有关二次函数的几个恒成立问题
二次函数恒成立问题的方法
二次函数恒成立问题的方法二次函数恒成立问题是指对于任意实数x,都存在一个正实数a和正整数b,使得以下的二次函数f(x)满足以下条件:1. f(a) = 02. f(b) = 03. f(x)在区间[a,b]上连续。
下面介绍几种解决二次函数恒成立问题的方法:方法一:利用函数图像如果我们能够画出二次函数f(x)的图像,那么我们可以通过观察图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。
例如,我们可以使用抛物线的图像来确定当x 取何值时,函数f(x)恒成立。
具体而言,我们可以通过观察图像来确定二次函数f(x)在区间[a,b]上的取值,并检查是否满足条件1、2、3。
方法二:利用配方和边界条件我们可以使用二次函数的配方来解决这个问题。
设二次函数f(x)的顶点坐标为c(c<0),则有f(x) = (x-c)(x-c-1)。
我们可以使用这个配方来检查当x取何值时,函数f(x)是否恒成立。
具体而言,我们可以通过观察图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。
例如,我们可以使用抛物线的图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。
方法三:利用函数性质我们还可以通过函数的性质来解决这个问题。
例如,我们可以利用二次函数的对称性来检查当x取何值时,函数f(x)是否恒成立。
具体而言,我们可以通过观察图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。
例如,我们可以使用抛物线的图像来确定当x取何值时,函数f(x)恒成立。
方法四:利用数学软件如果我们想要更加高效地解决二次函数恒成立问题,可以使用数学软件。
例如,我们可以使用MATLAB或其他数学软件来检查二次函数f(x)是否满足条件1、2、3。
通过使用软件,我们可以快速地画出函数图像,并检查函数的取值是否满足条件。
以上就是几种解决二次函数恒成立问题的方法,这些方法各有优缺点,我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决该问题。
例谈二次函数中的恒成立问题
－
２ ３
时
，ｆ （ｘ ）ｍｉｎ
＝
ｆ （ｍ ＋ １） ＝ ２ ｍ２
＋
３ｍ
＞
０ ，解之得 ｍ ＜
－
３ ２
；当 ｍ ≤
－
ｍ ２
≤
ｍ ＋ １ ，即 －
２ ３
≤ ｍ ≤ ０ 时 ，ｆ （ｘ ）ｍｉｎ ＝ ｆ
－
ｍ ２
＝
－
ｍ２ ４
－１ ＞
０不
成立
．综上
，ｍ
＜
－
３ ２
或
ｍ
＞
２ ２
．
点评 上述变式的解题思路没有多少变化 ，
至有的不能分离 ，就要用方法 ３ ，直接研究含参数
的区间最值 ．
变式 已知函数 ｆ （ｘ ） ＝ ｘ２ ＋ ｍｘ － １ ，若对
于任意 ｘ ∈ ［ｍ ，ｍ ＋ １］ ，都有 ｆ （ｘ ） ＞ ０ 成立 ，则实
数 ｍ 的取值范围是 ．
分析 本题不宜选择分离变量 ，因为变量的
正负讨论起来比较繁琐 ，所以宜用方法 ３ ．
ｆ （ｘ ） ＝ ｘ２ ＋ ｍｘ － １ ，若对于任意 ｘ ∈ ［ｍ ， ｍ ＋ １］ ，都有 ｆ （ｘ ） ＜ ０ 成立 ，则实数 ｍ 的取值范围 是 ．
解法 １ 对于任意 ｘ ∈ ［ｍ ，ｍ ＋ １］ ，都有
ｆ （ｘ ） ＜ ０ 成立 ，只需满足 ｆ （ｘ ）ｍａｘ ＜ ０ ．二次函数 开口向上 ，闭区 ｌ 的 垂 直 距 离 ， 于 是 有
ａ２ ＋ ｂ２
≥
｜ ｒ４ ＋ ２ ｒ２ ＋ １ ｜ ＝ ｒ６ ＋ ｒ２
（ ｒ２ ＋ １）２ ＝ ｒ２ （ｒ４ ＋ １ ）
２ （ｒ２ ＋ １）２ ２ ｒ２ （ｒ４ ＋ １）
二次函数型有关的恒成立与有解问题教师版
1 / 13二次函数型 的恒成立与有解题型归纳一、知识点形如()()()2g x a f x bf x c =++⎡⎤⎣⎦的函数称为二次型函数，与二次型函数有关的恒成立或有解问题一般利用二次函数的性质求解.二、例题赏析(一)一元二次不等式在R 上的恒成立或有解问题 对于二次函数)0(0)(2≠>++=a c bx ax x f 有：1.R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；2.R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a . 基本题型：【例】 若不等式2kx 2+kx −38<0对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为 A ．(−3,0) B ．(−3,0]C ．(−∞,0]D ．(−∞,−3)∪[0,+∞)【详解】当k =0时，原不等式可化为−38<0，对x ∈R 恒成立；当k ≠0时，原不等式恒成立，需{2k <0Δ=k 2−4×2k ×(−38)<0 ，解得k ∈(−3,0)，综上k ∈(−3,0].故选B.【变式训练】 若关于x 的不等式221)(1)201k x k x x x -+-+>++（的解集为R ，则k 的范围为____________． 【详解】因为22131024⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭x x x ，所以221)(1)201k x k x x x -+-+>++（等价于21)(1)20（-+-+>k x k x 恒成立，当1k =时，20>成立，当1k ≠时，则()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩ ，解得19k << ， 综上：19k ≤<.故答案为：19k ≤<.2 / 13【变式训练】 若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0)【解析】∵2kx 2＋kx －38<0为一元二次不等式，∴k ≠0，又2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有200k <⎧⎨∆<⎩，解得－3<k <0. 【变式训练】若函数22log (28)y kx kx =-+的定义域为一切实数，则实数k 的取值范围为____________． 【详解】因为函数22log (28)y kx kx =-+的定义域为一切R ，等价于228kx kx -+>0，对任意的实数x 恒成立.当0k =时，80>，符合条件.当0k ≠时，2084320k k k k >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩.综上08k ≤<. (二) 一元二次不等式在给定区间上的恒成立或有解问题 设（1）当时，上恒成立 上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立 类型一：构造二次函数分类讨论【例】设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 【分析】本题可转化为二次函数在闭区间上的最值，也可以通过分类参数求解. 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：2()(0).f x ax bx c a =++≠0>a ],[0)(βα∈>x x f 在,222()00()0.b b ba a af f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩或或],[0)(βα∈<x x f 在()0,()0.f f αβ<⎧⇔⎨<⎩0<a ],[0)(βα∈>x x f 在()()0,0.f f αβ>⎧⎪⇔⎨>⎪⎩],[0)(βα∈<x x f 在,222()00()0.b b ba aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩或或3 / 13令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． （1）当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；（2）当m ＝0时，－6<0恒成立；（3）当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述，m 的取值范围是{m |m <67}．【变式训练】已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，使不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x <0，则x >12，不满足题意；当m ≠0时，f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即00m <⎧⎨∆<⎩，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知，不存在这样的m . 类型二：分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式（，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式； （2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或) ，得的取值范围．【例】 已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围为______. 【详解】()()3221143432f x x mx x f x x mx '=-+-∴=-+Q ，因为函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，所以240x mx -+≥在区间[]1,2上恒成立，即min 4(),[1,2]m x x x≤+∈,因为(),0f x λ≥D x ∈λλ()()g f x λ≥()()g f x λ≤()f x x D ∈()max ()g f x λ≥()()min g f x λ≤λ4 / 134y x x =+≥，当且仅当2x =时取等号，所以4y x x =+最小值为4，即4m ≤，故答案为：4m ≤ 【变式训练】已知()22xxf x -=-，若不等式()()230f x ax a f -++>对任意实数[]2,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【详解】1()2222xxx x f x -=-=-，因为2xy =与12xy =-均为实数集上的增函数， 所以()f x 为实数集上的增函数，又()22()x xf x f x --=-=-，所以()f x 为实数集上的奇函数，由不等式2()(3)0f x ax a f -++>对任意实数[2,3]x ∈恒成立， 得2()(3)(3)f x ax a f f -+>-=-对任意实数[2,3]x ∈恒成立， 则23x ax a -+>-，即2(1)3x a x -<+在[2,3]x ∈时恒成立，得223(1)2(1)44(1)2111x x x a x x x x +-+-+<==-++---，因为函数4(1)21u x x =-++-在[2,3]上单调递减， 所以4(1)21u x x =-++-的最小值为2226++=，所以6a <， 所以a 的取值范围是(,6)-∞，故答案为：(,6)-∞. 类型三：主参换位——反客为主法【例】（2020·上海中学高一期中）已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________. 【答案】3(3,)2-【解析】因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0(1)0≤-⎨≤⎧⎩f f ，即2242(2)21042(2)210----+≤+---+≤⎧⎨⎩p p p p p p ，整理得222390210+-≥-⎧⎩-⎨≥p p p p ，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.5 / 13【变式训练】已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．【解析】由题意可得()0f x <对于[,1]x m m ∈+上恒成立，即22()210(1)230f m m f m m m ⎧=-<⎨+=+<⎩，解得0m <<． 【变式训练】对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围． 【解析】由f(x)＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 则原问题转化为关于m 的一次函数问题．由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x<1或x>3. 故当x 的取值范围是(－∞，1)∴(3，＋∞)时，对任意的m∴[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零． (三) ()()20a f x bf x c ++>⎡⎤⎣⎦ 恒成立问题形如()()20a f x bf x c ++>⎡⎤⎣⎦的不等式恒成立问题，可设()t f x =，转化为一元二次不等式，但要注意()t f x =的范围.【例】（2019·湖南茶陵三中高一期中）函数12()2x x m f x n+-=+是R 上的奇函数，m 、n 是常数.（1）求m ，n 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明； （3）不等式()()33920xxx f k f ⋅+--<对任意R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围.