向量数乘运算及其几何意义.

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第二章 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

2．2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同；当λ<0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二向量数乘的运算律 1．λ(μa )＝(λμ)a . 2．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . 3．λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三向量共线定理 1．向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b . 思考共线向量定理中为什么规定a ≠0?答案若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( × ) 提示当b ＝0，a ＝0时，实数λ不唯一． 2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( √ ) 提示由向量共线定理可知其正确．3．若λa ＝0，则a ＝0.( × ) 提示若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0.题型一向量的线性运算例1 (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝________. 考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 9a解析 3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 4b －3a解析由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0，所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a . 反思感悟向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．跟踪训练1 计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .题型二向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线．考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定向量共线解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线．(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定三点共线证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．反思感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________．考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定三点共线答案 A ，B ，D解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD → ＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值．考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.反思感悟利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．跟踪训练3 设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数解 d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2. 因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题型三用已知向量表示其他向量例4 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC →C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB → 考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量答案 D解析示意图如图所示，由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.跟踪训练4 如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量解因为BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .因为CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )． MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .向量的综合应用典例如图，设O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3解析如图所示，分别取BC ，AC 边的中点D ，E ，则OB →＋OC →＝2OD →，① OA →＋OC →＝2OE →，② 由①×2＋②可得OA →＋2OB →＋3OC →＝2(2OD →＋OE →)．又因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0，所以2OD →＋OE →＝0，即OE →＝－2OD →，所以OD →，OE →共线，且|OE →|＝2|OD →|.所以S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABC S △AOC＝3.[素养评析] 本题主要考查向量共线条件的应用，解题时需充分利用好几何图形，借助几何直观使问题得解，这正体现了数学中直观想象的核心素养.1．下列各式计算正确的有( ) (1)(－7)6a ＝－42a ； (2)7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； (3)a －2b ＋a ＋2b ＝2a ； (4)4(2a ＋b )＝8a ＋4b .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 C解析 (1)(3)(4)正确，(2)错，7(a ＋b )－8b ＝7a ＋7b －8b ＝7a －b . 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( ) A.12AM → B.AM → C ．2AM → D.MA → 考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 C解析如图，作出平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →，故选C.3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝12考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案 D解析当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时m ，n 共线．4．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，则下列向量一定共线的是( ) A.PC →与PB → B.P A →与PB → C.P A →与PC →D.PC →与AB →考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理判定向量共线答案 B解析因为P A →＋PB →＋PC →＝AC →，所以P A →＋PB →＋PC →＋CA →＝0，即－2P A →＝PB →，所以P A →与PB →共线．5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a | 考点向量数乘的定义及运算题点向量数乘的定义及几何意义答案 D解析显然当b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 2．3(2a －4b )等于( ) A ．5a ＋7b B ．5a －7b C ．6a ＋12bD ．6a －12b考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 D解析利用向量数乘的运算律，可得3(2a －4b )＝6a －12b ，故选D.3．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．－2或1D ．－1或2考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案 D解析因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k 使AB →＝kAC →. 因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，所以λa ＋2b ＝k [a ＋(λ－1)b ]．因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2＝k (λ－1)，解得λ＝2或λ＝－1.4．如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DC →＝3BD →，AE →＝2EC →，则DE →等于( )A ．－13a ＋34bB.512a －34bC.34a ＋13b D ．－34a ＋512b考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量答案 D解析 DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋⎝⎛⎭⎫－13AC → ＝34(AC →－AB →)－13AC →＝－34AB →＋512AC →＝－34a ＋512b ，故选D.5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量答案 D解析连接CD ，OD ，如图所示．∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB＝12×60°＝30°. ∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ，∴CD ∥AO ， ∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．②④ B ．①② C ．①③ D ．③④ 考点向量数乘的定义及运算题点向量数乘的运算及运算律答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量答案 D解析 ∵△DEF ∽△BEA ， ∴DF AB ＝DE EB ＝13，∴DF ＝13AB ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ，联立得AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .二、填空题8．(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________.考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算答案 a ＋10b9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 10．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b表示)考点向量共线定理及其应用题点用已知向量表示未知向量答案 14b －14a 解析如图，MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC → ＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14b －14a . 11．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，则实数k 的值为________．考点向量共线定理及其应用题点利用向量共线定理求参数答案 ±6解析 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )，∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0，∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0，λk －2＝0，∴k ＝±6. 12．如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB→＋μAC →，则t ＝λ－μ的最大值是________．考点向量共线定理及其应用题点向量共线定理在平面几何中的应用答案 3解析设AE →＝kAD →，0≤k ≤1，则AE →＝k (AC →＋2CB →)＝k [AC →＋2(AB →－AC →)]＝2kAB →－kAC →，∵AE →＝λAB →＋μAC →，且AB →与AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k . 又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取最大值3.故t ＝λ－μ的最大值为3.三、解答题13．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．考点向量的线性运算及应用题点向量的线性运算解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c )＝6a ＋2b .14．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.考点向量的线性运算及应用题点用已知向量表示未知向量解如图，设AB →＝a ，AD →＝b .∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a . ∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎨⎧ b ＋12a ＝c ，①a ＋12b ＝d . ②①×2－②，得b ＝23(2c －d )， ②×2－①，得a ＝23(2d －c )． ∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d .15．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD为梯形．考点向量共线定理及其应用题点向量共线定理在平面几何中的应用证明如图所示．∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，∴AD →＝2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|.又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．。

