微积分在不等式中的应用

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「用微积分理论证明不等式的方法02762」

「用微积分理论证明不等式的方法02762」微积分作为数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。

在证明不等式时，微积分理论可以提供很多有用的方法和手段。

下面，将介绍一些常用的用微积分理论证明不等式的方法。

一、用函数的单调性函数的单调性是研究不等式的一个重要工具。

对于单调递增的函数，可以利用其性质来证明不等式。

设函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，若有a≤x＜y＜b，则有f(a)≤f(x)＜f(y)≤f(b)。

同时，根据单调递增函数的性质，对于任意的a＜b，有f(x)＜f(y)，那么对应的不等式也成立。

例如，要证明在区间[0,1]上，f(x)=x(1-x)＜1/4，可以利用函数f(x)在该区间上的单调递增性。

当x＜1/2时，有f(x)＜f(1/2)=1/4；当x＞1/2时，有f(x)＜f(1/2)＝1/4，因此不等式f(x)＜1/4在区间[0,1]上成立。

二、用导数或微分的性质导数和微分是微积分的基本概念，它们对研究不等式也起到很大的作用。

通过研究函数的导数或微分的性质，可以得到不等式的证明。

例如，要证明在区间(a,b)上f(x)≤g(x)，可以研究函数h(x)=f(x)-g(x)，若能证明h(x)≤0，则不等式成立。

对h(x)求导，然后研究导数的正负性即可。

又如，要证明不等式f(x)≥g(x)，可以考虑函数h(x)=f(x)-g(x)，若能证明h'(x)≥0，则不等式成立。

通过导数或微分的性质，可以简化不等式的证明过程。

三、用积分的性质积分是微积分的重要工具之一，它在证明不等式中也有广泛的应用。

常用的方法有利用积分的性质来证明不等式的区间逐点性、平均值和中值定理等。

例如，若要证明在区间[a,b]上的函数f(x)满足不等式f(x)≥0，可以考虑利用积分的区间逐点性。

即对于任意一个x∈[a,b]，都有f(x)≥0成立。

又如，若要证明函数f(x)在[a,b]上的平均值大于等于左端点和右端点的函数值之间的平均值，即(∫[a,b]f(x)dx)/(b-a)≥(f(a)+f(b))/2，可以利用积分的性质，将该不等式转化为函数f(x)-(f(a)+f(b))/2的积分大于等于0，然后再进行证明。

微积分法证明不等式

微积分法证明不等式
微积分法是一种强大的工具，可以用来证明各种不等式，包括在数学中最常见的不等式。

下面我们将着重介绍微积分法证明不等式的步骤和方法。

首先，给出待证明的不等式，并按照其数学符号和形式写出来，例如：f(x)≥g(x)。

其次，使用微积分法证明不等式，可以使用下面这几种方法：
（1）定积分法：
定积分法是指定义一个函数的积分，根据不等式的给定条件来确定积分的范围，然后用定积分公式，即积分的上下限，把函数的积分计算出来，从而证明不等式。

例如，当下限是a，上限是b时，可以用定积分法证明不等式：f(x)≥g(x)，可以把它写成∫a b f(x)dx
≥∫a b g(x)dx。

（2）不定积分法：
不定积分法是指不确定积分的范围，而是采用一些技巧来求解一个未给定的积分。

通常是不定积分，但也有一些情况可以使用定积分，从而证明不等式。

例如，当未给定积分的范围时，可以用不定积分法证明不等式：f(x)≥g(x)，可以把它写成∫f(x)dx≥∫g(x)dx。

（3）柯西不等式：
柯西不等式是一种常用的证明不等式的方法，例如，可以使用柯西不等式来证明不等式：f(x)≥g(x)，可以把它写成f(x)-g(x)≥0。

该不等式只要满足柯西不等式的条件，就可以证明f(x)≥g(x)。

最后，以上是微积分法证明不等式的步骤和方法。

只要使用此方法，就可以更准确地证明不等式，从而解决一些严苛的数学问题。

微积分在不等式中的应用

由已知Ｉ訾Ｈ挚ｘ≠ｏ）Ｉ蚴ｘ－ＯＩ≤１却（ｏ）㈤
．‘ｌ。ｉｍ即Ｉａｌ＋２ａ２＋…＋ｎａｌｌｌ≤１。进行证明。方法２：由ｌｆ（ｘ）Ｉ≤Ｉ
导数的定义是微积分的基础，此题还可运用两个重要极限及变形
使得坐』＝ｉ盟＝Ｐｈ，）
又‘．‘“ｃ）＞０，ｆ（ａ）＝Ｏ，ｃ—ａ＞Ｏ．‘．ｆ（Ⅵ，）＞０，ｈ，∈（ａ，ｃ））同理ｊ
数极限，而且很繁琐。
例如，求ｌｉｍ坐￡姒时，如果“ｘ）满足一定条件——比如在Ｒ上连
ｒ４＆Ｘ—ａ
续、可导，那么也必然在由点ａ和点ｘ所构成的闭区间上连续、开区间
内可导——因而可以使用Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理将函数值的增量ｆ（ｘ）一“ａ）处理为ｆ④（ｘ—ａ）（其中∈介于ａ和ｘ之间，所以当ｘ—ａ时由夹逼准则可
ｘｌ＋ｘ２＋…＋ｘｎＸｌ＋Ｘ２＋…＋ｘｎ
Ｘｌ
Ｘｌ＋Ｘ２＋…＋ｘＨ
ｘｎ
所以Ｉｎ
５、利甩极值理论证明不等式
ＸＩ＋Ｘ２＋＂＇＇＋Ｘｎ一≤——丑一ｌｎｘｌ＋…＋——玉～ｌｎｘｎ，证毕。
Ｐｑ
ａ＋ＤＤ
则在（ａ，ｂ）内至少存在一个点∈，使得ｒ（《）＝拦－二±盟。
定理４（柯西中值定理）：设函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）满足条件：（１）在闭区间［ａ，ｂ］上连续；
由定理１我们总结出运用单调性证明不等式的一般方法与步骤：
（１）移项，使不等式一端为…０’，另一端即为所作的辅助函数ｆ（ｘ）；
（２）求出ｆ（ｘ），并判断ｆ（ｘ）在指定区间的增减性；（３）求出区间端点的函数值，作出比较即得所证。例２．设ｂ＞ａ＞Ｏ，证明：Ｉｎ
例４．（１）设ｐ≥１，ｘｉＩ＞０；求证：ＸＩ＋Ｘ２，－－＋Ｘｎ）９≤—ＸＩＰ＋ｘ２Ｐ－４．—’’’＋Ｘｎｐ。
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终稿微积分在证明不等式中的应用

Key words: Calculus； proof ；Inequality； Application
引言不等式是数学中的重要内容之一，它反映了各个变量之间很重要的一种关
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系。它的证明在数学中起着重要作用，既能丰富数学知识，又能发展数学逻辑思维能力。证明不等式没有固定的模式，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。运用初等数学知识能证明一些不等式，但对于另一些不等式的证明，比如积分不等式，以及简化一些不等式证明，则需要借助高等数学知识。作为高等数学的核心 ———微积分就是一种实用的证明不等式的方法。 1. 证明不等式的常用方法证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒等不等式进行合乎逻辑的等价变换。具体的方法很多，下面着重介绍最基本两种———比较法、公式法.。 1.1 比较法欲证 A ≥ B ，（ⅰ）只要证明 A − B ≥ 0 ；（ⅱ）如果 A > 0, B > 0 ，只要证明
目录
摘要 ............................................................................................ 1 引言 ............................................................................................ 1 1. 证明不等式的常用方法 ....................................................... 2 1.1 比较法 ........................................................................... 2 1.2 公式法 ........................................................................... 3 2. 微分在证明不等式中的应用 ............................................... 5 2.1 利用函数的单调性 ....................................................... 5 2.2 利用函数的极值与最值 ............................................... 7 2.3 利用微分中值定理 ....................................................... 8 2.4 利用函数的凹凸性 ..................................................... 11 2.5 利用泰勒公式 ............................................................. 13 3. 积分在证明不等式中的应用 ............................................. 16 3.1 利用积分性质 .............................................................. 16 3.2 利用积分中值定理 ..................................................... 17 3.3 利用变限积分函数 ..................................................... 18 3.4 利用柯西—施瓦兹不等式 ......................................... 19 参考文献 .................................................................................. 21 致谢 .......................................................................................... 21