【分析】（1）依题意()f x 时R 上的奇函数，则采用特殊值法，(0)0(1)(1)f f f =⎧⎨-=-⎩即可求出参数的值；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可； （3）根据函数的奇偶性和单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，即()23(1)320xx k -+⋅+>对任意R x ∈恒成立，令3(0)x t t =>，即2(1)20t k t -++>，对0t >恒成立，令2()(1)2g t t k t =-++，根据二次函数的性质分析可得；,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)(<x f m6 / 13【详解】（1）∴12()2x x mf x n +-=+是R 上的奇函数，∴(0)0(1)(1)f f f =⎧⎨-=-⎩∴12m n =⎧⎨=⎩ ∴12111()22221x x xf x +-==-++. （2）()f x 在R 上递增证明：设12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()121212121111222212212121x x x x x x f x f x --=--+=++++，∴12x x <∴12220x x -<又1210x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 是R 上的增函数.（3）由题意得：()()()3392932xxx x x f k f f ⋅<---=-+对任意x ∈R 恒成立又()f x 是R 上的增函数，∴3932x x x k ⋅<-+即()23(1)320xx k -+⋅+>对任意x ∈R 恒成立，令3(0)xt t =>，即2(1)20t k t -++>，对0t >恒成立，令2()(1)2g t t k t =-++，对称轴为12k t +=， （1）当102k +≤即1k ≤-时，()g t 在(0,)+∞为增函数，∴()(0)20g t g >=>成立，∴1k ≤-符合， （2）当102k +>即1k >-时，()g t 在10,2k +⎛⎫ ⎪⎝⎭为减，1,2k +⎛⎫+∞⎪⎝⎭为增， ∴22min 1(1)(1)()20242k k k g t g +++⎛⎫==-+> ⎪⎝⎭，解得11k -<<，∴11k -<<. 综上实数k的取值范围为1k <.【变式训练】若关于x 的不等式cos2sin 0x x a ++<恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【分析】把不等式转化为关于sin x 的一元二次不等式.【解析】2211cos 2sin 12sin sin 2sin 48x x a x x a x a ⎛⎫++=-++=--++ ⎪⎝⎭，当1sin 4x =时cos2sin x x a ++取得最小值18a +，所以实数a 的取值范围是1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.7 / 13【变式训练】设b ∈R ，若函数f (x )=4x −2x+1+b 在[−1,1]上的最大值是3，则其在[−1,1]上的最小值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．−1【解析】f (x )=4x −2x+1+b =(2x )2−2⋅2x +b.设2x =t,则f (x )=t 2−2t +b =(t −1)2+b −1. 因为x ∈[−1,1],所以t ∈[12,2].当t =1时，f (x )min =f (1)=b −1；当t =2时，f (x )max =3，即1+b −1=3,b =3.于是f (x )min =2.故选A. （四）、其它函数：对于二次函数)0(0)(2≠>++=a c bx ax x f 有： （1）()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立； （2）()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立；（3）恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）．【例】 不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为_________. 【分析】根据二次不等式的恒成立问题,先求解不等式左边的最小值,再求解二次不等式即可.【详解】因为()2225144x x x -+=-+≥,故243a a ≥-恒成立.即()()2340140a a a a --≤⇒+-≤,解得14a -≤≤.实数a 的取值范围为[]1,4-.故答案为：[]1,4-【例】（2019·甘肃高二期末（理））若关于x 的不等式24x x m -≥对任意[0,1]x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是 ．【解析】设24,24y x x y x '=-=-,令0y '=,得 2.x =∴24y x x =-在(),2-∞上是减函数，即在[]0,1x ∈上也是减函数，2min 143,3y m ∴=-=-∴≤-.【变式训练】【2019天津市和平区高三第二次质量调查】若不等式−x 2+2x +3≤21−3a 对任意实数x 都成立,则实数a 的最大值为________.【解析】设f(x)=−x 2+2x +3,不等式−x 2+2x +3≤21−3a 对任意实数x 都成立，只需满足f(x)max ≤()0f x >⇔min ()0f x >()f x ()0f x >⇔()f x ()0f x <⇔max ()0f x <()f x ()0f x <⇔()f x8 / 1321−3a ，即可.f(x)=−x 2+2x +3=−(x −1)2+4⇒f(x)max =4,所以有 4≤21−3a ⇒a ≤−13,因此实数a 的最大值为−13.三、跟踪训练1、（2020·福建厦门高二月考（理））已知函数3211()4332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数,实数m 的取值范围为( )A ．45m ≤≤B ．24m ≤≤C ．4m <D ．4m ≤【分析】求出3211()4332f x x mx x =-+-导函数,利用函数的单调性,推出4m x x ≤+不等式,利用基本不等式求解函数的最值,即可求得答案. 【详解】Q 函数3211()4332f x x mx x =-+-,∴2()4f x x mx '=-+, Q 函数3211()4332f x x mx x =-+-在区间上[1,2]是增函数,可得240x mx -+≥,在区间上[1,2]恒成立, 即:4,m x x ≤+在区间上[1,2]恒成立，Q 44x x +≥=,当且仅当2x =时取等号,可得4m ≤. 2．己知f(x)=x 2+2x +1+a ，∀x ∈R ，f(f(x))≥0恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[√5−12,+∞] B ．[√5−32,+∞] C ．[−1,+∞) D ．[0,+∞)【解析】设t =f(x)=(x +1)2+a ≥a ，∴f(t)≥0对任意t ≥a 恒成立，即(t +1)2+a ≥0对任意t ∈[a,+∞)都成立，当a ≤−1时f(t)min =f(−1)=a ，则a +a ≥0即a ≥0与讨论a ≤−1矛盾，当a >−1时，f(t)min =f(a)=a 2+3a +1，则a 2+3a +1≥0，解得a ≥√5−32，故选B ．3、若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．(),1-∞ C ．(],2-∞ D ．(),2-∞【解析】【分析】求()2f'x 6x 6mx 6=-+，根据题意可知()f'x 0≥在()1,∞+上恒成立，可设()2g x 6x 6mx 6=-+，法一：讨论V 的取值，从而判断()g x 0≥是否在()1,∞+上恒成立：0≤V 时，容易求出2m 2-≤≤，显然满足()g x 0≥；0V >时，得到关于m 的不等式组，这样求出m 的范围，和前面求出的m 范围求并集即可，法二：分离参数，求出m 的范围即可．9 / 13【详解】()2f'x 6x 6mx 6=-+；由已知条件知()x 1,∞∈+时，()f'x 0≥恒成立；设()2g x 6x 6mx 6=-+，则()g x 0≥在()1,∞+上恒成立；法一：()1若()236m 40=-≤V ，即2m 2-≤≤，满足()g x 0≥在()1,∞+上恒成立；()2若()236m 40=->V ，即m 2<-，或m 2>，则需()m 121660g m ⎧<⎪⎨⎪=-≥⎩解得m 2≤； m 2∴<-，∴综上得m 2≤， ∴实数m 的取值范围是(],2∞-；法二：问题转化为1m x x ≤+在()1,∞+恒成立，而函数1y x 2x=+≥，故m 2≤；故选C ． 4、已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．－1<b <0 B ．b >2 C ．b <－1或b >2D ．不能确定【解析】由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a2＝1，故a ＝2.，由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.5．已知f (x )=m (x −2m )(x +m +3)，g (x )=4x −2，若对任意x ∈R ,f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是（ ）A ．(−72,+∞) B ．(−∞,14) C ．(−72,0) D ．(0,14) 【解析】∴g （x ）＝4x ﹣2，当x<12时,g (x )<0恒成立，当x ≥12时，g （x ）≥0，又∴∴x ∴R ，f （x ）＜0或g （x ）＜0，∴f （x ）＝m （x ﹣2m ）（x +m +3）＜0在x ≥12时恒成立，即m （x ﹣2m ）（x +m +3）＜0在x ≥12时恒成立， 则二次函数y ＝m （x ﹣2m ）（x +m +3）图象开口只能向下，且与x 轴交点都在（12，0）的左侧，10 / 13∴{ m ＜0−m −3＜122m ＜12 ，即{m ＜0m ＞−72m ＜14 ，解得−72＜m ＜0，∴实数m 的取值范围是：（−72，0）．故选C ． 6．【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】已知平面向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=2，|a ⃑−b ⃑⃑|=√7，若对于任意实数k ，不等式|ka ⃑+tb ⃑⃑|>1恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−√3)∪(√3,+∞) B ．(−∞,−√33)∪(√33,+∞) C ．(√3,+∞) D ．(√33,+∞) 【解析】设向量a →，b →的夹角为θ，|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=2，|a ⃑−b⃑⃑|=√7， 则（a ⃑−b ⃑⃑）2=a ⃑2+b ⃑⃑2−2a ⃑∙b ⃑⃑=1+4-2×1×2×cosθ=7，∴cosθ=−12，∴θ=120°，∴a ⃑∙b⃑⃑=−1, 又|ka ⃑+tb ⃑⃑|>1，∴（ka ⃑+tb ⃑⃑）2>1，即k 2a ⃑2+t 2b ⃑⃑2+2kta ⃑∙b ⃑⃑=k 2+4t 2−2kt >1对于任意实数k 恒成立，∴k 2−2kt +4t 2−1>0对于任意实数k 恒成立，∴∆=（2t ）2-4（4t 2−1）<0，∴t<−√33或t>√33，故选B ．7．【江西省宜丰中学2019届高三第二次月考】在R 上定义运算⊗：x ⊗y =x(1−y)，若不等式(x −a)⊗(x +a)<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ( )A ．−1<a <1B ．−12<a <32C ．−32<a <12D ．0<a <2【解析】根据题设新定义的运算，可得(x −a)⊗(x +a)=(x −a )(1−x −a )，所以(x −a)⊗(x +a)<1可转化为(x −a )(1−x −a )<1，即x 2−x +(1−a 2+a )>0恒成立，根据二次函数的性质可知Δ=1−4(1−a 2+a )<0，解得−12<a <32，故选B.8．【山东省滨州市2019届高三期中】若对于任意的x ＞0，不等式mx ≤x 2+2x+4恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，4]B ．（﹣∞，6]C ．[﹣2，6]D ．[6，+∞）【解析】当x ＞0时，mx ≤x 2+2x +4∴m ≤x +4x+2对任意实数x ＞0恒成立，令f （x ）＝x +4x+2，则m ≤f （x ）min ，∴f （x ）＝x +4x+2≥2√x ⋅4x+2＝6，∴m ≤6．故选B ．9．【宁夏银川一中2018届高三第二次模拟】已知不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,则a 的取值范围是A ．[1,+∞)B ．[−1,4)C ．[−1,+∞)D ．[−1,6]11 / 13【解析】不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立，等价于a ≥yx −2(y x )2，对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立，令t =yx ，则1≤t ≤3，∴a ≥t −2t 2在[1,3]上恒成立，∵y =−2t 2+t =−2(t −14)2+18，∴t =1时，y max =−1,∴a ≥−1，a 的取值范围是[−1,+∞)，故选C.10、若关于x 的二次不等式01)1(2<-+-+a x a ax 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【分析】利用a 的符号及判别式求解.