2017年春季学期新版沪教版八年级数学下册17一元二次方程一元二次方程根的判别式学案
沪科版数学八年级下册17.1《一元二次方程》教学设计
沪科版数学八年级下册17.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是沪科版数学八年级下册第17.1节的内容，主要介绍了什么是一元二次方程，一元二次方程的解法以及一元二次方程的应用。
本节课的内容是学生学习更高阶数学的基础，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的加减、乘除以及方程的解法等基础知识。
但是，对于一元二次方程的概念和解法可能还存在理解上的困难。
因此，在教学过程中，需要帮助学生建立清晰的概念，并通过大量的实例来引导学生理解和掌握解法。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。
2.能够应用一元二次方程解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的概念。
2.一元二次方程的解法。
3.一元二次方程的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过问题引导学生思考，通过案例让学生理解和解法一元二次方程，通过小组合作学习，培养学生的合作和沟通能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.教学案例和习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，介绍一元二次方程的概念和解法。
让学生通过观察和思考，理解一元二次方程的特点和解法。
3.操练（10分钟）让学生通过解一些简单的一元二次方程，加深对概念和解法的理解。
4.巩固（10分钟）让学生通过解一些复杂的一元二次方程，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）让学生通过解决一些实际问题，运用一元二次方程。
6.小结（5分钟）通过PPT课件，对本节课的内容进行小结，帮助学生梳理知识体系。
7.家庭作业（5分钟）布置一些一元二次方程的练习题，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）在黑板上板书一元二次方程的定义和解法，方便学生复习。
以上是本节课的教学设计，希望对学生有所帮助。
17.3一元二次方程的根的判别式-沪科版八年级数学下册教案
17.3 一元二次方程的根的判别式-沪科版八年级数学下册教案一、教学目标1.理解一元二次方程根的概念。
2.掌握一元二次方程的根的判别式，并能够根据判别式求解一元二次方程的根。
3.练习应用一元二次方程的根的相关知识解决实际问题。
二、教学重点1.了解一元二次方程根的概念。
2.理解一元二次方程的根的判别式，掌握其计算方法。
3.熟练运用一元二次方程的根的相关知识解决实际问题。
三、教学难点1.确定一元二次方程的根的判别式，并能够准确地应用其计算方法。
2.能够根据实际问题建立一元二次方程，并求出方程的根。
四、教学过程1. 导入新知识1.通过引入实际问题，介绍一元二次方程的根的概念。
2.让学生观察解一元二次方程时，根的种类与数量不同的情况，引出一元二次方程的根的判别式。
2. 讲解新知识1.介绍一元二次方程的根的判别式的定义和计算方法。
2.通过示例演示如何根据一元二次方程的判别式求解方程的根。
3. 练习应用1.练习通过实际问题建立一元二次方程，并计算其根。
2.让学生尝试分组合作，推广使用一元二次方程的解法。
4. 总结归纳1.回顾本节课的学习内容，概括如何根据一元二次方程的判别式求解方程的根。
2.总结应用一元二次方程解决实际问题的方法。
五、课堂互动本节课的互动方式为“小组合作”，让同学们自由分组，共同完成练习应用步骤。
每组都要出示对应的题目与解题思路，让其他组复盘及提出问题。
六、课后作业1.完成课堂上未完成的练习题。
2.回忆一些生活中的实际问题，尝试通过一元二次方程的知识解决它们，并写下对解题思路及结果的分析和总结。
七、教学反思本节课通过引入实际问题和分组合作的方式，让学生切实了解了一元二次方程的根的概念和根的数量，理解和掌握了一元二次方程的根的判别式，并能够应用一元二次方程的知识解决实际问题。
同时教师要及时回答学生提出的问题，帮助学生建立正确的解题思路和方法。
教师也应该在教学过程中关注学生的反馈和情况，及时调整教学内容和方法，使得教学效果更佳。
八年级数学下册17.3一元二次方程的根的判别式教学设计 新版沪科版
八年级数学下册17.3一元二次方程的根的判别式教学设计新版沪科版一. 教材分析《新版沪科版八年级数学下册》第17.3节介绍了一元二次方程的根的判别式。
本节内容是在学生掌握了二次三项式分解、一元二次方程的解法等知识的基础上进行的。
根的判别式是解决一元二次方程求根问题的关键，对于理解一元二次方程的根与系数的关系，以及解决实际问题具有重要意义。
教材通过引入判别式，引导学生探究一元二次方程的根的性质，从而加深对二次方程的理解。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已掌握了一元一次方程、一元二次方程的解法，以及二次三项式分解等知识。
但学生对于根的判别式的理解及运用还不够熟练，需要通过本节课的学习，让学生在理解的基础上，熟练掌握根的判别式的计算及应用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解一元二次方程根的判别式的定义，掌握计算方法，并能运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.过程与方法：通过探究活动，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程根的判别式的定义及计算方法。
2.难点：运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等，引导学生通过自主探究、合作交流，发现并理解一元二次方程根的判别式的性质。