微积分中不等式的证明方法

微积分中不等式的证明方法微积分中的不等式证明方法有很多种，下面将介绍其中一些常见的方法。

1.代数证明法代数证明法是一种以代数运算为主要手段来证明不等式的方法。

在证明中，可以使用代数运算的性质，如加减乘除、平方、开方等。

例如，要证明一些不等式：a + b ≥ 2√(ab)，可以通过代数推导来证明。

首先，将不等式两边平方，得到(a + b)² ≥ 4ab。

展开并化简之后，得到a² + 2ab + b² ≥ 4ab，再将其中的2ab移到左边，得到a² -2ab + b² ≥ 0，即(a - b)² ≥ 0。

由于平方的结果非负，所以不等式成立。

2.数列证明法数列证明法是一种通过构造适当的数列来证明不等式的方法。

在证明中，可以通过构造递推式或者利用数列的性质来得到结论。

例如，要证明一些不等式：n² ≥ n，可以通过构造递推数列来证明。

考虑数列an = n，其中n为正整数。

可以发现，数列an是单调递增的。

当n = 1时，显然有1² ≥ 1成立。

假设当n = k时，不等式成立，即k² ≥ k。

则当n = k + 1时，由于an是单调递增的，显然有(k + 1)²≥ k + 1、因此，根据数列证明法，不等式n² ≥ n成立。

3.函数证明法函数证明法是一种通过构造适当的函数来证明不等式的方法。

在证明中，可以通过研究函数的性质，如函数的单调性、极值等来得到结论。

例如，要证明一些不等式：(1+x)²≥1+2x，可以通过构造适当的函数来证明。

考虑函数f(x)=(1+x)²-1-2x，可以研究函数f(x)的性质。

首先计算函数f(x)的导数，得到f'(x)=2(1+x)-2=2x。

由于导数为正，说明函数f(x)单调递增。

此外，由于f(0)=0，所以函数f(x)在x=0处取得最小值。

因此，对于所有x≥0，有f(x)≥0，即(1+x)²≥1+2x。

微积分在不等式证明中的应用探究

微积分在不等式证明中的应用探究微积分在不等式证明中有着广泛的应用。

本文将从以下几个方面探究微积分在不等式证明中的应用：一、极值法通过求解函数的导数，可以得到函数的极值。

在不等式证明中，如果要证明一个不等式成立，可以通过求解函数的极值来确定函数在一定区间内的取值范围。

例如，对于函数$f(x)=x^2+ax+b$，当$2x+a=0$时，$f(x)$取得最小值，此时$f(x)=b-\\frac{a^2}{4}$。

如果要证明$f(x)\\geq m$，可以先求出$f(x)$的最小值，然后判断最小值是否大于等于$m$。

二、中值定理中值定理是微积分中的重要定理之一。

如果一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导的话，那么一定存在一个$c\\in (a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$。

在不等式证明中，可以通过中值定理来判断函数在一定区间内的大小关系。

例如，如果要证明$x^3+3x\\geq 4x^2$，可以令$f(x)=x^3+3x-4x^2$，然后证明$f(x)$在区间$[0,2]$上为非负数。

可以通过求解$f'(x)=3x^2+3-8x$来得到$f(x)$在$x=\\frac{1}{2}$处取得最小值，最小值为$-\\frac{5}{4}$，因此$f(x)\\ge -\\frac{5}{4}$，即$x^3+3x-4x^2\\geq-\\frac{5}{4}$，从而得到$x^3+3x\\geq 4x^2$。

三、积分法在不等式证明中，积分法通常被用来证明一些形如$\\int_a^bf(x)dx\\geq 0$的不等式。

例如，要证明$f(x)$在区间$[a,b]$上为非负数，可以通过证明$\\int_a^bf(x)dx\\geq 0$来得到。

对于一些较为复杂的积分不等式，可以通过换元法、分部积分等方法来进行变形和求解。

四、导数法通过对函数求导，可以得到函数的单调性。

微积分在不等式证明中的应用研究

切ｚｏ立，＞／成
由均不式（砉 ≥ 故（≥ 对几项，容易得出所要证明的结果。平值等知，）天，）１一很
由拉格朗日中值定理得，１一厂Ｏ＝／（）（）（）ｏ ≥１即得证。
ＩｚＩ２明ＩｚＩ３厂（）＜证，（） ≤ 。
后得
１利用函数单调性证明不等式
利用函数单调性来证明不等式是不等式证明的一个重
要方法。例１设ｚｏ＞ｏＬ，＞，，（）
ｚ＋上≥（＋１（）（）７（１，）禹ｎ５ｎ－２，， …… ） ‘ ＂。
不等式的证明，初等数学里已经介绍过若干种方法，证明：造函数，） ± 在构（：
如比较法，合法，析法，缩法，证法，学归纳法和综分放反数构造法等等。然后有些不等式用初等数学方法很难证明，但是利用微积分证明却相对容易一些。利用微积分证明不等式的证明转化为利用微积分来研究函数的形态。
（＞１＞ｏ易判别：矗）
，
＿（的最小值。ｌ为厂）所以
≥
（＞ｏ，
等式，根据不等式的特点，常需要构造辅助函数，不志１令 —ｚ，ｉＯ ∑ 一１取愚２１代入上式整理是通把＞）．＞，Ｔ一ｎ＋，

微积分在不等式证明中的应用探究

微积分在不等式证明中的应用探究微积分是一门非常重要的数学分支，其在数学、物理、工程以及经济学等各个领域都有广泛的应用。

在不等式证明中，微积分也有着很大的作用，可以帮助我们更好地理解和证明不等式。

本文将探讨微积分在不等式证明中的应用。

一、不等式证明的基本思路不等式证明是数学中的一个重要问题，它的基本思路是通过变形来证明不等式的成立。

通常，我们可以将不等式转化成一个函数的形式，然后利用微积分的思想对函数进行研究，进而得到不等式的证明。

二、微积分在不等式中的应用微积分在不等式证明中有着广泛的应用，下面列举几个例子来说明。

1. 极值法极值法是一种常用的证明不等式的方法。

当我们要证明一个不等式时，我们可以先找到函数的极值点，然后利用函数在极值点处的取值来说明不等式成立。

具体实现方法如下：假设有不等式a≤f(x)≤b，其中f(x)为函数，a、b为已知数。

我们可以通过求解f(x)的导数来找到极值点。

假设f(x)的导数为0，即f'(x)=0，则f(x)在x处取得极值。

根据极值的定义，我们知道当f(x)在极值点处取到最大值或最小值时，不等式a≤f(x)≤b都会成立。

例如，要证明不等式sinx≤x（0≤x≤π/2），我们可以定义函数f(x)=x-sinx，然后求出f'(x)=1-cosx。

当f'(x)=0时，即cosx=1，这时f(x)的极小值为0，因此sinx≤x成立。

2. 积分法积分法也是证明不等式的一种重要方法。

具体方法如下：假设有不等式a≤f(x)≤b，其中f(x)为函数，a、b为已知数。

我们可以通过积分来获得f(x)在[a,b]上的取值。

具体来说，我们可以定义函数g(x)为a≤g(x)≤b且f(x)≤g(x)，然后计算g(x)在[a,b]上的积分，即∫[a,b]g(x)dx。

由于a≤f(x)≤g(x)且g(x)在[a,b]上的积分一定小于等于f(x)在[a,b]上的积分，因此就能证明不等式的成立。

微积分的妙用——不等式的证明的又一利器

不足．有其他方法吗？笔者通过反复摸索，终发还最
现，只要将微积分的相关知识用来证明不等式，得用恰到好处，会让人产生茅塞顿开的感觉．者在３就笔
个方面进行了…些尝试：一１巧用极限来证明不等式
例２设。０＋６＝１ｑ０求证：，＞，＝，＞，＝
（＋ａ
ｎ
２ｉｚ— ｓｎ一２ｉ１（ｓｎｉｓｎ１
ｚ）一
４吉ｓ｛＜× １３ｓｚ４１一，ｉｉｎｎ）ｚ
即
１２ｉｓｎｚ、３ｓｎ１ｚ— ｉ
类似的试题在高考中已频频出现．类试题多借这
助于导数的正负来判断函数的增减性（引导题中的如
（），１）或极点来解答（如该题中的（）．２）也有将二者兼
容起来的（（）先观察ｆ（）（１一ｉ可如３：ｚ一ｚ一）ｎｚ，发现其在（，０）为减函数，而ｎ３时，＜内从 ≥ ｏ
ｚ（）… ＜寻。，，
ｚ＜１３５
厂（）（－１（＋）（一）＋２（＋一ｑｑ）ｚ一）＋一１ｑ１＋］．
因为０＜＜ｌ，＞０，以此时（＞０，是口所ｚ）于
ｎ３，（吉＞，理ｎ＋）ｉｚ音・￣１ｆ１）０得ｌｎ１ｎ＜）Ｊｚ＋Ｊ同（一，
除此之外，数在证明不等式方面，有２个方导还

泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用

泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用泰勒公式和拉格朗日中值定理是微积分中常用的重要工具，它们在证明不等式中有很多简单应用。

下面将分别介绍泰勒公式和拉格朗日中值定理，并给出一些简单的不等式应用例子。

一、泰勒公式泰勒公式是描述函数在一些点附近的近似表达式。

对于一个函数f(x)，如果它在一些点a处具有n+1阶可导，那么根据泰勒公式，我们可以得到以下的展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中，R_n(x)是拉格朗日余项，并且满足以下形式：R_n(x)=f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!泰勒公式的一个直接应用就是可以用它来证明不等式，我们可以通过展开函数，对比系数，再将恒等式转化为不等式，来获取我们想要的结论。

例如，我们想要证明在[0,1]区间上，e^x>=1+x+x^2/2，可以使用泰勒公式展开e^x，然后对比系数：e^x=1+x+x^2/2!+...+x^n/n!+R_n(x)，(n≥2)对于n=2，展开式为：e^x=1+x+x^2/2+R_2(x)我们知道e^x是递增的函数，所以对于x∈[0,1]，e^x的取值在[1,e]之间。

而对于1+x+x^2/2，将x替换为1，可以得到2.5、所以我们只需要证明对于[0,1]区间内的x，有2.5>=e^x即可。

假设在[0,1]区间内存在一些点c，使得R_2(c)=e^c-(1+c+c^2/2)>0，即e^c>1+c+c^2/2、由于R_2(c)的形式具有e^c的余项特征，我们可以使用拉格朗日中值定理来讨论。

根据拉格朗日中值定理，存在一个点d∈(0,c)，使得R_2(d)=R_2(c)-R_2(0)=e^c-(1+c+c^2/2)-2<=0。

利用中值定理证明不等式

利用中值定理证明不等式中值定理是微积分中的一条重要定理，常被应用于证明不等式。

下面我们通过一个具体的例子来说明如何利用中值定理证明不等式。

假设我们要证明的不等式为：对于任意实数x，有f(x)>g(x)。

首先，我们需要明确中值定理的内容。

中值定理的表述如下：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，那么在(a,b)上至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

在证明不等式时，我们可以设h(x)=f(x)-g(x)，然后证明h'(x)>0。

若对于任意x，有h'(x)>0，则可得到f(x)>g(x)。

具体的证明步骤如下：步骤1：设h(x)=f(x)-g(x)，其中f(x)和g(x)是两个实数函数。

步骤2：在(a,b)上，我们先验证h(x)在[a,b]上连续。

根据函数的连续性定义，我们需要证明当x趋向于a或者b时，h(x)趋向于h(a)或者h(b)。

这一步可以通过利用f(x)和g(x)的连续性以及加减法的性质来完成。

步骤3：在(a,b)上，验证h(x)在(a,b)上可导。

根据函数可导的定义，我们需要证明当x趋向于a或者b时，h(x)的导数存在。

这一步可以通过利用f(x)和g(x)的可导性以及加减法的性质来完成。

步骤4：根据中值定理，存在至少一点c，满足h'(c)=(h(b)-h(a))/(b-a)。

步骤5：根据步骤4，我们可以得到h'(c)=(f(b)-g(b)-f(a)+g(a))/(b-a)=(f(b)-f(a))/(b-a)-(g(b)-g(a))/(b-a)。

根据前提假设f'(c)>0，我们可以得到h'(c)>0。

步骤6：根据步骤5，我们得到在(a,b)上存在至少一点c，使得h'(c)>0。

因此，根据导数的定义，我们可以得到在(a,b)上h(x)严格递增（h'(x)>0）。

微积分在不等式中的应用

微积分在不等式中的应用摘要微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科，内容主要包括：微分、积分及其应用。

微积分是与应用联系着发展起来的，微积分的发展极大的推动了数学的发展。

不等式是数学学科中极为重要的内容，证明不等式的方法多种多样，有些不等式用以前学习的方法来证明比较麻烦，其证明通常不太客易。

本文回顾了几种常用的证明不等式的初等方法，利用微分中值定理、函数的单调性、极值（最值）的判定法、函数凸凹性质、泰勒公式、定积分的性质等一些微积分知识探究了不等式的证明方法，本文探讨了如何巧妙利用微积分中的知识和方法来解决一些不等式的问题。

用微积分证明不等式成立, 基本思路是构造一个辅助函数,把不等式的证明转化为利用微积分来研究函数的形态，然后利用微积分求出该函数的性质来证明不等式。

希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与不等式的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。

关键词：微积分；不等式；证明；应用AbstractThe calculus is study on the function of Higher Mathematics in the differential, integral and relevant concepts and applications of mathematics branch. It is a basic discipline of mathematics, mainly including: differential, integral and its application. Calculus develops with the application, the development of calculus greatly promoted the development of mathematics. Inequality is a very important content in mathematics, the various methods to prove inequality, some methods of inequality by the previous study to prove troublesome, it is usually not too easy.This paper reviews the elementary methods to prove inequality, the use of differential mean value theorem, the monotone of the function, extreme( maximum ) determination method, convex-concave function, the Taylor formula, the definite integral, some knowledge of calculus method to prove inequality, this paper discusses how to skillfully use the knowledge and method of the calculus to solve some of the problems of inequality. Using calculus to prove inequality, the basic idea is to construct an auxiliary function, the proof of inequality into to study function using calculus form, then use the calculus calculate the properties of the function to prove inequality. Hope that through this paper can make people aware of the close relationship between calculus and inequality, Let us be aware of the importance of integrating theory with practice.Keywords: calculus; inequality; prove; application目录摘要 (I)Abstract (II)1绪论 (4)1.1学术背景 (4)1.2微积分的实践意义 (4)1.3国内外研究现状 (5)1.4课题研究的主要内容 (5)2微积分 (6)2.1微积分定义 (6)2.2微积分的发展史 (7)2.3本章小结 (8)3微积分在不等式中的应用 (9)3.1利用微分中值定理证明不等式 (9)3.1.1微分中值定理（拉格朗日中值定理） (9)3.1.2微分中值定理在不等式中的应用 (9)3.2利用函数的单调性证明不等式 (10)3.2.1函数的单调性 (10)3.2.2函数单调性在不等式中的应用 (10)3.3利用函数的极值(最值)证明不等式 (11)3.3.1函数的极值定理 (11)3.3.2函数极值在不等式中的应用 (12)3.4利用函数的凹凸性质证明不等式 (13)3.4.1函数的凹凸性质 (13)3.4.2函数的凹凸性质在不等式中的应用 (13)3.5利用泰勒公式证明不等式 (15)3.5.1泰勒公式 (15)3.5.2泰勒公式在不等式中的应用 (15)3.6利用定积分的性质证明不等式 (16)3.6.1定积分的性质 (16)3.6.2定积分在不等式中的应用 (16)3.7本章小结 (17)4结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)1 绪论1.1 学术背景微积分的产生是数学上的伟大创造，它是从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。

微积分在不等式中的应用

不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系。论证不等式的方法很多，本文着重介绍用微积分知识来证明不等式的几种常用方法。
１利用微分中值定理、
上
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２￡
ｌ２一ｎ１２ｎｌ（＋ｘ）
ｌａｔｘｌ１ｘ）￣ｒａ —ｎ＋）孚一ｎ而当ｘ１ｌｅｎ（ｌ２，＝时，
ａｅａｌｎ１）ｒｔ —Ｉ（＋１＝卫一ｎｎｌ２
４
连续，（，＋Ｘ）在ｘ１２内可导，所以根据拉格朗日定理知存在 ∈ ｅ（ｘ１ｘ）使得，＋２，
维普资讯
２００２年３月
宁波职业技术学院学报
Ｊ０ＵＲＮＡＬ０ＦＮＩＮＧＢ０Ｐ０ＨＮ陀
Ｍａ．２２ｒ．０Ｏ
第２卷第１期
微积分在不等式中的应用
蒋志刚
（浙江纺＿职业技术学院簪：浙江宁波３５０）１００
有
自（）（）１、２
１ ≤ｘ＋（一）≤ １Ｐ１ｘ
证设ｆ）＋（一）则ｆ（）（＝ｘ１ｘ， ’ ｘ＝ｐＰ１）一（）［ｐ１）一】ｘ一（一ｘ一１＝ｐｘ一一（一ｘ，
式得，’ ｆ（缸）一ｔ毛）羽，缸一ｆ（且＞０于是有ｆ，ｒ
例２证明不等式：
内存在二阶导数，且ｆ）（）ｏｆｃ）Ｏａ（＝ｆ＝，（】（ａｂ＜ｃ曲）则在（，），ａｂ内至少存在一点 ∈使得，