向量的数乘运算及其几何意义

3. 证明两直线平行的问题
3. 证明两直线平行的问题
课后思考
ED A
B
F
C
课后思考
D
EC
M
A
B
课后思考
小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明向量共线 2. 证明三点共线: AB=λBC 3. 证明两直线平行:
A,B,C三点共线
r
r
r
思与向考量题2ar:
向量 3a 与向量有什么关系?
a 有什么关系? 向量
3a
r
r
(的1)3向倍量,即3a3的ar 方3向ar .与 a 的方向相同,
向量
r 3a
的长度是
r a
r
r
r
r
(2)向量3a的r方向r与 a 的方向相反, 向量3a的长度是 a
的3倍,即 3a 3 a .
定义:
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，
结论：
练习P90第4题
1. 有关向量共线问题
例 1.
例 2.
E
C
A
B
D
定理的应用 1. 有关向量共线问题 2. 证明三点共线问题
uuur uuur uuur r
AB BC(BC 0)
A、B、C三点共线 .
2. 证明三点共线的问题例 3.
ar
r b
定理的应用 1. 有关向量共线问题 2. 证明三点共线问题
数乘向量的运算律：
结合律
a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
例1：计算：

向量数乘运算及几何意义

向量数乘在几何上表示对向量进行缩放和旋转。当标量为正时，向量的长度和方向都会按照标量的大小进行放大；当标量为负时，向量的长度和方向都会按照标量的大小进行缩小。
总结向量数乘的应用
向量数乘在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用，例如在物理中描述速度和加速度的变化，在工程中实现机器人的运动控制等。
向量数乘运算及几何意义
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
目录
CONTENTS
• 引言 • 向量数乘运算的定义和性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 结论
01
引言
01
引言
主题简介
向量数乘运算
机器人学
在机器人学中，向量数乘运算用于描述机器人的运动轨迹和姿态。例如，通过标量积运算可以计算机器人的关节角度和速度。
图形处理
在计算机图形学中，向量数乘运算用于描述图像的变换和旋转。例如，通过将像素坐标向量进行数乘运算，可以实现图像的缩放、旋转和平移等操作。
在工程中的应用
控制系统分析
在工程控制系统中，向量数乘运算用于分析系统的动态特性。例如，通过标量积运算可以计算系统的传递函数和稳定性。
其中u、v是向量。
零向量与任意向量数乘结果仍为零向量，即0 * v = 0。
标量乘法的单位元是1，即1 * v = v。
03
向量数乘运算的几何意义
03
向量数乘运算的几何意义
向量数乘的几何表示
标量与向量的点乘
标量与向量点乘的结果是一个标量，表示向量在标量作用下的伸缩倍数。
标量与向量的叉乘

向量数乘运算及其几何意义课件

【变式训练 3】
已知向量 a 和向量 b,求作向量:
1
2
(1) − 2a;
(2)2a-b.
解:(1)作 = 2a, =
图1
1
, 连接AB,则
2
=
1
− 2a.如图
2
图2
(2)作 = 2a, =b,连接 AB,则 = 2a-b.
如图 2.
1.
题型四
共线问题
【例 4】已知非零向量 a,b 不共线.
归纳总结向量 λ(μ1a+μ2b)可以用平行四边形法则作出,如图
, = (1a+μ2b).
(
【做一做 4】在▱ABCD 中, = 2a, = 3b,则等于
)
A.a+b
B.a-b
C.2a+3b
D.2a-3b
解析: = + = 2a+3b.
答案:C
共线向量定理的应用
15
15
2 2 4
2 4 26
=
- +
+ - - +

5 3 15
5 3 15
=0·a+0·b=0+0=0.
题型二用已知向量表示未知向量
【例 2】已知在▱ABCD 中,M,N 分别是 DC,BC 的中点.若
=e1, =e2,试用 e 1,e 2 表示 , .
1
2
分析:由于 MN , 则用e1 与 e2 表示可得 ; 在△AMN
步骤:
(1)设 ma+nb=λ(ka+pb);
(2)整理,得 ma+nb=λka+λpb,故

21-2.2.3向量数乘运算及其几何意义

2.2.3向量数乘的运算及其几何意义教材分析向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A 和某个向量aλ表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解向量数乘定义、几何意义及其运算律；向量共线定理.教学目标重点：掌握向量数乘的定义、运算律,理解向量共线定理. 难点：向量共线定理的探究及其应用.知识点：向量数乘定义、几何意义及其运算律；向量共线定理.能力点：理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.教育点：通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用.自主探究点：向量数乘的运算律及向量共线定理.训练（应用）点：运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行.考试点：运用向量定义、运算律进行有关计算，运用共线定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.易错易混点：共线定理中的条件限制.教具准备尺规、多媒体等课堂模式学案导学一、引入新课：1.复习向量的加法、减法，采用提问的形式. 问题1：向量加法的运算法则？问题2：向量减法的几何意义？学生回答完毕后，教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受.向量的加法：三角形法则（首尾相连）和平行四边形法则（共起点）.向量的减法：=，= 则 -=。