【解析】由题意知，01)1(2<-+-+a x a ax 恒成立，所以⇔⎩⎨⎧<∆<00a ⎩⎨⎧<---<0)1(4)1(02a a a a ⇔⎩⎨⎧>--<012302a a a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<><3110a a a 或⇔31-<a . ∴a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31, 11． 不等式(acos 2x −3)sinx ≥−3对∀x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】令sin =t,−1≤t ≤1，则原函数化为g (t )=(−at 2+a −3)t ，即g (t )=−at 3+(a −3)t ， 由−at 3+(a −3)t ≥−3,−at (t 2−1)−3(t −1)≥0，(t −1)(−at (t +1)−3)≥0及t −1≤0知， −at (t +1)−3≤0，即a (t 2+t )≥−3，当t =0,−1时（1）总成立，对0<t ≤1,0<t 2+t ≤2，a ≥(−3t 2+t )max=−32；对−1<t <0，−14≤t 2+t <0，a ≤(−3t 2+t)min=12，从而可知−32≤a ≤12，故答案为[−32,12].12． 若不等式kx +3k > |x 2−4x −5|对x ∈[−1,5]恒成立，则实数k 的取值范围为______. 【解析】若不等式kx +3k > |x 2−4x −5|对x ∈[−1,5]恒成立， 则直线y =k (x +3)在y =|x 2−4x −5|， x ∈[−1,5]图象的上方，如图：联立：{y =k (x +3)y =5+4x −x2 ，可得x 2+(k −4)x +3k −5=012 / 13令∆=(k −4)2−4(3k −5)=0，k =2或18（舍去） ∴k >2，故答案为：k >213、 设函数2()2f x mx mx =--（1）若对于一切实数()0f x <恒成立，求m 的取值范围；（2）若对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，求m 的取值范围.【分析】（1）由不等式220mx mx --<恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解； （2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，整理得只需221xm x x >-+恒成立，结合基本不等式求得最值，即可求解.【详解】（1）由题意，要使不等式220mx mx --<恒成立，∴当0m =时，显然20-<成立，所以0m =时，不等式220mx mx --<恒成立；∴当0m ≠时，只需2080m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得80m -<<， 综上所述，实数m 的取值范围为(8,0]-.（2）要使对于[1,3],()2(1)x f x m x ∈>-+-恒成立，只需22mx mx m x -+>恒成立，只需()212m x x x -+>，又因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，只需221x m x x >-+，令222211111x y x x x x x x ===-+-++-，则只需max m y >即可，因为12x x +>=，当且仅当1x x =，即1x =时等式成立； 因为[1,3]x ∈，所以max 2y =，所以2m >.14．（2019·江苏南通一中高一期末）已知a ∴R ，函数f （x ）=x 2﹣2ax +5. （1）若a >1，且函数f （x ）的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值； （2）若不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∴[13，12]恒成立，求实数a 的取值范围. 【分析】（1）根据f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1，知f （x ）在[1，a ]上单调递减，所以f （1）=a 求解即可.13 / 13（2）将不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∴[13，12]恒成立，去绝对值转化为a 2512x x -≥且a 2512x x+≤在 x ∴[13，12]恒成立，分别令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∴[13，12]，用二次函数求其最大值，令h （x ）2251115252228+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭x x x ，x ∴[13，12]，求其最小值即可. 【详解】（1）∴f （x ）的图象开口向上，对称轴为x =a >1，∴f （x ）在[1，a ]上单调递减， ∴f （1）=a ，即6﹣2a ＝a ，解得a =2..（2）不等式x |f （x ）﹣x 2|≤1对x ∴[13，12]恒成立， 即x |2ax ﹣5|≤1对x ∴[13，12]恒成立， 故a 2512x x -≥且a 2512x x +≤在x ∴[13，12]恒成立，令g （x ）2251115252228-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭x x x ，x ∴[13，12]，所以g （x ）max =g （25）258=， 所以258a ≥.令h （x ）2251115252228+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭x x x ，x ∴[13，12]， 所以h （x ）min =h （12）=7，所以7a ≤.综上：2578a ≤≤.。
高中数学-含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题
复习专题之含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根a b x x 221-==无实根{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R {}21x x x x <<∅∅方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.例1．已知函数()y f x =的表达式为()21f x ax mx =-+（a 、m R ∈）．（1）若0a =，()3f x <的解集为()2,1-，求实数m 的值；（2）若1a =，()y f x =在[]1,2上的最大值为3，求实数m 的值．例2．已知二次函数()f x 满足对任意x ∈R 都有()()122f x f x x =-+-，且函数()f x 的图象过点()3,2﹒（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()g x f x mx =-，若函数()g x 在区间[]1,2的最小值为3，求实数m 的值﹒1．（2021·河南·安阳县高级中学高一期中）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{}23x x -<<，则下列说法错误的是（）A ．0a <B ．不等式0ax c +>的解集为{}6x x <C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．（2021·辽宁·渤海大学附属高级中学高一阶段练习）若函数()()224f x x m x =--+在区间()1,2内存在最小值，则实数m 的取值范围是（）A ．()3,4B ．()4,6C ．[]5,9D ．[]11,7--3．（2021·河南商丘·高二阶段练习（理））若不等式x 2+ax +1≥0在x ∈[－2，0）时恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．0B ．2C ．52D ．34．（2021·山东文登·高三期中）关于x 的不等式2||20ax x a -+≥的解集是(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围为（）A ．4⎫+∞⎪⎣⎭B ．,4⎛-∞ ⎝⎦C ．44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,,44⎛⎤⎫-∞+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭5．（2020·湖南·嘉禾县第一中学高一阶段练习）若不等式2(1)20a x x -++ 对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（）A ．9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．（2021·甘肃省会宁县第一中学高一期中）已知函数()()2212f x x a x =+-+在[)4,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(],3-∞-B ．[)3,-+∞C ．(],5-∞D ．[)5,+∞7．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一期中）若不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x -<<，那么不等式()21(1)2a x b x c ax ++-+>的解集为（）A ．{}32x x -<<B ．{3x x <-或}2x >C ．{}14x x -<<D ．{1x x <-或}4x >8．（2021·全国·高一课时练习）若不等式250x ax +->在{}12x x ≤≤上有解，则a 的取值范围是（）A ．12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．12a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．{}4a a <D ．{}4a a >二、多选题9．（2021·江苏省天一中学高一期中）下列叙述中正确的是（）A ．,,a b c ∈R ，若二次方程20ax bx c ++=无实根，则0ac >B ．“0a >且240b ac ∆=-≤”是“关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集是R ”的充要条件C ．“1a <-”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件10．（2021·重庆十八中高一期中）已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 可以取值有（）A ．0B ．1C ．2D ．311．（2021·全国·高一课时练习）（多选）若不等式223221x x m x x ++≥++对任意实数x 恒成立，则正整数m 的值可能为（）A ．3B ．4C ．1D ．212．（2021·全国·高一课时练习）对于给定的实数a ，关于x 的一元二次不等式()()10a x a x -+>的解集可能为（）A ．φB ．{}1x x a -<<C ．{}1x a x <<-D ．{1x x <或}x a >三、填空题13．（2021·上海·复旦附中高一期中）关于x 的一元二次不等式280x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值范围是______．14．（2021·北京师大附中高一期中）若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．15．（2021·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式22230ax ax a -++<的解集为空集，则实数a 的取值范围是_______．16．（2021·全国·高一专题练习）若函数2()f x x ax =+在区间[1,2]上的最大值为1a +，则a 的取值范围为__________四、解答题17．（2021·广西·南宁二中高一阶段练习）（1）已知关于x 的不等式20ax x b ++>的解集为()1,2-，求不等式20bx x a ++>的解集；（2）解关于x 的不等式()210x k x k -++≤．18．（2021·福建·莆田第五中学高一期中）已知函数()21f x ax ax =-+．（1）设()()()22g x f x a x =+-，求()g x 在区间[]1,2上的最小值；（2）求不等式()f x x >的解集．19．（2021·福建·莆田二中高一期中）二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=，且()01f =.（1）求()f x 的解析式；（2）若不等式()2f x x m >+在区间，[]1,1-上恒成立，求实数m 的取值范围.。
恒成立问题基本题型及解题方法
恒成立问题基本题型一 转化为二次函数，利用分类讨论思想解题例1． 已知函数f(x)=x 2-2ax+4在区间[-1，2] 上都不小于2，求a 的值。
