23知识讲解_一元二次不等式及其解法_基础

一元二次不等式及其解法【学习目标】1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题. 【要点梳理】要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为{}21x x x x x ><或，不等式20ax bx c ++<的解集为{}21x x x x <<要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根要点诠释：（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.要点三、解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==； ③0∆<时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.用程序框图表示求解一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a>0)的过程要点诠释：1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【典型例题】类型一：一元二次不等式的解法 例1. 解下列一元二次不等式（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+-> 【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.【解析】 （1）方法一：因为2(5)410250∆=--⨯⨯=>所以方程250x x -=的两个实数根为：10x =，25x =函数25y x x =-的简图为：因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：250(5)0x x x x -<⇔-<050x x >⎧⇔⎨-<⎩ 或050x x <⎧⎨->⎩解得05x x >⎧⎨<⎩或5x x <⎧⎨>⎩，即05x <<或x ∈∅. 因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0∆=，方程2440x x -+=的解为122x x ==.函数244y x x =-+的简图为：所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2(2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一：原不等式整理得2450x x -+<.因为0∆<，方程2450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为：所以不等式2450x x -+<的解集是∅. 所以原不等式的解集是∅.方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是∅. 【总结升华】1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当0∆≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0∆>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三：【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型一 一元二次不等式的解法】【变式1】已知函数222,0,()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩解不等式f (x )＞3.【答案】由题意知20,23x x x ≥⎧⎨+>⎩或20,23,x x x <⎧⎨-+>⎩解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．【变式2】（2015 重庆）函数22(x)log (x 2x 3)f =+-的定义域是（ ）A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞，-3]∪[1.+ ∞)D. (-∞，-3)∪(1.+ ∞) 【答案】由题意得：2230x x +->，即(x 1)(x 3)0-+> 解得x>1或x<-3,所以定义域为(-∞，-3)∪(1.+ ∞)， 故选D 。

类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法 例2．解下列关于x 的不等式 （1）x 2-2ax≤-a 2+1； （2）x 2-ax+1>0； （3）x 2-(a+1)x+a<0； 【思路点拨】解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 【解析】(1) 22210[()1][()1]011x ax a x a x a a x a -+-≤⇒---+≤⇒-≤≤+ ∴原不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+. (2) Δ=a 2-4当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为}2424|{22--<-+>a a x a a x x 或 当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为{|}2ax x ≠. 当Δ<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R. （3）(x-1)(x-a)<0当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a} 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1} 当a=1时，原不等式的解集为Φ.【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解； ③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论. 举一反三：【变式1】解关于x 的不等式：)0(01)1(2≠<++-a x aa x【答案】原不等式化为0)1)((<--ax a x ①a=1或a=-1时，解集为∅；②当0<a<1 或a<-1时，a a 1<，解集为：1{|}x a x a <<； ③当a>1或 -1<a<0时，a a 1>，解集为：1{|}x x a a<<.【变式2】解关于x 的不等式：223()0x a a x a -++>（a R ∈） 【答案】2232()0()()0x a a x a x a x a -++>⇒--> 当a ＜0或a ＞1时，解集为2{|}x x a x a <>或； 当a=0时，解集为{|0}x x ≠；当0＜a ＜1时，解集为2{|}x x a x a <>或； 当a=1时，解集为{|1}x x ≠；【变式3】（2015春 房山区校级期中）解关于x 的不等式56x 2+a x －a 2＜0。

【答案】∵56x 2+a x －a 2＜0，∴(7x+a )(8x －a )＜0，即[()]()078a a x x ---<。

①当a =0时，78a a-=，不等式化为x 2＜0，解得x ∈∅。

②当a ＞0时，78a a -<，不等式解集为{|}78a ax x -<<。

当a ＜0时，78a a ->，不等式解集为{|}87a ax a <<-例3．解关于x 的不等式：ax 2－(a+1)x+1＜0. 【解析】若a=0，原不等式⇔－x+1＜0⇔x ＞1；若a ＜0，原不等式⇔211(1)0x x a a -++>11()(1)0x x x a a ⇔-->⇔<或x ＞1；若a ＞0，原不等式⇔2111(1)0()(1)0x x x x a a a-++<⇔--<，其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故（1）当a=1时，原不等式⇔x ∈∅；（2）当a ＞1时，原不等式⇔11x a<<；（3）当0＜a ＜1时，原不等式⇔11x a<<综上所述：当a ＜0，解集为1{|1}x x x a<>或； 当a=0时，解集为{x|x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为1{|1}x x a<<； 当a=1时，解集为∅； 当a ＞1时，解集为1{|1}x x a<<. 【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”.举一反三：【变式1】解关于x 的不等式：(ax-1)(x-2)≥0； 【答案】当a=0时，x ∈(-∞,2]. 当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为2,121==x ax ①当a>0时，若210>>a a ，， 即210<<a 时，),1[]2,(+∞-∞∈a x Y ；若210＝，a a >， 即21=a 时，x ∈R ；若210<>a a ，， 即21>a 时，),2[]1,(+∞-∞∈Y ax .②当a<0时，则有：21<a ， ∴ ]21[，ax ∈.【变式2】解关于x 的不等式：ax 2＋2x-1<0； 【答案】当a=0时，)21,(-∞∈x . 当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)， ①a>0时，则Δ>0，)11,11(aaa a x ++-+--∈.②a<0时，若a<0，△<0， 即a<-1时，x ∈R ； 若a<0，△=0， 即a=-1时，x ∈R 且x≠1； 若a<0，△>0， 即 -1<a<0时， ),11()11,(+∞+--++--∞∈aaa a x Y . 【高清课堂：一元二次不等式及其解法 387159 题型二 含参数的一元二次不等式的解法】 【变式3】求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集． 【答案】当a ＞0时，不等式的解集为{|-}43a a x x x <>或；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为{|-}34a a x x x <>或.类型三：一元二次不等式的逆向运用例4. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集. 【思路点拨】由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程20x mx n +-=的二根，故由韦达定理可求出m 、n 的值，从而解得.【解析】由题意可知方程20x mx n +-=的两根为4x =和5x = 由韦达定理有45m +=-，45n ⨯=- ∴9m =-，20n =-∴210nx mx +->化为220910x x --->，即220910x x ++<(41)(51)0x x ++<，解得1145x -<<-，故不等式210nx mx +->的解集为11(,)45--.【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.举一反三：【变式1】（2015 浙江校级模拟）设关于x 的不等式(ax -1)(x +1)<0(a ∈R)的解集为{x|-1<x<1},则a 的值是（ ）A.-2B.-1C.0D.1【答案】∵关于x 的不等式(ax -1)(x +1)<0(a ∈R)的解集为{x |-1<x <1}， ∴对应一元二次方程(ax -1)(x +1)=0的两个实数根为-1和1， ∴11x a==或x =-1, 即a 的值是1，故选D 。