/(B(n+1）-Bn)=L(L可以是0,有限数，或+∞（-∞））==>lim(An)/(Bn)=L。

1、在数学中，Stolz定理是以数学家奥托Stolz和埃内斯托CESàRO命名，是检验一个数列是否收敛的准则。

设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞。

2、洛必达法则是对分子分母分别求导，而施笃兹定理是对分子分母分别取了逆向的差分。

求差分在一定意义上可以理解成“离散地求导”，所以洛必达法则和施笃兹定理是非常相像的。

3、O'Stolz定理是处理数列不定式极限的有力工具，一般用于*/∞型的极限即分母趋于正无穷大的分式极限，分子趋不趋于无穷大无所谓。

0/0型极限，此时要求分子分母都以0为极限。

Stolz定理及其应用文献综述

Stolz定理及其应用+文献综述摘要：Stolz定理是数学分析中处理数列极限的有效方法,将其推广到实数集函数形式,从而使Stolz定理和L'Hospital法则紧密地联系在一起,拓展了Stolz定理在函数极限方面的应用.本首先给出离散的( )型Stolz定理、其几何意义和几个常用推论,其次将定理推广到实数集,得到连续的( )型Stolz定理,最后探究Stolz 定理在证明其他相关定理、以及求极限和数列渐进性方面的应用.关键词：Stolz定理;数列;推广;极限8554Stolz Theorem and Its ApplicationsAbstract: Stolz Theorem is a effective method to handle the limit of a sequence in mathematical analysis, we can make it applied to the set of real numbers function form, so that the Stolz theorem and L'Hospital law could closely together, it expand the application of Stolz theorem in the limit of function. In this paper, first give the discrete Stolz Theorem, its geometric significance and severalfrequently used inference, and then the theorem is extended to the set of real numbers, we gain the Stolz Theorem of continuous type.At last ,we explored the application that how to use the Stolz Theorem to prove the other relative theorem, to solve the limit of a sequence, and progressive application aspect.Key words: Stolz Theorem; Sequence; Extension; Limit目录摘要.1引言.21.Stolz定理.31.1 ( ) 型Stolz定理31.2 ( ) 型Stolz定理.62.Stolz定理的推广.62.1 Stolz定理推广到实数集函数连续形式72.2 Stolz定理推广到无穷级数求和形式123.Stolz定理的应用143.1 Stolz定理在证明其他相关定理方面的应用14 3.2 Stolz定理在求极限方面的应用.173.3 Stolz定理在研究数列渐进性方面的应用.19参考文献22致谢231.Stolz定理Stolz定理是数学分析中的一个重要定理,它对分式极限的求解起到了简化与便利的作用.作为本文的开头,我们首先叙述离散的Stolz定理.1.1（）型Stolz定理若从某一项开始严格单调递增,且,如果(其中为有限数或为或)证(1) 先设为有限数对任意的,存在,使得且当时有于是有以上个式子相加,得对固定的,因为,所以,存在,使得当时,有(2) 若由式(1)知,当充分大时有, ,故也严格递增趋于.于是式(1)可等价的写为由已证结论(1) 知, .故.(3) 若,记,则.由(2)知, ,即得.1.1.1型Stolz定理的几何意义离散的Stolz定理给出了一种求( )型极限的方法,其几何意义是:在平面上有一无限折线,其中.折线段的斜率为,矢径的斜率为.当数列满足Stolz定理条件时,矢径的斜率与折线段的斜率在时趋于同一极限.如下图所示,若线段的斜率当时极限为,表示当时，点位于某条直线的附近;而当直线上的点沿着移向无穷远时,它与点的连线与直线的夹角趋向于,即当点移向无穷远时直线将与直线“平行”,亦即它们的斜率将相等,如图所示.注当时,上述所给结论未必成立.例, .此时.虽有,但是,即.1.1.2型Stolz定理的几个常用推论由Stolz定理,我们知道其在求比式极限方面的优越性,接下来列举它的几个常用结论.它们均是Stolz定理的应用,这些是在平时习题的基础之上总结出来的,下面我们以推论的形式给出.推论1(算术平均值)若( 为有限数或为或),则.(1)为有限数对任意给的,存在,使得当时,有由假设知,函数在上单调增加, ,于是有由此可知,对任意自然数,下列不等式成立.即将这个不等式两边相加,得同时除以,得(2)式(2)对任意及任意的自然数均成立,特别当满足时,当然也成立.现在任取实数,则,由带余除法有等式,其中, , 为某个自然数.于是，显然令,则上述表明,对任何大于的实数,都可表为某个在中的实数与一个自然数的和.将不等式(2)的取作这里的并取就有不等式由假设(ii)知,存在正数,使,且当时, .对于及,则因此有(4)成立.对任取的,由前面的论述知,有使不等式(3)成立.对这样的,不等式(4)当然成立.于是由假设(ii)首先有其次,当时,由假设知有界,故有使;又因函数是单调增加的,故有,使,因此有Stolz定理及其应用+文献综述(3):。