微积分在不等式证明中的运用

1引言微积分学是微分学和积分学的总称.它是一种数学思想，无限细分就是微分，无限求和就是积分.微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，可以根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式. 文献[7],[10],[17] [20]介绍微积分在不等式证明中的应用，得到一些一般结论.不等式的证明在数学学习中既是一个重点也是一个难点，方法也很多，在此提出了求证不等式的几种方法，其在实际应用中具有较高的价值. 1.1 微积分的定义 1.1.1微分的定义定义1 设函数()y f x =定义在0x 的某领域0()x 内．当给0x 一个增量x ∆，0x x +∆∈0()U x 时，相应地得到函数的增量为00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果存在常数A ，使得y ∆能表示成0()y A x x ο∆=∆+，（1）则称函数f 在点0x 可微，并称（1）式中的第一项A x ∆为f 在点0x 的微分，记作0x x A x ==∆dy ｜或0x x A x ==∆df(x)｜．（2）由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于x ∆的高阶无穷小量，由于dy 是x ∆的线性函数，所以当0A ≠时，也说微分dy 是增量y ∆的线性主部．容易看出，函数f 在点0x 可导和可微是等价的． 1.1.2 积分的定义定义2 设f 是定义在[],a b 上的一个函数，J 是一个确定的实数．若对任何给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[],a b 的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称函数f 在区间[],a b 上可积或黎曼可积；数J 称为f 在[],a b 上的定积分或黎曼积分，记作()ba J f x dx =⎰.其中，f 称为被积函数，x 称为积分变量，[],a b 称为积分区间，a 、b 分别称为这个定积分的下限和上限． 2 微积分在不等式证明中的应用 2.1微分在不等式证明中的应用 2.1.1用导数的定义例1 设12()sin sin 2f x a x a x =++…+sin ,n a nx 已知()sin ,f x x ≤证明122... 1.n a a na ++≤证明：方法1：因为(0)0,f = 由已知()(0)sin (0)0f x f xx x x -≤≠-,'0()(0)lim1(0)10x f x f f x →-∴≤⇒≤-,即122... 1.n a a na ++≤导数的定义是微积分的基础，此题还可运用两个重要极限及变形进行证明.方法2：由()sin ,f x x ≤得()sin (0),f x xx x x≤≠即12sin sin 2sin sin ...n x x nx xa a a x x x x+++≤ .两端同时取x →0 时的极限得 lim x →∞12sin sin 2sin ...n x x nxa a a x x x+++≤lim x →∞sin x x .由重要极限及其变形知:0sin limx kxk x→=. ∴122... 1.n a a na ++≤证毕.2.1.2利用微分中值定理定理1（罗尔定理）：设函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间（a,b ）内可导；（3）f(a)=f(b)；则在（a,b ）内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=0.定理2（拉格朗日中值定理）：设函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间（a,b ）内可导；则在（a,b ）内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=0 .定理3（柯西中值定理）：设函数f(x)，g(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间（a,b ）内均可导且g'(x)≠0；则在（a,b ）内至少存在一个点ξ，使得a b a f b f --)()(=)('ξf 或)()()()()()(''ξξg f a g b g a f b f =--. 例2 已知b>a>0, 证明b a b -<a b ln <aab -. 证明：设f(x)=lnx, 它在[]b a ,（a >0）上连续且可导,,1)('xx f =又),,(b a ∈ξ根据微分中值定理的条件, 有ξ1ln ln =--a b a b ,而b 1<ξ1<a 1,因此b 1<ab a b --ln ln <a 1,即b a b -<a b ln <aab -. 例3 设- 11,≤≤y x ,证明｜arcsin arcsin x y -｜≥｜x-y ｜. 证明：设f(z)= arcsin z ，它在[ - 1 ,1 ]上连续且可导,2'11)(zz f -=,又ξ∈( - 1 ,1) ,根据微分中值定理的条件,有arcsin arcsin x yx y --,而1≥,因此｜arcsin arcsin x y -｜≥｜x-y ｜.如果要证明的不等式或将要证明的不等式简单变形后,与微分中值公式的结构有相似性,就可以利用微分中值定理来证明,采用这种方法要注意的是构造一个辅助函数,然后利用公式证明. 2.1.3利用函数的单调性函数不等式是判断函数之间的大小关系.基于这种思想，可以利用函数单调性证明不等式.基本思想:将不等式两边的函数移到同一端，并作辅助函数;利用函数一阶导数的符号判断函数在所给区间的单调性;根据函数的单调性，得到所求不等式.定理4：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导（1）若在（a,b ）内，f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加；（2）若在（a,b ）内，f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少. 由定理1 我们总结出运用单调性证明不等式的一般方法与步骤：（1）移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作的辅助函数f(x)；（2）求出f'(x)，并判断f(x)在指定区间的增减性；（3）求出区间端点的函数值，作出比较即得所证.根据导数判断函数单调性的特点,直接构造一个函数,使得被证明的不等式中含有这个函数的两个端点值,然后利用单调性即可证明.例4 证明不等式1+x 21>x +1,x>0.证明：构造函数f(x)= 1+x21-x +1 (x>0), 则'1()2f x =.当x > 0 时,有11-+x >0，从而xx x f +-+=1211)('>0，,所以函数在(0 , + ∞)内单调增加,即当x > 0时,有f ( x) > f (0) ,而f (0) = 0 ,所以1+x 21-x +1(x>0), 即1+x 21>x +1,（x>0）.例5 当x > 0 时,证明不等式xx+1<ln(1+x) <x.证明： (1) 令函数f(x)=ln(1+x)- x x+1,因为当x > 0 时,'()f x =x +11-2)1(1x +=2)1(x x +>0, 且f (0) = 0 ,所以函数在(0 , + ∞) 内单调增加,因此)1ln(x +-x x +1>0, 即1n (1 + x) >xx +1;(2) 设g ( x) = 1n (1 + x) - x ,类似可证明g ( x) 在区间(0 , + ∞) 内从0 开始单调减少,因此当x > 0时,有g ( x) < 0 ,即1n (1 + x) < x. 综上所述,可知xx+1 <)1ln(x +<x )0(>x . 运用函数的单调性证明不等式,关键在于构造适当的辅助函数,并研究它在指定区间内的单调性. 若在(a ，b)上总有f '(x) > 0，则f( x) 在( a ，b) 单调增加;若在( a ，b)上总有f '(x) < 0，则f(x) 在(a ，b) 单调减少.构造恰当的辅助函数，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对( a ，b)进行分割，分别在小区间上讨论. 2.1.4利用函数的极值与最值定理5 （极值的第一充分条件）设f 在点0x 连续，在某领域0U 0(;)x δ内可导．(1)若当00(,)x x x δ∈-时'0()0f x ≤，当00(,)x x x δ∈+时'0()0f x ≥，则f 在点0x 取得极小值．(2)若当00(,)x x x δ∈-时'0()0f x ≥，当00(,)x x x δ∈+时'0()0f x ≤，则f 在点0x 取得极大值．定理6（极值的第二充分条件）设f 在点0x 的某领域U 0(;)x δ内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且'0()0f x =，0''()0f x ≠． (1)若0''()0f x <，则f 在0x 取得极大值． (2)若0''()0f x >，则f 在0x 取得极小值．例6 设,10≤≤x ,p >1,证明不等式121-p ≤p x +p x )1(-≤1.证明：令f ( x) =p x +p x )1(-,则)('x f =p 1-p x +p 1)1(--p x (-1)=p []11)1(----p p x x , =)(''x f p(p-1)2-p x +p(p-1)2)1(--p x .令)('x f =0, 得x =21,则)21(''f =p(p-1)]22)21()21(--+⎢⎣⎡p p >0,)1(>p ; 所以f(x)在x=21处取得极小值. 因为,1)0()1(==f f =)21(f 121-p ,所以)(x f 在[]1,0上最大值为1 ,最小值为121-p . 因此121-p ≤p x +p x )1(-≤1.例7 求证:当0x ≥ 时, 1(1)10n n nx n x ----≤ (1,)n n N >∈. 证明：令()f x =1(1)1n n nx n x ----,则 '212()(1)(1)(1)(1).n n n f x n n x n n x n n x x ---=---=--令 '()0f x = 得驻点： 1(0x x ==因为是端点，所以不是驻点）. 且当1x <时，'()0,f x >当1x >时，'()0,f x <(1)0f =是极大值也是最大值，所以()(1)0f x f ≤=，即当0x ≥时, 1(1)10n n nx n x ----≤.当我们构造好函数)(x f 后,如果无法得到0)('>x f (或)0)('<x f .即当函数不具有单调性时,可以考虑用极值与最值的方法进行证明，也是一种行之有效的方法. 若函数在某闭区间上连续，根据最值定理，函数必在该区间上取得最大值和最小值.