解：由函数f(x)=x 2-2ax+4的对称轴为x=a所以必须考察a 与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论1．当a ≥2时f(x)在[-1，2]上是减函数此时m in )(x f = f(2)=4-4a+42≥ 即a 23≤ 结合a ≥2，所以a 的解集为φ 2．当a 1-≤ 时 f(x)在[-1，2]上是增函数， m in )(x f = f(-1)=1+2a+42≥结合a 1-≤ 即123-≤≤-a 3．当-1<a<2时 m in )(x f = f(a)=a 2-2a 2+4 2≥ 即≤-2a 2≤ 所以21≤<-a综上1，2，3满足条件的a 的范围为：223≤≤-a 二 确定主元，构造函数，利用单调性解题例2．对于满足0≤a ≤4的所有实数a 求使不等式x 2+ax>4x+a-3都成立的x 的取值范围。
解：不等式变形为x 2+(x-1)a-4x+3>0设f(a)= (x-1)a+x 2-4x+3，则其是关于a 的一个一次函数：是单调函数结合题意有⎩⎨⎧>>0)0(0)4(f f 即 得1-<x 或3>x 三 利用不等式性质解题例3．若关于x 的不等式|x-2|+|x+3|≥a 恒成立，试求a 的范围 解：由题意知只须min )32(++-≤x x a 由5)3(232=+--≥++-x x x x 所以 5≤a四 构造新函数，利用导数求最值：例4．已知)1lg(21)(+=x x f )2lg()(t x x g +=若当]1,0[∈x 时)()(x g x f ≤在[0，1]恒成立，求实数t 的取值范围。
解：)()(x g x f ≤在[0，1] 上恒成立，即021≤--+t x x 在[0，1]上恒成立 令t x x x F --+=21)( 则须F(x)在[0，1]上的最大值小于或等于0所以 121412121)('++-=-+=x x x x F 又]1,0[∈x 所以0)('<x F 即)(x F 在[0，1]上单调递减所以)0(max )(F x F = 即01)0()(≤-=≤t F x F 得 1≥t{0340122>+->-x x x（说明：若将恒成立改成有解，即)()(x g x f ≤在[0，1]上有解，则应F(x)min 0≤。
二次函数恒成立问题
二次不等式恒成立问题一、恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切二、恒成立问题常见的解题策略：策略一：利用二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a例1.若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
有关二次函数的几个恒成立问题
没有交点
二、例题探究
例1、已知二次函数f (x) ax2 ax 1, 且对于任意的x R, f (x) 0恒成立 求a的取值范围
二、例题变形
变式1、已知二次函数f (x) ax2 ax 1, 且对于任意的x R, f (x) 0恒成立 求a的取值范围
变式2、已知f (x) ax2 ax 2, 且对于任意的x R, f (x) 1恒成立 求a的取值范围
四、知识拓展
基础知识点复习
若f (x) x2 2x a，求x在 以下区间时，f(x)的最值
(1)x 0,1 (2)x 2,3 (3)x 0,5
五、代表例题
若f (x) x2 2x a, x 0, 5, g(x) x2 4x, x 1, 3 1、若对任意的x1 0,5,任意的x2 1,3
有关二次函数的几 个恒成立问题
上午7时5分
一、知识回顾：
二次函数 f(x)= ax2+bx+c (a>0）
判别Байду номын сангаас =b2-4ac
>0
y
0
y
二次函数 y=ax2+bx+c
的图象
x1
x2 x
x x1=x2
<0
y x
二次函数 y=ax2+bx+c
的图象与x轴 的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
都有f (x1) g(x2)，求a的取值范围
4、若存在x1 0,5, 存在x2 1,3
使得f (x1) g(x2 )，求a的取值范围
六、知识点小结 此处省略150个字……
知识回顾 Knowledge Review
不等式 恒成立问题
由题意得，对于 恒成立 对于 恒成立,令 ,设 ,则 ，
, , k的取值范围是k> .
解：令 ， 所以原不等式可化为： ，
要使上式在 上恒成立，只须求出 在 上的最小值即可。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量实行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例4．对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。
1） 函数 图象恒在函数 图象上方；
2） 函数 图象恒在函数 图象下上方。
例5：已知 ，求实数a的取值范围。
解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 得到a分别等于2和0.5，并作出函数 的图象，所以，要想使函数 在区间 中恒成立，只须 在区间 对应的图象在 在区间 对应图象的上面即可。当 才能保证，而 才能够，所以 。
3.设 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。
解：设 ，则当 时， 恒成立
当 时， 显然成立；
当 时，如图， 恒成立的充要条件为：
解得 。
综上可得实数 的取值范围为 。
4：在 ABC中，已知 恒成立，求实数m的范围。
解析：由
， ， 恒成立， ，即 恒成立，
5、若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的取值范围。
解：设 ，对满足 的 ， 恒成立，
解得：
6、若不等式 在 内恒成立，求实数 的取值范围。
解：由题意知： 在 内恒成立，
在同一坐标系内，分别作出函数 和
观察两函数图象，当 时，若 函数 的图象显然在函数 图象的下方，所以不成立；
二次函数恒成立问题
二次函数恒创造问题之阳早格格创做2016年8月东莞莞好书院一、恒创造问题的基础典型：典型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒创造00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒创造00<∆<⇔且a .典型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒创造⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒创造⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒创造⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒创造⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 典型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切. 典型4：二、恒创造问题罕睹的解题战术：战术一：利用二次函数的判别式对付于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒创造00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒创造00<∆<⇔且a02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，供m 的范畴.剖析：要念应用上头的论断，便得包管是二次的，才有判别式，然而二次项系数含有参数m ，所以要计划m-1是可是0.（1）当m-1=0时，不等式化为2>0恒创造，谦脚题意；（2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m .战术二:利用函数的最值（或者值域）（1）m x f ≥)(对付任性x 皆创造m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对付任性x 皆创造max )(x f m ≥⇔.简朴计做：“大的大于最大的，小的小于最小的”.由此瞅出，本类问题真量上是一类供函数的最值问题.例2.已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒创造，供a 的与值范畴. 剖析 本题不妨化归为供函数f (x )正在关区间上的最值问题,只消对付于任性2)(],2,2[min ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒创造⇔2)(],2,2[min ≥-∈∀x f x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=-≤-237)2()(22min a f x f a 或者⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=-=≤-≤-243)2()(2222min a a a f x f a 或者⎪⎩⎪⎨⎧≥+==>-27)2()(22min a f x f a ，即a 的与值范畴为]222,5[+--.战术三：利用整面分散例3.已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒创造，供a 的与值范畴.剖析 本题不妨思量f (x )的整面分散情况举止分类计划，分无整面、整面正在区间的左侧、整面正在区间的左侧三种情况，即Δ≤0或者⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--≤->∆0)2(0)2(220f f a 或者⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥->∆0)2(0)2(220f f a ，即a 的与值范畴为[-7，2].面评 对付于含参数的函数正在关区间上函数值恒大于等于整的问题,不妨思量函数的整面分散情况,央供对付应关区间上函数图象正在x 轴的上圆或者正在x 轴上便止了.变式：设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒创造，供真数m 的与值范畴. 解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，(x F 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒创造的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m .综上可得真数m 的与值范畴为)1,3[-. 战术四：分散参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分散于不等式二端，从而问题转移为供主元函数的最值，从而供出参数范畴.那种要领真量也仍旧供最值，然而它思路更浑晰，支配性更强.普遍天有：1）为参数）a a g x f )(()(<恒创造max )()(x f a g >⇔ 2）为参数）a a g x f )(()(>恒创造max )()(x f a g <⇔),1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f ，若对付任性),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒创造，供真数a 的与值范畴.解：若对付任性),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒创造，即对付),1[+∞∈x ，02)(2>++=xa x x x f 恒创造， 思量到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022>++a x x 正在),1[+∞∈x 时恒创造而得022>++a x x 正在),1[+∞∈x 时恒创造，只消x x a 22-->正在),1[+∞∈x 时恒创造.而易供得二次函数x x x h 2)(2--=正在),1[+∞上的最大值为3-，所以3->a . 变式：已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒创造，供真数a 的与值范畴.解： 将问题转移为x x x a 24-<对付]4,0(∈x 恒创造. 令x x x x g 24)(-=，则min )(x g a < 由144)(2-=-=x xx x x g 可知)(x g 正在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g∴0<a 即a 的与值范畴为)0,(-∞.注：分散参数后，目标精确，思路浑晰能使问题成功得到办理. 战术五：决定主元正在给出的含有二个变量的不等式中，教死习惯把变量x 瞅成是主元（已知数），而把另一个变量a 瞅成参数，正在有些问题中那样的解题历程烦琐.如果把已知与值范畴的变量动做主元，把央供与值范畴的变量瞅做参数，则可简弥合题历程.)1(122->-x m x 对付谦脚22≤≤-m 的所有m 皆创造，供x 的范畴.剖析：咱们不妨用改变主元的办法，将m 视为主变元，将要元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒创造，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范畴是)231,271(++-∈x 归纳：利用了一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：变式：对付任性]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒创造，供x 的与值范畴.