六. 教学准备1.教师准备：教材、PPT、黑板、粉笔等。
2.学生准备：笔记本、笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师利用PPT展示一元二次方程的根的判别式，引导学生观察、分析，发现判别式与方程根的情况之间的关系。
3.操练（10分钟）教师提出例题，让学生独立解决，然后集体讨论解题过程，引导学生掌握判别式的计算方法。
4.巩固（10分钟）教师给出一些判断题，让学生判断一元二次方程的根的情况，巩固所学知识。
新沪科版数学八年级下册教案：17.3 一元二次方程根的判别式
17．3一元二次方程根的判别式1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；(重点、难点)2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力．一、情境导入1．你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？2．能力展示：分组比赛解方程．(1)x2＋4＝4x；(2)x2＋2x＝3；(3)x2－x＋2＝0.3．发现问题观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？二、合作探究探究点：一元二次方程根的判别式【类型一】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是()A．该方程有两个相等的实数根B．该方程有两个不相等的实数根C．该方程无实数根D．该方程根的情况不确定解析：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B.方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．【类型二】根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k>－1 B．k>－1且k≠0C．k<1 D．k<1且k≠0解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2－4·k·（－1）>0，k≠0，解得k>－1且k≠0.故选B.易错提醒：利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题容易误选A.【类型三】一元二次方程根的判别式与三角形的综合已知a，b，c分别是△ABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根．解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δ<0即可．由a，b，c是三角形三条边的长可知a，b，c都是正数．由三角形的三边关系可知a＋b>c，a＋c>b，b＋c>a.证明：∵b为三角形一边的长，∴b≠0，∴b2≠0，∴b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0是关于x的一元二次方程．∴Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(b2＋c2－a2＋2bc)(b2＋c2－a2－2bc)＝[(b＋c)2－a2][(b－c)2－a2]＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＝(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]．∵a，b，c是三角形三条边的长，∴a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c>0，a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b.∴(b＋c)－a>0，(a＋b)－c>0，b－(a＋c)<0，∴(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]<0，即Δ<0.∴原方程没有实数根．方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定Δ符号．【类型四】 利用根的判别式解决存在性问题是否存在这样的非负整数m ，使关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m －1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：不存在，理由如下：假设m 2x 2－(2m －1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m －1)]2－4m 2>0，解得m <14.∵m 为非负整数，∴m ＝0.而当m ＝0时，原方程m 2x 2－(2m －1)x ＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾．∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根．易错提醒：在求出m ＝0后，常常会草率地认为m ＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面．三、板书设计本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用．学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调.。
新沪科版八年级下册初中数学 17-3 一元二次方程根的判别式 教学课件
第九页，共十五页。
求下列一元二次方程根的个数：
(1)2x2 5x 3 0
23x2 3 6x
b2 4ac 1 0,
方程有两个不相等的根
b2 4ac 0,
方程有两个相等的根
(3)x2 x 1 0
b2 4ac 3 0
方程没有实数根
第十页，共十五页。
练习：按要求完成下列表格：
x b
b2 4ac .