向量数乘运算及其几何意义

例1．计算：
（1） 3 4a
-12a
（2）3a b 2a b a
5b
（3）2a 3b c 3a 2b c -a+5b-2c
例2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
是否共线．解： AE AD DE
E C
3AB 3 BC
3AB BC
A B
3 AC
D
∴ AC与 AE 共线．
练习： (1)设 e1、e2 是两个不共线向量，已 AB 2e1 Re2 ， CB e1 3e2 ，若A、B、C三点共线，求的R值．
答:R=6
小节:
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律 3、向量共线的判定
作业：
课本P103 9
数乘向量的运算律：
结合律
a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
定理向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是有
且仅有一个实数，使得 b a ．
证明：（1）对于向量（a a 0) ，如果有一个实数
使 b a
那么，由向量数乘的定义知，a与b共线
（2）已知
向量 a 的
a与b共线
倍，即
，a 0
b
，且向量 b 的长度是
a ，那么当 a与b
同向时，有 b a ；当 a与b 反向时，有 b a
综上，如果（a a 0) b 与共线，那么有且只有一个实
数使 b a
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
学习目标：
1、向量数乘运算及其几何意义 2、向量数乘运算的运算律

向量数乘运算及其几何意义新

解释力和力矩的方向
在分析力学中，向量数乘可以用来解释力和力矩的方向，以及它们对物体运动状态的影响。
描述磁场和电场的变化
在电磁学中，向量数乘可以用来描述磁场和电场的变化，以及它们对电荷和电流的作用。
在数学中的应用
描述向量的缩放
向量数乘可以用来描述向量的缩放，即改变向量的长度而不改变其方向。
实例分析
标量与向量的数乘实例
在二维平面中，假设有一个向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2)$，当标量为 $k = 2$时，数乘后的向量为$overset{longrightarrow}{b} = (2,4)$；当标量为$k = -3$时，数乘后的向量为$overset{longrightarrow}{c} = (-3,-6)$。
详细描述
向量数乘在数学中可以丰富数学理论体系，例如在解析几何中，通过向量数乘运算可以描述平面几何图形的旋转和缩放，从而丰富了平面几何的理论基础。
总结词
促进数学与其他学科的交叉融合
总结词
解决数学难题
详细描述
向量数乘在数学与其他学科的交叉融合中也有着重要的应用，例如在生物力学中，通过向量数乘运算可以描述肌肉收缩和骨骼运动的关系，从而促进了生物学和力学的交叉融合。
在物理建模过程中，向量数乘运算可以简化复杂的物理模型，例如在力学中，通过向量数乘运算可以描述力的合成与分解，从而简化了对物体运动轨迹的分析。
详细描述
向量数乘在物理中有着广泛的应用，例如在电磁学中，通过向量数乘运算可以描述电荷的运动轨迹和电场线的分布，从而揭示电磁现象的本质。
总结词
提高物理实验的精度
案例三：向量数乘在工程中的运用

数学(2.2.3向量数乘运算及其几何意义)

运算规则
总结词
向量数乘运算的规则包括与标量乘法类似，但需要注意向量的方向性。
详细描述
向量数乘运算的规则与标量乘法类似，实数与向量的每个分量相乘，得到的结果仍为一个向量。但需要注意的是，向量的方向性在数乘运算中会发生变化。当实数为正时，向量的方向保持不变；当实数为负时，向量的方向会反向；当实数为零时，向量的长度为零，方向任意。
性质
总结词
向量数乘运算具有分配律和结合律。
详细描述
向量数乘运算具有分配律，即对于任意实数$k$和$l$，以及任意向量$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$，有$(k + l)overset{longrightarrow}{a} = koverset{longrightarrow}{a} + loverset{longrightarrow}{a}$。同时，向量数乘运算也具有结合律，即对于任意实数$k$、$l$和向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$、 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(kl)overset{longrightarrow}{a} = k(loverset{longrightarrow}{a})$。
向量的长度和方向的变化
长度变化
标量数乘会导致向量的长度发生变化。设$k > 0$，则$koverset{longrightarrow}{a}$ 的长度是$overset{longrightarrow}{a}$长度的$|k|$倍；设$k < 0$，则
$koverset{longrightarrow}{a}$的长度是$overset{longrightarrow}{a}$长度的 $frac{1}{|k|}$倍。