分解：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，然而若把a 瞅成主元，则问题可转移为一次不等式044)2(2>+-+-x x a x 正在]1,1[-∈a 上恒创造的问题.解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则本问题转移为0)(>a f 恒创造（]1,1[-∈a ）.当2=x 时，可得0)(=a f ，分歧题意.当2≠x 时，应有⎩⎨⎧>->0)1(0)1(f f 解之得31><x x 或.故x 的与值范畴为),3()1,(+∞-∞ .战术六：消元转移例6.已知f (x )是定义正在[-1,1]上的偶函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对付于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒创造，供真数t 的与值范畴.剖析 本题不等式中有三个变量，果此不妨通过消元转移的战术，先消来一个变量，简单说明f (x )是定义正在[-1,1]上的删函数,故 f (x )正在[-1,1]上的最大值为f (1)=1,则12)(2+-≤at t x f 对付于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒创造⇔1212+-≤at t 对付于所有的]1,1[-∈a 恒创造，即022≤-t ta 对付于所有的]1,1[-∈a 恒创造，令22)(t ta a g -=，只消⎩⎨⎧≤≤-0)1(0)1(g g ，022=≥-≤∴t t t 或或． 面评 对付于含有二个以上变量的不等式恒创造问题,不妨根据题意依次举止消元转移,从而转移为只含有二变量的不等式问题,使问题得到办理.以上介绍的几种罕睹不等式恒创造问题的供解战术，不过分别从某个正里进脚来探讨不等式中参数的与值范畴.究竟上，那些战术不是孤坐的，正在简直的解题试验中，往往需要概括思量，机动使用，才搞使问题得以成功办理.三、坚韧训练1.（1）若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，供真数a 的与值范畴；（2）若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，供真数a 的与值范畴．解：（1）设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞()0>⇔x f 正在()+∞∞-,上恒创造()0min >⇔x f ,即(),0442min >+-=a a x f 解得04<<-a（2）设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 正在()+∞∞-,上能创造()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或者2a ≥. 2. 若函数y =R 上恒创造，供m 的与值范畴. 分解：该题便转移为被启圆数2680mx mx m +++≥正在R 上恒创造问题，而且注意对付二次项系数的计划. 略解：要使y =R 上恒创造，即2680mx mx m +++≥正在R 上恒创造. 10m =时，80≥0m ∴=创造 20m ≠时，()()2036483210m m m m m >⎧⎪⎨∆=-+=-≤⎪⎩，01m ∴<≤ 由1，2可知，01m ≤≤3. 已知背量2(,1),(1,),a x x b x t =+=-若函数()b a x f ⋅=正在区间()1,1-上是删函数，供t 的与值范畴.解：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-= .23)(2t x x x f ++-='则()x f 正在区间()1,1-上是删函数等价于()0>'x f 正在区间()1,1-上恒创造;而()0>'x f 正在区间()1,1-上恒创造又等价于x x t 232->正在区间()1,1-上恒创造;设()()1,1,232-∈-=x x x x g 从而()x g t >正在区间()1,1-上恒创造等价于()()1,1,max -∈≥x x g t思量到()()1,1,232-∈-=x x x x g 正在⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1上是减函数,正在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31上是删函数,则()()51max =-=g x g .于是, t 的与值范畴是5≥t .4. 已知函数()()()331,5f x x ax g x f x ax '=+-=--，其中()'f x 是()f x 的导函数.对付谦脚11a -≤≤的十足a 的值，皆有()0g x <，供真数x 的与值范畴； 解法1.由题意()2335g x x ax a =-+-，那一问表面上是一个给出参数a 的范畴，解不等式()0g x <的问题，本量上，把以x 为变量的函数()g x ，改为以a 为变量的函数，便转移为不等式的恒创造的问题，即 令()()2335a x a x ϕ=-+-，()11a -≤≤，则对付11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，从而转移为对付11a -≤≤，()0a ϕ<恒创造，又由()a ϕ是a 的一次函数，只需()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 即22320,380.x x x x ⎧--<⎨+-<⎩解得213x -<<.故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对付谦脚11a -≤≤的十足a 的值，皆有()0g x <. ()23350g x x ax a =-+-<.由11a -≤≤知,236600a a ∆=-+>,于是,不等式的解为 223660366066a a a a a a x -+-+<<. 然而是,那个截止是不精确的,果为不思量a 的条件,还应进一步完备.为此,设()()2236603660a a a a a a g a h a --++-+==. 不等式化为()(),11g a x h a a <<-≤≤恒创造,即()()max min ,11g a x h a a <<-≤≤.由于()23660a a a g a --+=正在11a -≤≤上是删函数,则()()max 213g a g ==-,()6a h a +=正在11a -≤≤上是减函数,则()()min 1 1.h a h ==所以, 213x -<<. 故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对付谦脚11a -≤≤的十足a 的值，皆有()0g x <. 5. 若对付任性的真数x ，2sin 2cos 220x k x k +--<恒创造，供k 的与值范畴. 解法一：本不等式化为2cos 2cos 210x k x k -++> 令cos t x =，则1t≤，即()222()22121f t t kt k t k k k =-++=--++正在[]1,1t ∈-上恒大于0.⑴若1k <-，要使()0f t >，即(1)0f ->，12k >-k ∴不存留 ⑵若11k -≤≤，若使()0f t >，即2()210f k k k =-++>11k ∴<<11k <≤ ⑶若1k >，要使()0f t >，即(1)0f >，1k >由⑴，⑵，⑶可知，1k ∴> 解法二：2()2210f t t kt k =-++>，正在[]1,1-上恒创造.⑴221011k k k ∆=--<∴<<⑵2210(1)0(1)011k k f f k k ⎧∆=--≥⎪>⎪⎨-<⎪⎪><-⎩或1k ∴≥由⑴，⑵可知，1k >6. 已知函数2()10f x x ax =++≥对付于十足1(0,]2x ∈创造，供a 的与值范畴.7. 已知函数2()4f x x x m =-≥对付于(0,1]x ∈恒创造，，供m 的与值范畴.8. 若不等式2296260x ax a a -+--≥正在1133x -≤≤内恒创造，供a 的与值范畴.])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，供真数a 的与值范畴. 解：由题设可将问题转移为不等式0)1(22>+-+a x a x 对付R x ∈恒创造，即有04)1(22<--=∆a a 解得311>-<a a 或.所以真数a 的与值范畴为),31()1,(+∞--∞ . ()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对付任性[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试决定a 的与值范畴. 解：根据题意得：21a x x+->正在[)2,x ∈+∞上恒创造，即：23a x x >-+正在[)2,x ∈+∞上恒创造，设()23f x x x =-+，则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > (],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒创造，供a 的与值范畴. 解：令2x t =，(],1x ∈-∞(]0,2t ∴∈ 所以本不等式可化为：221t a a t +-<， 要使上式正在(]0,2t ∈上恒创造，只须供出()21t f t t +=正在(]0,2t ∈上的最小值即可.。
高一数学——恒成立问题
1 函数()0f x ≥恒成立⇔ ()min 0f x ≥1.1 二次函数（定义域无限制）的恒成立问题对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a【例1】 若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
【例2】 若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； 【练习1】 若函数R 上恒成立，求m 的取值范围。
2 函数()f x a ≥恒成立，⇔()min f x a ≥（分离参数法）2.1 二次函数（限制定义域）的恒成立问题【练习1】 当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 . 【练习2】【2006江西】对于一切实数，不等式210x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 【练习3】若不等式22210x mx m -++>对满足01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。
【练习4】 已知函数2()10f x x ax =++≥对于一切1(0,]2x ∈成立，求a 的取值范围。
【练习5】已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
解： 将问题转化为xx x a 24-<对]4,0(∈x 恒成立。
x 02>--a ax x ),(+∞-∞a y =令x x x x g 24)(-=，则min )(x g a < 由144)(2-=-=xxx x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g ∴0<a 即a 的取值范围为)0,(-∞。
【练习6】已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
高考数学一轮复习二次不等式恒成立问题
3，所以a＝2，所以f（x）＝2（x－1）2＋1＝2x2－4x＋3.
（2）若函数f（x）在区间[2a，a＋1]上单调，求实数a的取值范围.
2 < + 1, 2 < + 1,
解：（2）要使f（x）在区间[2a，a＋1]上单调，则ቊ
或ቊ
+ 1 ≤ 1,
2 ≥ 1
1
1
解得 ≤a＜1或a≤0，所以实数a的取值范围为（－∞，0]∪ ,1
所以f（0）＝f（2），则当f（m）≤f（0）时，有0≤m≤2.
答案：[0，2]
10.已知二次函数f（x）的最小值为1，函数y＝f（x＋1）是偶函数，且f
（0）＝3.
（1）求f（x）的解析式；
解：（1）因为函数y＝f（x＋1）是偶函数，所以f（x）的图象关于直线x＝1对
称，又因为f（x）的最小值为1，所以可设f（x）＝a（x－1）2＋1，又f（0）＝
∴a＝2，a＝1
2
2
() = −2 + = 1.
（舍），∴b＝5.
答案：5
9.设二次函数f（x）＝ax2－2ax＋c在区间[0，1]上单调递减，且f（m）≤f
（0），则实数m的取值范围是
.
解析：依题意a≠0，二次函数f（x）＝ax2－2ax＋c图象的对称轴是直线x＝1，
因为函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，所以a＞0，即函数图象的开口向上，
确.当a＝1，即c＝3时，与y轴交于点（0，3），所以B正确.故选A、B、D.
7.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，确定下列各式的正负：
b
0，ac
0，a－b＋c
恒成立问题常见类型及解法
【解析】令 f (m) ＝（ x2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的
一次函数 y f (m) 在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区
间端点，只要
f f
(2)＜0，解得 (2)＜0
7 1＜x＜ 2
3 1, 2
即 x 的取值范围是（ 7 1 ， 3 1 ）.
范围是______．
【解题提示】将恒成立问题转化为最值问题.