2a
第四页，共十五页。
合作探究
活动：探究一元二次方程根的判别式
如何把一元二次方程
的形式？
ax2 bx c写成0(（a x+0h) )2=k
ax2 bx c 0 x2 b x c 0
aa
x2 b x c aa
配方法
第五页，共十五页。
x2
b a
x
b 2a
当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 =0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根.
反之，同样成立.
第十五页，共十五页。
教学课件
数学 八年级下册 沪科版
第一页，共十五页。
第17章 一元二次方程
17.3 一元二次方程根的判别式
第二页，共十五页。
复习引入 用公式法求下列方程的根:
1)2x2 x 2 0
用公式法 解一元二次 方程的一般 步骤:
2) 1 x2 x 1 0 4
3)3x2 2 3x 1 0
4)x2 x 1 0
x1
x2
b 2a
;
当b2-4ac＜0时，方程的右边是一个负数，因为在实数范围内，
负数没有平方根，所以，方程没有实数根：
思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况？
新沪科版八年级下册初中数学 17.2 一元二次方程的解法 教案
17.2 .1 配方法课题17.2 一元二次方程的解法—配方法教学目标1．巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤；2．会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程。
教学设想1．教学的重点是用配方法解二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程。
2．当二次项系数为小数或分数时，用配方法解一元二次方程是本节教学的难点。
教学程序与策略一、认识解方程提问，板演 (观察学生怎么解决)。
为以后认识一元二次方程开平方法和配方法（a=1）解法的区别与联系（思考与领悟）做铺垫。
1.开平方法：形如。
2.①先把移项得；②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得，即，当时，就可以通过开平方法求出方程的根。
二、新课教学1.引例（当a=1时）解方程.观察与思考，小组讨论：领悟配方法解方程的数学思想。
2.例1 用配方法解下列一元二次方程（1）；（2）。
（补充）例用配方法解方程2x2＋12x+9=0。
引导学生总结用配方法解一元二次方程的步骤。
课堂练习（课件展示）3．课本课内练习1、2学生完成解题后出示答案。
4．增加二次项系数为小数与分数的方程：用配方法解下列方程：（1）；（2）。
三、课堂小结问：这一节课学习了什么？四、布置作业习题17.2第1、2、3题教后反思录17.2.2 公式法知识与技能目标1.让学生熟练应用一元二次方程求根公式解一元二次方程；2.通过公式的引入，培养学生抽象思维能力．过程与方法目标1.让学生经历一元二次方程求根公式的推导过程，感受分类思想；2.让学生在实践中运用公式法解一元二次方程，体会求根公式的结构特点．情感态度与价值观1.通过一元二次方程求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想；2.培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．重点和难点重点：让学生掌握一元二次方程求根公式解一元二次方程；难点：对一元二次方程的一般式进行配方，推导一元二次方程求根公式．教具准备多媒体课件教学过程一、创设情境，导入新课问题思考如何用配方法解下列方程？二、探究归纳，讲解新课让学生独立解决问题，并思考：用配方法解一元二次方程的步骤怎样？关键是什么？用配方法解一元二次方程的步骤：(1)化二次项系数为1；(2)移项；(3)配方：方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）开方：如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．让学生仿照问题(1)，讨论尝试求解问题(2)；当二次项系数不为1时，如何应用配方法？指出当二次项系数不为1时，只要在方程两边同除以二次项的系数，将方程转化为二次项系数为1的方程．探索我们来讨论一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．因为a≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项的系数a，得，移项，得，配方，得，即．因为a≠0，所以4a2＞0，当b2-4ac≥0时，得，即．所以，即．上面的式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．从上面的结论可以发现：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入(b2-4ac≥0)中，可求得方程的两个根．思考当 b2-4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根怎样？三、实践应用，讲解例题例1解方程：。