向量数乘运算及其几何意义

向量数乘运算及其几何意义教学目标1．掌握向量的数乘运算及其几何意义．(重点)2．掌握向量共线定理的应用．(难点)3．理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点)[基础·初探]教材整理1向量的数乘运算阅读教材P87～P88例5以上内容，完成下列问题．1．定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa．2．规定：①|λa|＝|λ||a|，②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．3．运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝λμa；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________．①a与－λa的方向相反；②|－λa|≥|a|；③a 与λ2a 方向相同； ④|－2λa |＝2|λ|·|a |.【解析】由向量数乘的几何意义知③④正确．【答案】 ③④教材整理2 共线向量与向量的线性运算阅读教材P 88例5以下至P 89例7以上内容，完成下列问题． 1．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa ． 2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b ．如图2－2－19，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB→＋AD →＝λAO →，则λ＝________.图2－2－19【解析】由向量加法的平行四边形法则知AB →＋AD →＝AC →，又∵O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ， ∴AC →＝2AO →，∴AB →＋AD →＝2AO →， ∴λ＝2. 【答案】 2[小组合作型]数乘向量的定义及其几何意义(1)若两个非零向量a 与(2x －1)a 方向相同，则x 的取值范围为________．(2)若平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB →＝13OA →＋23OC →，则|AB→||BC →|＝________. (3)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3.①用BC →表示AB →； ②用CB→表示AC →. 对数乘运算的理解，关键是对系数λ的作用的认识：λ>0时，λa 与a 同向，模是|a |的λ倍； λ<0时，λa 与a 反向，模是|a |的－λ倍； λ＝0时，λa ＝0.解：(1)由定义可知，2x －1>0，即x >12.(2)因为OB →＝13OA →＋23OC →，所以OB →－OA →＝13OA →＋23OC →－OA →，即AB →＝23AC →，所以|AB →|＝23|AC →|， ①同理可得|CB →|＝13|CA →|， ② ①÷②得|AB→||CB →|＝2.【答案】 (1)x >12 (2)2(3)如图a ，因为点C 在线段AB 的延长线上，且AB ∶AC ＝2∶3，所以AB ＝2BC ，AC ＝3BC ．①如图b ，向量AB→与BC →方向相同，所以AB →＝2BC →； ②如图c ，向量AC→与CB →方向相反，所以AC →＝－3CB →. 对向量数乘运算的三点说明： (1)λa 中的实数λ叫做向量a 的系数．(2)向量数乘运算的几何意义是把a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小．(3)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.注意是0，而不是0. [再练一题]1．已知a ，b 是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－3a 的方向与6a 的方向相反，且－3a 的模是6a 的模的12； (3)－4a 与4a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量；(5)若a ，b 不共线，则0·a 与b 不共线. 解：(1)真命题．∵2>0，∴2a 与a 同向， ∵|2a |＝2|a |，∴2a 的模是a 的模的2倍． (2)真命题．∵－3<0，∴－3a 与a 方向相反且|－3a |＝3|a |，又∵6>0，∴6a 与a 方向相同且|6a |＝6|a |， ∴－3a 与6a 方向相反且模是6a 的模的12. (3)真命题．由数乘定义和相反向量定义可知． (4)假命题．∵a －b 与b －a 是相反向量， ∴a －b 与－(b －a )是相等向量． (5)假命题.0·a ＝0，∴0·a 与b 共线．向量的线性运算(1)化简：(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )＝________.(2)已知向量a ，b ，x ，且(x －a )－(b －x )＝x －(a ＋b )，则x ＝________.(1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简； (2)可类比解方程方法求解．解：(1)(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )＝2a －3a ＋3b ＋2b －c －c ＝－a ＋5b －2c.(2)因为(x －a )－(b －x )＝x －(a ＋b )，所以2x －a －b ＝x －a －b ，即：x ＝0.【答案】 (1)－a ＋5b －2c (2)0 向量数乘运算的方法：(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．[再练一题]2．(2016·枣庄高一检测)化简11[(28)(42)]32a b a b +--的结果是( )A ．2a b -B ．2b a -C ．b a -D ．a b -解：原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13 (6b －3a )＝2b －a . 【答案】 B[探究共研型]向量共线问题探究1 已知m ，n 是不共线向量，a ＝3m ＋4n ，b ＝6m －8n ，判断a 与b 是否共线？【提示】要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数λ，使得a ＝λb 即可．若a 与b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，即3m ＋4n ＝λ(6m －8n )．∵m ，n 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧6λ＝3，－8λ＝4.∵不存在λ同时满足此方程组，∴a 与b 不共线．探究2 已知e 1，e 2是共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？【提示】 ∵e 1，e 2共线， ∴存在λ∈R ，使e 1＝λe 2.∴a ＝3e 1＋4e 2＝3λe 2＋4e 2＝(3λ＋4)e 2， b ＝6e 1－8e 2＝6λe 2－8e 2＝(6λ－8)e 2， ∴a ＝3λ＋46λ－8b ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ≠43，∴a 与b 共线．当λ＝43时，b ＝0，∴a 与b 共线．探究3 设两非零向量e 1和e 2不共线，是否存在实数k ，使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线？【提示】设k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2. ∵e 1与e 2不共线，∴只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，则k ＝±1.已知非零向量e1，e 2不共线．如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证A 、B 、D三点共线．【精彩点拨】欲证A 、B 、D 共线，只需证存在实数λ，使BD →＝λAB→即可．解：证明：∵AB →＝e 1＋e 2， BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2 ＝5(e 1＋e 2) ＝5AB→. ∴AB→，BD →共线，且有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．1．本题充分利用了向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．2．向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．[再练一题]3．设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.