【解析】因为x＞0 ，所以 x 1 2（当且仅当x=1时取等
x
号），所以有
x2
x 3x
1
x
1 1
3
2
1
3
1 5
，即
x x2 3x 1
的最大值为 1，故a≥1 .
x
5
5
【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法 1.不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等 式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解： c≥f(x)恒成立 c≥f(x)max; c≤f(x)恒成立 c≤f(x)min. 2.高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法 解决.
x
恒成立， 2k ， 4k k Z ，所以 k 不可能为 6。
2
五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题
【理论阐释】 若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等
号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的 问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条 件，就能解决问题。
典例5
若不等式
loga
x
sin
2x
(a
0且a
1)
对于任意
x
∈
(0,
2022年新高考数学总复习：二次函数中的恒成立问题
2022年新高考数学总复习：二次函数中的恒成立问题例5 (1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫－22，0__. (2)(2021·北京101中学模拟)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是__(－∞，－1)__.[解析] (1)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0， 解得－22<m <0. (2)方法1：f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ， 即x 2－3x ＋1－m >0，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立， 只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可， ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．方法2：f (x )>2x ＋m 等价于m <x 2－3x ＋1，令g (x )＝x 2－3x ＋1，其图象的对称轴x ＝32>1，所以g (x )在区间[－1,1]上递减，则g (x )在区间[－1,1]上的最小值为g (x )min ＝g (1)＝－1，所以m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．名师点拨二次函数中恒成立问题的求解思路(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，分类求解．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .注：a ≥f (x )有解⇔a ≥f (x )min ，a ≤f (x )有解⇔a ≤f (x )max . 〔变式训练2〕(1)(角度1)设b ≥0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值不可能为( C )A ．－1－52B ．－1＋52C ．1D ．－1(2)(角度2)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( D ) A ．54B ．1或54C ．－1或54D ．－5或54(3)(角度3)(2021·石家庄模拟)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为__⎝⎛⎭⎫12，＋∞__.[解析] (1)当b ＝0时，对称轴为y 轴，a ＝－1－52时开口向下，a 2－1>0，A 正确．a＝－1＋52时开口向上，a 2－1<0，B 正确；当b >0时，对称轴不可能为y 轴，由给出的图可知对称轴在y 轴右侧，故a <0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a 2－1＝0，a ＝±1，又a <0，所以a ＝－1.故选C ．(2)f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －a 22－4a ，对称轴为直线x ＝a2. ①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在[0,1]上递增，∴f (x )max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a ＝±1(舍去)．②当0<a2<1，即0<a <2时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－4a . 令－4a ＝－5，得a ＝54.③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]上递减，∴f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2.令－4a －a 2＝－5，解得a ＝－5或a ＝1(舍去)． 综上所述，a ＝54或－5.故选D ．(3)解法一：由f (x )>0，即ax 2－2x ＋2>0，x ∈(1,4)，得a >－2x 2＋2x 在(1,4)上恒成立．令g (x )＝－2x 2＋2x ＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12， 1x ∈⎝⎛⎭⎫14，1，所以g (x )max ＝g (2)＝12， 所以要使f (x )>0在(1,4)上恒成立，只要a >12即可．解法二：当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2， 显然f (4)＝－6，不合题意，∴a ≠0①当a >0时，二次函数f (x )开口向上，对称轴为x ＝1a .ⅰ.若1a≤1即a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝a >0，即a ≥1.ⅱ.若1a ≥4即0<a ≤14时，f (x )min ＝f (4)＝16a －6>0得a >38矛盾．ⅲ.若1<1a <4即14<a <1时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1a ＋2>0得a >12.即12<a <1. ②当a <0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≥0f (4)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0a >38，解得a >38矛盾．综上可知a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.[引申]若将“一切x 值都有f (x )>0”改为“f (x )>0有解”呢？ [解析] 由解法一知a >－2x 2＋2x 在(1,4)上有解．即a >⎝⎛⎭⎫－2x 2＋2x min ＝g (1)＝0， ∴a 的取值范围是(0，＋∞)．名师讲坛·素养提升转换变量——解决二次函数问题中的核心素养例6 (2021·沧州七校联考)已知两函数f (x )＝8x 2＋16x －k ，g (x )＝2x 2＋4x ＋4，其中k 为实数．(1)对任意x ∈[－3,3]，都有f (x )≤g (x )成立，求k 的取值范围； (2)存在x ∈[－3,3]，使f (x )≤g (x )成立，求k 的取值范围； (3)对任意x 1，x 2∈[－3,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)，求k 的取值范围．[解析] (1)设h (x )＝f (x )－g (x )＝6x 2＋12x －4－k ，问题转化为当x ∈[－3,3]时，h (x )≤0恒成立，故h (x )max ≤0.由二次函数性质可知h (x )max ＝h (3) ＝86－k ，有86－k ≤0，得k ≥86.(2)由题意，存在x ∈[－3,3]，使f (x )≤g (x )成立，即h (x )＝f (x )－g (x )＝6x 2＋12x －4－k ≤0在x ∈[－3,3]时有解，故h (x )min ≤0.由二次函数的性质可知h (x )min ＝h (－1)＝－10－k ，有－10－k ≤0，得k ≥－10.(3)对任意x 1，x 2∈[－3,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，所以f (x )max ≤g (x )min ，x ∈[－3,3]．由二次函数的性质可得，f (x )max ＝f (3)＝120－k ，g (x )min ＝g (－1)＝2.故有120－k ≤2.得k ≥118.[答案] (1)k ≥86 (2)k ≥－10 (3)k ≥118[探究] 本题的三个小题表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件．名师点拨二次函数中恒成立问题的求解思路(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .〔变式训练3〕已知函数f (x ) ＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是__⎝⎛⎦⎤0，12__. [解析] 当x 0∈[－1,2]时，由f (x )＝x 2－2x ，得f (x 0)∈[－1,3]． 因为对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]， 使得g (x 1)＝f (x 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧g (x 1)min ≥f (x 0)min ，g (x 1)max ≤f (x 0)max ，即当x 1∈[－1,2]时，g (x 1)∈[－1,3]．所以当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.。
“恒成立”的几种常用的解法
“恒成立”的几种常用的解法已知不等式恒成立，求参数范围的问题，涉及函数、方程、不等式，综合性强，在高考中常常涉及，许多学生对此类问题不知从何着手，本文结合实例，谈谈这类问题常见的几种方法。
一．判别式法此方法适用于二次函数的情况，利用)0(02>>++a c bx ax的解集是R 0<∆⇔；)0(02<<++a c bx ax的解集是R 0<∆⇔，这类问题的特点是二次函数在R 上恒成立。
例1．已知函数3)(2++=ax x x f ，当时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围。
解：要使03x)(2≥-++≥a ax a x f 恒成立，即恒成立，必须且只需26,0124a 0)3(4a 22≤≤-∴≤-+≤--∆a a a 即＝二．图象法此方法主要用于二次函数，指数对数函数，三角函数等，由其函数图象确定值域，进而解之。
类型1：作一个函数的图像：例2．已知函数3)(2++=ax x x f ，若]2,2[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围。
解：43)2(3)(222aa x ax x x f -++=++=（1） 当7,-2a f(-2)f(x)4a ,22min+==>-<-时，即a由Φ∈∴≤≥+a ,37a a 72a 得－（2） 当,4a-3f(x )4a 4,2222min=≤-≤≤-≤-时，即a由24,2a 6a 4a-32≤≤-∴≤-≤≥a 得（3） 当7,2a f(2)f(x)4a ,22min+==-<>-时，即a由47,7a a 72a -<≤-∴-≥≥+a 得 综上得]2,7[-∈a类型2：作两个函数的图像： 1.当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sin π恒成立，则实数k 的取值范围是_______________.【答案】k ≤1【解析】作出2sin 1xy π=与kx y =2的图象，要使不等式kx x≥2sinπ成立，由图可知须k≤1。
