江苏省苏州市张家港市暨阳中学2018届高三上学期12月月考数学试卷 含解析

2018-2018学年江苏省苏州市张家港市暨阳中学高三（上）12月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁U（A ∩B）=．2．若实数a满足，其中i是虚数单位，则a=．3．双曲线的两条渐近线方程为．4．若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值．5．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．6．函数f（x）=xlnx的减区间是．7．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．8．在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为．9．已知椭圆（a＞b＞0），A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于．10．设f（x）=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为．11．在△ABC中，已知•=4，||=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则=．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x﹣2，则不等式f （x﹣1）≤2的解集是．13．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为．14．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为．二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC+ccosA=2bcosA．（1）求角A的值；（2）求sinB+sinC的取值范围．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面AEF⊥平面A1AD．17．某城市A计划每天从蔬菜基地B处给本市供应蔬菜，为此，准备从主干道AD的C处（不在端点A、D处）做一条道路CB，主干道AD的长为60千米，设计路线如图所示，测得蔬菜基地B在城市A的东偏北60°处，AB长为60千米，设∠BCD=θ，运输汽车在主干道AD上的平均车速为60千米/小时，在道路CB上的平均车速为20千米/小时．（1）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t （θ），并指出其定义域；（2）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B，C分别为椭圆E的右、下、上顶点，满足，椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若P为线段FC（包括端点）上任意一点，当取得最小值时，求点P的坐标；（3）设M为线段BC（包括端点）上的一个动点，射线MF交椭圆于点N，若，求实数λ的取值范围．19．已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且．（1）求a1，a3；（2）求证：数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．附加题21．设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．22．在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．23．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，1，1，2，2，3，现从袋中一次随机抽取3个球．（1）若有放回的抽取3次，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率；（2）记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px （p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．2018-2018学年江苏省苏州市张家港市暨阳中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁U（A ∩B）={2，4，6} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先利用并集的定义，求出全集U=A∪B，再利用交集的定义求出A∩B，再利用补集的定义求得集合∁U（A∩B）．【解答】解：∵集合A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，∴A∩B={1，3，5}，又全集U={1，2，3，4，5，6}，∴集合∁U（A∩B）={2，4，6}，故答案为：{2，4，6}．2．若实数a满足，其中i是虚数单位，则a=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件可得2+ai=2i（1﹣i），再利用两个复数相等的充要条件，求得a 的值．【解答】解：∵实数a满足，∴2+ai=2i（1﹣i），∴2+ai=2+2i，解得a=2，故答案为2．3．双曲线的两条渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：4．若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值4．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y 得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C（2，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．将C的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．故答案为：45．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．6．函数f（x）=xlnx的减区间是．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求定义域，再令导数≤0解不等式，取交集可得．【解答】解：由题意函数的定义域为（0，+∞），求导数可得f′（x）=x′lnx+x（lnx）′=1+lnx，令f′（x）=1+lnx≤0，解之可得x≤故函数的减区间为：故答案为：7．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π⇒r=1cm，∴h==cm．故答案是．8．在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】分q=1，及q≠1，两种情况，结合等比数列的通项公式及求和公式分别表示已知，解方程可求q【解答】解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，若q=1，则，不符合题意若q≠1∴两式相减整理可得，∴∴q=3故答案为：3法二：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，两式相减可得，a6﹣a5=2（s5﹣s4）=2a5即a6=3a5∴q=3故答案为：39．已知椭圆（a＞b＞0），A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出A、B、F的坐标，由AB⊥BF及a，b、c的关系建立关于离心率e的方程，解方程求得椭圆C的离心率e．【解答】解：由题意得A（﹣a，0）、B（0，b），F（c，0），∵AB⊥BF，∴，∴（a，b）•（c，﹣b）=ac﹣b2=ac﹣a2+c2=0，∴e﹣1+e2=0，解得e=，故答案为：．10．设f（x）=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为（0，] ．【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．