问：是否存在实数k ，使得A 、B 、D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【解】设存在k ∈R ，使得A 、B 、D 三点共线，∵DB →＝CB →－CD →＝(e 1＋3e 2)－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2.又∵A 、B 、D 三点共线，∴AB→＝λDB →，∴2e 1＋k e 2＝λ(－e 1＋4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λk ＝4λ，∴k ＝－8，所以存在k ＝－8，使得A 、B 、D 三点共线．[构建·体系]1．下列各式中不表示向量的是( ) A ．0·a B ．a ＋3bC ．|3a |D ．1x －ye (x ，y ∈R ，且x ≠y )解：向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a |不是向量．【答案】 C2．下列计算正确的个数是( )①(－3)·2a ＝－6a ；②2(a ＋b )－(2b －a )＝3a ；③(a ＋2b )－(2b ＋a )＝0.A ．0B ．1C ．2D ．3解：因为(－3)·2a ＝－6a 故①正确；②中左＝2a ＋2b －2b ＋a ＝3a 成立，故②正确；③中左＝a ＋2b －2b －a ＝0≠0，故③错误．【答案】 C3.⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋12b ＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋34b －c 等于( )A ．a －14b ＋2cB ．5a －14b ＋2cC ．a ＋54b ＋2cD ．5a ＋54b解：⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋12b ＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋34b －c ＝(3a －2a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －34b ＋(c ＋c )＝a －14b ＋2c.故选A ．【答案】 A4．O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝4e 1，BC →＝6e 2，则3e 2－2e 1＝________．【解析】设点E 为平行四边形ABCD 的BC 边中点，点F 为AB 边中点，则3e 2－2e 1＝BE→＋BF →＝BO →＝OD →. 【答案】 OD→(或BO →) 5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，证明：直线AD ∥BC ．证明：∵AD→＝AC →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC→，∴AD →与BC →共线．又AD 与BC 不重合，∴直线AD ∥BC ．学业分层测评[学业达标]一、选择题1．设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A ．P A →＋PB→＝0 B ．PC →＋P A →＝0C ．PB→＋PC →＝0 D ．P A →＋PB→＋PC →＝0 解：因为BC →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，故选项B 正确．【答案】 B2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解：BD→＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB→，所以A ，B ，D 三点共线．【答案】 A3．(2016·北京高一检测)四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，BD→＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解：因为AB→＝a ＋2b ，又DC→＝BC →－BD →＝－4a －b －(－5a －3b )＝a ＋2b ＝AB →. 又因在四边形ABCD 中，有|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．【答案】 B4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB→＋OC →＝0，那么( )A ．AO →＝OD →B ．AO →＝2OD →C ．AO→＝3OD → D ．2AO→＝OD → 解：由2OA →＋OB →＋OC →＝0，得OB →＋OC →＝－2OA →，又因为OB →＋OC →＝2OD→，所以AO →＝OD →. 【答案】 A5.如图2－2－20，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF→＝( )图2－2－20A ．12AB →－13AD → B ．14AB →＋12AD →C ．13AB →＋12DA →D ．12AB →－23AD →解：EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD→. 【答案】 D 二、填空题6．(2016·郑州高一检测)已知P 1P →＝23PP 2→，若PP 1→＝λP 1P 2→，则λ等于________．解：因为P 1P →＝23PP 2→，所以－PP 1→＝23(PP 1→＋P 1P 2→)，即PP 1→＝－25P 1P 2→＝λP 1P 2→，所以λ＝－25. 【答案】－257．(2016·南宁高一检测)若AP →＝tAB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP→＝________．(用OA →，OB →表示) 【解析】 AP→＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)， OP→＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →. 【答案】 (1－t )OA →＋tOB → 三、解答题8.如图2－2－21所示，OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN→.图2－2－21解：BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ， CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD → ＝23OD →＝23(OA →＋OB →) ＝23(a ＋b )＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b . 9．(2016·绍兴高一检测)设a ，b 是两个不共线的非零向量，记OA →＝a ，OB →＝t b (t ∈R )，OC →＝13(a ＋b )，那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？解：∵OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )， ∴AB→＝OB →－OA →＝t b －a ， AC →＝OC →－OA →＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a ，∵A 、B 、C 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λAC →，即t b －a ＝λ⎝⎛⎭⎪⎫13b －23a .由于a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝13λ，－1＝－23λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故当t ＝12时，A 、B 、C 三点共线．[能力提升]1．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解：设BC 的中点为M ，则AB →＋AC →＝2AM →，又因为OP →－OA →＝AP →，且由题有OP→－OA →＝λ(AB →＋AC →)，所以AP →＝2λAM →，即AP →与AM →共线，又因为AM 为△ABC 的BC 边上中线，过重心，所以点P 的轨迹通过△ABC 的重心．【答案】 C2．点E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA→＝b ，试用a ，b 表示EF →. 解：如图：取AB 的中点P ，连接EP ，FP ，在△ABC 中，因为EP 是△ABC 的中位线，所以PE →＝12BC →＝12a ，在△ABD 中，因为FP 是△ABD 的中位线，所以PF →＝12AD →＝－12b ，在△EFP 中，→＝EP→＋PF→＝－12a－12b＝－12(a＋b)．EF。

