2007年考研数学二真题与答案

2007 年考研数学二真题

一、选择题（ 1 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）

(1) 当时，与等价的无穷小量是

(A)(B)

(C)(D)

【答案】 B。

【解析】

当时

几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较

(2) 函数在上的第一类间断点是

(A)0(B)1

(C)(D)

【答案】A。

【解析】

A：由得

所以是的第一类间断点；

B：

C：

D：

所以都是的第二类间断点。

综上所述，本题正确答案是A。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数间断点的类型

(3) 如图，连续函数在区间上的图形分别是直

径为 1 的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设则下列结论正确的是

,

(A)

(B)

(C)

(D)

-3-2-10123

【答案】 C。

【解析】

【方法一】

四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义

确定

则

【方法二】

由定积分几何意义知,排除 (B)

又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而

显然排除 (A) 和(D), 故选 (C) 。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用

(4) 设函数在处连续，下列命题错误的是

．．

(A) 若存在，则

(B) 若存在，则

(C)若存在，则存在

(D) 若存在，则存在

【答案】 D。

【解析】

(A) ：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以, 故,(A) 正确；

(B) ：若

(C),则

存在，则，

故 (B) 正确。存

在，知，则

则存在，故 (C) 正确

(D)存在，

不能说明存在

例如在处连续，

存在，但是不存在，故命题 (D) 不正确。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念

(5) 曲线渐近线的条数为

(A)0(B)1

(C)2(D)3

【答案】 D。

【解析】

由于

，

则是曲线的垂直渐近线；

又

所以是曲线的水平渐近线；

斜渐近线：由于一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在

∞一侧。

则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点

及渐近线

(6)设函数在内具有二阶导数，且, 令

,则下列结论正确的是

(A) 若,则必收敛(B) 若,则必发散

(C)若,则必收敛(D) 若,则必发散【答案】 D。

【解析】

【方法一】

图示法：由，知曲线是凹的，

显然，图 1 排除选项 (A) ，其中；图2 排除选项(B) ；图3 排除选项 (C),其中；故应选(D) 。

O12

O 1 2O12

图1图2图3

【方法二】

排除法：取,显然在，,

,但，排除A；

取在上，且,但

,排除 B；

取在上，，且,

，排除 (C),故应选 (D) 。

但

【方法三】

由拉格朗日中值定理知

当时，

由于，且,则从而有

则有

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线

(7)二元函数在点处可微的一个充分条件是

(A)

(B),且

(C)

(D),且

【答案】C。

【解析】

由可得

即,同理

从而

根据可微的判定条件可知函数在点处可微

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件

(8) 设函数连续，则二次积分等于

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】 B。

【解析】

交换积分次序，已知，,则可得

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算

(9) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是

．．．．

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】 A。【解析】

(A) ：因为,

所以向量组线性相关；

(B)：

因为线性无关，所以判断线性无关

由于,故知线性无关；

(C)：

，同理线性无关；

(D)：

，同理线性无关；

综上所述，本题正确答案是A。

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关

(10) 设矩阵,则与