令f( x) 在区间［b ，a ］上连续，则f( x) 在区间［b ，a ］存在最大值M 和最小值m ，那么: m ≤f(x)≤M. 2.1.5 利用函数的凹凸性定义3 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点1x ，2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-， (1)则称为上的凸函数．反之，如果总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-， (2)则称f 为I 上的凹函数．如果(1)、(2)中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数．定理7 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上为凸（凹）函数的充要条件是''()0(''()0),f x f x x I ≥≤∈．定理8 若f 为[],a b 上凸函数，则对任意[]1,,0(1,2,,),ni i i i x a b i n λλ=∈>=⋅⋅⋅∑=1,有11()()nni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑．例8 设0,1,2,3...i x i n >=.12...nx x x n+++≤,其中的等号成立当且仅当所有的i x 全相等.证明：当所有的i x 全相等时等号显然成立,因此只需证明当i x 不全相等时上式是严格不等式. 考虑函数,ln )(x x f =x x f 1)('=>0,)(''x f =-21x<0x (>)0. 因此函数在),0(∞上是严格单调增加且是严格凸函数, 根据严格凸函数的定义,可知: 12...ln nx x x n+++ >11212ln ln ...ln ln(...)n n n x x x x x x n +++=⋅⋅⋅,又根据严格递12...nx x x n+++≤.例9 证明不等式)ln ln (y y y x +>2ln)(yx y x ++x (>y ,0>y x ≠,0). 证明：构造函数x x x f ln )(=,),0(+∞∈x ,则=)('x f 1ln +x ,=)(''x f x1>0,),0(+∞∈x .因此,函数在),0(+∞∈x .上是凹函数,由凹函数的定义有: 12()2x x f +<12()()2f x f x +即2ln 2y x y x ++<2ln ln y y x x +,所以)ln ln (y y y x +>2ln )(yx y x ++. 利用函数的凹凸性来证明不等式就是根据函数凹凸性定义中的不等式关系,即12()2x x f +<12()()2f x f x +或12()2x x f +>12()()2f x f x +,构造一个凸函数或凹函数来证明.2.1.6利用泰勒公式定理9 （泰勒定理）若函数f 在[],a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(),a b 内存在()1n +阶导函数，则对任意给定的[]0,,x x a b ∈，至少存在一点ξ，使得'200000''()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()(1)1000()()()()!(1)!n n nn f x f x x x x n n ξ++⋅⋅⋅+-+-+．例10 如果f(x)在[],a b 上二阶可导，''()()f a f b ==0，则存在(,)c a b ∈使得''24()()().()f c f b f a b a ≥-- 证明：'''21()()()()()(),222!2f a b a b a b f f a f a a a ξ+++=+-+-(a<1ξ<2a b +). '''22()()()()()(),222!2f a b a b a b f f b f b b b ξ+++=+-+-(2a b +<2ξ<b ).所以''''212()()()()(),42f f b a f b f a ξξ---=, 取c 满足''''''12()max{(),()}f c f f ξξ=,2''()()()()4b a f b f a fc --≤, 即''24()()()()f c f b f a b a ≥--.在高等数学中的证明,尤其是题设中含有高阶导数二阶和二阶以上的大小或上下界的函数不等式,Taylor 公式是一个强有力的工具,而应用这一工具证明这类不等式的关键所在,就是正确地写出比题设条件低一阶的函数Taylor 的展开式,恰当选择Taylor 公式两边的x 与0x ,由给出的高阶导数的大小或上下界对展开式进行放大或缩小.泰勒展开式的证明常用的是将函数()f x 在所给区间端点或一些特定点（如区间的中点、零点) 进行展开,通过分析余项在ξ点的性质,而得出不等式,另外若余项在所给区间上不变号,也可将余项舍去而得到不等式.2.2积分在不等式证明中的应用 2.2.1 利用积分的定义主要思想：设()f x 在[],a b 上是严格增，0a x =<1x <…<n x 1,,n n b x x l +=-=则[]01()...()n l f x f x -++< ()ba f x dx ⎰<[]1()...();n l f x f x ++ (1)11()n f x dx -⎰<[]11()...()n l f x f x -++<()baf x dx ⎰, （2）适当选取()f x l 及可得各种不等式与估值例11 证明11p n p ++<12...p p pn +++<1(1),1p n p p +++>0.证明：对增函数()p f x x = (0x ≤< 2∞应用（）)：101p p p n x dx p +=+⎰<(1)...()f f n ++<110(1)1p p pn x dx p +++=+⎰. 此题还可将微分中值定理用到(1)p p k k +-来证. 2.2.2利用积分的性质性质1 若f 在[],a b 上可积，κ为常数，则f κ在[],a b 上也可积，且 ()()bbaaf x dx f x dx κκ=⎰⎰,性质2 若f 、g 都在[],a b 上可积，则f g ±在[],a b 上也可积，且 . []()()()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.性质3 若f 、g 都在[],a b 上可积，则f g 在[],a b 上也可积．性质4 f 在[],a b 上可积的充要条件是：任给(,),c a b f ∈在[],a b 与[],c b 上都可积．此时又有等式()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.性质5 设f 为[],a b 上的可积函数．若[]()0,,f x x a b ≥∈，则()0baf x dx ≥⎰.推论（积分不等式性）若f 与g 为[],a b 上的两个可积函数，且()(),f x g x ≤[],x a b ∈，则有()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰.性质6 若f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上也可积，且()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰.例12 已知)(x s =0cos x t ⎰dt, ,当n 为正整数,且ππ)1(+≤≤n x n 时,证明2n≤s(x) <)1(2+n .证明: | cos x| ≥0 且n π≤x < ( n + 1)π, ∴(1)0cos ()<cos ;n n x dx s x x dx ππ+≤⎰⎰又∵cos x 是以π为周期的函数,在每个周期上积分值相等, ∴(1)0cos cos 2;cos 2(1).n n x dx n x dx n x dx n πππ+===+⎰⎰⎰因此,当n π≤x < ( n + 1)π时,有2 n ≤s ( x ) < 2 ( n + 1) .例13 设f ( x) 在(0 ,1) 上有连续导数,且f (0) = f (1) = 0 ,证明：2112'1()().4f x dx f x dx ⎡⎤≤⎣⎦⎰⎰. 证明: 由于(0)0,f =则'0()(),xf x f x dx =⎰于是212'2220000()()1()(1)(),xx x f x f x dx dx f x dx x f x dx ⎡⎤=≤⋅≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰从而11111122222210021()()(1)()()().4f x dx xdx f x dx x dx f x dx f x dx f x dx ≤⋅+-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例14证明不等式22ππ<<⎰ 证明：因为1≤≤=0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，且不恒等于1，所以由积分不等式2200dxππ<<⎰⎰,即22ππ<<⎰例15 设()f x在[],a b上连续，且()f x不恒等于零，证明2(())0baf x dx>⎰．证明：由()f x不恒等于零知，存在x∈[],a b，使0()0f x≠，故2()0f x>．由2()f x连续及连续函数的局部保号性，存在x的某领域00(,)x xδδ-+（当x a=或x b=时，则为右领域或左领域），使得在其中[][]220()()02f xf x≥>．由性质4和性质5，得[][][][]00002222()()()()b x x ba a x xf x dx f x dx f x dx f x dxδδδδ-+-+=++⎰⎰⎰⎰[][]22()0()02xxf xdx f xδδδ++≥+=>⎰．2.2.3利用积分中值定理定理10 （积分第一中值定理）若f在[],a b上连续，则至少存在一点ξ∈[],a b，使得()()()baf x dx f b aξ=-⎰．定理11 （积分第二中值定理）设函数f在[],a b上可积．(1)若函数g在[],a b上减，且()0g x≥，则存在[],a bξ∈，使得()()()();ba af xg x dx g a f x dxξ=⎰⎰；(2)若函数g在[],a b上增，且()0g x≥，则存在[],a bη∈，使得()()()();b baf xg x dx g b f x dxη=⎰⎰．定理12 （推广的积分第一中值定理）若f与g都在[],a b上连续，且()g x在[],a b上不变号，则至少存在一点[],a bξ∈，使得()()()();bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰例16 设122()sin ,()xxf x t dt f x x+=≤⎰试证（x >0).证明: 令2,u t =则12()sin xxf x t dt +=⎰=22(1)x x+⎰. 