stolz定理上极限

stolz定理上极限摘要：1.介绍Stolz 定理2.Stolz 定理的应用3.Stolz 定理的证明正文：1.介绍Stolz 定理Stolz 定理，又称为Stolz-Cesàro 定理，是由瑞士数学家Otto Stolz 和意大利数学家Ernesto Cesàro 在20 世纪初独立发现的。

它是一种求极限的方法，特别适用于求解形式为“1/n”的有理函数序列的极限。

Stolz 定理将原函数的极限问题转化为求解另一个与原函数相关的函数的极限问题，从而简化了求解过程。

2.Stolz 定理的应用Stolz 定理在求极限问题中具有广泛的应用。

例如，当遇到形如“1/n”、“1/n^2”或者“1/n^k”的有理函数序列时，我们可以考虑使用Stolz 定理来求解其极限。

通过Stolz 定理，我们可以将这类极限问题转化为求解一个容易求解的极限问题，从而简化求解过程。

3.Stolz 定理的证明为了更好地理解Stolz 定理，我们接下来介绍其证明过程。

假设我们有一个数列{a_n}，其极限为L，即lim(n→∞) a_n = L。

同时，我们还有一个与{a_n}相关的函数{b_n}，满足：(1) 当n 趋近于无穷时，b_n 趋近于0；(2) 对于任意的ε>0，存在N，当n>N 时，有|a_n-b_n|<ε。

我们需要证明：若函数f(x) 满足f(x) = 0 的根的集合为A，且A 中的元素是有限的，那么lim(n→∞) f(a_n) = 0。

证明过程如下：由题设条件，我们可以知道，对于任意的ε>0，存在N，当n>N 时，有|a_n-b_n|<ε。

有关Stolz定理的推广及应用

有关Stolz定理的推广及应用吕文斌【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2012(028)001【摘要】数列极限问题是数学分析的基本问题之一,贯穿于数学分析的始终。

求极限问题的方法多种多样,其中常常会遇到求不定式的极限,而Stolz定理是处理此类问题的重要工具。

本文在已有文献的基础上,对该定理作了进一步的研究,将其推广到更一般的情形上,在一定程度上简化了某些具有特殊结构的不定式的极限运算.%Through the Mathematics Analysis, limit of sequence of numbers is one of the fundamental issues. The limit with indeterminate form is common in solving the problems with varied methods, and Stolz theorem is an important tool to deal with it. In this paper, based on the study on the literatures, further research on Stolz theorem had extended to more general cases. In a certain extent, it can simplify the operation on some special structure limit.【总页数】3页(P192-194)【作者】吕文斌【作者单位】重庆师范大学数学与计算机科学学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O171【相关文献】1.关于Stolz定理的推广及其应用 [J], 黄莉2.Stolz定理的推广及其在求极限中的应用 [J], 韩丽;周军;王汝军3.Stolz定理在一类特定型函数极限计算中的应用与推广 [J], 黄茉菊;王贵君4.Stolz定理的推广及其应用 [J], 晋慧峰5.Stolz定理的推广及其应用 [J], 王丽英;刘丹;毛凯因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Stolz定理的推广及其在求极限中的应用

数列极限中stolz定理的应用及推广

Stolz定理在一类特定型函数极限计算中的应用与推广

Stolz定理的若干应用

stolz定理求极限

stolzen定理

stolz定理的应用和推广

stolz定理的证明和推广

Stolz定理的推广及应用

Stolz施笃兹定理 及其推论资料

数列极限中stolz定理的应用及推广

Stolz定理在求极限中的应用

Stolz定理在求极限中的应用

Stolz定理及其推广的应用

Stolz公式讲解

运用Stolz定理求解数列极限

Stolz定理及其应用 文献综述

stolz定理上极限

有关Stolz定理的推广及应用

Stolz施笃兹定理及其推论资料

Stolz定理及其应用文献综述