新沪科版八年级数学下册《17章一元二次方程17.3一元二次方程的根的判别式》教案_14
17.3一元二次方程的根的判别式教学目标：(一)知识与技能（1）了解掌握一元二次方程的根的判别式；（2）不解方程能判定一元二次方程根的情况；（3）根据一元二次方程的根的情况，探求所需的条件。
经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性(三)情感、态度与价值观学生通过观察、分析、讨论、相互交流、培养与他人交流的能力；通过观察、分析、感受数学的变化美，实现数学思想和德育思想的完美渗透。
教学重点：（1）发现一元二次方程的根的判别式。
（2）用一元二次方程的根的判别式解决实际问题。
教学难点：弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。
教学过程：（一）师生互动，情境导入1、复习归纳：一元二次方程的根的情况；（并举例）2、游戏导入：请学生任意列举一个一元二次方程，老师快速说出方程的根的情况；（板书课题）（二）合作交流，探索新知活动1、回顾思考，展开探讨回顾：求根公式及其由来，用配方法得出求根公式的过程。
（多媒体辅助教学）活动2、师生合作，归纳提升1）通常，我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”表示，即：△=b2-4ac2）归纳如何由△判别一元二次方程的根的情况：一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当△>0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△<0时，没有实数根。
活动3、应用迁移，发展能力练一练：1、一元二次方程-2x2+x+3=0的根的判别式的值为______ ,所以方程根的情况是_______________.2、不解方程判定下列一元二次方程根的情况。
(1)2x2 +3x-4=0（2）y2+3=2√３y（3）5（x2+1）-7=0归纳:不解方程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为：一化（将一元二次方程化为一般形式）；二算（确定a、b、c的值，算出Δ的值）；三判断（根据上述结论判别方程根的情况）。
沪教版八下数学17.3 一元二次方程根的判别式
沪科版·八年级数学下册
新课导入
交流
在前面的学习中，你是否注意到：方 程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）有实数根的条 件是什么？何时有两个相等的实数根？何 时有两个不相等的实数根？
新课探究
通过配方得到了一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）
有两个不等的实数根.
4. 已知 2mx2 + 8m（x + 1）= –x，当 m 为何 值时，
（1）方程有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根.
解：原方程可化为 2mx2 + (8m + 1)x b2 – 4ac = (8m + 1)2 – 4×2m×8m
= 52 – 4×1×6
=1>0 方程有两个不 等的实数根
9x2 + 12x + 4 = 0； Δ = b2 – 4ac = 122 – 4×9×4
=0 方程有两个相 等的实数根
2x2 + 4x – 3 = 2x – 4 ； x（x + 4）= 8x + 12.
化简得 2x2 + 2x + 1 = 0 Δ = b2 – 4ac = 22 – 4 ×2×1
= 16m + 1 （1）当 Δ = 16m + 1 ＞ 0，即 m ＞ – 1 ，且 m ≠0 时，方程有两个不等的实数根；16
（2）当 Δ = 16m + 1 = 0，即 m = – 1 时，方程
有两个相等的实数根；
16
（3）当 Δ = 16m + 1 ＜ 0，即 m ＜ – 1 时，方
新沪科版八年级数学下册《17章一元二次方程17.3一元二次方程的根的判别式》教案_0
学习笔记： 0(a ≠ 0)的归纳：由方程根的情况，利用判别式列出不等式，求出不等式解集，得 到相应字母取值范围，应注意二次项系数不为 0.