高一必修一难点微专题 3.二次函数值域及恒成立问题研究
二次函数值域及恒成立问题研究二次函数应该是我们在正式学习导数前用的最多的函数，可也是我们在教学中最易忽视的地方，原因在于我们没有深刻意识到高中的二次函数对于研究函数最大的价值，而仅仅把它当成一个应该是初中老师教的一类函数罢了.这样观念上的认知不足所导致的后果就是：学生在学习导数之前，没有深刻体会到处理函数的一般思路，而学完导数后，我们又认为学生应该掌握了处理函数的思路，于是乎，导数学习就经历从处理意识不足到游刃有余的历程，这样的思维跨度太大，很多学生很难一时接受的，从而最终导致在导数应用时出现以下困难：1.求导过程的分类讨论思想不足；2.二次以上求导意识不够；3.缺乏从导数到值域(最值)的转化意识，特别是稍复杂的情景，难以应对.我认为上述现象的出现原因之一便是在导数之前缺少了足够的函数处理经验，对从单调性到函数值域的基本解题思想认识不足，而这恰是二次函数没学好的后果.高中阶段学习二次函数最重要的一类题型就是动轴定区间问题，其实质为闭区间上函数值域的计算，而这正是单调性的功效.所以，我们应该要在正式学习导数之前通过二次函数或者指对与二次结合的问题，融入这样的思想：用单调性来分析值域.淡化对称轴的概念，突出轴背后的单调性变化.这样的设计就可以再慢慢融入恒成立问题，其实质也在于值域(最值)的计算.我想，如果学生能在导数之前的函数学习中逐渐理解单调性分析值域的基本思想后，他们对导数的理解和把握会更上一层楼!基于上面的分析，本节课的设计思路也就很明确了，下来展示具体内容：闭区间上二次函数值域1已知函数f (x )=x 2+ax +3-a ，x ∈-2,4 ．求f (x )的最小值g (a )的表达式．解析：(1)当a =2时，f (x )=x 2+2x +1，对称轴：x =-1，∴f (x )在-2,-1 上单调递减，在-1,4 上单调递增．∴f (x )min =f (-1)=0，f (x )max =f (4)=25，故函数的值域为0,25 ．(2)∵f (x )=x 2+ax +3-a 的对称轴：x =-a 2，①若-a 2≤-2时，即a ≥4，f (x )在-2,4 上单调增，∴f (x )min =f (-2)=7-3a ；②若-a 2≥4时，即a ≤-8，f (x )在[-2,4]上单调减，∴f (x )min =f (4)=19+3a ；③若-2<-a 2<-4时，即-8<a <4，f (x )在-2,-a 2 上单调减，在-a 2,-4 上单调增，∴f (x )min =f -a 2 =-a 22-a +3；∴综上所述：g (a )=7-3a ,a ≥4-a 24-a +3,-8<a <419+3a ,a ≤8．2已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c ，且满足f (0)=2，f (x +1)-f (x )=2x +1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈t ,t +2 (t ∈R )时，求函数f (x )的最小值(用t 表示).解析：(1)因为二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (0)=2，f (x +1)-f (x )=2x +1，所以c =2a x +1 2+b x +1 +c -ax 2+bx +c =2x +1 ，即c =22ax +b +a =2x +1，所以c =22a =2b +a =1 ，解得c =2a =1b =0，因此f (x )=x 2+2；(2)因为f (x )=x 2+2是对称轴为x =0开口向上的二次函数，当t ≥0时，f (x )=x 2+2在x ∈t ,t +2 上单调递增，则f (x )min =f (t )=t 2+2；当t +1≤0，即t ≤-1时，f (x )=x 2+2在x ∈t ,t +2 上单调递减，则f (x )min =f (t +1)=t +1 2+2=t 2+2t +3；当t <0<t +1，即-1<t <0时，f (x )min =f (0)=2；综上f (x )min =t 2+2,t ≥02,-1<t <0t 2+2t +3,t ≤-1.3已知二次函数f x =ax 2+bx 满足f 2 =0，且方程f x =x 有两个相等实根.(1)求f x 的解析式；(2)是否存在实数m ,n m <n ，使f x 的定义域是m ,n ，值域是3m ,3n .若存在，求m ,n 的值，若不存在，请说明理由.解析：(1)由f 2 =0得：4a +2b =0①；由f x =x 有等根得：ax 2+b -1 x =0有等根，∴Δ=b -1 2=0，得b =1，将b =1代入①得：a =-12，∴f x =-12x 2+x ；(2)f x =-12x 2+x =-12x -1 2+12，∴3n ≤12，即n ≤16，而f x 对称轴为x =1，即m ,n 在x =1的左边，∴由二次函数的性质知：f x =-12x 2+x 在区间m ,n 上单调递增，则有m <nf (m )=3m f (n )=3n，解得m =-4,n =0，故存在实数m =-4,n =0，使f x 的定义域是m ,n ，值域是3m ,3n .4已知函数f (x )=4x 2-4mx +m +2的图象与x 轴的两个不同交点的横坐标分别为x 1，x 2.(1)求x 21+x 22的取值范围；(2)若函数f (x )=4x 2-4mx +m +2在-∞,1 上是减函数、且对任意的x 1，x 2∈-2,m +1 ，总有f x 1 -f x 2 ≤64成立，求实数m 的范围．解析(1)由题意可知方程4x 2-4mx +m +2=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，由韦达定理得：x 1+x 2=m ，x 1x 2=m +24，所以Δ=-4m 2-4×4m +2 >0，解之得：m >2或m <-1；(2)x 21+x 22=x 1+x 2 2-2x 1x 2=m 2-m +22=m -14 2-1716，令g m =m -14 2-1716，则当m >2时，g m >2-14 2-1716=2，当m <-1时，g m >-1-14 2-1716=12，所以g m >12，所以x 21+x 22>12，即x 21+x 22的取值范围为12,+∞ ；(3)函数f (x )=4x 2-4mx +m +2的对称轴为x =m 2，在-∞,1 上是减函数，所以有m 2≥1，即m ≥2，又因为对任意的x 1，x 2∈-2,m +1 ，总有f x 1 -f x 2 ≤f x max -f x min ，要使f x 1 -f x 2 ≤64成立，则必有f x max -f x min ≤64，在区间-2,m +1 上，f (x )在-2,m 2 上单调递减，在m 2,m +1 上单调递增，又m +1-m 2<m 2-(-2)，所以f x max =f -2 =9m +18，f x min =f m 2=-m 2+m +2，所以有9m +18--m 2+m +2 ≤64，即m 2+8m -48≤0，解之得：-12≤m ≤4，综上，实数m 的范围是2≤m ≤4．二次函数恒成立问题1已知函数f x =x 2-ax +b +2，a ∈R ，b ∈R . 若关于x 的不等式f x ≤b 在x ∈1,3 上能成立，求实数a 的取值范围.解析：(2)∵x 2-ax +b +2≤b 在x ∈1,3 上能成立，∴x 2-ax +2≤0在x ∈1,3 上能成立，∴ax ≥x 2+2，∵x ∈1,3 ，∴a ≥x +2x min ，∵x +2x≥2x ⋅2x =22(当且仅当x =2时取“=”)，∵x =2∈1,3 ，∴a ≥22.2已知函数f x =x 2+ax -2，a ∈R .(1)当a =1时，求不等式f x <0的解集；(2)若关于x 的不等式f x ≥2a -1 x -6在0,2 上恒成立，求a 的最大值.解：(1)当a =1时，由f x <0得，x 2+x -2<0，即(x -1)(x +2)<0，解得-2<x <1，所以不等式的解集为(-2,1)，(2)由f x ≥2a -1 x -6，得x 2+(1-a )x +4≥0，所以问题转化为x 2+(1-a )x +4≥0在0,2 上恒成立，即a ≤x +4x +1在0,2 上恒成立，因为x ∈(0,2]，所以x +4x +1≥2x ⋅4x +1=5，当且仅当x =4x ，即x =2时取等号，所以x +4x+1的最小值为5，所以a ≤5，所以a 的最大值为53已知函数f x =-x 2+ax -6，g x =x +4．若对任意x 1∈0,+∞ ，存在x 2∈-∞,-1 ，使f x 1 ≤g x 2 ，求实数a 的最大值．解：1 根据题意，可将问题转化为f x max ≤g x max .f x =-x 2+ax -6=-x 2-ax -6=-x -a 2 2+a 24-6iii ，当x =a 2≤0，即a ≤0时，函数f x 在0,+∞ 上单调递减，f x <f 0 =-6；当x =a 2>0，即a >0时，f x max =f a 2 =a 24-6.而g x =x +4在-∞,-1 上单调递增，故g x max =g -1 =3.所以a ≤0-6≤3 或a >0a 24-6≤3，解得a ≤6，所以实数a 的最大值为6.总练习题1已知二次函数f (x )=ax 2+bx 满足：f (0)=f (2)，且方程f (x )=x 有两个相等实根.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在0,m 上的最大值；(3)设k >0，函数g (x )=kx +1,x ∈-2,1 ，若对于任意x 1∈-2,1 ，总存在x 0∈-2,1 ，使得g (x 0)=f (x 1)成立，求k 的取值范围.解析：(1)因为f (0)=f (2)，所以f x 的对称轴为x =0+22=1，所以-b 2a=1，又因为f (x )=x 有两个相等的实数根，所以ax 2+b -1 x =0有两个相等的实数根，所以Δ=b -1 2-4×a ×0=0，所以-b 2a =1b =1 ，所以a =-12b =1 ，所以f x =-12x 2+x ；(2)因为f x 的对称轴为x =1，当0<m ≤1时，f x 在0,m 上单调递增，所以f x max =f m =-12m 2+m ；当m >1时，f x 在0,1 上单调递增，在1,m 上单调递减，所以f x max =f 1 =12，综上：当0<m ≤1时，f x 的最大值为-12m 2+m ；当m >1时，f x 的最大值为12；(3)因为f x 在-∞,1 上单调递增，f -2 =-12×4+-2 =-4,f 1 =12，所以当x 1∈-2,1 时，f x 1 ∈-4,12，因为对于任意x 1∈-2,1 ，总存在x 0∈-2,1 ，使得g (x 0)=f (x 1)成立，所以f x 1 在x 1∈-2,1 时的值域是g x 0 在x 0∈-2,1 时的值域的子集，因为g x =kx +1k >0 在R 上单调递增，所以当x 0∈-2,1 时，g x 0 ∈-2k +1,k +1 ，所以-4,12 ⊆-2k +1,k +1 ，所以-4≥-2k +112≤k +1k >0，所以k ≥52，即k ∈52,+∞ .2函数f x =x 2-x +1x -1，x ∈2,+∞ ，g x =x 2+ax +3，x ∈M ．(1)求函数f x 的单调性：(2)若M =-2,2 ，求使g x ≥a 恒成立时a 的取值范围；(3)若a >-3，M =2,+∞ ，∀x 1∈2,+∞ ，∃x 2∈M ，使得f x 1 =g x 2 ，求实数a 的取值范围．解析：(1)f x =x 2-x +1x -1=x -1 2+x -1 +1x -1=x -1 +1x -1+1=x +1x -1当x ∈2,+∞ 时，任取x 1,x 2∈2,+∞ ，且x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =x 1+1x 1-1-x 2-1x 2-1=x 1-x 2+x 2-x 1x 1-1 ⋅x 2-1 =x 1-x 2 1-1x 1-1 ⋅x 2-1因为x 1<x 2，所以x 1-x 2<0，又因为x 1,x 2∈2,+∞ ，所以x 1-1≥1，x 2-1>1，所以x 1-1 ⋅x 2-1 >1，0<1x 1-1 ⋅x 2-1 <1，1-1x 1-1 ⋅x 2-1>0，所以f x 1 -f x 2 <0，所以f x 在x ∈2,+∞ 时单调递增．