被积函数满足第二积分中值定理的条件：()f u =单调, ()sing u u =可积，于是22(1)()sin sin x x f x udu udu ξξ+=⎰,2(1)11()sin sin 22(1)x xf x udu udu xx ξξ+≤++⎰⎰1121x x x≤+≤+ ,（x >0) 证毕． 2.2.4利用积分上限函数定义4 设()f x 在[],a b 上可积，对任何[],x a b ∈，()f x 在[],a x 上也可积．于是，由 ()(),xa x f t dt Φ=⎰ [],x ab ∈定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分．当命题中出现条件()f x 在[],a b 上连续时，可构造积分上限函数，将数值不等式或积分不等式转化为积分上限函数不等式，然后利用函数单调性或定积分性质或泰勒公式解题．例17 设函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，'()f x 单调减少．证明[]1()()()()2b a f x dx b a f a f b >-+⎰．证明：令[]1()()()()()2x a F x f x dx x a f a f x =--+⎰，[],x a b ∈，则由已知条件，得[]11'()()()()()'()22F x f x f a f x x a f x =-+--= []11()()()'()22f x f a x a f x ---= 11()'()()()'()22x a f x a x a f x ξ----= []1()'()'()2x a f f x ξ--，其中 (,)a x ξ∈；又'()f x 单调减少，所以'()'()f f x ξ>，故[]1'()()'()'()02F x x a f f x ξ=-->，从而[]1()()()()()2xa F x f x dx x a f a f x =--+⎰在[],ab 上单调增加，又()0,F a =，故()()0F b F a >=，即[]1()()()()2b a f x dx b a f a f b >-+⎰．2.2.5 转化为重积分, 再用积分方法进行估计例18 设()(),f x a b 在连续，且f(x)>0，试证21()()()bba af x dx dx b a f x ⋅≥-⎰⎰. 证明: 左端=1()()()()b bb b aaa a f y f y dy dx dxdy f x f x =⎰⎰⎰⎰交换积分次序，左端=()()()()bbb b aaa a dyf x f x dx dxdy f y f y =⎰⎰⎰⎰ 因此，左端=221()()()()2()()2()()b b b b a a a a f y f x f y f x dxdy dxdy f x f y f x f y ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰2().b b a a dxdy a b ≥=-⎰⎰证毕. 2.2.6 利用Cauchy-Schwarz 不等式定理13 对于闭区间[],a b 上的可积函数(),f x g(x)，有如下不等式：222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.这就是著名的Cauchy-Schwarz 不等式，它在数学分析、高等代数等学科以及许多初等数学的问题中都经常用到．因此，学会并灵活掌握这个定理的证明方法和思想是非常重要的，下面介绍它的证法及在不等式中的运用.证明：由微积分学基本定理知：()ta f x dx ⎰是()f t 在[],ab ]上的一个原函数，不妨设222()()()()(),tttaa a F t f x dx g x dx f x g x dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ [],t a b ∈则有'2222()()()()()2()()()()ttbaaaF t f t g x dx g t f x dx f t g t f x g x dx =+-⎰⎰⎰=[]2()()()()0taf tg x g t f x dx -≥⎰.因为[],,t a b ∈所以t a ≥, 又[]2()()()()0f t g x g t f x -≥,所以'()0,F t ≥从而()F t 是[],a b 上的增函数. 故()().F b F a ≥而()0,F a =所以()0,F b ≥ 即222()()()()()0,bbba aa Fb f x dx g x dx f x g x ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故. 222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2.2.6.1Cauchy-Schwarz 不等式的运用定理14 设111,1,1p qp q >>+=，如果()f x 为[],a b 上的p 次可积函数，()g x 为[],a b 上的q 次可积函数，那么()()f x g x 在[],a b 上可积，且有11()()()()pqbbbpaa a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰.为证上述定理，先证如下引理：引理对任意非负实数A ，B ，都有11q P A B A p B q ≤+成立，其中1,1,p q >>11 1.p q +=证明：设()(0)y x x φ=≥是严格增加的连续函数，且(0)0,()(0)x y y φϕ==≥是φ的逆函数①()a b φ= , ②()a b φ>, ③()a b φ<.不论()a φ与b 的关系如何，都成立着不等式()()abx dx y dy ab φϕ+≥⎰⎰.其中当且仅当()b a φ=时等号成立．在上式中取1111(),(),,,q Pp q x xy y a A b B φϕ--====就得到11p q A B A p B q ≤+. 从而引理得证.下证定理．当11(),()pqbbpqa a f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰，之中有一个是零时，不等式显然成立．不妨设1()0pbpa f x dx ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦⎰，1()0qbqa g x dx ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦⎰.作辅助函数1()(),()pbpa f x x f x dx φ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰1()()()qbqa g x x g x dx ϕ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰.令 (),()p qA xB x φϕ==, 由引理得()()()()pqx x x x pqφϕφϕ=+, （1）因为(),()pqx x φϕ为[],a b 上的可积函数，由上述不等式知()()x x φϕ为[],a b 上的可积函数，因此()()f x g x 为[],a b 上的可积函数，且对(1)式两端积分得 ()()()()pqbbba aax x x x dx dx dx pqφϕφϕ≤+⎰⎰⎰=()()111()()b b pqaabbpqaaf x dxg x dx p qp f x dxq g x dx+=+=⎰⎰⎰⎰. （2）而11()()()()()()pqbbaabbpqa a f x g x dxx x x f x dx g x dx φϕ=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰,将它代入(2)式即得 11()()()()pq b b b p q aa a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰. 即为所要证的不等式．证毕．例19 利用施瓦茨不等式证明：若f 在[],a b 上可积，且()0f x m ≥>，则 21()()()bbaaf x dx dx b a f x ⋅≥-⎰⎰；证明：由()f x 可积，且()0f x m ≥>知，1()f x1()f x ，可积，于是根据Schwarz 不等式，有 1()()bb a af x dx dx f x ⋅⎰⎰222()()()b a adx b a ≥==-⎰⎰.致谢在完成论文的过程中,得到了x xx老师的精心指导和大力帮助,在此，衷心感谢x老师的悉心指导！参考文献【l】李大华, 胡适耕, 林益.高等数学典型问题100类[M].华中理工大学出版社1987.【2】钱吉林.数学分析解题精粹[M].崇文书局，2009.【3】裘卓明、葛钟美、于秀源.研究生人学考试指导. 数学分析[M].山东科学技术出版社,1985.【4】陈纪修，於崇华，金路.数学分析[M].高等教育出版社，2004.【5】华东师范数学系.数学分析[M].高等教育出版社，2001.【6】同济大学应用数学系，高等数学( 上册) [M] .高等教育出版社,2000. 【7】刘玉琏，傅沛仁. 数学分析讲义[M].人民教育出版社，1981.【8】吉米多维奇.数学分析习题集题解[M].山东科学技术出版社，2003.【9】菲赫金哥尔茨. 微积分学教程( 第一卷) ( 第8 版) [M].高等教育出版社,2001.【10】罗幼芝.微积分在不等式中的应用［J］.泰山学院学报，2004，第6期：20～21.【11】同济大学数学教研室.高等数学：上册［M］.上海人民教育出版社，1979. 【12】裴礼文.数学分析中的典型问题与方法［M］.高等教育出版社，1993. 【13】寇业富. 不等式的证明[J ] . 数学的实践与认识,2003，第6期：112～116. 【14】萧树铁. 大学数学[M] . 高等教育出版社,2003.【15】徐荣贵,叶红. 微积分的基本思想[J ]. 四川工程职业技术学院学报, 2008，第4～5期，54～55.【16】李以渝. 高等数学(新编本) [M ]. 北京邮电大学出版社, 2006.【17】李光英. 用辅助函数证明不等式[J ] . 安庆师范学院学报(自然科学版) ,1999，第5期：63～64.【18】高汝熹.高等数学一微积分[M ].高等教育出版社,1992.【19】复旦大学数学系. 数学分析(第二版) [M ]. 北京:高等教育出版社, 1983.【20】韩宝燕.应用微积分理论证明不等式[J].中国新科技新产品，2009，第08期：203.【21】L.A.zadeh.“Fuzzy sets,”Information and control,vol.3,no.8, 1965.【22】Lin,T.Y.,Neighborhood systems and approximation in relational databases and knowledge bases,proceedings of the 4th Internationnal symposium on Methodologies of Intelligent systems 1988.。