范例 1 ：下列方程没有实数根的是 ( C )
A． x2 ＋4x ＝10
B． 3x2 ＋8x －3 ＝0
C．x2 －2x ＋ 3 ＝0 D．(x －2)(x －3) ＝12
2 ．解下列方程： (1)x2 －3x ＋ 2 ＝0 ；(2)x2 － 2x ＋ 1＝ 0； (3)x2 ＋3 ＝0. 解： (1)(x －2)(x － 1) ＝ 0 ，x1 ＝ 2 ，x2 ＝ 1； (2)(x －1)2 ＝0 ，x1 ＝x2 ＝1 ； (3) ∵ x2 ＝－ 3 ，∴x 取任何数，其平方都不为负数，此方程无解．
教材第 36 页习题第 1-5 题。
2a
b b2 － 4ac ＝ 0，因此方程有两个相等的实数根， x1 ＝x2 ＝－ .(3) 当 b2 －4ac
2a
＜ 0 时， b2 －4ac 在实数范围内无意义，因此方程没有实数根．
2 ．一元二次方程根的判别式是什么？如何判定？ 答：我们把 b2 － 4ac 叫做一元二次方程根的判别式，用 “Δ表”示，当 Δ＝ b2 － 4ac ＞0 时，方程有两个不相等的实数根，Δ＝ b2 － 4ac ＝0 时，方程有两个相等 的实数根，Δ＝ b2 － 4ac ＜0 时，方程无实数根．
试判断直线 y ＝(2m － 3)x －4m ＋7 能否通过点 A( －2 ，4) ，并说明理由．
7 解： Δ＝ (2m ＋1)2 －4(m2 ＋ 2) ＞0 ，∴m ＞ ，把 ( －2 ， 4) 代入直线表达式得 m
4
97 ＝ ＜ ，∴不经过．
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课堂练习 教材第 35 页练习第 1 题，第 36 页练习第 2 题。 学生自主练习，找四名学生板演，师生共同评价。 课堂小结 这节课你有哪些收获？对于一元二次方程根的判别式你都有哪些了解和认识？ 布置作业
沪科初中数学八下《17.3一元二次方程的根的判别式》word教案 (4)
《17.3 一元二次方程根的判别式》教学目标：1．一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理2．掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况．对含有字母系数的由一元二方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；3．会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题． 教学重点：掌握韦达定理及其简单的应用．教学难点：会在实数范围内把二次三项式分解因式．教学过程：一、新课引入1．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题．在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力． 在一元二次方程的应用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．2．利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x 的方程A x 2－2x ＋1＝0中，如果A<0，那么根的情况是（ ）．（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定3．利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ）．（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件．（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式042≥-ac b ；②二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系．二、考点链接1．一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 ． （1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根， =2,1x ．（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x ．（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根． 2．一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x ．3．巩固练习（1）不解方程，求下列方程的两根x 1、x 2的和与积．1）2x 3x 50--= 2）22550+-=x x（2）已知x 1、x 2是一元二次方程222130-+-=x x m 的两个实数根，且x 1、x 2满足不等式0)(22121>++⋅x x x x ，求实数m 的取值范围．。
沪科版八年级下册数学17 一元二次方程根的判别式教案与反思
17．3 一元二次方程根的判别式路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。
屈原《离骚》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；(重点、难点)2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力．一、情境导入1．你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？2．能力展示：分组比赛解方程．(1)x2＋4＝4x；(2)x2＋2x＝3；(3)x2－x＋2＝0.3．发现问题观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？二、合作探究探究点：一元二次方程根的判别式【类型一】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是( ) A．该方程有两个相等的实数根B．该方程有两个不相等的实数根C．该方程无实数根D．该方程根的情况不确定解析：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选B.方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根．【类型二】根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k >－1B ．k >－1且k ≠0C ．k 0，同时要求二次项系数不为0，即⎩⎨⎧（－2）2－4·k ·（－1）>0，k ≠0，解得k >－1且k ≠0.故选B.易错提醒：利用b 2－4ac 判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题易误选A.【类型三】一元二次方程根的判别式与三角形的综合已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，求证：关于x 的方程b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0没有实数根．解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δc ，a ＋c >b ，b ＋c >a .证明：∵b 为三角形一边的长，∴b ≠0，∴b 2≠0，∴b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0是关于x 的一元二次方程．∴Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2＝(b 2＋c 2－a 2＋2bc )(2＋c 2－a 2－2bc )＝[(b ＋c )2－a 2][(b －c )2－a 2]＝(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )(b －c ＋a )(b －c －a )＝(a ＋b ＋c )[(b ＋c )－a ][(a ＋b )－c ][b －(a ＋c )]．∵a ，b ，c 是三角形三条边的长，∴a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c >0，a ＋b >c ，b ＋c >a ，a ＋c >b .∴(b ＋c )－a >0，(a ＋b )－c >0，b －(a ＋c )0，解得m <错误!.∵m 为非负整数，∴m ＝0.而当m ＝0时，原方程m 2x 2－(2m －1)x ＋1＝0是一元一次方程，只有一实数根，与假设矛盾．∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根．易错提醒：在求出m＝0后，常常会草率地认为m＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面．三、板书设计本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用．学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调.【素材积累】司马迁写《史记》汉朝司马迁继承父业，立志著述史书。
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一元二次方程根的判别式
【学习目标】
1．了解根的判别式的概念、能用判别式判别根的情况．
2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．
【学习重点】
会用判别式判定根的情况．
【学习难点】
正确理解“当b 2－4ac ＜0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)无实数根”．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．
方法指导：先将方程写成一般形式，然后再写出a ，b ，c 的值，最后再代入根的判别式进行计算，根据结果判断方程根的情况．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．平方根的性质是什么？
答：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．
2．解下列方程：
(1)x 2－3x ＋2＝0；(2)x 2－2x ＋1＝0；(3)x 2＋3＝0.