(2)g x ≥a 恒成立，则g x min ≥a ，又因为g x 为开口向上二次函数，对称轴为x =-a 2若-a 2≤-2，即a ≥4时，g x min =g -2 =7-2a ≥a ，a ≤73，与a ≥4矛盾：若-2<-a 2<2，即-4<a <4时，g x min =g -a 2 =3-a 24≥a ，所以-4<a ≤2若-a 2≥2，即a ≤-4时，g (x min =g 2 =7+2a ≥a ，所以-7≤a ≤-4；综上：-7≤a ≤2．(3)依题意，f x 的值域含于g x 的值域，当x ∈2,+∞ 时，f x 单调递增，所以f x ≥f 2 =3，f x ∈3,+∞ ，当a >-3，M =2,+∞ 时，g x 单调递增，所以g x ≥g 2 =7+2a ，g x ∈7+2a ,+∞ ；所以7+2a ≤3，a ≤-2．又a >-3，综上：-3<a ≤-2.3已知函数f x =x 2-4x +3，g x =a +4 x -3，a ∈R .(1)若函数y =f x -m 在x ∈-1,1 上有零点，求m 的取值范围；(2)若对任意的x 1∈1,4 ，总存在x 2∈1,4 ，使得f x 1 =g x 2 ，求a 的取值范围.(3)设h x =f x +g x ，记M a 为函数h x 在0,1 上的最大值，求M a 的最小值.解：(1)因为函数μx =x 2-4x +3-m 的图象的对称轴是直线x =2，所以y =μx 在-1,1 上为减函数.又y =μx 在-1,1 上存在零点，所以μ1 ≤0μ-1 ≥0，解得0≤m ≤8故m 的取值范围为m 0≤m ≤8(2)若对任意的x 1∈1,4 ，总存在x 2∈1,4 ，使得f x 1 =g x 2 ，则函数y =f x 在1,4 上的函数值的取值集合是函数y =g x 在1,4 上的函数值的取值集合的子集.函数f x =x 2-4x +3图象的对称轴是直线x =2，所以y =f x 在1,4 上的函数值的取值集合为-1,3 ①当a =-4时，g x =-3，不符合题意，舍去.②当a >-4时，g (x )在1,4 上的值域a +1,4a +13 ，只需a +1≤-14a +13≥3，解得-52≤a ≤-2③当a <-4时，g (x )在1,4 上的值域为4a +13,a +1 ，只需4a +13≤-1a +1≥3 ，无解.综上，a 的取值范围为a -52≤a ≤-2(3)h x =x 2+ax 当a ≤-2或a ≥0时，h x 在0,1 上单调递增，则M a =f 1 =a +1 ；当-2<a <0时，M a =max f -a 2 ,f 1 =max a 24,a +1 ，解-2<a <0a 24>a +1，得-2<a <21-2 ，故当-2<a <0，M a =a 24,-2<a <21-2 a +1 ,21-2 ≤a <0 综上，M a =a 24,-2<a <21-2 a +1 ,a ≤-2 或 a ≥21-2于是M a 的最小值为M 21-2 =3-224已知二次函数y =f x 满足条件f 0 =0，f x +2 -f x =4x +8．(1)求函数y =f x 的解析式；(2)设F x =tf x -2x -3，其中t ≥0，函数F x 在x ∈-3,2 时的最大值是H t ，求函数H t ；(3)若g x =f x +k (k 为实数)，对于任意x 1∈0,+∞ ，总存在x 2∈0,+∞ 使得g x 1 =H x 2 成立，求实数k 的取值范围．解析：(1)∵f 0 =0，∴设f x =ax 2+bx ,(a ≠0)，∵f (x +2)-f (x )=4x +8，∴f 2 =8，f -2 =0，故4a +2b =84a -2b =0 ，解得：a =1，b =2，∴f (x )=x 2+2x ；(2)F (x )=t x 2+2x -x -3=tx 2+(2t -1)x -3，(t ≥0)，分以下情况讨论F x ，x ∈-3,2 的最大值H t ①当t =0时，F x =-x -3在x ∈-3, 2]上是减函数，H t =F x max =F -3 =0；②当t >0时，F x 的图象关于直线x =-2t -12t =-1+12t 对称，∵-3+22=-12，故只需比较-1+12t 与-12的大小．当-1+12t ≤-12即t ≥1时，F (2)≥F (-3)，F (x )max =H (t )=F (2)=8t -5，当-1+12t >-12即0<t <1时，F 2 <F -3 ，F x max =H t =F -3 =3t ；综上所得H (t )=3t ,0≤t <18t -5,t ≥1 ；(3)∵H (t )=3t ,0≤t <18t -5,t ≥1 ，函数H t 的值域为[0,+∞)，g x =x 2+2x +k 在区间[0,+∞)上单调递增，故值域为k ,+∞ ，对任意x 1∈0,+∞ ，总存在x 2∈0,+∞ 使得g x 1 =H x 2 成立，则k ,+∞ ⊆0,+∞ ，∴k ≥0．。
二次函数平移、对称规律、最值、恒成立等问题
6、函数思想的应用
举例：求方程 的根的情况
虽然是三次方程，但是可以通过函数角度思考问题
转化成求 与 的交点问题（对于方程两边同除以 ）
当 时， ；当 时，
4、关于恒成立问题
关于恒大于或恒小于的问题（两个函数的比较）考查的是 的时候与 轴没有交点的两种情况，可以推广到两个函数的比较大小。
举例： 对于任意的 都成立，求 的取值范围
可以转换成：对于任意的 ， 都成立
5、关于动态直线问题
静态表达式看成动态的直线
举例： 可以看成 沿y轴上下平移的动态直线
1、二次函数图象平移变换规律：
平移规律：上加下减，左加右减，上下平移变常数，左右平移变
向左平移 个单位
向上平移 个单位
向左平移 个单位
向上平移 个单位
平移时，抛物线的开口方向和形状一定不会发生变化，因此 永远不变
2、二次函数图象对称变换规律
关于 轴对称
系数全变号
关于 轴对称
系数变中间
关于原点对称
系数变两头
关于顶点对称
关于（ ）对称
对称时，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变
3、二次函数图象求最值方法
（1）若自变量 的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取最大值、最小值
① ，当 时，
② ，当 时，
（2）若自变量的取值范围是 内
①若 在自变量的取值范围是 内
当 时， ；当 时，
①若 不在自变量的取值范围是 内
一次函数和二次函数中的恒成立问题”
一次函数和二次函数中的恒成立问题”
作者：刘汉香
来源：《成才之路》 2014年第15期
辽宁瓦房店刘汉香
恒成立问题是历年高考中的一个热点问题，在数学研究中有着很重要的价值，在一次函数和二次函数中有着很重要的应用，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着函数与方程、数形结合等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，培养思维的灵活性、创造性。
函数在给定条件的恒成立问题表现形式通常有以下几种：函数的定义域为全体实数R、不等式的解为一切实数、在给定区间上某关系式恒成立、表达式的值恒大于a等……
一、一次函数型
（辽宁省瓦房店市第八高级中学数学组）。
第2课 含参恒成立问题
第2课 含参恒成立问题含参二次函数常见的处理一、判别式法：若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=，有（1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⇔⎩⎨⎧<∆>00a ；（2）0)(<x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a 。
1、已知函数22)1(a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
2、已知函数]2)1()1lg[(2+-+-=x m x m y 的定义域为R ，求实数m 的取值范围。
3、已知函数3)(2++=ax x x f ，（1）当R x ∈时，a x f ≥)(恒成立，求a 的范围。
（2）当[]2,2-∈x 时，a a f ≥)(恒成立，求a 的范围。
4、设P ：实数x 满足03422<+-a ax x ，其中a>0，命题q:实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x （I ）若a=1，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （∏）若P ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。
二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：（1）a x f >)(恒成立⇔min )(x f a <（2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔1、设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
2、若不等式012≥++ax x 对于一切)21,0(∈x 成立，则a 的最小值是（ ） A.0 B.-2 C.-5/2 D.-33、若]2,2[-∈x 时，不等式a ax x ≥++32恒成立，求a 的取值范围。
4、在ABC ∆中，已知B B B B f 2cos )24(sin sin 4)(2++=π，且2)(<-m B f 恒成立，求实数m 的范围。
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变式2、已知f ( x) ax ax 2, 且对于任意的x R, f ( x) 1恒成立 求a的取值范围
2
变式3、已知f ( x) ax ax 1, 且对于存在一个x R, 使得f ( x) 2 成立，求a的取值范围
2
变式4、已知f ( x) ax (a 2) x 1, g(x)=2x且对于任意的x R, f ( x) g ( x) 恒成立,求a的取值范围
四、知识拓展
基础知识点复习
若f ( x ) x 2 x a，求x在
2
以下区间时，f(x)的最值 (1) x 0,1 (2) x 2, 3 (3) x 0, 5
五、代表例题
若f ( x) x 2 x a, x 0, 5 ,
2
g ( x) x 4 x, x 1, 3
六、知识点小结
此处省略150个字……
2
g ( x) x 4 x, x 1, 3
2
3、若存在x1 0,5 , 对任意的x2 1,3 都有f ( x1 ) g ( x2 )，求a的取值范围
4、若存在x1 0,5 , 存在x2 1,3 使得f ( x1 ) g ( x2 )，求a的取值范围
有关二次函数的几 个恒成立问题
上午10时27分
一、知识回顾：
二次函数 f(x)= ax2+bx+c (a>0）
判别式 =b2-4ac
>0
y y
0
y x
<0
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象
x1
x2
x
x1=x2
x
二次函数 2+bx+c (x1,0)，(x2,0) y=ax 的图象与x轴 的交点
2
三、知识小结
1、若对于任意的x M,均有 f(x) m恒成立，则只需：
f ( x)min m
2、若对于任意的x M,均有 f(x) m恒成立，则只需：
f ( x)max m
f ( x)max m
3、若存在x M,使得
f(x) m成立，则只需： 4、若存在x M,使得 f ( x)min m f(x) m成立，则只需：
2
1、若对任意的x1 0,5 , 任意的x2 1,3 均有f ( x1 ) g ( x2 )，求a的取值范围 2、若对任意的x1 0,5 , 存在x2 1,3 使得f ( x1 ) g ( x2 )，求a的取值范围
若f ( x) x 2 x a, x 0, 5 ,
(x1,0)
没有交点
二、例题探究
例1、已知二次函数f ( x) ax ax 1,
2
且对于任意的x R, f ( x) 0恒成立 求a的取值范围
二、例题变形
变式1、已知二次函数f ( x) ax ax 1,
2
且对于任意的x R, f ( x) 0恒成立 求a的取值范围