向量数乘运算及其几何意义

2023向量数乘运算及其几何意义contents •向量数乘运算的基本概念•向量数乘运算的几何意义•向量数乘运算在物理中的应用•向量数乘运算在数学中的拓展应用•向量数乘运算的实践应用案例目录01向量数乘运算的基本概念向量的定义零向量零向量记作0，是一个长度为0的向量，其所有分量都是0。

向量的模向量v的模记作|v|，定义为v的分量值的平方和的平方根。

向量的分量一个n维向量v可以表示为一个有序数组v = [v1, v2, ..., vn]，其中每个vi称为向量v的分量。

010203•向量数乘的定义：对于一个标量a和一个向量v，a数乘v的结果是一个向量，其每个分量是v的分量乘以a。

即，如果v = [v1, v2, ..., vn]，则av = [av1, av2, ..., avn]。

向量数乘的定义1向量数乘的运算性质23a(v + w) = av + aw，其中a是标量，v和w是向量。

标量与向量的数乘满足分配律a(bw) = (ab)vw，其中a和b是标量，v和w是向量。

向量数乘满足结合律av = (ab)v，其中a和b是标量，v是向量。

向量数乘满足交换律02向量数乘运算的几何意义向量的方向向量的方向与数乘的顺序有关向量数乘运算的结果与数乘的顺序有关，不同的顺序可能得到不同的结果。

例如，对于两个向量a和b，如果先对a进行数乘，再对结果进行加法运算，得到的结果与先进行加法运算，再对结果进行数乘是不同的。

数乘可以改变向量的方向如果一个向量与一个正数相乘，那么它的方向将与原向量相同；如果与一个负数相乘，那么它的方向将与原向量相反。

例如，对于两个向量a和b，如果a与正数k相乘，那么a的方向将与k的方向相同；如果a与负数k相乘，那么a的方向将与k的方向相反。

如果一个向量与一个正数相乘，那么它的长度将变为原向量的k倍；如果与一个负数相乘，那么它的长度将变为原向量的k分之一。

例如，对于两个向量a和b，如果a与正数k相乘，那么a的长度将变为原向量的k倍；如果a与负数k相乘，那么a的长度将变为原向量的k分之一。

向量的点乘和叉乘以及几何意义

向量的点乘和叉乘以及几何意义一、向量的点乘1.定义：向量的点乘，又称为数量积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。

对于两个n维向量a和b，它们的点乘定义为a·b = ，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角。

2.计算方法：（1）向量坐标表示计算方法：如果a=(a₁,a₂,...,aₙ)和b=(b₁,b₂,...,bₙ)是两个n维向量，它们的点乘可以用下面的公式来计算：a·b=a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ。

（2）向量模和夹角计算方法：如果，a，和，b，分别是向量a和b的模的大小，θ是向量a和b之间的夹角，则向量的点乘可以用下面的公式来计算：a·b = ，a，b，cosθ。

3.几何意义：（1）判断两个向量是否相互垂直：如果两个向量的点乘结果为0，即a·b=0，那么这两个向量相互垂直。

（2）计算向量在一些方向上的投影：如果向量a的模为，a，θ是a与b之间的夹角，那么向量a在向量b的方向上的投影长度为，a，cosθ。

（3）计算两个向量之间的夹角：如果向量a和b的点乘为a·b = ，a，b，cosθ，那么两个向量之间的夹角θ可以通过反余弦函数计算：θ = arccos(a·b / ，a，b，)。

二、向量的叉乘1.定义：向量的叉乘，又称为向量积或外积，是两个三维向量之间的一种乘法运算。

对于两个三维向量a和b，它们的叉乘定义为a×b = ，a，b，sinθn，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模的大小，θ表示a和b之间的夹角，n表示与a和b所在平面垂直的单位向量。

2.计算方法：向量的叉乘的计算可以利用行列式的方法进行计算：a×b=，ijk，，a₁a₂a₃，，b₁b₂b₃，其中，ijk，表示三个单位向量i、j、k所组成的行列式，a₁、a₂、a₃和b₁、b₂、b₃分别表示向量a和b的坐标。

