2013学年浙江省第一次五校联考答案

参考答案
一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一
项是符合题目要求的。

1. A 2．C 3. C 4．B 5．A 6. B 7. D 8. C 9．B 10. D 二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。

11．1i -+ 12．11+20122013⋅ 13. -8 14．53- 15. 1
2
- 16. 3π
17．(]1,2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）
解：21
()cos cos 2
f x x x x ωωω=⋅+-
1
2cos 22
x x ωω=
+sin(2)6x πω=+ ……………………………3分
（Ⅰ） 21
424
ππωω=∴=
， ()sin()26x f x π=+. 由22()2262x k k k Z πππππ-≤+≤+∈ 得： 424433k x k ππ
ππ-≤≤+
.
()f x ∴的单调递增区间是42[4,4]()33
k k k Z ππ
ππ-+∈ ……………………………7分
（Ⅱ）由正弦定理：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=⋅ 2sin cos sin()A B B C =+ sin()sin()sin 0
B C A A π+=-=> 1
cos 2
B ∴= ，3B π= ， …………………………11分
∴ 203A π<< ，6262
A πππ
<+< ， 1()(,1)2f A ∴∈. ………………………… 14分
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）2
()()22f x p q x x a x ax =⋅=++=++ ，不等式()0f x ≤的解集为[1,2]，得
3a =-，于是2()32f x x x =-+． ……………………………3分
由2
()1f x x ≥-得，1-x 2≤x 2-3x +2，解得x ≤1
2
或x ≥1， 所以，不等式2
()1f x x ≥-的解集为{x |x ≤
1
2
或x ≥1}． ……………………………7分 （Ⅱ）2
()23g x x ax =++在区间(1,2)上有两个不同的零点，则
2(1)0(2)0124
240g g a a >⎧⎪>⎪⎪
⎨<-<⎪⎪->⎪⎩
，，，， ……………10分
即50211084a a a a a +>⎧⎪+>⎪⎨-<<-⎪⎪<->⎩，，，
得：5a -<<-．
∴ a
的取值范围是(5,--. ……………………………14分 20．（本小题满分14分）
解：令,,k k k A B C 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜.
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满4局比赛还未停止的概率为 12341234
4
4111
()().
P AC B A P B C A B +=+= ……………………6分 (各3分)
1分 故分布列为
.
7
.6
=
……………………………14分 21．（本小题满分14分）
解: （Ⅰ）由2
11(1)()0n n n n S a n S a n ++-+--+=,得[]1()(1)0n n n S a n S +-++=.
由于{}n a 是正项数列,所以10,n n n S S a n +>=+.
于是，当2n ≥时,11(1)n n n n n a S S a n a n -+=-=+---.
所以1121,12(1),n n n n a a a a ++=--=- （2n ≥） ……………………………4分 又11211,4a S a a ==+=，23a ∴=2
121(1)2,21,(2)n n n n a a a n --∴-=-∴=+≥
综上,数列{}n a 的通项14,121,2
n n n a n -⎧=⎪=⎨
+≥⎪⎩. 21n
n S n =++
……………………………7分 （Ⅱ）证明:由于111,(2)232
n b b n n =
=≥-， ……………………………9分 则当2k ≥时，有2
2
11111
()(32)(34)(31)33431
k b k k k k k =<=------， 所以，当2n ≥时，有
22111111111()()()
4432558343111111115().
4323143212
n n k k T b n n n =⎡⎤=+<+-+-++-⎢⎥--⎣⎦=+-<+⋅=-∑…
又 1n =时， 21115
,412
T b ==< 所以，对于任意的*
n N ∈,都有512
n T <. …………………………14分
22．（本小题满分16分） 解：（Ⅰ） 令1
()202f x x x
-'=
+=-，
则22410x x -+=，
12111x x ∴=<<= 显然，
，列表有：
所以，4分 （Ⅱ）①当1
02
a <≤
时，max ()(2)F x F =，min ()(1)F x F = ， 极差M (2)(1)32F F a =-=-； ②当
15
26
a <≤时，max ()(2)F x F =，min ()(2)F x F a =， 极差M ()(2)44F a F a a =-=-；
③当
5
16
a <≤时， max ()(1)F x F =，min ()(2)F x F a =，极差M ()(2)21F a F a =-=-； ④当3
12
a <<时，max ()()F x F a = m i n
()(2)F x F = ， 极差M 2
()(2)(2)F a F a =-=- ；
⑤当
322
a ≤≤时，max ()()F x F a =，min ()(1)F x F =，极差M 2()(1)(1)F a F a =-=- ； ⑥当2a >时， max ()(2)F x F =, m i n
()(1)F x F =， 极差M (2)(1)23F F a =-=-.
综上所述：22132, 0<21544, 26521, 16
3(2), 123(1), 2223, 2
a a a a a a M a a a a a a ⎧
-≤⎪⎪
⎪-<≤⎪⎪
⎪-<≤⎪
=⎨⎪-<≤⎪
⎪
⎪-<≤⎪⎪->⎪⎩ ………………10分（每一项得1分）
（Ⅲ） 因为221(1)
(,)11(1)(1)(1)(1)
x y x y xy xy G x y x y x y +++-=
=-≤++++， 当0xy =或1xy =时等号成立，所以(,)G x y 的最大值为1． ………………12分
令(1)
,(1)(1)
xy xy T t x y -=
=++
2222(1)(1)(1),[0,1].1(1)1xy xy t t t t T t x y xy t t
---=≤==∈+++++
令2(1)()1t t g t t
-=+，则
223
2
2
2((23)(1)()
22
()(1)(1)t t t t t t t t g t t t ---+--'=
=
++， 令()0g t '=
，得t =
()
g t 的极大值点，也是()g t 的最大值点，
()g t g ∴≤=
，从而T ≤， 所以
1
5
(,)G x y ≥-= ………………14分
当12x y -==
时等号成立，所以(,)G x y 的最小值为2
5
513-．………15分
由此11
2
M =
………………………………16分。