【分析】函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立即可，转化出求函数的值域问题即可获得问题的解答．【解答】解：函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立，∵a=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，x∈（1，3）∴a∈（0，]．故答案为：（0，]．11．在△ABC中，已知•=4，||=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则=6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设BC的中点为O，由•=4，求得=．再根据=（+）•（+）=﹣，计算求得结果．【解答】解：如图，设BC的中点为O，由•=4、||=3，可得（+）•（+）=（+）•（﹣）=﹣=﹣=4，求得=．则=（+）•（+）=（+）•（﹣）=﹣=﹣=6，故答案为：6．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x﹣2，则不等式f （x﹣1）≤2的解集是[﹣1，3] ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数当x≥0时的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=2x﹣2，∴此时函数单调递增，由f（x）=2x﹣2=2得2x=4，则x=2，即不等式f（x﹣1）≤2等价为f（x﹣1）≤f（2），∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴不等式等价为f（|x﹣1|）≤f（2），即|x﹣1|≤2，则﹣2≤x﹣1≤2即﹣1≤x≤3，则不等式的解集为[﹣1，3]，故答案为：[﹣1，3]13．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为[] ．【考点】圆的切线方程．【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP的距离，再由题意得到关于a的不等式求得答案．【解答】解：如图，圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a﹣4），∴|PO|min=|MO|﹣1，|PO|max=|MO|+1，∵，∴由，解得：2．故答案为：[]．14．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为2﹣2．【考点】二次函数的性质．【分析】由已知可得ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，即△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，进而利用基本不等式可得的最大值．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，故△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac﹣4a2，∴4ac﹣4a2≥0，∴c≥a＞0，∴，故≤===≤=2﹣2，故答案为：2﹣2二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC+ccosA=2bcosA．（1）求角A的值；（2）求sinB+sinC的取值范围．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简acosC+ccosA=2bcosA，结合三角形的内角和，求解A即可．（2）转化sinB+sinC为B的正弦函数，条公交的范围，推出相位的范围，然后求解函数的最值．【解答】解：（1）因为acosC+ccosA=2bcosA，所以sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，即sin（A+C）=2sinBcosA．因为A+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB．从而sinB=2sinBcosA．…因为sinB≠0，所以cosA=．因为0＜A＜π，所以A=．…（2）sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+sin cosB﹣cos sinB=sinB+cosB=sin（B+）．…因为0＜B＜，所以＜B+＜．所以sinB+sinC的取值范围为（，]．…16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面AEF⊥平面A1AD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接A1B和A1C，易证EF∥BC，利用线面平行的判断定理即可证得EF∥平面ABC；（2）依题意，可证EF⊥AA1，EF⊥AD，而AA1∩AD=A，从而可证得EF⊥平面A1AD，利用面面垂直的判定定理即可证得平面AEF⊥平面A1AD．【解答】解：（1）连接A1B和A1C，因为E、F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C 对角线的交点，所以E、F分别是A1B和A1C的中点．所以EF∥BC…3分又BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，故EF∥平面ABC；…6分（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴BC⊥AA1，又EF∥BC，∴EF⊥AA1…8分又D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以BC⊥AD．由EF∥BC得EF⊥AD…10分而AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面A1AD，所以EF⊥平面A1AD，…12分又EF⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面A1AD…14分17．某城市A计划每天从蔬菜基地B处给本市供应蔬菜，为此，准备从主干道AD的C处（不在端点A、D处）做一条道路CB，主干道AD的长为60千米，设计路线如图所示，测得蔬菜基地B在城市A的东偏北60°处，AB长为60千米，设∠BCD=θ，运输汽车在主干道AD上的平均车速为60千米/小时，在道路CB上的平均车速为20千米/小时．（1）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t （θ），并指出其定义域；（2）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出BC，AC，可得运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t（θ），并指出其定义域；（2）求导数，确定函数的单调性，即可求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值．【解答】解：（1）在△ABC中，，则，…又，则，…所以，运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t（θ）====，其定义域为{θ|60°＜θ＜120°}．…（2）=，…令t'（θ）=0，则，当时，t'（θ）＞0；当时，t'（θ）＜0，…所以，当时，因为60°≤θ≤120°，所以时，t（θ）取得最小值，此时，最小值为．答：运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值为．