向量的数乘及几何意义

向量的数乘及几何意义数乘是指将一个向量与一个标量相乘。

数乘运算可以用来改变向量的大小和方向，并且在几何上具有重要的意义。

首先，考虑一个向量v，并将其数乘一个正数k。

当k>1时，数乘会使得向量v的大小增大，但方向不变。

当k=1时，数乘不会改变向量v的大小和方向。

当0<k<1时，数乘会使向量v的大小减小，同时方向保持不变。

当k=0时，结果是一个零向量，其大小为零。

当k<0时，向量v被反向，并且大小也被取绝对值后增大。

因此，数乘可以使向量扩大、缩小、翻转。

在几何中，数乘具有以下几何意义：1.缩放：数乘可以用来缩放一个向量。

当数乘的绝对值大于1时，向量的大小会增大，而当绝对值小于1时，向量的大小会减小，但方向保持不变。

这意味着数乘可以用来缩放一个对象。

2.平行：当数乘为正数时，数乘后的向量与原向量的方向是相同的，它们是平行的。

当数乘为负数时，数乘后的向量与原向量的方向是相反的，它们也是平行的。

这意味着数乘可以用来判断两个向量是否平行。

3.方向：当数乘为负数时，数乘会将向量反转，即改变向量的方向。

这意味着数乘可以用来改变向量的方向。

4.零向量：当数乘为零时，结果是一个零向量，其大小为零。

这意味着数乘可以用来判断向量是否为零向量。

5.反向：当数乘为负数时，数乘会将向量反转，并且大小也会取绝对值后增大。

这意味着数乘可以用来使向量翻转。

6.平面的法向量：考虑一个向量v，它在x轴和y轴上的分量分别为vₓ和vᵧ。

如果将一个向量与一个数乘后的向量相加，结果为零向量，则这个数乘后的向量是由vₓ和vᵧ的相反数构成的。

这表明数乘后的向量是平面上法向量的一种表示方法。

总而言之，数乘在几何中具有重要的意义，它可以用来缩放、改变方向、判断平行性和零向量，以及使向量翻转。

这些几何意义使数乘成为向量运算中的一个重要操作。

向量数乘运算及其几何意义课件

1 3
D C
1
BD，求证：M、N、C
3
则MN= … =
1 6
a +
1 2
b
A M
N
B
MC= … =
a+ b
则 AD 等于
BD 1 3 BC ，设 AB a , AC b ,
（ C ）
B. 1 3 (b a ) (2b a )
A
A.
1 3
(a b)
C.
1 3
(2a b)
D.
1 3
B
D
C
(2) 在平行四边形ABCD中,AB a , AD b , AN 3 NC ,M为BC的中点,则 MN 等于＿＿＿＿＿＿ b a
向量的数乘定义
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向
量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa。它的长度和方向规定如下：
(1) 长度 |λa|=|λ|· |a| (2) 方向当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当 λ=0 或 a = 0 时, λa = 0 几何意义：将 a 的长度扩大（或缩小） |λ|倍，改变 a （或不改变）a 的方向，就得到了λ
三.定理的应用：
1. 证明向量共线
2. 证明三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线直线AB∥直线CD
3. 证明两直线平行:
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点 N在线段BD上，且有BN= 三点共线。提示：设AB = a BC = b
观察总结
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a≠0)，并比较。