高考数学中的微积分不等式技巧

高考数学中的微积分不等式技巧高中数学中，微积分是一个非常重要的分支，它涵盖了一些重要的知识点，如函数、极限、导数和积分等。

而微积分的应用则更为广泛，它可以用于数学、物理学和工程学等领域。

在高考数学中，微积分也是必考的内容，而微积分不等式技巧则是高考数学中的一个重要考点。

一、微积分不等式的概念微积分不等式是一种用来描述函数值之间关系的数学工具。

微积分不等式的关键就在于，它可以通过对两个函数的导数进行比较，来确定它们之间的大小关系。

在微积分不等式中，通常会用到一些重要的概念，如局部极小值、局部极大值、单调性和凸性等。

二、微积分不等式技巧的基本思路微积分不等式技巧的基本思路是通过导数的大小关系来确定函数值之间的大小关系。

具体来说，我们需要找到两个具有类似形式的函数，然后对它们的导数进行比较，从而确定它们之间的大小关系。

在这个过程中，需要注意的是，由于函数的值与导数之间的关系并不总是直接相关的，所以需要利用一些数学技巧来解决问题。

例如，如果我们要比较两个函数f(x)和g(x)，可以先计算它们的导数f'(x)和g'(x)，然后比较它们的大小。

如果f'(x)<g'(x)，那么在x点处，函数g(x)的变化比f(x)更快，所以g(x)在x点处的值更大。

同样的，如果f'(x)>g'(x)，那么在x点处，函数f(x)的变化比g(x)更快，所以f(x)在x点处的值更大。

通过这种方式，我们可以比较不同函数之间的大小关系，并对它们进行分类。

三、微积分不等式技巧的具体应用微积分不等式技巧在高考数学和实际应用中都有着广泛的应用。

在高考数学中，微积分不等式通常会出现在函数、极值和积分等知识点中。

以下是一些常见的例题：例题1：已知函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减，并且f(0)=1，f(1/2)=0，证明：f(x)>0。

解析：由题目条件可知，f(x)在[-1,1]上单调递减，即f'(x)<0。

不等式最值问题的常用解法

不等式最值问题的常用解法1. 引言不等式最值问题是数学中的一个重要概念，它涉及到不等式的性质和最值的求解。

在数学建模、优化问题以及实际生活中的许多情境中，我们经常需要找到不等式中变量的取值范围以及使得不等式达到最大或最小值的解。

本文将介绍不等式最值问题的常用解法，包括代数法、图像法和微积分方法。

2. 代数法代数法是求解不等式最值问题中常用且简便的方法之一。

它通过对不等式进行变形和化简，得到一个较为简单易解的形式，并从中找出取得最值的条件。

2.1 简单例子考虑以下不等式：x2−4x+3>0。

我们可以使用代数法来求解该不等式。

首先，将该不等式化简为(x−1)(x−3)>0。

然后，我们可以画出函数f(x)= (x−1)(x−3)的图像来帮助分析它的取值范围。

从图中可以看出，当x<1或x>3时，函数f(x)的取值大于零。

因此，不等式(x−1)(x−3)>0的解集为x∈(−∞,1)∪(3,+∞)。

2.2 一般步骤代数法可以用于解决更复杂的不等式最值问题。

下面是一般的求解步骤：1.将不等式化简为一个多项式等于零的形式。

2.分析多项式的根（零点）和函数在这些根附近的符号变化情况。

3.根据符号变化情况，确定函数在不同区间上的取值范围。

4.根据题目要求找到使得不等式达到最大或最小值的解。

3. 图像法图像法是另一种常用的求解不等式最值问题的方法。

它通过绘制函数图像来帮助我们直观地理解和分析不等式中变量的取值范围以及函数取得最值的条件。

3.1 简单例子考虑以下不等式：1x>x。

我们可以使用图像法来求解该不等式。

首先，将该不等式转化为1x −x>0。

然后，我们可以绘制函数f(x)=1x−x的图像。

从图中可以看出，当x<−1或x>0时，函数f(x)的取值大于零。

因此，不−x>0的解集为x∈(−∞,−1)∪(0,+∞)。

等式1x3.2 注意事项在使用图像法时，需要注意以下几点：•绘制函数图像时，要考虑定义域和值域的限制。

微积分中的海森堡不等式

微积分中的海森堡不等式一、微积分中的海森堡不等式微积分是现代数学的重要分支，它广泛应用于物理、工程、经济等领域。

微积分中的海森堡不等式是一条重要的不确定性原理。

它指出，在任何量子态下，粒子的位置和动量无法同时被精确测量，即存在不确定性。

这个原理对于粒子在微观世界中的运动和性质有着重要的意义。

二、不确定性原理的背景20世纪早期，量子力学的诞生为物理学家们带来了极大的惊喜和挑战。

量子力学与经典力学不同，强调量子态和量子力学中的测量和不确定性。

在经典力学中，我们可以通过精确的测量来得到物体的位置和速度，进而预测它的运动轨迹。

但在量子力学中，粒子的运动和性质需要用波函数来描述，并且存在测量不确定性。

为了证明不确定性原理，德国物理学家海森堡进行了严密的推导和思考。

他认为，任何量子态下，实验者无法同时精确测量粒子的位置和速度，这是一种不可避免的测量误差。

他将这个观点提出来并用严密的理论进行证明，最终得出了著名的海森堡不等式。

三、海森堡不等式的表述海森堡不等式是指，对于任意量子态，粒子的位置和速度的不确定性满足以下关系：$$ \Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} $$其中，$\Delta x$表示粒子位置的不确定度，$\Delta p$表示粒子动量的不确定度，$\hbar$为普朗克常数，其数值为$6.63\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$。

海森堡不等式表明，无论我们用什么精确度来测量粒子的位置和速度，它们的乘积都不可能小于$\hbar/2$。

如果我们提高了对粒子位置的测量精度，那么对粒子速度的测量精度就会降低，反之亦然。

也就是说，对于粒子的位置和速度，我们无法同时精确地测量它们的值。

四、不确定性原理的意义海森堡不等式所预示的不确定性原理，不仅仅是一个数学定理，也是量子力学中最为重要的原则之一。

它揭示了微观世界的本质规律和运动特性。

积分的不等式

积分的不等式积分是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

在微积分中，我们经常遇到积分的不等式问题。

本文将围绕积分的不等式展开讨论，探索其性质和应用。

我们来回顾一下积分的定义。

积分是微积分中的重要概念，它是求解曲线下面的面积或者曲线长度的工具。

在求解积分时，我们常常需要面对不等式的形式，例如求解积分$\int_{a}^{b} f(x)dx$，其中$f(x)$是一个函数，$a$和$b$是积分区间，我们常常需要根据不等式来确定积分的上下界。

对于一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的积分，我们可以利用不等式来进行估计。

例如，如果我们知道函数$f(x)$在区间$[a,b]$上是单调递增的，那么我们可以使用矩形法或梯形法来估计积分的值。

通过将区间$[a,b]$划分成若干个小区间，然后在每个小区间上构造矩形或梯形，最后将它们的面积相加，我们可以得到积分的一个上界和下界。

这样的估计方法在实际问题中非常常见，例如在金融领域中，我们可以利用这种方法来估计某个投资产品的收益率。

对于一些特殊的函数，我们还可以利用不等式来推导积分的性质。

例如，当函数$f(x)$是一个凸函数时，我们可以通过利用凸函数的性质来推导积分的不等式。

具体而言，我们可以利用凸函数的定义，即对于任意的$x_1$和$x_2$，以及任意的$t\in[0, 1]$，都有$f(tx_1+(1-t)x_2) \leq tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$，来推导积分的不等式。