解：(1)(x －2)(x －1)＝0，x 1＝2，x 2＝1；(2)(x －1)2＝0，x 1＝x 2＝1；(3)∵x 2＝－3，∴x 取任何数，其平方
都不为负数，此方程无解．
3．思考：一元二次方程根的情况有几种？
答：有三种．有两个不等根；有两个相等根；无实根．
自学互研 生成能力
知识模块 一元二次方程根的判别式
【自主探究】
阅读教材P 34～35，完成下列问题：
1．一元二次方程根的情况由什么确定？为什么？
答：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)根的情况由b 2－4ac 确定．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求
根公式x ＝－b±b 2－4ac 2a
，因为a≠0，所以(1)当b 2－4ac ＞0时，b 2－4ac 为正实数，因此方程有两个不相等的
实数根，x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2
－4ac 2a
.(2)当b 2－4ac ＝0时，b 2－4ac ＝0，因此方程有两个相等的实数根，x 1＝x 2＝－b 2a
.(3)当b 2－4ac ＜0时，b 2－4ac 在实数范围内无意义，因此方程没有实数根． 2．一元二次方程根的判别式是什么？如何判定？
答：我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式，用“Δ”表示，当Δ＝b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相
等的实数根，Δ＝b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根，Δ＝b 2－4ac ＜0时，方程无实数根．
学习笔记：
归纳：由方程根的情况，利用判别式列出不等式，求出不等式解集，得到相应字母取值范围，应注意二次项系数不为0.
行为提示：积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听，做每步运算都要有理有据，避免知识上的混淆及符号等错误．
学习笔记：
检测可当堂完成． 范例1：下列方程没有实数根的是( C )
A ．x 2＋4x ＝10
B ．3x 2＋8x －3＝0
C ．x 2－2x ＋3＝0
D ．(x －2)(x －3)＝12
仿例：当4c ＞b 2时，方程x 2－bx ＋c ＝0的根的情况是( C )
A ．有两个不等实根
B ．有两个相等实根
C ．没有实数根
D ．不能确定
范例2：(益阳中考)一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0总有实数根，则m 应满足的条件是( D )
A ．m ＞1
B ．m ＝1
C ．m ＜1
D ．m ≤1
仿例1：已知一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0有实数根，则k 的取值范围是( C )
A ．k ≤32
B ．k ＜32
C ．k ≤32且k≠1
D ．k ≥32
且k≠1
仿例2：已知关于x 的方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋2＝0有两个不相等的实数根，试判断直线y ＝(2m －3)x －4m ＋
7能否通过点A(－2，4)，并说明理由．
解：Δ＝(2m ＋1)2－4(m 2＋2)＞0，∴m ＞74，把(－2，4)代入直线表达式得m ＝98＜74
，∴不经过．
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块 一元二次方程根的判别式
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________。