向量的数乘及几何意义

向量的数乘及几何意义首先，数乘可以用于描述向量的数量特征。

对于一个向量A = (a1,a2, ...,an)，它的数乘kA = (ka1, ka2, ..., kan)，其中k是一个数。

数乘可以改变向量的大小，当k > 1时，向量的大小会增大；当k < 1时，向量的大小会缩小；当k = 0时，向量会变为零向量。

这个特性使得数乘可以用于描述向量的缩放效果。

其次，数乘还可以用于推导向量的几何性质。

假设有两个向量A和B，在数学中可以证明以下几何性质：1.数乘的交换律：k(A+B)=kA+kB。

这个性质说明了数乘对向量的线性运算。

即两个向量之和的数乘等于分别对每个向量进行数乘后再相加。

2.数乘的结合律：(k1k2)A=k1(k2A)。

这个性质说明了数乘的运算是可结合的。

即连续进行两次数乘的结果与将两个数乘因子相乘再对向量进行数乘的结果相同。

3. 数乘的单位向量：kį = (ka1, ka2, ..., kan)。

这个性质说明了单位向量与数乘之间的关系。

即单位向量的每个分量等于将数与向量的各个分量相乘后得到的向量。

利用数乘的几何性质，可以帮助我们推导出一些向量的几何意义。

以下是数乘的一些几何意义：1.向量的平移：当数乘k>0时，等式kA可以表示向量A的平移。

向量A的平移kA代表了将向量A移动到离原点O的距离为，k，倍的位置。

2.向量的伸缩：当数乘k>1时，等式kA可以表示向量A的伸缩。

向量A的伸缩kA代表了将向量A的大小按比例增大k倍。

3.向量的反向：当数乘k<0时，等式kA可以表示向量A的反向。

向量A的反向kA代表了将向量A方向反转180°，同时改变其大小。

4.零向量：当数乘k=0时，等式kA可以表示零向量。

零向量是一个特殊的向量，它的大小为0，方向为任意。

虽然向量的数乘在数学中有很多定义和性质，但它们的几何意义可以被统一地描述为向量的平移、伸缩、反向和零向量。

向量的数乘不仅在理论数学中有重要的地位，也在实际应用中起到了至关重要的作用。

向量数乘运算及其几何意义

D
C
解 : 在 ABCD中. b
AC AB AD a b
DB AB AD a b
A
MA 1 AC 1 (a b) 1 a 1 b
2
2
22
MB 1 DB 1 (a b) 1 a 1 b
2
2
22
MC 1 AC 1 a 1 b
2
22
MD MB 1 DB 1 (a b) 1 a 1 b
(2)已知向量a, b,求作向量2(a b)和2a 2b, 并进行比较，看看它们有何关系？
a
3(2a)
3(2a) = 6a
b
a
2a 2b
ab
2b
2(a b ) 2a 2b
2a
运算律：设 , 为实数，那么
结合律分配律分配律
(1)(a) ()a; (2)( )a a a; (3)(a b) a b.
例3.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
是否共线．
E C
A B
解： AE AD DE
D
3AB 3 BC
3 AB BC
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
例4.如图, ABCD的两条对角线相交与点M ,且AB a,
AD b,用a,b表示MA, MB, MC和MD.
（1） | a || || a |;
（2）当 0时， a的方向与a 的方向相同；当 0时， a的方向与 a的方向相反。
特别的，当 0时， a 0.
练一练: 课本P90,练习2～3
探 (1)根据定义, 求作向量3(2a )和(6a ) (a为非零向量), 究并进行比较，看看它们有何关系？
(1) 原式解(:3 4)a 12a (2) 原式 3a 3b 2a 2b a 5b

向量数乘运算

在进行向量运算时，应注意数乘运算的优先级，避免因优先级错误导致结果错误。
VS
详细描述
在数学表达式中，应遵循先乘除后加减的原则。在进行向量运算时，数乘作为乘法运算的一种，应优先于加法和减法进行。因此，在复杂的数学表达式中，应特别注意数乘运算的优先级，确保运算顺序的正确性。
理解数乘运算的实际意义
总结词
理解数乘运算的实际意义对于正确应用向量数乘至关重要。
详细描述
数乘在物理和工程领域有着广泛的应用，如速度和加速度的缩放、力的放大或缩小等。理解数乘运算在具体问题中的应用背景和意义，有助于正确理解和应用数乘运算，避免出现错误或偏差。在进行向量数乘运算时，应结合具体问题，深入理解数乘运算的实际
向量数乘运算
CONTENTS 目录
• 向量数乘运算的定义 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的代数性质 • 向量数乘运算的应用 • 向量数乘运算的注意事项
CHAPTER 01
向量数乘运算的定义
标量与向量的数乘
标量与向量的数乘
标量与向量相乘时，标量会与向量的每个分量相乘，得到新的向量。
总结词
数乘和点乘是两种不同的运算，具有不同的数学意义和性质，容易混淆。
详细描述
数乘是指向量与标量的乘法，结果仍为向量，其长度或模发生变化，方向可能改变。点乘则是向量的内积，结果为标量，表示两向量的夹角和大小关系。在进行向量数乘运算时，应明确区分这两种运算，避免混淆。
注意数乘运算的优先级
总结词
CHAPTER 03
向量数乘运算的代数性质
数乘运算的结合律
总结词
数乘运算满足结合律，即对于任意标量$k_1, k_2$和向量$vec{a}$，有$(k_1 k_2) vec{a} = k_1 (k_2 vec{a}) = (k_2 vec{a}) k_1$。

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

[解析] 把已知中的两等式看做关于m、n的方程，联立方程组3mm－＋32nn＝＝ba，，解得mn＝＝111311aa－＋113211bb.，
规律总结：此题在求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的运算律．另外，解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法相同．
若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则(13a－b)－3(a＋23b)＋(2b －a)＝________.
个点，动点
P
满足O→P＝O→A＋λ
→ AB →
＋
→ AC →
，λ∈[0，＋∞)，则
|AB| |AC|
点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A．外心 C．重心
[答案] B
B．内心 D．垂心
[解析]
易知A→P＝λ
→ AB →
＋
→ AC →
.
|AB| |AC|
→→
因为
AB →
与
AC →
是单位向量，
注：向量与实数之间可以像多项式
一样进行运算.
三、共线向量基本定理：
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有唯一一个实数，使得 b a
思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
定理的应用:
(1)有关向量共线问题:
例2:如图：已知 AD 3AB ，DE 3BC ，
试判断 AC 与 AE 是否共线． E
(1)掌握实数与向量的积的定义; (2)掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算; (3)掌握共线向量基本定理，并会判断两个向量是否共线； (4)能运用向量判断点共线、线共点等.
已知非零向量 a
a
作出：a a a a a a

向量数乘运算及其几何意义.

第二章 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

向量的数乘运算及其几何意义

向量数乘运算及几何意义

向量数乘运算及其几何意义 课件

21-2.2.3向量数乘运算及其几何意义

向量数乘运算及其几何意义

向量数乘运算及其几何意义新

数学(2.2.3向量数乘运算及其几何意义)

向量数乘运算及其几何意义

向量数乘运算及其几何意义

向量的点乘和叉乘以及几何意义

向量的数乘及几何意义

向量数乘运算及其几何意义课件

向量的数乘及几何意义

向量数乘运算及其几何意义

向量数乘运算

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

向量数乘运算及其几何意义课件