这样的不等式在优化问题中有广泛的应用，例如在求解最优化问题时，我们常常需要通过凸函数的不等式来推导出最优解的性质。

除了上述的应用之外，积分的不等式还可以用于证明数学定理。

例如，在实数域上，我们可以利用积分的不等式来证明柯西-施瓦茨不等式。

具体而言，我们可以通过构造适当的函数，利用积分的性质来推导出柯西-施瓦茨不等式的一个特殊形式。

这样的证明方法在数学分析中非常常见，它不仅可以帮助我们理解柯西-施瓦茨不等式的几何意义，还可以拓展我们对积分不等式的认识。

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第23卷第2期　2003年5月
承德民族师专学报
Jo urnal o f Chengde Teacher s ′College for Natio nalities Vo l .23No .2
M ay.2003　
收稿日期:2002-11-07
作者简介:包建廷(1966-),男,蒙古族,辽宁省北票市人,承德民族师专数学系讲师。

微积分在不等式中的应用
包建廷
(河北大学　数学系,河北　保定　071000)
摘要:不等式是中学数学的重点内容之一。

不等式的许多证法中,往往需要有较高的技巧。

利用微积分的思想
证明不等式,使不等式的证明过程大大简化,技巧性降低。

同时体现了高等数学对初等数学的指导作用。

关键词:微积分;不等式;应用
中图分类号:O 175.5 文献标识码:A 文章编号:1005-1554(2003)02-0004-02
在高等数学的学习中,如何把高等数学的知识应用于中学数学,用高等数学的思想理解中学数学,对师范专业的学生有特殊的意义。

不等式的教学地位主要体现在解各类方程、有关函数的问题、三角证明、几何证明等许多方面都有广泛的应用。

初等证法中,有时需要较高的技巧,注意恒等变形的条件。

利用微积分的思想可以使不等式的证明思路变得简单,技巧性降低。

常见的证法有利用微分中值定理,函数的单调性,极值的判定法,定积分的性质,级数等。

一、利用微分中值定理证明不等式
微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。

如:f (b)-f(a)=f ′( )(b-a)a < <b 利用在(a ,b)内的特点证明不等式。

例1　证明:当0<a<b 时b-a b <ln b a <b-a
a
证明:设y =lnx ,它在区间[a,b]满足拉格朗日中值定理的条件,有
lnb-lna b-a =1 ,　0<a < <b lnb -lna =b-a 由于1b <1 <1a 故b-a b <b-a <b-a a 即b-a b <ln b a <b-a a 。

二、利用函数的增减性证明不等式
函数f(x )在区间(a ,b)可微,则f (x )在(a,b)严格递增(递减)充要条件:f ′(x )>0(或f ′(x )<0)
例2　若:x ∈
(0 2)则:(1)　1>sinx x >
2
(2)　sinx x
>3
co sx
证明:(1)　设f(x )=sinx x x ∈(0
2)
得　f ′(x )=cosx (x -t gx )x
2　由　sinx <x <tg x x ∈(0 2)　得　f ′(x )<0　所以　f (x )在(0、
2
)单调减少　1>sinx x >f( 2)=
2
(2)　设f(x )=x -sinx(cosx )1
3　由　cos 2x -1<0得f ″(x )<0　x ∈(0　
2
)　所以有f ′(x )<f ′(0)=0　于是f (x )<f(0)=0　x -sinx (co sx )-13<0　所以sinx
x
>3cosx
三、利用极值证明不等式在某邻域内,函数取得极大值,极小值。

利用极值的特点证明不等式。

例3　设0≤x ≤1,p >1　证明:1
2
p-1≤x p +(1-x )p ≤1证明:设f (x )=x p +(1-x )P f ′(x )=p [x p-1-(1-x )p-1
]令f ′(x )=0得x p-1=(1-x )p-1　x =1-x 即x =
12
在(0,1)内,可能成为极值的函数值是f (12)=(12
)p +(
12)p =12p-1　f(0)=f(1)=1　因p>1　故1
2
p-1<1将f(0),f(12),F (1)比较,　得12
p-1≤x p
+(1-x )p ≤1四、利用函数凸凹性的特点证明不等式如果函数f (x )是凸函数,则在(a,b)上有
1
2
[f (x 1)+f (x 2)]≤f
x 1+x 2
2
,如果函数f(x )是凹函数,则在(a,b)上有12[f (x 1)+f(x 2)]≥f(x 1+x 22
)。

利用这一特点证明不等式。

例4　若a ,b ,c >0且a +b +c =1,
证明:a+1
a
3
+b+
1b
3
+
c+
1c
3
≥
10009
证明:设f (x )=x +
1x
(x >0),则f ″(x )=6
x +
1x
1+
1
x 4
>0,于是f (x )在(0,+∞)是凹函数,所以f(a)+f(b)+f (c)≥3f(a +b+c
3)即a+
1a
3
+b+1
b
3
+
c+1c
3
≥3
a+b+c 3+3
a +b+c
3
=33+
1
3
=
10009
五、利用定积分的性质证明不等式例5　证明:存在0<A <1使1+2+…+n
<A ・n 3
2
—
4—
包建廷/著微积分在不等式中的应用
证明:令a n
=
1
n
∑
n
k=1k n =
∑
n
k=1
k n ・1n 利用定积分定义lim n →∞
a n =
10
x dx =23
x 3
2・1=
2
3
由极限的性质,存在A ∈2
3,1对任意自然数n 有a n <A
六、利用级数证明不等式
把函数展开成幂级数的形式,证明不等式。

例6　证明:
1-x
1+x <e
-2x ,x ∈(0,1)证明:原不等式等价于1+x
1-x >e 2x ,x ∈(0,1)
由e 2x =1+2x +22x 22!+…+2n x n
n!
+…
1+x
1-x =(1+x )(1+x +x 2+…)=1+2x +2x 2+…+2n n +…x ∈(0,1)左边的一般项是2x n ,右边的一般项是
2n x n
n!
,当n ≥3时,2>2n n!所以,当n ≥3,0<x <1时,2x n >2n n!x n ,1+
∑∞
n=1
2x n
>
1
+
∑∞
n=1
2n x
n
n!即
1+x
1-x >e
2x x ∈(0,1)参考文献:
[1]张奠宙.现代数学与中学数学[M ].上海:上海教育出
版社.
(上接第3页)a n+2=-5a n+1+a n 中a 4,a 3两项,由定
理,方程有实根
x 1,2=(-5±
5+4)/2=(-5±3)/2
由引理,还可以得到x 4+75x -6=(x -3-52)(x +
3+
52)
(x 2-5x +6)
例3:求方程x 8=408x +169的两个实根解:由公式(4),令
s 7+6s 5+10s 3+4s=408s 6+5s 4+6s 2+1=169即s 7+6s 5+10s 3+4s-408=0
s 6+5s 4+6s 2+1-168=0
用辗转相除法可求出两个方程左边多项式的公因式为s-2,得到两个方程的公共根为s=2,由定理,原方程必有实根
x 1,2=(2±
22+4)/2=1±
2
The Solution of the Real Number of Certain Equation of higher Degree
LIU Xue -jun
(Chengde B roadcasting and Television Univ ersity ,Chengde ,067000,H ebei )
Abstract :The thesis show s the char acter istics of certain equation o f hig her degree,points out the relatio nship betw een this equation and linear order ed ser ies of number s and applies it to the solution w ith examples.
Key words :equation o f hig her degree ;linear or dered series of number s ,real roo t ,evaluation
—
5—。

微积分在不等式中的应用

「用微积分理论证明不等式的方法02762」

微积分法证明不等式

微积分在不等式中的应用

终稿 微积分在证明不等式中的应用

最新利用微积分证明不等式

微积分中不等式的证明方法

微积分在不等式证明中的应用探究

微积分在不等式证明中的应用研究

微积分在不等式证明中的应用探究

微积分的妙用——不等式的证明的又一利器

泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用

利用中值定理证明不等式

微积分在不等式中的应用

微积分在不等式中的应用

微积分在不等式证明中的运用

高考数学中的微积分不等式技巧

不等式最值问题的常用解法

微积分中的海森堡不等式

积分的不等式

终稿微积分在证明不等式中的应用