…18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B，C分别为椭圆E的右、下、上顶点，满足，椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若P为线段FC（包括端点）上任意一点，当取得最小值时，求点P的坐标；（3）设M为线段BC（包括端点）上的一个动点，射线MF交椭圆于点N，若，求实数λ的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）由点的坐标得到向量的坐标，由数量积等于5，结合离心率即隐含条件联立求解a，b c的值，则椭圆的方程可求；（2）由题意求出线段FC的方程，设出P点坐标，代入数量积公式后化为关于x 的表达式，利用配方法求最值，并求出取得最值时的P点坐标；（3）设出M点坐标，由把N点的坐标用含有λ和m的代数式表示，把N代代入椭圆方程得到m和λ的关系式，由m得范围进一步求解λ的范围．【解答】解：（1）设F（﹣c，0）．∵A（a，0），B（0，﹣b），C（0，b），∴．∵，∴ac+b2=5①．又，a2=b2+c2②．由①②得．∴椭圆E的方程为；（2）由题意可得线段FC的方程为．设P（x，y），则．=．当取得最小值时，，此时点P的坐标为；（3）设M（0，m），由，得N（﹣1﹣λ，﹣λm）．代入椭圆的方程得：3（﹣1﹣λ）2+4（﹣λm）2﹣12=0．即4（λm）2=12﹣3（1+λ）2．∵，∴0≤4（λm）2≤12λ2．则0≤12﹣3（1+λ）2≤12λ2．解得：﹣3≤λ≤﹣1（舍）或．19．已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且．（1）求a1，a3；（2）求证：数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比关系的确定．【分析】（1）在中，分别令n=2，n=3即可求得答案；（2）由，即①，得②，两式作差得（n﹣1）a n+1=na n③，从而有na n+2=（n+1）a n+1④，③+④，根据等差数列中项公式即可证明；（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，从而可用p表示出q，观察可知（p，q）=（2，3）满足条件，根据数列单调性可证明（p，q）=（2，3）唯一符合条件．【解答】（1）解：令n=1，则a1=S1==0，令n=3，则，即0+1+a3=，解得a3=2；（2）证明：由，即①，得②，②﹣①，得（n﹣1）a n+1=na n③，于是，na n+2=（n+1）a n+1④，③+④，得na n+2+na n=2na n+1，即a n+2+a n=2a n+1，又a1=0，a2=1，a2﹣a1=1，所以数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以a n=n﹣1．（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，于是，．所以，（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解．当p≥3，且p∈N*时，＜0，故数列{}（p≥3）为递减数列于是≤＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，b p，b q成等比数列．20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．【分析】（1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min”，分①a，②a＜两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的值域为[﹣a，]，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可；【解答】解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，故当，即x=e2时，，所以0，于是a，故a的最小值为．（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1），当x∈[e，e2]时，f′（x）max=，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min”，①当a时，由（1），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；②当a＜时，由于在[e，e2]上为增函数，故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即[﹣a，]．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]上恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；所以，，，所以a﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；综上，得a．附加题21．设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】利用特征向量的定义，建立方程，即可求实数a的值．【解答】解：设是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，则，…5分故解得…10分．22．在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】方法一：将直线直线θ=化为普通方程得，x，将曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为普通方程得，x2+y2﹣10x+4=0，联立消去y得，2x2﹣5x+2=0，利用中点坐标可得线段AB的坐标，再化为极坐标即可．方法2：联立直线l与曲线C的方程组可得ρ2﹣5ρ+4=0，解得ρ1=1，ρ2=4，利用中点坐标公式即可得出．【解答】解：方法一：将直线θ=化为普通方程得，x，将曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为普通方程得，x2+y2﹣10x+4=0，联立并消去y得，2x2﹣5x+2=0，∴x1+x2=，∴AB中点的横坐标为=，纵坐标为，∴=化为极坐标为．方法2：联立直线l与曲线C的方程组，消去θ，得ρ2﹣5ρ+4=0，解得ρ1=1，ρ2=4，∴线段AB中点的极坐标为，即．23．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，1，1，2，2，3，现从袋中一次随机抽取3个球．（1）若有放回的抽取3次，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率；（2）记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（1）确定一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率，即可求出恰有2次抽到编号为3的小球的概率；（2）确定随机变量X所有可能的取值，求出相应的概率，即可求出随机变量X 的分布列与数学期望．【解答】解：（1）一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率为P==∴有放回的抽取3次，恰有2次抽到编号为3的小球的概率为==；（2）随机变量X所有可能的取值为1，2，3，则P（X=1）==；P（X=2）==；P（X=3）==∴随机变量X的分布列为：∴E（X）=1×+2×+3×=．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px （p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解k PQ，通过P，Q关于直线l对称，点的k PQ=﹣1，推出，PQ的中点在直线l上，推出=2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0）．∴，∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，k PQ==，又∵P，Q关于直线l对称，∴k PQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p，∴，又PQ的中点在直线l上，∴==2﹣p，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．∴，即∴，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，∴p∈．2018年1月17日。